'.

UNIVERSIDADE DE SO PAULO

INSTITUTO DE FlsICA

"SIMETRIAS CONTINUAS E CORRSLAOES PARA MODELOS BI

DIMENSIONAIS EM MECNICA ESTATlsTlCA"

CEZAR AUGUSTO BONATO

Tese apresentada ao In~ tituto de Fsica para a obteno do Titulo de Doutor em Cincias.

SO .PAULO

1983

FICHA CATALOGRAFICA

Preparada pe~a Biblioteca do

Instit"ul:o de Fsica da Universidade de So Paulo,

Bonato,' Cesar AugustO. 'Simetrias contnuas e correlaes para mo

delos Bidimensionais em mecnica estat!stc so Paulo, 1983.

Tese (Doutoramento) - Universi.dade de so Paulo. Instituto de F-sica. Departanento de 'Fsica Matemtica. " .

Area de Concentraco: Fsica.de Particulas Elementares. ~

Orientador: Jos Fernando Perez

Onitermos: I.Ausncia de quebra ~spont-. nea de simetriascontnuas. 2.Teorema'de"Mer mi-Wagner, "decaimento de correlaes.' 3. PO-' sitividade 'por reflexo, gas de Bose. ,

USP/IF-B26/8~3__________~________________~__~

http:Fsica.de

Desejo eX~Tessar meus agradecimentos:

ao Prof. J. Fernando Perez pelo constante apoio e estmulo, assim como ~elas valiosas discusses~ fundamentais para a 'realizao deste trabalho;

- aos colegas do Departamento de Fsica Matemtica do IFUSP, pelo companheirismo e frutfera troca de idias~

- ao Pedro e ao- l.ligue! pela ajuda na reviso dos originais;

- ao Ernesto, pelas figuras.

Este trabalho teve o apoio financeiro da UFPb - CAPES - PICD

Ao Sr. Amrico e D. Maria, meus pais;

Chris, minha es~osa e companhera ~ Ernesto~ Pedro e Miguel, meus filhos.

ABSTRACT

We give outimal conditions concerning the range of interactons for the absence of spontaneous breakdown of continuous syrnmetries for one and two di mensional quantum and classical lattice and continuum systems~ For a class of models verifying infrared bounds our conditions are necess3ry and sufficient.

Using the same techniques we obtain "a

!iriori ti bounds on clus tering for systems wi th continuous

symmetry~ Improved bounds are obtained for certain sueci fie quantum models ( quantum x-r. quantum rotator. latt! ce gauge theories).

i'le also analyze the -property af reflec

tion Dositivity for a free Bose gas on a lattice.

,

RESUMO

Analisa-se o fenmeno da ausncia de quebra

espontnea de simetrias contnuas para modelos clssicos e

qunticos numa rede. assim como em sistemas no contnuo, em

uma e duas dimenses .. 'So formuladas condies timas quan

to ao alcance das interaes para a ausncia de quebra es ~

pontnea de simetrias contnuas. Essas condies so neces~

srias e suficientes para uma classe de modelos que satisfa

zero estimativas infra vermelhas ("infrared bounds tl).

So tambem obtidas estimativas "a priori"p~

ra o decaimento de funes de correlao de modelos com si

metria contnua, dependentes apenas do alcance da interao.

Para modelos especficos (x - y quntico.r~

ter quntico I teorias de "gauge l1 na rede) so obtidas es

timativas melhoradas. para o decaimento de funes de corre

lao~ em relao s mencionadas acima.

Finalmente analisada a propriedade de po

sitividade por reflexo para um gs de Bose livre numa Te

de.

1,

INDICE

1 - Introduo e resultados . . . . 2~ 2 - Ausncia de quebra espontnea de simetria contnua

em sistemas uni e bidimensionais 8

Apndice B - Clculo da funo geratriz 100

3 - Decaimento de correlaes . 32

4 - Sistemas no contnuo 45

5 - Decaimento de correlaes para sistemas qunticos 52

6 - Positividade por reflexo para um gs de Bose livre 76

Apndice A - Desigualdade de Bogoliubov . , . ~ 94

Apndice C - 105

Referncias ~ 114

z.

CAPITULO 1

INTRODUAO E RESULTADOS

o problema da ocorrncia ou ausncia de quebra espo~ tnea de simetrias, em Mecnica Estatstica e Teoria Quntica

de Campos, para sistemas que possuem uma simetria contnua e

global, tem ocupado o interesse de vrios pesquisadores nas l

timas dcadas.

Argumentos heursticos. baseados em consideraes roi

croscpicas ou ao nvel termodinmico, j h algum tempo indi

cavam que sistemas a temperatura diferente de zero. com inte

raes de curto alcance, em uma e duas dimenses. no poderiam

exibir ordenamento (correlao de longo alcance) que implicas

sem na quebra espontnea de simetria contnua (Q.E~S.C.) [1.2J.

Na dcada de 60 surgiram vrios trabalhos provando a

ausncia de ordem associada a uma Q.B.S.C. em diversos mode

los [3-7J. Estes trabalhos utilizavam uma desigualdade, de

vida a N.N. Bogoliubov [8 t 9]. cujo uso para esta finalidade foi indicada pela primeira vez por P~C. Hohenberg [31 ,em seu

estudo sobre o gs de Bose~ Os trabalhos pioneiros em (4 5] fit zeram com que as nomes de Mermin e Wagner ficassem intimamente

ligados a esse tipo de fenmeno [20]. Mais recentemente, uma quantidade respeitvel de tra

balhos tem surgido neste assunto (por "xemplo: [10-2:0). No

contexto de Teoria Quntica de Campos Relativsticos resulta

dos deste tipo esto contidos implicitamente em [22J e em (1:s).

!,

3.

Tais trabalhos representam desenvolvimentos em vrias

direes: formulaes matemticas mais gerais e abstratas que

estendem os resultados para classes maiores de sistemas e sime

trias [10-17. 20) ; demonstraes de ausncia de Q.E.S.C. ao

invs de somente ausncia de ordenamento (magnetizao espont

nea) [10, 11, 12, 15, 16, 17, 20J ; extenses quanto ao alcance

da interao [16, 11, 18, 20] i generalizaes para sistemas sem

I invariana translacional \)0. 15, 20) ; utilizao de outros m !

t.odos (que no a desigualdade de Bogoliubov ) (16, 11. 18J com

I o uso de argumentos mais prximos dos fundamentos da Termodin!

mica.

I No Captulo Z do presente trabalho obtemos os melho I

res resultados gerais possveis, quanto ao alcance das intera

I es, para a ausncia de Q.E.S.C. em uma e duas dimenses. De ,

acordo com o Teorema 2.1, do Captulo 2, a condio suficiente

I para a ausncia de Q.E.S.C.

"\ , Jr (1.1)I 5 """ E(1) Ifla ! <

onde E(p) uma funo conveniente~ associada univocamente a

cada modelo considerado e que depende do alcance da interao.

Para uma classe de modelos que satisfazem estimativas

infra-vermelhas (Uinfl'ared bounds") e regras de soma, a condi

.o

f ls-E-'-I-r-:; l' < cD

implica na Q.E.S.C como est provado~ por exemplo, em [311.

4.

Portanto, para tais si$temas~ nossa condio (1.1) necess

ria e suficiente.

Nosso resultado principal (Teorema 2.1), contido no

Captulo 2, demonstra a inval'iana dos estados de - equil!brio

por transforma6es de simetria, o que mais geral do que a

simples inexistncia de magnetizao espontnea (ou correIa

o de longo alcance) que envolvesse uma quebra de simetria, e

aplica-se igualmente para sistemas clssicos ou qunticos.POT

outro lado, noss? mtodo no exige a invariana translacional

do estado nem da Hamiltoniana do sistema, prestando-se, por

isso. a aplicaes, como por exemplo. em sistemas aleatrios

(vidros de "spinfl ).

No Captulo 3 mostramos que t usando o mesmo tipo de

tcnica do Captulo Z. possvel obter-se estimativas para a

taxa de decaimento de certas funes de correlao, relaciona

das com os geradores da transformao de simetria. Essas esti~

mativas, contidas no Teorema 3.2, so do tipo:

, < Alo) 'iH"J) I' ~ de. ( ~ - eM 1 "'_ lI' J-1. (1.2) [ j E(1)

para A (ou Dl da forma A= [J,c} , para algum C local e onde J um gerador infinitesimal do grupo de simetria. A estimati

va (1.2) representa uma simplificao e uma melhoria de resul

tados mais especficos obtidos anteriormente por Jasnow e

Fisher [35.36).

o Teorema 3*2 fornece. por assim dizer. estimativas !ta priol'i ft , poiS a taxa de decaimento das funes de correIa

o independente do modelo particular considerado e da temp!

i

5.

ratura. E claro que para modelos especficos, melhores estima

tivas so possveis (38J.

No Captulo" 4 comentamos de maneira sucinta. sem te~

tar entrar em maiores detalhamentos matemticos. como os rasu!

tados dos Captulos 2 e 3, que foram formulados numa rede, po

IRvdem ser estendidos para sistemas definidos no contnuo Para o decaimento de funes de correlao. no Cap

tulo 5 fazemos uma extenso dos mtodos de Spencer e Me Bryan

(38) para alguns modelos qunticos, obtendo taxas de decaimen

to melhoradas, em relao s obtidas no Captulo 3. Tais resu!

tados foram_ antevistos na literatura (16] ? porm no havia si

do fornecida uma demonstrao. So tratados, no Captulo 5, os

modelos X-Y (ou Heisenberg) qunticos e um tipo de rotOT qun~ tico.

Tambm no Captulo 5, o mesmo tipo de mtodo nos pe~

m te obter o confinamento logari tmico permanente de "quarks 11

estticos para a Teoria Hamiltoniana de "Gauge: H puro U (1) na

rede, em 3 dimenses (2 espaciais + 1 temporal)~ inclusive pa

ra tempo contnuo (espaamento da rede na direo temporal

gual a zero). O sistema tratado temperatura T e os resul

tados passam para o limite T-+o.

