Todo y mas

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infinito ¿es una propiedad matemática válida o es una abstracción desprovist

ntido? La ambición intelectual de David Foster Wallace le permite contarnos la histor

matemáticos que se esforzaron en entender el infinito, desde la Antigua Grecia has

ntraintuitivo descubrimiento del genio matemático Georg Cantor, según el cual ex

versos tipos de infinito. El autor aborda un conjunto de logros matemá

tremadamente abstractos y técnicos, aunque muy profundos, interesantes y hermoso

etivo es hablar de esos logros de tal manera que resulten atractivos y comprensibles

tores que no tengan preparación técnica ni sean expertos en la materia.

resultado es una obra inteligente, sugestiva y gratificante, que nos ofrece una prof

mprensión inmediata del mundo de las matemáticas. David Foster Wallace ha h

mprensibles por fin algunos aspectos de las matemáticas difíciles de entender y que p

spechaban que pudieran poseer: las matemáticas son asombrosas y de una be

presionante.


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David Foster Wallace

Todo y másBreve historia del infinito

ePub r1.0

koothrapali 01.09.15


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Título original: Everything and More. A Compact History of ∞

David Foster Wallace, 2003

Traducción: Joan Vilaltella Catanyer

Editor digital: koothrapali

ePub base r1.2


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PRÓLOGO BREVE PERO NECESARIO

Desafortunadamente este es un prólogo que hay que leer —y en primer lugar— para entender cacterísticas estructurales del texto principal y algunas partes que casi parecen un código. De ests frecuente es la abreviatura SEI en negrita. Para su información, no se trata de un tic o un ográfico, sino que sustituye la expresión «Si está interesado», que, de tanto usarla en los prim

rradores, finalmente, por pura repetición, evolucionó de ser una frase normal, utilizada para introún párrafo, hasta convertirse en un signo abstracto extratextual —SEI— que ahora sirvesificar ciertos fragmentos de texto de un modo particular. De qué modo lo hace es algo que edará justificado y explicado.

Todo y más es una obra de divulgación científica. Aborda un conjunto de logros matemáremadamente abstractos y técnicos, aunque enormemente profundos e interesantes, y tammosos. El objetivo es hablar de esos logros de tal manera que resulten atractivos y comprena lectores que no tengan preparación técnica de nivel profesional ni sean expertos en la macer las matemáticas bonitas, o por lo menos conseguir que el lector entienda que alguien pnsiderarlas así. Todo esto, por supuesto, suena muy bien, pero hay una pega: ¿cómo de técnica pgar a ser la presentación sin que el lector se pierda o sin enterrarle en un sinfín de pequfiniciones y aclaraciones aparte? Además, si se asume, como parece plausible, que algunos lecnen mucha más preparación técnica que otros, ¿qué tono debe tener la explicación para qucesible al neófito sin ser aburrida o irritante para alguien que ha practicado muchas matemáticastituto?A partir de este punto, SEI en negrita señala partes del material a las que se puede echar un vis

rlas por encima u omitirlas por completo si el lector lo desea. Es decir, se pueden ignorar sin per

da importante. Probablemente, más de la mitad de las notas son SEI, así como varios párraluso un par de subsecciones del texto principal. Algunos de los fragmentos opcionalesagaciones o efemérides históricas;[0.1] algunos son definiciones o explicaciones en los que un

cho en matemáticas no tendrá que perder el tiempo. Pero la mayoría de los fragmentos SEI nsados para lectores con gran preparación técnica, o un interés poco usual en las verdatemáticas, o una paciencia sobrenatural, o las tres cosas; dichos fragmentos proporcionan una ms detallada a asuntos que la explicación principal pasa por alto o deja de lado.Hay otras abreviaturas en el libro. Algunas solo están para ahorrar espacio. Otras son consecu

un peculiar problema de estilo que se da en la escritura técnica, que consiste es que con frecu


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emos que utilizar las mismas palabras una y otra vez de un modo que se hace terriblemente pa cuestión es que algunas palabras técnicas tienen significados muy específicos que ningún sinó

ede captar—. Así, especialmente en el caso de ciertos términos de alta tecnología, la abreviaturaco modo de conseguir un poco de variedad. En realidad, nada de esto es un problema. Todaeviaturas del libro están contextualizadas de tal modo que debería quedar totalmente claronifican. Sin embargo, por si hubiera errores del autor o confusiones innecesarias, aquí presenta lista de las principales abreviaturas que puede consultar en caso de necesidad:

C. P. = Axioma del conjunto potencia E. = Axioma de elección1 = Correspondencia uno a unoy n. i.» = «Continuidad y números irracionales» de Dedekind = Círculo vicioso

en D. = Demostración en diagonalΗ. P. = Divina Hermandad de Pitágoras

NC = Dos nuevas ciencias de GalileoD. = Ecuación diferencial

O. = Ecuación de onda E. = GLOSARIO DE EMERGENCIAC. = Hipótesis del continuoE = Ley del tercero excluido& L. = Newton y LeibnizA. I. = Principio de abstracción ilimitada A. L. = Principio de abstracción limitada C. = Producto cartesianoC. G. S. F. = Problema de convergencia general de las series de FourierC. V. = Problema de la cuerda vibrante

del I. = Paradojas del infinito de Bolzano. = Principio de inducción

Z. = Paradojas de ZenónV = Regresión infinita viciosa N. = Recta numérica R. = Recta realA. C. = Teoría axiomática de conjuntosC = Teoría analítica del calor de FourierB. = Teorema del binomioΒ. W. = Teorema de Bolzano-WeierstrassΕ C. = Teorema fundamental del cálculo. C. = Teoría informal de conjuntos

Ρ. = Teorema de PitágorasU. = Teorema de unicidadV. Ε. = Teorema de los valores extremos de WeierstrassS. Μ. = Argumento Uno Sobre Muchos de Platón

NB = Sistema de axiomas para la teoría de conjuntos de Von Neumann y BernaysS = Sistema de axiomas para la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel-Skolem


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1a.

iste algo así como un historiador de las matemáticas. Aquí está, a modo de apertura, una cita toriador en la década de 1930:

Una conclusión parece ser ineludible: sin una teoría consistente del infinito matemático no hateoría de los irracionales. Sin una teoría de los irracionales no hay análisis matemático dninguna forma remotamente parecida a lo que tenemos ahora. Y finalmente, sin el análisis, mayor parte de las matemáticas —incluyendo la geometría y la mayor parte de las matemáticaaplicadas— tal como existe actualmente, dejaría de existir. Por lo tanto, la tarea más importana la que tienen que hacer frente los matemáticos debería ser la construcción de una teor

satisfactoria del infinito. Cantor lo intentó; con qué éxito es algo que se verá después (Bell, pág521-522).

Los excitantes términos matemáticos no importan por ahora. El Cantor de la última línea ofesor Georg F. L. P. Cantor, nacido en 1845, naturalizado alemán, perteneciente a una famimerciantes y reconocido padre de la teoría abstracta de conjuntos y de las matemáticas transfigunos historiadores han debatido en un tira y afloja la cuestión de si era judío. Cantor ennifica «cantante».Georg F. L. P. Cantor es el matemático más importante del siglo XIX y una figura de

mplejidad y sufrimiento. Estuvo entrando y saliendo de hospitales mentales buena parte ddurez tardía y murió en un sanatorio en Halle[1.1] en 1918. Curiosamente, Kurt Gödel, el matems importante del siglo XX, también murió como resultado de una enfermedad mental. Lultzmann, el físico matemático más importante del siglo XIX, se suicidó. Y así sucesivamentetoriadores y los estudiosos de la cultura pop tienden a dedicar mucho tiempo a los problquiátricos de Cantor y a si estaban relacionados, y de qué modo, con su trabajo sobre las matem∞.En el año 1900 se celebró en París el 2.º Congreso Internacional de Matemáticos. El profesor D

bert, por aquel entonces el matemático n.º 1 del mundo, describió los números transfinitos de Gntor como «el mejor producto del genio matemático» y «una de las más bellas realizaciones ividad humana en el dominio de lo puramente inteligible» (Hilbert, «Über das Unendliche» [«nfinito»], pág. 197).He aquí una cita de Gilbert K. Chesterton: «Los poetas no enloquecen, pero los jugadores de ajLos matemáticos se vuelven locos, y los cajeros, pero los artistas creativos no suelen hacerloy atacando la lógica: solo digo que este peligro yace en la lógica, no en la imaginahesterton, citado por Barrow, pág. 171). Y aquí está un fragmento del texto de la solapa d

iente biografía divulgativa de Cantor: «A finales del siglo XIX, un matemático extraord


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guidecía en un sanatorio […] Cuanto más se acercaba a las respuestas que buscaba, más leecían. A la larga, ello le condujo a la locura, igual que a otros matemáticos antes que a él» (Amzel, The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity, Four

ght Windows, 2000).Los casos de grandes matemáticos con enfermedades mentales tienen enorme resonancia paritores y cineastas de la época pop. Esto tiene que ver principalmente con las ideas preconcebisensibilidades de esos mismos escritores/cineastas, y a su vez dichas ideas están en función de l

podría llamar el molde arquetípico particular de nuestra época. No hace falta decir que dichos mmbian con el tiempo. Hoy, el Matemático Mentalmente Enfermo parece ser de algún modo lo qballero Errante, el Santo Mortificado, el Artista Atormentado y el Científico Loco fueron en ocas: algo así como nuestro Prometeo, el que va a lugares prohibidos y vuelve con regalos que demos aprovechar pero cuyo precio solo paga él. Esto es probablemente un poco exagerado, pnos en la mayoría de los casos.[1.2] Pero Cantor encaja en el molde mejor que la mayoría. ones para ello son mucho más interesantes que cualesquiera fueran sus problemas y síntomas.[1.Pero saber algo sobre los logros de Cantor no es lo mismo que valorarlos, lo cual constituye nuetivo e implica ver las matemáticas transfinitas como una especie de árbol, con sus raíces eadojas de la Antigua Grecia acerca de la continuidad y la inconmensurabilidad, y sus redadas en la crisis moderna sobre los fundamentos de las matemáticas: Brouwer y Hilbert y R

Frege y Zermelo y Gödel y Cohen y sus colegas. Los nombres ahora mismo son menos importe el árbol, siendo este una especie de esquema general que conviene recordar.

