Lies de Matemtica II Sries numricas e representao de funes em sries de potncias

Cap. I Pgina 28

I.1.5 Sries numricas de termos de sinal constante. Critrios para o estudo da

convergncia de sries numricas de termos no negativos: critrio do integral, critrios de

comparao, critrio de Cauchy e critrio dAlembert. Sries de Dirichlet. Sries de termos

no positivos e sries de termos de sinal constante a partir de determinada ordem.

Consideremos a srie de termos no negativosi, diferente da srie nulaii,

+=1 com 0 para todo .

Tal como vimos anteriormente, a sua sucesso associada () definida por recorrncia atravs

de

1 = 1 e +1 = + +1.

Uma vez que +1 0, temos +1 0, para todo , o que garante que

() crescente.

Ento esta sucesso ou convergente para um nmero real positivo ou um infinitamente grande

positivo. Assim, podemos afirmar que:

+=1 convergente e 0 () limitada superiormente.

Exemplo I.20.

Vejamos que a srie 1

!+=1 convergente.

Trata-se de uma srie de termos positivos,

1

!

+

=1

= 1 +1

2+1

6+1

24+

1

120+ .

Tendo em conta que 21 ! para todo iii obtemos

i Ou, em particular, sries de termos positivos.

ii No que se segue, e se nada for dito em contrrio, quando nos referimos a uma srie de termos no negativos estamos a excluir a srie nula.

iii Esta desigualdade prova-se por induo matemtica (ver exemplo A.II.19 no Apndice II).

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Cap. I Pgina 29

1

!

=1

1

21

=1

.

A sucesso associada srie satisfaz 1 < 2 para todo uma vez que, no segundo

membro, temos a soma dos primeiros termos de uma srie geomtrica (de primeiro termo = 1 e

razo =1

2) convergente e com soma = 2.

Como () limitada superiormente ento a srie 1

!+=1 convergente.

Dedicamos, agora, a nossa ateno ao estudo de critrios que nos permitem analisar a convergncia

de sries numricas de termos no negativos.

Comecemos por explorar uma relao interessante entre integrais imprprios e sries que nos vai ser

til na prtica.

Vamos verificar que dada uma srie de termos no negativos,

+

=1

,

se for possvel definir uma funo , real de varivel real, positiva, contnua e decrescente no

intervalo [1,+[ tal que

() = ,

ento podemos determinar a natureza da srie anterior, recorrendo ao resultado.

Teorema I.21. [Critrio do integral]

Seja uma funo positiva, contnua e decrescente no intervalo [1,+[.

Ento o integral ()+

1 e a srie ()+=1 so da mesma natureza, isto , ou so ambos

convergentes ou so ambos divergentes.

Demonstrao:

Como, por hiptese, contnua no intervalo [1,+[, podemos assegurar que integrvel em

[1,+[ ou em qualquer subintervalo contido em [1,+[, nomeadamente em subintervalos do tipo

[, + 1] para .

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Cap. I Pgina 30

Alm disso, tambm por hiptese, sabemos que decrescente em [1,+[ o que nos permite

afirmar que

( + 1) () ()

para [, + 1].

Logo, por um lado,

() +1

() +1

= () 1 +1

= (),

e, por outro lado

() +1

( + 1) +1

= ( + 1) 1 +1

= ( + 1).

Assim, temos

( + 1) () +1

().

Tomando = 1, , obtemos

( + 1)

=1

() +1

1

()

=1

dado que

() +1

= ()

2

1

+()

3

2

++ ()

+1

=

=1

() +1

1

.

Uma vez que, por hiptese, positiva em [1,+[, ento a srie ()+=1 tem termos positivos.

E o termo geral da sua sucesso associada dado por

=()

=1

= (1) + (2) +().

Da desigualdade anterior, ( + 1)=1 () +1

1 ()=1 , resulta

+1 (1) () +1

1

.

Notamos que

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Cap. I Pgina 31

lim+

()

+1

1

= ()

+

1

.

Supondo que () +

1 converge para temos

+1 + (1)

ou seja, () limitada superiormente, por conseguinte a srie ()+=1 convergente.

Caso contrrio, suponhamos que ()+

1 diverge.

Utilizando

() +1

1

,

ento () divergente, o que implica que a srie ()+=1 tambm divergente.

Assim, conclumos que:

(i) ()+=1 convergente se e s se ()+

1 convergente;

(ii) ()+=1 divergente se e s se ()+

1 divergente.

Exemplos I.22.

a) O integral 1

+

1 divergente.

A funo, de domnio [1,+[, definida por () =1

:

(i) positiva, isto , () > 0, para [1,+[;

(ii) contnua;

(iii) estritamente decrescente dado que () = 1

2< 0, para [1,+[.

