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Noélia Sofia Rodrigues Soares

TEOREMAS ERGÓDICOS

M

Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Abril 2001

Noélia Sofia Rodrigues Soares

TEOREMAS ERGODICOS

Dissertação submetida à Faculdade de Ciências da Universidade do Porto para obtenção do grau de Mestre em Matemática - Fundamentos e Aplicações

Trabalho realizado sob Orientação do Prof. Doutor José Ferreira Alves

Faculdade de ciências da Universidade do Porto Abril 2001

Aos meus Pais A minha irmã

Ao terminar este trabalho gostaria de agradecer a todos

os que, de alguma forma, contribuíram para a sua

elaboração.

Em primeiro lugar, e particularmente, ao meu

orientador, Prof. Doutor José Ferreira Alves, pela sua

disponibilidade, paciência e motivação, demonstradas

ao longo do tempo que decorreu a dissertação.

Agradeço aos meus Pais e à minha Irmã pelo seu

suporte humano.

Gostaria também de agradecer ao Manuel Flores, pelo

carinho, incentivo e apoio incondicionais mesmo nos

momentos mais difíceis.

Introdução

Um dos grandes objectivos dos Sistemas Dinâmicos visa o estudo do comportamento das órbitas {Tn(x): n > 0} de uma transformação T: X —> X, onde T° = idx e rpn+i _ rp Qrpn ^aia n > 0. Frequentemente esse estudo incide sobre a medição das quantidades f(Tn(x)) para alguma função / : X —»• E, pelo menos em termos da média

-. n—l

-J2foTH n t—J n

Uma questão básica da Teoria Ergódica é a existência do limite destas médias quando n —> oo. E claro que a média existe sempre que z for um ponto periódico de T, isto é, quando Tfc(x) = x para algum fc > 1. Em 1931 Birkhoff provou um resultado que assegura que se T tem alguma medida de probabilidade invariante /i, isto é, li(T~l(A)) = /i(A) para todo o mensurável A, e f é integrável com respeito a fj,, então estas médias existem para quase todo o ponto i 6 l (isto é, eventualmente exceptuando um conjunto com medida [i nula). Este resultado é conhecido como o Teorema Ergódico de Birkhoff. Uma condição necessária e suficiente para que o valor do limite seja o mesmo em quase todo o ponto é que não exista nenhum mensurável A com 0 < /J,(Á) < 1 e T~1(A) = A. Nestas condições, a média temporal

n - l

"""x\ lim - y / o Tj n—*r*~, Ti ^-—^

e a média espacial

n—>oo n 3=0

fdfi

coincidem em quase todo o ponto x G X. A transformação T diz-se, neste caso, ergódica. De um ponto de vista de aplicações práticas, pode ser interessante saber se o recíproco deste resultado também vale: será que pelo facto de / ter um comportamento assimptótico bem definido em termos médios ao longo das órbitas de T podemos concluir que / tem uma média bem definida em X? Buczolich [6] mostra que a resposta a esta questão é, em geral, negativa, dando um contra-exemplo para

i

ii

o recíproco do Teorema Ergódico de Birkhoff. No entanto, se T é ergódica e / é não negativa, então o recíproco vale neste caso.

Uma classe importante de transformações, não só pela sua riqueza dinâmica como também pelas aplicações a que se prestam, são as rotações do círculo. Neste contexto, definimos Tf, o conjunto de rotação de uma função / : R —> R de período 1, como o conjunto dos a G M tais que a média

.. n—l

3=0

converge, quando n —> oo, para quase todo o x € IR. Buczolich [5] mostra que se o conjunto de rotação tiver medida Lebesgue positiva, então a função é integrável (Lebesgue). Assim, do ponto de vista da medida, um conjunto de rotação "grande" (medida de Lebesgue positiva) é suficiente para garantir a integrabilidade da função. Por outro lado, é fácil verificar que Q C Tf, qualquer que seja a função / de período 1, ficando claro que, de um ponto de vista topológico, um conjunto de rotação "grande" (denso) não é suficiente para garantir a integrabilidade da função / . Buczolich [5] vai mais longe, exibindo uma função / não integrável com um conjunto infinito de irracionais independentes (sobre o corpo Q) contidos em IV Ainda neste contexto, Svetic [23] prova que existe uma função não integrável definida no círculo, cujo conjunto de rotação é localmente não numerável, ficando assim demonstrado que, do ponto de vista de numerabilidade, um conjunto de rotação "grande" (localmente não numerável) não é suficiente para garantir a integrabilidade da função. Uma questão interessante que permanece em aberto é a de saber se um conjunto de rotação com dimensão de Hausdorff positiva implica a integrabilidade da função.

Este trabalho está estruturado da seguinte forma: no primeiro capítulo são revistos alguns conceitos fundamentais sobre medida e integração, séries de Fourier e fracções contínuas. Os resultados são apresentados sem demonstração, uma vez que estas podem ser facilmente encontradas nas referências bibliográficas, sendo a sua introdução feita neste trabalho apenas com o intuito de uniformizar notação e esclarecer algum tópico menos claro para o leitor. No capítulo seguinte apresentamos uma prova simples do Teorema Ergódico de Birkhoff proposta recentemente por Petersen [19] e demonstramos um recíproco desse teorema para funções não negativas. Terminamos esse capítulo apresentando um contra-exemplo para o recíproco no caso geral. Finalmente, no terceiro capítulo é estudada a integrabilidade de uma função definida no círculo em função do "tamanho" do seu conjunto de rotação. São abordados os seguintes pontos de vista: conjunto de rotação com medida de Lebesgue positiva, conjunto de rotação contendo infinitos irracionais linearmente independentes (sobre Q) e conjunto de rotação localmente não numerável.

Conteúdo

1 Preliminares 1 1.1 Medida e integração 1 1.2 Medidas invariantes 6 1.3 Séries de Fourier 8 1.4 Fracções contínuas 9

2 O Teorema Ergódico de Birkhoff 13 2.1 Uma prova simples 13 2.2 Recíproco para funções não negativas 18 2.3 Contra-exemplo para o recíproco 20

3 Rotações do círculo 33 3.1 Conjunto de rotação com medida positiva 33 3.2 Conjunto de rotação com infinitos irracionais 40 3.3 Conjunto de rotação não numerável 54

Bibliografia 69

i i i

Capitulo 1

Preliminares

Neste capítulo apresentamos diversos resultados preliminares que serão necessários no desenvolvimento deste trabalho. Em particular, faremos uma breve introdução à Teoria da Medida e Integração com o objectivo de servir com referência para os enunciados e definições básicas. Como referência para este capítulo tomamos os trabalhos [3], [9] e [14].

1.1 Medida e integração Sejam X um conjunto e A um subconjunto das partes de X. Dizemos que A é uma cr-álgebra se forem válidas as seguintes condições:

1. X eA;

2. se A£ A então X \ A € A;

3. se Ai 6 A para i = 1, 2 , . . . , então UÍ>IAÍ G A.

Se a condição 3 se verificar apenas para uniões finitas dizemos que A é uma álgebra de subconjuntos de X. Denominamos de espaço mensurável um par (X, A), onde A é uma cr-álgebra de X, e chamamos mensuráveis aos elementos de A. Uma medida em A é uma função [i : A —> [0, +oo] tal que

1. M0) = O;

2. Se Ai E A para i = 1,2,... e Ai f] Aj = 0 para i ^ j , então

oo oo

M(U4) = I > W i=l i= l

1

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 2

Se Ao é um subconjunto das partes de X, dizemos que A é gerada por Ao se Ao C A e toda a c-álgebra A' de subconjuntos de X tal que Ao C A' satisfaz A C A'. Ou seja, A é a menor (no sentido da inclusão) a-álgebra que contém ,4o-

Se X é um espaço topológico, denominamos de cr-álgebra de Borel a cr-álgebra gerada pelos abertos de X. Designamos os elementos desta cr-álgebra por bore-lianos. Ainda neste contexto, definimos o suporte de uma função / : X —> R como a aderência do conjunto dos pontos x G X tais que f(x) ^ 0.

No resultado que se segue definimos uma medida na a-álgebra dos borelianos de Rn, a qual chamamos medida de Lebesgue.

Teorema 1.1.1. Seja B a a-álgebra de Borel em Rn. Existe uma única medida A : B —* [0, +oo] tal que se I\,..., In são intervalos de R, então

n \(l[li) = \I1\...\In\,

1=1

onde, para cada i, |7j| designa o comprimento de li. Um espaço de medida é um terno (X, A, JJL) onde (X, A) é um espaço men

surável e \i é uma medida definida em A. O espaço de medida (X, A, /i) diz-se finito se fi(X) < oo. Se fi(X) = 1 dizemos que \i é uma probabilidade e (X,A,/J,) é um espaço de probabilidade. Se A é um elemento de A, podemos considerar o espaço de medida (A,A\A,^\A), onde A\A é a a-álgebra formada pelos subconjuntos de X do tipo AC] B, com B £ A, e /J,\A(B) = /i(-B) para B G A\A- Um espaço de medida (X, A, li) diz-se não atómico se, para todo o conjunto A € A tal que fi(A) > 0, existe um conjunto mensurável B C A tal que fi(B) > 0.

Proposição 1.1.2. Seja (X,A,fi) um espaço de medida.

1. Ac B e n(B) < oo ^ fi(B \ A) = n(B) - (i(A).

2. /i(Un>iAn) <En>lMA0-

5. Ai c A2 C • • • =>• //(Un>iAn) = lim/i(An).

^. A D A 2 D . . . e //(Ai) < oo => fJ.(nn>iAn) = \im fi(An).

Se (X,A,fi) é um espaço de medida e A um subconjunto de X, dizemos que A tem medida nula, se existe B G A tal que A C B e fJ,(B) = 0. Diz-se que uma propriedade sobre os elementos de X vale em quase todo o ponto (qtp simplificadamente), se o conjunto dos pontos onde a propriedade não vale tem medida nula.

Seja (X, A) um espaço mensurável. Dizemos que uma função / : X —> R, onde R = RU {—oo, +oo}, é uma função mensurável, se para todo o boreliano A de R


tivermos f~l(A) G A. São exemplos imediatos de funções mensuráveis, as funções constantes e as funções características dos elementos de A. Se X for um espaço topológico e B for a a-álgebra de Borel, então as funções contínuas são mensuráveis.

Para as operações com os símbolos +00 e —00, além das convenções usuais, faremos as seguintes convenções: (±00).0 = 0 e O.(±oo) = 0. Não atribuiremos significado a 00 — 00.

Proposição 1.1.3. Se c eR e f,g: X -^> R são funções mensuráveis, então f + c, cf> f + 9 (sempre que façam sentido) e fg são também mensuráveis.

Proposição 1.1.4. Se (fn)n é uma sucessão de funções mensuráveis, então são mensuráveis:

1. supfn e inf/„; n > l n^1

2. limsup fn e lim inf fn.

Seja (X, A, ji) um espaço de medida. Dizemos que uma sucessão de funções mensuráveis (fn)n converge em medida para a função mensurável / , se para todo o e > 0

\imfi({xeX: | / n ( x ) - / ( x ) | > e } ) = 0. n—»oo

As convergências em medida e em qtp relacionam-se pelo resultado que se segue.

Teorema 1.1.5. Toda a sucessão que converge em medida possui uma subsucessão que converge em qtp. Se o espaço de medida for finito, a convergência em qtp implica a convergência em medida.

Seja (X, A,fi) um espaço de medida. Se A C X denotamos por XA a função característica de A. Dizemos que uma função mensurável não negativa ip é uma função simples, se pudermos escrever

n

onde ai G M e Al G A, com os A^s disjuntos dois a dois. Definimos o integral de uma função simples </? = Xw=i aiXAi como

/

n

ifdji = ^aifj,(Ai). i = i

Este valor não depende da representação de ip como combinação linear de funções características. De facto, se

n l


então terá que ser a^ = bj em Ai D Bj. Donde

n n l I n l

i=l i—l j—l j=l i=l j=\

Se f é uma função mensurável não negativa, definimos o integral de / como

/ fd/j, = sup < / cpdfj, : ip função simples e ip < f

Proposição 1.1.6. Seja f uma função mensurável não negativa. Então J fdji = 0 se e somente se f = 0 qtp.

O resultado que apresentamos a seguir dá uma condição suficiente para que o integral do limite de uma sucessão de funções coincida com o limite dos integrais dessas funções.

Teorema 1.1.7 (Convergência Monótona). Se(fn)n é uma sucessão de funções mensuráveis não negativas tais que / i < fi < ..., então

lim fndfi = lim / fndfi. n—>oo n—>oo /

Dada uma função mensurável / podemos escrevê-la como diferença de duas funções não negativas, mais precisamente, f — f+ — f~ com

f+(x) = max{f(x), 0} e f~(x) = max{- / (x) , 0}.

E imediato verificar que | / | = f+ + f~. Dizemos que uma função mensurável / é integrável se

/ f+dfi < oo e / f~dp, < oo,

ou seja, f \f\dfx < oo. Dizemos que / é semi-integrável se

f+dp, < oo ou / f~dfi < oo.

Em qualquer um dos casos acima, definimos o integral de /

fdp= / f+dfi - J f~dfi.

Sejam A um conjunto mensurável e / uma função mensurável. Dizemos que / é integrável em A, se f\A for integrável. Definimos o integral de / em A por

fdp. = / fXAdii. A J


Proposição 1.1.8. Sejam c 6 M. e f,g funções integráveis.

1. cf é integrável e f cfdji — cffd/J,.

2. f + g é integrável e J(f + g)d[i = J fd/j, + J gdfx.

3. f < g => / fd/j, < J gdfi.

4- Se A e B são conjuntos mensuráveis disjuntos, então

l fdfj, = / fdfj, + / d\i. JAUB J A JB

Proposição 1.1.9. .Se / é uma função integrável, então

I J fdn\ < J'\f\dfM, e temos a igualdade se e só se f > 0 qtp ou f < 0 qtp.

O resultado abaixo dá uma condição suficiente para a integrabilidade do limite de uma sucessão de funções.

Teorema 1.1.10 (Convergência Dominada). Seja ( /n)n uma sucessão de funções mensuráveis tais que \fn\ < g, onde g é integrável, e f = lim^oo fn qtp. Então f é integrável e

lim / fndfj, = / fdfj,. n—>oo

O teorema seguinte dá a relação entre a noção de integral de uma função real de variável real segundo Lebesgue (em relação à medida de Lebesgue nos borelianos de R) com a noção de função integrável segundo Riemann.

Teorema 1.1.11. Se f é integrável segundo Riemann, então f é integrável segundo Lebesgue e os integrais coincidem.

Facilmente se prova que o recíproco deste teorema não é válido. De facto, basta considerarmos no intervalo [0,1] a função característica dos irracionais, que denotamos por Xi- É claro que \i não é integrável segundo Riemann. Por outro lado, \i é uma função mensurável e \i — 1 Qtp, donde se conclui que f XidX = 1 (A denota a medida de Lebesgue). Deste modo, acabamos de ver que a integrabilidade segundo Riemann é mais exigente do que a integrabilidade segundo Lebesgue.

Seja (X,A,fi) um espaço de medida. Se 1 < p < oo, denotamos por Lp(fi) a classe de todas as funções mensuráveis / tais que \f\p é integrável, com a identificação de funções que coincidam em quase todo ponto. Definimos para / G Lp(fi)

I/P

l/pV

CAPITULO 1. PRELIMINARES G

(note-se que, pela definição dada, são iguais os integrais de duas funções que coincidam em qtp).

