Tema 4 Deflexc3b5es de Vigas e Eixos Aluno

8/16/2019 Tema 4 Deflexc3b5es de Vigas e Eixos Aluno

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO POLITÉCNICO

Graduação em Engenharia Mecânica

Disciplinas:

Mecânica dos Materiais 2 – 6º Período

E

Dinâmica e Projeto de Máquinas 2-10º Período

Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.



Tema de aula 4: Deflexões de vigas e eixos

SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS:

• 4.1 A Linha Elástica

• 4.2 Inclinação e Deslocamento pelo Método da Integração Direta

• 4.3 Vigas e Eixos Estaticamente Indeterminados

• 4.4 Vigas e Eixos Estaticamente Indeterminados — Método da Integração Direta

OBJETIVOS:

• Calcular valor da deflexão e a inclinação em pontos específicos de vigas e eixos através do métodoanalítico da integração direta.

• Usar o método da integração direta para determinar as reações dos apoios em vigas ou eixos estaticamenteindeterminados.

“Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio. ” THOMAS FULLER, M.D.



4.1 A linha elástica(LE) É um diagrama para visualizar deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centróide das seções. EX:Um diagrama de momento fletor ajuda na construção da LE; EX:

1ºConstruir diagr. de momentos aolongo das seções;

2ºConstruir LE com:concavidade p/ cima onde M>0,concavidade p/ baixo onde M<0,pt de inflexão onde M=0;

Observe que em E, a inclinação ‘θ’ da LE é nula (θ=0 -> pt deflexãoΔE mx ou min) e A tb é pt de deslocamento ΔA max, podendo ou

não ser maior que ΔE.

4.2 Inclinação e deslocamento pelo método da integraçãodireta.

Usaremos um sistema de coordenadas v-x; EX;Onde a deflexão da LE é uma função v(x).Logo é a inclinação da LE em x.

A bibliografia mostra que a curvatura da LE é dada por : ,como sabemos ,então diferenciamos novamente em x e teremos:como sabemos ,

então diferenciamos novamente em x e teremos:RESUMINDO:

EI=cte (tabela vigas),ρ= raio de curvatura),



RESUMINDO: Para obter a deflexão v(x) da LE, devemos fazer:• 4 integrações se conhecer w(x), 3 se V(x) ou 2 se M(x)(que é + fácil).Em carregamentos descontínuos escolher origem arbritariamente entreas descontinuidades: Ex:

ou

Cada integração gera 1 cte, que serão obtidas pelas C.C nos apoios ->Convenção de sinais:

a)De w, V e M nas seções:

Atenção: entra assim naseção feita, depoiscalculamos M pelas eq. de equl., com convenção de sinais própria

b)Da deflexão v:v (+ para cima).

c) Da inclinação θ :θ(+) anti-horário se eixo x(+) à direitaθ(+) horário se eixo x(+) à esquerda.

Exemplo1:Uma viga W12 X 26 de aço A36 e comprimento de 15 pés está submetida àcarga vertical P=6kip.Determine a inclinação e deflexão em A.

Sol: LE: Como não há descontinuidades de carga, podemos usaruma única coordenada x em toda viga:

Usamos a convenção para M+ e V+ na seção;Obtemos M(x) pela eq.de equl.

=0Px+M=0

Teremos M<0, (pois M=0 no extremo sem engaste e depois cai linearmente).

Logo L.E tem concavidade negativa. De posse de M(x) buscamos v(x)deflexão através das 2 inte ra ões:



Aplicando em e integrando uma vez teremos:

Integrando novamente;resolvendo o novo sistema:

Então substituindo nas 2 equações integradas;

Alternativamente poderíamos ter solucionado usando a função :Aqui não temos carregamento distribuido: w(x)=0, logo;

integrando a primeira vez obtemosvemos que V é cte em toda viga,

logo pela eq. de eql no segmento secionado: ΣFy=0-P-V=0V=-P então podemos escrever antecipadamente

Integrando mais uma vez:aqui a C.C em A é logo

Assim voltamos ao mesmo resolvido anteriormente!

