Superfície Livre de Escoamentos Turbulentos em Canais ......RBRH – Revista Brasileira de Recursos...

RBRH – Revista Brasileira de Recursos Hídricos Volume 17 n.4 - Out/Dez 2012, 125-139

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Superfície Livre de Escoamentos Turbulentos em Canais: Vertedores em Degraus e Ressalto Hidráulico

André Luiz Andrade Simões, Rodrigo de Melo Porto

Departamento de Engenharia Hidráulica e Saneamento — EESC/USP

[email protected], [email protected]

Harry Edmar Schulz

Departamento de Engenharia Hidráulica e Saneamento — EESC/USP

Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos — EESC/USP

[email protected]

Recebido: 28/07/11 - revisado: 19/10/11 - aceito: 22/05/12

RESUMO

Neste trabalho são apresentados resultados de estudos experimentais sobre o comportamento da superfície livre de es-

coamentos em um canal em degraus e de um ressalto hidráulico. A metodologia proposta envolve a aquisição de dados da

posição instantânea da interface ar-água com alta frequência por meio de ultrassom. Com tal proposta foi possível avaliar

perfis médios da superfície livre, grandezas características contidas em tais perfis (posição de início da aeração, profundidade

no início da aeração, comprimento de transição, entre outras) e quantidades que caracterizam a turbulência junto à superfí-

cie livre (intensidade turbulenta e número de Strouhal). O método empregado forneceu excelentes resultados para os escoa-

mentos monofásicos e bifásicos. Foi possível estabelecer relações entre variáveis como posições de início da aeração, profundi-

dades que compõem o perfil médio, inclusive profundidades médias máximas e profundidades máximas. Os resultados refe-

rentes à turbulência revelaram regiões de crescimento e de decaimento da turbulência, tendo sido obtidas relações que permiti-

ram avaliar uma das constantes do modelo de turbulência k-em sendo válida a aplicação deste modelo para a interface.

Palavras-chave: Ressalto hidráulico. Turbulência. Vertedor em degraus.

INTRODUÇÃO

O interesse científico sobre os comporta-mentos das variáveis de campo que caracterizam escoamentos em canais em degraus e os atrativos econômicos vinculados ao uso de tais estruturas como parte de sistemas extravasores de barragens têm motivado a realização de pesquisas sobre o tema há décadas em diferentes instituições nacionais e internacionais. No Brasil, até 2008, foram desenvol-vidos pelo menos dez trabalhos acadêmicos sobre canais e vertedores em degraus, como pode ser visto em Simões (2008, p.7) e atualmente há duas teses sendo elaboradas na Escola de Engenharia de São Carlos. Os trabalhos em desenvolvimento abordam a simulação numérica de escoamentos em vertedores em degraus com o uso de códigos livres e o estudo experimental, numérico e teórico de tais escoamen-tos. Nos textos produzidos a partir de estudos expe-rimentais, alguns autores destacaram que há grande dificuldade em medir a posição da linha da água

sobre os degraus, sobretudo após o início da aeração (TOZZI, 1992, p.82; POVH, 2000, p.89; SANAGI-OTTO, 2003, p.63). O mesmo ocorre com o ressalto hidráulico, sobretudo na posição do rolo.

Este trabalho teve como objetivo estudar o comportamento da superfície livre de escoamentos em um canal em degraus com relação 1V:1H entre as faces verticais e horizontais e degraus com s=0,05 m, em que s=altura do espelho do degrau; e de um ressalto hidráulico estabelecido em um canal retan-gular e horizontal com o uso de medidores de dis-tância ultrassônicos. Entre os objetivos específicos relacionados, pode-se destacar: (a) estudo sobre a superfície livre em termos médios e flutuações; (b) estudo sobre a posição de início da aeração e pro-fundidade em tal posição; (c) estudo sobre a forma do perfil médio da superfície livre do escoamento monofásico e do escoamento bifásico que ocorre no canal em degraus; (d) identificação de profundida-des características que compõem o perfil médio; (e) estudo acerca da turbulência junto à superfície livre

Superfície livre de Escoamentos Turbulentos em Canais: Vertedores em Degraus e Ressalto Hidráulico

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(objetivos específicos para ambos os casos: canal em degraus e ressalto hidráulico).

CANAL EM DEGRAUS

Descrição geral e metodologia

Os resultados experimentais apresentados

neste item do trabalho foram obtidos no Laborató-rio de Hidráulica Ambiental da Escola de Engenha-ria de São Carlos (Universidade de São Paulo). Os experimentos foram realizados em um canal com as seguintes características: (1) Largura B = 0,20 m; (2) Comprimento igual a 5,0 m, tendo sido utilizados 3,5 m para as medidas feitas com o sensor ultrassô-nico; (3) Ângulo do pseudo fundo em relação à

horizontal: = tg-1(s/l) = 45o; (4) Dimensões dos

degraus: s = l = 0,05 m (s = altura do espelho do degrau e l = comprimento do patamar do degrau); (5) Entrada pressurizada, controlada por uma com-porta (Fig. 1). A medição de vazão foi realizada com um vertedor retangular de parede delgada situado no canal de restituição e um medidor de vazão ele-tromagnético.

A posição da superfície livre foi medida com o uso de sensores ultrassônicos. A utilização de sen-sores deste tipo foi realizada por Lueker et al.

(2008), um estudo no qual um dos objetivos foi medir a posição da superfície livre do escoamento em um modelo físico do vertedor auxiliar da Barra-gem Folsom, que possui um trecho em degraus, no Laboratório St. Anthony Falls da Universidade de Minnesota. Um trabalho adicional que empregou sondas acústicas foi o de Murzyn e Chanson (2009), para a medição da posição da superfície livre de ressaltos hidráulicos. Os autores citados, aos quais se pode adicionar Chanson, Aoki e Maruyama (2002) e Kucukali e Chanson (2008) mencionam possíveis diferentes profundidades medidas com as sondas, e que mais pesquisas são necessárias para generalizar o seu uso. O presente estudo adota uma metodolo-gia para o uso prático das sondas na obtenção da profundidade média do escoamento. O valor obtido foi conferido com a visualização lateral, efetuada pela parede de vidro.