1b.

ro Chesterton se equivocaba respecto a una cosa. O era por lo menos impreciso. El peligroentaba concretar no es la lógica. La lógica es solo un método, y los métodos no pueden desquipersonas. De lo que en realidad intenta hablar Chesterton es de una de las principales caracteríla lógica, y de las matemáticas. Su cualidad de abstractas. La abstracción.Vale la pena esclarecer el significado de abstracción. Puede que sea el término más importanteeciar el trabajo de Cantor y el contexto que lo hizo posible. Gramáticamente, la raíz viene etivo, del latín abstractus («apartado»). El Oxford English Dictionary contiene nueve definic

portantes del adjetivo, de las cuales la más pertinente es la 4.a.: «Apartado o separado de la mala corporeidad material, de la práctica, o de los ejemplos particulares. Opuesto a concreto». Tamultan de interés las definiciones 4.b., «Ideal, destilado hasta su esencia», y 4.c., «Abstruso».He aquí una cita de Carl B. Boyer, que es más o menos el Gibbon de la historia de

temáticas:[1.4] «Pero ¿qué son, después de todo, los enteros? Todo el mundo cree saber qué mero tres, hasta que intenta definirlo o explicarlo» (Boyer, pág. 596). Por ello, resulta instrublar con los profesores de matemáticas de preescolar e informarse acerca de cómo se enlmente los números enteros a los niños. Cómo se les enseña, por ejemplo, lo que es el número cmero se les dan, por ejemplo, cinco naranjas. Algo que puedan tocar o sostener. Se les pide quenten. Luego se les da una foto de cinco naranjas. Después, una foto que combina las cinco nar


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n el numeral «5», de modo que asocien ambas cosas. Luego, una imagen con solo el numeral las naranjas. Entonces los niños comienzan con ejercicios verbales en los que empiezan a h

bre el entero 5 per se, como un objeto en sí mismo, aparte de las cinco naranjas. En otras palan sistemáticamente engañados, o inducidos, para que traten a los números como cosas en lugmo símbolos de las cosas. Entonces se les puede enseñar aritmética, la cual contiene relacmentales entre números. (El lector notará el paralelismo con el modo en que se nos enseña a uguaje. Pronto aprendemos que el nombre «cinco» significa, simboliza, el entero 5, etc.).A veces un chaval tiene dificultades, dicen los profesores. Algunos niños entienden que la pa

nco» significa 5, pero siguen queriendo saber ¿5 qué? ¿5 naranjas? ¿5 céntimos? ¿5 puntos?os, que no tienen ningún problema para sumar o restar naranjas o monedas, a pesar de todo tenlos resultados en las pruebas de aritmética. No pueden tratar el 5 como un objeto per se. A me

n enviados a grupos de Educación Matemática Especial, donde todo se enseña en términos de gonjuntos de objetos reales en lugar de números «separados de ejemplos particulares».[1.5]La cuestión clave es que la definición básica de «abstracto» para nuestros propósitos va a ser

mbinada: «apartado o más allá de la particularidad concreta, de la experiencia sensorial». Usadoeste modo, «abstracto» es un término de la metafísica. De hecho, en todas las teorías matem

á implícito algún tipo de postura metafísica. El padre de la abstracción en las matemáticaágoras. El padre de la abstracción en la metafísica, Platón.Pero las otras definiciones del Oxford English Dictionary no son irrelevantes. No solo porqu

temáticas modernas son abstractas en el sentido de ser extremadamente abstrusas. Partemáticas también es esencial abstraer en el sentido de reducir algo a su esencia absoluta,

queleto, como en el resumen de un artículo o de un libro. [*] Como tal, su significado puede ser pofundamente en cosas en las que la mayoría de la gente no puede pensar profundamente, porqne como loca.

Todo esto es solo una especie de calentamiento. No será todo igual. Aquí están dos citas muras prominentes. Morris Kline: «Una de las grandes contribuciones griegas al concepto mismtemáticas fue el reconocimiento consciente y el énfasis en el hecho de que las entidades matem

n abstracciones, ideas sostenidas por la mente y claramente diferenciadas de los objetos físicoságenes» (Kline, pág. 29). Ferdinand de Saussure: «Lo que se les ha pasado por alto a los filósofológicos es que desde el momento en que un sistema de símbolos se vuelve independiente d

etos designados, él mismo está sujeto a sufrir cambios que son incalculables para el lóaussure, pág. 23).

La abstracción lleva incluidos todo tipo de problemas y quebraderos de cabeza, eso lo sabos. Parte del riesgo es cómo usamos los nombres. Pensamos en los significados de los nombrminos de denotaciones. Los nombres sustituyen cosas: hombre, mesa, pluma, David, capirina. Se da un tipo especial de comicidad cuando hay confusión respecto a lo que es un nombdad, como en «¿Quién va primero?» o en aquellas bromas de Alicia en el país de las marav

Qué puedes ver en el camino?». «Nada». «¡Qué vista más buena! ¿Qué aspecto tiene nada?». Pmicidad tiende a desvanecerse cuando los nombres denotan abstracciones, en el sentido de concnerales divorciados de ejemplos concretos. Muchas de estas abstracciones-nombres tienen su ra

verbo. «Movimiento» es un nombre, y también «existencia». Usamos palabras como

ntinuamente. La confusión viene cuando intentamos pensar en qué significan exactamente. Es


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observación de Boyer acerca de los enteros. ¿Qué denotan exactamente «movimientxistencia»? Sabemos que existen cosas concretas y particulares, y que a veces se mueven. ¿Exivimiento per se? ¿De qué manera? ¿De qué manera existen las abstracciones?Por supuesto, esta última cuestión es en sí misma muy abstracta. Ahora probablemente

mienza a sentir dolor de cabeza. Hay una especie de incomodidad o impaciencia ante este tipsas. Surgen preguntas como: «¿Qué es exactamente la existencia?» o «¿Qué queremos actamente cuando hablamos del movimiento?». La incomodidad es muy distintiva y aparece sorto nivel del proceso de abstracción, porque la abstracción funciona por niveles, igual quponentes o las dimensiones. Digamos que «hombre» refiriéndose a un hombre en particular vel Uno. «Hombre» refiriéndose a la especie es el Nivel Dos. Algo así como «humanidad» es el es: ahora estamos hablando de los criterios abstractos para que algo pueda ser calificado de humasí sucesivamente. Pero pensar de ese modo puede ser peligroso, extraño. Pensar con suficstracción sobre cualquier cosa… Seguramente todos hemos tenido la experiencia de pensar enabra, por ejemplo, «pluma», y en algo así como repetirla para nuestros adentros una y otra vez, e deja de significar nada. La misma extrañeza de llamar «pluma» a algo empieza a meterse nciencia de un modo inquietante, como los síntomas de un inminente ataque epiléptico.

Como probablemente sabe el lector, buena parte de lo que ahora llamamos filosofía analíticaacionado con cuestiones como estas, del Nivel Tres o incluso del Cuatro. Como en la epistemo«¿Qué es exactamente el conocimiento?»; la metafísica = «¿Cuáles son exactamente las relacre los constructos mentales y los objetos del mundo real?», etc.[1.6] Podría ser que los filósofostemáticos, que pasan mucho tiempo pensando (a) en abstracto (b) sobre abstracciones o (c) a

sas, tengan eo ipso propensión a las enfermedades mentales. O podría ser simplemente qusonas susceptibles de padecer una enfermedad mental tengan mayor propensión a pensar en estcosas. Es como la cuestión del huevo y la gallina. Pero algo es seguro. Es un mito total q

mbre sea curioso por naturaleza y que esté ávido de la verdad, y que desee, por encima de nocer .[1.7] Admitiendo ciertos significados de «conocer», hay en realidad una gran cantidad de e no queremos conocer. Evidencia de ello son los abundantes asuntos y problemas acerca dales no nos gusta pensar en abstracto.

Veamos un poco de teoría. Los temores y peligros del pensamiento abstracto constituyen grtivos para que ahora a todos nos guste estar todo el día muy ocupados y bombardeadoímulos. El pensamiento abstracto tiende más bien a asaltarnos en momentos de tranquilo reposomplo, a primera hora de la mañana, especialmente si usted se despierta antes de que suespertador, de repente y sin ningún motivo puede comenzar a pensar que ha estado levantándosema cada mañana sin la más mínima duda de que el suelo le sostendría. Mientras yacnsiderando el asunto, parece por lo menos teóricamente posible que algún defecto en la constru

suelo o en su integridad molecular podría hacer que este se combara, o incluso que ustavesara limpiamente por algún aberrante fenómeno cuántico o algo parecido. En cierto sentido, o que parezca una imposibilidad lógica o algo así. No es que usted tenga realmente miedo de q

elo se venga abajo justo en el momento en que se levante. Es solo que ciertos estados mentaeas de pensamiento son más abstractos, y no están centrados en ninguna necesidad u obligacióya usted a atender cuando se levante. Esto es solo un ejemplo. La cuestión abstracta que está

nsiderando desde la cama es si su confianza en el suelo está verdaderamente justificada. La resp


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cial, que es afirmativa, se basa en el hecho de que usted se ha levantado por la mañana millidad bastante más de diez mil veces hasta ahora, y el suelo le ha sostenido cada vez. Es la mnera de justificar que saldrá el sol, que su esposa recordará cómo se llama usted, que cuando rtas sensaciones eso significa que está a punto de estornudar, etc. Porque han sucedido una y otreriormente. El principio involucrado es realmente el único modo de predecir cualquiera dómenos con los que contamos automáticamente sin tener que pensar en ellos. Y la inmensa malos hechos cotidianos son fenómenos de este tipo, y sin esta confianza basada en experieeriores nos volveríamos todos locos, o por lo menos seríamos incapaces de hacer nada pdríamos que detenernos y deliberar acerca de la más mínima cosa. Es un hecho: la vida tal co

nocemos sería imposible sin esta confianza. Pero aun así, esta confianza ¿está verdaderamtificada o es solo extremadamente conveniente? Esto es pensar en abstracto, con su caracterfil escalonado, y ahora usted se encuentra varios escalones hacia arriba. Ya no está pensando sosuelo y en su peso, ni en su confianza ni en cuán necesaria parece ser ese tipo de confianza ppervivencia básica. Ahora está usted pensando en una regla, ley o principio mucho más general pe esta confianza rutinaria, con toda su miríada de formas e intensidades, está de hecho justificaar de ser solo una serie de extraños reflejos clónicos que le impulsan a lo largo del día. Otra

ra de que se trata de pensamiento abstracto: usted todavía está quieto. Parece que está gastandmenda energía y aún no se ha movido. Todo está ocurriendo en su mente. Es extremadamentees nada sorprendente que a la mayoría de la gente no le guste. De repente tiene sentido q

