Teorema de Tales - rc.unesp.br · Um feixe de paralelas determina sobre duas transversais segmentos...
34
Teorema de Tales MA13 - Unidade 8 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Cole¸ c˜ ao PROFMAT
Transcript of Teorema de Tales - rc.unesp.br · Um feixe de paralelas determina sobre duas transversais segmentos...
Teorema de TalesMA13 - Unidade 8
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:A. Caminha M. Neto. Geometria. Colecao PROFMAT
Proporcionalidade
1. Dizemos que o segmento x e a quarta proporcional dos
segmentos a, b e c (nessa ordem) quandoa
b=
c
x.
2. Dizemos que o segmento x e a terceira proporcional dos
segmentos a e b (nessa ordem) quandoa
b=
b
x.
3. Dizemos que o segmento x e a media proporcional ou media
geometrica dos segmentos a e b quandoa
x=
x
b.
Teorema de Tales slide 2/9
Teorema 1
Se um feixe de paralelas determina sobre uma transversal segmen-tos iguais, determinara sobre qualquer outra transversal segmentosiguais.
Considere as paralelas r1, r2, r3 e as transversais t1, t2.
t2
r1
r2
r3
bA′
bB′
bC ′
t1
bA
bB
bC
Na figura acima, se AB = BC entao A′B ′ = B ′C ′.Para demonstrar trace por A′ e por B ′ paralelas a t1 e observe acongruencia dos triangulos formados.
Teorema de Tales slide 3/9
Teorema 2 (teorema de Tales)Um feixe de paralelas determina sobre duas transversais segmentosrespectivamente proporcionais.
A figura abaixo mostra tres retas paralelas cortadas por duastransversais.
bA′
b B′
bC ′
bA
bB
bC
Com os elementos da figura acima o Teorema de Tales diz que
AB
A′B ′ =BC
B ′C ′ .
Teorema de Tales slide 4/9
Demonstracao:
a) Suponha que AB e BC sao comensuraveis, ou seja, existe umsegmento x que cabe um numero inteiro de vezes em AB e umnumero inteiro de vezes em BC . Desta forma, AB = mx e
BC = nx com m e n naturais. Daı,AB
BC=
m
n.
Tracando novas paralelas pelos pontos que dividem AB e BC empartes iguais obtemos na segunda transversal A′B ′ = my ,
B ′C ′ = ny e, consequentemente,A′B ′
B ′C ′ =m
n.
Temos entaoAB
BC=
A′B ′
B ′C ′ , ou seja,
AB
A′B ′ =BC
B ′C ′ .
x
x
y
y
bA′
bB′
bC′
bA
bB
bC
b b
b b
b b
b
b
b
b
b
b b
b
b
b
b
b
Teorema de Tales slide 5/9
b) Se AB e BC nao sao comensuraveis, escolha um segmento xque cabe n vezes em BC (n natural, claro). Entao BC = nx .Suponha, por outro lado que esse segmento x esteja contido entrem vezes e m + 1 vezes em AB. Entao mx < AB < (m + 1)x e,
dividindo por BC = nx temos:m
n<
AB
BC<
m + 1
n.
Tracando novas paralelas da mesma forma que no item anterior,
temos quem
n<
A′B ′
B ′C ′ <m + 1
n.
As duas razoes,AB
BCe
A′B ′
B ′C ′ estao entre
m
ne
m + 1
n.
A diferenca entre essas razoes e1
nque
tende a zero quando n cresce indefinida-mente.
x ybA
′
bB′
bC′
bA
bB
bC
b b
b b
b b
b b
b b
Portanto, temosAB
BC=
A′B ′
B ′C ′ , ou seja,AB
A′B ′ =BC
B ′C ′ .
Teorema de Tales slide 6/9
Teorema 3
Toda paralela a um dos lados de um triangulo determina sobre osoutros dois lados segmentos proporcionais.
bA
b
Bb
C
bD
bE
Na figura acima, se DE e paralelo a BC entaoAD
AE=
BD
EC.