Os sensores ultrassônicos utilizados no pre-sente estudo emitem ondas com frequência de 50 kHz a partir de um emissor/receptor com diâmetro igual a 3,7 cm. As ondas emitidas formam um tronco de cone com ângulo de abertura que pode variar de 15o a 20o, de acordo com o fabricante. Testes reali-zados neste trabalho mostraram que os ângulos

podem ser menores, próximos de 7o. O sensor mede o tempo entre a emissão da onda ultrassônica e a detecção de sua parte refletida pelo obstáculo, for-necendo a distância correspondente, determinada com a velocidade do som no ar igual a 343 m/s. Uma vez conhecidas as posições do obstáculo em função do tempo, são obtidas também as suas velo-cidades, denotadas aqui por W (derivada temporal da posição). A resolução do equipamento é igual a 1 mm e o emissor também é o receptor, o que limita a taxa de amostragem a 50 Hz porque o sensor precisa alternar entre as funções de emissão e recepção dos sinais. Para calcular a altura de escoamento, inicial-mente era medida a distância desde o emissor até a superfície de uma placa plana de acrílico apoiada sobre o pseudo fundo. Com a espessura da placa e as distâncias fornecidas pelo sensor para a posição da superfície livre, pôde-se determinar a distância desde o pseudo fundo até a interface. Esta placa servia também como um alvo, possibilitando o posi-cionamento do emissor/receptor em B/2 (Fig.1) com o auxílio de um laser. As distâncias até o alvo (placa de acrílico) foram verificadas empregando-se um medidor de distâncias a laser e réguas. O uso de um inclinômetro digital auxiliou na verificação do paralelismo entre o plano formado pelo sensor e o pseudo fundo. Como procedimento experimental, um dos sensores acústicos era posicionado sobre um suporte capaz de se deslocar ao longo do canal, como pode ser visto na Figura 1, que também ilustra o aparato experimental. A posição x=0 está situada 15,7 cm a jusante da comporta. Esta coordenada foi escolhida como a posição corresponde à primeira posição a partir da qual a parede situada no início do canal não provocava interferências no sensor. Para a maior parte dos experimentos, no trecho inicial, onde ocorre o escoamento monofásico, eram realizadas medições a cada 5 cm e, a partir da posi-ção 60 cm, foram adotados espaçamentos de 10 cm. Estas distâncias decorrem da forma observada da superfície da água, com variações mais pronuncia-das na parte inicial e foram consideradas adequadas para os propósitos deste trabalho após testes preli-minares. Para cada posição longitudinal foram reali-zadas medições com tempo e taxa de amostragem iguais a 120 s e 50 Hz, que correspondem à melhor combinação nas atuais condições experimentais e também atende ao critério sugerido por Lopardo (1986), citado em Trierweiler (2006) de utilizar 60 s para medidas feitas com 50 Hz. Os valores aqui utili-zados resultam em 6000 amostras para cada uma das posições longitudinais e 246000 medidas ao longo dos 3,5 m do canal. Considerando os 18 experimen-tos, foram realizadas 4428000 medidas. O segundo


127

sensor teve como utilidade medir a posição da su-perfície livre a montante do vertedor de parede delgada com o intuito de calcular a carga hidráulica média e, em seguida, a vazão. As vazões e demais condições experimentais relacionadas a cada um dos experimentos encontram-se na Tabela 1.

Figura 1 - Desenho esquemático do canal em degraus e da

instrumentação utilizada nos experimentos

Tabela 1 — Dada gerais sobre os experimentos

No Experimento Q

Perfil q hc s/hc h(0)

[m3/s] [m2/s] [m] [-] [m]

1 Exp. 2 0.0505 S2 0.252 0.187 0.268 0.103

2 Exp. 3 0.0458 S2 0.229 0.175 0.286 0.101

3 Exp. 4 0.0725 S2 0.362 0.238 0.211 0.106

4 Exp. 5 0.0477 S2 0.239 0.180 0.278 0.087

5 Exp. 6 0.0833 S3 0.416 0.261 0.192 0.092

6 Exp. 7 0.0504 S2 0.252 0.187 0.268 0.089

7 Exp. 8 0.0073 S2 0.0366 0.051 0.971 0.027

8 Exp. 9 0.0074 S2 0.0368 0.052 0.967 0.024

9 Exp. 10 0.0319 S2 0.159 0.137 0.364 0.058

10 Exp. 11 0.0501 S3 0.250 0.186 0.269 0.06

11 Exp. 14 0.0608 S2 0.304 0.211 0.237 0.089

12 Exp. 15 0.0561 S2 0.280 0.200 0.250 0.087

13 Exp. 16 0.0265 S2 0.133 0.122 0.411 0.046

14 Exp. 17 0.0487 S2 0.244 0.182 0.274 0.072

15 Exp. 18 0.0431 S2 0.216 0.168 0.298 0.074

16 Exp. 19 0.0274 S2 0.137 0.124 0.402 0.041

17 Exp. 20 0.0360 S2 0.180 0.149 0.336 0.068

18 Exp. 21 0.0397 S2 0.198 0.159 0.315 0.071

Simbologia: Q = vazão obtida com o vertedor; q = Q/B; hc =

profundidade crítica; h(0) profundidade do escoamento em x =

0. S2 e S3 correspondem às formas dos perfis médios da superfície

livre (ver Chow, 1959, p.226).

Figura 2 — Estrutura da superfície livre: (a,b) Imagens

obtidas em experimentos desta pesquisa; (c) ilustração do

cone formado pelo ultrassom e spray detectado pelo sen-

sor (Fonte: Simões, 2011).

