Prova escrita de Matemática A

10.º ANO DE ESCOLARIDADE

Duração: 120 minutos (+20 minutos tolerância)

Temas: Lógica e teoria de conjuntos + Geometria analítica de Plano e Espaço

Versão 1

Indique de forma legível a versão da prova.

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta.

É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica.

Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado.

Grupo INa resposta aos itens deste grupo, seleciona a opção correta. Escreva na folha de resposta, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.

1. Considere a condição ( x+1 )2+ ( y−1 )2≤2∧ x≥0.Em qual das opções seguintes está representado, em referencial o.n. xOy, o conjunto de pontos definidos por esta condição? (A) ( (B)

(C) 8 (D)

H

2. Qual é a distância entre N e C (arrendondado às centésimas), sabendo que:

N é o ponto médio entre P e C. P é o ponto médio entre A e C.

(A) 4.24(B) 7.02(C) 3.54(D) 3.48

Indique de forma legível a versão da prova.

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta.

É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica.

Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado.

3. Considere os seguintes vetores do espaço u⃗=(1;3 ;5 ) ; v⃗=(2;5 ;2 ) ; s⃗=(√3 ;√5;−√4 ) ;

t⃗=(3 ;√15 ;4√3 ) e x⃗=(1; 5√4;1).

Qual dos seguintes pares de vetores se podem considerar colineares?

u⃗ ; v⃗

(A) v⃗ ; t⃗(B) s⃗ ; t⃗(C) v⃗ ; x⃗

4. Qual das seguintes retas apresentam a mesma inclinação que a y=−2x+3?(A) ( x ; y )=(2 ;−4 ) k+ (1 ,1 ) , k∈R(B) ( x ; y )=(2 ,−1 )+k (6 ,−3 ) , k∈R

(C) ( x ; y )=(1 ; √64√16 )k+(7 ,−14 ) , k∈R

(D)x−24

= y+12

5. Na figura está representado, num referencial o.n. Ox yz , um cubo de aresta 2.Sabe-se que:

A face [ABCD] está contida no plano xOy; A aresta [DC ] está contida no eixo Oy O ponto D tem coordenadas (0 ,2 ;0)

Os pontos de coordenadas (2 ,2;0 ) e (0 ; 4 ;0) são vértices do cubo.

Qual é o plano mediador do segmento de reta cujos extremos são estes dois vértices?

(A) ABC (B) ACG (C) BDH (D) BCF

6. Considere a condição p ( x ) : x é um número irracional Qual das seguintes proposições é verdadeira?

(A) p (2 )⟺ p (√2 )(B) p (√2 )⟹ p¿

(C) p (π )∧ p (√3 )(D) p (−√4 )∨ p (√5 )

7. Quantas soluções tem a intercessão da circunferência com uma reta secante a esta?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

8. Considere três proposições p ,q e r tais que p⟹q∨ r é falsa.As proposições têm, respetivamente, o valor lógico de:(A) V, V, V(B) V, F, V(C) V, F, F(D) V, F, F

Grupo IINa resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

1. Considera as seguintes proposições verdadeiras:I. Se o ladrão for preso, então não usou luvas;II. Se o ladrão não saltou pela janela, então usou máscara;III. O ladrão usou luvas (e/ou) não usou máscara;IV. O ladrão foi preso.

1.1. Representa por letras as proposições elementares traduza em linguagem simbólica as proposições consideradas.

1.2. Determina o valor lógico de:1.2.1. O ladrão usou luvas.1.2.2. O ladrão usou máscara.1.2.3. O ladrão não usou luvas e saltou pela janela.

2. Na figura, estão representadas, em referencial o.n. xOy, uma reta AB e uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5.

Os pontos A e B pertencem à circunferência.

O ponto A também pertence ao eixo das abcissas.

Admitindo que o declive da reta AB é igual a 12 , resolva as três alíneas seguintes:

I. Mostre que uma equação da reta AB é x−2 y+5=0.II. Mostre que o ponto B tem coordenadas (3 ;4 ).III. Seja C o ponto de coordenadas (−3 ;16).

Verifique que o triângulo [ABC ] é retângulo em B.

3. Simplifica a seguinte proposição:

[ p∧ (p⟹q )]⟹q

4. Considera, em R, os conjuntos:A={x∈ R : x2−4=0∨−2 x<3 }

B= {x∈R :1<x≤3 }Determine com a forma de intervalos de números reais A∪(B∩ A).

5. Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz, um sólido que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular.

A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o vértice P pertence ao eixo Ox e o vértice R pertence ao eixo Oy.

Os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos lados do quadrado [OPQR ].

O ponto Q temm coordenadas (2 ;2; 0)

O volume do solido é igual a 10.

a) Determina a cota de E.b) Determina a equação da superfície esférica que tem centro no ponto T e que passa por C.c) Determina as componentes do vetor ℜ⃗, tendo em conta os vetores coordenados apresentados

na figura seguinte.

Fim da prova

Cotações

Grupo I …………………………………………………………8×8 pontos………………………………………………………64 pontos

Grupo II 136 pontos

1. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 14 pontos1.1. ……………………………………………………………4 x 2 ………………………………………………………. 8 pontos1.2. ……………………………………………………………3 x 2 ………………………………………………………. 6 pontos

2. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 48 pontosI. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 14 pontosII. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 20 pontosIII. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 14 pontos

3. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 15 pontos

4. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 11 pontos

5. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 48 pontosa ……………………………………………………………………………………………………………………………… 18 pontosb ……………………………………………………………………………………………………………………………… 20 pontosc ……………………………………………………………………………………………………………………………… 10 pontos

Total 200 pontos

Prova escrita de Matemática A

10.º ANO DE ESCOLARIDADE

Duração: 120 minutos (+20 minutos tolerância)

Temas: Lógica e teoria de conjuntos + Geometria analítica de Plano e Espaço

Versão 2

Indique de forma legível a versão da prova.