Vemos que sinais estão de acordo com aL.E. Então calculamos θ(A) e v(A) com osdados do enunciado e da tabela:



Exemplo2: A viga simplesmente apoiada suporta um carregamento triangular distribu do. Determinarsua deflexão máxima. Considerar El constante.Sol: Devido a simetria, usaremos apenas uma cordenada xObtemos as reações nos apoios e usamos a convenção para M+ ,V+ e w+ na seção do segmento secionado;Vamos buscar a função M(x) pelo equl. de momentos

Agora podemos escrever:Integrando 2 vezes M(x) obtemos a funçãoda deflexão v(x);

Primeira:

Segunda:

Finalmente podemos escrever as equações finais de v(x) e θ(x) (ou dv/dx):

A deflexão máxima é obtida fazendo x=L/2 na segunda equação;

As C. C. são; v=0 em x=0 e x= L

dv/dx=0 em x=L/2,Substituindo teremos:



Fazer: O eixo ap ia-se em A por um mancal, que exerce apenas reações verticais sobre ele, e em B porum mancal de encosto que exerce reações horizontal e vertical sobre tal eixo. Desenhar o diagrama domomento fletor no eixo e, por meio dele, traçar a deflexão ou a linha elástica. Determinar as equaçõesda linha elástica usando as coordenadas x1 e x2. Considerar El constante.



i i ã l l i d l ã id d



Fazer: A viga c nica tem seção transversal retangular. Determinar a de lexão em sua extremidade emtermos da carga P, do comprimento L, do módulo de elasticidade E e do momento de inércia de área I0

da extremidade fixa.Dica: I0=1/12bt3 , mas I(x)=(1/12)wt3 pois w varia ao longo de x.Por semelhança de triângulos temos:

então I(x) com I0 será?



4 3 Vi i i i d i d



Apenas precisamos, escrever M(x) em termos da reação redundante, antes de integrar emPosteriormente obtemos as reações redundantes, pois temos mais C.C nestes problemas.Exemplo: Determinar as reações nos apoios A e B e depois desenhar os diagramas de cisalhamento emomento fletor. Considerar El constante.Sol: Construímos o DCL da viga:Usando as eq. de equilíbrio:

(1)

(2)Conhecemos apenas w, logo Ay, By e MA são 3 cargas à serem obtidas em 2 equações (indeterminada)Observe que Ay, By ou MA podem ser considerados redundantes.

Para integrar devemos antes escrever M(x) em termos de uma delas (By por exemplo);

4.3 Vigas e eixos estaticamente indeterminados Ocorre quando o número de reações de apoio excede o de equações de equilíbrio.O número de reações não necessárias ao equilíbrio (redundantes) determina o grau deindeterminação. EX:Fazendo o DCL:Temos 4 reações de apoio (Ax, Ay, By e MA) para 3 eq. de Equilibrio.

Devido à componente Px (não mostrada) vemos que Ax não pode serredundante pois sua retirada impossibilitaria o equilíbrio em x.Ay pode ser redundante, pois Py e By podem se anular.By pode ser redundante, pois Py e Ay podem se anular.MA pode ser redundante, pois MAy, MPy e MBy podem se anular.Escolhemos apenas 1 reação para redundante (grau 1)

4.4 Vigas e eixos estaticamente indeterminados-Método da integração direta.

( ) d d d à d



Para escrever M(x) em termos de By, considerar o segmento secionado com origem à direita:ΣM=0 (+ anti-horário)Com M(x) agora integramos:

uma vez:(3)

duas vezes:

(4), e partimos para as C.C:(deflexão à direita)

da eq (4) teremos(inclinação à esquerda)

da eq. (3) teremos (5)

(deflexão à esquerda)

da eq. 4 teremos (6)

(5) e (6) formam um sistema cuja solução é:

Finalmente então obtemos as demais reações deapoio nas equações (1) e (2):

->tendo as reações nos apoios,esboçamos o diagr. de V:

->tendo MA e M(x) (função parabólica acima)esboçamos o diagr. de M;

Obs:• M(+) na seção

pela convenção.

• By=3wL/8 obtido nos cáculospositivo, significa manterdireção do vetor indicado noDCL, o qual pela convençãoestá negativo (V anti-horário).

• Idem para Ay (porém horário)• dv/dx=-w (v varia linear

negativa pois w é cte positiva)

• Lembrar que x=0 à direita.

• Lembre-se:M<0, L.E concavidade -.M=0, inflexãoM>0, L.E concavidade +.



MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!

– Bibliografia:

– R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.

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