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.52.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

Fr(0)

max

(errh

) [%

]

(a)

0

0,2

0,4

0,6

0 5 10 15

[-

]

H [-]

Perfil experimental

Exp. 18: q = 0,216 m2/s, h(0) = 7,4 cm

Perfil S2hA/hc

h2/hc h3/hc

(b)

Figura 3 — (a) Erros relativos máximos correspondentes

aos dezoito experimentos, em que: errh = 100||h(1) —

h(2)||/h(2), h(i) = valor médio obtido com o sensor acústico, i

= 1 (amostra original), i = 2 (amostra sem valores discre-

pantes) e Fr(0) = q/(gh(0)3)1/2; (b) Perfil médio experi-

mental correspondente ao Exp.18, expresso com os adi-

mensionais =h/hc e H=z/hc. (em que z=xsen).

A determinação da posição da superfície li-vre é complexa devido a sua estrutura altamente irregular, sobretudo a jusante do ponto de início da aeração. Um dos problemas relacionados ao uso do sensor acústico é a detecção de gotas e volumes de


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líquido ejetados da superfície, como ilustrado na Figura 2. A Fig. 2a corresponde aproximadamente àquilo que é captado pela visão humana, sem artifí-cios óticos. Trata-se de uma imagem obtida sem o uso de flash e com tempo de exposição igual a 1/4 s.

Como resultado, obtém-se uma fotografia que é composta pela sobreposição das imagens capturadas neste intervalo. A Fig. 2b corresponde a uma ima-gem instantânea da superfície livre, obtida com tempo de exposição igual a 1/40 s e com o uso de flash. A Fig. 2c ilustra esquematicamente a detecção

do líquido sobre a superfície livre. Constatou-se que a detecção de gotas e volumes ejetados influencia pouco as medidas dos perfis médios, como apresen-tado na Figura 3a, que contém os erros relativos calculados utilizando as profundidades médias das amostras originais e das amostras corrigidas. A com-paração foi realizada seguindo um critério adequa-do de rejeição de dados, no qual as correções foram efetuadas aplicando-se uma vez o critério padrão adotado em diagramas de caixa ou box plots, como descrito em Simões et al. (2010b). Menciona-se tam-

bém que o percentual máximo de amostras rejeita-das foi igual a 8,3%, para o Exp. 5. A Figura 3b con-tém um exemplo de perfil médio da superfície na passagem do escoamento monofásico para bifásico, obtido experimentalmente. Como pode ser visto, há inicialmente a formação de um perfil S2, conforme terminologia clássica empregada por Chow (1959, p.226) e Henderson (1966), entre outros, cujo tér-mino coincide com a posição de início da aeração superficial. Em seguida, as profundidades médias compõem uma forma ondulada do escoamento bifásico. De acordo com Matos (2000), observações visuais através das paredes laterais e cálculos realiza-dos com h90 também indicam a ocorrência de um perfil ondulado (h90=profundidade para fração de vazios igual a 90%). Estudo Experimental: Resultados

Posição de início da aeração

A posição de início da aeração foi definida

com base no ponto de mínimo que caracteriza a extremidade final do perfil S2. Mesmo em experi-mentos que apresentaram certo grau de dispersão, buscou-se este mínimo, ainda que, neste caso, haja certo grau de aproximação. A primeira relação in-vestigada envolve as variáveis LA/k e Fr

*

(Fr*=q/(gk3sen)1/2) e o uso de uma função do tipo

potência. A variável LA é definida na Figura 4a, assim como as demais empregadas neste item. Percebe-se, na mencionada figura, que LA é a distância entre a

seção de início de aeração e a seção em x=0. Resul-tados experimentais de Boes (2000), Chanson (2000), Boes e Hager (2003) e Sanagiotto (2003), por exemplo, mostram que a relação entre a posição de início da aeração e Fr

* é bem representada por meio de uma potência. Esta tendência também foi observada neste trabalho para LA/k e Fr

*, represen-tada pela equação 1, que possui coeficiente de cor-relação igual a 0,91. Constatou-se também uma boa correlação entre LA/k e h(0)/k e Re(0) (número de Reynolds em termos do diâmetro hidráulico, em x=0), equação 2, com coeficiente de correlação igual a 0,98, como pode ser visto na Fig.4b.

06,1*r

A F61,1k

L , (1)

.)Re(,

...k

)(h,F,

k

L

,

,,*

rA

03790

5920336

04549

0223497699

(2)

As faixas de validade experimental para as

equações 1 e 2 são: 2,09 Fr* 20,70, 0,69 h(0)/k

2,99 e 1,15.105 Re(0) 7,04.105.

Em termos de sentido físico, a equação 1 mostra que o comprimento que coincide com o perfil S2 nos presentes experimentos aumenta em aumentando a velocidade desse escoamento (mantendo a abertura da comporta e aumentando a vazão, o comprimento aumenta, mostrando coerência entre a equação 1 e a observação). Por outro lado, a equação 2 mostra tendência aparentemente contrária, o que não é esperado fisicamente. Mas, nesse caso, o parâmetro geométrico h(0) é estabelecido como conseqüência da vazão e da abertura impostas. A facilidade de sua medida sugere o seu uso, sendo a sua conveniência demonstrada pela alta correlação obtida. Mas trata-se de uma grandeza “secundária”, ou seja, que depende de outras grandezas de controle, como vazão e abertura da comporta. Esta variável adequa-se às situações de vertedores controlados por comportas. O primeiro ajuste apresentado, equação 1, pode ser reescrito com os adimensionais zi/s e F

(zi = LAsen), sendo F o número de Froude utilizado

por Boes e Hager (2003) na forma F =

q/(gs3sen)1/2. Verifica-se facilmente que Fr* =

F/(cos3)1/2. O coeficiente de correlação para estes

adimensionais é o mesmo obtido para os adimensionais encontrados na equação 1. A equação seguindo uma “lei de potência” resultante,


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válida para as mesmas condições das aproximações precedentes, é:

06,1i F397,1s

z . (3)

(a)

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40

LA/k

-E

xper

imen

tal

LA/k - Calculado

Eq. 1Eq. 2Ajuste perfeito

(b)

Figure 4 - Definições das variáveis relacionadas ao início

da aeração (a) e comparação entre dados medidos

e calculados com as equações 1 e 2 (b).

