Telecomunicacoes 1

8/12/2019 Telecomunicacoes 1

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Prof. Marcus Tadeu Pinheiro SilvaCoordenao. de Eletrnica - CEFET-MG


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Telecomunicaes IUnidade I (Conceitos Bsicos)

Material didtico para acompanhamento das aulas

Prof. Marcus Tadeu Pinheiro Silva

Coordenao de EletrnicaCentro Federal de Educao Tecnolgica de Minas Gerais - CEFET-MG

Maio de 2002

Para qualquer crtica ou comentrio sobre este texto envie mensagempara o autor atravs do endereo eletrnico [email protected]


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SUMRIO

1 Conceitos Bsicos ............................................................................................... 4

1.1 Introduo ............................................................................................................ 4

1.2 Sistemas de Comunicao .................................................................................. 41.3 Quantidade de Informao e Entropia ................................................................. 51.4 Sinais Eltricos .................................................................................................. 141.4.1 Sinais senoidais .............................................................................................. 151.4.2 Expresso matemtica para o sinal senoidal ................................................. 201.4.3 Comprimento de onda ( ) ............................................................................. 241.5 Sinais no-senoidais ......................................................................................... 261.5.1 Filtros passa-baixa e passa-faixa ideais ......................................................... 271.5.2 Decomposio da onda quadrada .................................................................. 301.5.3 Equao da onda quadrada ........................................................................... 371.5.4 Limitao das freqncias presentes nos sinais informao (ex. do sinal de voz ......................................................................................... 391.6 Canal de Voz ..................................................................................................... 421.7 Representao do sinal no domnio da freqncia: O Espectro ....................... 441.7.1 Espectro de amplitudes e de fases ................................................................ 471.7.2 Espectros de Energia e de Potncia .............................................................. 541.8 Exerccios .......................................................................................................... 61

APNDICE A - Histrico do desenvolvimento das Telecomunicaes ............ 65


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UNIDADE I

CONCEITOS BSICOS

1.1 Introduo

Nesta unidade sero apresentados conceitos bsicos que so indispen-sveis para pavimentar o caminho que seguiremos nas prximas unidades do Cur-so. Por exemplo, para tratar convenientemente de modulao (uma das prximasunidades) devemos ter total domnio dos sinais senoidais e cossenoidais, sabendointerpretar e aplicar equaes envolvendo tais sinais. Assim, uma grande parte destaunidade destina-se a tratar especificamente de sinais senoidais abordando tanto arepresentao matemtica quanto a interpretao das grandezas que caracterizamtais sinais. Veremos outros conceitos como a composio de sinais no-senoidais,quantidade de informao, sistemas de comunicao, e largura de faixa para trans-misso de um sinal de voz. No apndice da unidade apresenta-se um histrico re-sumido com os principais fatos relativos ao desenvolvimento das Telecomunicaes

1.2 Sistemas de Comunicao

Em uma perspectiva abrangente sistema de comunicao todo aqueleque possibilita a transmisso de informao entre uma fonte e um destino. Assim,

tanto a divulgao de informaes atravs de jornais e revistas quanto a transmis-so de dados em um sistema de reserva de passagens areas constituem exemplosde sistemas de comunicao. Mas no caso de nossa disciplina o enfoque nos mei-os eletrnicos de transmisso e recepo de informao, e assim o primeiro exem-plo foge ao nosso interesse, pois o meio de transmisso da informao o papelimpresso, ou seja, trata-se de um sistema de comunicao por meios no-


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eletrnicos. Por outro lado, o segundo exemplo est dentro do escopo desta discipli-na pois toda transmisso da informao ocorre atravs de sinais eltricos.

Qualquer que seja o sistema de comunicao eletrnico alm da fonte deinformao e do destino da informao, podemos identificar no mesmo trs partes, asaber: transmissor, receptor e meio de transmisso. A Fig. 1 apresenta um exemplode um sistema de comunicao.

Figura 1 Sistema de comunicao: exemplo de comunicao de dados entrecomputadores.

Na Fig. 1 a comunicao pode ocorrer nos dois sentidos, pois tanto o mi-crocomputador pode enviar dados para o servidor, quanto o inverso pode ocorrer,com o servidor enviando dados para o microcomputador. Para facilitar a caracteriza-o dos componentes do sistema vamos simplificar a situao estabelecendo queno exemplo acima a comunicao simultnea nos dois sentidos no possvel, ouseja, quando o microcomputador est enviando dados o servidor fica na condioexclusiva de receptor e no envia dados, e quando o servidor envia dados o mi-

crocomputador que fica na condio de receptor apenas. Considere ento um pero-do de tempo em que os dados fluem da esquerda para a direita na FIG. 1. Nessemomento o microcomputador e o modem constituem o transmissor do sistema decomunicao, enquanto o servidor e seu respectivo modem constituem a parte re-ceptor. Sempre a rede de telefonia constitui o meio de transmisso do sistema.Quanto a fonte e destino da informao podemos exemplificar considerando a fonte


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um arquivo armazenado no microcomputador, e para destino podemos considerar um outro arquivo no servidor.

Alm das trs partes bsicas indicadas acima, normalmente nos sistemasde comunicao a parte receptora e a parte transmissora se subdividem em outrasunidades. Temos o transmissor constitudo por circui tos d e processamento de s i- n al e por ci rc u itos d e m odu lao e /ou codif ic ao . No receptor temos outros cir-cuitos de processamento de sinal e circuitos de dem od ul ao e/ou dec od ifica- o .

Na FIG. 1, um exemplo bvio de processamento de sinal no transmissor a serializao dos bits que so transmitidos entre o computador e o modem atravsda interface serial. Dentro do computador os bits de informao normalmente fluemem paralelo, em agrupamentos de 8, 16, 32 ou 64 bits . Todavia, na interligao entreo computador e perifricos externos mquina muitas vezes convm enviar a infor-mao em srie, pois isto reduz o nmero de fios na interligao; imagine o des-conforto que seria utilizar ummouse com interface paralela, onde o cabo seria gros-

so, pois tal interface necessita de mais de 8 fios. No nosso exemplo esse processa-mento de sinal (serializao ) revertido na chegada da informao no servidor, ouseja, no receptor. Na chegada da informao os bits em srie vindos do modem sonovamente paralelizados atravs da interface serial do servidor.

Como exemplo de circuitos de modulao e demodulao temos aquelespresentes no modem tanto do lado receptor quanto do lado transmissor. A necessi-dade de processos de modulao justificada pelo fato da rede convencional de te-lefonia no ser adequada para a transmisso de sinais digitais. A funo dos circui-tos de modulao no modem do transmissor exatamente transformar os sinais cor-respondentes aos bits a serem transferidos em uma forma de onda adequada linhatelefnica. Novamente, como esperado, no lado receptor temos no modem circuitosde demodulao que revertem o processo do modem transmissor.


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Na FIG. 1 tambm apresentada uma representao do componente in-desejvel em qualquer sistema de comunicao. Tal componente indesejvel o

rudo . Contudo, apesar de indesejvel no existe uma forma de eliminar totalmente orudo nos sistemas de comunicao. Assim, o que feito no projeto dos sistemas decomunicao prticos uma minimizao do rudo dentro de nveis que tornem osistema economicamente vivel e ao mesmo tempo eficiente na transmisso da in-formao. O rudo pode ser entendido como um sinal com variaes de nvel impre-visveis e que contm componentes de freqncia to baixas como 60 Hz a at toaltas quanto milhares de GHz. O rudo tanto gerado internamente pelos prprios

componentes utilizados na construo dos equipamentos (semicondutores, conduto-res, resistores, etc.) quanto por fontes externas (ignio de automveis, contatos demotores eltricos, descargas atmosfricas, irradiaes do sol e das estrelas, etc.).Na FIG. 1, representou-se o rudo de uma forma que talvez leve-nos a imaginar queele s atua no meio de transmisso, contudo, pelo que foi dito acima, na realidadeno isto que ocorre, pois o rudo tambm existir dentro dos circuitos eletrnicosdos modens e dos computadores, e estar sendo induzido nos cabos da interface

serial. Mas, sem dvida, no sistema representado na FIG. 1, e na maioria dos siste-mas, o rudo mais importante aquele que atua ao longo do meio de transmisso.Isto ocorre basicamente porque em geral no meio de transmisso que os sinaisatingem seus nveis mais baixos de intensidade, podendo com maior facilidade ser adulterados pelo rudo interno e externo. Alm disso, as distncias envolvidas nomeio de transmisso so muito maiores que aquelas relativas a dimenso do trans-missor e do receptor, logo, maior a probabilidade de que o rudo externo afetemais os sinais no meio de transmisso do que nas outras partes do sistema.

A exposio feita acima quanto aos sistemas de comunicao e o exe m-plo utilizado tem um carter introdutrio. Diversos termos importantes para a rea deTelecomunicaes, tais como modulao e demodulao, foram utilizados acima,mas, no ponto em que estamos a exposio permite que tenhamos apenas uma pe-quena noo do significado dos mesmos. No restante deste texto e nas prximasunidades deste Curso faremos o estudo detalhado de tais conceitos, alm de outros


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que so fundamentais para qualquer pessoa envolvida com comunicaes por mei-os eletrnicos.

1.3 Quantidade de informao e quantidade mdia de informao

Um sistema de comunicao s tem sentido na medida em que possibilitea transmisso de informaes entre uma origem (fonte) e um destino. Assim, con-veniente que inicialmente tenhamos uma noo do que informao e de comoquantificar o seu envio atravs dos sistemas de comunicao.

Em telecomunicaes uma informao pode ser entendida como umacerteza que passada (transmitida) entre a fonte de informao e o destino da in-formao do sistema. Antes da entrega da informao temos uma incerteza no des-tino da informao do sistema, aps a entrega da informao tal incerteza elimina-da. Por exemplo, suponha um porto de garagem controlado por controle remoto.Para esse sistema simples a informao consiste de duas possibilidades (informa-

o binria): abrir ou fechar o porto. Nesse caso o destino da informao pode ser um nico flip-flop na sada do receptor de controle remoto. Com base no contedodesse flip-flop o circuito lgico que controla o motor de acionamento do porto tomaa deciso de abri-lo ou fecha-lo. A incerteza para o exemplo simples do porto con-siste simplesmente de saber QUANDO abrir ou fechar o porto. Ou seja, se o portoest fechado com certeza ele s pode ser aberto, a incerteza encontra-se em saber quando abri-lo, onde tal incerteza s eliminada quando o usurio pressiona o bo-

to do transmissor do controle remoto. Raciocnio anlogo vale para o caso do por-to inicialmente aberto.