Pelo critrio do integral, a srie 1

+=1 e o integral imprprio

1

+

1 so da mesma

natureza.

Como 1

+=1 divergente ento esse integral tambm divergente.

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Cap. I Pgina 32

b) A srie 2+

=1 convergente.

Seja a funo, de domnio [1,+[, definida por () = 2. Ento

(i) positiva, isto , () > 0, para [1,+[;

(ii) contnua pois o produto de duas funes contnuas;

(iii) estritamente decrescente dado que () = (1 22)2< 0, para

[1,+[.

O valor do integral imprprio dado por

2

+

1

= lim+

2

1

= lim+

[

2

2]1

= 1

2lim+

(2 1) =

1

2.

Assim, este integral convergente e pelo critrio do integral conclumos que a srie

2+

=1 convergente.

Exemplos I.23. [Sries de Dirichlet]

Suponhamos, agora, que pretendemos determinar a natureza das sries numricas do tipo

1

+

=1

,

sendo +, designadas, usualmente, por sries de Dirichlet.

Definimos, para cada +, uma funo de domnio [1,+[ tal que () =1

.

evidente que contnua e positiva. Alm disso, estritamente decrescente pois

() = () = 1 =

+1< 0,

para todo [1,+[.

Verificmos que, nestas condies, pelo critrio do integral, a srie 1

+=1 e o integral

1

+

1

so da mesma natureza.

Se 1 ento

1

+

1

= lim+

= lim+

1

[+1

+ 1]1

=1

1 lim+

(+1 1).

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Cap. I Pgina 33

No primeiro caso, quando > 1, obtemos que lim+

+1 = 0 e, consequentemente, temos

lim+

(+1 1) = 1. Logo o integral convergente, dado que

1

+

1

=1

1 .

Por conseguinte a srie 1

+=1 tambm convergente.

No segundo caso, quando < 1, o limite lim+

(+1 1) vale + e portanto a srie

divergente.

Por fim, no caso em que = 1 , vem

1

+

1

= lim+

1

1

= lim+

[ln]1 = lim

+ln = +,

pelo que a srie 1

+=1 divergente. Note-se que neste ltimo caso temos a srie harmnica que, tal

como provmos anteriormente, diverge.

Deste modo, conclumos que:

(i) Se > 1 ento a srie 1

+=1 convergente;

(ii) Se 0 < 1 ento a srie 1

+=1 divergente.

J estudmos a natureza de algumas sries particulares (sries geomtricas, sries de Mengoli e sries

de Dirichlet) que se vo revelar particularmente teis no que se segue, uma vez que vamos verificar

que podemos analisar a natureza de uma srie por comparao com outra de natureza conhecida.

Teorema I.24. [1 critrio de comparao]

Sejam +=1 e

+=1 duas sries de termos no negativos. Suponhamos que existe um nmero

real positivo tal que , para .

(i) Se +=1 convergente ento

+=1 convergente;

(ii) Se +=1 divergente ento

+=1 divergente.

Demonstrao:

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Cap. I Pgina 34

Basta demonstrar (i) pois (i) e (ii) so equivalentes.

Sejam () e () as sucesses associadas s sries +=1 e

+=1 , respetivamente.

Assim temos

= 1 + 2 ++ ; = 1 + 2 ++ .

Ora se +=1 convergente ento () limitada superiormente. Como, por hiptese, existe

um nmero real positivo tal que , ento , para . Logo, ()

tambm limitada superiormente e, assim, conclumos que +=1 convergente.

Recordando que a natureza de uma srie (isto , a sua convergncia ou divergncia) no depende dos

seus primeiros termos, importa salientar que podemos aplicar o 1 critrio de comparao

nos casos em que existe um nmero real positivo tal que , para .

Exemplos I.25.

(i) A srie 1

2+5+=1 convergente por comparao com a srie

1

5+=1 .

Temos uma srie geomtrica de primeiro termo =1

5 e razo =

1

5,

1

5+=1 .

Para 1 obtemos

1

2 + 51

5.

Usando o 1 critrio de comparao conclumos que 1

2+5+=1 tambm convergente.

(ii) A srie 1

3+=1 divergente por comparao com a srie

1

+=1 ..

Para 5 obtemos

1

3>1

.

J vimos que a srie de Dirichlet com =1

2,

1

+=1 , divergente.

Uma vez que 1

+=1 , divergente, ento

1

+=5 tambm divergente.

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Cap. I Pgina 35

Utilizando o 1 critrio de comparao, sabemos que a srie 1

3+=5 divergente.