Uma equação similar, proposta por Boes (2000), e expressa como zi’/s = 4,69F0,84, possui coe-ficientes diferentes da equação 3 por envolver uma dimensão diferente (zi’). O mesmo ocorre com a equação apresentada por Boes e Hager (2003), zi’/s = 5,9F0,8. Para comparar os resultados experimentais com as previsões dessas equações empíricas, a equa-ção 3 foi modificada substituindo zi por zi’ (ver Figu-ra 4a). Para tanto, utilizou-se a equação da energia escrita entre a seção com escoamento crítico (Seção 1, representada pelo subscrito “c”) e a seção inicial dos experimentos (Seção 2, em x = 0, representada por (0)). A forma empregada neste trabalho inclui o uso da equação de Darcy-Weisbach com valores

médios para o raio hidráulico e velocidade, assim como realizado por Boes (2000). A equação resul-tante é similar à proposta por Boes (2000, p.126), exceto em relação ao uso do coeficiente de Coriolis, assumido como unitário neste trabalho.

B

))0(hhB(

sen16))0(hh(

)h)0(h(hf1

h2

3

)0(h2

hcos)0(h

))0(zz(c

2c

c3c

c2

3c

c

. (4)

Nota-se que o cálculo de zi’ requer o conhe-

cimento do fator de resistência, f. Os valores utiliza-dos para este adimensional são aqueles calculados com base na solução analítica da curva S2, apresen-tada por Simões et al. (2010a). Como resultado desta

metodologia, a equação obtida possui coeficiente de correlação 0,98 e tem a seguinte forma:

837,0'i F19,3

s

z , (5)

em que zi’=zi+zc-z(0). A equação 5 é válida para os mesmos intervalos precedentes.

Conclui-se que a equação 5 fornece valores menores em relação aos calculados com a equação de Boes (2000, p.126) e a equação de Boes e Hager (2003). Duas possíveis razões podem ser destacadas para justificar tais diferenças: (1) O método empre-gado para o cálculo do fator de resistência e (2) a definição do início da aeração. Esses autores defini-ram a posição de início da aeração como aquela onde há 1% de ar no pseudo-fundo. A definição empregada neste trabalho corresponde à posição final do perfil S2. Utilizando a equação de Boes e Hager (2003) é possível relacionar essas duas posi-ções por meio da equação 6. O início da aeração com 1% de ar junto ao fundo ocorre em uma posi-ção aproximadamente igual a 1,85 vezes a posição final do perfil S2.

037,0S

'i

%1'i

F

85,1

)z

)z

2

, · (6)

em que zi’)1% é aqui definido como a distância usada na equação de Boes e Hager (2003) e zi’)S2 é a dis-tância usada na equação 5. Note-se que a diferença evidenciada pela equação 6 é coerente com a expe-rimentação, uma vez que a aeração do fundo ocorre


130

a jusante do ponto de início de aeração superficial, que corresponde ao final do perfil S2. Profundidades no início da aeração

Assim como no caso anterior, o uso de po-

tências foi adequado para representação da profun-didade do escoamento no início da aeração, defini-da como a profundidade na posição final do perfil S2. As equações 7 e 8 representam os ajustes obtidos, com coeficientes de correlação iguais a 0,97 e 0,98, respectivamente. A Figura 5 mostra que há excelen-te concordância entre os dados obtidos com ultras-som e os dados de diferentes autores. As observações anteriormente feitas, concernentes à dependência física para com as variáveis envolvidas, bem como à possibilidade de uso de h(0) em vertedores com comportas, também se aplicam para as equações 7 e 8.

609,0*r

A F363,0k

h , (7)

.)Re(,

...k

)(h,F,

k

h

,

,,*

rA

3220

5670986

05619

028517910

(8)

As faixas de validade experimental para as

equações 1 e 2 são: 2,09 Fr* 20,70, 0,69 h(0)/k

2,99 e 1,15.105 Re(0) 7,04.105.

0,1

1

10

1 10 100

h A/k

Fr*

Matos (1999)

Chanson (2002)

Sanagiotto (2003)

Arantes (2007); k = 2 cm



Dados experimentais deste trabalho

Figura 5 — Profundidade na posição de início da aeração

definida com base no final do perfil S2: comparação com

dados experimentais e numéricos de diferentes pesquisa-

dores.

Transição ao escoamento bifásico

Os experimentos revelaram que os valores

médios de profundidades formam um perfil da su-perfície livre com uma região decrescente (S2) se-guida de uma zona com profundidades crescentes até um máximo a partir do qual há uma forma on-dulada, como ilustrado nas Figuras 3b e 6a. O valor máximo imediatamente após o final da segunda região é denotado com h2. O comprimento de tran-sição, por sua vez, é representado por L e corres-ponde ao comprimento entre hA e h2, paralelo ao pseudo fundo. Buscou-se inicialmente a correlação entre hA/k e h2/k. O uso de uma potência, indicada na equação 9, conduziu a um ajuste marcante, como pode ser visto na Figura 6b. A equação 9 produziu um coeficiente de correlação de 0,99. Schulz e Si-mões (2011) e Simões et al. (2011a) apresentaram

modelos físico-matemáticos que relacionam o com-primento de transição com adimensionais que ca-racterizam o escoamento (Froude, h2/k). Adicio-nalmente, Schulz, Lobosco e Simões (2011) utiliza-ram parte desses modelos na previsão teórica da forma da superfície livre do escoamento aerado.

(a)

0,5

5

0,1 1 10

h 2/k

hA/k (b)

Figura 6 — (a) Definição da profundidade h2 e do compri-

mento de transição L; (b) Relação entre hA/k e h2/k


131

87902 4081 ,A k/h,

k

h . (9)

1

10

100

1 10

z L/s

F

Valores calculadosDados experimentaisEq. de Boes e Hager (2003)

Figura 7 — Posição de início da aeração zL/s

em função de F.