Acima vimos o conceito de informao, mas alm de tal conceito, em tele-comunicaes tambm importante mensurar (medir) a quantidade de informaoque transmitida pelos diversos sistemas. Em termos qualitativos a grandezaquantidade de informao , relaciona-se com quo surpreendente a informaopara o destinatrio da mesma. Por exemplo, considere uma pessoa que esta atuali-


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zada com fatos esportivos, e que est trabalhando na Internet. Se esta pessoa car-regar uma pgina de notcias e encontrar a manchete Olimpadas XXXX , basquete

masculino dos Estados Unidos derrotado pela Turquia ela ficar muito mais sur-preendida do que no caso de encontrar a manchete Eliminatrias da Copa XXXX ,Brasil vence Venezuela por 3 a 0. Neste exemplo, a primeira mensagem traz muitomais informao para o destinatrio do que a primeira, basicamente porque a primei-ra mensagem surpreendente, enquanto a segunda poderia at ser esperada pelodestinatrio.

Para tratar da grandeza quantidade de informao em valores numricos,devemos fazer a restrio de que nossas mensagens se originam de fontes digitaisde informao , ou seja, a mensagem est codificada sob a forma de dgitos que va-riam em pequenos passos ao longo do tempo. Em uma fonte analgica de informa-o a forma de onda relativa mensagem varia com o tempo de forma contnua,contudo para este tipo de fonte a formulao matemtica para a quantidade de in-formao muito mais complexa do que no caso digital. Alm disso, pode-se apro-ximar uma fonte analgica usando uma fonte digital. Assim, considere inicialmenteque vrias mensagens diferentes possam ser geradas por uma fonte digital . Quandotal fonte digital envia a j-sima mensagem, lembrando que posteriormente a mesmaser recebida por um destinatrio do sistema de comunicao, tem-se que estamensagem carrega uma quantidade de informao dada por:

j j P

I 1log 2= (bits) Equao. 1

Onde:

I j = quantidade de informao correspondente a j-sima mensagem. um valor me-dido em bits.

P j = probabilidade de transmisso da j-sima mensagem. um valor sem dimensoque varia entre 0 e 1. Para entender em linhas gerais que significa probabilida-


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de, imagine uma pessoa que joga cara-coroa vrias vezes. Se esta pessoa jogar a moeda um nmero cada vez maior de vezes ela verificar, cada vez com mai-

or exatido, que a cada jogada a chance dela obter cara a mesma dela obter coroa, ou seja, 50% (0,5) para cada possibilidade. O valor da probabilidade damensagem estabelece de forma quantitativa quo surpreendente ou no amesma, e assim podemos quantificar a informao correspondente a mensa-gem.

Observao: neste tpico bit representa uma grandeza para medida deinformao, ou seja um bit representa uma unidade de informao , o que pode ser diferente do uso da palavra bit no mbito de eletrnica digital.

Como normalmente as calculadoras, mais simples, no vem equipadascom funo para clculo de logaritmo na base 2, conveniente obter uma equaousando logaritmo na base 10, equivalente a EQ. 1, pois o logaritmo na base 10sempre est presente nas calculadoras cientficas. Temos das propriedades dos lo-garitmos que

2loglog

log10

102

X X =

Aplicando a propriedade acima na EQ. 1 obtemos:

2log

1log1

log10

10

2

== j j

j

P

P I ou seja

2log

1log

10

10

= j j P

I (bits )Equao 2

Exemplo 1.1:

Em um sistema de gerenciamento de dados de pronturios mdicos, emuma rede de computadores, o usurio fornece o cdigo numrico correspondente aopronturio que deseja consultar, e o sistema responde inicialmente com uma res-posta entre quatro possibilidades. As possibilidades so: a) pronturio presente mas


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temporariamente no disponvel, b) pronturio no existe, c) possvel cdigo errado,verifique e repita a solicitao e d) pronturio presente e disponvel. Fazendo a esta-

tstica de acesso ao sistema, verificou-se que para cada acesso a possibilidade deobter a resposta a 2% , a resposta b 24% , a c 30% e a d 44% . Calcule aquantidade de informao para cada uma das respostas do sistema.

Soluo:

Como so 4 possibilidades de resposta do sistema temos que 2 posies

de bit bastam para carregar tal informao . Cada uma destas 4 seqncias de 2 bitscarrega um quantidade de informao diferente da outra, pois cada uma representauma ocorrncia de probabilidade diferente. Aplicando a EQ. 1 (ou a EQ. 2) paracada uma das possibilidades indicadas acima temos os seguintes resultados:

Probabilidade resposta a = 2% P a = 0,02, logo I a = log 2 (1/0,02),ou seja, a quantidade de informao da resposta a I a = 5,64 bits

Probabilidade resposta b = 24% P b = 0,24, logo I b = log 2 (1/0,24),ou seja, a quantidade de informao da resposta b I a = 2,06 bits

Probabilidade resposta c = 30% P c = 0,30, logo I c = log 2 (1/0,30),ou seja, a quantidade de informao da resposta c I c = 1,74 bits

Probabilidade resposta d = 44% P d = 0,44, logo I d = log 2 (1/0,44),

ou seja, a quantidade de informao da resposta d Id = 1,18 bits

Como esperado, os resultados acima mostram que quanto maior a proba-bilidade de ocorrncia de uma mensagem menor a quantidade de informao que amesma transporta. Outro ponto de interesse que podemos tirar a prova quanto aestatstica que define as probabilidades de cada uma das mensagens do sistema decomunicao. Sempre qu e temos m p oss veis m ensagens a so ma d as pro babi-


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l idades das mensag ens indiv iduais deve resultar igual a 1. Ou seja, com certeza(valor 1) somente uma dentre as m possveis mensagens estar presente na sada

da fonte de informao a cada momento, no existindo a possibilidade de outraocorrncia na sada. O Exemplo 1.1 tambm ilustra este aspecto, pois realizando aoperao, 0,44 + 0,02 + 0,30 + 0,24 obtemos como resultado o valor 1.

Via de regra, como no Exemplo 1.1, para cada mensagem gerada pelafonte digital varia o contedo de informao, desde que algumas devero ser maisprovveis de ocorrer que outras, ou seja, P j variar de mensagem para mensagem. Assim, importante quantificar tambm a mdia de informao gerada (absorvida)pela fonte (destino) digital. A expresso para esta mdia de informao gerada (ab-sorvida) :

mm I P I P I P I P H ++++= L332211 (bits ) Equao 3

Onde:H a mdi a de inf or m ao p or m ens agem , sen do den om in ada Ent ro pi a da

fo nte d e in fo rm ao .m o nmero mximo de possveis mensagens.P 1 a probabilidade de ocorrer a mensagem 1, P 2 a probabilidade de ocorrer a

mensagem 2, e assim por diante.I 1 a quantidade de informao da mensagem 1, I 2 a quantidade de informao da

mensagem 2, e assim por diante.

Exemplo 1.2:

Em um sistema de comunicao digital, onde a sinalizao em dois n-veis, o nmero mximo de possveis mensagens que podem ser recebidas no desti-no 16. Sendo que para as mensagens 1, 2, 15 e 16 a probabilidade 2%, para asmensagens 3, 4, 13 e 14 a probabilidade 5%, para as mensagens 5, 6, 7, 10, 11,12 8% , e para as mensagens 8 e 9 12% . Calcule a mdia de informao por mensagem (entropia) do sistema.


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Soluo:Como so 16 possveis mensagens, sinalizadas em dois nveis, temos

que as mensagens se constituem de seqncias com 4 posies de bit . Alm disso,as vrias mensagens se dividem em 4 grupos quanto a probabilidade de ocorrncia.Para calcular a entropia inicialmente obtemos as diferentes quantidades de informa-es das mensagens, usando para isto a EQ. 1 (ou a EQ. 2), e, a seguir, aplicamosa EQ. 3. Os resultados obtidos so:

GRUPO I - Probabilidade das mensagens 1, 2, 15 e 16 2% P 1 = P 2 =P 15 = P 16 =

0,02 Logo I 1 = I 2 = I 15 = I 16 = log 2 (1/0,02)= 5,64 bits

GRUPO II - Probabilidade das mensagens 3, 4,13 e 14 5% P 3 = P 4 =P 13 = P 14 =0,05

Logo I 3 = I 4 = I 13 = I 14 = log 2 (1/0,05)= 4,32 bits

GRUPO III - Probabilidade das mensagens 5, 6, 7, 10, 11, 12 8% P 5 = P 6 =P 7 =

P 10 = P 11 = P 12 = 0,08

Logo I 5 = I 6 = I 7 = I 10 = I 11 = I 12 = log 2 (1/0,08)= 3,64 bits

GRUPO IV - Probabilidade das mensagens 8 e 9 12% P 8 = P 9 = 0,12 Logo I 8 = I 9 = log 2 (1/0,12)= 3,06 bits

H = P 1I 1 + P 2 I 2 + P 3I 3 + P 4I 4 + P 5 I 5 + P 6 I 6 P 7 I 7 + P 8 I 8 + P 9I 9 + P 10 I 10 + P 11 I 11 + P 12 I 12 +

P 13 I 13 + P 14 I 14 + P 15 I 15 + P 16 I 16

H = 4(0,025,64) + 4(0,054,32) + 6(0,083,64) +2(0,123,06)

H = 3,8 bits

O exemplo acima mostra um exemplo onde as mensagens so constitu-das de seqncias com 4 posies de bit . Por outro lado, a quantidade de informa-o mdia em cada mensagem de 3,8 bits , ou seja, um pouco menor que o nme-


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ro de posies de bit . Essa ocorrncia comum, e decorre das definies de I e H.Quando as diversas mensagens possuem probabilidades diferentes, H sempre

menor que o nmero de posies bit do cdigo das mensagens. Agora, se todasmensagens tem a mesma probabilidade, H ser exatamente igual ao nmero posi-es de bit do cdigo das mensagens.

O propsito desse tpico foi apenas apresentar de forma bsica o con-ceito de informao sob o enfoque que interessa em Telecomunicaes. Esse as-sunto, denominado Teoria da Informao , teve suas bases tericas lanadas em1948 por Claude Shannon e seu desenvolvimento completo bastante complexo. Oleitor interessado em mais detalhes encontrar uma boa introduo teoria da in-formao no bom livro Voc e as Telecomunicaes de Ovdio Barradas (1995).