A Desigualdade de Minkowski estabelece que se / ,g G Lp(fi), então | |/ + g\\p < II/HP + IMIpi donde resulta em particular que / + g G LP(/J,) se / ,g G Lp(/j,) e ||.||p é uma norma. Note-se ainda que, se não identificarmos duas funções mensuráveis que coincidam qtp, ||.||p será apenas uma semi-norma em Lp(fj,).

Definimos L°°(fj,) como a classe das funções mensuráveis / tais que existe algum M > 0 tal que \f(x)\ < M qtp, mais uma vez com a identificação de duas funções que coincidam em quase todo ponto. Denotamos por ||/||oo ° ínfimo dos valores M com esta propriedade; mais precisamente,

||/||oo = i n f { M > 0 : \f(x)\<M}.

É fácil verificar que || H^ define uma norma em L°°(/i). Para 1 < p < oo, se / G Lp(/i), resulta do modo como definimos estes espaços

que / está identificada com uma função mensurável que nunca toma os valores ±oo. Basta notar que, se | |/ | |p < oo para algum 1 < p < oo, então o conjunto dos pontos onde / toma os valores ±oo terá que ter medida nula. Assim, podemos identificar / com uma função mensurável que não toma nunca os valores ±oo. Deste modo, faz sentido falar de / ± g, com / , g G Lp(/j,), para algum 1 < p < oo, considerando se necessário representantes de / e g que não tomem os valores ±oo.

Terminamos esta secção com uma breve indicação de como a teoria apresentada anteriormente se estende a funções tomando valores complexos. Sejam (X, A, fJ.) um espaço de medida e / uma função definida em X e tomando valores em C. Sejam R e / e I m / , respectivamente, a parte real e a parte imaginária de / , isto é, / = Re / + % Im / com Re / e Im / tomando valores reais. Dizemos que / é mensurável se e só se Re / e Im / são mensuráveis e, similarmente, / é integrável se e só se R e / e I m / são integráveis. No caso da integrabilidade de / , definimos

/ fdfi = / Re fdjd + i / Im fd/j,.

Com estas definições, os resultados apresentados anteriormente aplicam-se (com algumas alterações óbvias) a funções tomando valores complexos.

1.2 Medidas invariantes Nesta secção, faremos uma breve referência às medidas invariantes por uma transformação, que assumem um papel de primordial importância na Teoria Ergódica. Começamos com uma generalização da definição de função mensurável.

Sejam (X, A, y) e (Y, B, v) espaços de medida e T: X —> Y. Dizemos que T é uma transformação mensurável se T~1(B) e A para todo B G B. Dizemos que a

CAPITULO 1. PRELIMINARES 7

transformação mensurável T preserva as medidas /t e v se /i(T~1(B)) = u(B) para todo B G B. Estaremos particularmente interessados no caso em que T: X —> X é uma transformação mensurável do espaço (X, A, ji) em si mesmo. Neste caso, diremos que /i é T-invariante quando T preserva \x.

Um espaço de probabilidade (X,A,fL) diz-se um espaço de Lebesgue, se for isomorfo mod 0 ao espaço de probabilidade ([0,1],B, A), onde À é a medida de Lebesgue. Por isomorfo mod 0 entenda-se a existência de conjuntos X' C X e M C [0,1] com n{X') = l e A(M) = 1 e uma função bijectiva tp : X' —* M mensurável com Lp~l mensurável preservando as medidas \L e A restritas a X' e M, respectivamente.

Teorema 1.2.1 (Rokhlin). Qualquer espaço de probabilidade na o-álgebra dos bore-lianos de um espaço métrico separável completo é um espaço de Lebesgue.

Sejam (X,A,fï) um espaço de medida e T: X —> X uma transformação que preserva \i. Se / : X —> M. é uma função mensurável, então / o T é também uma função mensurável. Dizemos que / é uma função T-invariante se / o T = f qtp. Proposição 1.2.2. Sejam (X, A, fi) um espaço de medida e T: X —» X uma transformação que preserva /i. Se f G Ll(n), então f o T G Ll{ji) e

j foTd(i = J /d/x. Sejam (X, A, /i) um espaço de probabilidade e T uma transformação que preserva

ji. Um conjunto A G A diz-se T-invariante se T_1(y4) = A. Dizemos que T é ergódica (com respeito a /t) se todos os conjuntos T-invariantes de „4 têm medida igual a 0 ou 1. A ergodicidade de uma transformação pode ser formulada em termos da constância das funções em Lp(fj,). Proposição 1.2.3. Sejam (X,A,fi) um espaço de probabilidade, T: X —> X uma transformação que preserva ji e 1 < p < oo. São equivalentes:

1. T é ergódica.

2. Se f G Lp(/j,) é T-invariante, então f é constante qtp. Sejam S1 — IR/Z o círculo unitário e A a medida de Lebesgue em S1. Dado

a ê l , definimos a rotação de ângulo a

x i—> x + a (modi) . Temos que Ra preserva A, para todo a G M. e é ergódica com respeito à medida de Lebesgue A se e só se a G R \ Q . Temos ainda que S1 — [0,1]/ ~ , onde ~ é a relação de equivalência que identifica 0 com 1. Assim, o integral de uma função / definida em S1 poderá ser indicado por

/ fdX ou / f(x)dx. Jo Jo


1.3 Séries de Fourier 0 objecto de estudo desta secção é o espaço das funções complexas definidas em [0,1], de quadrado integrável (Lebesgue). Veremos que estas funções podem ser representadas por uma série de Fourier, no sentido da convergência em I?.

Seja H um espaço vectorial sobre o corpo C. Um produto interno em H é uma função (.,.) definida em H x H e tomando valores em C, satisfazendo as seguintes condições para todos x,y,z£He\£C:

1. (x, x) > 0 e (x, x) — 0 se e só se x = 0

2. {x + y,z) = (x,z) + (y,z)

3. (Xx,y) = X(x,y)

4- (x,y) = (y,x)

Um espaço vectorial H munido de um produto interno diz-se um espaço pré-hilbertiano. Facilmente se prova que a função x £ H i-> \\x\\ = (x, y)1^2 define uma norma em H. Se o espaço pré-hilbertiano H com a métrica dada por esta norma é completo, dizemos que H é um espaço de Hubert.

Dado um espaço de Hilbert H, dizemos que dois vectores x,y G H são ortogonais se (x,y) — 0. Um subconjunto S C H diz-se ortonormal se (x,x) = l e {x, y) = 0 para x ^ y. Se S é maximal para a inclusão, isto é, S não está estritamente contido em nenhum outro conjunto ortonormal, dizemos ainda que S é uma base ortonormal de H. Prova-se que:

Teorema 1.3.1. Todo o espaço de Hilbert tem alguma base ortonormal.

Teorema 1.3.2. Seja H um espaço de Hilbert e {ea}aej uma base ortonormal. Então para cada x E H

x = ^2(x,ea) e \\x\\2 = ^ | ( x , e Q ) | 2 . ael ael

Seja (X,A,fi) um espaço de medida. O produto interno em L2(fi) dado por

(f,9) = jfgdfi (1.1)

produz a norma ||.||2 em L2(fi), donde se conclui que L2(/i) é um espaço de Hilbert. O produto interno (1.1) está bem definido pois, se g G L2(/J,) também g G L2{jj).

Daqui por diante, até ao final desta secção, concentrar-nos-emos no espaço de Hilbert L2(X), associado à medida de Lebesgue À no intervalo [0,1] que denotamos por L2[0,1]. De seguida iremos descrever uma base ortonormal de L2[0,1].


Seja {/n}nez uma colecção de funções em L2[0,1] definidas para cada n G Z por

fn(x) = e2*inx.

Facilmente se prova que {/n}nez é um conjunto ortonormal, basta notar que, para m,n G Z se tem

— I 1 Se Til -— 7Z /m/ndA = | 0 g e m ^ n^

Prova-se ainda que:

Teorema 1.3.3. A família {fn}nez é uma base ortonormal de L2[0,1].

Seja / G L2[0,1]. Definimos, para cada Î Î G Z

/(") = </, In) = j iTndX.

Estes números são chamados de coeficientes de Fourier de / € L2[0,1]. Do Teorema 1.3.2 obtemos

\f\2dX= li/Hl = £ | / ( n ) | a . raGZ

Corolário 1.3.4. Se f £ L2[0, l], então YLn^i í (n) fn converge para f na norma de L2[0,1], quando n —>• 00.

A série Xlnez f(n)fn é chamada série de Fourier de / . Pelo Corolário anterior, resulta que a série de Fourier de / representa a função / no sentido da convergência em L2[0,1].

1.4 Fracções contínuas Nesta secção faremos uma breve referência às fracções contínuas, indispensável à apresentação da terceira secção do Capítulo 3. Estaremos particularmente interessados em fracções contínuas infinitas que representam, como veremos mais adiante, os números irracionais.

A uma expressão da forma

a0 -\ ;—, onde a0 G Z e Oj G N para todo i > 1 ai H y—

1 02 + ...


denominamos fracção contínua e representámola por [ao; ai, a2, ■ ■ ■ ]. Se o número de aj's for infinito dizse fracção contínua infinita, caso contrário, dizse fracção contínua finita e escrevemos

ao H ; î = [a 0 ; a i , . . . , a n ] , (1.2) ai H ;

a2+

+ -±-

A fracção contínua (1.2) também chamamos fracção contínua de ordem n. Toda a fracção contínua finita é o resultado de um número finito de operações racionais com os seus elementos a/s, e pode ser representada sob a forma de uma fracção p/q, que designamos de representação canónica. É claro que esta representação não é única. Vejamos, por indução, como definir uma tal representação canónica. Se tivermos uma fracção contínua de ordem 0, isto é,

[a0] = a0

consideramos a fracção ao/l. Suponhamos agora que a representação canónica está definida para fracções contínuas de ordem menor que n. Podemos escrever

[a0; ai, a2 , . . . , an] = [a0; ri] = a0 H , n

onde ri = [a^ a2 , . . . , a„] é uma fracção contínua de ordem n — 1, e portanto a sua representação canónica está definida, isto é,

pi

n = - . Q

Assim,

ao;ai, . . . ,an] — ÜQ\—■ p

Fazendo p = a^p' + q' e q = p', temos [ao; a i , . . . ,an]

Deste modo, temos definidas representações canónicas de fracções contínuas de todas as ordens.

Vamos agora concentrarnos nas fracções contínuas infinitas. Consideremos a fracção contínua infinita

_ a0p' + q' pi

p

[a 0 ;a i ,a 2 , . . . ] . (1.3)


Chamamos /c-ésima aproximação da fracção contínua (1.3), à fracção contínua finita

[ao; c i i , a2 , . . . , Ofe],

cuja representação canónica denotamos por Pk/qk Deste modo, à fracção contínua (1.3) corresponde uma sequência de aproximações

Po Pi Pk

<7o 9i Qk

Se a sucessão acima converge para um número a, consideramos esse a como o "valor" da fracção contínua (1.3), e escrevemos

a = [a0;ai,a2,...].

Teorema 1.4.1. Para k > 1,

1. pk+i = ak+xpk +Pki

2 qk+i — «fc+iÇfc + Qki

3. qkPki PkQki = ( l ) f c

, r ! PkTk+l+Pkl , r ! 4. [a0;a1,a2,. ■■ = ; , onde rk+x = [ak+ù a f c + 2 , . . . .

Ofcffc+i + Ofci Vejamos agora como todo o irracional pode ser representado por uma fracção

contínua infinita. Seja a G R \ Q. Denotemos por ao o maior inteiro não superior a. Temos

a = a0\ . (1.4) ri

E claro que r\ > 1, pois 1/Yi = a — CLQ < 1. Como a é irracional, também r i é irracional. Podemos assim aplicar o mesmo método a r\. Deste modo, denotando por ai o maior inteiro não superior r i , obtemos r2 pela relação

1 ri = ai H .

r2

Mais geralmente, para n > 1, como r n é irracional, denotando por an o maior inteiro não superior a r n , obtemos r ra+i pela relação

1

rn+l


(Notese que o facto de a ser irracional implica que o processo descrito acima é infinito). Ora,

a = [ao;ai ,o 2 , . . . ,a n_i , r n] . (1.5)

Seja ao; Oi, 02, . . . , on_i, an = —,

onde a fracção p n /ç n é irredutível e qn > 0. Por (1.5) e pelo Teorema 1.4.1 temos, para n > 2

a = . QnlTn + Çn2

Por outro lado, temos ainda

Qn Qnl^n + Çn2

Assim, _ Pn _ (Pnlgn2 ~ gnlPn2) ( r n aw)

çn (g„_irn + ç„2)(gnian + çn_2) ' e portanto, resulta do Teorema 1.4.1 que

I Pn\ ^ 1 1 a < 7 77 7 < ^ 7

Çn (gn i r „ + g n 2 ) (Çn lû n + gn2) Qn Logo,

Ü — —> a quando n —> oo,

ou seja, a = [ao',ai,a,2, ■ ■ ■]■

E natural perguntar se esta representação de a por uma fracção contínua é única. Denotando por [a] o maior inteiro não superior a a e supondo que

a = [a0 ;oi ,a2 , . . . ] = [aó;ai ,a2 , . . . ] ,

temos ao = [a] e a0 = [a], e portanto ao = a0. Admitamos que a^ = a[, para todo i € {0, ...,n}. Então, para cada i G {0, ...,n}, temos pi = p[ e qi = q\. Pelo Teorema 1.4.1 vem

Pnr n+1+Pn l = P X + 1 + Pn1 _ jWn+1 + Pn1

Çn^n+1 + 9nl 9n rn+l + 9nl Qn^+i + Çn1

donde, r n + i = r^+1. Como a„+i = [rn+i] e a^+1 = [r^+1], obtemos que an+l = a'n+1. Deste modo, podemos concluir que dado um irracional a existe uma única fracção contínua com valor igual a a.

Capítulo 2

O Teorema Ergódico de Birkhoff

Neste capítulo apresentaremos uma prova simples do Teorema Ergódico de Birkhoff e mostraremos um recíproco desse teorema para funções não negativas. Apresentaremos ainda um contra-exemplo para o recíproco no caso geral.

2.1 U m a prova simples

Sejam (X, A, LI) um espaço de probabilidade e T : X ^ X uma transformação que preserva \x. Se / G L1^), definimos para n > 1

1 n—X

M nT / = - ^ / o T ^ /n=supM f c

r / e r = 8up/„. n n Kk<n n>l

j = 0

A etapa fundamental na prova do Teorema Ergódico de Birkhoff é o lema seguinte.

Lema 2.1.1. Sejam f G LX{LI) e À: X —> M. uma função T-invariante tal que X+ E Ll(n). Se A = {x € X : f*(x) > X(x)}, então

í ( / - A ) ^ > 0. JA

Prova. Para A ^ L1(H\A) temos naturalmente JAXdLi = — oo, como / e L1(LI) resulta que JA(f — X)dpb — +oo > 0.

Se A G L1(H\A), então A G Ll(n). Como A+ G Ll{ji), é suficiente provar que A- G L1(/i|/ic). Se a: G Ac, temos que supn fn(x) < X(x), em particular, fix) < X(x). Assim, em Ac verifica-se que / < A, ou seja, A~ < A+ — / . Resulta da integrabilidade de A+ e / que A~ G L1(/x|J4c).

13

CAPITULO 2. O TEOREMA ERGODICO DE BIRKHOFF 14

Se definirmos, para cada n G N

An = {x G X : fn(x) > X(x)}

temos

( / - A ) X A „ > ( / - A ) . (2.1)

Para a desigualdade acima, notar que, em Acn temos / < A, ou seja, / — A < 0.

