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Tema 1Fundamentos de Teorıa de Circuitos
Tecnologıa Electrica
Dpto. Ingenierıa ElectricaEscuela Politecnica Superior
Universidad de Sevilla
Curso 2010/2011
Tecnologıa Electrica (EPS) Tema 1 Curso 2010/2011 1 / 36
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Indice
1 Magnitudes electricas
2 Referencias de polaridad
3 Leyes de Kirchhoff
4 Clases de circuitos
5 Elementos de circuitos
6 Asociacion de elementos pasivos
7 Asociacion de generadores ideales
8 Balance de potencia
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Magnitudes electricas
Indice
1 Magnitudes electricas
2 Referencias de polaridad
3 Leyes de Kirchhoff
4 Clases de circuitos
5 Elementos de circuitos
6 Asociacion de elementos pasivos
7 Asociacion de generadores ideales
8 Balance de potencia
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Magnitudes electricas
Carga electrica
Carga electrica, q(t): Propiedad de las partıculas elementalesque constituyen la materia y que se manifiesta por medio defuerzas electricas.
El electron, e−, constituye la carga electrica mas pequenaposible.
Unidad en el SI: Culombio [C] que equivale a 6,242 · 1018 qe.
Charles-Augustin deCoulomb
(1736-1806)
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Magnitudes electricas
Corriente electrica
Corriente electrica, i(t): Cantidad de carga que atraviesa una superficiede control en la unidad de tiempo:
i(t) =dq(t)dt
Por motivos historicos, tiene asociado el sentido de movimiento de lascargas positivas (aunque las cargas que se mueven en los conductores seansiempre negativas).
Unidad en el SI: Amperio [A].
Conocida i(t), la carga neta total que ha circulado por elconductor hasta el instante t es
q(t) =∫ t
−∞i(τ)dτ Andre-Marie Ampere
(1775-1836)
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Magnitudes electricas
Voltaje (tension, diferencia de potencial,...)
Se define la diferencia de potencial entre dospuntos como la energıa necesaria para trasladar launidad de carga entre dichos puntos:
u(t) =dw(t)dq(t)
Unidad en el SI: Voltio [V].
Alessandro GiuseppeAntonio Anastasio Volta
(1745-1827)
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Magnitudes electricas
Potencia y energıa
Potencia: Cantidad de energıa intercambiada en launidad de tiempo.
p(t) =dw(t)
dt=
dw(t)dq(t)
· dq(t)dt
= u(t) · i(t)
Unidad en el SI: Vatio [W].
James Watt(1736-1819)
Energıa:
w(t) =∫ t
−∞p(τ)dτ
Unidad en el SI: Julio [J].Otras unidades muy utilizadas: [Wh] y [kWh].
James Joule(1818-1889)
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Magnitudes electricas
Potencia y energıa
Ejercicio 1.1
Calcular el tiempo que tarda un circuito de 2 000 W en consumir 16 kWh.Solucion: 8 horas.
Ejercicio 1.2
Una maquina de tren tiene una potencia nominal de 500 W. En untrayecto de 1 hora se sabe que la maquina permanece el 50 % del tiempoabsorbiendo su potencia nominal mientras que el resto del tiempo absorbesolo la mitad de la potencia nominal. Calcular la energıa absorbida por lamaquina en dicho trayecto.Solucion: 375 kWh.
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Referencias de polaridad
Indice
1 Magnitudes electricas
2 Referencias de polaridad
3 Leyes de Kirchhoff
4 Clases de circuitos
5 Elementos de circuitos
6 Asociacion de elementos pasivos
7 Asociacion de generadores ideales
8 Balance de potencia
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Referencias de polaridad
Unificar los criterios de signo de las magnitudes electricas.
Referencias Pasivas
Una vez definido el sentido positivo de la tension, la intensidad entra porel terminal positivo.