O comprimento de transição entre a última

seção do perfil S2 e a primeira seção do escoamento bifásico foi aqui caracterizado a partir das medidas com ultrassom e de uma hipótese para o escoamen-to bifásico. Esta variável (comprimento de transição) é relevante porque caracteriza uma região ainda desprotegida em função da ausência de ar junto ao fundo. Tal afirmação constitui uma hipótese fun-damentada em observações visuais e na evidência física de que o ar que é incorporado através da su-perfície transita horizontalmente uma distância (comprimento de transição) antes de chegar ao fundo do canal. A hipótese aqui utilizada é de que a expansão da profundidade que caracteriza a evolu-ção do escoamento bifásico começa no ponto de início de aeração superficial (ponto mínimo da curva S2, anteriormente mencionado) e termina no primeiro ponto de profundidade máxima, h2, do escoamento bifásico (a expansão máxima é conside-rada ocorrer quando a bolha de ar que atravessou a superfície atinge o fundo do canal). Esse término da transição evidentemente precisa ser verificado por meio de medições de frações volumétricas de ar junto ao fundo. Note-se que a expansão máxima, considerando uma frente de fração de vazios uni-forme, de fato ocorre quando esta frente atinge o fundo. Apesar da necessidade de medidas da fração de vazios, é apresentada uma análise para a quantifi-cação do comprimento de transição aqui medido. Foram adicionados comprimentos de transição aos valores de zi’ correspondentes, permitindo definir novas posições de início da aeração. Os parâmetros

adimensionais obtidos foram (zi’+Lsen)/s = zL/s e F, que levaram à equação 10, com coeficiente de correlação igual a 0,95. A Figura 7 ilustra o compor-

tamento desse ajuste em relação aos dados experi-mentais e a equação de Boes e Hager (2003).

81,0L F4,6s

z . (10)

As equações de Boes (2000) e Boes e Hager

(2003) permitem relacionar zL/s com a posição da fração de vazios de 1% no fundo do canal. Os resul-tados obtidos são:

03,0

L

%1'i F73,0z

)z , zi’)1%: Boes (2000), (11)

01,0L

%1'i

F

92,0

z

)z , zi’)1%: Boes e Hager (2003). (12)

As equações 6, 11 e 12 mostram que, consi-

derando o início da aeração superficial e o início da aeração do fundo (1% de fração de vazios no fun-do), as formas de análise aqui seguidas são coerentes com o resultados anteriores da literatura Como ilustrado na Figura 7, as semelhanças em relação à equação de Boes e Hager (2003) mostram que zL avalia aproximadamente a posição onde há 1% de ar junto ao fundo. Os dados também foram utiliza-dos para relacionar LA

*/k com Fr*, sendo

LA*=zi’/sen. O resultado obtido foi a equação 13

(com coeficiente de correlação 0,95), cujo compor-tamento é ilustrado na Figura 8 em comparação aos dados de outros pesquisadores. De forma geral, nota-se uma boa concordância da equação 13 com a maior parte dos resultados dos pesquisadores cita-dos na legenda da figura, em especial com os resul-tados de Povh (2000), correspondentes ao compri-mento L4/k (diferentes Li correspondem a diferen-tes definições para a posição de início da aeração, segundo o estudo experimental de Povh, 2000), Chanson (2002) e Sanagiotto (2003), embora estes correspondam a 1V:0,75H.

Figura 8 — Nova posição de início da aeração: comparação

com dados de diferentes autores.


132

81,0*A F4,8k

L . (13)

Profundidades máximas

Neste item são apresentados valores para as

profundidades máximas adimensionalizadas em

relação à profundidade crítica (max()) e suas rela-

ções com outras variáveis dos escoamentos estuda-dos no canal em degraus. Inicialmente apresentam-

se as relações obtidas entre max() e hA/hc, h2/hc e

h3/hc (em que: h3 = profundidade do primeiro vale da onda, após h2). As equações 14 a 16 apresentam tais relações, lineares em todos os casos. Os valores máximos foram obtidos a partir dos perfis médios.

0454,0h

h27,1)max(

c

A , (14)

0202,0h

h09,1)max(

c

2 , (15)

111,0h

h48,1)max(

c

3 . (16)

Os coeficientes de correlação são 0,84, 0,96

e 0,92, respectivamente, devendo ser observados os seguintes intervalos de validade: 0,31<hA/hc<0,47, 0,41<h2/hc<0,60, 0,36<h3/hc<0,49.

Considerando o número de Reynolds na posição inicial, Re(0), e o adimensional s/hc, as

equações 17 e 18 foram obtidas para max(), com

coeficientes de correlação 0,87 e 0,85, respectiva-mente.

651,0)0Re(103)max( 7 , (17)

421,0)h/s(215,0)max( c . (18)

As faixas de validade para essas equações

são: 1,1.105<Re(0)<7,0.105 e 0,21<s/hc<0,97. Com o intuito de localizar os valores máxi-

mos ao longo do escoamento, foram calculadas as

relações entre max() e H e max() e H-zi/hc (dis-tância entre a posição de início da aeração superfi-cial e a posição correspondente ao valor máximo). As equações 19 e 20 correspondem a esses ajustes e possuem coeficientes de correlação de 0,86 e 0,83 respectivamente. A equação 20 é especialmente útil porque fornece a localização da profundidade má-xima a partir do ponto de início da aeração. Assu-

mindo que esses resultados são aplicáveis a estrutu-ras sem comportas é possível calcular a profundida-de máxima após o início da aeração com a equação 20.

