Teoria de Controle - UTFPR

Teoria de Controle

Helio Voltolini

Conteúdo programático

• Introdução aos sistemas de controle;

• Modelagem matemática de sistemas dinâmicos;

• Resposta transitória de sistemas de controle;

• Estabilidade dos sistemas de controle;

• Método do lugar das raízes;• Método do lugar das raízes;

• Resposta em frequência;

• Análise e projeto por Nyquist;

• Controladores P, PI e PID;

• Análise de sistemas mediante variáveis de estado.

Introdução aos sistemas de controle

• O primeiro trabalho significativo em controle automático foi o de JamesWatt (1736-1819, nasceu na cidade Greenok na Escócia) que construiu, noséculo XVIII, um controlador centrífugo para o controle de velocidade deuma máquina a vapor.

Definições básicas

• Planta: Qualquer objeto físico a ser controlado (como um componentemecânico, um forno, um reator químico, etc)

• Processo: Toda operação a ser controlada. Ex: processos químicos,econômicos e biológicos.

• Sistema: É a combinação de componentes que agem em conjunto paraatingir um determinado objetivo. Ex: sistemas físicos, biológicos, etc.

• Controle com Retroação (Realimentação): Se refere a uma operação que,na presença de distúrbios, tende a reduzir a diferença entre o sinal desaída e o sinal de referência, e que opera com base nesta diferença.

Definições Básicas

• Variável controlada ou variável de processo (PV) - É a variável que se deseja controlar, ou seja, é a saída do processo.

• Variável de controle ou variável manipulada (MV) – é a variável que atua na entrada do processo, ou seja, é própria entrada do processo.

• SP – (Setpoint) – É o valor de referência definido na entrada do Sistema de Controle. Esse valor é usado para comparar com o valor medido e resulta no erro.

• Erro – É a diferença entre o valor de referência, ou setpoint, e a Variável Controlada (Erro = SP – PV). Esse valor é enviado ao elemento de controle.

Exemplo de Sistemas de Controle (identifique as

variáveis controladas e manipuladas de cada sistema)

• Máquina elétrica

• Usina Termoelétrica

• Circuito RC

Exemplo de Sistemas de Controle (identifique as


• Sistema de aquecimento

Exemplos de Sistemas de Controle (identifique as




• Sistema de controle de velocidade de um motor de combustão interna baseado no regulador de Watt



• Sistema de controle de robôs



• Sistema de controle de Temperatura



• Sistema de controle de Nível

Sistema em malha aberta.

• Sem realimentação;

• A entrada não é modificada de forma a seguir as alteraçõesnas condições de operações.

• Se houver mudança nas condições ambientais (um distúrbio)não tem como compensar a saída (uma porta ou janela que senão tem como compensar a saída (uma porta ou janela que seabre em um ambiente com temperatura controlada, porexemplo).

Controle em Malha Fechada

• Possui realimentação;

• Um sinal da saída é utilizado para modificar o sinal do erro, detal modo que a saída siga o valor de referência, mesmo commodificações de operação;

• O sistema tem a precisão aumentada, com rejeição a• O sistema tem a precisão aumentada, com rejeição aperturbações externas e é estável.

Comparação entre um sistema em malha e em

malha fechada

• Considere um motor cc representado apenas por um ganho. Isto significaque toda a dinâmica do sistema é desprezada.

• O conjunto motor + carga é representado por um ganho Kmotor = 10 rpm/Volt

• Seja também uma perturbação de carga. O aumento de 1 N.m de carga • Seja também uma perturbação de carga. O aumento de 1 N.m de carga provoque uma diminuição de 2 rpm.


malha fechada

• O diagrama representando os dados apresentados está mostrado abaixo.

• Considere o sistema em malha aberta como apresentado a seguir. Estediagrama apresenta também um controlador com ganho 1/10 para que asaída (sem perturbação) tenha o mesmo valor que a entrada.


malha fechada

• Para d=0

• Para uma velocidade de referência de, por exemplo, 1000 rpm, tem-se exatamente o mesmo valor de saída.

• Considera-se agora o caso de um aumento de carga tal que d = 100 Nm.

110

10 ref refω ω ω ω= × → =

• Considera-se agora o caso de um aumento de carga tal que d = 100 Nm. Um simples cálculo mostra que o valor final da velocidade é 800 rpm


malha fechada

• Considera-se agora o sistema em malha fechada, como mostrado abaixo.

• Inicialmente com d = 0

• Para ωref = 1000 rpm, tem-se que ω = 999,5002 rpm

( )200 10 refω ω ω= × −2000

2001 refω ω=


malha fechada

• Considera-se agora o caso com a perturbação.

