teste2a2009
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ALGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALITICA
Cursos do DEGGE - Ano lectivo 2009/2010
2o TESTE - 17/12/2009 - Duracao: 2 horas
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Nas tres questoes de escolha multipla, assinale apenas a unica resposta correctano enunciado do teste. Resolva as restantes questoes no seu caderno de teste,justificando todas as respostas dadas.Cotacao: 1, 2 e 3: 0,6 valores (cada resposta errada desconta 0,2 valores).4: 1,5 valores; 5: 2,7 valores; 6: 3,5 valores; 7: 2,5 valores; 8: 1 valor.
Questoes de escolha multipla
1. A matriz que representa o operador linear de R2 que e composicao de umarotacao de 30o em torno da origem (no sentido contrario ao dos ponteirosdo relogio) seguida de uma projeccao ortogonal sobre o eixo dos yy e
(a)
[0 0
1/23/2
](b)
[ 3/2 1/20 0
]
(c)
[0
3/2
0 1/2
](d)
[0 0
1/2 3/2]
2. Sejam u, v, w vectores nao nulos de R3 tais que uv+w = (0, 0, 0). Entao(a) o conjunto {u, v, w} e linearmente independente(b) o conjunto {u, v, w} e gerador de R3(c) o conjunto {u, v, w} e linearmente dependente(d) o conjunto {u, v, w} e um subespaco vectorial de R3
3. A matriz A =
[a 22 3
]e definida positiva se
(a) a = 0 (b) detA 0 (c) a2 = 1 (d) a = 2Formulario
Se U e um subespaco vectorial de Rn e {u1, . . . , ur} e uma base de U ,entao a matriz da projeccao ortogonal sobre U e dada por A(ATA)1AT ,com A = [u1| . . . |ur]. O volume do paraleleppedo definido pelos vectores u1, u2, u3 R3 e iguala | det[u1|u2|u3]|.
1
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4. Considere a base de R3: B = ((0, 1, 0), (3, 2, 1), (1, 0, 1)).(a) Qual o volume do paraleleppedo definido pelos vectores da base B?(b) Utilize a regra de Cramer para calcular as coordenadas do vector
w = (1, 1, 2) em relacao a` base B.
5. Seja A =
1 11 21 11 2
.(a) Calcule a dimensao dos quatro subespacos fundamentais de A.
(b) Complete a factorizacao A = QR:1 11 21 11 2
=
1/2 1/2a 1/2
1/2 b1/2 1/2
[ 2 10 c].
(c) Qual a projeccao ortogonal do vector v = (1, 0, 0, 0) sobre o planoU = (1, 1, 1, 1), (1, 2,1, 2)?
6. Seja A =
[1 16 0
].
(a) Calcule det(xI2 A).(b) Mostre que os valores proprios de A sao 1 = 3 e 2 = 2.(c) Determine dois vectores proprios de A linearmente independentes.
(d) Escreva uma diagonalizacao A = PP1, onde P e uma matriz in-vertvel e e uma matriz diagonal.
7. Sejam u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 0, 1), u3 = (1,1, 0) e seja A R33 tal queAu1 = u1, Au2 = u2 e Au3 = u3.
(a) Escreva uma diagonalizacao A = QQT , onde Q e uma matriz orto-gonal e e uma matriz diagonal.
(b) Calcule a matriz A100.
(c) Justifique que A e a matriz da reflexao dos vectores de R3 sobre oplano de equacao x y = 0.
8. Sejam P = (a, b) e Q = (c, d) pontos de R2. Mostre que o ponto (x, y)pertence a` recta que passa por P e Q se e so se
det
x a cy b d1 1 1
= 0.
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