1.4 Sinais Eltricos

Um sinal eltrico constitui-se de uma grandeza eltrica (em geral uma

tenso) que varia com o tempo. Exemplos de sinais eltricos bastantes comuns soas formas de onda senoidal e quadrada. Na maioria das situaes as pessoas utili-zam em sua comunicao a informao sob a forma de sons (voz, msica, tons)e/ou imagens (gestos, textos, fotografias, vdeo, pinturas, desenhos, etc.). Estasformas (ondas sonoras e ondas eletromagnticas visveis) no podem ser utilizadasdiretamente em sistemas que se baseiam em dispositivos eltricos e eletrnicos, eassim, os sistemas de comunicaes eletrnicos utilizam para a transmisso da in-

formao sinais eltricos, sendo que tais sinais se originam de converses dos sonsou imagens que as pessoas utilizam cotidianamente em sua comunicao. Destamaneira, qualquer sistema de comunicao possui etapas de converso de umaforma para outra. Por exemplo, supondo um sistema de comunicao do tipo inter-comunicador residencial, temos uma etapa no sistema que consiste na converso daonda sonora de voz em sinal eltrico, atravs de um microfone e, posteriormente, nomesmo sistema, temos uma etapa reversa que consiste na converso do sinal eltri-


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Tendo em vista sua importncia em nossos estudos vamos analisar agoraas caractersticas do sinal senoidal. 1 Especificamente, verificaremos as caractersti-cas de freqncia, amplitude e valor mdio. Observe o sinal representado na FIG. 3.

Como apresentado na FIG. 3 em um intervalo de tempo de 250 ms o sinalvarre toda a faixa de valores correspondente a um ciclo de 360 graus da funoseno. Alm disso, na representao do grfico do sinal senoidal ns vemos que elese repete, continuamente, em intervalos fixos de 250 ms, ou seja, nos temos um si-nal peridico. A freqncia (f ) de um sinal peridico a caracterstica que nos diz

em cada intervalo de um segundo quantas vezes o sinal se repete, ou seja, freqn-cia significa nmero de ciclos em cada segundo, e assim sua unidade o inverso dosegundo (1/s ), pois o nmero de ciclos uma quantidade sem dimenso. Mas, paraa unidade de freqncia foi adotado o nome especial de Hertz (Hz), o qual obvia-mente correspondente a 1/s (1 Hz = 1/s; 10 Hz = 10/s; ...). Para o exemplo da FIG. 3temos um sinal de 4 Hz, pois em um segundo o sinal repete 4 ciclos senoidais.

Figura 3 Sinal senoidal

1 Neste item nos referimos apenas a sinal senoidal, contudo, tudo que for estabelecido para este tipode sinal pode ser estendido para o sinal cossenoidal. Lembre-se que seno e cosseno so as funestrigonomtricas estreitamente relacionadas (p. ex. basta acrescentar um ngulo fixo de 90 o ao argu-mento de uma das funes para transform-la na outra).


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Outra grandeza importante o tempo necessrio para que se desenvolvaum nico ciclo completo de variao do sinal peridico, o que denominado perodo( T ) do sinal, sendo o mesmo medido em segundos. Como j foi observado, o sinalda FIG. 3 gasta 250 ms para fazer a variao completa de 360 graus da funoseno, logo, o sinal tem perodo de 250 ms . intuitivo que freqncia e perodo se- jam grandezas relacionadas, pois se um sinal se repete n vezes por segundo, otempo necessrio para um nico ciclo se desenvolver 1/n . Logo podemos escre-ver:

T f 1=

Finalmente, a amplitude (A) do sinal indica a faixa de valores de tensoque o sinal varre a medida que se desenvolve. Quando medimos um sinal na tela doosciloscpio podemos medir sua amplitude em valores de pico-a-pico (Vpp) ou emvalores de pico (Vp), sendo que no osciloscpio muito mais fcil medir o valor depico-a-pico. A maior dificuldade na medida de valor de pico no representa qualquer problema pois o valor de pico corresponde exatamente a metade do valor de pico-a-pico (Vp = Vpp/2). Por outro lado, quando tratamos dos sinais senoidais em termosformais, ou seja, desejamos escrever equaes, apenas o valor de pico que nosinteressa, pois tal valor corresponde exatamente ao valor de A que devemos usar naequao que descreve o sinal senoidal. Assim, a no ser em caso de observaoem contrrio, nesse texto sempre que nos referirmos ao valor de amplitude de umsinal estaremos nos referindo a seu valor de pico (A = Vp). No caso da FIG. 3 temosum sinal de amplitude igual a 2 (A = 2) .


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Figura 4 Determinao do valor mdio de um sinal.


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Determinar o valor de pico ou amplitude de um sinal senoidal no tarefacomplicada, mas se deve ter o cuidado de levar em conta o valor mdio 2 (Vcc) dosinal nesta determinao, pois tal valor mdio representa uma caracterstica do sinalque se distingue de sua amplitude. Quando um sinal tem valor mdio nulo, tal comona FIG. 3 a amplitude ( A) do sinal simplesmente valor mximo que ele atinge. Po-demos dizer que, considerando apenas sinais senoidais com valor mdio nulo, ovalor de A corresponde ao valor de pico, tal como medido em um osciloscpio naposio CA (corrente alternada). Reforando mais, no caso da FIG. 3 temos um sinalde amplitude igual a 2, pois 2 volts o valor mais alto (Valor max ) de tenso que ele

atinge e tal sinal apresenta valor mdio nulo. Quando o sinal senoidal apresenta va-lor mdio diferente de 0 para definir seu valor de amplitude devemos levar em contaseu valor mdio. No caso de sinal senoidal o valor mdio pode ser obtido atravs daEQ. 4 e o valor de A pode ser obtido atravs da EQ. 5. O estabelecimento dessasrelaes intuitivo e voc pode aplic-las agora para verificar os resultados apre-sentados na FIG. 4.

2minmax Valor Valor V CC

+= (volts) Equao 4

CC V Valor A = max (volts) Equao 4a

2 A definio de valor mdio de um sinal, ou valor CC (de corrente contnua), relao entre a rearesultante em um perodo e o tempo correspondente ao perodo. A rea resultante a diferena entrea rea do sinal acima do eixo do 0 (rea(+)) e abaixo do eixo do 0 (rea(-)). Verifique o conceito devalor mdio de um sinal atravs do exemplo da FIG. 4.


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1.4.2 Expresso matemtica para o sinal senoidal

A seguir obteremos a expresso geral para o sinal senoidal. Para chegar a este resultado faremos uma anlise passo a passo, partindo de uma situao par-ticular muito simples. Primeiramente, oportuno recordar a caracterstica bsica dafuno seno. O seno expressa um valor numrico entre -1 e +1, a medida que seaplica ao mesmo um ngulo, de acordo com o chamado ciclo trigonomtrico. Pen-sando na funo seno por si s, podemos escrever em termos matemticos

que y () = sen , onde o ngulo medido ao longo do ciclo trigonomtrico.

Iniciemos agora nosso raciocnio em direo a uma expresso geral parao sinal senoidal partindo da equao mais simples e que ainda capaz de descrever um sinal peridico. Tal equao :

( ) t t e sen= (volts) Equao 5

Traando um grfico para este sinal obtemos o resultado da FIG. 5.

importante enfatizar novamente que o seno uma funo matemticaonde o valor do argumento deve sempre corresponder a um ngulo . Este ngulopara a funo seno pode ser dado em graus ou radianos (rad). Contudo, quandotrabalhamos com sinais no conveniente expressarmos o ngulo em graus, e as-sim, para sinais eltricos usamos apenas o valor em radianos. Sendo assim, na EQ.05 esta implcita uma constante de multiplicao para o tempo, que no caso no apresentada pois vale 1. Contudo, esta constante tem uma unidade que rad/s, ouseja, uma velocidade angular, de tal forma que para cada valor de tempo, em se-gundos, aplicado a EQ. 5 obtenhamos um valor de ngulo, em radianos, para a fun-o seno. O smbolo para a velocidade angular a letra grega (mega).


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Figura 5 Grfico para o sinal expresso pela EQ. 5

Com a anlise feita acima quanto ao argumento para a funo seno po-demos fazer a primeira generalizao, escrevendo a expresso para o sinal daFIG. 5, na forma:

( ) ( )t t e sen= Equao 6

Onde fazendo = 1 rad/s obteremos a expresso original da EQ. 5.

Observando novamente a FIG. 5 vemos que o sinal representado tem um

perodo igual 2 segundos, o que significa que sua freqncia :

Hz2

1

Considerando que o indica a velocidade na qual o sinal varre o valoresde ngulo a medida que o tempo passa, e o perodo o tempo necessrio para queo sinal faa a variao do ciclo de 360 o (2 radianos), chegamos a concluso que asduas grandezas esto relacionadas. Quando o t aplicado a EQ. 6 for o perodo T , ovalor de .t dever equivaler a 2 (ou 360o), ou seja:

2. =T


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Desta anlise obtemos ento que:

T 2=

Lembrando que,T

f 1= tambm podemos escrever que

f 2=

Nossa expresso geral continua sendo ( ) ( )t t e sen= , mas agora temosrelacionamentos entre e a freqncia do sinal ( ) f 2= , e entre e o perodo do

sinal ( )T /2 = , o que nos permite escrever:

( ) ( )t f t e 2sen= (volts)

Sendo que para o caso particular do sinal da EQ. 5 21= f Hz.

O prximo passo no sentido da generalizao considerar um desloca-mento do sinal da FIG. 5, ao longo do eixo do tempo, resultando no sinal da FIG. 6.

Figura 6 Sinal senoidal com ngulo inicial


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Como apresentado, agora para o tempo 0 (zero) nosso sinal tem um valor que corresponde ao valor da FIG. 5 em um tempo um pouco maior. Para expressar este deslocamento matematicamente basta acrescentar .t um ngulo constante

correspondente ao ngulo cujo seno resulta no valor de e(t) para t = 0 na FIG. 6, ouseja:

( ) ( ) += t f t e 2sen

onde tanto na FIG. 6 quanto na FIG. 5 vale 1/(2.), mas, enquanto na FIG. 5 vale

0, na FIG. 6 ele vale /3 radianos (60o

). A unidade para a chamada constante defase , , obviamente radianos, pois, relembrando, o seno uma funo onde o va-lor do argumento entre parnteses deve ser sempre uma medida de ngulo.

Falta apenas o ultimo passo no sentido da generalizao. Ele correspon-de ao fato de que em todas equaes anteriores sempre a amplitude mxima denosso sinal era 1 volt, pois os valores extremos da funo seno so -1 e +1. Paraexpressarmos sinais de diferentes amplitudes basta que acrescentemos uma cons-

tante multiplicando a funo seno. O valor desta constante dar o valor mximo denosso sinal. o qual agora poder ser menor, igual, ou maior que 1 volt, conforme ovalor dessa constante. Colocando isto matematicamente temos a equao mais ge-ral para um sinal senoidal:

( ) ( ) += t f At e 2sen Equao 7

Tanto no caso da FIG. 5, quanto no da FIG. 6, o valor da constante A igual a1 e, assim, ela no foi explicitada.

Enquanto isso, para o sinal da FIG. 3, temos A = 2 , enquanto vale 8 . e vale 0.