• O valor da saída é:

ou

• Para ωref = 1000 rpm e d = 100 Nm:

• Para o caso da malha aberta o valor de saída era de 800 rpm

( )200 10 2ref dω ω ω= × − −2000 1

2001 2001ref dω ω= −

999,45 rpmω =


malha fechada

• Vamos considerar agora uma variação paramétrica, ou seja, vamos suporque um parâmetro, no caso o ganho do processo com valor de 10, temuma variação de -20%, passando para 8. Esta variação pode ser devida aum desgaste de componentes com o tempo, a variação com temperatura,ou simplesmente devido ao fato de que o parâmetro não foi precisamentedeterminado.determinado.

• Para d = 0 e para d = 100 Nm, calcule o valor da saída se ωref = 1000 rpm .

Modelagem matemática de sistemas dinâmicos

• Sistema linear – Um sistema é linear se a ele se aplica o principio dasuperposição, isto é, a resposta produzida pela aplicação simultânea deduas entradas diferentes é igual a resposta produzida pela soma dasresposta de cada entrada individual.

• Sistema Linear Invariante no Tempo – são sistemas descritos por• Sistema Linear Invariante no Tempo – são sistemas descritos porequações diferenciais com coeficientes constantes ou funções apenas davariável independente:

Modelagem matemática de sistemas dinâmicos

• Sistema não Linear – Em um sistema não linear não se aplica o principioda superposição. Assim, a resposta a duas entradas não pode sercalculada tratando-se uma entrada de cada vez e adicionando-se osresultados.

Função de Transferência (FT)

• Relaciona entradas-saídas de componentes ou sistemas quepodem ser descritos por equações diferenciais linearesinvariantes no tempo

• É definida como a relação entre a transformada de Laplace dosinal de saída e a transformada de Laplace do sinal desinal de saída e a transformada de Laplace do sinal deentrada, na hipótese de que todas as condições iniciais sãonulas.


• Seja um sistema linear invariante no tempo definido pelaseguinte equação diferencial.

.

( )( ) ( 1) ( ) ( 1). .

0 1 1 0 1 1... ... − −

− −+ + + + = + + + + ≥n n m m

n n m ma y a y a y a y b x b x b x b x n m

onde y é o sinal de saída e x é o sinal de entrada.Na hipótese de todas as condições iniciais nulas:

[ ][ ]

com condições iniciais nulas

de ( )= =Laplace saída

Função transferência G sLaplace entrada

10 1 1

10 1 1

...( )

...

−−

−−

+ + + +=+ + + +

m mm m

n nn n

b s b s b s bG s

a s a s a s a


• Exemplo: Determine a Função de Transferência em s do sistema abaixo:

• Solução:

1

1 ou

i

oo

e Ri i dtC

dee i dt i C

C dt

= + = =

∫

∫

oi o

dee RC e

dt = +

oo i

deRC e e

dt + =

( ) ( ) ( )o o iRC sE s E s E s+ =Aplicando Laplace:

Solução:

( )( 1) ( )

( ) 1

( ) s+1

o i

o

i

E s RC s E s

ou

E s

E s RC

+ = = ( ) s+1iE s RC

Fazendo RC τ=

( ) 1

( ) s+1o

i

E s

E s τ= Função de transferência em s do circuito RC

Propriedades da Função de Transferência (FT)

• Uma função matemática que expressa a equação diferencialque relaciona a variável de saída à variável de entrada;

• É uma propriedade do sistema, independe da entrada;

• Relaciona o sinal de entrada ao de saída, no entanto, nãofornece qualquer informação concernente à estrutura físicafornece qualquer informação concernente à estrutura físicado sistema;

• Se a FT de um sistema é conhecida, a saída ou resposta dosistema pode ser estudada para varias formas de entradas;

• Se a FT de um sistema é desconhecida, ela pode serestabelecida experimentalmente introduzindo-se sinais deentradas conhecidos e estudando-se o sinal de saída.

DIAGRAMA DE BLOCOS

• O diagrama de bloco é uma representação das funções desempenhadas por cada um dos componentes e do fluxo de sinais de um sistema.

• PONTO DE SOMA é um circulo indicando uma operação de soma.

• PONTO DE DERIVAÇAO é um ponto a partir do qual o sinal proveniente de um bloco vai simultaneamente para outros blocos ou ponto de soma.