Para T = o este mesmo resultado (com tempo discreto) foi anteriormente obtido por Glimm e Jaffe [551 e existe o re

sultado, mais forte, de Gtlpfert e Mack [56J(com tempo discre

to)~ que fornece confinamento permanente linear (ao invs de

logartmico). Nosso procedimento. no entanto, parece ser mais

simples do que o de [55] (e certamento do que o de [56J ) e tem

a vantagem de, ao que tudo indicai poder ser estendido para teo

rias de tgauge" no abelianas que tenham U(l) como subgrupo de

invariana (por exemplo SU (n) (trabalho em preparao), ~ pr!

i

6.

livre definido rede (os resultados so tambm vlidos P!

ciso notar que no existe nenhum resultado rigoroso para o con

finamento permanente em teoras SU(2) em 2+1 dimenses~

Finalmente, no Captulo 6, inclumos um estudo da

propriedade de positividade por reflexo para um gs de Bese v

na ~

. ~ ra o cont1nuo ~ ). A positividade por reflexo (P.R.l. que surgiu pri

meiramente no contexto de Teoria Quntica de Campos, na regio

Euclideana~ com o nome de positividade de Osterwalder-Schrader

(49). tem desempenhado um papel destacado como base de tcni

cas para se demonstrar transies de fase em Mecnica Estats

tica (vide. por exemplo [30, 31, 33J). Assim. ela serviu como

ingrediente importante na formulao rigorosa do argumento de

Peierls (via nchessboard estimates") ou na obteno de estim!

tivas infra-vermelhas C"infrared bounds"). Este ltimo mtodo

propiciou a primeira prova rigorosa de transio de fase para

sistemas com simetria contnua [30].

As demonstraessdisponveis na literaturaJda F.R.,

para modelos especficos. empregam um esquema perturbativo e

aparentemente exigem um compromisso entre comutar ou no, ser

real ou no, e ser ferTomagntico ou no, para as grandezas e

a interao que aparecem nos modelos.

Um modelo importante, o modelo de Heisenberg qunti

co ferromagntico, um exemplo onde este compromisso no se

realiza e as tentativas de estabelecer-se ou no P.R. para ele

tem frustrado os esforos de vrios pesquisadores (em particu

la.r de [30~ 31, 33]). Por este motivo no foi possvel~ at

hoje , empregar os mtodos citados acima para se obter uma de

monstrao da existncia de uma transio de fase para este mo

dOlo.

7.

Um outro modelo importante, para o qual no se apli

cam as tcnicas perturbativas acima mencionadas t e pelas mes

mas razes do modelo de Heisenberg. o gs de Base livre. Nes

te modelo existe uma transio de fase (em dimenses ~ ~3) e

pode-se calcular explicitamente funes de correlao~

E interessante notar que o gs de Bose livre consti

tui-se no prottipo de modelo exibindo transio de fase (lli:'- 3)

devido a um processo de condensao de "partcula.s' no estado

de momento p = o. que exatamente o mecanismo geral que rege

as transies de fase em modelos que obedecem regras de soma e

estimativas infravermelhas [571 como expl!cito nos mtodos

de [30, 31, 33]. Alm disso o gs de Bose (com interao) e!

t relacionado com o modelo de Heisenberg ferromagntico [58,

59, 60],

Nosso trabalho. no Captulo 6, consiste em se inves

tigar diretamente, atravs de clculo explcito. a existncia

ou no de P.R. para o gs de Base livre definido numa rede.

Obtivemos uma prova de P.R. apenas para uma sublge

bra dos operadores de campo ~~) e 11'(

8.

CAP!TULO 2

AusBNCIA DE QUEBRA ESPONTNEA DE SIMETRIAS CONTINUAS EM srSTE

MAS UNI E BIDIMENSIONAIS.

2~1 - Argumentos heursticos

Nesta seo procuraremos mostrar. de um ponto de

vista completamente informal, razes fsicas que impedem, em

sistemas de baixa dimensional idade, o aparecimento de um orde

namento que implique numa quebra (espontnea) de uma simetria

contnua possuda pela interao entre os componentes do si~

tema. Procuraremos tambm mostrar como a desigualdade de Bog2

liubov surge naturalmente neste contexto como uma ferramenta

para a formulao de argumentos rigorosos (Teoremas), exclui~

do a quebra de simetrias contnuas em uma e duas dimenses.

Para colocar em marcha o argumento heurstico vamos

nos ater a sistemas de '1 sp ins" numa rede (21. se bem que

ele possa ser formulado para outras classes de sistemas [241.

Consideremos ento um sistema de "s-oins".

9.

A Hamiltoniana (2.1) invariante pela rotao simul

tnea de todos oS "spi'ns w de um mesmo ngulo, o que implica

que o valor mdio. no estado de Gibbs. de cada "spfn~t" nulo.

Se t agora, de alguma forma, impusermos a mesma orien

tao para todos os 'lspinsll (por ex. atravs de um campo ex

terno forte) ento o valor mdio de cada Itspin fl no seri mais

nulo e no teremos a simetria de rotao. Se. ao "desligarmos"

o agente causador do alinhamento, o valor mdio dos Hspins"co!!.

tinuar sendo no nulo, diremos que houve uma quebra espont ~

nea da simetria de rotao.

E claro que flutuaes trmicas tendem a desorgani -

zar o sistema. destruindo o alinhamento, desde que isto no

custe muita energia, pois a probabilidade do surgimento de uma

flutuao (configurao) depende da energia da configurao.

De rato. para sistemas com simetria contnua em uma

e duas dimenses. o surgimento de uma grande Hilha" de "spins

com alinhamento na direo oposta pode ser feito com um custo

energtico baixo (se o alcance da intrao no for muito gra~

de)? resultando que o valor mdio dos 'lIsp ins" seja nulo. evi

tando a quebra espontnea da simetria contnua.

Para ver isto. imaginemos uma grande Bilha" de dimen

soes lineares L, nde os "spins" esto alinhados na direo o

posta. Em volta desta ttilha" existe uma regio de transio de

espessura L onde os "spins" vo girando gradualmente, cada um

de um ngulo "YL ~ at estarem na posio correta na fronteira desta regio. O custo energtico por "spin" para produzir

tal configurao, em relao a situao de alinhamento correto

em toda a rede, ser da ordem de (1fIt.)" . Na regio de transio existem da ordem de L-J "spins H ()1 a dimenso da. re

II

L

10.

de) e portanto o custo total energtico ser da ord~m de L~-2t

que desprez{vel para ~=1 J independente do tamanho da lIilha ..

para ~.2 e crescente para ). lo- 3.

Se a simetTia fosse discreta (por ex. se os Hspinsn

s pudessem apontar "para cima" ou "para baixo") este custo

energtico seria independente de L em ~1 e proporcional a em V=2. o que permite a queora de simetria em v=2 (mas no em

V=l). Na verdade este o contedo do chamado argumento de

Pcierls, o qual permite mostrar a quebra da simetria discreta

no modelo de Ising em v=2 [25].

Para tornar um pouco mais precisas as consideraes

acima, vamos agora nos fixar no modelo de Heisenberg, (quinti

co). ou seja 1 os I'spins" G"l. em (2.1) so operadores de:uspin"

( . . .. )Oi:: (fi , (f"~ 1 f${ A transformao unitria

U", :r(~)

e onde

.1('1) = z::. ~4 "7, produz uma rotao de um ngulo q;, em torno do eixo z, e~.

cada "spin" ff'i. o custo em energia numa tal transformao :

SE '" onde o valor esperado

11.

Se ~~ for constante~ devido a simetria da Hamilto

niana temos [H, JI. ",.)] = O e ento liE = o. Note que se

qi no for constante, H no invariante pela transformao ;. j(1/)

e Se, por outro lado, ~i variar lentamente. como o ex

posto mais acima, podemos estimar SE expandindo a transfor

mao U em srie de potncias e considerando os primeiros ter

mos da expanso!

SE = ~ (C :rm,H1) + ~ [ :rNl, ~J, JmJ) + ...

o termo linear em J(~) nulo, devido invariana do trao por uma transformao unitria, e ento obtemos:

SE c.: l

---

12.

No Apndice A damos uma deduo de (Z.2l. assim como

de outras verses.

Nas sees seguintes desenvolveremos demonstraes ex

cluindo a quebra espontnea de simetria contnua para uma elas

se extensa de sistemas em 1 e 2 dimenses, utilizando a desi

gualdade de Bogoliubov) formulada de uma maneira mais conveni,j

ente.

2.2 - Ausncia de quaDra de simetria para sistemas-numa rede.

Nesta seo enunciaremos e demonstraremos resultados

gerais sobre a invariana de estados de equilbrio por trans

formaes de simetria, deixando para as prximas sees a dis

cusso sobre classes de sistemas que se enquadram nessaS proP2

sies gerais~

Utilizaremos a formulao algbrica da Mecnica Esta

tstica, que bastante abrangente para no precisarmos nos fi

xar em sistemas particulares, e trabalharemos diretamente numa

situao de volume infinito. Para simplificar o desenvolvimen

to vamos supor que o espao de configurao do siste~a a ~ "I rede Z , com \J = 1 ou 2.

Como usual (vide por exemplo [26. 27J ) a cada su]:

conjunto AC'2 " est associada uma lgebra C.de observveis OC" . Nosso sistema descrito pela lgebra C *

oc= U IXh I\C7..v

onde a unio tomada sobre todos os conjuntos limitados de

~~ e a barra indica fechamento na norma, sen~o ainda que

[A,B)~ o se A OlA" BE IY!A, com A. n 11, "" (

I

I

13.

A simetria contnua dada por um grupo de automor

fismos [6"!Jt

SE. iR- J de ar. . tal que m. ot,.'l:lf... e assumimos que o grupo de simetria localmente implementado, isto ,dado Ae O(A

existe .J;. li ~ tal que

; is:rA _L$J"", cr.A=e A ..

so os geradores locais do grupo.JA

Um estado na lgebra ot um funcional linear cont

nuo e positivo w(.). com W~)=f,onde ~ a identidade da l

gebra.

o estado w(.) invariante sob o grupo de simetria se "'(OSA). wIA),'1 Aeor.,Yse 11'. Pela propriedade de grupo isto

equivalente a:

d w(

14.

Para cada x E z.~ seja 0$ (x) a ao do grupo de si

metria no ponto x, ou seja 0$ (xl = o;, 1 orlo) , de tal forma

que a; = ",(O

15.

Usando a definio de

16.

Seja a funo E (1)), p. B" ,onde BV (-1f ,1'f]" . de finida por:

(2.12)Ell"" L (, - ':"1' ... ) 'tI") 1(~2"

Se

5 d"X "a:> (2.13)Hl'l 11'1~.

para todo &,)0, ento o estado w(.) satisfazendo a desigualdade

de Bogoliubov (2~g) invariante pelo grupo de simetria OS .OU seja, W(

I

17.

com a transformada de Fourier f(p) definida por:

f'(p) L,,":"'"1'''') e l3" " C-7f, 7f J" 62'"

Vamos assumir provisoriamente que existem l',)c e '&>0

tais que

E(p) '?- \p/'" para I'TI ~ S (2.17)

Seja

E.. (p) E(p) se 111 $ fi (2.18) E.. (p) M,x{E{t),~~'1 se \1'\>.