Vejamos agora que se / G L°°(fi), então

/ (f-X)dfjL>0. (2.2)

Fixemos arbitrariamente n G N. Para m ^> n, consideremos

m—l Y.U-^XAAT'x). (2.3) 3=0

Esta soma poderá eventualmente iniciar-se por uma soma de termos todos iguais a zero, ou seja, tais que TJx ^ An. Seja kç, = min{0 < j < m — 1 : T^x G An}. Temos

fe-i sup Ty^f(T'+kox) > X(Tkox).

Kk<n K *-i 3=0

Atendendo ao facto de A ser T-invariante, obtemos

1 fc-i sup y(f-\)(T^x)>0.

Kk<n k /r~^ 3=0

Assim, por (2.1) fc-i

Kk<r ,!UP E ( / - VXAn(Tj+kox) > 0. ' ' " " ' 3=0

Desta forma, o /c0-ésimo termo da soma (2.3) inicia uma soma positiva de não mais de n termos. Considerando o termo seguinte ao último termo desta soma, repetimos a análise anterior e voltamos a ter ou somas de termos iguais a zero ou somas positivas de não mais de n termos. Ora, a soma dos m termos de (2.3) pode terminar no meio de um destes dos tipos de somas. Em qualquer um dos casos, existe i G {m — n,..., m — 1} tal que

CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF 15

m—l m—l

Y,U-^)XAn{Tjx) > £(/-A)xAn(7%) 3=0 J=l

> m—l

> m—l

È-ai/iu+A+xr'*)

= m—l

E-(ll/IU + A+(x))

= ( - ^ + ^)(||/||oo + A+(x)) > -n(||/||oo + A+(^)).

Para a quarta igualdade na sequência acima, notar que A é T-invariante. Integrando vem

m—l

3=0

uma vez que T preserva fj, temos m—l

Ê / (/-A)oT''d/i>-n(||/||oo+ /Vd/x),

J2 / (/ - A)d>* > -r»(||/||oo + IIA+I j=Q JAn

Assim, m / ( / -A)d / i>-n( | | / | | 0 0 + ||A+||1).

Dividindo ambos os membros desta desigualdade por m obtemos

/ ( / - A H u > — (||/||oo + ||A+||i). JAU m

Como o segundo membro da desigualdade acima converge para 0 quando m —> oo, obtemos (2.2). Vejamos agora que (2.2) se estende a / G Ll(n). Consideremos, para cada fc,n G N

Â = fX{xex-.\f(x)\<k} e A£ = {x G X : (A)„(x) > A(x)}.

É claro que, para todo k, % G L°°(fj,). Por outro lado, fixado n temos, para quase todo ponto

/ * - / e Cfk)n^fn (fc^oo) (2.4)


A convergência acima também é em Ll{ji). Temos ainda

fi(An) —> n(An) quando k —> oo. (2.5)

Como para todo k, fk G L°°(n), obtemos de (2.2), (2.4) e (2.5)

0 < / Uk-X)dn-* I {f-\)dn (fc->oo),

e portanto, para / G Ll(ii) temos ainda

/ (f-X)dfi>0. (2.6) JAn

Provemos agora que (2.6) implica que J\ (/ — A)d/i > 0. De facto, aplicando o Teorema da Convergência Dominada a (f—X)XAn (n°tar que | ( / — X)XAn\ < \f —A| G Lx{fi) e limn_oo(/ - X)xAn = (f - X)XA qtp) deduzimos que

0 < lim / ( / - X)XAJV = / ( / - A ) X A ^ = / ( / - A)d/x,

o que prova o resultado. D

Se A é a função nula, o lema acima é conhecido como o Teorema Ergódico Maximal.

Teorema 2.1.2 (Ergódico de Birkhoff). Sejam (X,A,/J.) um espaço de probabilidade e T : X —» X uma transformação que preserva ji. Então, dada qualquer função integrável f : X —> R, o limite

1 n—l /(*)= l i m - V / o l F

T7—>r*n T i ^ * n—>oo 77,

exisíe para ç^ase iodo i £ l . Além disso, f é uma função integrável com J fd/j, = J fdfi e f o T — f. Finalmente, se T é ergódica, então f — f fdfi.

Prova. É suficiente provar que

/ lim sup Mj/d/x < / fdfi. (2.7) J n—>oo J

De facto, suponhamos que (2.7) se verifica. Temos

l imsupMj(- / )d / i < / - / d / i , n—>oo J


ou seja, / l i m sup M j ( / ) d / x > [ fdii,

J n—>oo J e portanto

/ l i m i n f M j / d / i > / /d /x . J

n^°° J

Assim,

lim sup Mj/d / i < / /d/i < / lim inf Mj/d/ i < / l imsupMj/d/í , n—>oo 7 J n~*°° ■/ ri—too

donde ( lim sup M j / lim inf M j / ) d/i = 0,

n—KX> n *°°

e portanto, em quase todo ponto

lim sup M„ / = lim inf M„ / , n—»oo n—>oo

o que prova o resultado. Vejamos então que (2.7) se verifica. Consideremos, para cada k 6 N, a função

Tinvariante Àfc = min < lim sup M j / + , fc

É claro que A^ e Ll{^) e {x e X : (f+)*(x) > Xk(x)} = X. Pelo Lema 2.1.1 temos

^ (/+ \k)dy. > 0.

Assim,

/ / + d / i > í Xkdfi^ /> l imsupMj/+ (fc ♦ oo). J J J n—>oo

Ora, como ( l imsupMj/ ) + < lim sup M j / + ,

n—>oo n—>oo

temos que (limsupn_+00 M j / ) + é integrável. Analogamente se prova que também ( l i m s u p ^ ^ M j / ) ~ é integrável e, consequentemente, limsupn_ÍOO M j / é integrável.

Sejam e > 0 arbitrário e A = l i m s u p ^ ^ M j / — e. Pelo Lema 2.1.1 temos

fdfi > / A d/i,

como e > 0 é arbitrário,

l imsupMj/d/í < / /d/í,


o que prova o pretendido. Das observações acima resulta que / é uma função integrável e f fdfi = J fdfx. Por outro lado, é imediato verificar que se o limite existe para algum ponto x € X então também existe para T(x) e coincide com o limite para x, donde se deduz que / o T = / . A conclusão de que / coincide com o integral de / no caso da ergodicidade de T sai assim como consequência da Proposição 1.2.3. D

2.2 Recíproco para funções não negativas Nesta secção demonstraremos que se T é ergódica e / é não negativa, então vale o recíproco do Teorema Ergódico de Birkhoff. Na secção seguinte provaremos que o recíproco não vale em geral.

Teorema 2.2.1. Sejam (X,A,/JL) um espaço de probabilidade, T : X —► X uma transformação ergódica que preserva \x e f : X —> IR uma função mensurável tal que, para quase todo x G X, existe

i " ;

lim V / o T ^ i ) .

Se f é não negativa, então f é integrável.

Prova. Para cada c G l , consideremos o conjunto mensurável

1 n—l Ac={xeX: lim V / o T i ( i ) = c}.

L n—>oo 77, *■—J '

3=0

É claro que Ac é Tinvariante. Como T é ergódica temos fJ,(Ac) = 0 ou /J.(AC) — 1, Assim, existe uma constante c* tal que (i(Ac*) = 1, e portanto, podemos assumir que

1 n—i

lim V f oTHx) = n—>oo n

3=0

em quase todo ponto x £ X. Se definirmos, para cada k > 0, a função mensurável

fk = min{/,/c},

é imediato verificar que fk é limitada, e portanto integrável. Pelo Teorema da Convergência Monótona

lim / fkd/i = / lim fkdii = / fd\x. fc—>oo J J k—*oo J


Assim, para provar a integrabilidade de / , basta provar que a sucessão ( f fkdfi), é limitada. Pelo Teorema Ergódico de Birkhoff, para todo k > 0, existe

1 n—l lim ThoTH

m—>nn Tl *■ * n—too Ti 3=0

para quase todo x E X. Por outro lado, como fk < f, para todo k, temos que

n—l ., n—l

lim V / f c o Tj(x) < lim V / o TJ(x), (2.í

para quase todo x E X. Ora, como

1 n— 1 lim — } f o THX) = c*,

j=0

para quase todo x 6 X, de (2.8) temos

n l

lim V / f c o P ( i ) < c * . (2.9) .).—too n ' «

Seja

n—>oo 77, i=o

/fe = lim V / f c o T J . n—>oo 77, *—»

Sendo T uma transformação ergódica, resulta do Teorema Ergódico de Birkhoff que

fk= fkdfi.

Assim, de (2.9) temos, para todo k > 0

fkdfi < c*,


Vamos agora ver que este resultado pode ser estendido a funções semiintegráveis. Como toda a função mensurável / pode ser escrita como diferença de duas funções não negativas, isto é, / = / + — / " temos, para todo x G X,

. n—l 1 n—l _ n—l

£%.í'lT'H = £2.nE/+ «r>(*) £» ;E/"» r I<). (210) 3=0 j=0 j=0


sempre que os limites existam. Nas condições do teorema anterior, seja / uma função semiintegrável. Podemos

supor, sem perda de generalidade, que / + é integrável. Ora, se para quase todo x G X, existe

. 7 1 — 1

l i m V / C F z ) , n—>oo Tl *—'

i=o obtemos de (2.10) e da integrabilidade de / + que, para quase todo x G X, existe

lim S" f(Tjx). n—>oo n *—'

Aplicando agora o teorema anterior à função não negativa /~ , temos que / _ é integrável e, consequentemente / é integrável. Isto prova o seguinte corolário:

Corolário 2.2.2. Sejam (X,A,fi) um espaço de probabilidade, T : X —■> X uma transformação ergódica que preserva \i e f : X —>■ R m a função mensurável tal que, para quase todo x G X, existe o

. n—l

lim V / C F x ) . n—>oo Ti *—'

Se f é semiintegrável, então f é integrável.

2.3 Contraexemplo para o recíproco Ao longo desta secção assumiremos que (X, A, ji) é um espaço de Lebesgue fini

to não atómico e S, T: X —> X são transformações invertíveis ergódicas. Estas transformações geram, de maneira natural, uma acção de Z2 em X:

I? x X —► X «M),aO ■—> r ^ ' ( x )

Dizemos que esta acção é livre se, para quase todo i G l ,

TSj{x)^x para ( i , j ) ^ ( 0 , 0 ) .

Assumiremos doravante que a acção gerada por S e T é livre. Para N > 1, definimos

fí^ = {(i, j) eZ2:l<i<Nel<j< 2N} c Z x Z .

Apresentamos a seguir um lema que desempenhará um papel importante na cons

trução de uma função que sirva de contraexemplo para o recíproco do Teorema de Birkhoff no caso geral. O lema é apresentado sem demonstração uma vez que as técnicas usadas na sua demonstração se afastam bastante do âmbito deste trabalho.


Lema 2.3.1 (Kakutani-Rohlin). Dados N G N e e > 0, existe A £ A tal que

1. os conjuntos {TlSjA : (i,j) G RN} são disjuntos;

%■ n{\j{i^RNTi&A)>le.

Prova. Ver [17]. □

Incidentalmente, é apenas na prova do Lema KakutaniRohlin que se usa o facto de (X, A, fi) ser um espaço de Lebesgue não atómico.

Lema 2.3.2. Se K e N são inteiros positivos e go é uma função mensurável e limitada com suporte EQ, então existe uma função mensurável e limitada pi tal que

1. f gidfi = f g0dfj,;

2. / i(Uil/v S~*E\) < 2/K, onde Ei denota o suporte de pi;

3 supx e X \gi{x)\ < KsupxeX \g0(x)\;

4 \ £?=o(0i 9o)(Tjx)\ < 2Ksupx£X \g0(x)\, para todos x G X en>l;

\K 5. Di C (JJ= 0T JEQ, onde Di denota o suporte de pi — go.

Prova. Suponhamos, sem perda de generalidade, que fJ,(X) = 1. Sejam

1 AT 2N e NQ = — e e0 K' u ' e u 2(2iV + l ) '

Pelo Lema de KakutaniRohlin, existe um conjunto A G A tal que

1. os conjuntos {TlSjA : (i,j) G RN0} são disjuntos;

2 K{J{hj)eRNJlSJA)>leo.

Sejam 2iV0 N0e

A = ( J TS*A, Ci=\J TSjA e B = \J CjK. (hj)eRNQ J=l J'=i

Definimos pi : X —► R por

Po(x) se x £ A gi{x) =<( 0 se x e Â\B

Ylío1 goiT^x) se xeB.


A função gi está bem definida, é mensurável e limitada (notar que g0 é limitada). Resulta da definição de gi que

/ gid/j, = / godfi. (2.11) Jx\Â Jx\Â

Atendendo a que T preserva \i e, para todo o % 6 {1, ...,NQ — 1}, C; = T _ 1 Q + 1 , temos

Pid/i = / gidfi A J B

N0e „ K - 1

E / E o °T_í^ j = \ JCjK i = o J =

N0e fC-1

= E E / gooT-'dfi j=l i=o J°JK N0e K-\

= Ë E / ^ j = l i=Q JCJK

= ^ E / 5°^

í/od/i. (2.12)

De (2.11) e (2.12) obtemos a propriedade 1. Seja B — X \ A. Resulta de 1 e 2 que

l-e0<íi(Â)= Y, KA)=2N$n(A)<l (2.13) {i,j)eRNo

H{B) = fi(X\A) = l - n(A) <l-l + e0 = e0. (2.14)

Ora,

N N N0e N N0e 2N0 N N0t2N0

U s>B= u s'(UCiff)= U l M U T í / ^ ) = U U U O T i i ^ j=~-N j=-N i=l j=-N i=l 1=1 j=-N i=l 1=1

e portanto


N Noe N+2N0

U SjB = \J (J TlKSjA. (2.15) j=-N i=l j=-N+l

Assim, de (2.13) e (2.15) vem que

N N0e N+2N0

/*( U SJB) < E E vw j=-N i=l j=-N+l

— N0e(2N + 2N0)n(A) — 2A 0

2e(l + 6-MA)

< e(l + | )

< 3 2£-

Por outro lado, de (2.14) temos

JV

MU J=-N

5 jS) < AT

Í>(5) j=-JV

<

(2iV + l)/i(£) (2N + l)e0 e 2"

E claro que Ei Ç B U B, e portanto de (2.16) e (2.17) obtemos

N N

n( (J 5-^) = /z( (J 5^0 N N

< n( U S'£)+/x( (J #£) j=-JV j=-JV

3e e < ¥ + 2 = 2e

2

(2.16)

(2.17)


ficando assim provada a propriedade 2. Resulta facilmente da definição de gi que, para todo o x £ X,

e, consequentemente

\gi(x)\ < Ksup\g0(x) xex

sup|<7i(x)| < Ksup\go(x)\, xex xex

o que prova 3. Para provar a propriedade 4, comecemos por observar que, se x G X e n' > 0

são tais que TK'x G CÍK-(K-I), para algum i G {1,..., A^e}, ou seja, se

2N0

TK'x G (J rK~{K-l)SjA, 3=1

então

donde

2N0

TK'+K-lx<é [JTiKSjA = CiK,

K'+K-1 K'+K-1 K'+K-1

Y, (gi-goWx) = Y, 9i(Tjx)- Y 9o{TJ x)

J=K' J=K' J=K'

K'+K-\

gi{T^^x)- Y 9o(Tj

J=K'

K-\

gi(T K'+K-1 X

= 9i(T K'+K-1 X

= gi(T

= gi{T = 0.