DIAGRAMA DE BLOCOS

• Diagrama de Blocos de um sistema a malha fechada:

• Função de Transferência a malha aberta: é a relação entre o sinal deretroação B(s) e o sinal de erro E(s) atuante:

( )( ) ( )

( )

B sFT a malha aberta G s H s

E s= =

DIAGRAMA DE BLOCOS

• FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE AÇÃO DIRETA: é a relação entre o sinal desaída C(s) e o sinal de erro E(s) atuante:

( )( )

( )

C sFT de ação direta G s

E s= =

• FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A MALHA FECHADA – é a relação entre osinal de saída C(s) e o sinal de entrada R(s).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

C s G s E s

e

E s R s B s

E s R s H s C s

=

= −= −

[ ]

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )

C s G s R s H s C s

C s G s R s G s H s C s

C s G s H s G s R s

= −= −

+ =

( ) ( )

( ) 1 ( ) ( )

C s G s

R s G s H s=

+

DIAGRAMA DE BLOCOS

• SISTEMA A MALHA FECHADA SUJEITO A UMA PERTURBAÇAO:

• Se o sistema é linear, a saída C(s) pode ser calculada devido a cada entradaindividualmente e adicionando-as no final.

DIAGRAMA DE BLOCOS

• Cálculo da FT devido a entrada R(s) com D(s) = 0

1 2

1 2

( ) ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )RC s G s G s

R s G s G s H s=

+

1 2( ) ( )( ) ( )R

G s G sC s R s=

+

• Cálculo da FT devido a entrada D(s) com R(s) = 0

• Cálculo da FT devido a aplica simultânea dos sinais R(s) e D(s)

2

1 2

( )( ) ( )

1 ( ) ( ) ( )D

G sC s D s

G s G s H s=

+

1 2

( ) ( )1 ( ) ( ) ( )RC s R s

G s G s H s=

+

( ) ( ) ( )R DC s C s C s= +[ ]2

11 2

( )( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( )

G sC s G s R s D s

G s G s H s= +

+

DIAGRAMA DE BLOCOS

• Procedimentos para a construção de diagramas de blocos – Descrevem-seas equações do comportamento dinâmico da cada componente. Obtém-se, em seguida, a transformada de Laplace destas equações, supondocondições iniciais nulas. Finalmente, reúnem-se os elementos em umdiagrama de bloco completo

• Exemplo: Considere o circuito RC série:• Exemplo: Considere o circuito RC série:

( ) ( )i o i oe e E s E si I(s)=

R R

− −= →

1 ( )o

I se idt Eo(s)=

C Cs= →∫

Exemplo – construção de diagramas de blocos

(cont.)

( ) ( )i o i oe e E s E si I(s)=

R R

− −= →

1 ( )I s

• Diagrama de blocos representando o circuito RC série

1 ( )o o

I se idt E (s)=

C Cs= →∫

Exercícios

1. A partir do diagrama de blocos abaixo, obter a FT do circuito RC série.

2. Obter a FT do sistema a malha fechada com realimentação positivamostrado a seguir:

Exercícios

3. Obter a FT do circuito RC série.

4. Obter o diagrama de blocos em malha fechada que representa o circuitoRC do exercício anterior

Redução de diagrama de blocos

Redução de diagrama de blocos

• Exemplo - Simplificar o diagrama blocos mostrado abaixo:

Exercícios

• Simplifique os seguintes diagramas de blocos:

(a)(b)

(c)

Modelagem de sistemas mecânicos

• Seja um sistema massa-mola-amortecedor:

Somatório de forças aplicadas à massa F kxcv= − −

Onde:-F é a força aplicada à massa;-k é a constante elástica da mola;-c é a constante do amortecedor;

• Pela 2ª Lei de Newton:

Portanto: Como:

»

-c é a constante do amortecedor;-v é a velocidade do pistão do amortecedor;-x é deslocamento da massa.

2

2

d xSomatório de forças aplicadas à massa ma m

dt= =

2

2

d xm F kx cv

dt= − −

dxv

dt=

2

2

d x dxm c kx F

dt dt+ + = Descreve a relação entre a entrada F e a saída x.


• Pela 2ª Lei de Newton:

Portanto: Como:

2

2

d xSomatório de forças aplicadas à massa ma m

dt= =

2d xm F kx cv= − − dx

v =Portanto: Como:2

d xm F kx cv

dt= − − dx

vdt

=

2

2

d x dxm c kx F

dt dt+ + = Descreve a relação entre a entrada F e a saída x.


