Teoria de Jogos - eduardosantos-lab.weebly.com · Nem sempre existe um invencível... Fenótipo 1...

of 107/107
Teoria de Jogos Danilo G. Muniz
  • date post

    01-Dec-2018
  • Category

    Documents

  • view

    217
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Teoria de Jogos - eduardosantos-lab.weebly.com · Nem sempre existe um invencível... Fenótipo 1...

  • Teoria de Jogos

    Danilo G. Muniz

  • Introduo teoria de jogos

    Onde ser que esse cara vai investir?

    John Nash

  • Introduo teoria de jogos

    Teoria evolutiva de jogos um modo de pensar sobre evoluo no nvel dos fentipos em que a aptido de cada fentipo depende de sua frequncia na populao

    John Maynard-Smith

  • Em outras palavras...

    Mtodo (um pouco matemtico) para gerarprevises evolutivas quando a aptido de umindivduo depende tanto da prpria estratgia,quanto da estratgia dos outros membros dapopulao.

  • O que tem a ver com jogos?

  • E como funciona?

    Qual o cenrio? Quais as estratgias possveis?

    Como montar um modelo de teoria de jogos?

    Qual a teoria ecolgica?

    Como essas estratgias interagem entre si?

    Matriz de payoffs

    Anlise e concluses

  • Pressupostos dos modelos

    Populao infinita (vamos trabalhar com propores)

    Existem N estratgias (fentipos) diferentes na

    populao

    Indivduos realizam interaes um-a-um

    Encontros so totalmente ao acaso

    Interaes entre os indivduos influenciam sua

    aptido (fitness)

  • Matriz de ganhos (payoffs)

    ... na interao com:

    Ganho lquido ... Fentipo 1 Fentipo 2

    Fentipo 1 a b

    Fentipo 2 c d

    A matriz lida do ponto de vista das linhas

  • Uma populao qualquer...

    ... na interao com:

    Ganho lquido ... Fentipo 1 Fentipo 2

    Fentipo 1 a bFentipo 2 c d

    Frequncias

    s1s2

    Matriz de payoffs Frequnciasfenotpicas

  • Aptido dos fentipos

    Fentipo 1 Fentipo 2

    Fentipo 1 a b

    Fentipo 2 c d

    Frequncias

    s1

    s2

    1 = 1 + 2

    2 = 1 + 2

  • como multiplicar matrizes!

    Fentipo 1 Fentipo 2

    Fentipo 1 a b

    Fentipo 2 c d

    Freq.

    s1

    s2X

  • como multiplicar matrizes!

    Fentipo 1 Fentipo 2

    Fentipo 1 a b

    Fentipo 2 c d

    Freq.

    s1

    s2

    1 = 1 + 2

    1 = 1 + 2

    X =

    Aptides

    w1

    w2

  • Mas essas aptides servem pra qu?

  • Frequncia na prxima gerao

    = 1 1 + 2 2(+1) = ()

    Aptido mdia da populao

    Equao doreplicador

    1(+1) = 1() 1

    2(+1) = 2() 2

  • Estratgias evolutivamente estveis

  • Estratgia evolutivamente estvel

    Evolutionary stable strategy (ESS)

    Uninvadable strategy

    1) Estratgia que no pode ser invadida por uma estratgia mutante inicialmente rara

    2) Consegue invadir uma populao quandoInicialmente rara

  • Como identificar o invencvel?

    ... na interao com:

    Ganho lquido ... Fentipo 1 Fentipo 2

    Fentipo 1 2 2

    Fentipo 2 1 1

    Estratgia evolutivamente estvel pura

  • Como identificar o invencvel?

    ... na interao com:

    Ganho lquido ... Fentipo 1 Fentipo 2

    Fentipo 1 1 2

    Fentipo 2 2 1

  • Nem sempre existe um invencvel...

    Fentipo 1 Fentipo 2

    Fentipo 1 1 2

    Fentipo 2 2 1

    Frequncias

    0,5

    0,5

    1 = 0,5 + 1 = 1,5

    2 = 1 + 0,5 = 1,5

  • Estratgia evolutivamente estvel mista

    ... na interao com:

    Ganho lquido ... Fentipo 1 Fentipo 2

    Fentipo 1 1 2

    Fentipo 2 2 1

    Estratgia evolutivamente estvel mista

    Frequncias

    0,5

    0,5

  • ESS mista

    Poderia ser imaginada como um ESTADO EVOLUTIVAMENTE ESTVEL

    Estado populacional que, mesmo se perturbado, tende a se reestabelecer

  • Nem sempre existe um invencvel...