Finalmente, atendendo a que

1

3

+

=1

= 1

2+

1

2 3+

1

3 3+ (1) +

1

3

+

=5

,

conclumos que a srie 1

3+=1 divergente.

De seguida enunciamos outro critrio de comparao em que no necessrio construir uma

desigualdade entre os termos gerais de duas sries, exigindo-se apenas que esses termos tenham o

mesmo comportamento assinttico quando tende para infinito.

Note-se que o 2 critrio de comparao um corolrio do Teorema I.24, pelo que o utilizaremos na

forma de regra.

Regra I.26. [2 Critrio de comparao]

Pretendemos conhecer a natureza da srie de termos positivos +=1 .

Assumimos que conhecemos a natureza da srie de outra srie de termos positivos, +=1 .

Seja lim

= .

(i) Se ]0,+[ ento as duas sries iniciais so da mesma natureza, isto ,

(i.1) +=1 convergente

+=1 convergente;

(i.2) +=1 divergente

+=1 divergente.

(ii) Se = 0 ento da convergncia de +=1 deduzimos a convergncia de

+=1 , ou

seja, se +=1 convergente ento

+=1 convergente;

iv

(iii) Se = + ento da divergncia de +=1 deduzimos a divergncia de

+=1 , isto

, se +=1 divergente ento

+=1 divergente.

v

iv Se = 0 e +=1 divergente, nada podemos concluir acerca da natureza da srie

+=1 .

v Se = + e +=1 convergente, nada podemos concluir acerca da natureza da srie

+=1 .

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Cap. I Pgina 36

Exemplos I.27.

(i) A srie 32+5

2(2+1)+=1 convergente por comparao com a srie

1

2+=1 .

Note-se que esta ltima uma srie geomtrica de primeiro termo =1

2 e razo =

1

2 e,

tambm, que

= lim

32 + 52(2 + 1)

12

= lim

32 + 5

2 + 1= 3 > 0.

(ii) A srie 1

2+1

+=1 divergente por comparao com a srie

1

+=1 .

Sabemos que a srie harmnica divergente. Alm disso,

= lim

1

2 + 11

= lim

2 + 1= lim

1

1 +12

= 1 > 0.

Pelo 2 critrio de comparao ambas as sries so da mesma natureza. Logo a srie

1

2+1

+=1 tambm diverge.

(iii) A srie ln

+=1 divergente por comparao com a srie

1

+=1 .

Ento

= lim

ln 1

= lim

ln = +.

Como a srie 1

+=1 divergente e = + ento usando o 2 critrio de comparao

conclumos que a srie ln

+=1 diverge.

(iv) A srie ln

2+=1 convergente por comparao com a srie

1

+=1 .

Temos uma srie de Dirichlet com =3

2,

1

+=1 , logo convergente. Ento

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Cap. I Pgina 37

= lim

ln 2

1

= lim

ln

= 0.

Como a srie 1

+=1 convergente e = 0 ento conclumos que a srie

ln

2+=1

converge pelo 2 critrio de comparao.

De seguida enunciamos mais dois critrios que tambm usaremos como regras - para testar a

convergncia de uma srie de termos positivos, sem recorrer a outras sries como termo de

comparao.

Regra I.28. [Critrio de Cauchy ou critrio da raiz]

Seja +=1 uma srie de termos no negativos e suponhamos que = lim

.

Podemos afirmar que:

(i) Se [0,1[ ento +=1 convergente;

(ii) Se = 1+ ou ]1,+[ ou = + ento +=1 divergente.

vi

Exemplos I.29.

(i) A srie (3)

[(+2)!]+=1 convergente.

Recorrendo ao critrio de Cauchy obtemos

= lim

(3)

[( + 2)!]

= lim

3

( + 2)!= lim

[3

( + 2)

1

( + 1)!] = 0 [0,1[.

(ii) A srie (+1

)2

+=1 divergente.

Por aplicao do critrio de Cauchy, verificamos que

= lim

( + 1

)2

= lim

( + 1

)

= lim

(1 +1

)

= > 1.

vi Quando pretendemos indicar que uma sucesso tende para 1 por valores superiores a 1, escrevemos, lim = 1+.

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Cap. I Pgina 38

Regra I.30. [Critrio dAlembert ou critrio da razo]

Seja +=1 uma srie de termos positivos e suponhamos que = lim

+1

.

Podemos afirmar que:

(i) Se [0,1[ ento +=1 convergente;

(ii) Se = 1+ ou ]1,+[ ou = + ento +=1 diverge.

Note-se que o critrio de Cauchy mais geral do que o critrio dAlembert uma vez que:

Se > 0 e lim+1

= ento lim

= .

Exemplos I.31.