+
+
−−
aab
b u(t)u(t)
i(t)i(t)
u(t) = ua(t) − ub(t)
−−
++
aab
b u(t)u(t)
i(t)i(t)
u(t) = ub(t) − ua(t)
Si p(t) = u(t) · i(t) > 0 −→ Absorbe potencia
Si p(t) = u(t) · i(t) < 0 −→ Cede potencia
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Referencias de polaridad
Referencias Activas
Una vez definido el sentido positivo de la tension, la intensidad sale por elterminal positivo.
−−
++
aab
b u(t)u(t)
i(t)i(t)
u(t) = ub(t) − ua(t)
+
+
−−
aab
b u(t)u(t)
i(t)i(t)
u(t) = ua(t) − ub(t)
Si p(t) = u(t) · i(t) > 0 −→ Cede potencia
Si p(t) = u(t) · i(t) < 0 −→ Absorbe potencia
Las referencias son solamente un criterio de signos que permite medir lasmagnitudes pero la realidad no se ve afectada por utilizar unas u otras enel estudio del circuito.
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Leyes de Kirchhoff
Indice
1 Magnitudes electricas
2 Referencias de polaridad
3 Leyes de Kirchhoff
4 Clases de circuitos
5 Elementos de circuitos
6 Asociacion de elementos pasivos
7 Asociacion de generadores ideales
8 Balance de potencia
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Leyes de Kirchhoff
Ley de Kirchhoff de corrientes (Conservacion de la carga)
En un nudo (corte) electrico donde inciden k conductores cuyas corrientesse suponen entrando al nudo se cumple que
∑k
ik(t) = 0 ⇔∑
i,entran
ii(t) =∑
j,salen
ij(t)
Nudo Corte
Nudo: Interconexion de varios terminales del circuito.Corte: Conjunto de elementos de interconexion de una region del circuitocon el resto.
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Leyes de Kirchhoff
Ley de Kirchhoff de tensiones (Conservacion de la energıa)
En un bucle (malla) electrico formado por k elementos cuyas tensiones sesuponen en el mismo sentido en el que se recorre el bucle (malla) secumple que ∑
k
uk(t) = 0
Bucle: Camino cerrado en un circuito.Malla: Bucle que no contiene ningun otro en su interior.
Malla+
_
+
_
+
_
+ _
+ _
+
_
Bucle Bucle
Malla
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Leyes de Kirchhoff
Ejercicio 1.3
Aplicando las leyes de Kirchhoff, determinar i1, i2, uab y ux.
+
_
+ _+_
Solucion: i1 = 5A, i2 = 2 A, uab = 15 V y ux = 12 V
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Clases de circuitos
Indice
1 Magnitudes electricas
2 Referencias de polaridad
3 Leyes de Kirchhoff
4 Clases de circuitos
5 Elementos de circuitos
6 Asociacion de elementos pasivos
7 Asociacion de generadores ideales
8 Balance de potencia
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Clases de circuitos
Circuitos lineales
Gobernados por ecuaciones lineales. Como consecuencia:
Proporcionalidad:
++
−−
aa
bb
u(t)
i(t)
ku(t)
ki(t)
CircuitoCircuito
lineallineal
Superposicion:
++
+ +
−− −=
aa a
bb b
u1(t) + u2(t)
i1(t) + i2(t)
u1(t)
i1(t)
u2(t)
i2(t)
CircuitoCircuito Circuito
lineallineal lineal
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Clases de circuitos
Circuitos pasivos y activos
+ −u(t)
i(t)wabs(t) =
∫ t
−∞pabs(τ)dτ =
∫ t
−∞u(τ) · i(τ)dτ
Circuitos pasivos: wabs(t) ≥ 0, ∀t
wabswabs
tt
pabs(t) ≥ 0, ∀t Si ∃t0 tal que pabs(t0) < 0
Disipativo Almacenador
Circuitos activos: Si ∃t0 tal que wabs(t0) < 0
wabs
t
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Clases de circuitos
Circuitos invariantes en el tiempo
Caracterizados por ecuaciones algebraicas o integrodiferenciales decoeficientes constantes.