Dado ":lo escolhemos f(x) COmo sendo

4, I")" C.I,,)';' J.., I"') (2.19) onde

C. r",l '" 5.d e,r.,J, . ." (2.20) 8" (!I.lt)" fi, (~J. ~

C '0)- C, I.) " ~ A 1- "'R" se. 1

18.

onde Q(A) uma constante dependente de 1\ , porm independe~

te de E De fato, da definio (2.23), vem:

I tl'l'! I" L I5A 1- ,.".'[ I i fL!.!!') ( A jl.I' 1(E-1\, s. (4tW E.(,U + t:. l:t""A 4: J(.21r)1f E+fl.J

8'

e, por causa de (2,17),

I. r J'l lJ,f

19.

Ento, de (2.15) e (2.25) vem:

1. ",(er.A) I \~ ~ f W(!\A+/l) _C,lo) ... bOJ (2.26)1s s~o CiO)'l.

Como:

,

lm c~ (o) lm o::>j Ji = ~.,o ~o (JIlr)V E+lfl + E.

11" (2.27)

=' ) A "a> E1r]

11'1 o) "%4-]4' 'li

vemos que para \1=1, se "o F o tal que t(x.) > o. ento .2 f'''-) ,

Er1') >,. 'f(?:'] (i - "" 7 'X,) >, 7(' 111,1 (11

para IpI ~ *, .l! claro que se %(x) =0, Y"';;t ento automaticamente (2.28) verificado. Para Y=2, suponha que existam

Xc!! Cx"' x.') e Y:=-C'YtI Y. ) com x: r o Y... I o (xo pode ser igual a y,,), tais que 'i' ex.) lo e '' (Y.) " o.

f

Neste caso E(f) ~ ,!,(~,I('-"'f",)+~I\.){H"'TIJ " c.+e.I1'I~

em alguma vizinhana de p = o. Se no existirem x6 e yq com

as propriedades acima, ento estaremos reduzidos ao CaSo ~= 1

e o resultado segue igualmente.

c.q.d ..

http:estabelecer(2.17

20.

Observaes:

O Teorema 2.1 estabelece, de uma maneira geral, a

conexo entre a existncia de um singularidade (infra-verme

lha) no integrvel na funo E(p)-t e a proibio de quebra

espontnea de simetria contnua. b um resultado tipicamente v

lido para dimenses baixas (~~l ou Z). j que t de acordo com

(2.17) (que verdadeiro para qualquer dimenso)

y?,. 3

S d~ l 5 A

21.

A cada regio finita AC. 71 ~

associamos a interao

H (ME Ot." , que uma interao de I AI corpos (IAI. cardina

lidade de 1\) tal que para cada X7. temos L IM " HIAlI!

22.

A primeira parte de (ii) segue da estimativa

If~~Ji {, lj 1111"111 1I:r1~1I1 L 11 HChlll (2. 32) "'"''

. ~ pOl-S entao

\ltl1

23.

No caso em que llJ (x)1I = llJ(o)U I para todo

24.

- - "A lgebra de observveis ot e a algebra C gerada v

pelos Si (x) , i=l,2,3, 'x 6- 2.

O estado W definido como o limite de estados de

Gibbs de volume finito t ou seja _('11.

W(A) '" ~ ,;, A e Aft 2)' T... i/tiA

onde 1\ pode ser U1Il cubo e

H. '" L I-l((?:,~l)

"" ."

Poderamos tambm definir ~(.) colocando uma condi

ao de contorno diferente em ou um campo externo no planoHA

Cx,y). que tende a zero aps A t 3,"

o grupo de simetria consiste em rotaes em torno do eixo 3. cujo gerador local

Jex) = ~(x) e2.37)

Um clculo direto mostra que:

fex,y) = [TI"'.1) + li,.,,)] W(S,I')S.I,) +S.I'tIS.I,J)

- L [I{l.'!') + :rl"1) Jw( S,IIl $,(~l + >< (,I S.C,l ) 'l,'} lE":J,v

Observe-se que ..i(x,y) = "(y.x) e r:.- -i(x,y) = o ~. (J 'f]t.v ~

satisfazendo as condies (i) e (ii) do Teorema 2.1.

Assumindo que II(x,y)1 = :r. CIx-y/) e usando VJ (5,c.) S,f~) 1f US,I'III US,IIIII " S 1

obtemos:

111"1.') I ~ q s' f:r.(I'X-~1) + L I.(131) , J '" ~I,,-~) (2.38)"2" Ento. teremos:

f (1') " L (,- ~r.""){

25.

-i,.A divergncia ou no de SE(,) u'l' vai depender do r

alcance de 1. ['xl}. ou seja, da rapidez com que lo Uxl) ten

da a zero quando tx 1-+ OD No c"aso em que

(2.40)L. I'XI" I.(,..,) '" oi. "') ~ .2 c< s'111' "'(,;l'

Desta forma

para Y = 1 ou 2,lim S..4 -m f 1,0 E(')e' ,

sendo a divergncia linear em v=l e logaritmica em ~=2.

Caso O momento }J de t (x) no seja finito porm te .. nha divergncia logartmica podemos demonstrar uma condio su

s ,, " ficiente para Eftl Q 1" a>. ProEosio 2.2:

Seja E(p) = L 0'''''7'''')11..) 'X6':;rl'

com ~(xl ~ O e

seja K(N) = L VIx I 't(x) 'X6-Ak

onde Ali " {- "'. -/11+1, "', N( C 4.

y

Se

K(N)sup

26.'

Demonstrao:

A demonstrao segue as linhas gerais do Teorema 5.S

da referncia [3i) .

Como 1 - cos p.x ~ i ltl']1t)' e l-cosp.x,; trl~1

E('(I) '" r:. U-""1'.1( )~r"'J + L. (I-CO'(.,,) " ...) ~ 'Kf-AN "Xf:/tC

s \-rl" L I'XI" ~I,,) + .2 L ~("') ?fE--I\N 'XfG..I\~

Para M)N

..

1,,-,11 JL ~I~): t z:. ~~I1

27.

Tomando o limite M~~ em (2.43) e usando (2.44) e

[2.45) obtemos:

., "" L ~[?') ~ 3d-", L .f,... J...~ .. ' L.~ j..1< 1... '" ... .t.,., J1("- 3. ck. < ."'''-11 l1v +f J ",v+f ~6AIl N

Integrao por partes fornece:., (r..e.. '" .t..." .. ,~ d" "" ( J.. N .t...N ." J.,~ N

yJ '){$+1 /.Iy ~

S .,

+ ~ (.t..,.", ." k." + .&.."" .., ~'" Z

o que conduz a

'" Ir ..e.,.?: J..." .. ...&....: J" !1 .&.N ).,.N ." J..~ N:::.

1(VI'-'1j .2.-1 NV iJ

Escolhendo N~ (11' rI J obtemos a tese

. c.q.d

I Pelo fato de

I .

(

11'1" k I1r' .h, I1'r' . .. .e... }l'r' no ser integrvel na origem para V=l ou 2t temos ento umaI condio suficiente para a divergncia de S' f;:r'ff' d;.

28.

_o(

No caso particular que lo (Ixl) = Ix1 ex f o)-, ~

teremos, para )1 = 1, SE '1) "1' infinita para C(~ 2 e fini B' ta para OI! ..a.

onde (~significa o valor mdio tomado no espao de probabilida

d~ .1t, onde esto definidos os { :rI"",) } r3(

29.

Para sistemas recozidos as manipulaes seguemo"ipsis

literis" ,as do Teorema 2.1, com o resultado:

~ '"

30.

1 - dimensionalidade restrita ~=1: o sistema pode

ser totalmente contido num cilindro Cc. Il.' de comprimento in

fini to e seco circular de raio L

31.

onde N o nmero de pontos de A contidos numa seco reta do

cilindro C (caso 1) ou na direo da espessura da chapa S (ca

50 2).

32.

CAPITULO 3

DECAUIENTO DE CORRELAOES

3.1 - Resul~ados Gerais

e um fato bem conhecido em Mecnica Estatstica que transies-'de fase (com ou sem quebra de simetria) esto inti

mamente ligadas ao surgimento de correlaes de longo alcance

entre certlS observveis do sistema.

Assim, para uma classe grande de sistemas clssicos

e qunticos numa rede a existncia de correlaes de longo al

cance implica em magnetizao espontnea (correlaes e magne

tizaes convenientemente definidas), o que, muitas vezes, es

t associado a urna quebra espontnea de simetria [32]. Um

exemplo disto o modelo de Heisenberg quntico (antiferromag

ntico) e o modelo X-Y quntico em 3 dimenses [33J. Nestes , !

modelos a existncia de correlao de longo alcance implica na

quebra espontnea de simetria contnua.

Por outro lado existem modelos em que certos observ

veis apresentam correlao de longo alcance e exibem simetria

I contnua que no ,(no pode ser) quebrada [341 . Neste modeloI

[341, bidimensional. existe uma simetria discreta alm da si

metria contnua. A simetria discreta quebrada provocando o

surgimento de correlao de longa alcance entre certos observ

veis convenientemente definidos.

Neste captulo mostraremos, usando os mtodos do Ca! ptulo Z, que a ausncia de quebra de simetria implica na ine

! I xistncia de correlaes de longo alcance para uma classe de

33.

observveis t que esto relacionados com o grupo de simetria.

Ao mesmo tempo obtemos estimativas para a taxa de decaimento

das correlaes. independentes de modelo e da temperatura, e (' .,J'

que est -relacionada com o grau de divergncia de '\, E(t) '7.

Nossas estimativas representam uma melhoria e uma

generalizao de resultados anteriores de Fisher e Jasnow [35,

36] ~ pois alm de valerem para toda urna classe de modelos e

de observveis, so locais, dependem apenas do alcance da in

terao e incluem interaes de muitos corpos.

Recentemente Ito [3~ reobteve nossos resultados,com

pequenas melhorias quanto a taxa de decaimento, porm com Te!

tries mais rigorosas quanto classe de modelos e observ ~

vais.

o argumento heurstico, no qual se baseia nosso mto do, pode ser assim colocado: se tivermos um observvel A(o)

colocado em x ~ 0. e outro B (R) colocado no ponto x = R~ pe

lo Teorema 2.1~ teremos

J W(

34.

Por outro lado

1.w(l.) B(P-)) I ia F(f/.)Js ;-.\

onde 11(0) :: [3"(4) J I!!on ~ L31'l,AI,)] porque [:rw J B{ltl] =

pais f(R) = o' e levando em conta (2.3).