K,'+K-1 X

K'+K-1 X

X

X)

X)

-J29o(Tj+K'

-Y,9°(T~j+K'+K~l

3=0 K-\

-J29o(T-j(TK'+K-lx)) 3=0

-9l(T^K-lx) (2.18)

Para a segunda igualdade na sequência acima, notar que para K' < j < K' + K — 1, TJx ^ CiKi para todo o i G { 1 , . . . , Aoe}. A sexta igualdade resulta facilmente da definição de g\ e do facto de TK +K~1x G CÍK, para algum i G {1,..., Nç,e\.


Fixemos arbitrariamente x G X. Seja /co o menor inteiro não negativo tal que Tkox G A. E claro que se tal k0 não existe, então para todo o j > 0, TJ:r ^ A, e portanto (gi — go){T^x) = 0, para todo o j > 0, o que implica, neste caso, a propriedade 4. Supondo, então, que tal ko existe, seja kç, < k\ < k0 + K tal que ou Tklx G CjiK-iK-i), P a r a algum jx G { 1 , . . . , N0e}, ou Tklx £ A e Tfc'x e Á para ko < k' < k\. Por construção obtemos uma sequência k\ < k,2 < ... tal que para todo o n > 1, ou Tfcnx ^ A ou, se Tknx G Á, então existe um j n G {l,...,N0e} tal que Tknx G CjnK-(K-i)- Vejamos, mais precisamente, como obter tal sequência. Seja n > 1. Se Tfcnx G A, então existe j n G {1,..., N0e} tal que Tknx G Cjn^_(K-i). Se j n < Noe, então consideramos /cn+i = kn + K e j n + \ = j n + 1, temos neste caso

Tkn+1X = Tkn+KX G CjnK-(K-l)+K = C(jn+i)K-{K-l) = Cjn+lK-(K-l)-

Se j n = N0e, tomamos também neste caso kn+\ — kn + K. Ora, como Tknx G CN0-(K-I)I temos claramente que

T " + 1 " x G CN0-(K-I)+{K-I) = CN0-

Logo, se Tkn+1x G A, como Cj = J H ^ C J + I , para j < N0, resulta que

Tk^x G d = CK-(K-I)

e, obviamente, consideramos neste caso, j n + í = 1. Se Tknx ^ A, seja /cn+i = &„ + 1. Ora, se Tkn+1x <£ A repetimos o processo, caso

contrário temos T~l(Tkn+1x) = Tknx $ Â,

e portanto Tk^x G Cx = CKHK-X),

e, tal como anteriormente, fixamos jn+i = 1. Para n > 1, se Tfcnx G A, resulta de (2.18), fazendo K' — kn, que

fcn+l-l fcn + K - l

^ ( S I - < ? O ) ( T V ) = X ] ( 5 i - 5 o ) ( T ^ ) = 0. (2.19)

Se Tfcna; ^ A, então /cn+i — 1 = kn, e neste caso, por definição de g\, também se verifica que

E (9i - 9o)(TJx) = (5l - £o)(Tfc"x) = 0. (2.20)


Por outro lado, temos ainda fci — 1 fci—1 fei —l

\J2(9i-9o)(T>x)\ = | j > ( T ^ ) - Y^9o(Tjx)\ j=k0 j—ko j=k0

fci-1

= \gi(T^-lx)-J2gQ(T^)\ j=ko

= if^goiT-^T^x^-f^go^x)] i—O j=ko

K-\ ki-1

< ^|flb(T- i+fcl-1a:)| +J3 | ( to (T^) | i=0 J=feo

< 2Ksup\g0{x)\ (2.21)

Para a segunda igualdade na sequência acima, notar que, se Tklx G C^K-ÍK-I) c o m

ji G {1, ...,N0e}, então Tkl~lx G C^-^K e, para todo k0 < j < ki — 1, TJx ^ 5. Por outro lado, se Tfclx ^ A, então para todo fco < j < fci — 1, T^x G A Em particular, Tkl~lx G A Como d = T~1Ci+\ temos que Tkl~1x G CW„ = CW/r e T^x £ B para todo ko < j < kx — 1.

Para kn < M < kn+i, atendendo ao facto de kn+\ — kn < K, temos

M M

I X > i - 0ô)(T'x)| - I J ] »o(TJx)| < i^sup |^o(x)|. (2.22) J—Kn J—n>n

Para todo 0 < j < ko, TJx ^ A, e portanto

fco-i

j > i - < t o ) (2**01=0. (2.23)

De (2.19)-(2.23) deduzimos que, para todo o n > 1, n - l

| V ( 5 i - 5 o ) ( ^ x ) | < 2 ^ s u p | 5 o ( x ) ! .

Como x G X é arbitrário, temos a propriedade 4. Finalmente, para provar 5, seja x G Dj.. Se g\{x) ^ 0, então

9i(x) = ^gQ{T-Jx),


e portanto, existe j G {0 , . . . , K — 1} tal que gîT'^x) ^ 0, ou seja, tal que T~jx G E0, donde x G TJE0 para esse j . Assim, x G l)f=QTÊQ, e portanto Dx C UJ^QTÔ-Se gi(x) = 0, é claro que x E E0 Ç UJLQTÊO, e portanto a propriedade 5 verifica-se também neste caso. D

Sejam (A, A, JJ) um espaço de medida e T : X —> X mensurável. Dado e > 0, dizemos que uma função mensurável / : X —> R é (T, e)-anulável se existe A ^ € 4. tal que /z(A \ ATi£) < 2e e |Mj / (x ) | < e, para todos n > 1 e x G X ^ .

Lema 2.3.3. 5ej/a i? o suporte de uma função mensurável f : X —> R. 5e A > 0 é ia/ çue /w(Uj=o-^1~J ') < 2e e | ? r o / (T J x) | < Ke, para todos n > 1 e x G X, então f é (T,e)-anulável.

Prova. Seja AT>e = X \ [JJ^QTÊ. Temos claramente que o conjunto AT>e é mensurável e jj,(X \ XT,e) < 2e. Vejamos agora que se x G XTtf,, então \M%f(x)\ < e, para todo n > 1. De facto, dado x G XT,£ temos que x G" UJLQT - - 7 ^, e portanto para todo j € {0 , . . . , K}, TJ(x) ^ £ , ou seja, f(Tjx) = 0. Assim, para x G Ax,e, se n < K temos \M^f(x)\ — 0; se n > K

n - l

\Mlf(x)\ = \l-Yjf{Tx)\<I^<e j=0


Lema 2.3.4. Se (ej)j>o é uma sucessão estritamente decrescente tal que 1/CJ G N para todo j e YlJLo ej < °°> enô existem funções / j : X —> R tais que

1. n(Ej) < 2ej, onde Ej denota o suporte de ff,

2. ffidfM^l;

3. /2j+i - Í2j é (S,e2j)-anulável;

4- Í2j+2-f2j+i é (T,e2j+i)-anulável.

Prova. Seja f-i(x) — 1 para todo x G X. É claro que /_i é uma função mensurável e limitada. Se

1 1 2 1 2 X0 = — e N0 = 2 = 2 suPlZ-iWl»

£o Co £i Co £i xex pelo Lema 2.3.2, fazendo K = Ao, N = N0 e g0 = / _ 1 ; existe u m a função mensurável e limitada fo, de suporte EQ, satisfazendo as propriedades do Lema 2.3.2.


Admitamos que f2j está bem definida, para algum j > 0, e seja E2j o suporte de f2j. Sejam

K 1

2j+l 1 2

e iY2j-+i = 2— SUP I hi ix) I • e 2 j+ l e 2j+ l É2J+2 i t í

Aplicando o Lema 2.3.2, fazendo K = K2j+i, N = N2j+i, go = /2j e invertendo os papéis de 5 e T, existe uma função mensurável e limitada f2j+i, de suporte E2j+i, satisfazendo as seguintes propriedades

(hi+i) / hj+idfJL = / /ajd/i = 1;

/ #2.7 + 1 N

("2j+i) AM U T~lE2j+l J < 2e2j+i;

(m2j+i) SUP l/2j+i(^)| < sup |/2j(a;)|; xGX É2j+1 I6X l™2j+l,

7 1 - 1

i=0

< sup |/2j(a;)| Vx G X Vn > 1; Ê2j+i x e x

^ 2 j + l

(Ü2J+I) £>2j+i C [ J S ^ j , onde D2j+1 denota o suporte de f2j+1 - f2j. i=0

Admitamos agora que f2j-i está bem definida, para algum j > 1. Seja -Ey-i o suporte de f2j-i e sejam

1 1 2 K2j = — e N2j = 2— sup | /2 i_i (x) |.

e2j % ' e2 j+ i XGX

Pelo Lema 2.3.2, fazendo K = K2j, N = N2j e gQ = f2j-i, existe uma função mensurável e limitada f2j, de suporte E2j, tal que

1*2.7

\%%2i,

\lll2i

[iv2j

/ hjdfi = / f2j-idfjL = 1;

M U 5 ~ ^ <2e2 j; ^ i=-N2j '

sup |/2j(ar)| < — sup \f2j-i(x) x&X É2j x<EX

n - 1

E ( / « - ^-i)(T' Jb ,

i=0

< — sup|/2 j_i(x)| £2j xex

Vz 6 X Vn > 1:


(v2j) D2j C M TlE2j~i, onde D2j denota o suporte de fy — fij-i-i=0

Vejamos agora que as funções acima definidas satisfazem as propriedades 1-4. A propriedade 1 resulta facilmente de (iÍ2j) e (Ü2j+i)- Também de (i2j) e (i2j * obtemos a propriedade 2. Vejamos agora a propriedade 3. De f fzj-idfi = 1 v

í+ ly vem

que sup^x |/2j_i(x)| > 1, e portanto

1 2 1 2 1 iV2j = 2— sup |/2j-_i(a:)| > -2— > = K2j+i,

e, consequentemente, de (t>2j+i) temos

K2j+1 N2j

e portanto

1=0 1=0

N2j N2j N2j

i=0 i=0 1=0 N2j N2j = uu^+% i=0 /=0

= U S~l^r Í=-N2]

Donde, por (n2j

, A T 2 J . . N:

J{JS-*D2j+1] <J U 5-%->)<2e2i. (2.24) ^ i=0 ' ^ i=-N2j '

Por outro lado, de (üz2j) e (ú^j+i) vem

l E ( / 2 i + l - / 2 i ) ( ^ ) l < ^ - S U p | / 2 j ( x ) |

< sup | / 2 j_ i (x ) | e 2 j + l Ê2j xeX

= N2jt2j+1 < N2je2j, VxeX Vn > 1. (2.25)


Deste modo, de (2.24) e (2.25) temos pelo Lema 2.3.3, fazendo K = JVy, que /2j+i — f2j é (S, e2j)anulável, o que prova 3. Por um raciocínio análogo ao usado para provar 3, facilmente se prova a propriedade 4. D

Teorema 2.3.5 (Buczolich). Sejam (X,A,fi) um espaço de medida de Lebesgue, finito e não atómico, e S, T : X —> X transformações ergódicas que geram uma acção livre de I? em X. Então, existe uma função mensurável f : X —> R tal que, para quase todo x G X,

M%f(x) —> 0 e M„f(x) —> 1 quando n —> oo.

Prova. Seja (/_,)j>o a sucessão de funções mensuráveis e limitadas, definidas no lema anterior.

Seja / = ]Cílo(—O^'/j Vejamos que a soma que define / converge em quase todo ponto. Tal verificase pois ^ ( H ^ Uj>j Ej) = 0. De facto, pela propriedade 1 do Lema 2.3.4 e pelo facto de Y^jLo ej s e r u m a série convergente, temos

n{ n~! \Jj>iEj) = lim n( Uj>n Ej) < lim V n{EA < 2 lim Y^ e, = 0 n—>oo ' n—>oo ■'-—' ' n—>oo ■<-—' "

Vejamos agora que / satisfaz o que pretendemos. Para isso, comecemos por provar que, para quase todo x G X, M^f(x) —» 0 quando n —> oo. Assim, sejam e > 0 arbitrário e N > 0 tais que ^°^_ 2 N

ej < e/^ Como, para todo j > 0, hj+i — hj é (S1, e2j) — anulável, existe para cada j > 0 um conjunto Xj i£2j tal que ^X\Xs^)<2e2je

\Msn{f2]+l f2j){x)\ < e2v (2.26)

para todos x 6 Xsi€!y e n > 1. Seja ^ = E j f o " 1 ! 1 ) ^ 1 / ; É fácil verificar que ^w = Ejl^C/bj+i hj), e

portanto da propriedade 2 do Lema 2.3.4 resulta que J g^dn — 0. Pelo Teorema Ergódico de Birkhoff temos, para quase todo x G X,

Mng^{x) —► 0 quando n —> oo.

Assim, pelo Teorema 1.1.5 existem um conjunto mensurável X^ e Ni > N tais que, fi(X \ Xff) < e/2 e para todos x € X^ e n > Ni

rS. e

\MbngN{x)\ < . (2.27)

Seja X = XN n ( n°l,v Xs,eij). Ora,


KX\X) < ^(X\XN) + Y;^X\Xs,2j. j=N

< oo

^ + 2 E ^ j=N

oo

< i + 2 5 > j=2N

< e e 2 + 2

= e.

Por outro lado, para todos x E X e n > Ni, resulta de (2.26) e (2.27) que

oo

\MSJ(x)\ = |MBs5Í(-l)Vi i=o

J V - 1 oo

= M ( E(/2i+l - /«)(*) + £ ( / W - fy)(x)) | i = 0 j=Af

iV-1 oo

< \Msn E(/2i+i - /2i)W| + |M* £ t /Wi - /2i)Or)

j V - 1 oo

< \Msn E(/2i+i - /«)(*)! + E lM- (/«+i - Aí)(s) j = 0 j=jV

oo

= |MnV(x)| + ElMn(/2i+ l-/2,)W| i=7V

oo

< | + E ^ oo

< ^+Ee^' j=2;V

e e < 2 + 4 < e.

Como e > 0 é arbitrário temos, para quase todo x € X,

M^f(x) —> 0 quando n —> oo.


Considerando agora gN = Ej=o(~1) '?/j , o u seJa> 9N = fo + Y,f=o(f2j+2 - fij+i), temos que J g^dfi — 1. Por um raciocínio análogo ao anterior obtemos, para quase todo x G X,

M^f(x) —> 1 quando n —> oo,

o que prova o pretendido. D

Como consequência deste último teorema, temos que o recíproco do Teorema Ergódico de Birkhoff não vale em geral. Note-se ainda que, pelo Corolário 2.2.2, a função / do teorema anterior não é semi-integrável.

Capítulo 3

Rotações do círculo

Neste capítulo denotaremos por A a medida de Lebesgue (em 5 a ou E) e Ra a rotação de ângulo a em S1. Dada uma função mensurável / : S1 > R e a G K definimos, para n > 1

1 n—l

j=0

e o conjunto de rotação da função / , r^ = { a G E: M"f(x) converge, quando n —> co, para quase todo x G S1 }.

Se f é integrável, resulta do Teorema Ergódico de Birkhoff que Tf = E. Mais precisamente, se a G M\Q, então _Ra é ergódica e portanto, para quase todo I G S 1 ,

M%f(x) —► / /dA (quando n —> oo).

A convergência acima não vale se « e Q. No entanto, nesse caso, todas as órbitas são periódicas e portanto M%f(x) converge para a média de / na órbita de x.

Se / não é integrável, a única garantia que temos é, pela observação acima, que Q C Tf. No entanto, resulta do Teorema 2.2.1 que se f é não negativa, então

3.1 Conjunto de rotação com medida positiva Vamos mostrar que se o conjunto de rotação de / : S1 —> E tiver medida positiva, a sua integrabilidade fica garantida, e portanto Tf = E.

Teorema 3.1.1 (Buczolich). Seja f : S1 —> E uma função mensurável. SeVf tem medida de Lebesgue positiva, então f é integrável.