Tipo de excitacion
Circuitos de corriente continua.
Circuitos de corriente alterna sinusoidal:
Circuitos monofasicos.Circuitos trifasicos.
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Elementos de circuitos
Indice
1 Magnitudes electricas
2 Referencias de polaridad
3 Leyes de Kirchhoff
4 Clases de circuitos
5 Elementos de circuitos
6 Asociacion de elementos pasivos
7 Asociacion de generadores ideales
8 Balance de potencia
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Elementos de circuitos
Elementos pasivos
Resistencia
+
_
Relacion u(t) ↔ i(t) (Ley de Ohm)
u(t) = R · i(t)
R ≡ Resistencia.Unidad SI: Ohmio [Ω]
i(t) = G · u(t)
G � 1R ≡ Conductancia.
Unidad SI: Siemens [S]
Potencia: pR(t) = u(t) · i(t) = R · i2(t) = G · u2(t) ≥ 0 (siempre absorbe)
Energıa: wR(t) =∫ t−∞ R · i2(τ)dτ =
∫ t−∞ G · u2(τ)dτ ≥ 0
Toda la energıa que absorbe del circuito la disipa en forma de calor porefecto Joule.Casos extremos:
R = 0, G = ∞ � Cortocircuito.
R = ∞, G = 0 � Circuito abierto. Georg Simon Ohm(1789-1854)
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Elementos de circuitos
Elementos pasivos
Bobina
+
_
Relacion u(t) ↔ i(t)
u(t) = L · di(t)dt
i(t) =1L
∫ t
−∞u(τ)dτ
L ≡ Coeficiente de autoinducion.Unidad SI: Henrio [H]
Potencia: pL(t) = u(t) · i(t) = L · i(t)di(t)dt = 1
2 · L · di2(t)dt ≶ 0
Energıa: wL(t) =∫ t−∞
L2 · di2(τ)
dτ dτ = 12 · L · i2(t) ≥ 0
Toda la energıa que absorbe del circuito se almacena en el campomagnetico que se establece en el nucleo de la bobina.
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Elementos de circuitos
Elementos pasivos
Condensador
+
_
Relacion u(t) ↔ i(t)
u(t) =1C
∫ t
−∞i(τ)dτ i(t) = C · du(t)
dt
C ≡ Capacidad del condensador.Unidad SI: Faradio [F]
Potencia: pC(t) = u(t) · i(t) = C · u(t)du(t)dt = C
2 · du2(t)dt ≶ 0
Energıa: wC(t) =∫ t−∞
C2 · du2(τ)
dτ dτ = 12 · C · u2(t) ≥ 0
Toda la energıa que absorbe del circuito se almacena en el campo electricoque se produce entre las placas del condensador.
Tecnologıa Electrica (EPS) Tema 1 Curso 2010/2011 23 / 36
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Elementos de circuitos
Elementos activos
Generador (fuente) ideal de tension
Especifica una tension conocida entre sus bornes, vg(t), que no dependedel circuito al cual esta conectado. La intensidad i(t) depende del circuitoal que se conecte.
+ _
(Referencias pasivas)
Potencia cedida: pg(t) = −ug(t) · i(t) ≶ 0dependiendo del circuito al que se conecte.
Sımbolos Montajes incompatibles
++_
+
AlternaContinuaGenérica
+_
IncompatibilidadCortocircuito
8 V3 V
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Elementos de circuitos
Elementos activos
Generador (fuente) ideal de intensidad
Especifica la intensidad que la atraviesa, ig(t), mientras que su tension,v(t), es desconocida y solo puede obtenerse una vez resuelto el circuito alque se conecta.
(Referencias pasivas)
+ _
A B Potencia cedida: pg(t) = −u(t) · ig(t) ≶ 0dependiendo del circuito al que se conecte.