Se, agora. fizermos 'Rl-+ct.I. conservando as caractersticas acima descritas de f(x), vemos que f(x)~l e F(R)

deve tender a zero por causa de (3.1), resultando na ausncia

de correlao de longo alcance entre D(o) (do tipo [:rrq),Aro)) }

e B (R)

Nossa trabalho consiste em estimar a rapidez com que

F (R) IR, .....,!lo o medida que f(~) IRI..."'> t.

Passemos pois formulao deste argumento de uma

maneira mais precisa. O contexto matemtico, assim como a no

tao~ ser o mesmo exposto no incio da seo 2.2. do Cap{t~

lo 2.

Consideremos duas regies ~oe A~ com 11. () A. = 11( e trs observveis A) D (;l\c ) BR ~ {fI,A. J tais que

(3.2) A = .E!. IJs l> I

Q5 s-o

Sem perda de generalidade suporemos que O '"' 1\(1 (e

!1.f A~, Il um vetor em 2). Em termos de geradores locais (3.2) equivalente a

A~ i, [3(."DJ (3.3)

e (3.2) (ou(;.3)) definir a classe de observveis para os

35.

quais valem nossas estimativas, ou seja, elementos da lgebra

~ que provm de um comutador de algum observvel com os ger~

dores da simetria.

Seja f (x) uma funo f:~--+ ~ tal que

tIO) "" o para X& 1\0 (3.4)f(x) =

o para x e Ap.

Definindo eisef) como em (2.5) (ou (Z.6)),podemos es

crever!

.{ W{\f,rnll B.. ) 1< i.W(c::rI~J,~B.. J) :: d~ .:,

~ ;.. L ~(",)w([:JI"J,bB~J) "

'j;47J!

=

1

36.

onde

CR(X) = IA _11..')( - e.-, b. ('I1TJ' 6" E.(V

~'41. .: k. '"

J J'I.. 1 - e. e. (3.7)" ~l' E.r(6.) com E. (.() definida por (2.18) e

CIl(o) . C.Jx) se x e 1\0

ht ex) = { CIl (x) se 1( A.. (3.8)" o caso contrrio.

Com esta definio de f~ex) a condio (3.4) satis

feita, valendo portanto a identidade (3.5).

No que se segue necessitremos de uma estimativa pa

ra '" h R (p) ~ a transformada de Fourier de hl

37.

- "".Qt J"k ",,11. '" - 1!n~,('X-"_1L e ?f A~ J~1TJ' E+ff,.)

'B"

A identidade cos a - cos b 2 sen a+b sen b-a --r -Z

juntamente com a desigualdade de Schwartz nos d; 'h.

I'J;R 11') \ f. .:i. L. [ r JV~ 1- e.,/l Lltlq,.

[5 J.1 /- ""8'I :t1F/;fl.

I

38.

Como

L 1,.\ ~ ,,,...... A,)IA.l e L .I"'-~I ~ (d,a", /I .. ) Ih~ 1.,,'" ~"IIR.

onde diam A = max Ix-yl e 11\1 a cardinalidade de " ~,.I\

obte mos finalmente a tese, com

(XIII" A..l c li" rl (J.:-. A,) )1\.1 + (di.... A ... ) IA~ 1} J:.

c"q.d ..

Estamos agora em condies de enunciar e demonstrar

o resultado principal t usando a mesma notao do Captulo 2:

Teorema 3.~. Seja i(x,y) dado por (2.11) e satisf~

zendo as propriedades (i), (ii) e (iii) do enunciado do Teo

rema 2.1 _ Se A' MAo .B- e. 'Alt, com Ao 11l\R. 1::: , e A= 1s OS}) Is::ot para algum D ~ M,.,. entoI

[W{AB"JI' ~ F1/8,,11 1I~11 ['d~.,S'Ol ... W.,A.J l (3.11)I I onde ~ 1\., s..) e b( 1\ ,

: "o e /Ir... mas independentes

Demonstra~:

C"lo) 4/h 1 ~.. ) so constantes dependentes de

de R.

A desigualdade de Bogolilibov, junto com (3. S) nos d:

W(ll.)!>(AB.)!' ~ plla.. lllbl/ I f..(.)I~ (3.12)

com

39.

Usando as propriedades (i), (ii) e (iii), como no

Teorema 2.1, obtemos:

(3.13)Iwo

onde Gl(1i" A.] e b( ~ A.) so constantes independentes de R.

Substituindo (3.15) em (3.12) e notando que

f .. (o) = C .. (o)

result:a a tese.

c.~d.

40.

A inexistncia de correlao de longo alcance, assim

como a estimativa para a taxa de decaimento das correlaes

vo depender-odo comportamento de CR(o) quando IRI_ 00 .0

prximo Lema estabelece uma conexo entre o comportamento de

C~(o) e a integral

! A EI'7l

11tH

Lema 3.3.

Seja G (x) uma funo continua em BY

- foI tal que G (x) ~ O e

-s Ge.:) ti''X =co e"

Ento

lim j (l-e.,:llt",j GI1

41.

Devido a escolha de Ij' temos que:

V

~. e;" ;tR.?< d ", '" O e portanto

1111/)

~(._"".:z~.?

42.

so estimativas Ha priori", vlidas para classes muito gerais

de modelos. Consequentemente no so as melhores posslveis,se

considerarmos modelos particulares.

De fato. para modelos de "spinsu clssicos em ))=1 ou

2~ com interao de dois corpos? de alcance finito com sime

tria 50 (N) , pode-se obter [37,38) para a funo de "dois

pontos

_(I-l) c.M e f'~ c.-\e. (3.16)

para todo ~O e p.,p.te) suficientemente grande.

I g uma conjectura a ser demonstrada que (3.16) seja vlido para modelos do tipo acima descrito, porm com alcan

ce infinito da interao.

Para y= 1 , resultados de Dobrushin [39.40] impU

cam num decaimento somaval (~1) para a funo de dois pontos

desde que .?t. I..!t{~}"'" . Nossos resultados no fornecem de caimento ).1 ,mas abrangem casos onde !:. 1'11' ~(,,)

""

43.

Nesta seo vamos nos fixar no modelo de Heisenberg .

com as mesmas definies e no.tao da seo :L3, e analisare

mos as [unes de dois pontos.

Escolhemos ento (com J (l>C) = Sa (lO) como em (2.37))

A. do} AR =IR 1 ll" s~(.) , Bit. " $,(1

44.

e

C",(o) ~ ?J.s' S I - e.;,.:1J,.R ti" :::: ",...J. .t.. 1RI _ ..- .. (~1r)Y IJ, Is'

para IRl grande.

Se. por outro lado, o momento ~ de ~(x) tiver diverg~

cias logartmicas~ ou seja, para algum m~ " 1sup L~ 1,)(IV~f'o\") "",co

~ k!Sl 1." Q ." .e.~ Q 1"1

45.

.,,

I

\,

com I~ I, teremos o modelo de Heisenberg antiferromagnti

co. anisotrpico, para O qual vale ('\1=2) [41]

~

Um Iw (5,[0) S,(ltl) I > O t1t.\ -'Ir ()O

para p suficientemente grande.

Neste modelo existe magnetizao espontnea (magneti

zao alternada (HstaggeredM ) ) e correlao de longo alcan

ce na direo 3 1 embora a simetria (contnua) de rotao em

torno do eixo 3 no seja quebrada, pelo Teorema 2.1. Levan

do em conta que

S,CR) ~

46.

CAPITULO 4

SISTEMAS NO CONTINUO

Neste captulo discutiremos como os resultados obt!

dos nos Captulos 2 e 3 podem ser estendidos para sistemas q~

tticos ou clssicos 1 definidos no contnuo IR," com o uso dos mesmos mtodos l empregados.

Sistemas fsicos no contnuo geralmente apresentam

dificuldades matemticas adicionais em relao a sistemas que

vivem numa rede, devido ao surgimento~ s vezes inevitvel

I I por exemplo, no caso quntico, de operadores no limitados,com

05 conseqnentes problemas de domnio, de operadores que no

I I podem ser definidos localmente como funes~ mas somente como

distribuies, ou de funes no limitados. at no integr

veis~ no Caso clssico.

No nossa inteno aqui discutir em detalhes es

tes problemas, nem tentar fazer uma caracterizao mais deta

lhada de classes de sistemas que podem ser enquadrados nas

nossas proposies, como pretendemos fazer na seo 2.3 do Ca

ptulo 2 para sistemas na rede. O que queremos aqui mos

trar que nossas mtodos podem t em princpio. ser aplicados p~

ra sistemas no contlnuQ~ sendo que para cada caso devero ser

verificadas a existncia e a exatido das definies e manipu

laes de quantidades envolvidas na aplicao do metodo.

Vamos~ novamente. supor que o sistema descrito por

uma lgebra C"" (quasi-local) de observveis bt. t ou seja, a ca o

da Ac IR, 1\ limitado, associa-se uma lgebra (J{I\ de observ

47.

\ I

I

,

I

I,

'i

\ I

\

ves. com !.B] ~ o se A: (1.., ,Beot,... e A.(\J\~ = 1il.. A lgebra ot dada por

(Jt '" U (1(... A G i1C'"

onde a unio tomada sobre todos os conjuntos limitados l\c.tR" e a barra significa o fechamento na norma.

Dado um estado W.(.) em O't podemos construir um os

pao de Hilbert ~ e um mapeamento de bt para operadores 1i

mi tados em ~, que uma representao da lgebra Cf(,. Tal

construo conhecida na literatura como construo GNS(Ge!

fand. Naimark. Segal) [s11;

Em Uw temos definido um grupo de automorfismos c(,,&. cs/1l..; que so as translaes temporais do sistema. Formalmente

.:~~ _4tH dI< A ~ e e com Ae /'Jt.

e onde H a Hamiltoniana do sistema~

Se o estado W for invariante por di:' ~ ou se) a

W(oe>A). W(A) J f' A.,OC ,>f;k IR

ento ~ representado por um operador uni tiTio agindo em 4wo Estados que satisfazem a condio KMS (Kubo. Martin. Schwinger)

so deste tipo (vide Apndice Al.

A simetria contnua do sistema dada por um outro

grupo de automorfismos de lJt. cr$ ,se:tR ~ e suporemos que 0""5 localmente implementado em #'w ou seja, existe uma distri ""I buio a valor operador r(x) tal que para todo AC.m,v limitado

e A Co m" isrlc.) -.4Sf'(C}

IJ.A = e. A e.

48.

'I

I

,

I

49.

A desigualdade de Bogoliubov, ponto de partida de nos

so mtodo, se escreve (vide Apndice A e ref. [291 ):

(4.1)l. W(

com

, _ Jtl'X,~): --< W(rrf1

50.