Obs: Observe queAD
AE=
BD
EC=
AB
AC.
Teorema de Tales slide 7/9
Teorema 4
Suponha que A, D e B sejam colineares (nesta ordem) e que A, E e
C sejam colineares (nesta ordem). SeAD
AE=
BD
ECentao as retas DE
e BC sao paralelas.
bA
b
Bb
C
bD
bE
Atencao: Este teorema e o recıproco do anterior. Para demonstrar,imagine, por absurdo que DE e BC nao sejam paralelas...
Teorema de Tales slide 8/9
Problema
Duas semirretas tem origem A.Sobre uma delas afastando-se de A assinale os pontos B e C taisque AB = 64, 5 e BC = 32, 4.Sobre a outra afastando-se de A assinale os pontos D e E tais queAD = 42, 6 e DE = 21, 4.As retas BD e CE sao paralelas?
Teorema de Tales slide 9/9
Teorema das bissetrizesMA13 - Unidade 8
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:A. Caminha M. Neto. Geometria. Colecao PROFMAT
Divisao de um segmento em uma razao
a) Seja M um ponto interior ao segmento AB. A razao que M
divide AB eMA
MB.
Exemplo:
6 15b
A
b
B
b
M
M divide interiormente o segmento AB na razaoMA
MB=
6
15=
2
5.
Teorema das bissetrizes slide 2/8
b) Seja N um ponto exterior ao segmento AB. A razao que N
“divide” AB eNA
NB.
Exemplo:
6 10b
A
b
B
b
N
N divide exteriormente o segmento AB na razaoNA
NB=
6
16=
3
8.
Teorema das bissetrizes slide 3/8
Divisao harmonica
Dado o segmento AB os pontos M e N (um interior e outroexterior) dividem harmonicamente esse segmento na razao k
(k > 0) quandoMA
MB=
NA
NB= k.
Exemplo:
639b
A
b
B
b
N
b
M
MA
MB=
3
6=
1
2
NA
NB=
9
18=
1
2
Os pontos M e N dividem harmonicamente o segmento AB na
razao1
2.
Teorema das bissetrizes slide 4/8
Teorema da bissetriz interna
Em um triangulo, a bissetriz de um angulo interno divide o ladooposto em partes proporcionais aos lados adjacentes.
Na figura a seguir, AD e bissetriz do angulo interno A. O teorema
diz queDB
DC=
AB
AC.
b
A
b
B
b
C
b
D
Teorema das bissetrizes slide 5/8
DemonstracaoDado o triangulo ABC trace a bissetriz AD.A paralela a AD tracada por C encontra areta BA em P.
Com os elementos da figura acima temos:α = β porque AD e bissetriz do anguloBAC .α = α′ porque sao correspondentes nasparalelas AD e PC .
bA
b
B
b
C
b
D
α β
bP
α′
β′
β = β′ porque sao alternos internos nas paralelas AD e PC .Concluımos que α′ = β′ o que implica AC = AP.
Pelo teorema de Tales temosDB
DC=
AB
AP.
Como AC = AP temos queDB
DC=
AB
AC, como querıamos
demonstrar.
Teorema das bissetrizes slide 6/8
Teorema da bissetriz externaEm um triangulo, a bissetriz de um angulo externo divide o ladooposto em partes proporcionais aos lados adjacentes.
Na figura a seguir, AE e bissetriz do angulo externo A. O teorema
diz queEB
EC=
AB
AC.
b
A
b
B
b
C
b
E
Sugestao para a demonstracao:Trace por C a paralela a AE que encontra AB em Q. Mostre queo triangulo AQC e isosceles.
Teorema das bissetrizes slide 7/8
Consequencia
Em um triangulo, as bissetrizes interna e externa tracadas domesmo vertice dividem harmonicamente o lado oposto.
bA
b
B
b
C
b
E
b
D
Teorema das bissetrizes slide 8/8
SemelhancaMA13 - Unidade 9
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:A. Caminha M. Neto. Geometria. Colecao PROFMAT
O que sao figuras semelhantes?