407,0H0084,0)max( , (19)

445000740 ,)h/zH(,)max( ci . (20)

As faixas de validade para essas equações

são: 7,36<H<27,35 e 3,35<(H-zi/hc)<24,62. As relações apresentadas até aqui foram es-

tabelecidas com as “profundidades médias máximas” dos perfis médios da superfície livre, a jusante do ponto de início da aeração. Devido às oscilações da superfície livre em torno dos valores médios, estes evidentemente não são os máximos instantâneos medidos. Uma vez que os valores médios são obtidos dos valores instantâneos, foi possível analisar com-parativamente esses valores e estabelecer uma rela-ção linear entre os valores máximos obtidos com

perfis médios, max(), e os máximos medidos, de-

notados por max(*). A equação que relaciona essas

quantidades é apresentada a seguir, com coeficiente de correlação de 0,98.

275,0)max(0,2*)max( . (21)

A equação 21 é válida para

0,42<max()<0,64, e mostra que a profundidade

máxima pode ser aproximadamente igual a hc. Para

o intervalo de validade de max() observa-se que a máxima altura medida varia entre 0,565hc e l,01hc, o que indica que a ordem de grandeza de hc é seguida para a ejeção de gotas. Essa constatação é de impor-tância prática, sendo útil para o dimensionamento das alturas dos muros laterais. O dimensionamento realizado a partir de profundidades equivalentes de água e frações de vazios médias depende do fator de resistência adotado, como pode ser visto em Simões et al. (2010), Simões et al. (2011b). A metodologia

desenvolvida neste trabalho proporciona mais uma alternativa para avaliar a altura dos muros laterais,

válida para vertedores em degraus com = 45o e os

demais intervalos citados anteriormente. Intensidade turbulenta, energia cinética turbulenta

e análise espectral

Este item é dedicado à análise dos sinais

h=h(x,t) e obtenção de informações sobre a turbu-lência na superfície livre. Os cálculos foram realiza-dos a partir das amostras com velocidades verticais


133

W, sem rejeição de amostras. Os valores de W são aqueles fornecidos pelo sensor, como descrito ante-riormente. A intensidade turbulenta é definida de acordo com Hinze (1975, p.4) e Brodkey (1967, p.269) e a intensidade relativa foi calculada com Vc = (ghc)

1/2:

cV/'wir e w'w 2 , (22)

em que w’ é a intensidade das flutuações turbulen-

tas, WWw .

A intensidade turbulenta definida pela e-

quação 22 é considerada, neste trabalho, igual à componente vertical da intensidade turbulenta na superfície livre. Além da intensidade turbulenta, foram calculados valores para a energia cinética turbulenta a partir das informações experimentais disponíveis. A energia cinética turbulenta por uni-dade de massa, ke, é definida como a metade do

traço do tensor de Reynolds, i.e., 2/uuk iie (em

que u = flutuação e está-se usando a convenção da soma de Einstein).

Se a turbulência for isotrópica o tensor de Reynolds possui componentes diferentes de zero apenas na diagonal principal. O elipsóide, para tur-bulência isotrópica, é reduzido a uma esfera dei-xando de existir variações quando são realizadas rotações do sistema de coordenadas e reflexões com respeito aos planos coordenados. Deste modo, as componentes da diagonal principal passam a ser iguais e a energia cinética turbulenta assume a se-guinte forma (escrita em termos de w ou w’):

22e 'w

2

3w

2

3k . (23)

No presente estudo sabe-se que a turbulên-

cia não é isotrópica, ou seja, as evoluções horizontais das gotas não são iguais às evoluções verticais. Entre-tanto, mantém-se a forma da equação 23 por ser proporcional à energia cinética vertical. A Figura 9 contém a distribuição das intensidades turbulentas (dimensional e adimensional) para todos os expe-rimentos com perfis S2. Pôde-se concluir que o comportamento da intensidade turbulenta consiste em um trecho crescente para H<10, aproximada-mente, e uma região com valores decrescentes para H>10. A intensidade relativa condensou as informa-ções de forma interessante e apresenta o mesmo comportamento, evidenciando um crescimento relativamente pouco íngreme para H>25. Em H=10

ocorre a máxima intensidade turbulenta e é iniciado o decaimento desta quantidade estatística. Tal deca-imento termina em H=25, como pode ser visto na Figura 9b.

(a)

(b)

Figura 9 — Intensidades turbulentas para todos os experi-

mentos com perfis S2: (a) Intensidade em função da posi-

ção adimensionalizada H = z/hc; (b) intensidade relativa

em função da posição H.

0

0,3

0,6

0,5 1 1,5 2

max

(w')

[m/s

]

Vc [m/s]

Dados experimentais

Valores calculados

Figura 10 — Valores máximos para a intensidade

turbulenta

Cada experimento, inclusive aqueles com

perfis S3, possui um valor máximo para a intensida-de turbulenta. Esses valores apresentaram boa corre-lação com as velocidades críticas correspondentes. A equação empírica 24 relaciona max(w’) com Vc , apresentando um coeficiente de correlação entre


134

dados medidos e calculados de 0,90. A Figura 10 ilustra a distribuição dos pontos em torno da curva representada pela equação 24. Estão atrelados a esta equação os seguintes limites: 0,157<w’<0,493 e 0,71<Vc<1,60.

41,1cV255,0)'wmax( . (24)

0

0,2

0,4

0 9 18 27

w'/V

c[-

]

z/zi [-] (a)

0

0,2

0,4

0 2 4 6

w'/V

c[-

]

z/zi [-]

mon

ofás

ico

bifá

sico

(b)

0

0,05

0,1

0,15

0 9 18 27

k e/e

c

z/zi [-] (c)

0,00

0,05

0,10

0,15

0 2 4 6

k e/e

c

z/zi [-]

mon

ofás

ico

bifá

sico

(d)

Figura 11 — Intensidade relativa da energia cinética turbu-

lenta em função da posição vertical adimensionalizada

com a posição de início da aeração definida com o final

do perfil S2: (a,c) Todos os resultados e (b,d)

Parte inicial, com destaque para a posição de início da

aeração (z/zi = 1).

As intensidades relativas e a energia cinética turbulenta adimensionalizada com a energia crítica por unidade de massa (ec = 1,5ghc) foram analisadas em função de z/zi. Nas Figuras 11a,b,c,d, observa-se que há quatro regiões diferentes para tais grandezas: (1) Região de crescimento ao longo do canal para a porção monofásica; (2) Decaimento ao longo do canal até a posição z/zi=0,9; (3) Crescimento que se desenvolve até z/zi=2,11 e (4) Decaimento ao longo da região bifásica.