(i) A srie

2+=1 convergente.

Usando o critrio dAlembert obtemos

= lim

+ 12+12

= lim

2

2+1lim

+ 1

=1

2lim

+ 1

=1

2 [0,1[.

(ii) A srie !

5+=1 divergente.

Usando o critrio dAlembert, verificamos que

= lim

( + 1)!5+1

!5

= lim5

5+1

lim

( + 1)!

!=1

5lim

+ 1 = +.

(iii) A srie ln+=1 divergente.

Usando o critrio dAlembert vem

= lim

ln( + 1)

ln= lim+

ln( + 1)

ln = lim+

1 + 11

= lim+

+ 1= 1+.

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Cap. I Pgina 39

(iv) Por aplicao do critrio dAlembert, nada podemos concluir sobre a natureza da srie

1

(21)+=1 , visto que = lim

1(+1)(2+1)

1

(21)

= lim22

22+3+1= 1.

Porm, a srie convergente por comparao com 1

2+=1 . Com efeito, temos

= lim

1(2 1)

12

= lim

2

22 =1

2> 0.

Note-se que, se pretendermos aplicar os critrios de Cauchy e dAlembert srie de termos

positivos, +=1 , ento a convergncia ou divergncia dessa srie depende do valor de .

Recordamos que, em ambos os critrios, se < 1 ento a srie converge, mas se = 1+ ou > 1

ou = + ento a srie diverge.

Porm, se = 1 a srie poder ser convergente ou divergentevii. Assim, estamos perante um caso

duvidoso.

Exemplos I.32.

(i) Aplicando o critrio d Alembert srie 1

+=1 obtemos

= lim

1 + 11

= lim

+ 1= lim

(1 1

+ 1) = 1.

No entanto, esta srie divergente uma vez que se trata da srie harmnica.

(ii) Aplicando o critrio d Alembert srie 1

2+=1 obtemos

= lim

1( + 1)2

12

= lim

(

+ 1)2

= ( lim

(1 1

+ 1))

2

= 1.

No entanto, esta srie convergente pois uma srie de Dirichlet com = 2.

vii Quando pretendemos indicar que uma sucesso tende para 1 por valores inferiores a 1, escrevemos, lim = 1.

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Cap. I Pgina 40

importante salientar que podemos utilizar o estudo das sries no clculo de limites de sucesses,

dado que, pela condio necessria de convergncia, podemos afirmar que:

Se +=1 convergente ento lim =0.

Deste modo, visto que pela alnea 4.a) do exerccio I.33., sabemos que a srie

!+=1

convergente, podemos concluir que lim

!= 0.

Analogamente, constatamos que lim!

= 0, uma vez que, pelo critrio dAlembert,

= lim

( + 1)!( + 1)+1

!

= lim

( + 1)

( + 1)+1= lim

(

+ 1)

=1

< 1,

o que garante a convergncia da srie !

+=1 .

Consideremos, agora, o problema de uma srie de termos no positivos, isto , uma srie do tipo

+=1 com 0, para .

Como ()+=1 uma srie de termos no negativos, podemos determinar a sua natureza

utilizando os critrios desta seco, dado que

+

=1

= (1)()

+

=1

.

Deste modo conclumos que

(i) ()+=1 convergente para se e s se

+=1 convergente para ;

(ii) ()+=1 divergente se e s se

+=1 divergente.

Se, por outro lado, pretendemos determinar a natureza de uma srie +=1 cujos termos tm sinal

constante apenas a partir de uma certa ordem 2, podemos comear por analisar a natureza da

srie += e concluir que

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Cap. I Pgina 41

(i) += converge para se e s se

+=1 converge para = +

1=1 ;

(ii) += divergente se e s se

+=1 divergente.

Exerccios I.33.

1. Utilizando o critrio do integral determine a natureza das sries:

(a)

1+2+=1 . Resposta: convergente;

(b) 1

++=1 . Resposta: divergente.

2. Recorrendo aos critrios de comparao determine a natureza das sries:

(a) 3

7+22+=1 . Resposta: convergente por comparao com a srie

3

7+=1 ;

(b) 2

1+3+=1 . Resposta: divergente por comparao com a srie

1

+=1 ;

(c)

4++=1 . Resposta: divergente por comparao com a srie

1

+=1 ;

(d) 2

5+=1 . Resposta: convergente por comparao com a srie

1

5+=1 .

3. Seja = (1 + (1)) com > 0, para .

Mostre que, se +=1 convergente ento

+=1 convergente.

Sugesto: Utilize o 1 critrio de comparao.

