Teorias Axiomáticas e Provas de Teoremas

Teorias Axiomáticas e Provas de Teoremas Aury de Sá Leite – DMA - 2005

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Apêndice A

Teorias Axiomáticas e Provas de Teoremas

Conceitos-Chave - Quadro Sinóptico

Neste Apêndice são apresentados, de forma bastante organizada, os conceitos-chave que irão

facilitar ao leitor a compreensão dos assuntos abordados nos diversos capítulos deste livro. O

quadro sinóptico a seguir, na verdade um sumário dos assuntos organizados de forma encadeada,

poderá dar uma idéia da abrangência, bem como da organização, tentadas pelo autor ao longo deste

trabalho.

Apesar de nos parecer que a leitura e compreensão de todo o texto a seguir possam

realmente ampliar em muito a compreensão do leitor sobre o que sejam as Teorias Axiomáticas e as

Provas de Teoremas, os assuntos não se esgotam somente nisto, sendo que muito mais poderá ser

encontrado pelos mais interessados, seja em artigos científicos, seja livros textos ou seja na Internet.

A numeração associada a cada um dos conceitos constantes do índice que servirá ainda

como um quadro sinóptico dos assuntos tratados a seguir, é a mesma que lhes é atribuída no texto

que o segue, visando facilitar consultas focadas especificamente em determinados conceitos.

Quadro Sinóptico Apêndice A..................................................................................................................................... 1 Teorias Axiomáticas e Provas de Teoremas..................................................................................... 1 Conceitos-Chave - Quadro Sinóptico .............................................................................................. 1 Quadro Sinóptico ............................................................................................................................ 1 1.- Linguagem Natural .................................................................................................................... 3 2.- A Crise dos Fundamentos da Matemática................................................................................... 3

2.1.- Logicismo ........................................................................................................................... 3 2.2.- Intuicionismo ...................................................................................................................... 3 2.3.- Formalismo......................................................................................................................... 4 2.4.- Teoremas de Gödel ............................................................................................................. 4

3.- Lógica Matemática .................................................................................................................... 4 4.- Linguagens Artificiais: as Formais e as Simbólicas .................................................................... 5 5.- Teorias....................................................................................................................................... 5 6.- Teorias Axiomáticas .................................................................................................................. 5

6.1.-A Axiomatização da Aritmética - Giuseppe Peano ............................................................... 6 7.- Gramática de uma Linguagem.................................................................................................... 8 8.- Conceitos Não-definidos - Entes Primitivos .............................................................................. 9 9.- Conceitos Definidos e Definições .............................................................................................. 9 10.- Axiomas ................................................................................................................................ 10 11.- Regras de Inferência .............................................................................................................. 10 12.- Teoremas ............................................................................................................................... 10

12.1.- Teorema Recíproco - encontrar um exemplo (ou exemplos)... ......................................... 10


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13.- Lemas .................................................................................................................................... 11 14.- Corolários .............................................................................................................................. 11 15.- Conjecturas ............................................................................................................................ 11

15.1.- Exemplos de Conjectura:................................................................................................. 11 16.- Princípios e Leis .................................................................................................................... 11 17.- Métodos de Prova .................................................................................................................. 12

17.1.- Métodos Diretos de Prova ............................................................................................... 12 17.1.1.- Prova sem o uso de palavras ..................................................................................... 12 17.1.2.- Prova por Dissecção (Dissecação) ............................................................................ 12 17.1.3.- Métodos Hipotético-Dedutivo – Modus Ponens ........................................................ 13 17.1.4.- Método Hipotético-Dedutivo – Prova por Contraposição.......................................... 13

17.2.- Método Indireto de Prova: ............................................................................................... 13 17.2.1.- Prova por Redução ao Absurdo................................................................................. 13

17.3.- O que significam C.Q.D. ou Q.E.D.................................................................................. 14 17.4.- O que significa “Supor, sem perda de generalidade que ...” ............................................. 14

18.- Indução Matemática............................................................................................................... 14 Muitos teoremas, fórmulas e propriedades que sejam verdadeiras para os números naturais ou para alguma variável que possa assumir valores em N (conjunto dos números naturais) podem ser provadas utilizando-se o método da Indução Finita Matemática ou o Princípio da Indução Matemática: .................................................................................................................................. 14

Princípio de Indução Matemática – Versão 1:............................................................................ 14 Princípio de Indução Matemática – Versão 2:............................................................................ 14 Princípio de Indução Matemática – Versão 3:............................................................................ 14 Contra-Exemplo:....................................................................................................................... 15 Exemplos: (veja estas igualdades provadas no item 19, a seguir) ............................................... 15

19.- O Conceito de Indução Matemática Revisitado e Ampliado ................................................... 15 19.1.- Axioma da Boa Ordem.................................................................................................... 15 19.2.- Princípio da Indução Finita Matemática .......................................................................... 15

Prova do Princípio de Indução Finita:.................................................................................... 15 19.3.- Princípio da Indução Completa Matemática..................................................................... 16

19.3.1.- Um Primeiro Exemplo (totalmente desenvolvido) de Aplicação do Princípio da Indução Finita Matemática .................................................................................................... 16 19.3.2.- Um Contra-exemplo ................................................................................................. 17 Prova:.................................................................................................................................... 17 19.3.3.- Exemplos Diversos................................................................................................... 18

19.4.- O Princípio da Indução Finita Matemática e as Funções Predicativas ............................. 19 19.4.1.- Princípio de Indução Finita Matemática Reescrito .................................................... 20

Assuntos a serem desenvolvidos (algum dia):................................................................................ 20 10.- Definição de Numero Natural Primo .................................................................................. 20 10.1.- Divisibilidade.................................................................................................................. 20 10.2.- Congruências .................................................................................................................. 20 10.3.- Equações Diofantinas ...................................................................................................... 20

10.3.1.- Teorema do Resto Chinês ......................................................................................... 20 Bibliografia................................................................................................................................... 21


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1.- Linguagem Natural • A linguagem é um sistema de signos que pode servir de meio de comunicação e que pode servir,

também, de ferramenta básica para o pensamento. • Um idioma é a língua falada por uma nação ou por um povo. Os idiomas são considerados

linguagens naturais. As linguagens naturais são aquelas que surgem e se desenvolvem a partir de capacidades naturais de certas espécies, como as línguas humanas e as linguagens de alguns animais.

• Ao lado das linguagens naturais o homem vem criando as linguagens denominadas formais que são linguagens artificiais (ou abstratas). Podemos citar, como exemplo iniciais, as “linguagens” utilizadas na Teoria dos Conjuntos, na Álgebra, na Geometria, na Química, na Física, na Semiótica.