Considerando o intervalo 2,5<z/zi<14, foi possível ajustar uma lei de potência do tipo ke=a(z/zi)

-n, com n = 0,46 e coeficiente de correlação de 0,72. Utilizando a terminologia padrão do mode-

lo ke-, define-se o coeficiente C2 = (n+1)/n. O valor

deste coeficiente (constante) para o intervalo men-cionado resultou igual a 3,17, cerca de 1,7 vezes o valor padrão de 1,92 (RODI, 1993). Note-se que esta avaliação mostra ser possível associar valores a pa-

râmetros característicos do modelo ke-, embora não

explicite a sua aplicação a interfaces bifásicas disper-sas (situação física descrita).

Com o uso da transformada rápida de Fou-rier e os dados experimentais originais foi possível calcular as frequências dominantes (fp) existentes nos fenômenos, a partir das derivadas temporais de h, consideradas aproximadamente iguais à velocida-de vertical da superfície (W). Sendo fp a freqüência de pico, o número de Strouhal é escrito de acordo com a equação 25. A Figura 12a contém os resulta-dos correspondentes a fp em função do número de Froude. Percebe-se que não há correlação entre essas grandezas. A Figura 12b relaciona o número

de Strouhal com o adimensional (que é igual a

Fr2/3). Nota-se que não há boa correlação, embora se perceba uma formação aproximadamente elipsoidal para parte dos pontos. As Figuras 12c e 12d corres-pondem à Figura 12b, mas para os escoamentos monofásico e bifásico de forma separada, respecti-vamente. Apenas dois experimentos presentes na Figura 12c indicam uma possível relação linear. Isso ocorreu devido a uma frequência aproximadamente constante. Portanto ainda não se pode determinar as frequências dominantes a partir de medidas de parâmetros hidráulicos mais simples.

V

hfSt

p , (25)

em que: V(x) = q/h(x), sendo q = vazão específica e h(x) as profundidades médias.


135

0

5

10

15

0 2 4 6

f p[H

z]

Fr [-]

Região monofásica

Região bifásica

(a)

0

0,2

0,4

0,6

0,2 0,4 0,6 0,8

St [

-]

[-] (b)

0

0,2

0,4

0,6

0,2 0,4 0,6 0,8

St [

-]

[-] (c)

0

0,2

0,4

0,6

0,2 0,4 0,6 0,8

St [

-]

[-] (d)

Figura 12 — Resultados da análise espectral: (a)

frequências de pico em função do número de Froude

(Fr = V/(gh)0,5); (b) Número de Strouhal em

função de = h/hc para todos os experimentos e

regiões aeradas e não aeradas, (c) pontos para a região

monofásica e (d) para o escoamento bifásico.

RESSALTO HIDRÁULICO

Metodologia e resultados

No âmbito deste estudo foi também condu-

zido um experimento a fim de obter informações sobre a superfície livre de um ressalto hidráulico com Fr1=3. A razão deste estudo sequencial está no uso de ressaltos em bacias de dissipação, construídas no pé de vertedores escalonados. O sensor acústico utilizado foi o mesmo empregado nas medições realizadas no canal em degraus, com freqüência de amostragem igual a 50 Hz, 2000 amostras/posição e 67 posições ao longo do canal. Nesta caso, este tem-po de aquisição mostrou-se adequado para o ressalto hidráulico estudado após testes preliminares (no ressalto estudado a formação se gotas foi considera-velmente inferior em relação aos experimentos no canal em degraus). A Figura 13a apresenta um de-senho esquemático do canal empregado, retangular e com largura de 41 cm. A vazão foi obtida através de um vertedor triangular e da equação de Thomp-son. Embora o escoamento no canal em degraus seja supercrítico ao longo de toda a sua extensão, o que não ocorre com o ressalto hidráulico, constatou-se que em ambos os casos o aumento da intensidade turbulenta está atrelado à entrada de ar por meio da superfície livre.

Alguns resultados experimentais e numéri-cos relacionados ao estudo do referido ressalto hi-dráulico foram publicados por Simões et al. (2010b).

Neste trabalho os dados apresentados pelos referi-dos autores foram utilizados para calcular as inten-sidades turbulentas relativas. O perfil médio da su-perfície livre e o comportamento da intensidade turbulenta relativa são apresentados nas Figuras 13b,c. Como pode ser notado na Figura 13b, w’/Vc assumiu um valor máximo na região de intensa re-circulação do ressalto hidráulico e aproximadamen-te coincidente com a posição em que ocorre a pro-fundidade crítica, o que são características que a-pontam esta medida como adequada para localizar o rolo e obter informações de sua agitação. Entre o ponto de máximo e x/(y2-y1) igual a 11,64, o com-portamento de w’/Vc pôde ser descrito por meio da seguinte equação (com coeficiente de correlação igual a 0,97):

678,012c )]yy/(x[378,0V/'w . (26)

Com a equação 26 é obtido C2 = 1,74, valor

inferior ao encontrado para o canal em degraus.


136

(a)

0

0,1

0,2

0,3

0

1

2

3

-4 0 4 8 12 16 20

w'/

Vc

h/h

c

x/(y2-y1)

h/hc

w'/Vc

h/hc = 1

Início do ressalto

Fim do decaimento

Fim do rolo

(b)

0,00

0,15

0,30

-4 0 4 8 12 16 20

St,

w'/

Vc

x/(y2-y1)

St

w'/Vc

(c)

Figura 13 — Resultados experimentais sobre a posição da

superfície livre de um ressalto hidráulico: (a) desenho

esquemático do canal e sensor empregado; (b) intensida-

de turbulenta relativa ao longo do ressalto hidráulico e

perfil médio da superfície livre; (c) Número de Strouhal,

St, e intensidade turbulenta relativa..