4. Utilizando o critrio dAlembert ou o critrio de Cauchy determine a natureza das sries:

(a)

!+=1 , sendo > 0. Resposta: convergente, = 0 < 1;

(b) 1

(+1)2

+=1 . Resposta: Resposta: convergente, = 0 < 1;

(c)

2!+=1 . Resposta: divergente, =

2> 1;

(d)

(2+1)+2+=1 . Resposta: convergente, =

1

2< 1;

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Cap. I Pgina 42

5. Determine a natureza das sries:

(a)

(+1)(+2)+=1 . Resposta: divergente por comparao com a srie

1

+=1 ;

(b) 1

2+1+=1 . Resposta: convergente por comparao com a srie

1

2+=1 ;

(c) 1

+ 3

+=1 . Resposta: divergente por comparao com a srie

1

12

+=1 ;

(d) ln

3+=1 . Resposta: convergente por comparao com a srie

1

2+=1 ;

(e) ln

3

+=1 . Resposta: divergente por comparao com a srie

1

13

+=1 ;

(f) 1

42+=1 . Resposta: divergente por comparao com a srie

1

12

+=1 ;

(g) sin (1

)+=1 . Resposta: divergente por comparao com a srie

1

+=1 ;

(h)

5+=1 . Resposta: convergente;

(i) 5

!+=1 . Resposta: convergente;

(j) 4

5+5+=1 . Resposta: convergente;

(k) (3

2+1)4+1

+=1 . Resposta: divergente;

(l) (+1

)2

+=1 . Resposta: convergente;

(m) (1

1

2)

+=1 . Resposta: convergente;

(n) (!)

()2+=1 . Resposta: divergente.

6. Considere () definida por recorrncia atravs de 1 = 1 e +1 = (1+2

+2).

Diga, justificando, qual a natureza da srie +=1 .

7. Verifique que:

(a) A srie (1

)+=1 divergente uma vez que a srie

1

+=1 divergente;

(b) A srie (1

21)+=1 convergente e tem soma = 2 visto que

1

21+=1 = 2.

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Cap. I Pgina 43

8. Recorrendo ao estudo de sries, calcule:

(a) lim2015

2. Resposta: 0;

(b) lim(!)2

(2)!. Resposta: 0.

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Cap. I Pgina 44

I.1.6 - Sries numricas cujos termos no tm sinal constante. Sries absolutamente

convergentes e sries simplesmente convergentes. Sries alternadas e critrio de Leibniz.

Consideremos a srie

cos

3

+

=1

=cos1

3+cos2

9+cos 3

27+cos4

81+cos5

243+.

Comeamos por verificar o sinal dos primeiros termos de =cos

3.

Assim, temos

1 =cos1

3 0,18 ;

2 =cos 2

9 0.046; 3 =

cos3

27 0.037; 4 =

cos4

81 0.008 ;

5 =cos 5

243 0,001 ; 6 =

cos6

729 0.001 ; 7 =

cos7

2187 0.

Observamos que o 1 termo positivo, os 2, 3 e 4 termos so negativos, os 5, 6 e 7 so

positivos, etc.

Tendo em conta que 1 < cos < 1 para todo e que o cosseno uma funo peridica de

perodo 2 podemos afirmar que os termos da srie no tm sinal constante e, ainda, que no

possvel determinar uma ordem a partir da qual a constncia de sinal se verifique.

Vamos ento averiguar como se pode estudar a convergncia da srie.

As primeiras somas parciais valem

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Cap. I Pgina 45

1 cos 1

3 0,18

2 cos1

3+cos 2

9 0.134

3 cos 1

3+cos 2

9+cos3

27 0.097

4 cos1

3+cos2

9+cos 3

27+cos4

81 0.089

5 cos 1

3+cos2

9+cos3

27+cos 4

81+cos5

243 0.09

6 cos 1

3+cos2

9+cos3

27+cos 4

81+cos5

243+cos6

729 0.092

Reparamos que a sucesso das somas parciais, (), no montona.

Assim, difcil prever se () tem limite, por isso nada podemos dizer quanto convergncia da

srie. Contudo, se analisarmos a srie constituda pelos valores absolutos dos seus termos,

|cos|

3

+

=1

=|cos1|

3+|cos2|

9+| cos 3|

27+|cos 4|

81+|cos5|

243+

podemos concluir, por comparao com a srie 1

3+=1 , que a srie |

cos

3|+=1 convergente o

que garante como veremos no que se segue que cos

3+=1 tambm convergente e

classificamo-la como absolutamente convergente de acordo com a definio.

Definio I.34.

A srie +=1 diz-se absolutamente convergente se a srie constituda pelos valores absolutos dos

seus termos (tambm designada por srie dos mdulos), ||+=1 , convergente.