2.- A Crise dos Fundamentos da Matemática • No final do século XIX e início do Século XX os matemáticos passaram a perceber que a

Matemática se apresentava com muitos problemas com relação à sua fundamentação teórica. A denominada crise dos fundamentos se propagará por toda a matemática e irá exigir um posicionamento crítico profundo e um maior profissionalismo por parte dos matemáticos, fará surgir novas academias e sociedades matemáticas, e fará surgir uma série de jornais dedicados a esta ciência. Neste período se defrontam três grandes correntes do pensamento que “tentaram” dar à matemática uma sólida fundamentação: o Logicismo, o Intuicionismo e o Formalismo (vide a seguir). Apesar dos resultados teóricos notáveis conseguidos por estas correntes do Pensamento Filosófico Matemático, a crise dos fundamentos não pode ser resolvida. “O que se verificou é que o estabelecimento preciso destes fundamentos não impede o avanço das modernas pesquisas em Matemática, apesar de ainda haver alguns entre nós (matemáticos) que anseia por isto (o estabelecimento de sólida fundamentação para a Matemática)” [Snapper 1979].

2.1.- Logicismo

Logicismo: teoria segundo a qual a matemática seria uma parte da lógica, pois os seus teoremas poderiam ser derivados de conjuntos de axiomas puramente lógicos. Esta é uma concepção desenvolvida a partir de 1884 por Gottlob Frege (1848-1925) matemático e filósofo alemão, que retomada alguns anos mais tarde, por Bertrand Russell (1872-1970) e Alfred North Whitehead (1861-1947), resultou na publicação em 1910 da obra “Principia Mathematica” que pretendia deduzir as relações matemáticas das relações lógicas.

• A dificuldade da logicização completa da matemática foi pressentida já nos “Principia

Mathematica” (1925) monumental obra de Whitehead e Russell, nos quais foram requeridas mais cem de páginas de símbolos, antes de se iniciar a mais simples das deduções. Os alicerces deste programa acabaram por afundar em 1931 quando Gödel provou, aquele que atualmente é conhecido como o Teorema da Incompletude de Gödel. Este teorema mostrou que a meta de permear e integrar matemática e lógica como uma única ciência era impossível.

2.2.- Intuicionismo

Intuicionismo: concepção da filosofia da matemática, apresentada em 1908 por L. E. J. Brouwer (1881-1966), que vincula a existência de uma entidade matemática qualquer à possibilidade de sua gênese pela intuição humana, ou seja, teoria que afirma serem as entidades da Lógica Matemática livres criações do pensamento, independendo de origens empíricas, e sustentadas pela clareza que lhes confere seu caráter intuitivo.


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• A formulação (intuicionista) da Teoria dos Conjuntos de Cantor deu ensejo a Bertrand Russel e outros matemáticos logicistas a encontrarem nesta formulação uma série de paradoxos (contradições) tidos por eles como erros e não como imperfeições ou impossibilidades matemáticas locais, que segundo os intuicionistas apenas comprovavam que a matemática clássica estaria necessitando de uma reformulação rigorosa a partir dos fundamentos.

• Somente para citar um exemplo deste tipo de reformulação dos princípios pretendida pelos intuicionistas, dever-se-ia considerar que: o número zero não seria o primeiro número

“natural”, mas sim, o número um, pois isto estaria mais próximo da intuição humana.

2.3.- Formalismo

Formalismo: Concepção fundamental da lógica matemática, desenvolvida principalmente a partir dos trabalhos de David Hilbert (1862-1943), matemático alemão, que assegura a coerência dos sistemas pelo uso da linguagem simbólica e do método axiomático.

• É, praticamente, com David Hilbert que se inicia a tentativa de formalizar a matemática, ou seja, inicia-se um movimento em que se acreditava poder formular completamente a matemática e, de tal maneira consistente, que se poderiam ser apresentadas formalmente quaisquer proposições matemáticas e, que estas, poderiam ser provadas usando-se um pequeno número de símbolos com significados bem definidos. A axiomatização é o primeiro passo da formalização, sendo que a este primeiro passo devem seguir formas de se provar que a matemática assim criada é livre de contradições. Em 1931 Gödel mostrou que a formalização não pode ser considerada como uma técnica por meio da qual se possa obter uma matemática livre de contradições.

2.4.- Teoremas de Gödel

• Informalmente, o teorema da Incompletude de Gödel estabelece que toda formulação axiomática consistente da teoria dos números inclui obrigatoriamente proposições indecidíveis. Este é o Primeiro Teorema da Incompletude de Gödel e responde, de forma negativa, um problema proposto por Hilbert: se a matemática é “completa”, ou seja, verificar se todas as proposições da Teoria dos Números poderiam ser provadas ou refutadas.

• O Segundo Teorema da Incompletude de Gödel estabelece que a Teoria dos Números é consistente, mas que isto não poderia ser provado utilizando-se os métodos da Lógica de Predicados (A Lógica de Primeira Ordem), ou colocado de forma mais ampla: para se provar que um qualquer sistema formal é consistente, usando recursos deste mesmo sistema, só será possível se este sistema for inconsistente. Por exemplo, Gerhard Gentzen mostrou que a consistência e a completude da aritmética podem ser provadas, se o Princípio de Indução Transfinita for utilizado. No entanto, esta abordagem não permite provar a consistência de toda a matemática.

3.- Lógica Matemática • Pode-se entender por Lógica o estudo formal dos métodos, estrutura e validade das deduções e

provas matemáticas. • As pessoas, geralmente entendem por Lógica Matemática a Lógica de Primeira Ordem (a

Lógica de Predicados), um conjunto formal de regras destinadas à formação de sentenças (sentenças matemáticas e/ou lógicas) usando os seguintes símbolos: (i) os conectivos, a saber: ¬ (negação), ⇒ (implicação), ⇔ (equivalência), ∧ (conjunção) e ∨ (disjunção), (ii) juntamente com os quantificadores: ∀ (universal) e ∃ (existencial).

• Uma forma de lógica bastante simples é a Lógica Proposicional quando estudada através das tabelas verdade (V ou F) e a Lógica Boolena (1 ou 0). Uma generalização deste tipo de lógica se


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dá a partir da adoção de valores lógicos como verdadeiro, falso e indecidível (respectivamente adotados como sendo: 1, 0 e ½) a Lógica Tri-valorada. Um exemplo de lógica muito mais avançada seria a denominada Lógica Fuzzy (Lógica Nebulosa) que trata a verdade como uma quantidade contínua entre 0 e 1, considerando regiões onde nada se pode decidir com certeza, as regiões “fuzzy”.

• Pensada de forma mais abrangente, uma Lógica é qualquer conjunto de regras de formação sentenças (a sintaxe da lógica) junto com regras para a atribuição de valores-verdade a estas sentenças (a semântica da lógica).

• Uma Lógica, normalmente inclui: (i) um conjunto de tipos (também chamados classes), que pode ser até mesmo vazio, que representam os tipos diferentes de objetos que a teoria discute, como por exemplo, conjuntos, números ou conjuntos numéricos, (ii) um conjunto de símbolos, ou seja, as variáveis, os conectivos e os quantificadores.