Duas figuras F e F ′ sao semelhantes, com razao de semelhanca k ,quando existe uma bijecao s : F → F ′ entre os pontos de F e ospontos de F ′ tais que:
Se X e Y sao pontos quaisquer de F e se X ′ = s(X ) e Y ′ = s(Y )sao seus correspondentes em F ′ entao XY
X ′Y ′ = k .
Quando duas figuras F e F ′ e sao semelhantes escrevemos F ∼ F ′.Observacao: Fazendo 1
k = r a razao XYX ′Y ′ = k permite escrever
que X ′Y ′ = rXY . O numero r chama-se fator de ampliacao (casor > 1) ou fator de reducao (caso 0 < r < 1).
Semelhanca slide 2/1
Propriedades da semelhanca
1. Dois segmentos quaisquer sao sempre semelhantes.
2. Toda semelhanca transforma pontos colineares em pontoscolineares.
3. Uma semelhanca de razao k transforma uma circunferencia de
raio R em uma circunferencia de raio R ′ tal queR
R ′ = k.
Semelhanca slide 3/1
Demonstracao de 1)
Considere dois segmentos AB e A′B ′ com comprimentos a e b,respectivamente. Para cada ponto X ∈ AB associe o pontoX ′ ∈ A′B ′ de forma que A′X ′ = b
aAX .Fica definida uma bijecao entre os dois segmentos.
b
A
b B
bA′
bB′
b
XbX ′
Assim, para quaisquer pontos X ,Y ∈ AB temos que suas imagensX ′,Y ′ ∈ A′B ′ sao tais que
X ′Y ′ = A′Y ′ − A′X ′ =b
aAY − b
aAX =
b
a(AY − AX ) =
b
aXY
Assim, os dois segmentos AB e A′B ′ sao semelhantes.As demonstracoes de 2 e 3 ficam para o leitor.
Semelhanca slide 4/1
Semelhanca de triangulos
Dois triangulos, ABC e A′B ′C ′ sao semelhantes quando
AB
A′B ′ =AC
A′C ′ =BC
B ′C ′
O triangulo ocupa posicao destacada neste assunto porquepodemos concluir se dois deles sao semelhantes ou nao observandoapenas seus angulos.
Semelhanca slide 5/1
Teorema 110cm Dois triangulos que possuem os mesmos angulos internos saosemelhantes. Demonstracao:Na figura a seguir, os triangulos ABC e A′B ′C ′ sao tais queA = A′ e B = B ′.
bA
b
B
b
C
bA′
b
B′
b
C ′bD b E
Os pontos D e E do primeiro triangulo sao tais que AD = A′B ′ eAE = A′C ′. Como A = A′ entao os triangulos ADE e A′B ′C ′ saocongruentes (caso LAL).Como B ′ = B = D as retas DE e BC sao paralelas.Assim, pelo teorema de Tales, AD
AB = AEAC (1).
Semelhanca slide 6/1
bA
b
B
b
C
bA′
b
B′
b
C ′
bD
b E
b
F
Tracamos agora EF paralela a AB. O quadrilatero BFED e umparalelogramo e, portanto, DE = BF .
Novamente, pelo teorema de TalesAE
AC=
BF
BC=
DE
BC(2).
Reunindo (1) e (2) temos queAB
A′B ′ =AC
A′C ′ =BC
B ′C ′ .
Assim, os triangulos, ABC e A′B ′C ′ sao semelhantes.
Semelhanca slide 7/1
Teorema 211cm Dois triangulos semelhantes possuem os mesmos angulosinternos. Sugestao para a demonstracaoNa figura a seguir, os triangulos ABC e A′B ′C ′ sao tais queABA′B′ = AC
A′C ′ = BCB′C ′ .
Voce deve mostrar que esses triangulos possuem os mesmosangulos internos.
bA
b
B
b
C
bA′
b
B′
b
C ′
Considere o ponto D do lado AB tal que AD = A′B ′ e trace osegmento DE paralelo a BC .
