Tarefa5
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Exerc´ ıcios Resolvidos - 5 o . Tarefa 1 de abril de 2013 Quest˜ ao 3 Demonstre que a posi¸c˜ ao, a velocidade e a acelera¸c˜ ao de uma part´ ıcula que realiza um mo- vimento harmˆonico simples podem ser representadas pela proje¸ c˜ao de vetores girantes. Neste caso, qual a rela¸c˜ ao entre a velocidade angular do vetor girante e a frequˆ encia angular do movimento oscilat´orio? Solu¸ c˜ ao obs: No referencial considerado, usaremos ~ A = A ˆ i Considerando um vetor girante sobre o ponto de equil´ ıbrio do MHS(x = 0), podemos es- crever que, num instante qualquer em que o vetor faz um ˆ angulo de θ com o eixo x,sempre medido no sentido trigonom´ etrico a partir do primeiro quadrante, a proje¸ c˜ao horizontal da ponta do vetor ´ e ~x = ~ A cos θ = ~ A cos (ωt + φ 0 ) pois do MCU temos θ = ωt + φ 0 , onde φ 0 ´ eoˆ angulo inicial do movimento do vetor. Derivando essaequa¸c˜ ao, e em seguida derivando novamente o resultado, chegamos a d~x dt = ~v = - ~ Aω sin (ωt + φ 0 ) d~v dt = ~a = - ~ Aω 2 cos (ωt + φ 0 ) Assim, verificamos que a proje¸c˜ ao da ponta do vetor se comporta como uma part´ ıcula em MHS, sendo que a frequˆ encia angular do movimento ´ e a mesma do vetor, pois s´o uma vez a cada volta do vetor a proje¸ c˜aoter´ a a mesma posi¸c˜ ao,velocidade e acelera¸ c˜ao que uma certa posi¸ c˜ao na volta anterior. 1
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Exercıcios Resolvidos - 5o. Tarefa
1 de abril de 2013
Questao 3 Demonstre que a posicao, a velocidade e a aceleracao de uma partıcula que realiza um mo-vimento harmonico simples podem ser representadas pela projecao de vetores girantes. Neste caso, qual arelacao entre a velocidade angular do vetor girante e a frequencia angular do movimento oscilatorio?
Solucao
obs: No referencial considerado, usaremos ~A = Ai
Considerando um vetor girante sobre o ponto de equilıbrio do MHS(x = 0), podemos es-crever que, num instante qualquer em que o vetor faz um angulo de θ com o eixo x,sempremedido no sentido trigonometrico a partir do primeiro quadrante, a projecao horizontal daponta do vetor e
~x = ~A cos θ = ~A cos (ωt+ φ0)
pois do MCU temos θ = ωt+φ0, onde φ0 e o angulo inicial do movimento do vetor. Derivandoessa equacao, e em seguida derivando novamente o resultado, chegamos a
d~x
dt= ~v = − ~Aω sin (ωt+ φ0)
d~v
dt= ~a = − ~Aω2 cos (ωt+ φ0)
Assim, verificamos que a projecao da ponta do vetor se comporta como uma partıcula em MHS,sendo que a frequencia angular do movimento e a mesma do vetor, pois so uma vez a cadavolta do vetor a projecao tera a mesma posicao,velocidade e aceleracao que uma certa posicaona volta anterior.
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