33

CAPITULO 3. ROTAÇÕES DO CIRCULO 34

Prova. Dados a G S1 e N G N definimos Ga^ como o conjunto dos pontos x £ S1

tais que \f(x + na)\ < n para n > N e | /(x + /ca)| < iV para k — 0 , . . . , N. Observese que o conjunto Ga JV é mensurável, facto que resulta da mensurabilidade de / .

Para todo x E S1, temos

1 n 1 n—l

\M:+J(x)MZf(x)\ = | — £ / ( * +ja ) £ / (* +ja)| j=0 i=0

1 / 1 1\ n _ 1

= I fix + na) + y ^ / ( ^ + 7 'n + 1 V ; U+ 1 TI/ ^

> _l_ | / ( x + n Q ) | __ l_ | M ; / ( x )

e portanto

— | / ( x + na)\ < \MZ+J(x) M«/(x) | + — | M n « / ( x ) | . (3.1) n + 1 n + 1

Se a G Tj, resulta facilmente da definição de Tf que, para quase todo x E Sl,

1 | M n V ( i ) M n 7 ( , ) h û e — | M n " / ( * ) H 0 ,

quando n —> oo, donde pela desigualdade (3.1)

1 n

e portanto,

—fix + na) —> 0 (n —> oo)

1 „ , n + 1 1 ., . n . , —j(x + na) — j[x + na) —► U (n —■» oo). n n n + 1

Assim, se a € F/, para quase todo x G S1 existe J V ' G N tal que \f(x + na) | < n para n > N' e, consequentemente existe iVx G N tal que x G Gaijv para N > Nx. Vejamos agora que existem N G N e e > 0, tais que o conjunto dos a G Tf que verificam À(GQiArn6'1) > e tem medida positiva. De facto, se definirmos para Í V G N e a E S1

Aa,N — Ga,N n 61


é claro que, pelas observações acima, para cada a G Tf, U^^^Aa^ = S1 em quase todo ponto. Assim, para cada a G Tf existem N(a) e n(a) tais que

HGa,N(a) n S ) > n{a)

Definindo agora, para í i , JVeN

Bn,N = {a€Tf. \{Ga>N n S1) > - } , n

temos UnijveN-Bn,Jv = T/. Ora, como A(r^) > 0 existem JV0 e n0 = 7 , tais que

\({a € r> : A(Gai7Vo n S1) > e0}) > 0, (3.2)

o que prova o pretendido. Fixemos N e e de modo a verificarem (3.2), e seja

A = {aeTf: A(G a , w n5 1 ) > e}.

Para cada a G S1, seja Ha — M\Ga^ (note-se que N é fixo). Consideremos a função mensurável definida para cada a G A por a(a) — X(Ha H S1). Resulta facilmente da definição de A que a(a) < 1 — e, para todo a G A. Consideremos ainda a função mensurável definida por

1 se a; G Ha e a G A,

h(x, a) = { TT se x é Ha e a G A, 1 1 — a(a)

0 se x e R e a £ A.

A função h é periódica em x de período 1. Por outro lado, tendo em atenção que a(a) < 1 — e para todo a G A, é fácil verificar que, para todos a G S*1 e x G R

\h(x,a)\<-. (3.3)

Para cada a G A temos ainda que

h(x,a)dx = / h(x, a)dx + / h(x,a)dx S1 JGa^nS1 JHCDS1

aia) -dx + / ldx GaNnsl l-a{ot) JHanSl


" À(Ga,,v n S1) + A(tfa n s1) 1 — a(a

aia) 1 — a(a)) + a(a) 1 — a(a/

— —a(a) + a(a) = O,

se a ^ A é claro, pela definição da função h, que o resultado acima também se verifica, e portanto, para todo a G S1

h{x,a)dx = 0. (3.4) Js1

Seja, para cada n > 0 B„ = { i e 5 1 : | / (z) | > n } .

Observemos que se n > N e x — na <E Ga>N, então | / (x) | = \f({x — na) + na)\ < n. Assim, para n > N, se x € £?„, então ï - n a G i/Q, se a G A temos ainda que h{x — na,a) = 1, e por conseguinte

; . - / h(x — na, a)da — 1. (3.5) A(A)A

Fixado a G 51 , denotemos o /c-ésimo coeficiente de Fourier da função h(. ,a) por hk{a), ou seja,

fcfc(a) = [ h{x,a)e~27TÍkxdx. Js1

Temos que h^ é uma função em a mensurável. Por outro lado,

\hk(a)\ = | / h{x,a)e~27Tlkxdx\

< \h(x, a)e~2mkx \dx Js'

= L \h(x, a)\dx

< sup xes1

\h(x ,a)\

< 1 e


donde se conclui que hk é limitada. De (3.4) resulta que, para todo a 6 S1 , hü{oí) = Li h(x,a)dx = 0. De notar ainda que, se a £ A então hk{a) = 0, para todo k.

Consideremos agora, para cada n G N, a função mensurável e limitada Gn definida para cada x 6 IR por

Gn{x) = / h(x — na,a)da. A\A) JA

A função Gn é limitada pelo facto da função h ser limitada. Denotando o /c-ésimo coeficiente de Fourier da função Gn por Gnik, temos

Gn,k = / Gn{x)e~^kxdx 'S

= / I T^TT / M^ - ™«, Oi)da ) e 2nikxdx Jsi \X(A)JA )

= —— / h(x - na, a)e~2'nikxdadx *{A) JSí JA

= —— / / h(x - na, a)e~2nikxdxda KA)jAJSl

A veracidade da penúltima igualdade na sequência acima assenta no facto da função integranda ser limitada, e portanto podemos trocar a ordem de integração. Relativamente à última igualdade, observemos que, para cada a € S1, a série de Fourier de h(* , a) é dada por

J2hk(a)e2mkx

e portanto, a série de Fourier de h(* — na, a) é dada por

J2M^)e2nik{x-na) = ^hk(a)e~2mknae2 ^—2-KÍkna Jlirikx lLk\Ui)t

fcez fcez

donde se conclui que hk(a)e~2mkna é o /c-ésimo coeficiente de Fourier da função h(* — na, a).

Para n > N, resulta de (3.5) que

CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CIRCULO 38

Donde

X(Bn) = / Idx J Bn

— / I TTT; / h(x — na, a)da) dx JBAK^JA J

< / TTT7 / h(x — na, a)da) dx - Jsi\\(A)JA J = / \Gn(x)\2dx

Js1

2 = Eis» fcez

E A^) < E E^> n>iV+l fcez

= Ê E ia fceZ n>iV+l

< EEie»

2 . fe l

ra>AT+l n>N+l k&Z ! - n,fc|

keZ n>N+l 2

fc€Z n>l

= EE!-^ /w e ~"W fcez n> l ^ i JA

= T7^EEl /^ (« ) e _ 2 7 r i f e n a H 2

^ ' fceZ n>l ^

por outro lado, como JAhk(a)e'27riknada é o fcn-ésimo coeficiente de Fourier da função mensurável e limitada h^XA temos, para todo k

J2\ I' hk(a)e-2*lknada\2 < J^\ í hk{a)e~2^iknada\2

hk(a)\2da. k A

Assim, usando (3.3), temos pelas observações acima


E A w * x h ^ ^ ^ ílk{a)e^lknada\ i>N+l ^ ' keZ n > l ^ A

- TTT^E / fik(a)\2da

= ^LL]hM]2dxda

1 X(A)e2

< oo,

e, consequentemente

^ À ( £ n ) < o o . (3.6) n > 0

Vejamos agora que (3.6) implica a integrabilidade da função / . De facto,

/ \f\dX = E / \f\dX

< Y^KBn-i\Bn)n

= Y^{KBn-i)-KBn))n

= Y,KBr, n>0

< OO,


Do teorema anterior conclui-se que do ponto de vista da medida, um conjunto de rotação "grande" (medida de Lebesgue positiva) é suficiente para garantir a integrabilidade da função.


3.2 Conjunto de rotação com infinitos irracionais Dizemos que os irracionais a i , . . . , am € Sl são independentes, se 0 não puder ser escrito como combinação linear racional de a\,...,am, isto é

aitti H h amam = 0 1 S =*> a! = • • • = am = 0. o i , . . . , o m e Q J

Observe-se que, se a e /? são irracionais independentes, então i?a e Rp geram uma acção livre de Z2 em S1. Do Teorema 2.3.5 resulta, em particular, que existe uma função mensurável não integrável / : S*1 —* R tal que a,/3 € Tf. Nesta secção mostraremos que este resultado pode estender-se a um conjunto numerável de irracionais independentes. Antes, porém, mostraremos alguns lemas essenciais à sua prova.

Um conjunto mensurável A C R diz-se de período 1 se A + n = A para todo n G Z.

Lema 3.2.1. Se Ai,A^ C R são conjuntos mensuráveis de período 1 com X(A\ n S1) < 1/4, então existe x G S1 tal que

x(A, n (A2 + x)n s1) < A ( A 24

n^} . (3.7)

Prova. Observemos que

X(Ai f] (A2 + x) n S^dx = XA1{y)XA2{y + x)dydx sl Js1 Js1

= XA1(y)XA2(y + x)dxdy Js1 Js1

= í XAÁy)KM^sl)dy Js1-

= \(A1ns1)x{A2ns1) x{A2 n sl)

4

e portanto, existe algum x G S1 que verifica a condição (3.7). D Dados um ponto i £ l e um número real n > 0 definimos

T ( _ 1 4-Ih J-x;q — \X , X -f- I.

Lema 3.2.2. Sejam ct\,..., am E S1 irracionais independentes. Para todo o M G N e e G (0, | ) , existem conjuntos G C G C M. de período 1, tais que


1. e < X{G n S1) < 2e e À(G n S1) < 3e;

2. os conjuntos G D S1 e G (1 S1 consistem na união de um número finito de intervalos abertos;

3. para todos j G { 1 , . . . , TO} e x G M, se x + ocj G G e x ^ G, então x + kocj G G, para iodo o k G { 1 , . . . , M + 1}; se x <£ G, então x + kocj <£ G, para todo o ke{l,...,M}.

Prova. Seja K > M um inteiro tal que

i f + M V " < ? . (3.8) K

Se definirmos

A = {aiCKi + • • • + amam + r: a* = 0,.. .,K — 1; i = 0, . . . , m e r G Z }

e

Á = {ai«i + • • • + a m a m + r: Oj = — M , . . . ,K — 1; i = 0 , . . . ,TO e r G Z},

então claramente

#(AnS1) = Km e # ( I n 5 1 ) = (/í + M)m. (3.9)

Note-se que os irracionais cti,... ,am G S1 são independentes. Seja 5 > 0 tal que para 0<r)<6ep^qEA, os intervalos Jp^ e 7gi?? sejam disjuntos. Se

Siri = U p g ^ i p ^ e n^ = ^Jpç^lptr]

resulta facilmente de (3.9) que

\{HV n S1) = Km?] e A ( ^ n S1) = (X + M)mr). (3.10)

Analisamos agora dois casos possíveis: 1. Se X(HS n S1) = Km6 < e, seja B1 = Hs. Ora, X(B1 n S1) < 1/4. Pelo Lema

3.2.1, fazendo A\ — Ai = J5i, existe Xi G S11 tal que

x{B1 n (#5 + Xl) n s1) < A( / /64

n g l ) = ^iT"<5.

Seja agora B2 = BiU(Hg + Xi). Se À(52n5'1) > e, tomamos G = B2, caso contrário, aplicamos novamente o Lema 3.2.1, agora com Ai — B2 e A2 = Hs, e conclui-se que existe x2 G S*1 tal que

X(B2 n (jffi + x2) n s1) < A ( ^ 4n Sl) = \K™Ô.


Admitindo agora que Bn está bem definido, para algum n, e é tal que \{Bn fl Sl) < e < 1/4, aplicamos o Lema 3.2.1, com Ai = Bn e A2 — Hg e obtemos xn 6 5 1 tal que

Seja Bn+\ = Bn U (i/5 + xn). Observe-se que

A((fîn+1\5n)n51) = AíPs + x ^ ^ n ^ 1 ) = A(((#fi + xn) nS1) \ {(Hs + xn) nB„nS1)) = A p s + x J n ^ - A p í + ^ n ^ n s 1 )

> iCm5 — 4

= ^m<5,

por outro lado,

e portanto

Assim, existe

\{{Bn+1\Bn)nS1)<\(H6nS1)<e,

^m(5<A(( JB n + 1 \ JB n )n>S 1 )<e. (3.11)

7V< ^ ^ + 1 = t 4 < T ^ > (3-12)

tal que \(BN-I D S1) < e < \(B^ H S1) < 2e. O conjunto G que pretendemos é precisamente

G = BN = ufj01(Hs + xJ), comx0 = 0.

Note que, das observações acima resulta

e< XiGnS1) <2e.

Definindo agora G = ufs0

1(Hs + xj),


é claro que G C G e

xidns1) = ^ufs^Hs + x^nS1)

< N{K + M)mÔ

\K™6'

< T^(K + M)m6 4 8ÍK + M 3V K e

89 < 38 £

= 3e.

As segunda, terceira e quinta desigualdades na sequência acima são uma consequência imediata de (3.10), (3.12) e (3.8), respectivamente. Fica assim provada a propriedade 1. Resulta das definições de G e G que G C\ S1 e G D S1 consistem na união de um número finito de intervalos abertos, o que prova 2. Para provar 3, sejam x G R e j G { 1 , . . . , m}. Se x + a,- G G, então existem xn G S1 com n G {0 , . . . , N — 1}, r 6 Z e ai,..., am G {0 , . . . , K — 1} tais que

|x + Qj - (dicti H h omam + r + xn) | < -

ou seja

\x - (oiuíi + h (Oj - 1)QJ + • • • + a m a m + r + xn)\ < 2'

Ora, se x ^ G temos Oj = 0, e portanto para todo o k G { 1 , . . . , i f} , x + koij G G. Como K > M + 1, temos em particular que x + fco,- G G para k G { 1 , . . . , M + 1}.

Se x ^ G e x + /cet,- G G, então existem xn G 5 1 com n G {0 , . . . , iV — 1}, r G Z e a i , . . . , am G {0 , . . . , K — 1} tais que

|x + fccüj - (oiai H h amam + r + x„)| < - ,

ou seja

|x - (ai«i + ••• + ( % - /c)aj + h amam + r + x„)| < - .

Ora, como x ^ G temos aj — k < —M, isto é, k > M + a,j > M, e portanto x + fcctj ^ G, para todo o A; G { 1 , . . . , M}, o que prova 3.

2. Se A(//« n S1) = Km6 > e, seja r] G (0,5] tal que Kmrj = e. Considerando,


neste caso, G = Hv e G — HV) temos que X(G n S1) — e e

x(dns1) = xfanS1) = (K + M)mr]

K + MX '" K

Kmn

9 < ? < 3e.

A segunda igualdade na sequência acima é uma consequência imediata de (3.9). A quarta desigualdade resulta de (3.8). Fica asim provada a propriedade 1. Das definições de G e G é claro que se verifica a propriedade 2. Usando os mesmos argumentos do primeiro caso, facilmente se prova que a propriedade 3 também se verifica neste caso, ficando assim provado o lema. D

Lema 3.2.3. Sejam a i , . . . , a m G S1 irracionais independentes. Para todo c > 4 existem conjuntos Gc C Gc C R de período 1, tais que l/c < \(GC Pi S1) < 2/c e X(GC Pi S"1) < 3/c, e existe uma função fc: S1 —> M satisfazendo

1. fc{x) = 0 para x <£ Gc, \fc\ < 2c e í \fc\d\ > 1/3; Jsl

2. Mn3 fc(x) ~* 0, quando n —> oo, para íorfo j e { 1 , . . . , m} e auase todo x E S1 ;

3. para todos n > 1, j € { 1 , . . . ,m} e x £ Gc, \Mn3 fc(x)\ < l /c.