A demonstrao inteiramente anloga do Teorema

2.1 (feitas as ressalvas contidas no 39 pargrafo do incio

deste Capitulo), com uma escolha de Ce (x) um pouco diferente

de (2.20):

c (xl = S_cl'i .&>J".'I< "'{lIt (;I!r)" E(/..l + (

ii"

com cfoij,.l c C; (11.') 1 til") = .pf-L) , ~{"-) =" para tld> .. para algum S,>o e ~{o) " I .

A funo ~ Ck) introduzida para evitar-se divergncias ultra-violetas, que no existem no caso de um siste

ma na rede~ Note-se que Ce(x) infinitamente diferencivel e

decresce exponencialmente quando lX'1 -1> c:::o para qualquer >0

o que assegura uma boa definio de J(fJ, na maioria dos ca

50S.

o anlogo no contnuo do Teorema 3.2 :

proposio 4.2: I ,

Seja A~/!~ Be.ocA,,- com A. fi jt = l!!. et

A = {".Dl", para algum D lJr:" Ento, "para qualquer' e!d. v

tado GV{.) num sistema definido no contnuo m , satisfazen do as hipteses da ~roposio 4.1. temos:

Iw(/l13) It f,. fllpl/ il6~1I { Q,(A Ad Q, (A"A~)+ CpfO) c..(o/'>. }

onde aJA"A..; 4'. (Ao, A.. ) so constantes dependentes de A. , t\fl. mas independentes de R e onde

51.

1- t~k.r

52.

CAPITULO 5

DECAIMENTO DE CORRELAOES PARA MODELOS QUNTICOS

Conforme mencionamos no Captulo 3. nossa estimat!

va (3.11) para o decaimento de funes de correlao pode ser

melhorada se considerarmos modelos especificos. Tais estimati

vas melhoradas foram obtidas t pela primeira vez, para modelos

de IIspins" clssicos em 2'-, Com simetria SO(N) e interao de

vizinhos prximos por O.A.Me Eryan e T.Spencer [38} Fr6hlich

e Pfister assinalaram em (16) que o mesmo tipo de "estimativa

poderia ser obtida para o modelo x - y quntico t porm no a

presentaram uma demonstrao.

Neste Capitulo apresentaremos estimativas do tipo

das contidas em [38] para duas classes de modelos qunticos n~

ma rede: modelo x - y (ou Heisenberg) quntico e o rotar qun

tico. Usaremos o mesmo tipo de tcnica de [38J. que corl'espon

de a uma forma integral dos mtodos do Captulo 3. O mesmo ti

po de tcnica DOS permitir mostrar, na seo 5.3, o confina rnento permanente de "quarks H estticos numa Teoria de "Gauge ..

puro na rede, com o grupo de simetria U(l) (abeliano) em di

menso V=3 (2 espaciais + 1 temporal).

5.1 - Modelo x - y quntico

Consideremos operadores de "spin" S1(X), S~ (x),

$3 (x) 1 X 711" , com as . relaes de comutao i

[$;1,,), 5i l,)'] ~ ;" ."" ei.fA. SA I)

53.

e ..'[ 5,1") ; 5(5+/) .4,=-,

Definimos,da maneira usual

t I?

54.

onde f(x) uma funo f'-+ ~ a ser definida.

Note-se que pelo fato de S.(x) serem operadores li

mitados. Vef) e V(f)' esto bem definidos como uma srie convergente na norma de operador.

Os operadores S+ e S se transformam como:

-1 ..,. ~?:)() W ~ r", uUJ ~ e- 5r r",j (5.4)

enquanto a Hamiltoniana transformada :

um!-l. ut~j'", :r L ~ (ll.,.)-~li)H5,1'1}"I~J+S.I>H~!l + ('~,>~l\

(5.5)+ ~:r L Jt.J.[fl"')fI~)]{S.''')'.{1)- s.("JS.t~JJ 61\I

!

que pode ser reescrita como

-, ,

U(~) /l, 1J1f') '" 1-1." ~ff.... ~ li, (5.6)

onde

I i JiI, = T L {e.rJ..[.fI")-.ft111-d{s.I.)S.I~) ... s;.{..l$"l~d (5.7)

,(Y.,1)1r.

! li: = J L ~ [fl",l- f{~)J {s.t.J S,l,) - S.I.-)S.(~d (5.8)

55.

Utilizando a propriedade cclica do trao, pode

mos escrever:

j { _1'''''' J

56.

se cnamarmos at = S_ (o)

- t(U.+~) - ~ ia.: = e e

a.. = s. (R)

u~

,

!

para i ::::: 3, ~'., 21. + 2, e fizermos m ::::.1.+ 1, a aplicao (5.10) nos d:

1'(1+." 81i. +":.I/~ ) JIT... f S.I,) 5.{t) } !: , ,

{ I '

57.

Mas, como (vide, por exemplo, ref. (42J )

-1'>(11, +.~.) < TA, ;"dU ) TA. e , ( efU' ~

P~HA i3!1. pl/jl/.ll ~ II Jj T.. e ~ e ~

vemos que (5.12) reduz-se a

11 11 51/.111< 5jo) S.(Il) 1\ ~ 1/ 5.IQ1/1V ; [fio} -/I&)J e (S .13)

Obtem-se uma estimativa idntica para

" apenas substituindo f(x) por - f(x) e ento resulta para (5.2):

I1S~ )::1\(1

58.

\

I

I, I

com

C~.I'X):= IAI L e.-:,1'''' - C#>1'.(",,.1 "(lirA" E(~J + E

-~f1t 4- e .:. "f- 'X (5.16)'L e.

l! 1'~ l,l+

onde A a rede dual de A ~ por exemplo, se escolhermos

1\. {-N,->i+I, ... , IV} X {-N,-IIJ+I, ... ,N] (5.17) com

tAl = (:l.N+! r" teremos

.. '" h'" (1"d) " !ln'",

.t '" +i J ~A J (5.18)

E(p) dado pO!'

E(p)' L (1-1,!,,"') ~ '1 - :1.01" - .2w-,1'~ (5.19) l1c1:;;1

e t~O uma constante arbitrria.

A estimativa final para o lado direito de (5.15)

o correspondente a estimativa (3.15) do Captulo 3, que

exprimiremos no lema seguinte:

Lema 5.2:

Seja If(x) = c~. roc}

P"

com C(:CX) dado pO!' (5.16) e 4>0 uma constante arbitrria.

Dado 0\'V () A; 'At.:; '9: ' ~ '" ,~ seRVICO DE ~

erBlI(, TJ;CA E lNfuRMt..l".!O -"~

59.

Q L {em! [fi",) -fl~)]- I} '" I .,.;S. C~~I\ lo) (5.20)

60.

com o

61.

Tomando o limite A1';;Z" , obtemos:

I J:"{R) I ~ 11 S.1.1UV lACA> {- f -;;; C! lo) J -"'T ~f!lI'U;1

onde

F(R) a 1im F (R) A~2'

e

Cio) "" ..!-. r i /-(""11'/1." l.;;r,v.. ..!... L H.., r-/I.(:J.fr)'.) l' Elp)' ( A1'2' W l'Etr EC,H- 6' _,

(como [E(p) + E1 , E'>', regular em p=o. o segundo limite acima est bem definido).

Notando que

G.:.4_-_""--'.1'_'tI.~, :$ ':1'" I R I 'l. L' (8')

E1\O)-I. f. EI'!')

e usando o Teorema da Convergncia Dominada para tomar o limi

te E. ~ o, obtemos finalmente:

\ F(r

62.

Dado 0

63.

5.2 - RO'tor 9untic~

A cada 'J( 6/\ , com A dado por (5 .17), associamos

uma cpia do espao de Hilbert {(. =. i!" [-'I', 'Ir] e operadores auto adjuntos

p (x) . l= ~ '6(;) ,

com domnio no conjunto de funes peridicas em [-1(.11) J e

er7 [-71',7f]

A Hamiltoniana para a regio A dada por:

~A : L 1'(1r.,,) - el~}) (5.28)?Cf" l~,')"

Este modelo corresponde a um roter plano clssico

mais um termo de energia cintica quantizada. dai o nome de

rotol" quntico,

A Hamiltoniana ijA invariante por uma rotao

em todos os pontos 'X:/\ , de um mesmo ngulo f.{J -Esta trans

formao implementada pelo operador unitrio

~ 't r:. 1""') U :. o 1t'~ (5.29)

Consideremos a funo de correlao:

p~ F.(!!.)::. eo [ero) - &(I. '" .!.... TA- {~[B{.)-"(A}] i 1 (5.30)< 1\ 'i!

onde - fJ 11.

~- T;.. e

64.

Devido a invariana do modelo pela transformao

unitria em ~1 9(-r:J~ -8f"t). podemos' escrever:

4[S{tt)- Sfe>]>. 1 {i[elCi-(1{RJJ _ PU,,}F,,(i1-) ~ e _7;. e e (5.31)< 1\ 2.

Nosso prximo passo. seguindo o mtodo utilizado

na seo anterior par o modelo x - Y. seria a realizao de

uma transformao ortogonal (o anlogo (5.3)). que consiste

numa rotao em ~ de um ngulo imaginrio puro (comQem(5.9)).

Acontece que, no presente caso. o gerador de rotaes o o

perador P{X), que no limitado, o que implica em termos que

tomar cuidados adicionais na definio de U(f). o anlogo

de (5.3).

Para evitarmos complicaes tcnicas adicionais

envolvidas na manipulao de operadores no limitados. adota

remos um procedimento alternativo (que tambm poderia ter

sido empregado na seo 5.1)~ que envolve a aplicao de teo

ria de funes analticas. .. Dada uma funo 0..(>:) com '" E]L, OI'/real l pode

mos definir o operador unitrio

.-, r:. a(

65.

Agora, por um lado temos: .. ~[..(., -alI!lJ

I T", { e;; [,.,., - O/(~!] p11" }G(te) '" T e

onde

f-\~ ::: Uo. 1-1" \lA. .,

"" I-l" + fl~ H" " com

&J.l;; _ :r L { e." ["",,1. ,,-I~)J- d e.:. [9(

66.

onde

J.l." J L. {~ ,1)~A

UI~) - JI,!, }J- d Co [.,,-,;/_ el~) ] (5.35)

H~ " -:r L ~ UI",) - p~)] ftJIM [91'.C , m) .

S.3 - Teorias de "gru gel' na rede.

Vamos considerar uma Teoria Hamil toniana de "G&uge ll

puro, com grupo de simetria 0(1), definida numa rede bidimensio

nal. Como sabido, tal teoria equivalente a uma Teoria de

67.

, ;

;

tlGal:lge" U (1). na regio Euclideana, na rede tridimensional.

com o espaamento de rede na direo temporal igual a zero

(tempo contnuo) (vide, por exemplo, [53J , [54] ou [62J e

referncias contidas). Seguiremos de perto o esquema e a no

tao de (54).