Usando o teorema de Tales conclua que AE = A′C ′.
Usando a mesma construcao feita no teorema anterior,conclua que DE = B ′C ′.
Organize os argumentos para concluir a tese do teorema.
Semelhanca slide 8/1
Semelhanca de polıgonos
Dois polıgonos sao semelhantes quando puderem ser divididos emtriangulos respectivamente semelhantes.
bA
bB
b
C
b
D
bE
bA′
bB′
b
C ′
b
D′
b E′
Na figura acima sao semelhantes os triangulos ABC e A′B ′C ′,ACD e A′C ′D ′, ADE e A′D ′E ′.Desta forma, os pentagonos ABCDE e A′B ′C ′D ′E ′ saosemelhantes.
Semelhanca slide 9/1
Propriedades
a) Os dois polıgonos possuem os mesmos angulos internos.
b) A razao entre dois segmentos correspondentes e sempre amesma (razao de semelhanca).
AB
A′B ′ =BC
B ′C ′ =CD
C ′D ′ =DE
D ′E ′ =EA
E ′A′ =AC
A′C ′ =AD
A′D ′ =BE
B ′E ′ = · · ·
Semelhanca slide 10/1
Como reconhecer polıgonos semelhantes
Dois polıgonos sao semelhantes quanto tiverem os mesmosangulos, formados por lados respectivamente proporcionais.Os polıgonos ABCDEF · · · e A′B ′C ′D ′E ′F ′ · · · sao semelhantes se
A = A′, B = B ′, · · · eAB
A′B ′ =BC
B ′C ′ = · · · .
Semelhanca slide 11/1
Triangulo retanguloMA13 - Unidade 9
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:A. Caminha M. Neto. Geometria. Colecao PROFMAT
PROFMAT - SBM
As relacoes metricas no triangulo retangulo
Considere o triangulo ABC , retangulo em A, a altura AH e ossegmentos indicados na figura abaixo.
a
b ch
m nb
C
b
B
bA
b
H
+ +
HAC ∼ ABC ⇒ b
a=
m
b=
h
c
HBA ∼ ABC ⇒ c
a=
h
b=
n
c
HAC ∼ HBA ⇒ b
c=
m
h=
h
n
Aparecem as relacoes:
b2 = am
c2 = an
bc = ah
h2 = mn
Somando membro a membro as duas primeiras:b2 + c2 = am + an = a(m + n) = a · a = a2 ⇒ a2 = b2 + c2
Teorema dePitagoras
����
PROFMAT - SBM Triangulo retangulo slide 2/1
Circunferencia circunscrita
A mediana relativa a hipotenusa e igual a metade da hipotenusa:MA = MB = MC = R (raio da circunferencia circunscrita).
R =a
2
b
M
bB
bC
bA
PROFMAT - SBM Triangulo retangulo slide 3/1
Circunferencia inscritaSeja I o incentro e sejam D, E e F os pontos de tangencia.
b
A
b
B
b
C
bI
b
D
bE
bF
ADIF e um quadrado de lado AD = AF = r (raio dacircunferencia inscrita).Temos entao:
a = BC = CE + BE = CF + BD = b − r + c − r
Assim, 2r = b + c − a e, portanto, r =b + c − a
2.
PROFMAT - SBM Triangulo retangulo slide 4/1
Medias
Dados dois numeros positivos a e b definimos:
Media aritmetica: M =a + b
2.
Media geometrica: G =√ab.
Media harmonica: H =2ab
a + b.
PROFMAT - SBM Triangulo retangulo slide 5/1
Visualizacao
Semicircunferencia de centro O e diametro AB. AC = a e CB = b.CP e perpendicular a AB.CD e perpendicular a PO.
ab
b
A
b
B
b
C
bP
b
O
+ ++
bD
Media aritmetica: M = PO.
Media geometrica: G = PC .
Media harmonica: H = PD.
PROFMAT - SBM Triangulo retangulo slide 6/1