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Cap. I Pgina 46

Dado que a srie dos valores absolutos dos termos de uma srie +=1 uma srie de termos no

negativos, podemos recorrer aos critrios anteriores para verificar se +=1 absolutamente

convergente.

Exemplos I.35.

(i) A srie cos

3+=1 absolutamente convergente uma vez que

1

3+=1 convergente.

Atendendo a

|cos

3| =

|cos|

31

3.

para todo , vejamos ento que a convergncia da srie dos valores absolutos dos

seus termos, |cos

3|+=1 , consequncia da convergncia da srie geomtrica de razo

=1

3,

1

3+=1 . Utilizando o 1 critrio de comparao conclumos que a

srie |cos

3|+=1 convergente dado que

1

3+=1 convergente.

Assim, por definio, dizemos que a srie cos

3+=1 absolutamente convergente;

(ii) A srie sin

!+=1 absolutamente convergente visto que podemos garantir a

convergncia da srie dos valores absolutos dos seus termos, |sin

!|+=1 , por

comparao com a srie 1

!+=1 . Aplicando o critrio d Alembert vem

= lim

1( + 1)!1!

= lim

1

+ 1= 0 < 1,

logo a srie 1

!+=1 convergente. Alm disso, para todo , obtemos

|sin

!| =

|sin |

!1

!.

Utilizando o 1 critrio de comparao conclumos que a srie |sin

!|+=1

convergente. Por isso a srie sin

!+=1 absolutamente convergente.

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Cap. I Pgina 47

Teorema I.36.

Se +=1 absolutamente convergente ento convergente.

Demonstrao:

Seja () a sucesso associada a +=1 e () a sucesso associada a ||

+=1 , isto ,

= 1 + 2 ++ ; = |1| + |2| + + ||.

Por hiptese, +=1 absolutamente convergente, ou seja, a srie dos mdulos correspondente,

||+=1 , converge.

Assim, a sucesso () convergente. Prova-se que toda a sucesso uma sucesso de Cauchy,

isto ,

para qualquer > 0 existe uma ordem tal que > e > | | < .

Deste modo, para m>n>p, podemos garantir que

| | = |+1 + +2 ++ | |+1| + |+2| + + || | | < .

Conclumos, assim, que () convergente, bem como a srie +=1 .

O recproco do Teorema I.36. no verdadeiro, pois tal como veremos de seguida existem sries

convergentes que no so absolutamente convergentes, como, por exemplo, a srie

(1)+11

+=1 .

viii

Note-se que a correspondente srie dos mdulos, 1

+=1 , a srie harmnica.

Definio I.37.

Uma srie +=1 diz-se simplesmente convergente se

+=1 convergente e ||

+=1

divergente.

Todavia, importante salientar que no possvel encontrar uma srie numrica com termos de

sinal constante que seja simplesmente convergente, visto que estas sries ou so absolutamente

convergentes ou divergentes.

viii Designaremos as sries (1)+11

+=1 e (1)

1

+=1 por sries harmnicas alternadas.

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Exemplo I.38 (Reordenao dos termos de uma srie simplesmente convergente)

Consideremos a srie

(1)+11

+

=1

= 1 1

2+1

31

4+1

51

6+1

71

8+.

Sendo uma srie simplesmente convergente (como veremos no prximo exemplo), designamos a

sua soma por .

Vejamos o que acontece se reordenarmos os termos dessa srie da seguinte forma

1 1

21

4+1

31

61

8+1

51

101

12+

Temos

(1 1

2)

1

4+ (

1

31

6)

1

8+ (

1

51

10)

1

12

ou seja,

1

21

4+1

61

8+1

101

12+

ou seja,

1

2(1

1

21

4+1

31

61

8+1

51

101

12+ )

Deste modo, obtemos uma nova srie cuja soma vale

2.

Assim sendo, a srie inicial e a srie obtida atravs da reordenao de termos da primeira no so

iguais.

Este exemplo elucidativo dado que evidencia que no podemos alterar a ordem dos termos de uma

srie simplesmente convergente. De facto, Riemann demonstrou que possvel alterar a ordem dos

termos dessas sries de modo a obtermos a soma que quisermos.

Por outro lado, se uma srie absolutamente convergente ento qualquer reordenao dos seus

termos no afeta a convergncia nem a sua soma.

Entre as sries que podem ser absolutamente convergentes e simplesmente convergentes

distinguimos as sries alternadas.

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Definio I.39.

Sries alternadas so sries em que dois termos consecutivos tm sinal contrrio, ou seja, so sries

da forma (1)+1+=1 ou (1)

+=1 , onde 0, para .