    Fentipo 1 Fentipo 2

    Fentipo 1 1 2

    Fentipo 2 2 1

    Frequncias

    0,3

    0,7

    1 = 0,3 + 1,4 = 1,7

    2 = 0,6 + 0,7 = 1,3

  • Nem sempre existe um invencvel...

    Fentipo 1 Fentipo 2

    Fentipo 1 1 2

    Fentipo 2 2 1

    Frequncias

    0,7

    0,3

    1 = 0,7 + 0,6 = 1,3

    2 = 1,4 + 0,3 = 1,7

  • Voltamos ao estado estvel

    Fentipo 1 Fentipo 2

    Fentipo 1 1 2

    Fentipo 2 2 1

    Frequncias

    0,5

    0,5

    1 = 0,5 + 1 = 1,5

    2 = 1 + 0,5 = 1,5

  • Jogo gavio-pombo

  • Modelo gavio-pombo (hawk-dove)

    O gavio e o pombo simbolizam dois tipos de estratgias

    Agressividade Pacincia

  • Modelo gavio-pombo (hawk-dove)

    Modelo de disputa intraespecfica

    Duas estratgias

    - Sempre luta pelo recurso- Sempre foge da luta

    - Divide o recurso com outro pombo

  • Modelo Gavio-pombo

    V = valor do recurso ; C = custo da luta

    ... na disputa contra:

    Ganho lquido ...

    2

    0

    2

  • Modelo Gavio-pombo

    Equaes de aptido (fitness)

    =

    2+

    =

    2

    : aptido; s: proporo (share) de cada estratgia ; g: gavio; p: pombo; V: benefcio da vitria; C: custo da luta

  • Modelo Gavio-pombo

    V = 5; C = 2

    ... na disputa contra:

    Ganho lquido ...

    2= 1,5 = 5

    0

    2= 2,5

  • Modelo Gavio-pombo

    V = 2; C = 5

    ... na disputa contra:

    Ganho lquido ...

    2= -1,5 = 2

    0

    2= 1

  • A ESS nem sempre a mesma...

    E agora?

  • Modelo Gavio-pombo

    =

    2+ =

    2

    Quando a populao entra em equilbrio?

  • Modelo Gavio-pombo

    2+ =

    2

    Vamos calcular a proporo de gavies em equilbrio...

    Substitui (sp) por (1-sg)

    2+ 1 = 1

    2

    2

    2+ =

    2

    2

    Faz as multiplicaes

  • Modelo Gavio-pombo

    2

    2+ =

    2

    2

    2+

    2

    2+ =

    2

    2+ =

    2

  • Modelo Gavio-pombo

    2+ =

    2

    x 2

    + 2 =

    =

    =

  • Modelo Gavio-pombo

    V = 1

  • agora que entra a equao do replicador?

    Deve ser n...

  • Frequncia na prxima gerao

    = 1 1 + 2 2(+1) = ()

    Aptido mdia da populao

    Equao doreplicador

    1(+1) = 1() 1

    2(+1) = 2() 2

  • Modelo Gavio-pombo

    V = 1; C = 2

    ... na disputa contra:

    Ganho lquido ...

    2

    0

    2

    Frequncias

    0,001

    0,999

  • Modelo Gavio-pombo

    V = 1

  • Modelo Gavio-pombo

    V = 1; C = 2

    ... na disputa contra:

    Ganho lquido ...