Prova. Sejam e = l/c e M G N tal que M > 12c2. Pelo Lema 3.2.2 existem conjuntos Gc = G e Gc — G de período 1, satisfazendo as propriedades 1-3 do referido lema, nomeadamente, tais que

- = e< X{Gcr\Sl) <2e = - e X(Gcn S1) < 3e =-.

Temos ainda que

Gc D S1 = Ùi=1/t, com Jj intervalos abertos.

Por [8, pp 53], para cada fceN, existe w^ > k tal que

| 1 _ e 2 ^ f c a J | > l para j € { l , . . . , m } . (3.13)

Ora,


lim / | cos(27TWkx)xGc(x)\dx = l im / \cos(2-KWkx)\dx

— lim y / | cos(2iïWkx)\d. k—>oo *-—' IT

i=l J li

= > lim / i=l J li

cos(27TWkx)\dx (3.14) K—>00 / r

Seja Ï 6 { 1 , . . . , /} . Escrevendo li = (a, 6), temos

/ | cos(27Tt(;/icx)|da; = / | cos(2nWkx)\dx J li J a

^ ruikb — — / | cos{2ixx)\dx.

Sejam 2rjn o menor múltiplo de 2n superior a uâ e 29TT o maior múltiplo de 2/T inferior a w^b. Assumindo k suficientemente grande temos

2r/7r 2TT WkCi < 2r]7T < Wkd + 2TT -W> a < < a-\

wk wk e portanto

> a quando k —» oo. wk

Por um racíocinio análogo, prova-se que 29n

b quando k —> oo. wk

Das observações acima resulta que fwkb

lim / | cos(2iïWkx)\dx = lim — / | cos(27rx)|ofe fe-*°° Jli ' k^°° Wk JWka

= l i m — ( / |cos(27rx)|(2^7r-2r]7r)(Í2; + C kôo Wk \Jsi

,. , .29-K 2rj7r\ f . ,0 . . . C lim / cos(2iTX)\dx H

fcôo \\Wk Wk J Jsi ' Wk

= (b — a) | cos(2-7nr)|Gfe Js1

= X(Ii) / | COS(27TX)|C/X,


donde se conclui que, para todo i G { 1 , . . . , 1}

/ | cos(2iTWkx)\dx —> \(Ii) / | cos(27Tx)|(ix quando k —> oo. (3.15) Jli Js1

De (3.14) e (3.15) obtemos

lim / |cos(27riUfc2:)xGc(z)|dz = V ] ( A(ü) / cos(27rx)|dx

A í ^ n S 1 ) / |COS(2TTX) o?x

12 > —

C 7T

1 > Tc

Usando os mesmos argumentos, obtemos ainda

lim / cos(27TWkx)xGc(x)dx = 0. (3.16) k^00Js1

Deste modo, podemos fixar k tal que, para w = Wk

/ | cos(2irwx)xGc(x)\dx > — e / cos(2irwx)xGc(%)dx Js1 2c Jsi

Seja Li cos(27r^x)xG (x)díc

7 = —

< è " (3-17)

A ( G c n ^ ) De (3.17), temos

| J s l c o s ( 2 r a ï ) x G c ( ï ) ^ | l/6c3 1 171 = A(Gcn5^) < ~W - 6?' (3-18)

Definindo / c : «S1 —> IR por

/c(x) = -c7XGc(a;) + CXGC(X) COS(2TTWX),

temos

| / c | < c | 7 | + c < c ^ + c = - + c < 2 c . (3.19)


Por outro lado,

fc\dX = / | - CJXGC(X) + CXGC(X) cos(2irwx)\dx Js1

> / \CXGC(X) cos(27twx)\dx - / \cyxGc(x)\dx

= c \XGC(X) cos(2nwx)\dx — c\j\ / XGc{x)dx Js1 Js1

1 1 > 2 - 8

1 3'

sendo a quarta desigualdade na sequência acima uma consequência imediata de (3.17) e (3.18). Assim,

/ \fc\d\ > \. (3.20) Js1 ó

Resulta facilmente da definição de fc que, fc(x) — 0 para x £ Gc donde, juntamente com (3.19) e (3.20) obtemos a propriedade 1. Observemos agora que, da definição de 7 resulta que

fcd\ = —cry XGc(x)dx + c XGC(X) cos(2ivwx)dx s1 Js1 Js1

= -cjX(Gcns1) + c-fX(Gcns1) = o, e portanto, pelo Teorema Ergódico de Birkhoff temos que, para todo j G { 1 , . . . , m} e quase todo x G S1,

M®j fc(x) —> 0 quando n —> oo, o que prova 2.

Vamos agora provar a propriedade 3, para isso sejam x £ Gc, j G { 1 , . . . , m} e n G N (fixos). Consideremos a sucessão ãjiX = (cik)keNQ tal que, para todo o k

ûfc = XGÁx + kaj)-

Seja ko o menor inteiro não negativo tal que ako = 1. E claro que ko inicia o primeiro bloco de l's da sucessão OjjX. Seja k\ o fim desse primeiro bloco de l's, ou seja, k\ é tal que, para k0 < k < ki, ak = 1. Por construção temos a sequência k\ < k2 < ... tal que, para t G No,

, 1 se k2t < k < k2t+i ] 0 se k2t+i < k < k2t+2.


Ora, como x £ Gc, e consequentemente x £ Gc, temos ko > 0. Por outro lado, como x + (k0 — l)ctj $L Gc e x + kQa3 = x + (k0 — l)ctj + CXJ G Gc, pela propriedade 3 do Lema 3.2.2 vem que x + (k0 + k — l)otj G Gc, para k G { 1 , . . . , M + 1}, isto é, x + koLj G Gc para ko < k < kQ + M. Donde se conclui que

ki > k0 + M. (3.21)

É claro que kit > 0, para í £ N. Usando um argumento análogo ao anterior temos

ht+i > ht + M. (3.22)

Por outro lado, como x ^ Gc, resulta da propriedade 3 do Lema 3.2.2 que ko > M, e portanto de (3.21) e (3.22) temos, para í G N

ht > ht-i >k0 + tM>M + tM=(t + 1)M. (3.23)

Definindo agora, para t G N0, fc^t+i = min(n> ht+i) e t* tal que h(t*-i) < n < kit*, é claro que

# { i e N 0 : f c 2 t < n } - r , (3.24)

de (3.23) obtemos

n > h{t*-i) > t*M. (3.25)

Resulta facilmente da definição de fc que

fc(x) = -HXGÀx) + cXGc(x)Re(e2niwx)-

Logo,

T l - l C

\M?fc{x)\ = \-crrM?XGÁx) + -Y,XGÁx + k<*i)Me

c1M^XGc(x) + -^2akRe(e

f 02t+l

< c|7| + ^ Y, imitei

2-iriw(x+kctj)^ n

fc=0 n - l

-y^a fcfíe(e2,r iu ; (a :+fc^ )x

n

1 V^ | T fíe(e2niw(x+kajy n

{ Í Ê N Q : fc2t<n} A:=/c2t

{ÍGNQ: k2t<n} k=0

C U | - f — V ^ |_^ e ( e27ri tu( i+fc 2 (a j ) V ^ e2iriwkaj


= c | 7 | + £ y \Re,e2mw{x+k2taj)!_^_ {t€N0 : k2t<n}

< chi + Y^ l^mwjx+kjtaj) L e j

{t6N 0 : fc 2 t<n}

< C 7 + - Í * — n 1/3 6cí*

< c|7| + c 6c

< 6^ + 12c2 1

< - . c

A sétima desigualdade na sequência acima é uma consequência de (3.13), fazendo wk = w, e de (3.24). Usamos (3.25) e (3.18) para obter as oitava e nona desigual

dades, respectivamente. Atendendo a que x, j e n são fixos, mas quaisquer, temos provada a propriedade 3. D

Teorema 3.2.4 (Buczolich). Se {ctj)j>\ é uma sucessão de irracionais indepen

dentes, então existe uma função mensurável f : Sl —> M tal que f ^ L1(X) e, para todo j > 1 e quase todo x G S1,

M%j f(x) —► 0 quando n —> oo.

Prova. Sejam (mj)j>i uma sucessão estritamente crescente de números naturais e (cj)i>i uma sucessão estritamente crescente de números reais tal que, para todo i, Cj > 4 e para todo /c > 1

k . oo „ . oo ..

> —— < —, > — < —— e > — converge. (3.26) tr

c^

24 át^ 24c

* tíc*

Para cada i > 1, aplicando o Lema 3.2.3 a c, e aos irracionais a\,... ,ami, obtemos conjuntos GCi C GCi C M de período 1, tais que l/c* < A(GCi fl S"1) < 2/c» e A(GCi fl S1) < 3/Ci, e obtemos uma função mensurável fCi : S1 —> IR, satisfazendo as propriedades 13 do referido lema.

Seja / : S1 —> E definida por

!•/ \ _ í Z)Si /cií^) s e a s o m a converge, 1 0 caso contrário.


De (3.26) resulta, para todo k > 1

A( u~ fe+1 GCi n S1) < £ A(GCí n S1) < ^ - < —

Se definirmos, para k > 1 i=fc+i i=fc+l Q 24cfe

(3.27)

T^^Au-^ajn^1, temos

/ \fck\d\- í \fCk\d\ JS1 JTk

/ \fck\d\- / \fCk\d\

' ( G c . n s 1 ) ^ /cJdA

= / 1/cJdA

< 2ckX((GCknS1)\Tk) 1

< 2cfc 24cfe

1 12'

A veracidade da primeira igualdade assenta no facto de fCk(x) = 0 para x <£ GCk. De l/cj < 2cfc, obtemos a quarta desigualdade. Finalmente, a quinta desigualdade resulta de (3.27). Se x G Tk, então x ^ GCi para i > k, e consequentemente fCi (x) = 0 para i > k. Logo

/(z) = X] ^(x) para todo x G Tk i=l

Assim,

k

í \f\d\ = í l E ^ l d A

JTk JTk j = 1

> / \fCk\dX-J2 [ \f^dX

JTk í = 1 JTJ,

> / 1/JdA- / 1/JdA- / |/JdA - J ] / 1/JáA y si Jrk i=l Jrk

k-i

> x-Ã-J]2cíA(Tfc) 3 12 í=\

CAPÍTULO 3. ROTAÇÕES DO CÍRCULO 51

1 fci

= A(T f c)X>i i = l

1 fc1

> A(GCfcn51)J]2Q i = l

fc1

> V 2CÍ 4 c , ^

Í = I 1 fci

= 1-4E-4 tí

c*

i 12'

A veracidade das sexta e nona desigualdades resulta da definição de T^ e de (3.26), respectivamente. Ora, uma vez que os conjuntos Tk são disjuntos, temos

\f\dX > í |/|dA = W \f\d\ = oo,

e portanto, / ^ L1(X).

Vejamos agora que, para todo j > 1 e quase todo x G S1

M"jf(x) —> 0 quando n —* oo.

Para isso, comecemos por provar que oo

f(x) = 2^ fci(x) para quase todo x G S"1 . í=i

Ora, se definirmos G^ = fl^Lj U°^n GCi, basta provar que A(Goo D 51) = 0. Assim,

A ^ n S 1 ) = lim A(u~nGCi n s1) n—>oo

oo

< lim V A((?Ci n Sl) n—>oo ■

i = n

oo 2

< lim y i=n

0.


A última igualdade é uma consequência da terceira condição de (3.26). Analoga

mente, se Ôoo = n^°=1 U~n GCi, temos A(Ôoo n S1) = 0. De facto,

XiG^nS1) = lim xiuZnG^ns1) n—>oo

oo

< lim y^XiG^nS1) n—»oo ■

i=n

< lim y — n^oo f—' d

i—n oo -.

= 3 lim > — n—►oo *—' Cj

i=n = 0.

Atendendo à periodicidade do conjunto GQO, temos que A(Goo) = 0. Observese que, se x ^ GQO existe nx tal que x $■ U^L^G^, e portanto para todo i > nx temos, pela propriedade 3 do Lema 3.2.3

\M%j fCi(x)\ < — para todos n > 1 e j € { 1 , . . . , TOj}.

Assim, para quase todo x G 5 1 e todo /c > nx

oo

lim sup |ilO/0*01 = l imsup |M^(^ / C i (x ) ) | i = l

< lim sup J2 I < ' /c< (x) | + lim sup £ | AC /c n—>oo . n n—»oo . , , .

i=l i=k+l k oo ..

< lhnsupY,\Kjfci(x)\+ £ T n—>oo . . '

oo 1

i=k+l l

Ci i=k+l l

= 0.

Para a penúltima igualdade na sequência acima aplicouse a propriedade 2 do Lema 3.2.3. Como k > nx é arbitrário, de (3.26) obtémse facilmente a última igualdade. Assim, para todo j > 1 e quase todo x £ S1

M"j f(x) —> 0 quando n —» oo , ou seja, OLj G Tf, para todo j > 1. Temos assim provado o resultado. D


Nota 3.2.5. Para uso posterior, realçamos que na prova do Teorema 3.2.4 o in

grediente essencial usado para demonstrar que os irracionais CXJ, para todo j > 1, pertenciam ao conjunto de rotação da função / , foram as propriedades 2 e 3 do Lema 3.2.3.

Do teorema anterior podemos concluir que existe uma função mensurável não integrável cujo conjunto de rotação contém um conjunto numerável de irracionais independentes. Vamos ainda ver que esse conjunto numerável de irracionais inde

pendentes pode ser escolhido denso. Seja {Bi, B2,... } a base numerável constituída pelos intervalos abertos de ex

tremos racionais. Seja a\ G Bi D R \ Q. Temos, obviamente, que {ai} é indepen

dente. Suponhamos, por contradição, que para todo o irracional a2 G B2, existem ai,a2 e Q \ {0}, tais que aicti + a2a2 = 0, ou seja, a2 = (—ai/a2)ai. Ora, se considerarmos a aplicação injectiva

0! : Q —* R a i—► aai,

temos que o seu contradomínio é numerável, e portanto, como J32 H R \ Q é um seu subconjunto, também é numerável, o que dá uma contradição, pois B2 D R \ Q é não numerável. Assim, existe algum irracional a2 G B2 tal que {ai,a2} são independentes. Seja n G N e admitamos que existem irracionais ai € B\,..., an G Bn tais que {a\,... ,an} são independentes. Suponhamos, por contradição, que para todo o irracional an+i G Bn+i, existem a i , . . . , an+1 G Q, não simultaneamente nulos, tais que a\a\ + • • • + anan + an+ian+i = 0. E claro que an+\ ^ 0, pois {« i , . . . , an} são independentes. Assim, temos

an+i = ai — ■ ■ ■ Oin.

Consideremos a aplicação injectiva

<t>n : Qn —> R ( a i , . . . , a n ) i—»• aiCüi H h anan.

Temos que o contradomínio desta aplicação é numerável, logo Bn+i D R \ Q é nu

merável, o que dá uma contradição. Daqui concluise que existe an+i G Bn+i D R \ Q tal que {ai,... ,an,an+i} são independentes. Indutivamente mostramos que, para todo n G N, existem irracionais an G Bn tais que {an}n>i são independentes.