Usaremos ,a rede quadrada ~, de espaamento u

ntrio. O versor na direo{, ~=1,2Por ~ denotaremos o conjunto de elos

ou seja:

representado por.t..

"orientados da rede:Z

I, ,

I

"T ~ {~d'X.",+t)J')(",.ii", ~d .a] (5.38)

'"A cada elo 1= (x,x+.{) associamos uma cpia do espao de Hilbert {[O~21r]. variveis angulares o~ 6f'?l} ~..2rr

e operadores de momento angular

)U ... ~ '" IT d _. d l!iiI{d) (S.39)

com o domnio dado pelas funes peridicas em [o, .nr) .

o operador Hamiltoniano do sistema dado por:

H~ -. L 7;?. _ .!.... L . "

1

68,

6>p '" if. e. = el1 'f!I'l

69.

A invariana de "gauge" expressa por

v/f) I-i U(!ef1 ~ I-! (5.46)

para qualquer tf: 7[2 ~ [0,,71]-Da condio (5.46) vemos que

(5.47) [ 61('1') I H J '" o

onde o operador Q(x) :

Q(",) =' L [ L (1

70.

Podemos escrever o projetor em cada um desses sub

espaos como:

,!' , ( _;~V (5.51)p~ '" ) e. - Ulf.) df - (.:11rJ'~'1 o

onde 0'1 = 71', d

71.

onde

_f>tl \ s'Ir_~!1.:t 1'11t:!j., "" TA.{e P. '" -.!.... e T.. {i Ui!!)] .11/ _ 'li' ("1f)1A1

.ltr (5.54)r_~II 1 Iz. :: lJl..le Po ):::. JTA. {/IIu('!.)] di-(,'1.".) li'I o

Por intermdio da frmula de Trotter, podemos es

crever

b. _ I Jvw.. 5... ...-:< -t: ...... '" i!'..

(5.55)

: _,_.Jv-. TA. { ( e~u. e~~. )'" p~. }: ,"-toco ..

onde utilizamos a decomposio (5.41), H = H~ + HM

Como P'!: um operador de projeo. isto .

P,. '" P,-e comuta com HE. e HI'j> de (5.55), obtemos: _ 1: ( -.a- u. _-!-u" ).. (5.56)I 5... - "- e P~e:-I

Para calcular o Trao em (5~56) escolhemos uma ba

se 111) em f(, que diagonolize os 8("',/") e inserimos conju~I tos completos

rl~>

G~ ~ f _!-u. - :f~"I,,,) lI (5.57)S.. ~ Jr.: Jg;) . e j I

. \

I

http:rl~>

72.

onde

c/.III. '" 7 d". (~, &.) , J.i", (51, I = - -'- J:. en6\'P J'" (. ');', 11. ~ j' P

Ifl?"" Q' L L(1, ;r ;) ~ ''U''

o ncleo do operador que aparece em (5.58) dadO

por:

Z6l,{,4)I~[ *~L + (f;(,I' 'P..I.,.~4l)-!- 2....... J lei...l",tJ) ~

"),. ()"rd.Jt. ~ 'Q(~4.'

co,. f . '] q. (5,59)= L..., -"'1' -.!.~~[c,I.,.1-91 (..,t.)+~i(.I-qi(~+~1+2...7fJ (.2!f~} >tn", _ (10 ,1. ~(p. fi " ~ ~

Colocando (5.59) e (5.58) em (5.57) resulta a ex

presso: ,11' -,;~ z:. (Ti'O>' '1';.1")] [ .fI. U"I!?'H)

S~ "'- --'- ('[1' ti'!!; df,) e. I.. :Ir e , (.:;L) t.{..l_ (1.+il+~~1tJ~} (5 . 60) ~" P.1~ .,,::~. r.4 p,~ ( t ~I

- -

73.

Usando o mesmo argumento empregado nas sees 5.1

e 5.2, fazemos a translao imaginria pura

em (5.60). !{li -'" 11< - "'1: ("'~ (5.62) I A I 1'a' E(l'J ... E

C:. l~) '"

com

EI1') " L ( .2 - :2 t..1") "~/, ;t.

74.

A rede finita J\ que estamos usando a mesma que * foi definida em (5.17), valendo a definio (5.18) para A.

Aqui 7 como nas sees 5.1 e 5.2, e usando a defi,

nio (5.52), temos:

I i L [

75.

para ml grande, resultando portanto:

(5.66 )V'.-t (fJ..) ~ -t (~'l- d .k 111.1 .:>l!'

Vemos que, de acordo com (S. 66); temos confina

mento. pelo menos logal"'tmico~ permanente (y,"). para car

gas externas, na Teoria U(l) em 3 dimenses, com tempo con

tnuo ..

Deve-se notar que para F

76.

CAPfTULO 6

POSITIVIDADE POR REFLEXO PARA UM G~S DE BOSE LIVRE NUMA REDE

6.1 - Definies e notao

o sistema definido numa rede finita V dimen

sional

(v fatores) (6.1)A=- V'\Jy.... v

onde

v " { -L- I, - L, .. ' I (), ... , L} ( L> o inteiro)

Dado ~ definimos o espao de Hilbert de uma par

tcula sobre /\

1." lCA) ={.fI'!:), 'XGA ; L I ff

77.

e

.1", '" 5. ~ 'J, ~ ,.. ~ f,

o ensimo produto tensorial simetrizado de ~.

Um vetor "i'E -; dado por uma seqncia infi nita de funes:

"f~{'t.,'ti/ ... ,'i'.", .. } (6.4)

com

t{l", 5",

e o produto escalar de 'I/J,6:f definido po,..:

C'f"J,. t ("f~, p~ l!.,"0

onde

('I;,

78.

e

[o..(/)'i'J~I"., ...,~~) :: j"", L .[('I() '1'."I'X,7

79.

Fixado ~"J\. tomando ft~)E if., como sendo .tt~)~ d~,'I' (delta de KTonecker) , podemos definir operadores locais 0.1",)

Q.17:J, 911') e irl"').

A Hamiltoniana dada por:

.H. L L

~ Q.1~1{ :l.al~) - al')(+t J - Q.t",- t) ] (6.12)

..,2ft'1'\ 'X&A i..: i

sendo J,., '" o versor na i-sima direo de A . So adotadas condies de contorno peridicas. ou seja, identificamos como

vizinhos prximos pontos opostos na fronteira de .

A Hamiltoniana (6.12) o anlogo discretizado da

Hamiltoniana (formal) segundo quantizada para bosons livres:

H= - s''J( ("rI.). (\ie

80.

do no Captulo 1, esta a origem do fracasso em se aplicar

mtodos perturbativos para a verificao da positividade por

reflexo para este modelo, o mesmo tipo de dificuldade que a

parece no modelo de Heisenberg quntico ferromagntico~

Outro operador de interesse o operador de nume

TO, o anlogo discreto de

~

N =: S';., Q.I%) al%) que, neste caso, definido por:

N = L; a.(",) ar,,)

"";11 (6.15)

Ou t em termos dos campos

I

. ,

!

\ !

I !

81.

. (6.18)f" f(p,A) " I ~ I

Funes de correlao para este gs podem ser cal

culadas atravs do conhecimento da funo geratriz. definida

por:

i1rI1; _

82.

Ef!", IV' A) = ~ {- ~ L.. ';(1) I;. r(1) - ~(rl l' 1X 7E-1\"

(6.21)

~ {-ir[IIIJ~ + uau;. +.2';' Cf,,):!')] ,

.. onde A a rede dual a. A ou seja,

1. ~ {l' '" (,.',1", ... ,"/,"') " 1

83.

onde

f~I~) : 0\ ?l",'i- .

Um clculo imediato nos d:

p: L v-1!-r) +I IAl 1'",.,,0 -IAI

I

ia-rI'

1

1

e vemos claramente que ~ deve ser estritamente negativo.

(pois o~ f < 00 ) paT qualquer f

84.

Portanto o plano de reflexo P um plano perpen

dicular aO V-simo eixo coordenado e passando a meia distn

ela entre 'X={D,Oj""O) e X:: (o, OI ~. ,pJ ~ I)

A reflexo n., define imediatamente uma transfor

maao em .J, dada por:

(e:>f.)t,,) '" fe",,,,) (6.26)

Para implementar a definio de reflexo para ob

servveis do sistema (operadores), consideraremos vrios con

juntos de operadores, dotados de uma estrutura algbrica. Na

definio dessas lgebras utilizaremos trs subconjuntos de~:

g~ ~ { .(! ,;f. $ e ...t 1

:!.~ ~ {~ 1, : ~rr -f c; At I f re ~ L }

(6.27),( '" {.f G;f. : ~ ! c 11_ , .f d ruL J

As lgebras consideradas sero:

IX~ '" lgebra gerada por ;. iJt?! e , ~

-(d,

iJ(1T' ~ lgebra gerada por

I

85.

Essas lgebras podem ser lgebras C ~

ou lge

bras de Von Neumann, conforme a noo de convergncia para

seqUncias seja dada pela norma de operador ou convergncia

forte em ~ Para maiores detalhes sobre lgebras de opera

dores no contexto de gases de Base no relativsticos~ refe

rimo-nos ao trabalho de Araki e Woods [441. ou ento de C. non [451 ou Lewis e Pule (46J.

A operao de reflexo;~ definida, nas lgebras

acima, como um homomorfismo (anti-linear) de tJt:! _ tn~ (." b(: ---- tr(~ ) J como

(9)(1\1 '" (A)(B)

",,( ifm ~ '#11) - ,-

86.

Claramente, toda matriz positiva definida her

m! teana. isto t Ali:::' Ali-A matriz hermiteana B4~ chamada quase positiva

definida se para ..toda seqncia de nmeros complexos { l .. )." .., ).. t~t =0s~tisfazendo {-< tivermos

t. .,.,

~ot l .. -Xi 5'1 ",3"'t

A propriedade que utilizaremos expressa no se

guinte Lema!

s,{iLema 6.1: A matriz ki = e J ~.i" ,1,..2, "', ft1

positiva definida para todo S) o se e somente se a ma

triz B~f for hermiteana e quase positiva definida.

A demonstrao deste Lema pode ser encontrada,por

exemplo, na referncia [47) .

Podemos ento enunciar nosso resultado:

Teorema 6.2:-o estado definido em (6.17) positivo< . >"

71' )' _ por reflexo em erc! (ou em {)(+ lSto e:

87.

Demonstrao:

o metado da demonstrao o mesmo utilizado por Hegerfeldt [481 na demonstrao de positividade por refle

xo (positividade de Osterwalder-Schrader [49]) para al

guns exemplos de Teorias Qunticas de Campos~ na regio Eu

clideana.