nudo se represente a los locos poniéndose las manos en la cabeza o golpeándola contra algo. Pibió buenas lecciones en la escuela, puede que ahora recuerde que la regla o principio que uye ya existe: su nombre oficial es principio de inducción (P. I.). Es el precepto fundamentalncia moderna. Sin el principio de inducción, los experimentos no podrían confirmar las hipóteda en el universo físico podría predecirse con un mínimo de confianza. No podría haber urales o verdades científicas. El P. I. afirma que si algo, x, ha sucedido en ciertas circunstaticulares n veces en el pasado, tenemos justificación para creer que las mismas circunstancias ar a x en la ocasión n + 1. El P. I. es totalmente respetable y fidedigno, y parece una seligente para librarse del problema. Es decir, hasta que le asalte (como solo puede suceder en esntales muy abstractos o cuando falta más de la cuenta para que suene el despertador) la idea de q

opio P. I. no es más que una abstracción a partir de la experiencia… Así que, ahora ¿qué jusactamente nuestra confianza en el P. I.? Este último pensamiento puede estar o no acompañarto recuerdo de la infancia, por ejemplo, de varias semanas pasadas en la granja de un pariena larga historia). Veamos, en un corral con alambrada, al lado del garaje, había cuatro pollos, e

o de los cuales se llamaba señor Pollo. Cada mañana, cuando el empleado de la granja llegaral con cierto saco de arpillera, el señor Pollo se excitaba y empezaba a dar picotazos anticipadsuelo, porque sabía que era la hora de comer. Era cada mañana a la misma hora h, y el señor Pobía dado cuenta de que h(empleado + saco) = comida, y así estaba confiadamente dandotazos por adelantado aquella última mañana de domingo cuando el empleado de repente exten

azo, cogió al señor Pollo estrujándole el cuello, lo metió en el saco de arpillera y se lo llevócina. Recuerdos como este tienden a mantenerse bastante vivos, si se tienen. Pero la idea que sauí es que de acuerdo con el principio de inducción parece que el señor Pollo estuviera en lo cieresperar otra cosa que la comida tras la aparición (n + 1) del empleado + el saco a la hora h. P

cho de que el señor Pollo no solo no sospechara nada sino que su falta de desconfianza p


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mpletamente justificada, resulta sin duda inquietante. Hallar alguna justificación a un nivel máa nuestra confianza en el P. I. parece mucho más urgente cuando nos damos cuenta de que, sin tificación, nuestra propia situación es indistinguible de la del señor Pollo. Pero la conclusiónstracta que sea, parece ineludible: lo que justifica nuestra confianza en el principio de induccie haya funcionado tan bien en el pasado, por lo menos hasta ahora. Eso significa que nuestra dadera justificación para el principio de inducción es el principio de inducción, lo cual parece

me y cuestionable en extremo.Tras esta última conclusión, la única alternativa a la posibilidad de quedarse paralizado en la

por vida es hacer más indagaciones abstractas acerca de lo que significa exactamente «justificaaveriguar si es verdad que las únicas justificaciones válidas para ciertas creencias y principioionales y no circulares. Por ejemplo, sabemos que en cierto número de casos cada año hay ce de repente invaden el carril contrario y chocan frontalmente, matando a personas que conducíaperar un accidente. Y así también sabemos, en cierta medida, que sea cual sea la confianza qumite conducir en carreteras de doble sentido, esta confianza no está en un 100% justifionalmente por las leyes de la probabilidad y la estadística. Y aun así, «justificación racional» pser aplicable en este caso. Podría tratarse más bien de que si usted no pudiera creer que su coc

a chocar de repente, simplemente no sería capaz de conducir, y así su necesidad o deseo de connciona como una especie de «justificación» de su confianza.[1.8] Entonces sería mejor no empealizar las diversas «justificaciones» aparentes para su necesidad o deseo de conducir un cochún punto usted se da cuenta de que el proceso de justificación abstracta puede, por lo menncipio, seguir para siempre. La capacidad para detener una línea de pensamiento abstracto tan pmo se ve que no termina nunca es parte de lo que habitualmente distingue a las personas sancionales, las que cuando finalmente suena el despertador pueden pisar el suelo sin inquieturar en los asuntos concretos del mundo real, de las personas desquiciadas.

INTERPOLACIÓN

razón táctica para usar a veces el símbolo ∞ en lugar de «infinito» en este libro es qpadeante extrañeza de ∞ sirve como recordatorio de que no está nada claro de qué habluiera. Todavía no. Por ejemplo, evite pensar que ∞ es solo un número increíblemerosímilmente enorme. Por supuesto, hay muchos números como esos, especialmente en la físicronomía, por ejemplo, si en la física un ultranano-instante de 5 × 10−44 segundos se aneralmente como el intervalo de tiempo más pequeño al que se puede aplicar el concepto norm

mpo continuo (que lo es), los datos astronómicos indican que ha habido aproximadamente 6 ×ranano-instantes de esos desde el Big Bang. O sea, un 6 seguido de 60 ceros. Todos hemosblar de tales números, y habitualmente imaginamos que solo se pueden tratar y manipular meddenadores muy avanzados y super-refrigerados o algo así. La verdad es que hay muchos númmasiado grandes para que los procese un ordenador real o incluso teórico. El límite de Bremerel término relevante en este caso. Dados los límites impuestos por la teoría cuántica básica, uns-Joachim Bremermann demostró en 1962 que «Ningún sistema de procesamiento de dificial o viviente, puede procesar más de 2 × 1047 bits por segundo por cada gramo de su masa»

Yuan, págs. 2-3), lo que significa que un superordenador hipotético del tamaño de la t


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6 × 1027 gramos aproximadamente) funcionando durante tanto tiempo como la tierra ha exi1010 años aproximadamente, con cerca de 3,14 × 107 segundos/año) puede haber procesado

mo 2,56 × 1092 bits, número que se conoce como límite de Bremermann. Los cálculos que involmeros mayores que 2,56 × 1092 se llaman problemas transcomputacionales, en el sentido de qn teóricamente viables siquiera. Y hay abundantes problemas de este tipo en la física estadístiría de la complejidad, la teoría de fractales, etc. Todo esto resulta excitante pero no muy pertinpertinente es esto: considere algún número transcomputacional, imagínese que es un grano de a

nse en una playa entera, o en un desierto, o en un planeta, o incluso en una galaxia llena de esa ao solo un 1 seguido de ese número de ceros será < ∞, sino que su cuadrado será < ∞, y si llaml número, 10 x

10 x será < ∞, y así sucesivamente. Y en realidad ni siquiera es correcto comparararitméticamente de ese modo porque ni siquiera están en la misma área de codificación matemincluso, de algún modo, en la misma dimensión. Y, sin embargo, también es verdad que algunn mayores que otros, como en las comparaciones aritméticas. Hablaremos de todo esto. Por ahestión es que solo después de Richard Dedekind y George Cantor ha sido posible hablar de cantiinitas y su aritmética de un modo coherente y significativo. De ahí el uso del símbolo ∞.

SEI

propio símbolo ∞ tiene el nombre técnico lemniscata (al parecer viene de «cinta» en griego) roducido en las matemáticas por John Wallis en su obra de 1655 Arithmetica Infinitorum, que fulos antecedentes importantes del cálculo de Newton.[1.9] Thomas Hobbes, contemporáneo de W

algo así como un matemático excéntrico, se quejó en una reseña de que la Arithmetica Infiniía un grado de abstracción demasiado exagerado como para intentar leerla, definiéndola como

stra de símbolos», hablando así en nombre de futuras generaciones de estudiantes. Entre

nominaciones de la lemniscata están «el nudo del amor» y «la curva del plano cartesiano que satecuación ( x2 + y2)2 = a2( x2 − y2)». Por otro lado, si se trata trigonométricamente, se define comva que satisface la ecuación en coordenadas polares r 2 = a cos 2θ», y se conoce también

mniscata de Bernoulli.FIN DE LA INTERPOLACIÓN

1c.

specto a todo el asunto de la abstracción y los significados de los términos, hay un síndrome qun una abstracción de alto nivel o algún tipo de extraña mutación nominal. «Caballo» puede signe caballo de aquí, o puede significar el concepto abstracto, como al decir «Caballo: mamíferozuñas de la familia Equidae». Lo mismo ocurre con la palabra «cuerno», y con «frente». Todominos pueden abstraerse de entes particulares, pero aun así sabemos que provienen de ellos.ué pasa con un unicornio, el cual parece resultar de la combinación de los conceptos «cab

uerno» y «frente», de forma que se origina completamente por la concatenación de abstraccion


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a, podemos juntar y manipular abstracciones para formar entes con un nombre que no denota nasoluto. Aquí el gran problema resulta ser: ¿cómo podemos decir que un unicornio existe, y que sa manera fundamentalmente diferente, menos real, de la manera en que existen abstracciones manidad, cuerno o número entero? O dicho de otra forma: ¿de qué modo existen las entidstractas?, ¿existen solo como ideas en la mente humana, es decir, son ficciones metafísicas? Estcuestión también puede mantenerle todo el día en la cama. Y pende sobre las matemáticas desncipio: ¿cuál es el estatus ontológico de las entidades y relaciones matemáticas? Las realitemáticas, ¿son descubiertas o meramente creadas, o de algún modo ambas cosas? He aquí de n

Morris Kline: «Las doctrinas filosóficas de los griegos limitaron las matemáticas de otro mrante el período clásico creían que el hombre no crea los hechos matemáticos: estosexistentes. El hombre se limita a establecerlos y registrarlos» (Kline, pág. 175).Y aquí está otra cita de David Hilbert, el gran primer defensor de los transfinitos de Cantor:

El infinito no se halla en ninguna parte de la realidad, sin importar qué experienciaobservaciones o conocimientos se invoquen. ¿Puede el pensamiento acerca de las cosas ser tadiferente de las cosas? ¿Pueden los procesos de pensamiento ser tan distintos del proceso real d

las cosas? En definitiva, ¿puede el pensamiento estar tan apartado de la realidad? (Hilbert, pá191).