4.- Linguagens Artificiais: as Formais e as Simbólicas • As linguagens artificiais podem ser classificadas como Formais ou Simbólicas. Normalmente,

as linguagens formais se destinam ao estudo ou estabelecimento de Teorias Hipotético-dedutivas ou de Teorias Axiomáticas. Note-se que, enquanto um sistema hipotético-dedutivo pode ser axiomático ou não-axiomático, as Linguagens Simbólicas podem ser aquelas, apenas e tão somente, destinadas às comunicações sociais, como por exemplo, a linguagens simbólicas dos surdos mudos ou a linguagem das propagandas na mídia.

5.- Teorias • Teoria - conhecimento sistemático, fundamentado em observações empíricas e/ou fundamentada

em postulados racionais, voltado para a formulação de leis e categorias gerais que permitam a ordenação, a classificação minuciosa e, eventualmente, a transformação dos fatos e das realidades da natureza (Dicionário Houaiss).

• Teoria - conjunto de conhecimentos não ingênuos que apresentam graus diversos de sistematização e credibilidade, e que se propõem explicar, elucidar, interpretar ou unificar um dado domínio de fenômenos ou de acontecimentos que se oferecem à atividade prática (Enciclopédia Encarta Digital).

• Não se deve confundir uma teoria com o sistema ou a forma de sistematização que se escolheu para veiculá-la.

6.- Teorias Axiomáticas • Uma Teoria é denominada Teoria Axiomática se possui um conjunto de axiomas (verdades

aceitas a priori) dos quais podem ser derivadas outras verdades nesta Teoria e que formam juntamente com as definições um conjunto de verdades derivadas ou estabelecidas (axiomas, verdades derivadas dos axiomas e definições) que são utilizadas para provar os teoremas desta Teoria.

• Uma teoria axiomática (como uma das geometrias) é completa se cada sentença gramaticalmente (semanticamente e sintaticamente) bem-formada da teoria é capaz de ser provada como sendo verdadeira ou falsa.

• A ausência de contradição, isto é, a impossibilidade de provar que uma proposição e sua negação são ambas verdadeiras, em um Sistema Axiomático, é conhecida como consistência.

• Uma Teoria não pode ser confundida com o método escolhido para expô-la. Um sistema axiomático é uma estrutura formal que visa permitir a sistematização lógica das teorias em geral, enquanto uma teoria é um conjunto conexo de conhecimentos, sistematicamente fundamentados em observações empíricas e/ou fundamentada em postulados racionais voltados para a formulação de leis e categorias gerais.


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6.1.-A Axiomatização da Aritmética - Giuseppe Peano

• Desde a antiguidade e entre os mais diversos povos, os números naturais são por excelência os números destinados à contagem. Historicamente o número zero, o “nada” apareceu muito depois, e o seu numeral − um círculo sem nada dentro −,deveria ter representado um continente sem nenhum conteúdo, nenhum elemento em seu interior – como um cercado em um campo, mas sem animais, ou uma cesta, sem nenhum pão, por exemplo. No entanto, como entidade matemática, o conjunto dos números naturais precisava ser formalizado e, assim foi que, Giuseppe Peano (Itália - 1858/1932) elaborou a Teoria Axiomática dos Números Naturais − e em 1889 Peano publicou um pequeno livro em latim intitulado “Arithmetices Principia Nova

Methodo Exposita” [Kennedy 1975]. Neste texto, Peano menciona os estudos feitos por Boole, Schröder, Peirce, Jevons e MacColl, no campo da lógica e menciona os trabalhos de Dedekind publicado em 1888, reconhecidamente a primeira axiomatização da aritmética. No prefácio de seu livro, Peano introduz a notação lógica que irá utilizar no texto.

• A seguir serão mostradas as idéias de Peano neste primeiro trabalho [Peano 1958, pág 85], em que o conjunto dos números naturais tem para primeiro elemento a “unidade”, conceito que será modificado, mais tarde, em 1898 [Peano 1959, pág 216] fazendo com que o zero passasse a ser considerado como o menor dos elementos do conjunto dos números naturais.

O símbolo N significa “número”.

O símbolo 1 significa “unidade”.

O símbolo a + 1 significa o sucessor de a, ou: a mais 1.

O símbolo = significa “é igual a”

e em seguida enuncia os seus axiomas:

1. 1 ∈∈∈∈ N.

2. Se a ∈∈∈∈ N, a = a.

3. Se a, b ∈∈∈∈ N, a = b se, e somente se, b = a.

4. Se a, b, c ∈∈∈∈ N, a = b, b = c implica a = c.

5. Se a = b e b ∈∈∈∈ N, a ∈∈∈∈ N.

6. Se a ∈∈∈∈ N, então a + 1 ∈∈∈∈ N.

7. Se a, b ∈∈∈∈ N, a = b se, e somente se, a + 1 = b + 1.

8. Se a ∈∈∈∈ N, a + 1 ≠≠≠≠ 1.

9. Se K é uma classe, 1 ∈∈∈∈ K, e se para x ∈∈∈∈ N e x ∈∈∈∈ K implicar que

x + 1 ∈∈∈∈ K, então N ⊆⊆⊆⊆ K. Os axiomas são seguidos das seguintes definições: 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, ..., e alguns

teoremas, como por exemplo: 2 ∈ N, 3 ∈ N etc. Ainda, como definição, ocorre a seguinte:

Se a, b ∈∈∈∈ N, a + (b + 1) = (a +b) + 1.


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Cujo significado é: “se a e b são números então: a + (b +1) significa que (a + b) + 1 é o

sucessor de a + b”. Veja que isto permite escrever para qualquer a ∈ N, que:

a + 2 = (a + 1) + 1; a + 3 = (a + 2) + 1 = ( (a + 1) + 1) + 1 e assim por

diante.

Entre os teoremas enunciados e provados por Peano estão os seguintes:

1. Se a, b ∈∈∈∈ N, a + b ∈∈∈∈ N.

2. Se a, b, c ∈∈∈∈ N, a = b se, e somente se, a + c = b + c.

3. Se a, b, c ∈∈∈∈ N, a + (b + c) = (a + b) + c.

4. Se a ∈∈∈∈ N, 1 + a = a + 1.

5. Se a, b ∈∈∈∈ N, a + b = b + a.

Peano define a multiplicação da seguinte forma:

1. a ∈∈∈∈ N, a ×××× 1 = a

2. a, b ∈∈∈∈ N, a ×××× (b + 1) = (a ×××× b) + 1

• As idéias apresentadas no livro “Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita”, conhecido como: “Princípios de Aritmética”, modernamente são apresentados de formas diversas por diferentes autores. Adotaremos aqui uma formulação que nos parece bastante apropriada ao nível deste texto e do trabalho a ser aqui desenvolido e que envolvem os seguintes conceitos e axiomas:

(1) o número zero − cujo símbolo será adotado como 0; (2) a unidade − cujo símbolo será adotado como sendo 1; (3) o conceito de variável numérica ou número − usando-se para representá-los

as letras: m, n e p; (4) o conceito de igualdade, cujo símbolo será “=”; (5) o conceito de adição; (6) o conceito de “sucessivo de” ou “sucessor de”− simbolicamente expresso

como: Suc(n) = n + 1; (7) o conceito de conjunto e o de pertinência de elemento a conjunto; (8) cinco axiomas (afirmações básicas, tomadas como verdadeiras):

os Axiomas de Peano de açodo com a nossa formulação:

1o) O zero é um número natural

2o) Todo número natural n tem um único sucessor: Suc(n) = n + 1

3o) Se Suc(m) = Suc(p) então m = p

4o) Para todo número natural n, Suc(n) ≠≠≠≠ 0

5o) Se M é um subconjunto de N (conjunto dos números naturais), tal que


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se 0 ∈∈∈∈M e Suc(p)∈∈∈∈M sempre que p∈∈∈∈M, então M = N.