Vamos nos restringir inicialmente lgebra ocf ; i'l'f) ..

Como (I gerada por operadores e ,~ J,~ basta de monstrarmos a positividade para elementos de lgebra do ti

! po

; ~(4i) '" A ~ L >.; e. ;'''t

com

88.

trar

De acordo com (6.21) ficamos reduzidos

a positividade da matriz

A.;i ::: E (f, -9fj, o J f ,r' ,,) :::

a demons

:; -'?tf {-l L w(,,) I llf) - q.. (1') ( "tEA" f

.k.>r' t -t II/i- @.fill~, J J "

(6.30)

a matriz

Pelo Lema

expoente

6.1 teremos Ai! positiva definida se

')Bit'" -!.. L.. IVI,,) ~ 1G"'"

1({fi

~ J~efi(t) 7. - +,.11/; - "'.fi Jli! "'J" (6.31 )

for hermiteana e quase positiva definida.

A hermiticidade de B~i decorre de fato

,L. WI~J \ ~i(1):: )'i('l'J! : r "' d

L fErA'!:

W(?) I f.: (~) ! '!ir"P) I t

, i

I I

e ... 3 para gases de bosons -com interao. de Real'

do com os mtodos desenvolvidos, por exemplo, em [30.31.33J.

Para a aplicao desses mtodos necessitaramos a ~fr~)

positividade para uma lgebra maior ~. gerada por e e ,1I'~1 -t' ~

.e.. com fI ~ G :::t,+ Em relao a esta lgebra 0'(4 loque acontece

o seguinte;

1 - se definirmos em (](+ a reflexo j como em (6.29). ou seja:

_'- rj,19n~lcl,e

92.

p;'\ : ]; (f,-efi, %,-Q~; (',t. " ) :::I

'" [- r- 2. _ ~ '] }"..1,

93.

e neste caso teremos

(6.38).dft-9f..:, ~j. +9~d ~ -1 q,-off J ~,+e~i)

" hou seja, A4~ sera ermiteana*

Por outro lado, a matriz

l.

B'.; ~ - f- f w{,,} I ~ < o A

E claro que podemos ter positividade por reflexo paI ra funes de "'(r,'), 71'1,.) desde que (f',~n5. '" O e desdei . ,

I que utilizemos a definio 1 pois neste caso At'~ ! ; positiva definida porque (6.37) se anula. Porm este conjunto I

de funes de

I

94.

APENDICE A

DESIGUALDADE DE BOGOLIUBOV

A desiguldade(2.2) foi estabelecida pela primeira

vez para sistema qunticos por N.N.Bogoliubov [8,9J. Damos

a seguir uma deduo desta desigualdade. assim como de sua

verso (2.8), paTa o caso quntico. ,

'I Consideremos. ento, um sistema quntico, temper!

tur8 inversa p ,com o valor esperado de um observvel A da do por:

_IH!

95.

As seguintes propriedades de (A.2) sero relevantes

para nossas finalidades:

a-) UI, 6) ~ til, J!) que segue do fato T" C ~

= -c.. c. b- )(A,J\l ~" pois OI, A) pode ser reescrita como

(A,A) " 5J!

96.

zIrA,13ll ~ (Il,A) (B,B)

(A.4 )

Para obtermos a desigualdade de Bogoliubov (2.2) paE

timos da identidade:

-r ( - ,,~" _(1-'1'11'" ) _ d ( -'1

97.

Passemos agora deduo da verso (2.8) da desigual

dade de Bogoliubov [28J

Para tanto consideremos Um grupo um parmetro de

transformaes T., SlR tal que 'l::,(q8) =6:;. A ltt, 13) e tal que o trao seja invariante por Z's ou seja:

(A.7)TI'>- (t, A) '" 4 A

Utilizando (A.?), temos:

1 ~ ( A I 1L "fUI )ris Stt, ds s=. (A .11)

98.

A igualdade (A. lI) uma identidade de Ward local.con

forme discutido em [28J.

De (A.II), com o uso de (A.4) e (A.5), temos:

(_A'; .,.tiA >(J 1: pifj .cL T,plll )r i

99.

ca da Mecnica Estatstica [29J * Neste contexto a estrutura

(A.l) do estado de equilbrio essencial para a validade dat

desigualdade de Bogoliubov, substituda pela condio KMS

(Kubo. Martin, Schwinger) [26, 27) que pode ser assim ex-I

pressa~ a lgebra de observveis (J(, possui um automorfismo

c!t, k61R. (translaes temporais) tal que 13~" ~8 i o estado (,.!{.) em m:. obedece a condio KMS se. para todo 8 J

C6~

w ( B. C) "" W(CS)-'-F'

Esta relao pode ser facilmente verificada para es

tados do tipo (A. I). com c{t dado por

.i: _.;tu e ~ e01." 6 =

Para sistemas clssicos valem tambm as desigualdades

(A.6) e (A.13) sendo que o Trao em (A.I) substitudo por,

uma integral no espao de fase do sistema e em (A.6) os comuta-

dores so substitudos por parnteses de Poisson [5,28] .

100.

APENDICE B

CLCULO DA FUNO GERATRIZ (441.

Queremos calcular

Tr { im im~) _I'(II-)'N)1'Elt~,I'I",A) = _~~~~~e~~e~__~e~____--L. '2((. ')__ a

Tr"s

para t.1 E; ;F,.

Temos:

i4f1) e '"

i Il'ttl e '"

Utilizando a5

e ~podemos escrever:

-f CU -"") "i!. /o,c} e

(B .I)

~ (Ili/-) +I>.W) e

(B.2) _*' (cl,..)- 0.1~!} e

relaes de comutao (6.8) entre ~

2{ ~.1) '" -~,pf- ~ [11 /1/; IIf 11;, :J~ U., lI. J 1 ~

T;;f { e-* t.lfo) - i: i1t) i;:am ~ ,fa.I?) -1"(ij7""'} Je.' e

(B.3)

101.

o clculo do trao se realiza mais facilmente no espao de momentos, com a ajuda da transformao de Fourier. de

finida em (5.22).

05 operadores de criao e aniquilao no espao de

momentos se escrevem:

~1''X Q{1') ~ - L e al-t.)

~I .r

102.

onde

, Il . Ell') = L (f - G1" )

hYl ,at

Temos tambm:

rI rtJ '" L 11'P} . (1') .., t;tf'e (E.5)

D-(f): L ~} rJ..{1}1EI\* t

Com o auxilio de (B.4), (B.S) e (B.6), temos para

(B. 3) :

'3(f,~) ':. E.rt.,) ~ {Tr (eSl?I(k.",.p) 1P11P../1'1 e.('>{J/"T) -1""(1'; l

~ 1'''~' e J(H.7)

(lnde

f.t(.~) = -"'-rt-HUIJ;, + }I~/~. + :J i. a. ~~,J } (B. S)

b(1') -= -ir ( i 711 - ~ (1') ) (B.9)

Gtl')" ~ (;. fEri + 'f (1'J )

Para calcular o trao em :f, notamos que :f. ':':...((1\) pode ser escrito como:

:t.~ Q;> U-p7-".

103.

so espaos de Hilbert unidimensionais. Ento :f o espaot de Fock construido sobre J. ~ .('rA) pode ser decomposto num produto tensorial.

(llolO).;. - * J1' 7&/0.

onde 5., so os espaos de Fock construdo sobre Ul' (corresponde li definio (6.3) com i7A) substituido por ft:,).

A decomposio (B.IO) nos fornece para (B.7):

1 ;.f'{#(1J-f"/~Jl }Z(f.~) " Eol,1) 7r ~ {e..~") tie,} "11,)0. ,)1'~. ~, e

(B .11)

Escolhemos uma base ortonormal em 11' dada por:

1.f..,l' '" . ..

o. {1' I ('" !

.J21'

onde..

(6.4)

l'l-p

de

:t1' o es tado de vcuo

..s'l.7~ {i, o,., '"

em

1

51 t que t na decomposio

Utilizando as relaes de comutao (B.4), e (B.5) ,

temos as relaes:

-f3(W'!'J-l' tJI11)'f..,r '" -'r1p(EII'I-t)

104

.. """fi f - M .. J.t(f."!)" E,II,,) 7 L ."'''1 l [lLI1') + $11'1)./21' J [G.f'P/ +({1'J] J1"p ;li.

1M" ~'$O

Expandindo (J: + ~ teCi.. '( f e utilizando a ortonor . malidade de ,\.,,1

~

.R..,. obtemos:-~ ., ~

l. ",WI~)2f f,"!)" EQ{f.~)7T L r.. ... ! [t;r1>J ((,,1) e.

. pc!? ft1::0 ltel1 (J!)~ (",-~)(

.. e."- ,.,wt-,)

'" E.(!.,J T L [1:,('1) o('!!I1 L e. "" ('It-,) .. (*,. /1.+,)pe-I'-'" ....1\.-;'0 ( J'.~ J'

Mas como

"" '" wll'lL e. ., (-11-,) " ( ..-"..1) '" /I."'C~)t IJA ;. 'XM ! '::.tt-.: fi,. e .!L i...J .,r.,rI'Y ~'4, ~~ C.

l'wl'll) _ ;I

I 1ll0~

:~Hnsa;t (6 'lI)

B~UO~ ma opu~Aal a '(,,'S) ;tO~ (Z,'I!) as-opu,PJAla

lJ.;l -;

(zt 'g)

'50,

106.

APllNDICE C,

A soma (6.35), que queremos calcular, da forma:

L. ,Ji .. (C.I)s= L e

It~-L-f cL-lr~ 'fI!..e. .to... , - !

onde

s~ 1 ( 'X" -I: {+ I ) (C.2)L+!

v-I

ol - Fr- + J;; L (1- "'">1') .. -fI ";oI

,..,

)' "" -fL""

Reescrevemos (C.I) de uma forma simtrica:

_ i. ,5(

107.

ento teremos

'" '" L ~(Fl-) = cl. L l.f(o< .... ) , ct.,{' >0 .. c{.f'=.2r 1t"l.""Q){,- ..

Em (C.4) escolhemos ri J Qol -e !17( e

~h

~I",) ~ ~.I,,) e c:.I.- "(u;. 11",,::

e 1.+, - 1

onde

.~4 ''''I ~ 1.... ' 'X. ('Xl ~

o s. I~I>I...,

e ento obtemos

L.+f 'k. ~ QII

L e< $ ... L p/,..),.2'ir L 'I'(.Ilrr...)'!:

108.

onde

a '" (f- ~'Ir..... ) L+1-1T'

o valor desta integral, Clculada mais adiante 1 :

J 1f

i", "X e ,j", .21T-

-y.n?(' 141 e - , A 13-1T'

(C.7)

onde

~ A = [(ft- I]

Ih

~ ~ f''' [(~r- '1 e

.... 1

~= I .. ~ (1-

I 109.