Y es verdad, no hay nada más abstracto que el infinito. Por lo menos en el sentido de nuncepto de ∞ difuso, intuitivo y expresado en «lenguaje natural». Es algo así como el más definjamiento de la experiencia real. Considérese la característica única más ubicua y opresiva del mlo concreto, es decir, que todo llega a un fin, es limitado, termina, y luego concíbase, en absto sin esa característica. Son obvias las analogías con ciertas ideas de Dios. La abstracción de

limitaciones es una manera de explicar el impulso religioso en términos laicos, lo cual tambinoce como antropología de la religión. Un ser perfecto puede entenderse como uno desprovisas las imperfecciones que percibimos en nosotros mismos y en el mundo, uno omnipotente, eslimitaciones a su voluntad, etc. El hecho de que sea una manera bastante seca y triste de hablar

igión no tiene importancia. La cuestión es que exactamente el mismo tipo de explicación puede erca de cómo llegamos al concepto de ∞ y qué queremos decir en definitiva con todas las formpalabra «infinito» que barajamos. Pero si se trata realmente de la explicación correcta esacionado con los compromisos que adquirimos. En un sentido metafísico. ¿Queremos decir realme el ∞ existe solo del modo en que existen los unicornios, que todo es cuestión de man

stracciones hasta que la palabra «infinito» no tenga ningún referente real? ¿Qué hay del conjunos los números enteros? Empiece a contar 1, 2, 3, y así sucesivamente, y dese cuenta de que nunendrá, ni sus hijos cuando usted muera, ni los hijos de sus hijos, etc. Los enteros nunca se detihay fin. El conjunto de todos los enteros, ¿constituye un ∞ real? ¿O los enteros mismos n

les sino solo abstracciones? Además, ¿qué es exactamente un conjunto?, y ¿los conjuntos son rsolo instrumentos conceptuales, etc.? O ¿son quizá los enteros y/o los conjuntos atemáticamente reales» y no «realmente reales»?, y ¿cuál es exactamente la diferenci

odríamos desear conceder al ∞ cierta realidad matemática pero no del otro tipo (suponiendo q

ya todavía más tipos)? Y ¿en qué punto las cuestiones se vuelven tan abstractas y las distincioniles y el dolor de cabeza tan terrible que simplemente ya no podemos pensar más en nada de ello


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Es en áreas como las matemáticas y la metafísica donde encontramos una de las cualidadesrañas de la mente humana media. Es la habilidad de concebir cosas que, estrictamente hablanddemos concebir. Podemos concebir de un modo aproximado qué es la omnipotencia, por ejemplomenos podemos usar la palabra «omnipotencia» con bastante seguridad de saber de qué estblando. Y, aun así, incluso la antinomia de un escolar como «¿Puede un ser omnipotente crear

pesado que ni él mismo podría levantarlo?» pone de relieve serios fallos en nuestra compreidiana de la omnipotencia. Así que hay más de un tipo de abstracción que resulta relevante aquío es más psicológico, y muy moderno.Un dato evidente: nunca antes ha habido tantos abismos entre lo que el mundo parece ser y lo q

ncia nos dice que es. Para nosotros, la gente de la calle, es como si un millón de revolucpernicanas tuvieran lugar al mismo tiempo. Es decir, por ejemplo, sabemos, como alumntituto y lectores de Newsweek que somos, que el tiempo es relativo, que las partículas cuáeden estar ahí y a la vez no estarlo, que el espacio es curvo, que los colores no son inherentesetos mismos, que las singularidades astronómicas tienen densidad infinita, que nuestro amo

estros hijos está preprogramado por la evolución, que hay un punto ciego en el centro de nuión que nuestro cerebro rellena automáticamente. Sabemos también que nuestros pensamien

ntimientos en realidad solo son transferencias químicas en 1,5 kg de masa electrificada. Que estchos en nuestra mayor parte de agua, que el agua es fundamentalmente hidrógeno, y el hidrógelamable, y, sin embargo, nosotros no somos inflamables. «Sabemos» una casi infinidad de vere contradicen nuestra experiencia inmediata y de sentido común acerca del mundo. Y aun así tene vivir y funcionar en el mundo. Así que abstraemos, compartimentamos: hay cosas que sabemsas que «sabemos». «Sé» que mi amor por mi hijo está en función de la selección natural, pero squiero, y siento y actúo según lo que sé. Vista objetivamente, toda esta cuestión es bas

quizoide, pero el hecho importante es que, como gente subjetiva de la calle, raramente notamnflicto. Porque, naturalmente, nuestra vida es en un 99,99% concretamente operativa, y operamncreto según lo que sabemos, no según lo que «sabemos».

De nuevo, hablamos de gente de la calle como usted y yo, no de los gigantes de la filosofía temáticas, muchos de los cuales tuvieron famosas dificultades para navegar por el mundo

nstein saliendo de su casa en pijama, Gödel incapaz de alimentarse, etc. Para valorar cómo es laerior de los grandes científicos/matemáticos/metafísicos, solo necesitamos tumbarnos e inmarnos una idea verdaderamente rigurosa y coherente, en contraste con una idea difusa como laexponen en Newsweek , acerca de qué significa en realidad «omnipotente», «número ente

imitable», o «finito pero ilimitado». Intentar llevar a cabo un poco de pensamiento abs

ciplinado o dirigido.[1.10] Hay una tensión, como la de una fuga musical, muy definida rticulable involucrada en este tipo de pensamiento, una sensación de la que aquella repetléptica de «pluma, pluma» una y otra vez es solo un pálido reflejo. Uno de los caminos más rá

cia esa sensación (por experiencia personal madrugadora) es intentar pensar profundamente mensión. Hay algo que «sé», y es que las dimensiones espaciales más allá del Gran 3 existen. Inedo construir un teseracto o hipercubo con cartón. Un teseracto, un extraño tipo de cubo dentro bo es una proyección 3D de un objeto 4D, del mismo modo en que « » es una proyección 2D eto 3D. El truco es imaginar que las líneas y planos relevantes del teseracto forman ángulos d

lo mismo con « » y un cubo real), porque la 4.ª dimensión espacial es una que de algún


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ste perpendicularmente a la longitud, anchura y profundidad de nuestro campo visual normaé» todo esto, como probablemente lo «sabe» usted…, pero ahora intente imaginarlo realmncretamente. Casi de forma inmediata, puede sentir una tensión en la raíz misma de su ymeras hebras deshilachadas de una mente cuyas costuras empiezan a ceder.Con respecto a «saber» en contraste con saber de un modo concreto y material, el segundo tipo

e Descartes quería decir con «una clara y distinta aprehensión» y lo que en lenguaje moderma «entender» o «captar». Es de nuevo el estado epistoesquizoide de la mente moderna mntimos que «sabemos» cosas que el aparato conceptual de nuestra mente en realidad no puede cmenudo son objetos y conceptos en los más lejanos límites de la abstracción, cosas que literalmpodemos imaginar: espacios con D > 3, coreografía cuántica, conjuntos fractales, materia os

ces cuadradas de números negativos, botellas de Klein y cajas de Freemish y escalinatas de Pen∞. A menudo, este tipo de cosas se caracterizan como dotadas de una existencia únicamtelectual» o «matemática». De nuevo, están muy lejos de tener un significado claro, aunqueos términos constituye un juego de niños.Obsérvese, por favor, que esta habilidad común de dividir nuestra atención y «saber» cosas q

demos captar es un rasgo distintivo moderno. Los antiguos griegos, por ejemplo, no podían ha

no querían. Necesitaban las cosas claras, y creían que no se puede saber algo a menos que se entlmente.[1.11] No es un accidente que sus matemáticas no incluyeran ni el 0 ni el ∞. Su palabrainito también significaba «lío».El espíritu griego ha dado forma a la filosofía y a la práctica de las matemáticas desde el princ

s verdades matemáticas se establecen mediante demostraciones lógicas y son extremadamente nítidas. Es precisamente esto lo que exime a las matemáticas de problemas laberínticos al estimo justificar con exactitud el principio de inducción: las relaciones y demostraciones matemáticn inductivas sino deductivas, formales. Las matemáticas, en otras palabras, son un sistema fo

nde «formal» significa forma pura, 100% abstracta. La idea central es que las verdades matemn ciertas y universales precisamente porque no tienen nada que ver con el mundo. Si esto resultaaco, he aquí un pasaje de Godfrey H. Hardy en su Apología de un matemático, la obra ingleosa más lúcida jamás escrita sobre matemáticas:

«La certidumbre de las matemáticas —dice [Alfred N.] Whitehead— depende de su complegeneralidad abstracta». Cuando afirmamos que 2 + 3 = 5, afirmamos una relación entre trgrupos de «cosas», y esas cosas no son manzanas ni peniques, o cosas de uno u otro tipo eparticular, sino solamente cosas, «cosas cualesquiera». El significado de la afirmación e

completamente independiente de las individualidades de los miembros de los grupos. Todos lo«objetos» matemáticos o «entidades» o «relaciones», como «2», «3», «5», «+» o «=», y todalas proposiciones matemáticas en las que aparecen, son completamente generales en el sentidde ser completamente abstractas. Realmente una de las palabras de Whitehead es superfluporque la generalidad, en este sentido, es abstracción (Hardy, Apology, pág. 106).