• Desta forma, fica estabelecido de maneira única, sem que possa haver ambigüidades ou contradições, o que seja o conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, ......, n, Suc(n), Suc(n) + 1, ...} que, na medida em que venhamos a reconhecer a correspondência entre os numerais hindu-arábicos e estas adições, como por exemplo: 1 + 1 = 2 , 1 + 1 + 1 = 3; 1 + 1+ 1 + 1 = 4 e assim por diante, poderá ser reescrito como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10, 11, ...}.

• Nota Importante: A partir dos Axiomas de Peano normalmente, se pode propor “uma” Aritmética, onde alguns outros novos axiomas associados aos axiomas de Peano irão estabelecer as operações aritméticas e as suas propriedades. Veja a seguir uma destas possíveis “propostas”. Tente explicar cada um daqueles 10 axiomas e verificar se este conjunto de axiomas é suficiente para “suportar” tudo o que necessitamos em uma “Aritmética envolvendo Números Naturais”. Os axiomas deste sistema (Aritmética de Peano) utilizam os seguintes símbolos:

(i) ‘0’ para representar o ‘número zero’ e ‘x’ e ‘y’ para representar um número natural qualquer (uma variável); (ii) ‘s(x)’ para representar o ‘sucessor do número natural x’; (iii) ‘+’ para representar a ‘adição‘; (iv) ’×’ para representar a ‘multiplicação’; (v) ‘<’ para representar ‘menor do que’ e (vi) ‘=‘ para representar a igualdade; (vii) ‘ϕ(x)’ representa uma ‘propriedade ϕ’ da ‘variável x’. Neste sistema 1 = s(0), 2 = s(s(0)), 3 = s(s(s0))) e assim por diante.

Axiomas:

1. (∀x) (s(x) = x + 1) 2. (∀x) ¬(s(x) = 0) 3. (∀x, y) (s(x) = s(y) ⇒ x = y) 4. (∀x) (x + 0 = x) 5. (∀x, y) (x + s(y) = s(x + y) ) 6. (∀x) (x × 0 = 0) 7. (∀x, y) (x × s(y) = x × y + x) 8. (∀x) ¬(x < 0) 9. (∀x, y) (x < s(y) ⇔ (x < y) ∨ (x = y) ) 10. ϕ(0) ∧ ( ∀x (ϕ(x) → ϕ(s(x)) ) ⇒ ∀x ( ϕ(x) )

7.- Gramática de uma Linguagem • Uma Linguagem Formal é constituída por um Alfabeto e uma Gramática. • O Alfabeto de uma Linguagem Formal, normalmente, é constituído pelos seguintes tipos de

símbolos: (i) constantes (números, formas planas ou espaciais, imagens); (ii) variáveis (símbolos algébricos, formas planas ou espaciais, imagens); (iii) conectivos; (iv) quantificadores; (iv) descritores; (v) grafos enfim, signos diversos, criados para facilitar a comunicação naquele contexto.

• A Gramática de uma Linguagem Formal deve prever: (i) a forma de construção correta de suas fórmulas (cadeias de símbolos ou sentenças), uma sintaxe e (ii) uma forma de separar as fórmulas quanto a terem, ou não, sentido naquela linguagem, aquilo que se denomina semântica da linguagem.

• As Sentenças (fórmulas) de uma Linguagem seja ela Natural ou Formal podem ser construídas corretamente (sintaticamente corretas) sem ter um significado naquela linguagem


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(semanticamente consistentes). As sentenças: “O aluno José é estudioso” e “O automóvel Ford é estudioso” são sintaticamente corretas, mas a segunda delas falha quanto ao significado, ela é ambígua, ou seja, falha no que diz respeito à semântica.

• A Linguagem pode ter um Dicionário onde estejam reunidas as cadeias de símbolos ou os conceitos que necessitem de definição.

• A semântica de uma Linguagem pode ser uma semântica atribuída por valoração, isto é, o significado das sentenças é dado através de valores, como por exemplo: verdadeiro ou falso; verdadeiro, falso ou indecidível; valores atribuíveis através de escalas percentuais baseadas nos números de 0 a 100; etc, possuindo tabelas-verdade que estabeleçam a forma de se atribuir os valores às sentenças básicas geradoras das demais sentenças bem-formada na Linguagem.

8.- Conceitos Não-definidos - Entes Primitivos • Os entes primitivos de uma teoria (também denominados conceitos primitivos, objetos não

definidos, conceitos não definidos) são conceitos oriundos da Linguagem Natural ou simbólicos tomados como básicos para o entendimento da Linguagem Artificial (Formal ou Simbólica) em que será expressa uma dada Teoria. Normalmente, o significado de cada um dos conceitos não-definidos será dado pelos axiomas.

9.- Conceitos Definidos e Definições • A aprendizagem de conceitos pode se dar basicamente por duas vias: através de um processo

construtivo baseado na intuição denominado formação de conceito, ou por um processo denominado aprendizagem de conceitos através de definição, que envolve a compreensão de significados - pelo menos a compreensão de uma linguagem natural ou simbólica. Assim, podemos antever a existência de pelo menos dois tipos de conceitos: os formados pelo indivíduo a partir de suas próprias experiências, com uso de sua intuição, conceitos estes, que poderiam ser denominados conceitos intuitivos, e os conceitos definidos, que eventualmente poderiam ser chamados, como Vygotsky propôs, “conceitos científicos".

• Para Gagné a aprendizagem verbal é uma das formas primeiras e mais comuns para a transmissão de conhecimento. Ela permite estabelecer e precisar rótulos (imagens mentais, símbolos, signos ou até mesmo uma palavra ou um conjuntos de palavras) que serão utilizados na comunicação diária e funcionam como veículos para o pensamento. As teorias cognitivistas apontam os conceitos como sendo unidades básicas do conhecimento, ou seja, rótulos (“lables”) ou receptáculo ("conteiner") de significados básicos.