    2

    0

    2

    Frequncias

    0,001

    0,999

  • Modelo Gavio-pombo

    V = 1 ; C = 2

  • Jogo do altrusmo

  • Modelo simplificado de altrusmo

    Altrusta Egosta

    Concede um benefcioem qualquer interao

    Aceita benefcios

  • Jogo do altrusmo

    ... na interao com:

    Ganho lquido ...Altrusta Egosta

    Altrusta 1 + 1

    Egosta 1 + 1

    b = Benefcio de interagir com um altrustac = custo do altrusta ao interagir

  • Equilbrio

    Equilbrio ocorre quando c = 0

    ... na interao com:

    Ganho lquido ...Altrusta Egosta

    Altrusta 1 + 1

    Egosta 1 + 1

  • Quando c > 0

    b = 1 ; c = 0,5

    Altrusta

    Egosta

  • Quando c > 0

  • Equilbrio

    Com c > 0, o altrusta sempre perece!

    ... na interao com:

    Ganho lquido ...Altrusta Egosta

    Altrusta 1 + 1

    Egosta 1 + 1

  • Jogo do altrusmo

    Quando c > 0, o egosmo a estratgia evolutivamente estvel

  • O que acontece se o altrusta for seletivo?

    W.D. Hamilton prope a ideia do altrusta seletivo

    R. Dawkins Eu tenho uma barba verde, e serei altrusta com quem possui uma barba verde

  • Jogo do barbaverde

    Altrusta Egosta

    Concede um benefcioem qualquer interao

    Aceita benefcios

    Barbaverde

    Concede um benefcioa outro barbaverde

  • Matriz de payoffs

    ... na interao com:

    Ganho lquido ...Altrusta Egosta Barbaverde

    Altrusta 1 + 1 1

    Egosta 1 + 1 1

    Barbaverde 1 + 1 1 +

    b = Benefcio do altrusmoc = custo do altrumo

  • Jogo do barbaverde

    FrequnciasIniciais

    Altrusta: 0,7Egosta: 0,2

    Barbaverde: 0,1

  • Jogo do barbaverde

    FrequnciasIniciais

    Altrusta: 0,7Egosta: 0,2

    Barbaverde: 0,1

  • Jogo do barbaverde

    Quando b > c, ser um barbaverde uma estratgia evolutivamente estvel

    ... na interao com:

    Ganho lquido ...Altrusta Egosta Barbaverde

    Altrusta 1 + 1 1

    Egosta 1 + 1 1

    Barbaverde 1 + 1 1 +

  • Jogo do barbaverde

    Ser egosta nem sempre a melhor alternativa.

  • Jogo pedra-papel-tesoura

  • Jogo pedra-papel-tesoura

  • Jogo pedra-papel-tesoura

    Proposio terica

    Explicar a coexistncia contnua de estratgias alternativas

  • Jogo pedra-papel-tesoura

    Estratgia 1

    Estratgia 3 Estratgia 2

  • Matriz pedra-papel-tesoura

    ... na interao com:

    Ganho lquido ...Pedra Papel Tesoura

    Pedra 1 2

    Papel 2 1

    Tesoura 2 1

  • Equilbrio pedra-papel-tesoura

    ... na interao com:

    Ganho lquido ...Pedra Papel Tesoura

    Pedra 1 2

    Papel 2 1

    Tesoura 2 1

    = =

  • Pedra-papel-tesoura

  • Lagarto pedra-papel-tesoura

    Uta stansburiana

  • Lagarto pedra-papel-tesoura

    AgressivoDefende harns sozinho

    Defende uma fmea s.Cooperativo.

    Imita fmease copula furtivamente

  • Pedra-papel-tesoura-lagarto-spock?

  • Jogo da razo sexual

  • Pressupostos dos modelos

    Populao infinita

    Existem N estratgias (fentipos) diferentes na populao

    Encontros so totalmente ao acaso

    Indivduos realizam interaes um-a-um

    Estratgias influenciam interaes que influenciam a aptido

  • O que acontece se houver infinitas estratgias possveis?

  • Infinitas estratgias?

    Faz sentido isso?

    Estrutura, atividade coisa assim 1

    Recursos limitados

    Estrutura, atividade coisa assim 2

  • Jogo da razo sexual

    Filhotes machos

    Ovos limitados

    Filhotes fmeas

  • Mas e a ESS?

    1) Estratgia que no pode ser invadida por uma estratgia mutante inicialmente rara

    2) Consegue invadir uma populao quando

    Inicialmente rara

    O conceito de estratgia evolutivamente estvel...

  • ESS em um mundo infinito...