I nos fornece

",.+~. L.. ( ...:t. t...-+ 2.S ...B _.. : .... )Ae ),(+1'

+ (;1L+2)1..B~.+~. i ( r.r lf..A "'~t e2J..+.l .,+'t e - 1

Como B>1 a. soma das sries geomtricas 't'esul ta em

:tl,..-+ , ,,"+~V 5 2",+2 B B :>'1. +2. B BH~ +..

:t,J.""A l.t..+tB -, A B -1

-I-(_ll"''IJ' ",.. t fe

que da forma (6.35):

3 xv.. ~~ $", L Gl (\", "', '}'''') [I=,J1" ....,-r') ]b,

com

G(.. (t', ''', ..r) :)." FI.. ( 1", ... I iN) rr~l..J Resta-nos calcular a integral (C.?)

li 1r T"

e. S _,R~ J 4~~I= ~a.~ _ k '" .. J" eI'II:+ C

110.

Para ?< o

.." . i h- ,~-,. r 1 JI"I ~e a.. -< o

[ ~-r .i ~,-,~

obtendo

I " J1

... J"l . .. r clt T )IAI

-I (t'" ~,)(v.-,> )(~ - .:II-~. J (."-!.J(lT-~)(I+; ~/-l')'''' -.

Definimos no plano complexo ~ a funo:

Fi 1) ..:. 1

...-n -- l )'AI(e. - I) ~i- '- ~ - UI-}'

de modo que o corte de V4-:" situe-S entre -= -f e }-:.-f ou seja., ad,otamos 'a parametrizao:

9, .....li?. li,. " .-..~ic.,,' '" li-li II+l e e (C.S)

111

com .o ~ 9, ~~'i1" I _1T~ g~ ~ 7r dado pela figura abaixo: :r-..,

t

-i .. ~'

Com a escolha (C.8), teremos para -real, na? parte superior do cOrte

~ i -i' 11 ,- ~~" e na parte inferior

v: ''- " 1('-)' Assim. podemos escrever:

I " J,v,.-, ~ F(~) drE ,"o c,

onde CE e-o contorno ilustrado abaixo: :L-

IH,

Facilmentese verifica que as contribuies das cir

cunferncias de raio . se anula.m quando (. ~ o .

Agora~ estendendo o contorno C para o contornot

r.o' abaixo: L.".

!!-, F , ., y

c~

P1,t

~j,

podemos escrever:

(C.9)I " .t.-...tv-. f I=(V d~ {(4

114.

REFERENCIAS

1 - C.H.Herring, C.Kitte1 - Phys.Rev, 81, 869 (1951). . 2 - G~Wannier: "Elements of Solid State TheoTY", Cambridge

University Pre.s. pgs. 111-113 (1959). 3 - P.C.Hohenberg - Phys.Rev. ~, 383 (1967). 4 - N.D. Mermin, H. Wagner - Phys.Rev.Letters 17. 1133 (1966). S - N.D. Mermin - J.Math.Phys. ! ' 1061 (1967). 6 - N.D. Mermin - Phys.Rev. lli. 250 (1968). 7 - G.V. Chester. M.E.Fisher, N.D.Mermin - Phys.Rev. 185,160

(1969) 8 - N.N. Bogoliubov - phys.Abh.S.U. 6, 113 (1962). 9 ... N.. N. Bogoliubov - "Lectu_res on Quantum Statistics",vol.Z,

pg; 41, Gordon and Breach. New York (1970). 10 - J.C. Garrison, H.L:; Morrison, J.Wong - J.Math.Phys. 13,

1735 (1972), 11 - R.L. Dobrushin,

(1975). 12 - S,B, Shlosman 13 - P.A. Vuil1ermot

S.B. Shlosman- Commun.Math.Phys. 42, 31, .

Theor.Math.Phys. ~, 897 (1977). - Phys.Letters. 61, 9 (1977).

. 14 - P.A. Vui11ermot, M.V.Romerio - Commun.Math.Phys,. 41; 281

(1975). 15 - A.K1ein, L.J.Landau. D.Schucker - J.Stat.Phys.26. 505

(1981). .,1

16 - J.Frtlhlich. C.E.Piister - Commun.Math.Phys.81, 277 (1981).i 17 - C.E. Piister - Commun.Math.Phys. 12, 181 (1981) 18 - B.Simon, A.Soka1 - J.Stat.Phys. ~. 679 (1981). 19 - J.Rogers, C.Thompson - J.Stat.Phys.~, 669 (1981). 20 - C.A.Bonato, J.F.Perez, A.Klein - J.Stat.Phys. 29, 159

(1982). 21 - M,Fannes, J.V.Pu1~. A.V.rbarre - Letters Math.Phys.6.385

n982), 22 - H.Ezawa. J.A.Swieca - Commun.Math.Phys. ~. 330 (1967) 23 - S.Coleman - Commun.Math.Phys.31, 259 (1978). 24 - N.D.Mermin - J.Phys.Soc.Japan ~ Supp1ement. 203 (1969). 25 - R.E.Peierls - Helv.Phys.Acta, 1 Suppl.2, 81 (1934);

Annale. de l'Institut Henri Poincar ~, 177 (1935).

http:Commun.Math.Phys.31http:Commun.Math.Phys.81http:J.Stat.Phys.26

115.

26 - D.Ruelle ... "Statistical Mechanics - Rigorous Resultst!, Benjamin, New York (1969)

27 - G.G. Elnch - "The C - Algebra Approach to Phase Tra!! sitions" in uPhase Transitions and CriticaI Phenomenau eds.C.Domb,M.S.Green, vol.I, pg.137, Academic Press Inc., London (1972).

28 - W.Driessler L.J.Landau, J.F.Perez - J.Stat.Phys. ~ 123 (1979).

29 - J.C.Garrison. J.Wong - Commun.Math.Phys. ~. 1(1972). 30 - J.FrHhlich. B.Simon. T.Spencer - Commun.Math.Phys.50.

79 (1976). 31 - J.FrHhlich, R.Israel, E.H.Lieb. B.Simon - Commun.Math.

Phys. g. 1 (1978). 32 - R.Griffiths - Phys.Rev. !1!, 240 (1966). 33 - P.J.Dyson, 11.H.Lieb. B.Simon - J.Stat.Phys.18,33Sl(1978) 34 - S.B. Shlosman - Commun,Math.Phys.71, 207 (1980). $5 - D.Jasnow, M.E.Fisher - Phys.Rev. B 2" 895 (1971), 36 - D,Jasnow, M.E.Fisher - Phys.Rev. __ B 3.901 (1911). 31 - K.R.rto - J.Stat.Phys. l!, 147 (1982) 38 - O.A.Me Bryan, T.Spencer - Commun.Math'Phys.S3, 299

(1973) 39 - R.L.Dobrushin - Commun.Math.Phys. ~, 259 (1973). 40 - M.assandro. E.01ivieri- Commun.Math.Phys. 80, 255

(1981) ; 41 - J.Fr6hlich, E.H.Lieb. - Commun.Math.Phys.i2. 233(1978). 42 - M.B.Ruskai - Commun.Math.Phy Z6, 280 (1912).

, 43 - R.F.Streater. A.S.Wightman - "PCI,gpin,Statistics and AlI That"

Benjamin, New Y9rk (1964). 44 - H.Araki. E.J.Woods - J.Math,Phys. 4, 637 (1963). 4S - J.T. Canon - Commun.Math.Phys. 11.89 (1973). 46" J.T.Lewis. J.V.Pule - Commun.Math.Phys. 36, 1 (1914). 41 - I .M~Gelffand. N. Y.Vilenkin - nGeneralized Functions H

VOl.4, Academic Pres New York (1964) - O Lema 6.1 corresponde ao Teorema 4 do Capttu10 111. 4 da Te farncia. S preciso acrescentar a condio

no enunciado do Teorema 4. 48 - G.C.Hegerfeldt - Commun.Math.Phys. 35. ISS (1974).

! 49 - K.Osterwalder. R.Schrader - Commun.Math.Phys. 31, 83 (1973); Commun.Math.Phys. !!. 281 (1973); "Euc1idean

\ I, \

http:Commun.Math.Phys.i2http:Commun.Math'Phys.S3http:Commun,Math.Phys.71http:Commun.Math.Phys.50

,

116.

Green I 5 Functions and Wightman Distributons" in

HConstructive Quantum Field Theory" LectuTes Notes in Physics.Springer Ver1ag, vol.25 (1973).

50 - W.Rudin - "Real and Comp1ex Analysls" - ~k Graw-Hill , London (1970).

51 - Uma viso geral do emprego de lgebras C* em Mecnica Estatstica, incluindo a construo GNS pode ser

I. encontrada nas ref. 26, 27 . Uma excelente revi

f\ so sobre lgebras C* incluindo extensa bibliogra fia pode ser encontrada em: "Aspects of Algebraic

~.; Quantum Theory" por I. F.Wilde - Preprint IFUSP/P - 113 (1977).

S2 - R.Brout - Phys.Rev. 115, 824 (1959) P.A.Vui11ermot - J.Phys. A lQ. 1319 (1977).

S3 - J.B.Kogut - Rev.Mod.Phys. lo 6S9 (1979). 54 - M.LUsher - "Absence of Spontoneous Gauge Symmetry Brea

king in Hamiltonian Lattice Gauge Theories" - pre p~int DESY 77/16 (no publicado(?)).

55 - J.G1imm, A.Joff. - Physics Letters 66, 67 (1977). .. 56 - M.G6pfert. G.Mack - Commun.Math.Phys. !l.S45 (1982) . 57 - J.F.Perez - Rev.Bras.Fsica 10. 293 (1980). 58 - F.J.Dyson - Phys.Rev.l0Z. 1217 (1956). 59 - F.J.Dyson - Phys.Rev.l0Z. 1230 (1956). 60 - J.F.Perez - Tese de Doutoramento. E.r.H Zurique (1973). 61 - L.J.Landau. J.F.Perez. W.F.I~reszinski - J.Stat. Phys

.!&.. 75S (1981). 62 - C.Borgs, E.Sei1er - Nuclear ?hysics B. 215.125 (1983). 63 - M.Aizenman, P.A.Martin - Commun.Math.Phys.78.99 (1980). 64 - M.Aizenman, J.Frtlhlich - J.Stat.Phys . .!&.. 347 (1981).

?

http:Commun.Math.Phys.78.99

12345