• Ainda para Gagné, as informações verbais dizem respeito ao "saber o que". Nomes, fatos, princípios e generalizações são os tipos de unidades classificáveis como informações verbais. Os verbos que podem ser listados como ações ligadas à informação verbal são, em ordem alfabética: alegar; afirmar; declamar; declarar; dizer; especificar; explicar; expressar; manifestar; narrar; proclamar; propor; recitar; relatar; situar. Além das informações verbais há as informações simbólicas, sonoras, tácteis, olfativas e gustativas, mas normalmente todos estes tipos de informações têm uma linguagem como base, para o estabelecimento dos rótulos.

• A definição é uma operação lingüística que busca a determinação clara e precisa de um conceito ou um objeto.

• Para Aristóteles, uma definição é aquilo que aponta a natureza essencial de alguma coisa, determinando desta maneira suas semelhanças e diferenças com relação a outras realidades.

• No escopo de uma Teoria, uma definição é um enunciado ou sentença que visa dar sentido ou significado a símbolos, palavras ou locuções (locução é um conjunto de palavras que equivalem a um só vocábulo, por terem significado conjunto próprio e função gramatical única) indicando suas características genéricas e específicas, suas finalidades, sua inclusão num determinado campo do conhecimento.


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10.- Axiomas • Os axiomas, que necessariamente são fórmulas-bem-formadas (fbfs) de uma linguagem formal,

são assumidos a priori, como tautologias – fórmulas válidas – desta linguagem. O antigo conceito de que axiomas são verdades auto-evidentes ou intuitivas, vem sendo substituída modernamente, pelo conceito de que não há a necessidade de compreendê-los direta ou imediatamente, mas apenas através de seus efeitos, pois muitos axiomas são altamente contra-intuitivos.

• Os axiomas de uma linguagem formal devem ser tais que se possa derivar a partir deles e com

o uso de pelo menos uma regra de inferência, outras tautologias (sentenças o fórmulas

verdadeiras), ou provar com o uso destes mesmos recursos, os teoremas desta linguagem. • Um conjunto de axiomas é completo na medida em que seja impossível acrescentar um novo

axioma ao seu conjunto de axiomas sem que ocorra os dois fatos: (i) o axioma acrescentado é dependente dos demais, isto é, ele pode ser derivado logicamente dos demais axiomas; (ii) o novo axioma exige a inclusão de um novo elemento entre os conceitos primitivos da Teoria.

• Um conjunto de axiomas é consistente se, entre aqueles axiomas não existem axiomas que se contradizem, e se for impossível utilizar estes axiomas para prova um teorema e para refutá-lo ao mesmo tempo.

• Para Gödel um conjunto de sentenças é logicamente consistente (nenhuma contradição pode ser deduzida das sentenças) se e somente se as sentenças tiverem um modelo, isto é, se e somente se há um “universo” em que elas são todas verdadeiras.

11.- Regras de Inferência • Há Duas regras de Inferência Lógica básicas, sendo que a mais utilizada é a Modus Ponens:

vide, a seguir, no item 17.- Métodos de Prova - Método Hipotético-Dedutivo, um resumo teórico e um exemplo do uso desta regra quando aplicada para provar Teoremas da Matemática.

• A Regra de Inferência denominada Regra da Substituição, apesar de parecer mais simples do que a Modus Ponens, por exigir “apenas(!)” substituiões nos axiomas, é bastante complexa. A aplicação desta regra de inferência exige que a proposição a ser provada seja substituída de forma plena nos axiomas em que ela porventura venham a se “encaixar” e que todos os axiomas que receberam as substituições sejam envolvidos no processo de prova daquela proposição. A Regra de Inferência Lógica dae Substituição é bastante utilizada em Provas Automáticas (via Sistemas Computacionais Dedicados) de Teoremas da Lógica.

12.- Teoremas • Teorema é uma afirmação que pode ser demonstrada como verdadeira através de argumentações

e operações matematicamente aceitáveis. Em geral um teorema é o enunciado de algum princípio geral que faz parte de uma teoria. O processo que visa mostrar que o Teorema é verdadeiro se denomina prova.

• Philip J. Davis e Reuben Hersh, em seu livro “A Experiência Matemática” [Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1985 – pág. 46-47], afirma que cerca de 200.000 teoremas da matemática são publicados anualmente.

12.1.- Teorema Recíproco - encontrar um exemplo (ou exemplos)...



13.- Lemas • Um teorema mais simples ou imediato usado em conjunto com outros teoremas do mesmo tipo

ou teoremas já provados para provar teoremas de elevada complexidade.

14.- Corolários • É um novo Teorema que pode ser provado utilizando-se algo já provado num Teorema anterior

ou, em outras palavras, uma proposição que deriva, em um encadeamento dedutivo, de uma asserção precedente, produzindo um acréscimo de conhecimento por meio da explicitação de aspectos que, no enunciado anterior, se mantinham latentes ou obscuros.

15.- Conjecturas • Conjectura é uma proposição que é consistente de fato, mas que não se pode provar que seja

verdadeira ou falsa. Conjectura é um sinônimo para hipótese.

15.1.- Exemplos de Conjectura: A conjectura de Goldbach - Em uma carta enviada a Eüler, em 1742, Goldbach propõe, mas não prova, que todo número par maior que 2, pode ser escrito como a soma de dois números primos, como, por exemplo: 4 = 1 + 3; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 5 + 5; 12 = 5 + 7… ou ainda: 12 = 5 + 7 = 9 + 3; 20 = 13 + 7 = 17 + 3; 42 = 23 + 19 = 29 + 13 = 31 + 11 = 37 + 5.

Esta idéia nunca foi provada, mas estimulou muitos matemáticos a pensarem sobre o assunto. Tanto que: (a) em 1752, Eüler, vem a sugerir que todo número par da forma p = 4n + 2 poderia ser escrito sob forma p = 4m+1, como nos exemplos: 14 = 1+13; 22 = 5 +17; 30 =1 + 29 =13 +17; (b) em 1894, George Cantor, preparou uma tabela em que a conjetura foi mostrada para os números pares até 1000; (c) entre 1896 e 1903, A. Aubry verificou a conjetura de Goldbach para números entre 1000 a 2000; (d) também em 1896, R. Haussner verificou a conjectura de Goldbach para valores até 10000; (e) em 1966, o matemático chinês Chen Jing Run (1933-1996) mostrou que todo número par pode ser representado como sendo a soma de um número primo com o produto de no máximo dois números primos.

• Hipótese do Contínuo – esta é uma proposta feita originalmente por George Cantor de que não existe nenhum conjunto infinito cuja cardinalidade se situa entre a cardinalidade 0ℵ lida “aleph zero” (o menor dos valores transfinitos, que corresponde à quantidade de elementos, seja do conjunto dos números naturais, dos conjunto dos números inteiros ou do conjunto dos números racionais) e a cardinalidade do conjunto dos números reais c1 =ℵ , onde o c é denominado

“contínuo”). Simbolicamente, a hipótese do continuo pode ser enunciada como: ¬∃ k, 0ℵ < k

< 1ℵ , ou seja: ¬∃ k, 0ℵ < k < c.