    Filhotes machos Filhotes fmeas

    Forma ideal de diviso de recursos

    Razo sexual da prole

  • Fmeas possuem uma quantidade fixa de ovos

    Aptido (fitness) medida como nmero de netos

  • Hora de calcular um pouco...

  • Mas o que a gente tem que calcular?

    Aptido de uma fmea mutante em uma populao que produz filhotes com uma razo

    sexual caracterstica

  • Hora de calcular um pouco...

    Ovos por fmea: N

    Proporo de machos na prole da fmea mutante: S

    Proporo de machos gerados pelas outras fmeas da populao S

    Filhas: (1-S) N

    Filhos: S N

  • Hora de calcular um pouco...

    Netos gerados pelas filhas

    (1-S) N2

    Numero de filhas porfmea

    (1-S) N

    Numero de filhotespor filha

    N

  • Hora de calcular um pouco...

    Netos gerados pelos filhos

    (Machos precisam fertilizar fmeas)

  • Hora de calcular um pouco...

    Netos gerados pelos filhos

    (Machos precisam fertilizar fmeas)

    Nmero mdio de parceiras por macho:

    Total de fmeas / Total de machos

    (1-S)/ S

  • Hora de calcular um pouco...

    Filhotes por filho

    N [ (1-S)/ S ]

    N [ (1-S)/ S ] S N

    S N2 [ (1-S)/ S ]

    (Total de netos gerados pelos filhos)

    Nmero de filhos

  • Total de netos da fmea mutante...

    (1-S) N2 + S N2 [ (1-S)/ S ]

    = 2 1 + 1

  • Total de netos da fmea dominante

    = 2 1 + 1

  • Total de netos da fmea dominante

    = 2 1 + 1

    = 2 1 + 1

    = 2 2 2

    = 2 2 (1 )

  • Em busca da ESS!!

    S (razo sexual da prole da populao)

  • Em busca da ESS!!

    S (razo sexual da prole da populao)

  • Em busca da ESS!

    = 2 1 + 1

    = 2 2 (1 )

    Encontrar o valor de S que faz com que w > w

    para qualquer S?

  • Anlise de invasibilidade

    1) Vrios valores de S e S2) Calcula w e w

  • Anlise de invasibilidade

    1) Vrios valores de S e S2) Calcula w e w

    w w> 0

    w w

  • Anlise de invasibilidade

    1) Vrios valores de S e S2) Calcula w e w

  • Anlise de invasibilidade

  • Em busca da ESS!!

    S (razo sexual da prole da populao)

    S = 0,5

  • Mensagens finais

    A teoria de jogos um mtodo para gerar previses evolutivas (no s na rea de comportamento!).

    O jogo qualquer situao em que a aptido de um indivduo depende de sua estratgia e da estratgia dos

    outros indivduos

    Boa parte da anlise de um jogo procurar a estratgia evolutivamente estvel (que nem sempre

    existe)

  • Bibliografia

  • Hora do intervalo!

  • Jogo Gavio-pombo no excel!

    ... na disputa contra:

    Ganho lquido ...

    2

    0

    2

    = 1 1 + 2 2(+1) = ()

  • Jogo do cuidado parental

    Maynard-Smith 1977. Anim. Behav.

  • Quem cuida da prole?

    Fmea guardiFmea

    desertora

    Macho guardio

    Cuidado paternal exclusivo

    Macho desertorCuidado

    maternal exclusivoSem cuidado

    parental

  • Historinha do modelo

    Se o macho cuidar da prole, ele se reproduz uma vez. Se desertar, ele tem uma segunda chance

    Macho desertor tem probabilidade p de copular de novo

    Fertilidade das fmeas

    Desertora: W ; guardi: w

  • Parmetros do modelo

    Macho desertor tem probabilidade p de copular de novo

    Fertilidade das fmeas

    Desertora: W ; guardi: w

    Sobrevivncia da prole: P2 >= P1 >= P0

  • Matriz de payoffs

    Fmea

    Macho Guarda Deserta

    Guarda

    Deserta

  • Matriz de payoffs

    Fmea

    Macho Guarda Deserta

    Guarda

    Deserta

    wP2

    wP2

    WP1

    WP1

    wP1

    wP1(1+p) WP0(1+p)

    WP0

  • Hora do exerccio