Observe el lector que en esta cita «generalidad» se refiere no solo a la abstracción de términerentes individuales, sino a la universalidad completamente abstracta de las verdades afirmadas

la diferencia entre una mera curiosidad matemática y un teorema matemático. Un famoso ejempa diferencia (famoso para los alumnos del doctor Goris, en cualquier caso) es que (1) «La suma


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ie (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 52» es una curiosidad, mientras que (2) «Para cualquier x, la suma dmeros x enteros impares = x2» es un teorema, es decir, matemáticas de verdad.Lo que viene a continuación está pensado principalmente como recordatorio de cosas que ust

noce por encima o vio en la escuela. Si su familiaridad con los sistemas formales es mperficial, reconocerá los siguientes tres párrafos como extremadamente burdos y simplistas yitado a tratarlos como SEI y omitirlos o echarles una ojeada. Un sistema formal de demostruiere axiomas y reglas de inferencia. Los axiomas son proposiciones básicas tan obvias que pu

rmarse sin demostración. Recuerde, por ejemplo, los axiomas de Euclides o los postulados de Ps reglas de inferencia, a veces llamadas leyes del pensamiento, son los principios lógicostifican la obtención de verdades a partir de otras verdades.[1.12] Algunas de las reglas de infer

n tan simples como la ley de identidad, la cual básicamente sostiene que si algo es P, entoncesras son más elaboradas. Para nuestros propósitos son especialmente importantes dos reglerencia. La primera es conocida como ley del tercero excluido (LTE). Por la LTE, una propostemática tiene que ser o bien verdadera o bien, si no lo es, falsa.[1.13] La otra gran regla de inferolucra la relación lógica de implicación, con el significado «Si… entonces» y se represe

nudo con el símbolo «→». La regla de implicación más obvia es que (1) «P → Q» y (2) dadera» permiten obtener la conclusión «Q es verdadera». La que vamos a usar con frecuenciamplementaria de esta regla, llamada habitualmente modus tollens. Puede sostenerse que (1) «P →2) «Q es falsa» permiten afirmar que (3) «P es falsa».[1.14]Una razón por la que la LTE y el modus tollens son importantes para las matemáticas es que

sible el método de demostración indirecta, también conocido como demostración por reductsurdum o a veces solo reductio. He aquí cómo funciona. Supongamos que quiere demostrar P. Lce es suponer lo contrario, no-P, y entonces demostrar que no-P implica lógicamententradicción como, por ejemplo, «Q y no-Q». (Por la LTE, nada puede ser verdadero y falso a lamodo que la conjunción «Q y no-Q» será siempre falsa). Por el modus tollens, si (1) no-y no-Q) y (2) (Q y no-Q) es falsa, entonces (3) no-P es falsa. Y, por la LTE,[1.15] si no-P es onces P tiene que ser verdadera.Muchas de las demostraciones más importantes y conocidas de la historia de las matemática

o de este tipo. Aquí está un ejemplo. Es la demostración de Euclides de la Proposición 20 bro IX de los Elementos. La Proposición 20 trata de los números primos, es decir —obablemente recuerda de la escuela—, de los números enteros que no pueden dividirse por ens pequeños sin que quede resto. La Proposición 20 afirma básicamente que no existe un ú

mero primo. (Lo que esto significa, por supuesto, es que la cantidad de números primos es en reainita, pero Euclides le da vueltas a la cuestión, y con toda seguridad nunca dice «infinito»). Aqudemostración. Supóngase que de hecho existe el último número primo. Llamémosle Pn. Esto sige la secuencia de números primos (2, 3, 5, 7, 11, …, Pn) es exhaustiva y finita: (2, 3, 5, 7, 11, …

n todos los primos que existen.[1.16] Ahora considérese el número R, que definimos como el núe se obtiene multiplicando todos los primos hasta Pn y sumando 1 al resultado. R es obviamyor que Pn. Pero ¿es R primo? Si lo es, tenemos una contradicción inmediata, porque ya habí

puesto queP

n era el mayor número primo posible. Pero si R

no es primo, ¿por qué número se p


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idir? Obviamente no se puede dividir por ninguno de los números primos de la secuencia (2, 3, , porque dividir R por cualquiera de ellos daría resto 1. Pero dicha secuencia contiene todo

meros primos que existen, y estos son en definitiva los únicos números por los que se puede dnúmero que no sea primo. Así que si R no es primo, y si ninguno de los primos (2, 3, 5,…, Pn) pdivisor suyo, tiene que haber algún otro primo por el que R se pueda dividir. Pero esto contrad

posición de que (2, 3, 5, …, Pn) es una lista exhaustiva de todos los números primos. De uno udo, tenemos una contradicción clara. Y como la suposición de que hay un último número p

plica una contradicción, el modus tollens dicta que la suposición es necesariamente falsa, lo cuLTE[1.17] significa que la negación de la suposición es necesariamente verdadera, es decir, que nmero primo es el último. Q. E. D.

Observe, por favor, que la primalidad no tiene nada que ver con el mundo. Concierne saciones entre números. Los griegos fueron los verdaderos inventores de lo que llamtemáticas, porque —en eso también— fueron los primeros en tratar los números y sus relac

mo abstracciones más que como propiedades de colecciones de objetos reales. Es importantsta qué punto esto fue un salto. Ya desde registros muy antiguos, es fácil ver que las matem

ieron su matriz en lo concreto. En lo inmediatamente concreto. Considérense hechos como quras también se llaman «dígitos» y que la mayoría de los sistemas de numeración —no solo el nubase 10 sino también los de base 5 y base 20 de la Europa prehistórica— están claramente penartir de los dedos de la mano y los dedos de los pies. O que aún hablamos de «cuerdas» de círcu«caras» de poliedros, o que «cálculo» proviene de la palabra griega que significa «piedrecita»bien conocido que hubo civilizaciones anteriores a la griega, como los babilonios y los egipcio

grado considerable de sofisticación matemática, pero las suyas eran unas matemremadamente prácticas, usadas para la agrimensura, el comercio y las finanzas, la navegacións babilonios y los egipcios, en otras palabras, estaban más interesados en las cinco naranjas que

Fueron los griegos los que convirtieron las matemáticas en un sistema abstracto, un lenmbólico especial que permite a las personas no solo describir el mundo, sino explicar susofundas leyes y pautas. Se lo debemos todo.[1.18] Hasta el punto de que los logros de Weiersntor y Dedekind en la teoría de conjuntos y la teoría de números modernas son imposibles de va

entender el salto hiperdimensional entre las matemáticas como una abstracción prácticopiedades del mundo real y las matemáticas, como diría Ferdinand de Saussure, como un «sistemmbolos […] independiente de los objetos designados». Ni tampoco se pueden valorar verdaderam

considerar también los consiguientes «cambios incalculables…», porque las matemáticas abst

e han desterrado la superstición y la ignorancia y la sinrazón y han dado a luz al mundo modernmbién las matemáticas abstractas atravesadas por la sinrazón y la paradoja y el enigma, y quado intentando, en cierto modo, atarse los zapatos sobre la marcha desde el momento mismo equirieron el estatus de lenguaje verdadero. Por favor, tenga presente que un lenguaje es a la vpa del mundo y su propio mundo, con sus propias zonas de penumbra y sus grietas, lugares d

unciados que parecen obedecer todas las reglas del lenguaje son, a pesar de todo, imposibles de tPodemos suponer que el «lenguaje natural» es un territorio familiar, pero solo como record

nsidere la distancia y la diferencia entre usar «árbol» y «roca» para designar auténticos árboas y la vergonzosa semántica de Clinton hablando de «inhalar» o «contacto sexual». O explo

nocida paradoja «Estoy mintiendo» (también un invento griego). O medite sobre frases como «


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ne sentido’ no tiene sentido” no tiene sentido» o «“Produce falsedad cuando es precedida por suoduce falsedad cuando es precedida por su cita». Se dará cuenta de que estas tres últimas, comyoría de las fisuras paradójicas, involucran la autorreferencia o la regresión, dos demonios quigido el lenguaje desde hace tanto tiempo como queramos retroceder.Las matemáticas no están exentas. Y, por supuesto, como las matemáticas son un len

almente abstracto, y se supone que extremadamente «higiénico» debido a su falta de referpecíficos del mundo real, sus paradojas y enigmas son mucho más problemáticos. Es decir, qutemáticas tienen que afrontarlos realmente en lugar de ponerlos sin más en la trastiend

nsamiento cuando suena el despertador. Algunos dilemas pueden tratarse con un enfoque «legalr así decirlo, mediante definiciones y estipulaciones.[1.19] Analicemos un ejemplo fácil del álolar: a partir del hecho indiscutible de que en una igualdad entre dos fracciones los denomina

n iguales si los numeradores lo son, es decir, si entonces y = z, podría parecer qu

, entonces ( x − 4) = ( x − 3), o sea 4 = 3, lo que evidentemente no tiene sentido, y

senta una «fisura». Esto se resuelve decretando que la única solución posible de

= 5 (pues 0 dividido por cualquier cosa da otra vez 0, lo cual, obviamente, no implica 4 =ipulando que el teorema solo es válido si x ≠ 0.

Veamos un caso difícil. Todos conocemos los decimales periódicos, como 2/3 = 0,666… Rsible demostrar que 0,999… es igual a 1,0 con solo un par de movimientos totalmente «legales

= 0,999…, entonces 10 x = 9,999…, y ahora restemos x de 10 x:

9,999… − 0,999…

btenemos 9 x = 9,0 y por lo tanto x = 1. ¿Es engañoso o no? Depende de cómo tratemos la secuinita «0,999…» y de si decidimos postular la existencia de algún número mayor que 0,999…nor que 1,0. Un número así involucraría un infinitésimo, es decir, un ente matemático de peqralmente infinita. Puede que recuerde los infinitésimos de las matemáticas del instituto. Pero p

e no recuerde —probablemente porque no se lo explicaron— que a causa de los infinitésimondamentos del cálculo fueron extremadamente controvertibles y poco firmes durante doscientos que más o menos por el mismo motivo las matemáticas transfinitas de Cantor fueron recibidaalorado escepticismo a finales del siglo XIX: nada ha causado más problemas —históricam

todológicamente, metafísicamente— que las cantidades infinitas. En muchos sentidos, la histoos problemas relacionados con el ∞ es la propia historia de las matemáticas.

1d.

ta introducción es muy rápida e imprecisa, por supuesto. Ahora tenemos que hacer al

tinciones al aproximarnos al ∞ como tema histórico. La primera es la distinción obvia en


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initamente grande (= transfinito) y lo infinitamente pequeño (= infinitesimal, = ). La segundaerencia es entre el ∞ como característica del mundo físico —por ejemplo, al preguntarnosverso es infinito, si la materia es infinitamente divisible, si el tiempo tiene un principio y un fin