16.- Princípios e Leis • Emprega-se a palavra princípio para se referir a uma proposição elementar e fundamental que serve de base a uma ordem de conhecimentos; lei de caráter geral com papel fundamental no desenvolvimento de uma teoria e da qual outras leis podem ser derivadas; proposição lógica fundamental sobre a qual se apóia o raciocínio. Normalmente usada com relação a axiomas, teoremas etc. • Lei, expressão definidora das relações constantes que existem entre os fenômenos naturais, como, p.ex., o enunciado de uma propriedade física verificada de maneira precisa; regra ou



relação constante entre fenômenos; manifestação exterior de fenômenos complexos; conjunto de regras e princípios que norteiam a elaboração e o modo de proceder em (pintura, literatura, música).

17.- Métodos de Prova • Um método de prova envolve a utilização de rigorosos argumentos lógicos e matemáticos que demonstrem inequivocamente a verdade de uma dada proposição. Uma proposição matemática que possa ser provada é denominada Teorema. Há dois tipos básicos de Métodos de Prova: (i) os métodos diretos (o sem uso de palavras; o por dissecção e o hiptético-dedutivo) e pelo menos um indireto (o por redução ao absurdo).

17.1.- Métodos Diretos de Prova

17.1.1.- Prova sem o uso de palavras

• É um Método de Prova que, baseado em elementos visuais, envolve apenas a necessidade de comentário, dispensando os argumentos lógico-matemáticos. • Veja o exemplo a seguir, onde os números pentagonais (figura 1) são mostrados como tendo uma relação aritmética (figura 2) com os números triangulares (figura 1)

• Os números triangulares, quadrados e pentagonais são mostrados na figura 1. A figura 2 mostra que a diferença entre um n-ésimo número pentagonal e n, é igual a três vezes (n-1) números triangulares. De fato, apesar da figura mostrar um caso particular em que n = 5, o fato é que, a partir daí, pode-se facilmente generalizar a propriedade.

17.1.2.- Prova por Dissecção (Dissecação)

• Dissecar é decompor os elementos ou a estrutura de algo, para melhor compreendê-lo ou torná-lo compreensível. Um teorema que é comumente provado por dissecção (ou dissecação) é o Teorema de Pitágoras.

Números triangulares

Números quadrados

Números pentagonais

Figura 1: Números Triangulares, números

quadrados e números pentagonais

Figura 2



17.1.3.- Métodos Hipotético-Dedutivo – Modus Ponens

Prova baseada unicamente em rigorosos argumentos lógicos e matemáticos justificados através de uma linguagem natural envolvendo os elementos não definidos, os axiomas e as eventuais definições de uma teoria. Normalmente,neste caso, é utilizada a regra de inferência lógica conhecida como Modus Ponens: Seja A ⇒ B uma fórmula da Lógica Proposicional, então

a seguinte regra é, válida: B

BA,A ⇒, que significa, “se A e A ⇒⇒⇒⇒ B são válidas, então B é

válida”. Assim, a regra de inferência lógica Modus Ponens, pode ser reescrita, no nosso caso da

prova de Teoremas (na Lógica Matemática), como sendo:

Hipótese: P

Tese: Q

PROVA: Mostra-se que a hipótese é

verdadeira, isto é, “Se P é verdade então Q será

verdade”.

17.1.4.- Método Hipotético-Dedutivo – Prova por Contraposição

• Este método leva em conta a seguinte equivalência da Lógica proposicional: (p ⇒⇒⇒⇒ q) ⇔⇔⇔⇔ (¬¬¬¬q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬p).

• Dado um Teorema da forma "p implica q" podemos colocá-lo na forma contrapositiva: "q não implica p" ou seja: “a negação de q implica a negação de p”. Não se deve confundir este tipo de prova com a prova por contradição. Em resumo, os passos por provar um teorema através de contraposição são os seguintes : 1. Escreva a declaração na forma: “p implica q” ou (p ⇒⇒⇒⇒ q);

2. Escreva a contrapositiva da declaração inicial: “não q não implica p” ou (¬¬¬¬q ⇒⇒⇒⇒ ¬¬¬¬p). 3. Prove a contraposição de forma direta.

4. Conclua que o teorema é verdadeiro, baseado na equivalência: (p⇒⇒⇒⇒q)⇔⇔⇔⇔(¬¬¬¬q⇒⇒⇒⇒¬¬¬¬p).

• Exemplo: (p ⇒⇒⇒⇒ q): p ≡ “Se n2 é um número inteiro par” então q ≡ “n é um número par”. Prova:

[1] Vamos negar que n seja um número par: ¬¬¬¬q ≡ “n é um número ímpar” ou ¬¬¬¬q ≡ “n não é um número par”. [2] A contraposição da afirmativa é: ¬¬¬¬q ≡ “Se n é um número inteiro ímpar”, então ¬¬¬¬p ≡ “n2 é um número ímpar” ou ¬¬¬¬p ≡ “n2 não é um número par”. [3] Se n é um número inteiro ímpar então n = 2x + 1, x ∈Z (¬¬¬¬q é verdadeira). [4] Vamos calcular o quadrado de n: n2 = (2x + 1)2 = 4 x 2 + 4 x + 1 = 2(2x 2 + 2x) + 1. [5] Fazendo (2x 2 + 2x) = y , y ∈Z iremos obter: n2 = 2(2x 2 + 2x) + 1 = 2y + 1 é um número ímpar (¬¬¬¬p é verdadeira). [6] O teorema está provado.

17.2.- Método Indireto de Prova:

17.2.1.- Prova por Redução ao Absurdo

• Um método de prova que se inicia por estabelecer uma afirmativa contrária àquilo que se pretende prova. Esta afirmativa deve levar a uma contradição. Assim o objeto da prova, antes negado e constatado como falso, agora deve ser assumido como verdadeiro.



• O Método de Prova de Teoremas por Redução ao Absurdo é baseado na seguinte tautologia da Lógica Predicativa: quer-se provar que: QP ⇒ então usa-se Q))PP(Q( ⇒¬∧⇒¬ , veja a seguir:

Teorema:

Se P então Q.

Hipótese: P é verdade; Assumir ¬¬¬¬Q como verdade por hipótese;

Tese: Q é verdade.

Se ¬¬¬¬Q acarreta uma contradição, isto é, P ∧∧∧∧¬¬¬¬P passam a ocorrer, então ¬¬¬¬Q é falsa, e pela Lei do Terceiro Excluído da Lógica Predicativa tem-se: Q é verdadeira.

17.3.- O que significam C.Q.D. ou Q.E.D.