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1.4.3 Comprimento de Onda ( )

Comprimento de onda ( ) a grandeza que indica em qual extenso f-sica do meio de transmisso um ciclo do sinal se espalha ao propagar-se pelomeio. Primeiramente, devemos recordar que um sinal eltrico no se propaga ins-tantaneamente em um circuito, ou seja, supondo tanto as conexes em uma placade circuito impresso quanto uma ligao por cabo entre dois equipamentos, ns te-mos sempre um tempo maior que 0 (zero) para que o sinal saia de um ponto e che-gue a outro. Contudo, como a velocidade de propagao do sinal eltrico muitoalta (da ordem de centenas de milhares de km por segundo), e as distncias entreos dispositivos dos sistemas eletrnicos em geral so pequenas, em freqnciasabaixo da faixa de UHF3 normalmente podemos aproximar a velocidade de propaga-o considerando-a infinita (propagao instantnea). Mas, em comunicaes mui-tas vezes no devemos ou no poderemos fazer essa aproximao, e o conceito decomprimento de onda torna-se importante nestes casos. Vamos verificar ento emque consiste exatamente a caracterstica de comprimento de onda.

Sendo finita a velocidade de propagao ( vp ou vel p ) do sinal, quandoele se propagar por grandes distncias e/ou for de freqncias elevadas, diferentespontos do meio de transmisso apresentaro diferentes valores do sinal, tal qual osinal se espalhasse ao longo do meio.

Por exemplo, se um sinal senoidal de 300 MHz propaga com velocidadede 200 mil km/s por um cabo entre a sada de um gerador de sinais senoidais e aentrada de um osciloscpio, qual comprimento deve ter o cabo de tal forma que naentrada do osciloscpio a tenso seja igual a tenso na sada do gerador atrasadade um tempo igual a um perodo do sinal? Pela definio de comprimento de onda o

que estamos tentando determinar a extenso de cabo correspondente a um dosinal de 300 MHz .

3 UHF (Ultra High Frequency ) uma das faixas de freqncias em que dividido o espectro eletro-magntico. Sinais de UHF tem freqncias entre 300 MHz e 3000 MHz (3 GHz).


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O tempo de atraso entre a sada do gerador e a entrada do osciloscpio:

t atraso = T = 1 / f = ( 1 / 300.106 ) s

A velocidade do sinal em propagao no cabo :

vel p = 200.103 km/s = 200.106 m/s

Logo, a distncia entre o gerador e o osciloscpio deve ser:

distncia = = vel p .t atraso = vel p .T

distncia = 200.106 m/s.(1/300.106) s = 2/3 m = 0,667 m

0, 67 m = 67 cm

A partir da anlise acima podemos expressar o comprimento de onda deduas formas:

= vel p .T e, sendo T = 1 / f obtemos:

f vel p= Equao 8

Se pudssemos observar a tenso em cada ponto do cabo em um certoinstante de tempo, t , obteramos o grfico da FIG. 7. Note que o grfico apresentadotem no eixo x a distncia ao longo do cabo.


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Figura 7 Tenso ao longo de um cabo cujo comprimento igual ao de umsinal de 300 Mhz, para um instante particular de tempo t = t, sendoa amplitude do sinal aplicado a entrada do cabo 5 Vpp e a velocida-de de propagao igual a 2.10 8 m/s.

1.5 Sinais no-senoidais.

Sinais no-senoidais so a forma natural em que se apresentam as infor-

maes e grandezas do mundo real quando convertidas em sinais eltricos, e pode-se ter uma noo disto analisando, por exemplo, as converses de som e imagemem sinal eltrico, e sinais de diagnstico cardaco e cerebral. Na FIG. 2 voc viu umexemplo de sinal no-senoidal sendo obtido na converso das ondas sonoras devoz. Voc nota que neste sinal aparentemente no possvel identificar as grande-zas que usamos para caracterizar o sinal senoidal, ou seja, freqncia, amplitude,fase. Todavia, como ser mostrado mais adiante, em um exemplo simples, pode-semontar um sinal no-senoidal a partir da soma de vrios sinais senoidais de fre-qncias, amplitudes e fases diferentes. Colocando de outro modo, podemos dizer que sinais no-senoidais so constitudos de somas de sinais senoidais de diferen-tes freqncias e amplitudes. Inicialmente, precisamos estabelecer os conceitos defiltros passa-baixa e passa-faixa, pois tais conceitos so indispensveis para a se-guir compreender os testes apresentados no estudo da composio do sinal ondaquadrada.


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1.5.1 Filtros passa-baixa e passa-faixa ideais

Considere um circuito que capaz de bloquear totalmente os sinais se-noidais a partir de uma certa freqncia f c , onde f c o smbolo para freqncia decorte. Abaixo desta freqncia f c o circuito no tem qualquer efeito sobre o sinal se-noidal, ou seja, se o sinal tem freqncia menor que f c e uma amplitude de, por exemplo, 1 Vpp, na sada do circuito o sinal obtido ser uma reproduo fiel daqueleda entrada, possuindo a mesma freqncia e amplitude. Por outro lado, se o sinalsenoidal aplicado ao circuito possuir uma freqncia maior que f c , independente de

sua amplitude, ele ser totalmente bloqueado e a sada do circuito ser uma tensonula. Analisando a situao descrita em termos de ganho de tenso Av,

( ) ENT SADA E E A = , podemos dizer que at a freqncia f c o circuito tem ganho 1, e

para freqncias acima de f c o ganho de tenso do circuito 0 (zero). Toda descri-o feita acima quanto ao comportamento do circuito pode ser resumida atravs deum grfico de resposta de freqncia, como apresentado na FIG. 8a, e em concor-dncia com seu comportamento o circuito denominado filtro passa-baixas ideal. O

termo ideal justifica-se pelo fato do resultado exato descrito pela FIG. 8a no poder ser obtido na prtica, ou seja, no possvel construir um circuito real com o com-portamento da FIG. 8a, embora seja possvel construir circuitos eletrnicos cujocomportamento aproximam-se bastante do resultado da FIG. 8a.


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Figura 8 - a) grfico de resposta de freqncia de um filtro passa-baixas (FPB)ideal; b) exemplo do comportamento de um FPB quando o sinal de en-trada cai dentro de sua faixa de passagem (abaixo de f c ); c) exemplodo comportamento de um FPB quando o sinal de entrada cai fora desua faixa de passagem (acima de f c ).

Um outro tipo de filtro o passa-faixa, o qual bastante utilizado emequipamentos de Telecomunicaes. Trataremos aqui apenas do comportamentoideal de tal filtro. O comportamento do passa-faixa ideal pode ser descrito conside-rando trs faixas de freqncia. Assim: i) o filtro bloqueia totalmente os sinais de fre-qncia 0 at uma certa freqncia f c1 ; ii) o filtro bloqueia totalmente os sinais desdeuma freqncia infinita at uma certa freqncia muito menor f c2 , sendo que f c2 > f c1 ;iii) entre as freqncias f c1 e f c2 o filtro passa a responder aos sinais, permitindo queeles apaream na sada da mesma forma como se apresentavam na entrada


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(Av =1). Todo o comportamento descrito pode ser visualizado como no exemplo daFIG. 9. Novamente, como no caso do passa-baixas tambm para o passa-faixa

possvel construir circuitos reais com comportamento prximo do ideal.

Figura 9 - Comportamento de um filtro passa-faixa ideal: a) sinal de entradacom freqncia abaixo da faixa de passagem; b) sinal de entradacom freqncia dentro da faixa de passagem; c) sinal de entradacom freqncia acima da faixa de passagem.


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1.5.2 Decomposio da onda quadrada

A proposta deste tpico mostrar como um sinal no-senoidal ser afeta-do pelo valor da freqncia de corte de diversos filtros ideais, e para isto utilizaremoso exemplo de uma onda quadrada de 500 Hz, com amplitude de 1 Vpp sendo apli-cada a tais filtros. Sero vrios filtros com diferentes f c . Faremos a anlise do com-portamento do sinal de sada a medida em que variarmos o valor de f c apenas parauma situao bem particular, onde o sinal de entrada a onda quadrada de 500 Hz,contudo os resultados obtidos sero bastante ilustrativos para que tenhamos umapercepo da decomposio de qualquer sinal no senoidal. A situao inicial estapresentada na FIG. 10.

Figura 10 - Onda quadrada de 500 Hz sendo aplicada a um filtro com corte em250 Hz

O resultado obtido no deve surpreender o leitor, pois tendo o sinal umaonda quadrada de freqncia de 500 Hz e sendo o corte do filtro em 250 Hz, obvia-mente a sada nula. Voc j deve saber que se aumentarmos a f c at 500 Hz omesmo resultado deve ocorrer, ou seja, a sada ser nula para f c at 500 Hz. Mas,como deve ser a sada quando f c for igual a 501 Hz, ou mais alta? Uma resposta in-tuitiva talvez nos levasse a supor que a sada passaria a ser a onda quadrada daentrada. Contudo no isto que ocorre, como apresenta a FIG. 11.


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Figura 11- Onda quadrada de 500 Hz sendo aplicada a um filtro com corte em501 Hz

Por que a onda quadrada de entrada transformou-se em um sinal senoi-dal com exatamente a mesma freqncia, mas com uma amplitude um pouco maior? A explicao exata para o resultado obtido na FIG. 12 envolve conhecimentos ma-temticos que fogem do nvel de nosso curso. Tais conhecimentos seriam relativos aanlise de Fourier. Contudo, mesmo no podendo tratar matematicamente o resul-tado podemos interpreta-lo qualitativamente. Assim, a explicao que nossa onda

quadrada contm o sinal senoidal apresentado na FIG. 12, ou seja, o sinal senoidal de 500 Hz ent ra n a co m po sio da o nd a qu adrad a de 500 Hz , e o filtro permitiuisolar esta componente da onda quadrada. O motivo pelo qual apenas o sinal senoi-dal de 500 Hz aparece na sada que os outros componentes devem possuir fre-qncias acima da f c do filtro, ou seja, acima de 501 Hz. Mesmo com esta explica-o neste ponto talvez ainda exista dvida sobre como pode ter ocorrido uma mu-dana to grande, com a onda quadrada mudando para senoidal. O entendimento

melhor disto s pode ser obtido se continuarmos nossa analise atravs do aumentoda f c do filtro. Ento, vamos continuar aumentando a f c do filtro acima de 501 Hz eobservando a sada. O resultado que a sada no m u dar at qu e a f c do fil tro seja maior d o qu e 1500 Hz , ou seja, f c seja maior que 3 vezes a freqncia da ondaquadrada. Esta nova situao aparece na FIG. 12, onde o filtro agora tem uma f c de1501 Hz.