• Equação diferencial que descreve o comportamento do sistema massa-mola-amortecedor:

2

2

d x dxm c kx F

dt dt+ + =

2( ) ( )X s ms cs k F s + + = 2

( ) 1

( )

X s

F s ms cs k=

+ +( )F s ms cs k+ +

2

1

ms cs k+ +

( )X s( )F s


• Na ausência de amortecimento, a massa m oscilará com um freqüência

angular natural ωωωωn dada por:

• Para o movimento amortecido, uma razão de amortecimento ζζζζ (zeta) é usada para definir a extensão do amortecimento:

( )/n k m rad/sω =

usada para definir a extensão do amortecimento:

2

c

mkζ =


• A equação diferencial torna-se:

2

2 2

1 2

n n

d x dx Fx

dt dt k

ζω ω

+ + =

2d x dx Fζω ω ω+ + =

• Em Laplace

( ) ( ) ( ) ( )22 22 n

n n

F ss X s sX s X s

k

ωζω ω+ + =

22 2

22 n n n

d x dx Fx

dt dt kζω ω ω+ + =

( )( )

2

2 2

1

2n

n n

X s

F s k s s

ωζω ω

=+ +


2

2 2

1

2n

k s s

ωζω ω+ +

• O sistema massa-mola-amortecedor pode ser representado da seguinte forma:

( )X s( )F s2 22 n nk s sζω ω+ +

Modelagem de sistemas elétricos

• Os blocos básicos de sistemas elétricos passivos são os resistores, indutores e capacitores considerando os princípios básicos.

• Para o resistor:

v Ri= vi

R=

2P Ri=• Para o indutor:

• Para o capacitor:

v Ri= iR

=

div L

dt= 1

i vdtL

= ∫

1v idt

C= ∫

dvi C

dt=

P Ri=

21

2E Li=

21

2E Cv=


• As equações que descrevem cada componente devem ser combinadas utilizando as Leis de Kirchoff.

• Exemplo: Seja o circuito abaixo, onde ei é a entrada e eo é a saída do sistema.

• Em Laplace


• Funções de Transferência de elementos em cascata com carregamento:

• Em Laplace


• Sistema formado por elementos em cascata sem carregamento:

• Funções de Transferência de elementos em cascata sem carregamento

Modelagem de sistemas de Nível de Líquido

• Resistência e Capacitância de sistemas de Nível de Liquido:

• A resistencia R ao fluxo de liquido na válvula de carga é:


• A relação entre vazão e a diferença de nível difere no escoamento laminare no escoamento turbulento.

• Fluxo laminar Número de Reynolds menor que 2000

• Sistemas que apresentam fluxo laminar podem ser representados porequações diferencias lineares.equações diferencias lineares.

• Fluxo Turbulento Número de Reynolds maior que 3000-4000

• Sistemas que apresentam fluxo Turbulento devem ser representados por equações diferenciais não lineares.


• Para escoamento Laminar:

Onde:

• A resistência no escoamento laminar é :

• A resistência no escoamento laminar é constante e é análoga à resistência elétrica.


• Para escoamento Turbulento:

Onde:

• A resistência no escoamento Turbulento é:


• A relação entre Q e H pode ser dada por:

• A resistência pode ser determinada pela inclinação da curva no ponto de operação


• Capacitância:

A capacitância C de um reservatório é definida sendo a variação daquantidade de liquido armazenado necessária par causar a variaçãounitária no potencial (altura do nível do liquido).

• Deve-se notar que a capacidade (m3) e capacitância (m2) são grandezasdiferentes. A capacitância de um reservatório é igual à área de sua seçãoreta. Se esta for constante, a capacitância é constante para qualquer alturade liquido.


• Seja o sistema abaixo. As variáveis dão definidas com se segue:


• Uma vez que a vazão de entrada menos a vazão de saída, durante um pequeno intervalo de tempo dt, é igual à quantidade adicional armazenada no reservatório:

• Sendo:• Sendo:

• Seja :


• Seja o sistema de nível de liquido com iteração mostrado abaixo:

• Sendo:

• Seja :


• Admitindo a vazão q como grandeza de entrada e q2 como variável desaída, a função de transferência do sistema é:

• Seja :

Exemplo:No sistema de nível da figura abaixo, admita-se que a vazão Q m3/s atravésda válvula de saída se relaciona com o valor da coluna H por intermédio daexpressão:

Admita-se, também que para uma vazão de entrada Qi constante e igual a0,015 m3/s o valor da coluna H se mantenha constante. No instante t = 0 aválvula da entrada é fechada de modo que a vazão de entrada seja nula

0,01Q K H H= =

válvula da entrada é fechada de modo que a vazão de entrada seja nulapara t ≥ 0. Determinar o tempo necessário para esvaziar o reservatório ateque o valor da coluna seja metade do valor inicial. A capacitância C doreservatório é de 2 m2.

Modelagem de sistemas térmicos

• Seja o sistema térmico:

• Para transferência de calor por condução ou convecção:

• Onde:


• Resistência Térmica para transferência de calor entre duas substancias:

• A resistência Térmica para transferência de calor por condução ou convecção:convecção:


• A Capacitancia Térmica: é uma medida do armazenamento da energia interna do sistema, é definida por:

• Ou:• Ou:

• Onde: m é a massa da substancia considerada, kg;

• C é o calor especifico da substancia, kcal/kg oC

Diagrama de blocos de um sistema térmico

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