Vejamos agora que este conjunto numerável de irracionais independentes, que designaremos por / , é denso em R. Para isso, basta provar que o interior do seu complementar, int Ie, é um conjunto vazio. De facto, se não fosse este o caso, existiria algum k G N tal que B^ C int Ie, e portanto, «j G Bj C int Ie C Ie. Teríamos assim


a,t G Ie, o que é absurdo. Daqui concluímos que int / c = 0, e portanto o conjunto / é denso em KL

Assim, pelo Teorema 3.2.4, podemos concluir que existe um conjunto numerável denso de irracionais independentes que está contido no conjunto de rotação de uma função não integrável.

3.3 Conjunto de rotação não numerável Nesta secção provaremos que um conjunto de rotação "grande" do ponto de vista de numerabilidade (localmente não numerável) não é suficiente para garantir a in-tegrabilidade da função.

Consideramos em Sl a distância d dada por

d(x, y) = min{|x — y + k\ : k G Z} para todos x, y G Sx .

Se a é um irracional em (0,1) e [ao; a i , . . . ] é a sua representação em fracção contínua, então temos a0 = 0. Neste caso, omitimos a0 e escrevemos simplesmente a — [ai ,a2,. . .] . Seja a um irracional em (0,1/2). Vamos de seguida estudar a estrutura da órbita (i?™(0)) >IJ c o m ° objectivo de representar a por uma fracção contínua. Para isso, começamos por definir q0 = 1 e, para cada n > 1, qn G N tal que

qn — min{m > gn_i : d(0, ma) < d(0, m'a) para 0 < m! < m}. É claro que Çi = [l/a]. Seja dn a distância de zero a qna, isto é, dn — d(0,qna). E fácil verificar que do = a e d\ = 1 — q\a.

Seja j < ç2- Observe-se que (çi + j)a está mais próximo de zero que ja se ja está à "direita" de zero, e mais distante se ja está à "esquerda" de zero. Daqui conclui-se que (72a G (0, a), e temos q2 — aqi + 1 = açi + qo, com a o menor inteiro positivo tal que a —adi < di, ou seja, a = [a/di] = [do/di]. Se definirmos ai = [l/a], e para cada n > 2

dn-2

temos çi = ai e, pelas observações acima, q2 = a2q\ + ço- Usando os mesmos argumentos para um n qualquer, concluímos que qn-\a e qna se encontram em lados opostos relativamente a zero, mais precisamente, qna encontra-se à "direita" de zero para n par, e à "esquerda" para n ímpar. Por outro lado, obtemos qn+\a movendo qn-\a, an+i vezes a distância dn, e portanto

Qn+l — an+lQn + Qn-1- (3.28)

Denotando por pn o inteiro mais próximo de qna, e observando a descrição acima, concluímos que

Pn+l = a-n+lPn + Pn-l-


Considerando a sequência Po Pi Vk

temos <?o ' <?i ' ' Qk

v — —> a quando n —» oo,

e portanto a = [ai, ci2,... ]. Para n > 1, denotando por Pn a partição de S1 pelos pontos ja com j =

0 , . . . , qn — 1, temos # P n = qn. Para 0 < jf < qn) consideremos os pontos (j + lqn)a com j + lqn < qn+i, que se situam entre ja e o ponto imediatamente a seguir, mais precisamente, o ponto à "direita" se n é par e à "esquerda" se n é ímpar. Ora, por (3.28) temos claramente que, se j < çn-i> então 0 < / < an + i ; se j > gn_i, então 0 < l < an+\. Assim, cada intervalo em Pn é dividido em an+\ + 1 ou an+\ intervalos de Pn+i, todos com comprimento dn, à excepção do último, que tem comprimento 4 + 4+i- Denotamos por P~+1 e P^+i as subcolecções, não vazias, de intervalos de comprimento dn e dn + dn+i, respectivamente. Nestas condições verifica-se o seguinte resultado:

Lema 3.3.1. Temos para todo o n > 1

< qndn-i < 1. v an + 2 )

Prova. Seja n > 1. Atendendo a que an = [ 4 - 2 / 4 - i ] vem

an + 1 > -^— <£> 4_2 < {an + 1)4-1 « n - 1

•^ 4 - 2 + 4 - i < (an + l ) 4 - i + 4 - i <* 4 - 2 + 4 - 1 < (an + 2 ) 4 - i ,

o que mostra que todo o intervalo I G Pn-i verifica À(7) < (an + 2 )4 - i - (3.29)

Assim, como

temos

£ A(/) = AOS1) = 1,

E m a " + 2 /ePn-,

< - ^ r # P n - l K +2)4-1 = a u 9 n - l 4 - l

= (Çn — qn-2)dn-l < qndn-i.


A segunda desigualdade na sequência acima é uma consequência de (3.29). De (3.28) obtemos a quarta igualdade. Vejamos agora que çndn_i < 1. De facto, resulta de E/ep,, K1) = 1 que

#P+(4-i + 4 ) + #P~4- i = i, como #-P71

f > 0 tem-se #P+d n > 0, e portanto

#P+4- i + #P~4- i < #Pn+(4-i + 4 ) + # ^ ; 4 - i = 1,

ou seja, #P nd n_i < 1. Ora, atendendo a que # F n = çn, vem çndn_i < 1. Seja agora n = 1. Como ai = [l/do] temos que

1 1 ai + 1 > — <S> — < do,

do ai + 1

e portanto — < — < aid0 = qid0 < 1.

ai + 2 ai + 1 Temos assim provado o resultado. D

Até ao final desta secção a será um irracional fixo, que definiremos de seguida a partir dos elementos da sua representação numa fracção contínua. Estes elementos serão construídos de modo a satisfazerem as condições do Lema 3.3.1. Provaremos, usando o mesmo método que na Secção 3.2, que existe uma função definida no círculo não integrável / , cujo conjunto de rotação contém a sucessão de irracionais {J0í)j>i. Finalmente, usando a sucessão de irracionais (joi)j>i, demonstraremos que o conjunto de rotação da função / é localmente não numerável, isto é, U C\ Tf é não numerável, para todo o subconjunto não vazio aberto U de S1. Muitas das demonstrações serão omitidas, visto serem uma reprodução das demonstrações já apresentadas na Secção 3.2.

Consideremos a sucessão estritamente crescente (Q)J>I tomando valores em R tal que, para todo i, Ci > 4 e, para todo k > 1

k 1 oo ~ .. oo .J

V—<777, V - < wr- e y " " converge. (3.30) é r c ^ 24 ^ 24c* tíc*

Vejamos então como determinar os elementos da referida fracção contínua. Para i = 1, seja ai = 3. Sejam q0 = 1, q\ = a\q0 + 0 — 3, l\ = q\ — 1 = 2 e Mi =

[121x4] + 1 > [12.2.16] + 1 = 385. Definimos a 2 e N tal que l1M1 < q2 = a2qi + q0 e K 1 = ç 2 - 1 .

Para i > 2, seja

02Í-1 - [õMi-iCi-i], (3.31)


e ?2ii = ci2iiq2i2 + 92Í3 Sejam Z, = ç2i_i 1 e Mj = [12/jq2] + 1. Definimos a2; e N tal que UMi < q2l = a2lq2ii + fe2 e .FQ = ç2i 1.

Fixadas as sucessões (aj);>i, (ÇÍ)Í>O, (í»)t>i> {Mi)i>\ e (Í£Í)Í>I, consideramos o irracional a tal que a = [a i ,a 2 , . . . ] . Ora, como ai = 3 temos que a G (0,1/3). Fixamos a sucessão (di)i>o> já definida anteriormente, mas agora para o irracional a. E claro que o Lema 3.3.1 ainda se verifica para os elementos que definem a.

Vamos então provar que existe uma função não integrável definida no círculo, cujo conjunto de rotação contém a sucessão de irracionais {joi)j>i Para isso, começamos por provar dois resultados, que correspondem aos Lemas 3.2.2 e 3.2.3 da Secção 3.2. O Lema 3.3.1 será usado em vez da independência dos irracionais que, obviamente, não se verifica neste caso.

Dada uma sucessão b = (bj)j>o, definimos

B = (&j)?_m com 0 < m < n < oo,

como um bloco de b de comprimento n — m+1. A um bloco B de comprimento M chamamos M-bloco de b.

Fixemos arbitrariamente i e N. Provaremos de seguida que, dados (ja)j=1, fy, Mi e Ki, existem conjuntos GCi e GCi de período 1 que verificam as propriedades do Lema 3.2.2.

Lema 3.3.2. Existem conjuntos GCi C GCi C IR de período 1, tais que

1. X(GCt n S1) = l/c, e X(GCi n S1

) < 2/c;

2. os conjuntos GCi fl S1 e GCi í~l Sl consistem na união de um número finito de intervalos abertos;

3. para todos j G { 1 , . . . , U) a e l , se B é um Mibloco de (x + kja)k>o, então B n GCi consiste no máximo de dois blocos de (x + kja)k>o; se x ^ GCi, então (x + kja)£1nGet = fb.

Prova. Seja r/i = l/Ci(Ki + 1). Atendendo a que K{ + 1 = q2% e c > 4, e aplando ao

Lema 3.3.1, temos

1 l í a2i \ l 1 ,nnns Vi = < ,— < rr, — < Q2i02ii— = <kii (3.32)

CiQ2i 4g2i \a2i + 2J q2i q2i Note que (a2i + 2)/a2i = 1 + 2/a2i < 4, o que justifica a veracidade da terceira desigualdade. Seja

GCl = Ùm€z(m + Fi) com Ft = Ù JIQIJCTH ■


Observe-se que o facto das uniões acima definidas serem disjuntas é uma consequência de (3.32). Assim,

XiG^nS1) = A(Úmez(m + F i)nS'1)

1

Ci' Definindo agora

é claro que GCi C GCi e

XiG^nS1) = {2Ki + l)ru

= (2A' + 1)Í^7TT) 1 ( Kj \

2 < - ,

Ci

ficando assim provada a propriedade 1. Por outro lado, a propriedade 2 é uma consequência imediata das definições de GCi e GCi. Para provar 3, sejam x G R e j € {1,. • • ,k}. É suficiente provar que (x + kja)k>o intersecta GCi em blocos da forma (x + kja)k>o H (m + Fj) = 5 , para algum m G Z, de comprimento no mínimo Mj, salvo se i G B. Assim, seja /c' o menor inteiro positivo tal que x + k'ja G m + Fi, para algum m G Z, e suponhamos que x £ m + Fi. E claro que x + k'ja G m + /ÎQ.1%, para algum í G {0 , . . . , Ki). Queremos provar que x + (k' + Mi — l)ja G m + F,. Como x + (k' — l)ja ^ m + Fi, temos que t < j . Deste modo, t + (Mi - l ) j < j + (M* - l ) j = jMt < UMi < Kh e portanto x + (k' + M, — l ) j a G m + I(t+(Mi-i)j)a,r]i C m + Fi. Note-se que, no caso de x G m + Fi podemos ter x G m + IKÍO.TH- Podemos assim concluir que se B é um Mj-bloco de (x + kja)k>o, então B n GCi consiste no máximo de dois blocos de (x + kja)k>o, cada um com a forma BC\(m + Fi), para algum m G Z (m's distintos).

Seja x ^ GCi. Suponhamos, por contradição, que x + k'ja G Gc., para algum k' G {!,..., Mj}. Então, x + k'ja E m + Itam, para algum m G Z e í G {0 , . . . , i^j},


e portanto, x G m + I(t-k'j)a,rn ^ ^ c i ' ° °lue °-a u m a contradição. Note-se que Ki > t-k'j > -k'j > -Mik > -Ki. Assim, sex ^ GCi, então (x+kja^^ílG^ = 0.

D

No resultado que se segue veremos que dados os conjuntos GCi e GCi acima definidos, existe uma função /c. definida no círculo satisfazendo as propriedades do Lema 3.2.3.

Lema 3.3.3. Existe uma função fCi : S1 —> R satisfazendo

1. fCi{x) = 0 para x $ GCi> \fCi\ < 2Q e / \fCi\d\ > 1/3; Jsl

2. MlafCi(x) —> 0, quando n —> oo, para iodo j G { 1 , . . . , U] e quase todo x £ S1;

3. para todos n > 1, j € { 1 , . . . , h} ex $ GCi, \M3n

afCi{x)\ < 1 /Q.

Prova. Seja lUj = l/a(li + 1). Se definirmos, para cada i G l ,

<f>i{x) = \l-e2niWiX\

temos que 4>i{ja) > l/li, para 1 < j < li. Basta notar que

= 2 | s e n ( I A í 7 r ) |

= 2 sen

>

li + 1-1

Consideremos agora as funções definidas em R por

hi(x) = XFXX) cos(2irwix) e g^x) = jT h(x - m). meZ

É claro que, para cada x G M, «ft(a;) tem no máximo um termo diferente de zero, note-se que o suporte da função g^ está contido em GCi. Seja

li = Ci / 9i(x)dx. Jo

Temos


por outro lado,

7* = Ci 2_, hi{x — m)dx

= Ci y^ / hi(x — m)dx

/

—771+1

hi(x)dx

m ^ m

r+oo

Ci / hi(x)dx, (3.33)

hi(x)dx XFXX) cos(27TWix)dx

K± pja+Tjl/2

\] / COs(27TWiX)dx

= l—^ 7 cos(2KWija) irin <—^

3=0

K,

■KWi

sen{iiWir]i 'ïïWi

Y^ Re(e2nimja) j = o

sen{iTWirii TTWi

Ki

MT> ^niwija^

3=0

e portanto, de (3.33) e (3.34) resulta que

Ci sen{KWiTii Ki

TTWi MT t2iriwija\

3=0

< CÍT]Í

CÍVÍ

2KÍWíja Ki

T* 3=0 ]_ _ e2iriwi(Ki + l)a

1e 2iTÍWia

< ZCÍVI j 1 p2iriwiOt\

(3.34)


2CÍT)Í

<f>i{á) < 2CÍ7]ÍIÍ

2c- 1 l ZClCi(Ki + l)1* 2lt

Ki + 1 ^ 2k < liMi

2 Mi

< 2

385'

Definindo agora fCi : S1 —> IR por

fci(x) = -CÍ1ÍXGH{X) + Ci9i{x),

temos claramente que fCl(x) = 0 para x £ GCi. Por outro lado,

2 l/cil < Ci|7i| + C( 1 1 < C j — + Ci < 2d.