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Figura 12 - Onda quadrada de 500 Hz sendo aplicada a um filtro com corte em1501 Hz

Comparando as FIG. 12 e FIG. 13 podemos notar que houve uma sens-vel melhoria na forma de onda de sada; ela agora aproxima-se da onda quadrada. Afreqncia da forma de onda de sada exatamente a da onda quadrada de entra-da, embora a amplitude de pico a pico seja um pouco maior que a da entrada. Ago-ra, nas partes que correspondem ao topo e base da onda quadrada, temos uma os-cilao do valor em torno do que seria o valor desejado (0,5 no topo e -0,5 na base).

A concluso que derivamos dos resultados, que com o incremento dafaixa de passagem do filtro de 501 at 1501 Hz adicionamos componente senoidalda FIG. 11 outro(s) componente(s) de sinal tal que houve uma melhor aproximaoda onda quadrada. Alm disso, como a nova sada ainda apenas uma aproxima-o da entrada, podemos dizer que o filtro at 1501 Hz ainda est bloqueando com-ponentes de freqncia mais alta do nosso sinal de onda quadrada. Continuando a

anlise vamos tentar agora separar qual (ou quais) componente foi adicionado aonda senoidal da FIG. 11 de modo a resultar na onda de sada da FIG. 12. Para istobasta usar no lugar do filtro passa-baixas um filtro passa-faixa. Como queremosisolar os novos componentes adicionados desde a situao de sada FIG. 11, deve-mos eliminar tal sinal fazendo o inicio da faixa de corte inferior do filtro,f c1 , igual a501 Hz. A seguir, diminuiremos progressivamente a faixa de passagem do filtro, epara isto f c1 ser aumentado at chegar ao limite de 1499 Hz. Neste processo pode-


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remos identificar a contribuio de sinal dentro da faixa de freqncia de 501 a 1499que resultou no novo sinal de sada da FIG. 12. Este novo teste est apresentado na

FIG. 13.

Figura 13 - Identificando o componente de sinal da onda quadrada entre 501 e1501 Hz atravs de um filtro passa-faixa onde varia-se f c1 entre oslimites indicados. Obs.: O resultado acima ocorre para f c1 variandoentre 501 e 1499 Hz. Se f c1 for 1500 ou 1501 Hz a sada ser nula,pois o sinal identificado tem 1500 Hz.

O teste da FIG. 13 nos mostra que apenas um novo componente de sinalcontribuiu para a melhoria na forma de onda de sada da FIG. 11 para a FIG.12. Istopode ser visualizado atravs da FIG. 14 que mostra que somando ponto a ponto ossinais senoidais de 500 Hz da FIG. 11 e o de 1500 Hz da FIG. 13, obtemos exata-mente a forma de onda da sada da FIG. 12. Ou seja, os s inais s enoidais de 500 Hz e 1500 Hz so com po nentes da o nd a qu adrada . Contudo, devem existir outrosem freqncias mais altas, pois ainda h uma diferena razovel entre o sinal qua-drado e a forma de onda resultante da soma na FIG. 14.


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Figura 14 - Soma ponto a ponto dos sinais senoidais de 500 e 1500 Hz das FIG.

11 e FIG. 13.

O resultado da FIG. 13, identificando a componente da onda quadradaentre 501 e 1499 Hz, permite-nos estabelecer novos e importantes conceitos. O si-nal que contribuiu para a mudana da sada da FIG. 11 para a sada da FIG. 12 senoidal com freqncia igual a 3 vezes a da onda quadrada. A amplitude de tal si-nal reduzida em relao daquele identificado na FIG. 11. Assim, temos que a re-gra para a onda quadrada em questo de que ela constituda apenas de sinaissenoidais de diferentes freqncias, sendo tais freqncias apenas mltiplos impa-res da freqncia original da onda quadrada, ou seja, 1 vez, 3 vezes, 5 vezes e as-sim por diante. Tais s in ais s enoi dais de freqnc ia m ltipla so den om inad os os harmnicos q ue constituem a onda quadrada . Assim, teramos que o sinal desada da FIG. 11 o 1 o harmnico da onda quadrada, o sinal da FIG. 13 o 3 o, eassim por diante. Quanto a amplitude dos harmnicos a regra de que quanto maior


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a ordem do harmnico menor sua amplitude, ou seja, o 3 o harmnico de amplitudemenor que o 1 o, o 5o harmnico de amplitude menor que o 3o, e assim por diante.

Para concluir a anlise temos as FIG. 15 e FIG. 16 que mostram a identificao doprximo componente da onda quadrada, o 5 o. harmnico.

Figura 15- Onda quadrada de 500 Hz sendo aplicada a um filtro com corte em2501 Hz. Obs.: Compare o resultado para o filtro de 2501 Hz comaquele do filtro de 1501 Hz (FIG. 12).

Figura 16 - Teste para identificao do componente de sinal da onda quadradaentre 1501 e 2499 Hz atravs de um filtro passa-faixa onde varia-sef c1 entre os limites indicados.

Neste ponto, aps todos os testes realizados nas figuras anteriores, e dainterpretao dada para os resultados obtidos, podemos apresentar uma conclusogeral para a composio do sinal onda quadrada. Apesar no poder ser comprovado


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neste texto, tais concluses valem tanto para o sinal que usamos no exemplo vistocomo para qualquer onda quadrada, de qualquer freqncia e amplitude.

a) o sinal de onda quadrada, como apresentado nas FIG. 10 a FIG. 16, composto apenas de sinais senoidais.

b) o sinal de onda quadrada possui em sua composio apenas os har-mnicos de ordem impar, ou seja, apenas senoides cuja freqncia um mltiploimpar da taxa de repetio (freqncia) da onda quadrada.

c) a medida que a ordem do harmnico aumenta sua amplitude diminui.

Na realidade o que apresentamos nas FIG. 10 a FIG. 16 so testes quepodemos realizar em laboratrio. Como j foi dito, existe tambm a possibilidade deprovar todos os resultados vistos atravs do uso de ferramentas matemticas. Con-tudo, como tais ferramentas so muito avanadas no pudemos fazer esta provamatemtica formal. Alm disso, se prossegussemos nossos testes de laboratrio,na mesma linha que a apresentada acima, para outros tipos de sinais peridicosno-senoidais tambm obteramos resultados similares. Assim podemos reescrever as concluses sob um enfoque mais geral da seguinte forma:

i) qualquer sinal peridico no-senoidal constitudo a partir de somasde sinais senoidais (e/ou cossenoidais) de diferentes freqncias e amplitudes.

ii) nos casos mais gerais, na composio do sinal podem entrar tanto se-noides (ou cossenoides) de freqncias mltiplas impares, quantos senoides (oucossenoides) de freqncias mltiplas pares. Contudo, para vrios tipos de sinaisno existiro, ou os harmnicos impares, ou os harmnicos pares, sendo esta ltimapossibilidade o caso em que se enquadra a onda quadrada.

iii) a medida que a ordem do harmnico aumenta sua amplitude diminui.


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iv) teoricamente o sinal no-senoidal constitudo por um nmero infinitode componentes senoidais (e/ou cossenodais).

Duas observaes finais cabem neste momento. A primeira, de que asconcluses acima a rigor aplicam-se apenas aos sinais peridicos, ou seja o sinaldeve repetir-se continuamente. Na realidade, se um sinal tem forma de onda no-senoidal, e no per idico , as concluses acima constituem uma aproximao quedeveria ser um pouco modificada para valer para tais tipos de sinais. A outra obser-vao quanto a afirmao iv. A implicao de iv de que caso quisssemos

amplificar o sinal onda quadrada sem qu alq uer d is to ro o amplificador teria de ser capaz de amplificar todos harmnicos do sinal, sendo que o nmero de harmnicos infinito. Isto significa um amplificador capaz de trabalhar com qualquer freqncia,desde as mais baixas, at as mais altas que tenderiam a valor infinito. Obviamentetal amplificador no existe na prtica. Contudo, como vimos nos testes das FIG. 10 aFIG. 16, a amplitude dos harmnicos reduz-se rapidamente com a ordem dos mes-mos, e assim, se nosso amplificador responder apenas aos harmnicos de ordem

mais baixa, por exemplo, somente at o 13 o (6500 Hz) no caso que estudamos,existir alguma distoro no sinal de sada do amplificador, mas tal distoro sermuito pequena e na prtica desprezvel.

1.5.3 Equao da onda quadrada

Tendo obtido que uma onda quadrada composta de sinais senoidais,conforme as concluses a, b e c do item anterior, podemos escrever a equaogeral da mesma como:

+++= K)2(5

)2(3

)2(1

2)( t 5 f sen At 3 f sen At 1 f sen At q

Equao 9


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Talvez a primeira vista a EQ. 9 parea complexa. Mas, na realidade no bem isto que ocorre. Tudo que temos na EQ. 9 uma soma de vrios sinais do

tipo senoidal, e este tipo de sinal j foi visto detalhadamente no tpico 1.3, inclusivequanto a formulao matemtica. Se inicialmente observamos a EQ. 9 isolando cadauma de suas partes constituintes e s depois visualizarmos ela como um todo, oentendimento da mesma ser obtido.

Primeiro, temos que cada seno tem um fator de amplitude comum, o valor 2/, que multiplica todos os senos entre colchetes. Dentro do colchete vemos quecada sinal seno tem uma representao padronizada. O argumento de cada seno da forma (2..f.n.t) , ou seja, da forma (.n.t), pois 2..f = . O n vale 1, 3, 5,..., con-forme a ordem do seno na equao, e ser comentado mais adiante.

O t o tempo pois estamos descrevendo a forma de onda do sinal, oque constitui uma funo do tempo.

f corresponde a freqncia da onda quadrada, e assim corresponde auma constante relativa a onda quadrada sendo descrita. Por exemplo, se a EQ. 9descrever a onda quadrada vista nas FIG 10 e FIG. 11, a constante f assume o valor 500.

Para cada seno, multiplicando f temos um diferente ndice n, um nmeroque cresce conforme a ordem do harmnico representado. Assim, no seno mais aesquerda o ndice 1, significando que temos o 1 o harmnico (f. 1), a seguir temos ondice 3, significando que temos o 3o harmnico, mais a direita temos o ndice 5, si-

gnificando que temos o 5o harmnico, e assim por diante. Isto condiz com as obser-vaes j feitas de que a onda quadrada s tem harmnicos impares.

Para finalizar, como vimos nos testes apresentados nas FIG. 10 aFIG. 16, conforme o ndice do harmnico cresce, a amplitude do mesmo diminui. Isto

facilmente visto na EQ. 9, onde alm do termo de amplitude comum (2/), paracada harmnico temos um fator de amplitude. Para o 1 o harmnico este fator vale


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A/1, para o 3o vale A/3, para o 5o valor A/5, e assim por diante. O valor A correspon-de ao valor de pico-a-pico da onda quadrada original, o que no caso da onda qua-

drada vista nas FIG. 10 a FIG. 16 significa que A vale 1.