• Q.E.D. (às vezes escrito QED) é a abreviatura da expressão Latina "quod erat demonstrandum" ("como queríamos demonstrar") que em português corresponde a C.Q.D. (às vezes escrito como CQD), normalmente é colocado no final de uma demonstração matemática para indicar que ela

foi completada. Um pequeno retângulo ou um pequeno quadrado preenchido ou � vazio normalmente podem ser utilizados, com a mesma finalidade, em textos impressos.

17.4.- O que significa “Supor, sem perda de generalidade que ...”

• Ao provarmos um teorema podemos estabelecer hipóteses onde a variável envolvida é apenas uma das muitas que poderiam escolhidas. Na verdade o que se vai provar para aquela variável é válido para todas as demais, por extensão, e isto torna conveniente a menção de “Seja supor sem perda de generalidade, que: <hipótese envolvendo apenas uma das variáveis>.

18.- Indução Matemática

Muitos teoremas, fórmulas e propriedades que sejam verdadeiras para os números naturais ou para alguma variável que possa assumir valores em N (conjunto dos números naturais) podem ser provadas utilizando-se o método da Indução Finita Matemática ou o Princípio da Indução Matemática:

Princípio de Indução Matemática – Versão 1:

• Se P(0) é verdadeira e se para algum n∈N, P(n+1) é verdadeira sempre que P(n) for verdadeira, então, P(n) é verdadeira para todo número inteiro N.

Princípio de Indução Matemática – Versão 2:

• Se P(k) é verdadeira e se para algum n∈N, n ≥ k, P(n+1) é verdadeira sempre que P(n) for verdadeira, então, P(n) é verdadeira para todo número inteiro n, n ≥ k.

Princípio de Indução Matemática – Versão 3: • Se P(0) é verdadeira, e se para algum n∈N, P(n+1) é verdadeira sempre que P(0), P(1), P(2), ...,

P(n) forem verdadeiras,então, P(n) é verdadeira para todo número inteiro n, n ≥ k.



Contra-Exemplo:

Dada a igualdade: 1 + 2 + 3+ 4 + 5 + ...+ (n - 1) + n= 3

12 2 +n, mostre que apesar de P(0), P(1), ...,

p(n) para um certo n finito, serem verdadeiras, esta relação não é verdadeira para P(n+1).

Sugestão: teste a relação para 1, 2 e 3, e diga o que pôde ser concluído. Veja que a adição de números inteiros deve sempre resultar um número inteiro, no

entanto, para n = 3: 3

19

3

132 2

=+×

, ou seja: 1 + 2 + 3 = 3

19 o que é falso.

Veja no item a seguir (19, 19.3.2.) a prova de que a igualdade é falsa por métodos algébricos.

Exemplos: (veja estas igualdades provadas no item 19, a seguir)

[1] Prove que 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 6

)1n2)(1n(n ++

[2] Prove que n! ≥ 3n para n = 7, 8, 9, ... [3] Prove que 2n ≥ n2 para n = 4, 5, 6, ...

19.- O Conceito de Indução Matemática Revisitado e Ampliado

19.1.- Axioma da Boa Ordem

Qualquer Subconjunto não vazio X de números naturais possui um elemento mínimo

Em símbolos:

∀∀∀∀X (X⊂⊂⊂⊂NNNN, X ≠≠≠≠ ∅∅∅∅) ⇒⇒⇒⇒ ∃∃∃∃x (x∈∈∈∈X, x ≤≤≤≤ n, ∀∀∀∀n∈∈∈∈N)N)N)N)

19.2.- Princípio da Indução Finita Matemática

Se X ⊂⊂⊂⊂ N é tal que:

(a) 0 ∈∈∈∈ X

(b) (k+ 1) ∈∈∈∈ X sempre que k ∈∈∈∈ X,

então X = N.

Prova do Princípio de Indução Finita:

• Seja ∃Y, Y = { n ∈ N | n ∉ X} isto é Y = CNX (Y é o complemento de X com relação a N).

• Hipótese: Y ≠≠≠≠ ∅∅∅∅.

• Pelo axioma da boa ordem, se Y ≠ ∅, Y tem um elemento mínimo. Seja este elemento m.

• É evidente que m ≠ 0, pois 0∈X por (a).

• Se m é o menor elemento de Y, é também evidente que: (m -1) ∉ Y, pois m -1 < m.



• Logo (m - 1) ∈ X, mas por (b) se (m -1) ∈ X tem-se que ((m-1) + 1) ∈ X, ou seja, m ∈ X, o

que contraria a hipótese (Y ≠ ∅).

• Assim, Y = ∅, e mais: Y = CNX = ∅, ou seja: X = N.

19.3.- Princípio da Indução Completa Matemática

Se X ⊂⊂⊂⊂ N é tal que:

(a) k ∈∈∈∈ X e

(b) (k+ 1) ∈∈∈∈ X sempre que {1, 2, 3, 4, ..., k} ⊂⊂⊂⊂ X,

então X = N.

19.3.1.- Um Primeiro Exemplo (totalmente desenvolvido) de Aplicação do Princípio da Indução Finita Matemática

Provar que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = 2

)1n(n +

Prova: Consiste em mostrar que: X = { x | x = 2

)1n(n +, para ∀n∈N } = N.

Vamos usar o princípio da Indução Finita:

(1) Verificar a validade para n = 0: x = 02

0

2

)10(0==

+ ⇒ 0 ∈∈∈∈ X

(2) Aceitar como hipótese que, para um dado k∈∈∈∈X: 1 + 2 + 3 + ... + k = 2

)1k(k +

(3) Verificar se a igualdade é válida para k + 1:

Será que 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 2

)2k)(1k()1k(

2

)1k(k ++=++

+ é verdadeira?

Vejamos duas maneiras distintas de se mostrar a validade de (3) 1ª Maneira:

De (2) temos: 1 + 2 + 3 + ... + k = 2

)1k(k + é verdade

Adicionando (k+1) à igualdade: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 2

)1k(k ++ (k+1)



1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 2

)1k(2)1k(k +++ de onde colocando-se o fator (k+1) em evidência,

obtém-se, finalmente: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) =2

)2k)(1k( ++ que prova o que queríamos.

2ª Maneira:

Seja tomar: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 2

)2k)(1k( ++

1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) =

=++

2

)2k)(1k(=

+++

2

2kk2k 2

=+

++

2

2k2

2

kk 2

2

)1k(2

2

)1k(k ++

+

de onde 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = )1k(2

)1k(k++

+ e está provada a igualdade.

19.3.2.- Um Contra-exemplo

Dada a igualdade: 1 + 2 + 3+ 4 + 5 + ...+(n - 1) + n = 3

12 2 +n, mostre pelo método da indução

finita matemática que ela é falsa.

Prova:

Seja adotar Soma(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...+(n - 1) + n = 3

12 2 +n, assim teremos

n = 1 ⇒ Soma(1) = 13

112 2

=+×

,

n = n-1 ⇒ Soma(n-1) = 3

1242

3

1)12(2

3

1)1(2 222 ++−=

++−=

+−× nnnnn=

3

342 2 +− nn

Assim, iremos adotar como hipótese de indução: Soma(n-1) = 3

342 2 +− nn.