∞ como ente matemático abstracto o concepto, en la misma línea que las funciones, los númermalidad, y demás. También ha habido algo de introducción a la ontología de las abstraccalizando si existen realmente los objetos matemáticos y cómo existen, cuestiones acerca de las cr supuesto, aún quedan cavilaciones para llenar una biblioteca. Lo que debe quedar claro es qu

oblemas y controversias sobre el ∞ de los que nos vamos a ocupar aquí se centran en la cuestióncantidades infinitas pueden existir realmente como entes matemáticos.La tercera distinción puede empezar pareciendo nimia. Concierne a palabras relacionadas con

mo «cantidad» y «número». Estas tienen un extraño y confuso doble sentido, del mismo modo etienen «longitud» o «gramo». Un trozo de cuerda tiene cierta longitud, por ejemplo, en metros

mbién decimos cosas como «unos metros de cuerda» o «longitud de onda». Una cierta cantidmaco que pesa un gramo también se llama «un gramo de fármaco». Asimismo, «cantidaúmero» pueden funcionar predicativamente —es decir, respondiendo a las preguntas «¿cuántacuánto?» de algo— y también como nombres comunes que denotan el ente descrito. Por lo

ede resultar ambiguo, cuando se usa un término como «número infinito», si se está usdicativamente («Hay una cantidad infinita de números primos») o nominativamente («El p

mero infinito de Cantor es ℵ0»). Y la diferencia es importante, porque el uso predicativo deede ser difuso y puede significar solo «indefinidamente grande» o «muy muy grande», mientras Dedekind y Cantor, el uso nominativo tiene una denotación muy específica, aunque abstracta.En cierto sentido, el poder y quizás incluso toda la raison d’être del lenguaje de las matemátic

e está diseñado para ser tan claro y sin connotaciones que evite justamente este tipo de ambigüedentar expresar cantidades y relaciones numéricas en lenguaje natural, como traducir proposic

temáticas al castellano y viceversa, a menudo causa problemas.[1.20] Un ejemplo favorito del dris era la vieja historia sobre tres hombres que llegan a un motel tarde por la noche. Solo qued

bitación libre, y cuesta 30€. Los huéspedes deciden poner 10€ cada uno y compartirla, pero cugan a la habitación se dan cuenta de que está hecha un desastre —parece que, por alguna confudie había hecho la limpieza tras irse los anteriores ocupantes— y comprensiblemente los tres homman al recepcionista para quejarse. Aquí pueden omitirse unos cuantos detalles y florituraestión es que se hace tarde, las personas de la limpieza ya no están, y no hay ninguna habitaciónmodo que, tras un poco de regateo, el recepcionista acepta rebajar 5€ el precio de la habitac

artir sábanas limpias. Manda al botones a la habitación con sábanas, toallas y el reintegro de ma de cinco monedas de 1€. Etc., etc., donde lo importante es que hay cinco monedas de 1€ ividuos, de modo que estos (misteriosamente ablandados) se quedan 1€ cada uno y dejan qones se quede los 2€ restantes como propina. Así, cada hombre ha empezado pagando 10€uperado 1€, de modo que cada uno ha pagado 9€, y los tres juntos, 27€. El botones tiene los otroque suma 29€, así que ¿dónde está el euro restante? En este problema, la cuestión es que la verb

la que había considerablemente más en la versión del doctor Goris: incluía un relato épicraba todo el curso sobre esos tres hombres y sus diversas biografías y peripecias y los difergmas matemáticos con que se topaban siempre) le confunde para que intente calcular (30 − 3) +

ar de la pertinente (30 − 5) + (3 + 2), dando como resultado mayor confusión y diversión y po


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ntos extra.Existen varios tipos de provocaciones interlingüísticas como esta. Las que no se pueden resolv

nvierten en verdaderas paradojas, algunas de las cuales son profundas. No debería sorprender,e el ∞ es la abstracción definitiva y a la vez arraigadamente difuso, que este figure en muchas deadojas. Tome, por ejemplo, la idea de que no hay un último entero, o un entero mayor que todo

más, y de que el tiempo se extiende hacia adelante infinitamente. Ahora imagine una lámpara deración perfectamente construida con un gran botón rojo de Apagada/Encendida, e imagine queñana la lámpara está apagada pero a las 16:30 alguien la encenderá, a la misma hora del día siguuien la apagará, a la misma hora del día siguiente alguien la encenderá de nuevo,

cesivamente, cada día, por el resto del tiempo. Y ahora considere si, tras un número infinito de dmpara estará apagada o encendida. Puede que recuerde de las matemáticas del instituto [1.21] qlidad este problema está relacionado con algo llamado una serie infinita divergente,

pecíficamente la serie de Grandi, 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1…, serie que suma 0 si la calculgún (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +… pero que suma 1 si la calculamos según 1 + (−1 + 1) + (−1−1 + 1)…, y la traca final es que, como ambos cálculos son matemáticamente lícitos, la suma «la serie parece ser a la vez 1 y no-1, lo cual por la LTE es imposible. Sin embargo, ta

uerde[1.22] que la serie de Grandi resulta ser de un subtipo particular de serie infinita divernocida como serie oscilante, y que como tal es un ejemplo aleccionador de estipulación de sciales (denotadas por sn), siendo el simbolismo relevante algo parecido a «1 + ∑(−1)n donde sa n par y sn = −1 para n impar», simbolismo que parece tan legislativamente críptico y pcisamente porque tiene que estar diseñado para evitar fisuras como la paradoja de la lámpara.También hay antinomias que giran alrededor del ∞ no como un concepto del lenguaje natural

rain vague numérico sino simplemente como un rasgo de la geometría, de tal forma que puresentarse mediante figuras simples, y no basta con meras estipulaciones. Considérense los punrectas. Está claro que cualquier recta contiene una infinidad de puntos. Un punto, recuerde, e

mento de la geometría que tiene posición pero no extensión» (Nelson, pág. 330), en el sentido dpunto es una abstracción, pura posición. Pero si una recta se compone únicamente de puntos,

ntos no tienen extensión, ¿cómo puede tener extensión una recta? Por definición, todas las recnen. La respuesta parece tener algo que ver con el ∞, pero ¿cómo puede ∞ × 0 ser igual a algsea 0?Aquí está otra peor. Todo lo que necesita es a Euclides y una regla. Dibuje una línea como esta

nde el segmento de recta PQ es tres veces más largo que el segmento QR. Como los segmentta están compuestos por puntos, parece razonable la idea de que debería haber tres veces más pPQ que en QR. Pero resulta que hay exactamente la misma cantidad en ambos. Puede v

nvierta los segmentos en el triángulo recto QPR girando PQ hacia arriba y continuando la rotsta que P esté justo encima de R, y después dibuje el segmento PR:


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spués recuerde que, por el axioma de las paralelas de Euclides,[1.23] por cada punto del segmensará exactamente una recta paralela al segmento PR:

ue esta recta cortará al segmento QR exactamente en un punto. Lo mismo es cierto para cada ividual de PQ; simplemente dibuje una recta paralela a PR que corte a PQ en dicho punto, y latará a QR en un único punto:

duplicaciones y sin que falten puntos, de modo que a cada punto de PQ le corresponde un punR, es decir, que hay exactamente tantos puntos en QR como en PQ, aunque PQ = 3(QR).

Puede usted generar una paradoja similar creando un par de círculos concéntricos tales que elcírculo mayor mida el doble que el radio del círculo interior.[1.24] Como la circunferenc

alquier círculo es una función directa de su radio, la circunferencia del círculo mayor mide el e la del círculo menor. Y una circunferencia también es una línea (curva), de modo que debería s veces más puntos en la circunferencia del círculo mayor. Pero no: como ambos círculos tien

ntro común, el simple trazo de algunos radios permite establecer que cualquier radio que co


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culo grande en un punto N cortará al círculo pequeño en un único punto correspondiente Nundancias ni ausencias:

mostrando así que el número de puntos en las circunferencias de ambos círculos es el mismo.Estos son verdaderos problemas, no solo tediosos o antiintuitivos sino matemáticamente profu

org F. L. P. Cantor los resolvió todos, más o menos. Pero, por supuesto, la expresión colosolver» puede significar distintas cosas. Como se ha mencionado, en matemáticas un modo de

n los problemas desestabilizantes es decretar su inexistencia, desterrando ciertos tipos de temáticos y/o cargando los teoremas de estipulaciones y exclusiones diseñadas para evitar resulraños. Antes de la invención de las matemáticas transfinitas, esta era la manera de tratar la mte de las paradojas del ∞. Se «resolvían» empezando por difuminar la distinción entre una parad

a contradicción, y luego aplicando una especie de reducción al absurdo metafísica: si adntidades infinitas, como el número de puntos de una recta o el conjunto de todos los enteros, cononclusiones paradójicas, tiene que haber algo inherentemente erróneo o sin sentido en las cantiinitas, y así las entidades relacionadas con el ∞ no podrían «existir» realmente en un setemático. Este fue esencialmente el argumento desplegado, por ejemplo, contra la famosa parGalileo en el siglo XVII. Aquí está la paradoja de Galileo. El quinto axioma de Euclides dicta quo es siempre mayor que la parte», lo cual parece bastante irrefutable. También resulta obvio que

adrado perfecto (por ejemplo, 1, 4, 9, 16, 25…) es un número entero, mientras que no todo núero es un cuadrado perfecto. En otras palabras, el conjunto de todos los cuadrados perfectos s que una parte del conjunto de todos los números enteros, por lo que en virtud del quinto axiomclides es más pequeño. El problema es que el mismo tipo de igualdad-mediante-correspondenci

mos con PQ/QR y los dos círculos también se puede establecer en este caso. Porque aunque rto que cada número entero sea un cuadrado perfecto, sí es cierto que cada número entero es l

adrada de un cuadrado perfecto: 2 de 4, 3 de 9, 4 de 16, 912 de 831.744, y así sucesivamsualmente, se pueden alinear los dos conjuntos y demostrar una perfecta e inagotable corresponduno a uno entre sus miembros:[1.25]

Así pues, la conclusión de la paradoja de Galileo es que el quinto axioma de Euclides, una

ispensable de las matemáticas básicas, y una verdad obvia que podemos comprobar con cualo de conjunto que seamos capaces de ver o contar, queda contradicho por los conjuntos infinit


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os los números enteros y todos los cuadrados perfectos. Ante esta situación, hay dos camsibles. El estándar, como se ha mencionado, es declarar que los conjuntos infinitos son el equivatemático de los unicornios o la «nada» que Alicia ve en el camino.[1.26] El otro, que es revolucioto intelectual como psicológicamente, es tratar la equivalencia paradójica de Galileo no com

ntradicción sino como la descripción de cierto nuevo tipo de ente matemático que es tan abstraraño que no se ciñe a las reglas normales de las matemáticas y requiere un tratamiento especi

cir, consiste en indicar (como hizo adivine quién) que «El fallo fundamental de todas las así llam

mostraciones de la imposibilidad de los números infinitos es que atribuyen a dichos números todopiedades de los números finitos, mientras que los números infinitos […] constituyen una mpletamente nueva de número, un tipo cuya naturaleza debería ser objeto de investigación y juicios arbitrarios» (Cantor, «Über die verschiedenen Standpunkte in bezug auf das akendliche», en Gessamelte Abhandlungen. Traducción editada de un extracto de Dauben, Gntor , pág. 125).Pero, por otro lado, dicha actitud podría no ser revolucionaria, sino sencillamente una locura

mo considerar el hecho de que nunca nadie ha visto un unicornio ni una sola vez y afirmar quees una indicación de que los unicornios no existen realmente, sino más bien un indicio de qucornios constituyen un nuevo tipo de animal con la singular propiedad de ser invisibles. Está

e aquí encontramos la sutil diferencia entre genio y locura de la que se alimentan escritoeastas modernos. La verdad es que toda clase de entes extraños y no directamente observables 0, los enteros negativos, los números irracionales, etc., se introdujeron originalmente etemáticas con el mismo tipo de aura de locura/incoherencia pero, a día de hoy, están totalm

eptados y son incluso esenciales. Al mismo tiempo, ha habido muchas otras innovaciones quelmente insensatas o intratables y fueron expulsadas entre risas de la ciudad, matemáticam

blando, y nosotros, la gente de la calle, jamás oímos hablar de ellas.