Da discusso acima podemos reescrever a EQ. 9 para o caso particular da onda quadrada das FIG. 10 a FIG.16, obtendo:

q t t t t ( ) ( ) ( ) ( )= + + +2 11

2 500 1

32 1500

15

2 2500

sen sen sen K Equao 10

Se o leitor possuir uma calculadora com capacidade para exibir grficos(uma HP-XXX, por exemplo), ou um computador pessoal, poder usando um pro-grama especfico programar a EQ. 10 de modo a exibir na tela a forma de ondaquadrada construda a partir de senoides, obtendo resultados similares a aquelesdas FIG. 11 a FIG. 16.

1.5.4 Determinao das freqncias presentes nos sinais informao (exemplodo sinal de voz)

Aps as anlises feitas acima, quando voltamos novamente nossa aten-o para o sinal de voz da FIG. 2, uma pergunta que surge se poderemos identifi-car no mesmo os sinais senoidais que devem ser somados, tal como fizemos nocaso da onda quadrada. Uma outra pergunta, relacionada a primeira, se podere-mos obter para tal sinal uma equao que o descreva ao longo do tempo analoga-

mente ao caso da onda quadrada . Na realidade, para o sinal de voz a resposta paraestas perguntas seria sim apenas sob condies extremamente controladas. Ouseja, em g eral no possvel escrever uma equao descrevendo um sinal de vozao longo do tempo, nem possvel identificar a qualquer tempo todas as freqn-cias (sinais senoidais) que o constituem. Pensando agora apenas no caso da equa-o, as condies controladas seriam, por exemplo, que a equao valeria apenaspara uma pessoa especifica, falando uma determinada palavra, sempre usando o


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mesmo volume na pronncia. Mesmo assim, a equao ser extremamente comple-xa e se a pessoa repetisse a pronncia da palavra diversas vezes, de cada vez obte-

ramos um sinal um pouco diferente do outro, ou seja, na melhor das hipteses nos-sa equao ser apenas uma aproximao para a mdia de diversas pronncias dapalavra escolhida para aquela pessoa em particular. Se mudarmos a palavra esco-lhida a equao ser outra, e, certamente muito diferente da anterior. E, finalmente,se considerarmos o enorme repertrio de palavras de uma lngua qualquer, chega-remos a concluso que invivel tentar caracterizar com equaes exatas os sinaisde voz.

Embora no seja possvel escrever equaes para sinais de voz, descre-vendo exatamente as freqncias que fazem parte do mesmos, pode-se trabalhar esta questo das freqncias de forma estatstica. A idia identificar na mdia quais as freqncias importantes nos sinais de voz. O procedimento para tal identifi-cao basicamente o seguinte. Primeiro escolhe-se um grupo representativo depessoas. Cada uma destas pessoas, em ambiente de estdio, geram amostras desinais de voz, sendo que tais amostras correspondem a pronncia dos diferentes fo-nemas da lngua, de forma isolada e em palavras. Cada uma das amostras pro-cessada por equipamento eletrnico 4 capaz de identificar as freqncias presentesbem como suas amplitudes. No fim dos testes tm-se uma coleo de dados, queso as freqncias e suas amplitudes para os diferentes fonemas pronunciados por diferentes indivduos. Faz ento, uma mdia dos dados, mdia que pode inclusivelevar em conta a maior ou menor ocorrncia de cada um dos fonemas naquela ln-gua. No fim de tudo obtm-se um grfico tal como aquele da FIG. 17.

4 Tal equipamento o analisador de espectro. Basicamente o analisador de espectro um filtro pas-sa-faixa sintonizvel. A faixa de passagem de tal filtro muito estreita de modo que ele consiga sepa-rar as senoides que constituem o sinal analisado. Sintonizvel significa que f c1 e f c2 do filtro vo cres-cendo simultaneamente e continuamente, desde um limite inferior at um superior, conforme o sinalsob analise. Tal processo similar a aquele nas FIG 13 e FIG. 16, onde foram separados os compo-nentes senoidais de 1500 e 2500 Hz, respectivamente, da onda quadrada.


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O que o grfico da FIG. 17 mostra que na m dia a maior parte da ener-gia no sinal de voz concentra-se nas baixas freqncias, entre 100 Hz e 1500 Hz,

muito embora os testes indicados acima tambm mostrem que certos fonemas con-tm sinais reduzidos, mas ainda significativos, em freqncias to altas como em12 kHz.

O exemplo da determinao do grfico da FIG. 17 representativo, poisexistem vrias outras situaes em Telecomunicaes, onde apesar de ser imposs-vel descrever o sinal de informao por uma equao, importante determinar namdia qual (ou quais) a faixa de freqncias de tal sinal contm a principal parte daenergia. Por exemplo, para a televiso foi este tipo de conhecimento em relao aosinal de imagem que permitiu a evoluo para um sistema colorido compatvel com osistema preto e branco j existente.

Figura 17 - Grfico da energia distribuda no sinal de voz em funo da fre-qncia (resultado estatstico).


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1.6 Canal de Voz

Houve um determinado momento no desenvolvimento das telecomunica-es em que foi necessrio determinar qual a faixa de freqncias 5 seria aceita paraos sinais de voz nos sistemas telefnicos de longa distncia (popularmente conheci-do como chamadas interurbanas). A questo que estava em jogo neste momentoera de que sendo as faixas de freqncias recursos preciosos, se deveria transmitir nos sistemas telefnicos de longa distncia apenas os componentes de freqnciada voz que fossem importantes para a inteligibilidade do sinal.

O significado disto que testes estatsticos similares aos indicados no t-pico anterior tiveram que ser feitos. Dado que o objetivo dos testes a inteligibilida-de dos sinais de voz quando eles so limitados pelo sistema de comunicao a umacerta faixa, eles incluem alm de uma seleo de locutores, tambm uma seleo deouvintes representativos. Tais ouvintes escutavam os sinais de voz de palavras pro-nunciadas por diversas pessoas, aps tais sinais de voz terem passado por filtrosque limitavam as freqncias em sua sada (filtros passa-faixa). Se um sinal de voz

passa por um filtro que elimina vrias de suas freqncias ele se torna em algumamedida distorcido, ficando mais difcil para o ouvinte identificar a palavra pronuncia-da. O objetivo era encontrar, na mdia destes ouvintes, qual seria a menor faixa defreqncia possvel, e que ainda permitiria que os ouvintes identificassem correta-mente as palavras, dentro de uma margem de erro muito baixa. No caso da telefo-nia, a margem de erro escolhida foi de 1%. Ou seja, se, estatisticamente, em uma 5 Para entender no contexto acima o significado de faixa de freqncias, considere o exemplo de umamplificador para udio. Se este amplificador responde a sinais senoidais at 18 kHz ele um ampli-ficador de udio de alta qualidade para a amplificao do sinal originrio de um acionador de CD demsica, pois a faixa de freqncias que o ouvido humano capaz de responder vai at aproximada-mente 18 kHz e os instrumentos musicais geram freqncias de onda sonora desde poucos Hz a atmais do que 18 kHz. Por outro lado se este amplificador responde a sinais senoidais de freqnciasat 10 kHz, ele j no ser de alta qualidade para musica mas para amplificao da voz captada por um microfone ele ser plenamente adequado pois os sinais de voz s possuem componentes senoi-dais significativas em freqncias at os 10 kHz.


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Por ltimo, consideremos a economia em termos de ocupao de fre-qncias que feita quando utilizamos canais de voz com 4 kHz e no com 10 kHz,que a componente senoidal de mais alta freqncia que na mdia ainda rele-vante no sinal de voz. Se forem 10 conversaes telefnicas necessitaremos de 40kHz para a limitao em 4 kHz, e de 100 kHz para a limitao em 10 kHz, ou sejauma economia de 60 kHz. Tal economia em termos de uso de freqncias se justifi-ca plenamente quando consideramos que a limitao em 4 kHz representar umareduo muito pequena na inteligibilidade (1%) em relao ao caso de 10 kHz.

1.7 Representao do sinal no domnio da freqncia: O Espectro

A expresso no domnio da(o) xxxxxx indica qual a varivel em funoda qual estamos representando uma certa grandeza. Assim, quando traamos umgrfico de tenso em funo do tempo, tal como aquele da FIG. 19a, podemos dizer que estamos fazendo uma representao de um sinal no domnio do tempo . Emnossa disciplina tal representao ser normalmente denominada forma de onda(F.O.) do sinal. Por outro lado, como ser a descrio deste sinal senoidal daFIG. 19a em funo (no domnio ) da freqncia? Primeiro temos que o sinal senoidalda FIG. 19a contm um nica freqncia, que no caso 100 kHz. Assim tal sinalno contm qualquer outra freqncia que no seja 100 kHz, e assim para descre-ve-lo em um grfico de freqncia devemos simplesmente traar um eixo horizontalgraduado em Hertz e no ponto correspondente a 100 kHz, marcar uma linha verticalcom altura igual a amplitude do sinal. Isto resulta no grfico da FIG. 19b.


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Este resultado da FIG. 19b a representao no domnio da freqnciado sinal da FIG. 19a, e tal representao denominada espectro do sinal 6.

Figura 19 - a) Forma de onda de um sinal senoidal; b) Espectro de amplitudesdo sinal da FIG 19a

6 Em alguns casos pode ser conveniente ser mais especifico em relao ao grfico de forma de ondaou de espectro, indicando exatamente que grandeza esta sendo avaliada no eixo vertical. Por exem-plo, podemos ter forma de onda de tenso, ou forma de onda de potencia, ou forma de onda de ener-gia, da mesma forma que podemos ter espectro de amplitudes da tenso, ou espectro de potncia,ou ainda espectro de energia. Normalmente, em nossa disciplina trataremos apenas de sinais de for-ma de onda de tenso e assim fica subentendido daqui por diante que se nos referirmos simples-mente a forma de onda est implcito que trata-se de forma de onda de tenso. O mesmo vale para arepresentao em freqncia, onde se nos referirmos apenas a espectro trata-se do espectro de ten-so.


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Na realidade, a representao de espectro j havia sido apresentada an-teriormente nesta unidade. O grfico da FIG. 17 uma representao de espectro.No caso da FIG. 17 trata-se de um espectro de energia para sinais de voz. Como foidiscutido no item 1.5 o grfico da FIG. 17 foi obtido por um processo de mdia deuma enorme quantidade de sinais de voz. O resultado foi um espectro contnuo , ouseja, um sinal de voz qualquer pode conter todas as freqncias dentro de uma fai-xa que vai de 60 Hz at 12 kHz. Para contrastar com o espectro contnuo da FIG.17, podemos agora traar o espectro para o sinal onda quadrada apresentado nostestes do item 1.5. O resultado obtido aparece na FIG. 20. Observe que o espectro

para a onda quadrada do tipo discreto , ou seja, a onda quadrada s contm com-ponentes senoidais em pontos especficos do eixo da freqncia, sendo nula em to-dos demais pontos do eixo da freqncia.