Designadamente, ou temos uma srie cujo termos de ordem par so no positivos

(1)+1

+

=1

= 1 2 + 3 4 +

ou ento uma srie cujo termos de ordem mpar so no positivos

(1)

+

=1

= 1 + 2 3 + 4 .

Note-se que, no caso das sries alternadas, podemos afirmar que:

(1)+1+=1 absolutamente convergente se e s se

+=1 convergente.

ix

De seguida apresentamos uma condio suficiente de convergncia para sries alternadas.

Teorema I.40. [Critrio de Leibniz]

Se () uma sucesso tal que:

(i) 0, para , ou seja, no negativa;

(ii) +1 0, para , ou seja, decrescente;

(iii) lim = 0, ou seja, um infinitsimo;

ento (1)+1+=1 convergente.

Demonstrao: k

Seja (1)+1+=1 uma srie alternada.

Ento temos de demonstrar que a sua sucesso associada, (), convergente.

ix Analogamente, (1)+=1 absolutamente convergente se e s se

+=1 convergente.

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Consideremos a subsucesso (2) constituda pelas somas com um nmero par de termos,

definida por

2 = 1 2 + 3 4 ++ 21 2 .

Verificamos que

2+2 2 = 2+1 2+2 0,

dado que, por hiptese, () decrescente pelo que podemos afirmar que esta subsucesso

crescente.

Alm disso, verificamos que (2) tem termos no negativos e limitada superiormente, pois

2 = 1 2 + 3 4 + 5 22 + 21 2 =

= 1 [(2 3) 0

+ (4 5) 0

++ (22 21) 0

+ 2] 1.

Assim, podemos garantir que (2) convergente para , sendo = lim 2.

Por outro lado, a subsucesso (21) constituda pelas somas com um nmero mpar de

termos decrescente, visto que

2+1 21 = 2 + 2+1 0,

e limitada inferiormente, pois

21 = (1 2) 0

+ (3 4) 0

++ (23 22) 0

+ 21 0.

Logo (21) convergente para , sendo = lim 21.

Finalmente, calculamos

= lim2 lim

21 = lim

(2 21) = lim

2 .

Como, por hiptese, () um infinitsimo, ento lim 2 = 0, ou seja, = , o que nos

permite assegurar a convergncia da sucesso associada ().

A demonstrao do teorema I.40. permite-nos concluir que a soma, , de uma srie alternada do

tipo (1)+1+=1 no excede o primeiro termo dado que satisfaz 0 1.

Importa, ainda, salientar que o critrio de Leibniz tambm pode ser aplicado a sries do tipo

(1)+=1 , uma vez que

(1)

+

=1

= (1)(1)+1

+

=1

.

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Neste caso, constatamos que ambas as sries so da mesma natureza. Alm disso, a soma de

(1)+1+=1 se e s se a soma de (1)

+=1 . Assim, temos

0 1 1 0.

Exemplos I.41.

a) A srie (1)+1+=11

simplesmente convergente.

Em primeiro lugar, constatamos que a correspondente srie dos mdulos, 1

+=1 ,

divergente pois trata-se da srie harmnica. Aplicamos agora o critrio de Leibniz srie

alternada. Com efeito, sucesso de termo geral =1

satisfaz as propriedades:

(i) () positiva, isto , > 0 para todo ;

(ii) () estritamente decrescente pois

+1 =1

+11

=

1

(+1)< 0, para todo ;

(iii) () um infinitsimo, isto , lim1

= 0.

Assim sendo, a srie alternada (1)+1+=11

simplesmente convergente.

b) A srie (1)+1+=1+1

(+2) simplesmente convergente.

Em primeiro lugar, necessrio mostrar que a correspondente srie dos mdulos,

+1

(+2)+=1 , divergente

x.

Consideramos de seguida a sucesso de termo geral =+1

(+2). Esta satisfaz as

propriedades:

(i) () positiva, isto , > 0 para todo ;

(ii) () estritamente decrescente pois

+1 =+2

(+1)(+3)

+1

(+2)=

2+3+3

(+1)(+2)(+3)< 0, para todo ;

(iii) () um infinitsimo, isto , lim+1

(+2)= lim

1+1

+2= 0.

x Usando, por exemplo, a srie 1

+=1 como termo de comparao.

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Assim, podemos aplicar o critrio de Leibniz srie alternada e concluir que a srie

(1)+1+=1+1

(+2) simplesmente convergente.

c) A srie (1)+=21

ln() simplesmente convergente.

Em primeiro lugar, necessrio provar que a correspondente srie dos

mdulos, 1

ln()+=2 , divergente

xi.