Montajes incompatibles
IncompatibilidadCircuito abierto
8 A3 A
Tecnologıa Electrica (EPS) Tema 1 Curso 2010/2011 25 / 36
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Elementos de circuitos
Interruptor
Elemento no lineal con dos posiciones. Circuitos distintos segun laposicion:
1 Posicion Abierto.
i(t)=0, u(t) cualquiera.R = ∞, G = 0
2 Posicion Cerrado.
u(t)=0, i(t) cualquiera.R = 0, G = ∞
Utilizados para producir cambios topologicos, aplicacion o eliminacion deuna senal, modificacion del valor de un componente pasivo, etc.
Tecnologıa Electrica (EPS) Tema 1 Curso 2010/2011 26 / 36
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Asociacion de elementos pasivos
Indice
1 Magnitudes electricas
2 Referencias de polaridad
3 Leyes de Kirchhoff
4 Clases de circuitos
5 Elementos de circuitos
6 Asociacion de elementos pasivos
7 Asociacion de generadores ideales
8 Balance de potencia
Tecnologıa Electrica (EPS) Tema 1 Curso 2010/2011 27 / 36
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Asociacion de elementos pasivos
Asociacion serie
Dos elementos estan en serie cuando son recorridos por la mismaintensidad.
Resistencias
... ...
+ _+ _
+ _Req =
n∑j=1
Rj
Divisor de tension: Conocida u(t) se puede determinar la caıda de tensionen uno de los elementos, uk(t).
uk(t) = Rk · ik(t) = Rk · u(t)Req
� uk(t) =Rk∑nj=1 Rj
· u(t)
Tecnologıa Electrica (EPS) Tema 1 Curso 2010/2011 28 / 36
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Asociacion de elementos pasivos
Asociacion serie
Bobinas
... ...
+ _+ _
+ _Leq =
n∑j=1
Lj
Condensadores
... ...
+ _+ _
+ _
1Ceq
=n∑
j=1
1Cj
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Asociacion de elementos pasivos
Asociacion paralelo
Dos elementos estan en paralelo cuando esta sometidos a la misma tension.
Resistencias
... ...
+
_
+
_
Geq =n∑
j=1
Gj
1Req
=n∑
j=1
1Rj
Divisor de intensidad: Conocida i(t) se puede determinar la intensidad enuno de los elementos, ik(t).
ik(t) = Gk · uk(t) = Gk · i(t)Geq
� ik(t) =Gk∑nj=1 Gj
· i(t)
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Asociacion de elementos pasivos
Asociacion paralelo
Bobinas
... ...
+
_
+
_
1Leq
=n∑
j=1
1Lj
Condensadores
... ...
+
_
+
_
Ceq =n∑
j=1
Cj
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Asociacion de generadores ideales
Indice
1 Magnitudes electricas
2 Referencias de polaridad
3 Leyes de Kirchhoff
4 Clases de circuitos
5 Elementos de circuitos
6 Asociacion de elementos pasivos
7 Asociacion de generadores ideales
8 Balance de potencia
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Asociacion de generadores ideales
Asociacion serie de generadores de tension
+ _ + _ + _
Asociacion paralelo de generadores de intensidad
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Balance de potencia
Indice
1 Magnitudes electricas
2 Referencias de polaridad
3 Leyes de Kirchhoff
4 Clases de circuitos
5 Elementos de circuitos
6 Asociacion de elementos pasivos
7 Asociacion de generadores ideales
8 Balance de potencia
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Balance de potencia
Principio conservacion de la energıa:
wg(t) = wa(t) + wd(t)↓
wd(t) + wa(t) − wg(t) = 0
↓ [d/dt]
pd(t) + pa(t) − pg(t) = 0
�
�
�
�Balance de potencia: El sumatorio de potencias absorbidas (o cedidas)es igual a cero. ∑
k
pk(t) = 0
Alternativamente: ∑i,cedida
pi(t) =∑
j,absorbida
pj(t)
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Balance de potencia
Ejercicio 1.4
Calcular la potencia de cada uno de los elementos del circuito y efectuar elbalance de potencia.
+
_
+ _
+
_
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