Figura 20- Forma de onda da onda quadrada analisada no item 1.5 e seu espec-tro de amplitudes.

A obteno do grfico da FIG. 20 simples. Basta observar a equao daonda quadrada decomposta em sinais senoidais (EQ. 10). Para cada senoide, ano-ta-se no ponto do eixo horizontal correspondente a sua freqncia uma linha vertical.Esta linha vertical tem a altura proporcional a sua amplitude. Por exemplo, o 1o ter-

mo da equao 1/1[sen(2. .500.t)], logo no ponto 500 Hz do eixo horizontal, tra-amos uma linha vertical de altura correspondente a (2/).(1/1). O termo (2/) co-


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mum a todas as amplitudes das senoides e assim aparece na amplitude de todas alinhas apresentadas. Quando o espectro discreto, tal como na figura acima, deno-

minamos cada uma das linhas verticais de raia de freqncia do espectro, ou sim-plesmente de raia do espectro. Por outro lado, para espectros contnuos, tal comoaquele da FIG. 17, denominamos de faixa de freqncias do espectro, ou sim-plesmente faixa do espectro, qualquer extenso continua do espectro de freqn-cias.

1.7.1. Espectro de amplitudes e de fases

Na realidade, o conceito de espectro de amplitudes j foi apresentado noitem anterior quando traamos o espectro do sinal onda quadrada descrito naEQ. 10. Neste item o que vamos fazer completar a anlise da representao deum sinal de tenso (ou de corrente) no domnio da freqncia indicando a necessi-dade e como obtido o espectro de fases para um sinal. Para chegar nesta novoespectro vamos antes fazer dois exemplos que justificaro sua necessidade.

Exemplo 1.3

Para a forma de onda apresentada na FIG. 21, foi obtida atravs da anli-se de Fourier a EQ. 11. Trace o espectro de amplitudes para o sinal.

Figura 21 Forma de onda triangular do exemplo 1.3


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o de cossenos, o espectro da FIG. 20b foi obtido de uma equao de senos. Ouseja, a apresentao no espectro apenas das amplitudes de freqncia do sinal, no

permite caracteriza-lo completamente, pois fica faltando indicar se tais componentesde freqncias referem-se a senos ou cossenos (ou ambos tipos) que entram naconstituio do sinal. O que falta em nossa representao do sinal no domnio dafreqncia o espectro de fase; este espectro, junto com o de amplitude, quepermite caracterizar completamente o sinal. Temos a seguir um outro exemplo ondefica ainda mais clara a necessidade do espectro de fases. Neste exemplo, veremosento como obter a representao completa (fase e amplitude) do sinal no domnio

da freqncia.

Exemplo 1.4

Para a forma de onda apresentada na FIG. 23 foi obtida atravs da anli-se de Fourier a EQ. 12. Trace a representao completa do sinal no domnio da fre-qncia.

Figura 23 Forma de onda do exemplo 1.4.

h t t t t

t t t

( ) cos cos cos

sen sen sen

= + + +

+

+ + +

+

4 11

2 500 1

92 1500

125

2 2500

2 11

2 500 1

32 1500

15

2 2500

2

L

L

Equao 12


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Soluo

Observando a equao vemos que para cada freqncia (500, 1500,2500, etc.) ela possui um termos em seno e um termo em cosseno , sendo as fre-qncias harmnicos impares da taxa de repetio do sinal (500 Hz), ou seja, o sinalda FIG. 23 no contem harmnicos pares. As amplitudes destes harmnicos impa-res diferem no caso dos senos e dos cossenos de mesma freqncia. Assim, comopoderemos ao traar apenas o espectro de amplitudes indicar a composio do sinalem termos de senos e cossenos? A questo que o espectro s ser uma repre-sentao completa do sinal se permitir que a partir do mesmo obtenhamos nova-

mente a equao da anlise de Fourier. A idia simples de somar as amplitudes desenos e cossenos de mesma freqncia, e assim traar a raia do espectro de cadafreqncia presente no sinal, falha pelo fato de que uma vez traado tal espectrono poderemos fazer a operao reversa, ou seja, escrever a equao do sinal apartir do espectro obtido desta forma.

A soluo para obter um espectro que descreve completamente o sinal dividi-lo em duas partes, uma relativa as amplitudes puras e outra relativa as fases.O procedimento pode ser entendido da seguinte forma. Seno e cosseno, de umamesma freqncia, so funes defasadas no tempo por 90, assim, consideramosum sistema de dois eixos defasados de 90, onde o seno refere-se ao eixo vertical eo cosseno ao eixo horizontal, veja isto na FIG. 24. Desta forma a amplitude pura, adistancia C n, refere-se a composio de A n e Bn, segundo o teorema de Pitgoras,ou seja:

C A Bn n n= +( ) ( )2 2 Equao 13


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Figura 24 - Representao geomtrica para as amplitudes de sinais senoidais ecossenoidais de mesma freqncia.

Em todos os casos o ndice n indica o harmnico do sinal para o qual es-tamos obtendo a composio em termos de amplitude e fase. A n a componente noeixo do cosseno, e Bn a componente no eixo do seno. A caracterizao do ngulo,ou fase, relativo a um harmnico n do sinal, novamente obtida atravs de um cl-

culo de geometria analtica, ou seja, conforme a FIG. 24 o valor do ngulo vale:

n ajusten

narctg B

A= +

Equao 14a

Onde,

A n > 0 ajuste = 0

An < 0 ajuste = 180

Ou de outra forma,

ajusten

n

A A

=

90 1 Equao 14b


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Com o procedimento indicado acima podemos agora traar o espectrocompleto do sinal da FIG. 23. obtendo os espectros de amplitudes e fases, apre-sentados na FIG. 25. O leitor que quiser tirar a prova poder obter a equao origi-nal do sinal (EQ. 12), a partir dos espectros da FIG. 25. Para isto basta usar as EQ.15 e EQ. 16 ( tais equaes se justificam por raciocnio geomtrico similar aos dasEQ. 13 e EQ. 14)

A C n n n= cos Equao 15

B C n n n= sen Equao 16

Figura 25 - Representao completa do espectro para o sinal da FIG. 23. es-querda tm-se o espectro de amplitude, e direita o espectro defase.

Tendo estabelecido a necessidade do espectro de fase para permitir a re-presentao completa do espectro de um sinal, podemos agora complementar aapresentao anteriormente feita para os casos do sinal quadrado e triangular,EQ. 10 e EQ.11, respectivamente. Neste dois casos j obtemos os espectros deamplitudes, e tais espectros esto coerentes com a EQ. 13, bastando observar que:


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i) se para todo n , A n = 0, a EQ. 13 se reduz a C n = B n;

ii) se para todo para todo n , Bn = 0, a EQ. 13 se torna C n = A n .Para os espectros de fases os resultados para estes dois sinais so muito

simples. Para o triangular as amplitudes dos senos nula ( Bn = 0, para todo n ), oque resulta, atravs da EQ. 14, que a fase vale 0, para todas as freqncias pre-sentes no sinal. Tal resultado aparece na FIG. 26. Para o quadrado todos os cosse-nos tem amplitude nula ( A n = 0, para todo n), e assim, a fase para todas freqnciaspresentes no sinal 90, conforme apresenta a FIG. 27.

Figura 26 - Espectro de fases para o sinal triangular da EQ. 11. O espectro aci-ma junto com o espectro de amplitudes anteriormente apresentado(FIG. 23), constitui a representao completa do sinal triangular nodomnio da freqncia


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Figura 27 - Espectro de fases para o sinal quadrado da EQ. 10. O espectro aci-ma junto como espectro de amplitudes anteriormente apresentado

(FIG. 22), constitui a representao completa do sinal quadrado nodomnio da freqncia

Como as FIG. 26 e FIG. 27 exemplificam, nos casos em que todos Ans ,ou Bns , so nulos o espectro de fases muito simples. Assim, nestes casos ao in-vs de traarmos o espectro de fases em si, podemos indicar no prprio espectro deamplitudes toda informao contida no espectro de fase. Quando s existem senos

na forma de onda, e todos Bns so de mesma polaridade, podemos escrever no es-pectro de amplitudes, tal como uma legenda, indicando : apenas +90 (coeficien-tes positivos) ou apenas -90 (coeficientes negativos). No caso onde s existemcossenos, de forma anloga, poderamos apresentar apenas o espectro de amplitu-des indicando no mesmo apenas 0 (coeficientes positivos) ou apenas 180 (co-eficientes negativos).

1.7.2. Espectros de Energia e de Potncia

Alm do espectro de amplitude e seu complemento, o espectro de fase,outros dois tipos de espectros so utilizados na anlise de sinais em Telecomunica-es: o espectro de Energia e o de Potncia. Primeiro recordemos os conceitos deenergia e de potncia de um sinal.


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A energia de um sinal pode ser interpretada como sua capacidade pararealizar trabalho, sendo sua unidade o Joule. Por exemplo, considere o sinal de

FIG. 28 aplicado em um resistor. Assim, o sinal ilustrado ir dissipar energia no re-sistor, onde esta energia dissipada corresponde a um aquecimento do resistor. Emtermos formais para a anlise de sinais em Telecomunicaes o espectro de energia calculado considerando um intervalo de tempo que vai de - at + . Desta for-ma, o espectro de energia de um sinal s poder ser obtido se tal sinal for do tipopulso, ou seja, se o sinal for nulo para qualquer tempo, exceto por um intervalo finitode tempo. Observando o sinal da FIG. 28, voc verifica que o sinal apresentado

deste tipo. Por outro lado um sinal peridico no pode ter sua energia calculada,pois este tipo de sinal esta definido para qualquer intervalo de tempo, deste - at+ , e ao calcularmos sua energia obteramos um valor infinito. Para sinais peridi-cos, tais como as ondas quadrada e senoidal no faz sentido calcular a potncia dosinal.

Figura 28 - Sinal do tipo pulso aplicado a um resistor.

A potncia de um sinal sua energia por unidade de tempo, logo sua uni-dade de medida Joules/segundo, unidade esta que recebeu o nome de Watt.Como indicado acima, para sinais peridicos no faz sentido calcular a energia dosinal, mas possvel calcular a potncia. Para o caso do sinal senoidal puro voc j


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deve ter feito este clculo de potncia diversos vezes ao longo do curso. A FIG. 29apresenta a determinao da potncia desenvolvida por um sinal (cos)senoidal puro

sobre um resistor.