A Figura 13c contém os números de Strou-hal obtidos para o ressalto estudado, calculados com h(0) e V(0). As frequências dominantes obtidas possuem a mesma ordem de grandeza daquelas apresentadas por Murzyn e Chanson (2009). Nota-se também que St = w’/Vc = 0,07 para 9,52<x/(y2-y1)<18,7. Se x/(y2-y1) = 9,52 for considerado o final do ressalto, obtém-se um comprimento adimensio-nal Lj/(y2-y1) = 9,52 para Fr1 = 3,0 (y2 é o conjugado subcrítico e y1 o supercrítico). Com essa definição estabelece-se que o ressalto hidráulico termina na posição a partir da qual a intensidade turbulenta junto à superfície livre é independente da posição ao longo do canal. Com o perfil médio da superfície

livre também foi possível calcular o comprimento do rolo do ressalto, tendo sido obtida a seguinte rela-ção: Lr/(y2-y1) = 6. Marques et al. (1997) realizaram

medições de pressões com transdutores instalados no fundo do canal e definiram o fim do ressalto como a posição a partir da qual não há variações expressivas do coeficiente de curtose. Como resulta-do, os referidos autores obtiveram Lj/(y2-y1) = 8,5, valor relativamente próximo ao calculado nesta pesquisa. O comprimento do rolo definido neste trabalho coincidiu com aqueles obtidos por Lopar-do (1986) e Marques et al. (1997), isto é, Lr/(y2-y1) =

6. Embora não tenham sido medidas flutuações de pressão no presente estudo, é interessante mencio-nar que a região de maiores flutuações de velocida-de parece sobrepor-se à região de maiores flutua-ções de pressão obtida, por exemplo, por Lopardo (1986), localizada entre 1,75(y2-y1) a 2,00(y2-y1).

CONCLUSÕES

Foram apresentados resultados de estudos experimentais relacionados a escoamentos em um canal com um fundo em degraus e a um ressalto hidráulico. Concluiu-se que a sonda acústica ultrassônica empregada possibilita medir profundidades médias bem definidas e profundidades instantâneas que caracterizam adequadamente a turbulência do meio. Para os escoamentos no canal em degraus, os perfis médios indicaram a ocorrência de perfis S2 e perfis S3 bem definidos, posições de início da aeração superficial que correspondem ao final do perfil S2, profundidades características (hA, h2, h3 e valores máximos), a forma ondulada para a região bifásica e o comprimento de transição entre o escoamento monofásico e o escoamento bifásico. A metodologia utilizada, portanto, mostrou ser altamente útil para obter informações hidráulicas vinculadas a escoamentos complexos. Concluiu-se que a posição de início da aeração depende do número de Froude em termos da altura de rugosidade de acordo com uma potência, assim como constatado por diversos pesquisadores que estudaram o tema. Verificou-se também que tal posição pode ser adequadamente relacionada com h(0)/k e Re(0) . A posição de início da aeração definida com base no final do perfil S2 e extrapolada de acordo com Boes (2000) corresponde aproximadamente à posição onde há 1% de ar junto ao fundo quando somada ao comprimento de transição. Isso aponta para a conveniência do uso da presente metodologia (mais


137

simples) na quantificação do comprimento de transição. Comparações com dados de outros pesquisadores também levaram a excelentes concordâncias para a profundidade na posição de início da aeração.

A profundidade média máxima está linearmente relacionada com as profundidades médias características dos perfis da superfície livre, com o adimensional s/hc, com o número de Reynolds Re(0) e com a posição ao longo do canal. Concluiu-se que a profundidade média máxima é aproximadamente igual à metade do valor máximo obtido com o sinal oriundo do sensor ultrassônico. Análises estatísticas do valores instantâneos das velocidades verticais permitiram identificar regiões de cresimento e decaimento da turbulência no escoamento ao longo do canal em degraus e do ressalto hidráulico. As zonas de decaimento ocorreram de acordo com leis de potência, condição que levou a avaliação de uma das

constantes do modelo ke- relacionada a um termo

fonte presente no modelo. Para o caso de escoamentos em degraus, o valor médioconduziu a uma constante aproximadamente 1,7 vezes maior que o valor padrão. Para o ressalto hidráulico, a mesma constante resultou inferior, porém, mais próxima do valor padrão (menciona-se que não se

verificou a aplicação do modelo ke-para fases

dispersas). Finalmente, cabe mencionar que também foi possível identificar frequências dominantes e calcular números de Strouhal para os escoamentos no canal em degraus e para o ressalto hidráulico. As conclusões acerca dos comprimentos do ressalto e do rolo se alinham com valores calculados a partir de flutuações de pressões apresentados por Marques et al. (1997), indicando

que a presente metodologia também pode ser convenientemente adotada para esse tipo de estudo.

AGRADECIMENTOS

Ao CNPq, CAPES e FAPESP. Ao técnico Alcino de Paula, da EESC, pelo auxílio durante a organização e realização dos experimentos no canal com fundo em degraus.

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Turbulent Free Surface Flows in Channels: Stepped Chute and Hydraulic Jump ABSTRACT

This paper presents results of experimental studies

on the behavior of free surface flows in a stepped chute and

in a hydraulic jump. The proposed methodology involves

the acquisition of high frequency data by means of ultra-

sonic sensors. This proposal allowed to assess mean profiles

of the free surface, characteristic quantities of the profiles

(inception point, depth at the inception point, transition

length, etc.) and quantities that characterize the turbulence

near the free surface. The method provided excellent results

for the monophasic and biphasic flows. It was possible to

establish relationships between different variables such as

the inception points of aeration, mean depths, and maxi-

mum depth. The results concerning the turbulence regions

showed growth and decay of turbulence. Evaluations of

constants related to the turbulence model k- were also

obtained.

Key-words: Hydraulic jump, turbulence, stepped chute

Superfície Livre de Escoamentos Turbulentos em Canais ......RBRH – Revista Brasileira de Recursos...

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