Substituindo na igualdade original Soma(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...(n - 1) + n= 3

12 2 +n, a nossa

hipótese de indução, teremos:

Soma(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...+(n - 1) + n = 3

12 2 +n ⇒ Soma(n) =

3

342 2 +− nn + n =

3

12 2 +n,

mas isto vai acarretar uma desigualdade, veja a seguir:

3

342 2 +− nn + n =

3

12 2 +n ⇒

3

3342 2 nnn ++− =

3

12 2 +n ⇒

3

32 2 +− nn =

3

12 2 +n ⇒

⇒ 3

212 2 ++− nn =

3

12 2 +n ⇒

3

12 2 +n +

3

2+− n =

3

12 2 +n que é uma igualdade falsa, ou

seja, uma desigualdade.



19.3.3.- Exemplos Diversos

[Exemplo 1] Provar que 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = (n+1)2

Prova: Testar para n = 0: tem-se 2.0 + 1 = 1 (verdade) Supor que: 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = (n+1)2 – aceitar como hipótese de indução

Provar que vale para: 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) + (2n + 3) = (n+2)2 (n + 1)2 + (2n + 3) = (n+2)2

n2

+ 2n + 1 + 2n + 3 = n2 + 4n + 4 = (n+2)2 = (n+2)2

[Exemplo 2] Provar que 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 6

)1n2)(1n(n ++.

Prova: Consiste em mostrar que: X = { x | x = 6

)1n2)(1n(n ++, para ∀n∈N } = N.

Vamos usar o princípio da Indução Finita:

(1) Verificar a validade para n = 0: x = 06

0

6

)102)(10(0==

+×+ ⇒ 0 ∈∈∈∈ X

(2) Aceitar como hipótese que, para um dado k∈∈∈∈X: 12 + 22 + 32 + ... + k2 = 6

)1k2)(1k(k ++

(3) Verificar se a igualdade é válida para k + 1:

Será que 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = 6

)12k2)(2k)(1k( ++++ é verdadeira?

Vejamos duas maneiras distintas de se mostrar a validade de (3) 1ª Maneira:

De (2) temos: 12 + 22 + 32 + ... + k2 = 6

)1k2)(1k(k ++ é verdade

Adicionando (k+1)2 à igualdade: 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = 6

)1k2)(1k(k +++ (k+1)2



12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = =6

)1k(6)1k2)(1k(k 2++++=

6

)]1k)(1k(6)1k2)(1k(k +++++=

= ]6k6kk2[6

)1k( 2 ++++

= ]6k7k2[6

)1k( 2 +++

= )]2k)(3k2[(6

)1k(++

+ de onde, finalmente, se

obtém: 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = 6

)12k2)(2k)(1k( ++++

2ª Maneira:

Seja tomar: 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = 6

)12k2)(2k)(1k( ++++

12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = =++++

6

)12k2)(2k)(1k(=

+++

6

)3k2)(2k)(1k(

= =+++

6

)6k7k2)(1k( 2

=++++

6

)6k6kk2)(1k( 2

=++++

6

)]1k(6)1k2(k)[1k(

= =+++++

6

)]1k(6)1k()1k2(k)1k(=

++++

6

)1k(6)1k2)(1k(k 22)1k(

6

)1k2)(1k(k++

++

[Exemplo 3] Provar que n! > 3n, para ∀n∈N, n ≥ 7.

Prova:

Seja S = {m∈∈∈∈NNNN| m! > 3n}

(1) Verifiquemos primeiramente se 7 ∈∈∈∈ S: 7! = 5040 > 37 = 2187. Sim, 7 ∈ S.

(2) Supor como hipótese, que k! > 3k é verdadeira para k ≥ 7, e mostrar que (k+1)! > 3(k+1).

(3) Seja tomar k! > 3k e multiplicar ambos os membros da desigualdade por k +1:

k! × (k+1) > 3k × (k+1)

se k ≥ 7 é evidente que k + 1 > 3 e podemos reescrever a desigualdade acima como sendo:

k! × (k+1) > 3k × 3

de onde, vem:

(k+1)! > 3k × 3 = 3k+1

19.4.- O Princípio da Indução Finita Matemática e as Funções Predicativas A indução finita Matemática leva em conta a existência de funções predicativas do tipo P(x)

com x = f(n), ou seja, P(f(n)) com n ∈ N, e onde x = f(n) é uma função recursiva definida da

seguinte forma:



0n,n,1)1n(f)n(f

0)0(fx

≠Ν∈∀+−=

==

isto é, P(x) = P(f(n)) estabelecendo uma correspondência biunívoca entre os números naturais n e os

valores funcionais P(0), P(1), P(2), ... , P(n), ... Assim, o princípio de indução finita pode ser

reescrito utilizando este conceito, o de fórmula predicativa que percorre o conjunto N:

19.4.1.- Princípio de Indução Finita Matemática Reescrito

1ª forma:

Se para uma propriedade ou função predicativa P(x)

(a) P(0) é verdadeira

(b) para algum k ∈∈∈∈ N, P(k+ 1) é verdade sempre que P(k) for verdadeira,

então,

P(n) é verdadeira para todo n ∈∈∈∈ N.

2ª forma:

Se para uma propriedade ou função predicativa P(x)

(a) P(k) é verdadeira para algum k ∈∈∈∈ N

(b) se para algum n ∈∈∈∈ N, n ≥≥≥≥ k, P(n + 1) é verdade sempre que P(n) for verdadeira,

então,

P(x) é verdadeira para todo x ∈∈∈∈ N, x ≥≥≥≥ k.

Assuntos a serem desenvolvidos (algum dia):

10.- Definição de Numero Natural Primo

10.1.- Divisibilidade

10.2.- Congruências

10.3.- Equações Diofantinas

10.3.1.- Teorema do Resto Chinês



Bibliografia [Peano 1957] Peano, Giuseppe. Opere scelte di Giuseppe Peano. Vol. 1. Ed. U. Cassina. Cremonese, Rome,1957.

[Peano 1958] Peano, Giuseppe. Opere scelte di Giuseppe Peano. Vol. 2. Ed. U. Cassina. Cremonese, Rome, 1958.

[Peano 1959] Peano, Giuseppe. Opere scelte di Giuseppe Peano. Vol. 3. Ed. U. Cassina. Cremonese, Rome, 1959.

[Kennedy 1975] Kennedy, Hubert C. (Ed.) Selected Works of Giuseppe Peano. Edited and translated by Hubert C. Kennedy. University of Toronto Press, 1975.

[Snapper 1979] Snapper, Ernest. “The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism and Formalism”. Mathematics Magazine, 52, Sept, p. 207-216

[Scimone 2002 ?] Scimone, Aldo. “An Educational Experimentation on Goldbach’s Conjecture” in European Research In Mathematics Education III, Thematic Group 4, [Ver Internet address and date]

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