O conceito de espectro de potncia origina-se diretamente da decomposi-o de um sinal em componentes senoidais e/ou cossenoidais. Por exemplo, se umaonda quadrada aplicada a um certo resistor, a partir dos resultados que vimos an-teriormente quanto a sua composio senoidal, poderemos calcular a potncia dissi-pada por esta onda quadrada se limitarmos os harmnicos da mesma at uma certaordem. Mais ainda, poderemos calcular como a potncia dissipada por esta ondaquadrada se distribui pelas diversas freqncias presentes na mesma. Esta distri-buio da potncia de um sinal em funo da freqncia constitui exatamente o es-pectro de potncia do sinal. Um raciocnio anlogo vale para o caso do espectro deenergia, ou seja, tal espectro descreve como a energia dissipada por sinal do tipopulso, se distribui em funo da freqncia. Como foi dito anteriormente a anlise dacomposio harmnica de sinais no-peridicos (do tipo pulso) muito sofisticada, epor esta razo no ser discutida neste texto. Assim, no trataremos mais do es-pectro de energia, mas relendo o tpico 1.5 e observando a FIG. 18, voc pode ter uma noo do significado de espectro de energia. A seguir vamos fazer um exemplorelativo ao espectro de potncia.


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Figura 30 - Determinao da potncia dissipada por sinal (cos)senoidal.

Exemplo 1.5

Para a forma de onda examinada no exemplo 1.4 obtenha o espectro depotncia considerando que a mesma foi aplicada a um resistor de 100 .


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Soluo

Observando a EQ. 12, que a equao do sinal do exemplo 1.4, fazemoso seguinte clculo para a potncia relativa a cada um dos componentes cosseno damesma.

( ) P

A R

A R An

n eficaz n= =

( )

2 2

2

1

( ) P A

R An

n=2

2Equao 17

Assim, usando a EQ. 17 obteremos os seguintes resultados de potnciapara cada um dos componentes cosseno do sinal da FIG. 23, quando o mesmo for aplicado a um resistor de 100 :

( ) ( ) P A R

W A11

2 2 2

2

4

2 1008213= = =

,

( ) ( ) P A R

W A33

2 2 2

2

4 9

2 1001014= = =

,

( ) ( ) P A R

W A55

2 2 2

2

4 25

2 100131= = =

,

E assim por diante para os demais harmnicos cosseno.

Para os componentes seno do sinal, o raciocnio similar ao visto acimapara os cossenos, pois o valor eficaz de um sinal seno tambm vale a amplitude depico dividida por raiz de dois. Logo, a equao para a potncia dos componentesseno anloga ao caso anterior dos cossenos, ou seja:

( ) P B R Bnn=

2

2Equao 18


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Como visto no exemplo 1.5, cabe ressaltar que no caso do espectro depotncia no necessitamos de qualquer espectro adicional relativo as fases, como

ocorreu no caso do espectro de amplitude. O defasamento de 90 entre um sinal se-noidal e outro cossenoidal, ambos de mesma freqncia, no tem qualquer influn-cia na potncia dissipada pela soma destes dois sinais sobre um resistor. Ou seja, oespectro de potncias completo por si s, no necessitando de qualquer comple-mento. Pode-se entender isto na medida em que o espectro de potncia no tem omesmo compromisso que os espectros de amplitude e fase tm, ou seja, o de des-crever completamente o sinal no domnio da freqncia, permitindo inclusive obter

novamente a equao do sinal no tempo a partir dos mesmos. A funo do espectrode potncia mostrar como a potncia dissipada por um sinal em um resistor sedistribui em funo da freqncia. Neste caso pode ocorrer de um mesmo espectrode potncia ser vlido para diversos tipos diferentes de sinal. Por outro lado, isto noocorre para o par espectro de amplitude-fase, pois cada diferente par s pode ser relativo a um nico sinal em particular.


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1.8 Exerccios

1. Escreva a equao para o sinal da figura.

2. Calcule o valor mdio para o sinal da figura abaixo.

3. Observe esta equao:

( )

++= 2

105,1sen32 4 t xt e

a) Trace o grfico do sinal representado pela equao.

b) Obtenha dessa equao os valores para as seguintes grandezas do sinal (indiqueos clculos que se fizerem necessrios):

A = ; = ; T = ; f = ; V dc =


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c) Apenas observando o grfico obtido no item a voc pode dizer que o sinal cossenoidal. Todavia, o grfico foi traado tendo base em uma equao de fun-

o seno. Explique como isto ocorre.

4. Qual o comprimento de onda, , relativo energia que enviada das usinas hi-droeltricas para os locais de consumo atravs de L.Ts onde a propagao do si-nal na velocidade de 250.000 km/s. (L.T. = linha de transmisso).

5. Qual o comprimento de onda () para um sinal de 1500 MHz propagando na at-mosfera entre a antena receptora e antena transmissora. Adote como velocidadede propagao na atmosfera o valor de 300.000 km/s.

6. Um tipo de antena muito simples e que bastante utilizada na prtica o dipolo,apresentado na figura abaixo:

Um dipolo eficiente na irradiao (captao) da OEM (onda eletromagntica) se o

comprimento L um mltiplo (ou divisor) inteiro do/2 da OEM (por exemplos temosL =/2, L = 3, L =/4, etc.). Supondo dipolos de um quarto de onda ( /4), calcule ovalor de L da antena para cada um dos seguintes sinais:a) Sinal de estao FM em 100 MHz.


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b) Sinal do canal 33 de TV - UHF (590 MHz).c) Sinal de estao AM em 1 MHz.

d) Sinal de voz (freqncia central de 2 kHz).

7. Uma fonte de informao gera sinal de sada com 4 nveis de tenso distintos(-1 V, 0 V, +3 V, e +4 V). Considere que a estatstica obtida para os nveis de sa-da da fonte de informao : 20% para o nveis -1 e 0 V; 30% para os nveis +3 e+4 V. Calcule a taxa mdia de informao (entropia) desta fonte.

8. a) Quais as partes de um sistema de comunicao?

b) Em geral em qual parte do sistema o rudo tem maior importncia na deterioraoda informao transmitida? Justifique.

9. Para o sinal de onda quadrada das FIG. 10 a FIG.16 (1 Vpp, 500 Hz ) e cuja com-

posio harmnica esta apresentada na Eq. 10, trace o espectro de potncia,dado que este sinal foi aplicado a um resistor de 10 . Apresente todos os clcu-los utilizados na resoluo da questo.

10. Para o sinal triangular do exemplo 1-3 trace o espectro de potncia quando tal

sinal for aplicado a um resistor de 1 . Apresente todos os clculos utilizados naresoluo da questo.


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11. Para o sinal da FIG. 34 foi obtida atravs da anlise de Fourier a EQ. 19. Consi-derando at o 7 o harmnico, trace os espectros de amplitude e fase para o sinal.

Figura 34 - Sinal do exerccio 11.

s t t t t

t t t t

( )

sen sen sen

cos cos cos

sen

= + + +

+

+ + + +

2 11

2 500 1

92 1500

125

2 2500

1 11

2 500 1

22 1000

13

2 1500 1

42 2000

2

L

L

Equao 19

12. Um requisito para que um amplificador no distora na sada o sinal aplicado a

sua entrada que dentro da faixa de freqncia presente no sinal o amplificador apresente ganho constante, ou seja, o ganho seja igual para todas freqnciaspresentes em tal faixa. Alm disso, para minimizar os efeitos do rudo e tornar mais fcil o projeto do equipamento, o amplificador deve apresentar ganho nulofora da faixa de freqncias presente nos sinais a serem amplificados.

Suponha que para um certa aplicao o sinal do exerccio anterior deva ser am-

plificado por 10. Suponha tambm que para a aplicao em questo o sinal doexerccio anterior possa ser considerando com distoro desprezvel desde quecontenha pelo menos at o 30 o harmnico. Trace a curva de resposta de freqn-cia para tal amplificador.


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APNDICE A

HISTRICO DO DESENVOLVIMENTO DAS TELECOMUNICAES (RESUMO)

1834 - Gauss e Weber constroem o telgrafo eletromagntico.1844 - Morse demonstra a linha telegrfica Baltimore-Washington nos EUA (exten-

so 64 Km).1858 - O primeiro cabo telegrfico transatlntico instalado (funcionou apenas 26

dias).1864 - Maxwell prova teoricamente a radiao de ondas eletromagnticas (OEM).1876 - Bell desenvolve e patenteia o telefone.1883 - T. A. Edson descobre a emisso de eltrons no metal aquecido no vcuo,

denominado efeito Edson. 20 anos depois, este efeito constitui a base para ofuncionamento do primeiro dispositivo eletrnico.

1886 - Hertz prova experimentalmente a existncia das OEMs previstas por Maxwell

em 1864.1889 - Strowger desenvolve o 1o sistema de comutao automtica para sistemas

telefnicos.1897 - Marconi patenteia um sistema telegrfico completo por OEM (sem fios).1900 - Marconi realiza uma transmisso telegrfica atravs do Atlntico usando

OEM.1904 - Fleming desenvolve o primeiro dispositivo eletrnico: a vlvula diodo.

1905 - Fessenden transmite voz e msica usando OEM. Ou seja, realizada a 1atransmisso radiofnica.

1906 - DeForest inventa a vlvula trodo (primeiro dispositivo amplificador eletrni-co).

1915 - A concessionria Bell System completa a primeira linha telefnica atravs detodo territrio dos EUA.

1918 - Armstrong desenvolve o circuito receptor superheterodino.


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1920 - Entra em operao de forma regular a primeira emissora de radiodifuso co-mercial (KDKA, Pittsburg. EUA).

1928 - Fansworth demonstra o 1o sistema de televiso totalmente eletrnico.1931 - O servio de Telex entra em operao (somente em meados da dcada de

80 este tipo de servio passou ser substitudo atravs da popularizao doFax padro CCITT grupo 3).

1936 - BBC de Londres inicia as primeiras transmisses de TV sob base comerciais.1945 - ENIAC, o 1o computador digital eletrnico, desenvolvido na Universidade

da Pensilvnia (EUA).

1947 - O transistor (1o semicondutor amplificador) inventado em um laboratrio depesquisa nos EUA.

1948 - Shannon publica seu trabalho de desenvolvimento da teoria da informao.1950 - Multiplexao por diviso no tempo aplicada a telefonia

Dcada de 50 - Enlaces terrestres de microondas so desenvolvidos, sendo aplica-dos telefonia de longa distncia.

1953 - O primeiro padro de sistema de TV em cores definido e adotado (NTSC -EUA).

Dcada de 60 - Centrais programa armazenado (CPA) so introduzidas nos siste-mas telefnicos.

1961 - So iniciadas as transmisses em estreo na radiodifuso em FM.1962 - Telstar 1, 1o satlite de comunicaes ativo, retransmite sinais de TV entre a

Europa e os EUA.1963 - A tcnica de discagem por tons introduzida pela concessionria Bell Sys-

tem. (EUA).1966 - Kao e Hockham publicam trabalhos demonstrando os princpios da comuni-

cao por fibra ptica.1968 - Sistemas de TV a cabo comeam a ser instalados.


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Marcus T

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