Sin embargo, que algo sea una sutil distinción no significa que no sea una distinciónsamiento matemático es abstracto, pero también minucioso y pragmático y muy enfocadoención de resultados. La diferencia entre una teoría matemática revolucionaria y brillante y

hiflada» está, por lo tanto, en lo que se pueda hacer con ella, en si da o no da resultados significaaquí a Hardy explicando lo que considera «resultados significativos»:

Podríamos decir, en cierto modo, que una idea matemática es «significativa» si se puedrelacionar, de una manera natural y reveladora, con un gran complejo de otras ideamatemáticas. Así, un teorema matemático serio, un teorema que conecte ideas significativas, eprobable que conduzca a importantes avances en las propias matemáticas e incluso en otrciencias (Hardy, Apology, pág. 89).

Las teorías de Cantor sobre los conjuntos infinitos y los números transfinitos acaban resulnificativas precisamente de esta manera. La razón de ello es, en parte, que Cantor era un excetemático profesional y aportó demostraciones ingeniosas de las características formales importae hicieron de sus ideas verdaderas teorías y no solo hipótesis atrevidas. Pero también hay ones. El mismo Galileo había planteado la hipótesis de que la verdadera conclusión de su par

que «los atributos “igual”, “mayor” y “menor” no son aplicables al infinito, sino solo a canti


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itas» (Galileo Galilei, pág. 32). Pero nadie se tomó esto en serio, y no por estupidez: las matemtienden a estar llenas de gente estúpida o de mente cerrada. Realmente, el momento no e

ecuado para la sugerencia de Galileo, ni existían todavía las herramientas matemáticas adecuadanvertirla en una verdadera teoría incluso si Galileo hubiera querido… lo cual no fue así, heche sería equivocado concluir que él no era tan perspicaz o brillante como Georg Cantor. Comyoría de los gigantes que revolucionan las matemáticas o la ciencia, Cantor era en un 100mbre de su tiempo y lugar, y sus logros fueron la habitual conjunción de un talento personal

aje extraordinarios[1.28]

con el contexto adecuado de problemas y condiciones generales qurospectiva, tienden a hacer que los avances intelectuales parezcan inevitables, y sus autoresidentales.Para expresarlo de otro modo, las matemáticas son piramidales. Cantor no surgió súbitamente

da. Por lo tanto, una verdadera valoración requiere una comprensión de los conceptos y proble dieron lugar a la teoría de conjuntos e hicieron que las matemáticas transfinitas fueran significel sentido de Hardy. Esto necesita tiempo, pero como la explicación es también piramidal pod

oceder de un modo más o menos ordenado, y no será todo tan abstracto y discursivo comoroducción.


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2a.

hora estamos empezando de verdad. Hay dos maneras de investigar el contexto de la teornjuntos cantoriana. La primera es hablar de la intrincada y abstracta danza del infinito y los límlargo de la evolución de las matemáticas. La segunda es examinar el esfuerzo histórico dtemáticas para representar la continuidad , es decir, el suave fluir y/o los aspectos densam

cesivos del movimiento y los procesos del mundo real. Cualquiera que tenga incluso los más vuerdos de las matemáticas del instituto recordará que la continuidad y el ∞/límite son esencialmfundamento del cálculo, y podría recordar también que, en términos generales, tienen su origentafísica de los antiguos griegos y su matriz particular en Zenón de Elea (hacia 490-435 a. C., rió con sus dientes literalmente aún en la oreja del despótico gobernante de Elea, Nearco I; e

ga historia), cuyas epónimas paradojas lo desencadenaron todo.Unos cuantos hechos procedentes de Ática, para empezar. En primer lugar, las matemáticas grn abstractas, ciertamente, pero estaban profundamente arraigadas en los métodos de los babilonegipcios. Para los griegos no hay una diferencia real entre los entes aritméticos y las fi

ométricas, por ejemplo, entre el número 5 y un segmento de cinco unidades de longitud. En segar, para ellos tampoco hay unas distinciones claras entre las matemáticas, la metafísica y la relimuchos sentidos eran todas la misma cosa. En tercer lugar, el desagrado propio de nuestra éptura respecto a los límites —por ejemplo, al decir «un hombre limitado» o «SI SU VOCABULAR

MITADO, SUS POSIBILIDADES DE ÉXITO SON LIMITADAS», etc.— habría sido incomprensible pariguos griegos. Baste decir que los límites les gustaban mucho, y una consecuencia directa de eantipatía/desconfianza respecto al ∞. El término helénico to apeiron significa no solo infinitamgo/grande, sino también indefinible, complejo sin remedio, aquello-que-no-puede-ser-tratado.[2.1To apeiron también hacía referencia al caos ilimitado y sin naturaleza propia del que surg

ación. Anaximandro (610-545 a. C.), el primero de los presocráticos que usó el término tafísica, lo define esencialmente como «el sustrato ilimitado del que provino el mundo» (Edwarp. 190). Y aquí «ilimitado» significa no solo sin fin e inagotable, sino informe, desprovis

alquier frontera, distinción o cualidad específica. Algo así como el vacío, pero de lo que

sprovisto inicialmente es de forma.[2.2] Y esto, para los griegos, no es nada bueno. Aquí está unfinitiva de Aristóteles, esa fuente de citas definitivas: «La esencia del infinito es la privación, fección sino la ausencia de límite» (Física, III, 7, 208a). La cuestión es que al abstraer toda

mitaciones para obtener el ∞, también se elimina lo más importante: sin límite implica sin formo significa el caos, la fealdad, un lío. Téngase, pues, presente el hecho ático cuatro: el ubincial esteticismo del intelecto griego. El desorden y la fealdad eran el malum in se definitivo, la

gura de que algo iba mal con un concepto, del mismo modo en que la desproporción y el desn inaceptables en el arte griego.[2.3]

Pitágoras de Samos (570-500 a. C.) es crucial en todos los sentidos para la historia del ∞


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lidad, es más exacto decir «la Divina Hermandad de Pitágoras» o por lo menos «los pitagórirque en relación con el ∞ no es tan importante el hombre como la secta). Fue la metafísica pitagque combinó explícitamente el to apeiron de Anaximandro con el principio de límite ( perego) que otorga estructura y orden —la posibilidad de forma— al vacío primigenio. La Drmandad de Pitágoras (D. H. P.), que, como es bien sabido, fundó una religión entera del númstuló este límite como matemático, geométrico. Es la acción del peras sobre to apeiron la qar a las dimensiones geométricas del mundo concreto: to apeiron limitado una vez da lugar al

ométrico, limitado dos veces da lugar a la recta, tres veces da lugar al plano, y así sucesivamenteraño o primitivo que esto pueda parecer, era extremadamente importante, y también lo eraagóricos. Su cosmología basada en el peras implicaba que la génesis de los números era la gémundo. Sí, la excentricidad de la D. H. P. es legendaria, igual que sus reglas estacionales p

xo o el odio patológico de Pitágoras hacia las legumbres. Pero fueron las primeras personasnsideraron, y adoraron, los números como abstracciones. El puesto central del número 10 igión, por ejemplo, no estaba relacionado con los dedos, sino con el estatus del número 10 comma perfecta de 1 + 2 + 3 + 4.

Los miembros de la D. H. P. fueron también los primeros filósofos que trataron de forma explíc

ación metafísica entre las realidades matemáticas abstractas y las realidades empíricas concretastura fundamental era que la realidad matemática y el mundo concreto eran lo mismo, o más bierealidad empírica era una especie de sombra o proyección de las matemáticas abstractas.[2.4] Adchos de sus argumentos a favor de la primacía del número se basaban en el hecho observado drelaciones matemáticas puramente formales tenían sorprendentes consecuencias para los fenómmundo real. Un famoso ejemplo es cómo la D. H. P. obtuvo la razón áurea ( ,

ución es aproximadamente ) de las conchas marinas y los troncos de algunos árboles y estab

uso en la arquitectura. Como se ha mencionado, algunas de estas conexiones fueron conocidaturas anteriores como los egipcios, o quizás «usadas» sería mejor, pues los egipcios tenían un ino en conocer cuáles eran realmente las conexiones, o en qué significaban. Un par más de ejemla práctica, los egipcios habían usado lo que ahora llamamos el teorema de Pitágoras en ingeniimensura a lo largo del Nilo, pero fue Pitágoras quien lo convirtió en un auténtico teorema

mostró. Muchas culturas pregriegas también tocaban música, pero fue la D. Η. P. la que descubrnceptos de octava, de quinta perfecta, etc., observando que ciertos intervalos musicales siemprespondían con ciertas razones entre las longitudes de las cuerdas pulsadas: de 2 a 1, de 3 a 2,

cesivamente. Como las cuerdas eran rectas y las rectas eran entes geométricos/matemáticos,[2

ones entre las longitudes de las cuerdas eran lo mismo que razones entre números enteros, meros racionales, que resultan ser los entes fundamentales de la metafísica pitagórica.

Etcétera, siendo lo importante que los intentos de la D. Η. P. para articular las conexiones enlidad matemática y el mundo físico eran parte del proyecto, más amplio, de la filosofía presocrcual era básicamente dar una explicación racional, no mitopoiética, de lo que era real y de su oizás incluso más importante que la D. Η. P., en relación con el ∞, es el protomístico Parménid

ea (hacia el 515-? a. C.), no solo porque su distinción entre «Vía de Verdad» y «Vía de Aparieimitó los términos de la metafísica griega y (también) influyó en Platón, sino porque el discíp

fensor n.º 1 de Parménides fue el antes mencionado Zenón, el más endiabladamente listo e irritan


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os los filósofos griegos (al que se puede ver dándole un palizón a Sócrates, argumentativamblando, en el Parménides de Platón). Los argumentos de Zenón a favor de la metafísicrménides tomaron la forma —como también se ha mencionado— de algunas de las más profunevesadas paradojas de la historia del mundo. A favor de la relevancia de estos rompecabezas

estro propósito general, he aquí otra bonita cita de Bertrand Russell:

En este mundo caprichoso, nada es más caprichoso que la fama póstuma. Uno de los má

notables ejemplos de la falta de juicio de la posteridad es el eleático Zenón […], que puede sconsiderado el fundador de la filosofía del infinito. Inventó cuatro argumentaciones, todainconmensurablemente sutiles y profundas, para demostrar que el movimiento es imposible, quAquiles nunca puede alcanzar a la tortuga, y que una flecha en pleno vuelo está realmente ereposo. Tras ser refutadas por Aristóteles, y por todos los filósofos posteriores desde entonchasta nuestros días, dichas argumentaciones fueron reformuladas, y constituyeron la base de urenacimiento matemático, por parte de un profesor alemán, quien probablemente nunca soñó eninguna conexión entre él mismo y Zenón (Russell, Mysticism and Logic, pág. 76).