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta.

É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica.

Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado.

Grupo INa resposta aos itens deste grupo, seleciona a opção correta. Escreva na folha de resposta, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.

1. Considere a condição ( x+1 )2+ ( y−1 )2≤2∧ x≥0.Em qual das opções seguintes está representado, em referencial o.n. xOy, o conjunto de pontos definidos por esta condição? (A) ( (B)

(C) 8 (D)

H

2. Qual é a distância entre N e B (arrendondado às centésimas), sabendo que:

N é o ponto médio entre P e C. P é o ponto médio entre A e C.

(A) 4.24(B) 7.02(C) 3.48(D) 3.54

Indique de forma legível a versão da prova.

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta.

É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica.

Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado.

3. Considere os seguintes vetores do espaço u⃗=(1;3 ;5 ) ; v⃗=(2;5 ;2 ) ; s⃗=(√3 ;√5;−√4 ) ;

t⃗=(3 ;√15 ;4√3 ) e x⃗=(1; 5√4;1).

Qual dos seguintes pares de vetores se podem considerar colineares?

(A) v⃗ ; x⃗(B) s⃗ ; t⃗

(C) u⃗ ; v⃗ v⃗ ; t⃗

4. Qual das seguintes retas apresentam a mesma inclinação que a y=−2x+3?

(A)x−24

= y+12

(B) ( x ; y )=(2 ,−1 )+k (6 ,−3 ) , k∈R(C) ( x ; y )=(2 ;−4 ) k+ (1 ,1 ) , k∈R

(D) ( x ; y )=(1 ; √64√16 )k+(7 ,−14 ) , k∈R

5. Na figura está representado, num referencial o.n. Ox yz , um cubo de aresta 2.Sabe-se que:

A face [ABCD ] está contida no plano xOy; A aresta [DC ] está contida no eixo Oy O ponto D tem coordenadas (0 ,2 ;0)

Os pontos de coordenadas (2 ,2;0 ) e (0 ; 4 ;0) são vértices do cubo.

Qual é o plano mediador do segmento de reta cujos extremos são estes dois vértices?

(A) BCF (B) BDH (C) ACG (D) ABC

6. Considere a condição p ( x ) : x é um número irracional Qual das seguintes proposições é verdadeira?

(A) p (π )∧ p (√3 )(B) p (−√4 )∨ p (√5 )

(C) p (2 )⟺ p (√2 )(D) p (√2 )⟹ p¿

7. Quantas soluções tem a intercessão da circunferência com uma reta secante a esta?

(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

8. Considere três proposições p ,q e r tais que p⟹q∨ r é falsa.As proposições têm, respetivamente, o valor lógico de:(A) V, F, F(B) V, F, F(C) V, V, V(D) V, F, V

Grupo IINa resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

1. Considera as seguintes proposições verdadeiras:I. Se o ladrão for preso, então não usou luvas;II. Se o ladrão não saltou pela janela, então usou máscara;III. O ladrão usou luvas (e/ou) não usou máscara;IV. O ladrão foi preso.

1.1. Representa por letras as proposições elementares traduza em linguagem simbólica as proposições consideradas.

1.2. Determina o valor lógico de:1.2.1. O ladrão usou luvas.1.2.2. O ladrão usou máscara.1.2.3. O ladrão não usou luvas e saltou pela janela.

2. Na figura, estão representadas, em referencial o.n. xOy, uma reta AB e uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5.

Os pontos A e B pertencem à circunferência.

O ponto A também pertence ao eixo das abcissas.

Admitindo que o declive da reta AB é igual a 12 , resolva as três alíneas seguintes:

I. Mostre que uma equação da reta AB é x−2 y+5=0.II. Mostre que o ponto B tem coordenadas (3 ;4 ).III. Seja C o ponto de coordenadas (−3 ;16).

Verifique que o triângulo [ABC ] é retângulo em B.

3. Simplifica a seguinte proposição:

[ p∧ (p⟹q )]⟹q

4. Considera, em R, os conjuntos:A={x∈ R : x2−4=0∨−2 x<3 }

B= {x∈R :1<x≤3 }Determine com a forma de intervalos de números reais A∪(B∩ A).

5. Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz, um sólido que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular.

A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o vértice P pertence ao eixo Ox e o vértice R pertence ao eixo Oy.

Os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos lados do quadrado [OPQR ].

O ponto Q temm coordenadas (2 ;2; 0)

O volume do solido é igual a 10.

a) Determina a cota de E.b) Determina a equação da superfície esférica que tem centro no ponto T e que passa por C.c) Determina as componentes do vetor ℜ⃗, tendo em conta os vetores coordenados apresentados

na figura seguinte.

Fim da prova

Cotações

Grupo I …………………………………………………………8×8 pontos………………………………………………………64 pontos

Grupo II 136 pontos

1. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 14 pontos1.1. ……………………………………………………………4 x 2 ………………………………………………………. 8 pontos1.2. ……………………………………………………………3 x 2 ………………………………………………………. 6 pontos

2. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 48 pontosI. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 14 pontosII. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 20 pontosIII. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 14 pontos

3. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 15 pontos

4. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 11 pontos

5. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 48 pontosa ……………………………………………………………………………………………………………………………… 18 pontosb ……………………………………………………………………………………………………………………………… 20 pontosc ……………………………………………………………………………………………………………………………… 10 pontos

Total 200 pontos