Seja =1

ln() . Como

(i) () positiva, isto , > 0 para todo ;

(ii) () estritamente decrescente pois

+1 =1

ln(+1)

1

ln()=

ln(11

+1)

ln() ln(+1)< 0, para todo ;

(iii) () um infinitsimo, isto , lim1

ln()= 0,

ento a srie alternada (1)+=21

ln() convergente pelo critrio de Leibniz. Alm

disso, conclumos que essa srie simplesmente convergente.

Finalmente, vejamos exemplos de sries alternadas divergentes.

Exemplos I.42.

(i) A srie (1)+=1

+2 divergente.

Seja =

+2 . Uma vez que

lim = lim

+ 2= lim

1

1 +2

= 1 0

ento o lim(1) no existe. Pelo corolrio da condio necessria de convergncia

a srie alternada (1)+=1 divergente.

(ii) A srie (2)

+=1 divergente.

xi Usando, por exemplo, a srie 1

+=1 como termo de comparao.

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Seja =2

. Verificamos que lim(1)

no existe, atendendo a que

lim = lim2

= + 0. Pelo corolrio da condio necessria de convergncia a

srie alternada (1)2

+=1 divergente.

Nota I.43. [Algumas regras prticas para o estudo da natureza de sries alternadas do tipo

(1)+1+=1 , com 0]

1. Calculamos lim ;xii

(1.a) Se lim 0 ento no existe lim(1)+1 e conclumos que a srie

(1)+1+=1 divergente

xiii;

(1.b) Se lim = 0 ento nada podemos concluir e avanamos para 2;

2. Estudamos a natureza da srie +=1 (srie dos mdulos correspondente) recorrendo

(i) aos critrios de comparao, ou ao critrio do integral;

(ii) ao critrio dAlembert ou ao critrio de Cauchy.

(2.a) Se +=1 convergente ento a srie (1)

+1+=1 absolutamente convergente;

(2.b) Se, por aplicao dos critrios definidos em (i), +=1 divergente ento nada

podemos concluir e avanamos para 3.

(2.c) Se, por aplicao dos critrios definidos em (ii), ento +=1 divergente, por isso

lim 0,xiv o que implica que no existe lim(1)

+1 e, assim, conclumos que a srie

(1)+1+=1 divergente

xv.

3. Estudamos a natureza (1)+1+=1 , recorrendo ao critrio de Leibniz.

Se +1, para , e, ainda, lim = 0 ento podemos concluir que a srie

alternada (1)+1+=1 simplesmente convergente.

xii Se no fcil calcular lim , avanamos para 2. xiii Pelo corolrio da condio necessria de convergncia. xiv Dado que:

a) pelo critrio de Cauchy, se lim = > 1 (ou = 1+) ento existe uma ordem a partir da qual

se verifica que > 1, o que garante que lim 0;

b) pelo critrio dAlembert, se lim+1

= > 1 (ou = 1+) ento existe uma ordem a partir da qual

a sucesso (de termos positivos) () crescente o que nos permite afirmar que lim 0. xv Pelo corolrio da condio necessria de convergncia.

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Cap. I Pgina 54

Exerccios I.44.

1. Escreva duas sries geomtricas que sejam sries alternadas, uma absolutamente

convergente e outra divergente.

2. Verifique que, embora no seja possvel aplicar o critrio de Leibniz nestes dois casos, as

sries seguintes so absolutamente convergentes:

(a) cos(2+1)

5+=1 ;

(b) (1)+1| sin |

2+=1 .

3. Determine a natureza das sries alternadas:

(a) (1)+1+=11

!. Resposta: Absolutamente convergente;

(b) (1)+1+=12

2+1. Resposta: Simplesmente convergente;

(c) . (1)+1+=13

. Resposta: Absolutamente convergente;

(d) (1)

[()]+=2 . Resposta: Absolutamente convergente;

(e) (1)+1+=1+2

Resposta: Divergente;

(f) (1)

22+=1 . Resposta: Absolutamente convergente;

(g) (1) cos (

) .+=1 Resposta: Divergente;

(h) (1)+1

ln +=2 . Resposta: Simplesmente convergente;

(i) (1)+1 ln (1 +1

)+=2 . Resposta: simplesmente convergente;

(j) (1)+1

ln +=2 . Resposta: simplesmente convergente;

(k) (1) ln

!+=1 . Resposta: absolutamente convergente;

(l) (1)1 (1 3

)2

+=3 . Resposta: absolutamente convergente.

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4. Sendo > 0 um parmetro real, determine a natureza das sries alternadas do tipo

(1)

+=1 .

5. Recorrendo ao 1 critrio de comparao, demonstre que: Se +=1 com > 0

convergente ento (1)+=1 convergente.

Sugesto: Utilize = (1 + (1)), para .