Deste modo, para terminar a prova da propriedade 1, falta provar que

/ |/JdA>l/3. Js1

Para isso, usando cálculos já anteriormente efectuados, temos

pi " i pja+1

/ \gi{x)\dx = Yl 7o = 0 Jja-rfi

| COs(27TWjX)|(Í2; j _ 0 •/ jm—rii/2

Ki pa+rji/2 > 2_, / COS2(27TtüjX)(ÍX

A P'a+*/2 1 + COS(4TTWÍX) , = 2^ / 9

j=0 Jja-Vi/2 2


e portanto,

Kí rja+rji/2 Ki pja+rii/2 1 / ni rja+r]i/2 n " pja+m/Z E ldx + Y: I cos(4

\ i=0 Jja-Vi/Z 1 =n Jja-rii/2 7TWiX)dx

> HE J=O #i pja+rH/2

3=0 "» »ja+rn/2

ldx — =0 ^Ía-Tji/2

\ J / cos(4/Tit;ix)(ix j=0 Jja-Tli/I

1 > -((#4 + 1)^-2^770

o "7í"i> 2 c

\U\dX CiliXGc\x) + clgl(x)\dx o

> - / |ci7iXGCi(^)Ma;+ / |Cift(aO|<fo

= -CÍ |7 Í | / XGc^z + Q / |pi(a;)|ífec

> - C i l ^ l A Í G c - n ^ + Ci 1 2 ^ Vih

— -Cihi\— + « _ c ^

= 1

| / i | ' <-) CiVi^i

> /CjTyjíj T ~ Cjjjii

= — oCiTjili + —

> 3 1 '

_385 + 2

> 1 3'

Vejamos agora que a propriedade 2 também é satisfeita. De facto, temos


f s1

./(•, d\ = Cili \ XGC, ,{x)dx + c ■/o

gi(x)dx

= c ! 7 iA(G c ,n5 1)+7 l

= i

Cili— +Ji Ci

= li + li

= 0

donde, pelo Teorema Ergódico de Birkhoff, MíafCi(x) —> 0 quando n —> oo, para todo j G { 1 , . . . , k} e quase todo i f S 1 , o que prova 2. Finalmente, para provar 3 fixamos arbitrariamente j G {1 , . . . , / , } , x ^ (?Ci e n G N. Ora, pela propriedade 3 do Lema 3.3.2, se n < Mi, então MlafCi(x) = 0, o que prova neste caso o pretendido; se n > Mi então (x + kja)1=0 D GCi é a união disjunta de no máximo 2([n/M;] + 1) blocos de (x + kja)k>o, cada um com a forma (x + kja)%=0 fl (m + Fj), com m G Z. Seja (x + kja)l2

=k um desses blocos. Temos, para algum m G Z,

k=ki k=k\

— 2_. XFÍ(X + kja — m) COS(2TTWÍ(X + kja — m)) k—k\

k2

= 2_, COS(2TTWÍ(X + kja — m)) k=k\

k2 _ Y~^ p>e?e2TTÍWi(x+kjam)\

k=k\

— ftel V ^ 2KÍWi(x+kjam) \

k=k±

^ _ „2KÍWija{k2—fci + 1)

1 p2KÍWija I ' = Rei e

2niwi(x+kiJa~m).


e portanto,

Assim,

A"<

^2gi(x + kj a] k=k\

<

<

^2iriwi(x+k\ja—m)

11 p2niwija\

2

I _ e2TTÍWija(k2-ki + l)

\ — e2-KÍWija

< 2L.

< Ci |7(

= Cj|7i

< Cj |7 i

MrxGCi(x)|+Q|Mf^(^)l Cj

n

- 2 n

n-l ^2gi(x + kja)\

+ 1 ) 2 / ,

fc=0

?/

M

+ 4cjij / n

+ 1

4C,;/ 1 1

' " l M, + n

+ 4CÍ/Í Mi

2Cj 8c,; I < ^ + <

M M 2C: í i C ^ i j

12/iC? 12Zicf 1 2

<

6/iCj 3cj 1

o que verifica também neste caso a propriedade 3. D

Deste modo, acabamos de ver que, para cada i G N, existe uma função fCi : S1 —> K que verifica as propriedades do Lema 3.2.3. Consideremos agora a função / : S1 —> R definida por

/ ( * ) ] C Í ^ I / ^ ( Í C ) s e a soma converge,

0 caso contrário.


Pela prova do Teorema 3.2.4 temos que / ^ L1(X) e, para todo j > 1 e quase todo x G S1, Mla f(x) —» 0 quando n —> oo. Isto prova que existe uma função mensurável / : Sl -+ R tal que

/£L X (À) e H > i c r / . (3.35)

Provaremos de seguida que (ja)j>i não são os únicos irracionais em Ff. Mais precisamente, provaremos que, para cada i G N, existe uma vizinhança de {a,...,ka} tal que todo o irracional B nessa vizinhança pertence a Tf. Ora, como observamos na Nota 3.2.5, na prova do Teorema 3.2.4 o ingrediente essencial usado para demonstrar que os irracionais a,-, para todo j > 1, pertenciam ao conjunto de rotação da função, foram as propriedades 2 e 3 do Lema 3.2.3. Assim, o nosso objectivo agora é provar que, para cada Í G N , dada a função fCi definida no Lema 3.3.3 as propriedades 2 e 3 ainda se verificam se substituirmos ja por um irracional 8 numa vizinhança de {a,..., ka}. Ora, é claro que a propriedade 2 se verifica para todo o irracional 8. Por outro lado, na prova da propriedade 3 do Lema 3.3.3, para podermos substituir o irracional ja pelo irracional 8 numa vizinhança de {a,..., k®}, basta provar que (pi(/3) > l/k e que a propriedade 3 do Lema 3.3.2 ainda se verifica para o irracional j3. Ora, pela continuidade da função </>j, temos que 4>i(/3) > l/k, para cada (3 suficientemente próximo de {a,..., ka). Para provar a propriedade 3, redifinimos

donde, GCl — U m e Z ( m + ^j=-KjjafiVi)

XiG^nS1) < ( 2 ^ + 1)2^

= 2{2Ki + V * Ci(Ki + l)

4 < —.

Ci

Lema 3.3.4. Existe uma vizinhança de {a,... ,ka}, tal que todo o irracional /3 nessa vizinhança satisfaz: se x G R e B é um Mi-bloco de (x + kj3)k>o, então B n Gc consiste no máximo de dois blocos de (x + k/3)k>o; se x ^ GCi, então

Prova. Seja j G { 1 , . . . , k}. Dado y G GCi, definimos my e Ky, com 0 < Ky < K{, como os únicos inteiros tais que í/GmB + ^Kya,vi C rny + Fj. Definimos também

C = min <! Mi - 1, 2/ ^ e Ç = min {Mi — l,

Ki-Ky


Resulta assim das definições de ty e f+ que Ky — jty > O e Ky + jí+ < K^ Basta observar que

ç<^^^-jç>o (3.36)

tt^^-^-^Ky+jt^K^

Definimos rj* = G?2Í—i e

G* = U, m Ki F ; ) com F; = u;i0ijaíTIÍ

(3.37)

Note-se que os intervalos Ijatf são abertos, daí a união ser disjunta. Uma vez que r/i < dii-x, temos que GCi C G*. e a sua distância à fronteira de G* é positiva. Deste modo, existe uma vizinhança de ja tal que, se (5 é um irracional nessa vizinhança,

F*). Seja (3 um irracional nessa vizinhança. Então, então (y + kfi)£_ C (my

(y + k/3)" _ tem comprimento no mínimo Mi, isto é, ty + ty+l>Mi. De facto, basta ver para o caso t~ = [Ky/j] e í+ = [(Ki — Ky)/j], pois nos restantes casos é imediato. Assim, como j < k temos

V + Ç + i

>

tf„

# „

[ h \ +

\Ky' [ l i

+

Ki - K,

Ki - K,

K K, h

Mi K„

+ 1

+ 1

+ 1

+ 1

> Mi.

T

Concluímos portanto que (y + k(3)"_ _ tem comprimento no mínimo Mj. Notemos também que pelo facto de (y + k(3)*_ C (my + F*), temos que (y + k(3)*_ n m7J

4-^

Fi) é um único bloco de (y + k(3)^ Finalmente, sejam x G R e (x + k/3)k°J"ko

i 1 um Mj-bloco de (x + k0)k>o- Assumindo, sem perda de generalidade, que ko — 0 e x G GCi, temos pelas observações


acima que (x + /c/3)^=0 C mx+F* e (x + kP)kx=0r\GCi é um único bloco de (x + k8)k>o

Ora, se £ j " = M; — 1 ou (x + kB)^1'} , flGc. = 0 o resultado sai imediatamente, caso contrário, seja z G GCi tal que

z = min {x + /c/3}. í+ + l < f c < M i l

Temos (z + &/?)*£. +_ C (m2 + i *) e (z + k(3)[z_ D (m2 + i7;) é um único bloco de

(x + k(3)k>0. Como (x + ^ ) ^ + 1 C (z + fc/?)^_t_, temos que (3 + fc/?)^+1 n GCi

é um único bloco de (x + k/3)k>o Donde se conclui que (x + kf3)kl^1 D GCi consiste

no máximo de dois blocos de (x + k(3)k>o

Seja x <£ GCi. Se x + k'f3 G GCi, para algum k' G { 1 , . . . , Mj}, então x + k'(3 G w + ha,vn c o m w G Z e t G {0, . . . , Ki}. Logo, x G m + I(tj)atVi C GQ, pois —K"j < í — j < Ki, o que é absurdo. Assim, se x <£ GCi, então (x + kB)kJ_x D GCi = 0.

D

Assim, existe uma vizinhança fechada de { a , . . . , Ua] tal que a propriedade 3 do Lema 3.3.3 verificase para cada irracional 8 nessa vizinhança. Deste modo, uma vez que li — g2í—1 — L existe 0 < 8t < o?2i2 tal que, se definirmos

Ei = Ùm6Z(m + Ù=17jatSi),

(com /já,*, = [ j a ~~ ^i/2,ja + Si/2] ), temos que a propriedade 3 do Lema 3.3.3, verificase para cada irracional 8 G Ei. Os intervalos fechados Ija,Si designamos de intervalos básicos de E{.

Seja E = Uk*L1 fl° fe Ei. Ora, se 8 é um irracional em £7, então existe np tal que, para todo i > np, 8 G EiQ, consequentemente a propriedade 3 do Lema 3.3.3 verifica

se para todo i > np. Vejamos agora que 8 G Ff. Se definirmos G^ = Pl L1 U°^„ GCí, temos por (3.30)

xiG^ns1) =

<

Daqui concluise que f(x) = Y^Li fcÁx) para quase todo x G S1. Analogamente, se Goo = r t i U £ n G C ( ) temos

lim A(U£nGCí O S1) n—*oo

0 0

lim yXiG^nS1) i=n

0 0 1

lim y — n—>oo <■—' Ci


A ^ n ^ 1 ) = lim Afu^ÀnS1; n—>oo

oo

< lim V A ^ n S 1 ) ri.—>nn ' J

4

n—>oo • i=n

< íim y — n—>oo ^—' O

oo 1

= 4 lim \ ^ TI.—► n n ^ — ^ /^

= 0.

n—too i—» Cj i=ra

Ora, como o conjunto Goo é periódico de período 1, temos que A(Goo) = 0. Assim, se x ^ Goo existe nx tal que x <£ U°lnxGCi, e portanto para todo i > max{nx,np} temos,

\M%fCi(x)\ < — para todo n > 1.

Assim, para quase todo l Ê ^ e todo fc > maxln^n^}, temos

hmsup|Mn^(x) | = l i m s u p | M r f ( ^ / C i ( x ) ) | n—>oo n—»oo . ,

/c oo

< lim sup J2 I Atf/c (x) | + lim sup £ | M*/„ n—>oo . . n—>oo

i = l fc oo 1

< I i m s u p ^ | M Í / C ( ( a : ) | + £ n—>oo . . '

i = l co r

2=fc+l

í=fc+l '

Ci i=k+l

0.

Para a penúltima igualdade na sequência acima aplicouse a propriedade 2 do Lema 3.3.3, agora para o irracional /?. Como & > max{nx, np] é arbitrário, de (3.30) obtémse facilmente a última igualdade. Deste modo, para quase todo x G S1, Mnf(x) —> 0 quando n —> oo, e portanto /? G Fy. Donde se conclui que E C T/.

Observese que a condição (3.31) ainda não foi usada e portanto, para cada i > 2, podemos escolher a2i_i 6 N como desejarmos. Assim, para i > 2 podemos escolher Ü2ii tal que existam no mínimo 4 intervalos de Pai em cada intervalo básico de Eii para qualquer escolha de a2i,ü2i+i,.... Deste modo, existe uma escolha


de {ci2ii}i>2 tal que cada intervalo básico de JE7{_i contém no mínimo 3 intervalos básicos de E%. Assim, para cada Î G N, cada intervalo básico de Ei contém um conjunto de Cantor contido em C\^=iEk C E, e portanto E é não numerável. Ora, como di —> 0 quando i —■> oo, temos que <5j —> 0 quando z —> oo. Logo, para cada conjunto não vazio aberto U C K, existe z 6 N tal que um intervalo básico de Ei está contido em U. Donde, U contém um conjunto de Cantor que está contido em E, e portanto, U nTj é não numerável. Tendo em conta (3.35), temos provado o seguinte resultado:

Teorema 3.3.5 (Svetic). Existe uma função f: S1 —> R não integrável cujo con

junto de rotação é localmente não numerável.

Bibliografia

[1] Aaronson, J.: An ergodic theorem with large normalising constants, Israel J. Math., 38 (1981), 182-188

[2] Aaronson, J.: On the ergodic theory of non-integrable functions and infinite measure spaces, Israel J. Math., 27 (1977), 163-173

[3] Alves, J. F.: Apontamentos da disciplina de Complementos de Análise, Mestrado em Matemática - Fundamentos e Aplicações, FCUP, 1999

[4] Billingsley, P.: Ergodic Theory and Information, Wiley Series in Prob. and Math. Stat., 1965

[5] Buczolich, Z.: Arithmetic averages of rotations of measurable functions, Ergod. Th. & Dynam. Sys., 16 (1996), 1185-1196

[6] Buczolich, Z.: Ergodic averages and free 1? actions, Fund. Math., 160 (1999), 247-254

[7] Buczolich, Z.: On Birkhoff type sums, Eõtvõs University, Budapest (http://www.cs.elte.hu/~buczo)

[8] Casseis, J. W. S.: An Introduction to Diophantine Approximation, Cambridge University Press, Cambridge, 1957

[9] Fernandez, P. J.: Medida e integração, Projecto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1976

[10] Halmos, P. R.: Lectures on Ergodic Theory, Chelsea Publishing Company, New York, 1956

[11] Katok, A.; Hasselblatt, B.: Introduction to the Modem Theory of dynamical systems, Cambridge University Press, Cambridge, 1995

[12] Katznelson, Y.: Sigma-finite invariant measures for smooth mappings of the circle, Journal D'Analyse Mathématique, 31 (1997), 1-18

70

http://www.cs.elte.hu/~buczo

BIBLIOGRAFIA 71

[13] Katznelson, Y.; Weiss, B.: A simple proof of some ergodic theorems, Israel J. Math., 42 (1982), 291-296

[14] Khinchin, A. Ya.: Continued Fractions, the University of Chicago Press, Chicago, 1964

[15] Major, P.: A counter-example in ergodic theory, Acta Sci. Math. (Szeged), 62 (1996), 247-258

[16] Mané, R.: Teoria Ergódica, Projecto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1983

[17] Ornstein, D. S.; Weiss, B.: Ergodic Theory of amenable group actions.I: The Rohlin Lemma, Bulletin of the American Mathematical Society, 2 (1980), 161-164

[18] Parthasarathy K. R.: Probability Measures on Metric Spaces, Academic Press, London,1967

[19] Petersen, K.: Easy and nearly simultaneous proofs of the Ergodic Theorem and Maximal Ergodic Theorem, University of North Carolina, Chapel Hill, 1991 (http://www.math.unc.edu/Faculty/petersen/)

[20] Petersen, K.: Notes on dynamics of continued fractions, University of North Carolina, Math. 261, 2000 (http://www.math.unc.edu/Faculty/petersen/)

[21] Petersen, K.: Ergodic Theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1983

[22] Sinai, Ya. G.: Topics in Ergodic Theory, Princeton Mathematical Series, 44, 1994

[23] Svetic, R. E.: A function with locally uncountable rotation set, Acta Math. Hungar., 81 (1998), 305-314

[24] Tempelman, A.: Mathematics and its applications, University Park, U.S.A., 78, 1992

[25] Walters P.: An Introduction to Ergodic Theory, Springer-Verlag, New York, 1982

[26] Wos, J.: The filling scheme and the ergodic theorems of Kesten and Tanny, Colloquium Mathematicum, 52 (1987), 263-276

[27] Wos, J.: A remark on the existence of the ergodic Hubert transform, Colloquium Mathematicum, 53 (1987), 97-101

http://www.math.unc.edu/Faculty/petersen/

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