Dicho sea de paso, la metafísica de Parménides —que es incluso más aventurada que la H. P., y que en retrospectiva se parece más a la religión oriental que a la filosofía occidentalede describir como una especie de monismo estático,[2.6] y las paradojas de Zenón (que en rean más de cuatro) están, conforme a ello, dirigidas contra la realidad de (1) la pluralidad y (ntinuidad. Por ahora nos interesa (2), que para Zenón toma la forma, como menciona Russelvimiento físico tal como lo conocemos habitualmente.El argumento básico de Zenón contra la realidad del movimiento se conoce como la dicot

rece muy simple y se desarrolla en dos de sus más famosas paradojas: «El Estadio» y «Aquiles c

Tortuga». La dicotomía es usada y analizada posteriormente, con todo tipo de presentacioenciones, por Platón, Aristóteles, Agripa, Plotino, santo Tomás de Aquino, Leibniz, John Stuartancis Herbert Bradley y William James (sin olvidar a Douglas Hofstadter en Gödel, Escher, Bamos cómo funciona.[2.7] Usted está en una esquina, el semáforo cambia e intenta cruzar la serve la maniobra al usar el término «intenta». Porque antes de que usted pueda cruzar toda la viamente tiene que hacer la mitad del recorrido. Y antes de hacer la mitad del recorrido, debe hatad de la mitad del recorrido. Esto no es más que sentido común. Y antes de hacer la mitad tad del recorrido, debe hacer la mitad de la mitad de la mitad del recorrido, y así sucesivamens. Expresado de un modo más excitante, la paradoja es que un peatón no puede desplazarse del al punto B sin cruzar todos los subintervalos sucesivos de AB, cada uno de los cuales tiengitud , donde los valores de n forman la secuencia (1, 2, 3, 4, 5, 6, …), y donde los p

pensivos significan, por supuesto, que la secuencia no termina nunca. Continúa para siempre. Etemido regressus in infinitum, también conocido como regresión infinita viciosa o RIV. Lo qnvierte en «viciosa» en este caso es que le pide a usted que realice un número infinito de acces de alcanzar su objetivo, lo cual —como «infinito» consiste precisamente en que la cantidhas acciones no tiene fin— convierte al objetivo en algo lógicamente imposible. O sea, que ustede cruzar la calle.

La manera estándar de esquematizar la dicotomía es habitualmente:


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(1) Para cruzar el intervalo AB primero tiene que cruzar todos los subintervalos , siendo n =

3, 4, 5, 6, …

(2) Hay una cantidad infinita de tales subintervalos.

(3) Es imposible cruzar una cantidad infinita de subintervalos en una cantidad finita de tiempo.

(4) Por lo tanto, es imposible cruzar AB.

No hace falta decir que el intervalo AB no tiene por qué ser una calle muy ancha, ni siquierle. La dicotomía se aplica a cualquier tipo de movimiento continuo. En clase, al doctor Gostaba presentar la argumentación en términos del movimiento del dedo desde la falda hasta la pla nariz. Y, por supuesto, como sabe cualquiera que haya logrado alguna vez cruzar una caarse la nariz, tiene que haber algo sospechoso en el argumento de Zenón. Hallar y articulapecha es un asunto muy distinto. Tenemos que ir con cuidado, también: hay más de una mane

uivocarse. Si estudió usted algo de matemáticas de bachillerato, por ejemplo, puede ser tentadore el paso (2) de la dicotomía esconde una simple falacia, concretamente la de suponer que la sum

a serie infinita tiene que ser a su vez infinita. Posiblemente recuerde que el del paso (mplemente otra manera de representar la serie geométrica , y que la fó

recta para hallar la suma de esta serie geométrica es , donde a es el primer término de la

es su razón, y que aquí ambos valen , y que , por lo que en este caso parece que las

pueden cruzar y las narices se pueden tocar sin ningún problema, así que la dicotomía en realido un truco con las palabras y no una paradoja en absoluto, excepto tal vez para civilizacmasiado primitivas y poco ilustradas como para conocer la fórmula de la suma de una ométrica.

Solo que esta respuesta no servirá. De momento dejemos a un lado la cuestión de si es técnicamrecta. Lo que importa es que es trivial: representa lo que los filósofos llamarían una vpobrecida del problema de Zenón.Pues ¿de dónde sale exactamente como fórmula para sumar esta serie geométrica? Es

ha fórmula ¿es solo un poco de palabreo «legalista» para evitar que existan ciertas paradojas

temáticamente «significativa» en el sentido de Hardy? Y ¿cómo determinamos cuál es?Curiosamente, cuanto más estándar fuera la lección de matemáticas que recibió, más difícitar responder de una manera demasiado pobre. Como, por ejemplo, justificar indicando

jor tradición del 2.º curso de cálculo,[2.8] que la serie geométrica relevante en este caso es un suticular de serie infinita convergente, y que la suma de tal serie se define como el límite de la sucsus sumas parciales (es decir, si la sucesión s1, s2, s3, …, sn, … de las sumas parciales de unande a un límite S , entonces S es la suma de la serie), y que podemos afirmar con seguridad, respe

ha serie, que , así que funciona perfectamente… en cuyo caso usted


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pondido una vez más a la dicotomía de Zenón de un modo que es complejo, formalmente excinicamente correcto y profundamente trivial. En la línea de responder «Porque es ilegal» puesta a «¿Por qué está mal matar?».El problema con las clases de matemáticas de bachillerato —las cuales consisten

mpletamente en la ingestión y la regurgitación rítmicas de información abstracta, y cuyo ritmo e maximiza este flujo de datos recíproco— es que su misma dificultad superficial puede hacer que realmente sabemos algo cuando todo lo que «sabemos» realmente son fórmulas abstraclas para su aplicación. En las clases de matemáticas raramente aprendemos si cierta fórmudaderamente significativa, o por qué, o de dónde salió, o qué dependía de ella.[2.9] Hay claram

a diferencia entre ser capaz de usar una fórmula de forma correcta y saber realmente cómo resproblema, saber por qué un problema es un problema matemático de verdad y no un simple ejerspecto a esto véase un pasaje más de Russell sobre Zenón,[2.10] esta vez destacando algunas part

Zenón se preocupó, de hecho, acerca de tres problemas, cada uno planteado por el movimientpero cada uno más abstracto que el movimiento, y susceptible de un tratamiento puramenaritmético. Esos son los problemas de lo infinitesimal, lo infinito y la continuidad. Enunciaclaramente las dificultades involucradas quizás era lograr la parte más dura de la tarea d

filósofo (Russell, Mysticism and Logic, pág. 77).

Además, « » no consigue aclarar las dificultades en vueltas, pues le falta contexto y no a

tivación. Poner en claro dichas dificultades es, de hecho, la verdadera dificultad con la qucontramos aquí (y si usted empieza a sentir cierta incomodidad/dolor de cabeza, sabrá que estamauténtico territorio de Zenón).

En primer lugar, para ahorrarnos por lo menos 103 palabras, eche un vistazo de tipo recordatodos siguientes gráficas esquemáticas, una de la sucesión divergente[2.11] correspondiente a 2

a de la sucesión convergente expresada por :


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Una de las auténticas dificultades contextuales que rodeaban la dicotomía era que los griegían ni usaban el 0 en sus matemáticas (el 0 había sido una invención babilonia muy tardía, puram

áctica y actuarial, hacia el año 300 a. C.). Por lo tanto, se podría decir que al no mero/cantidad reconocido/a hacia donde pueda converger la sucesión convergente (

Figura 2a(2)), las matemáticas griegas carecían de equipamiento conceptual para comprendnvergencia, los límites, las sumas parciales, etc. Esto sería verdad en cierto sentido,[2.12] mpletamente trivial.


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Aún menos trivial es el mencionado temor griego de to apeiron. Zenón fue el primer filósofo en agujero negro de la lógica que viene a ser el ∞ como una auténtica herramienta argumentativ

cir, la regresión infinita viciosa (RIV), que incluso actualmente se usa en argumentaciones lómo un método de demostración en la línea de la reducción al absurdo. Ejemplo: en epistemologV es la manera más fácil de refutar la afirmación habitual de que para saber realmente algo haber que se sabe. Como en la mayoría de las demostraciones por RIV hay algo maliciosamertido en esta. Sea x una variable con la cual denotaremos cualquier hecho o estado de cosa

eda ser precedido por el término «que» y reformulemos la afirmación original como (1) «Para e x, tiene que saber que sabe que x». Como la frase entera «que sabe que x» también es un heado de cosas, en el siguiente paso de la demostración puede simplemente sustituir x por [sabe qntro de la afirmación original y, mutatis mutandis, el resultado es (2) «Para saber que [sabe qne que saber que sabe que [sabe que x]», la siguiente y totalmente válida extensión de la cual eara saber que [sabe que sabe que x], tiene que saber que sabe que [sabe que sabe que x]», cesivamente, ad infinitum, exigiéndole que satisfaga una cantidad sin fin de precondiciones para

alquier cosa.[SEI La RIV es una herramienta tan poderosa que puede usted usarla fácilmente para impetidores profesionales o enfurecer a su pareja en conflictos domésticos, o (aún peor) para volo usted mismo en la cama por la mañana pensando, por decir algo, en cualquier tipo de relacións cosas o términos, como cuando decimos que 2 y 4 están relacionados por la función y = x2, o qnubes provocan la lluvia, entonces las nubes y la lluvia tienen una relación causal. Si usted conidea en abstracto y pregunta, respecto a cualquier relación, si dicha relación está ella macionada con los dos términos que relaciona, la

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