Matemática ITópico 07– Limites de uma Função

Ricardo Bruno N. dos SantosProfessor Faculdade de Economia

e do PPGE (Economia) UFPA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁINSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA

FACULDADE DE ECONOMIA

Limite

7 – Limite de uma função

Conceito:O conceito de limite de uma função é básico para o estudo

de cálculo. Seu papel é muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo:

Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais

O motivo para isto é que nem tudo o que queremos realizar, ocorre no meio físico e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns e esta procura ocorre com os limites nos estudos de sequências, séries, cálculos de raízes de funções, ...

7 – Limite de uma função

Antes, porém, é conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x tende a “a”, não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto “a” , pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto desejamos do ponto “a” , porém não coincidente com “a”, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto “a”.

Vamos considerar a função definida por:

O que acontece com a função quando x tende a 2? Quando colocamos essa forma estamos estabelecendo um limite, onde:

7 – Limite de uma função

Podemos observar que se o valor 2 for inserido na função acima, o denominador será zero, o que impossibilita o cálculo da função, porém, o que acontece se utilizarmos o artifício de fatorar a função?

Observe que equivale a , substituindo esse resultado na função original teremos:

Com isso, podemos concluir que: e portanto: Então o que devemos observar é o que acontece com a imagem da

nossa função quando o domínio se aproxima de um valor específico, assim, teríamos:

7 – Limite de uma função

Fazendo no Octave, teríamos:Calculando as curvas separadamente:

Ou seja, podemos tornar f(x) tão próximos de 8 quanto desejarmos, basta para isso, tornar x suficientemente próximo de 2.

Podemos fazer essa representação por:

7 – Limite de uma função

Podemos retratar a definição de limite em três formas:1) Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número

real a. Seja f uma função definida para x I com x a . Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de “a” é o número “L”, notado por

Se puder se tornar tão pequeno quanto desejarmos, tornando | x – a | tão pequeno quanto necessário, sendo que | x – a | 0.

2) Considerando uma função f(x), definida num intervalo I, temos que o limite de f(x), quando x tende a a, é o número L, se, para todo >0, existir, em correspondência, um número , de modo que e

7 – Limite de uma função

3) Na forma matemática temos:

7 – Limite de uma funçãoPropriedades

Suponha que e

Então temos:1. , com r sendo um número real

2. , desde que M0

Use o teorema do limite para calcular o seguinte limite: (prop. 2) (prop. 4) (prop. 1)

7 – Limite de uma funçãoPropriedades

7 – Limite de uma função

As formas indeterminadasVamos supor que tenhamos o seguinte limite de uma

função

Se aplicarmos o teorema 5 verificamos uma inconsistência, pois note que teremos o seguinte resultado:

Que é o que chamamos de forma indeterminadaA mesma também pode se apresentar no formato de

limite como .Uma solução para encontrarmos a forma determinada

é fazendo a fatoração da função f(x) ou aplicando a regra de L’HOPITAL.

7 – Limite de uma função

A solução para o limite anterior portanto seria:

Onde

Portanto,

No livro to Tan pode ser observada a seguinte forma gráfica:

7 – Limite de uma função

24( 4)( )

2

xf x

x

7 – Limite de uma função

( ) 4( 2)f x x

7 – Limite de uma função

Verifique o limite para

7 – Limite de uma função

Limite no Infinito.Em algumas situações em que queremos saber se f(x)

se aproxima de um único número quando x cresce além de qualquer limite.

Suponha que tenhamos a seguinte função:

Se desejarmos determinar o que acontece com f(x) quando x cresce sem limites. Tomando a sequência de números 1, 2, 5, 100 e 1000 teremos:

x 1 2 5 100 1000f(x) 1 1,6 1,92 1,98 1,9999998

Graficamente teríamos:

7 – Limite de uma função

Ou seja, o limite seria =2

7 – Limite de uma função

A função f em limite L quando x cresce além de qualquer limite (ou quando x tende a infinito), o que se denota por:

Se podemos fazer com que f(x) se aproxime arbitrariamente de L tomando x suficientemente grande.

Analogamente, a função f tem limite M quando x decresce além de qualquer limite (ou quando x tende a menos infinito) o que se denota por:

Se pudermos fazer com que f(x) se aproxime arbitrariamente de M tomando x negativo e suficientemente grande em valor absoluto.

7 – Limite de uma função

Imagine que tenhamos a seguinte função: e e e

Vejamos o comportamento do limite das duas funções acima pelo Geogebra.

7 – Limite de uma função

Quando inserimos os valores negativos e positivos de , trabalhamos o conceito de limites laterais.

Formalmente teríamos:

Imagine que tenhamos a seguinte função

7 – Limite de uma função

Graficamente teríamos:

Quando x se aproxima de 3 pela esquerda (x 3-), f(x) se aproxima de 8. Assim:

7 – Limite de uma função

E, quando x se aproxima de 3 pela direita (x 3+), f(x) se aproxima de 2. Assim:

Nesse caso, dizemos que o limite de f(x) tende a 3 não existe, pois os limites à direita e à esquerda são diferentes. A justificativa da não existência de um limite, devido ao fato de o limite à direita ser diferente do limite à esquerda , é dada pelo teorema:

Funções Contínuas

7 – Limite de uma função – Funções contínuas

O papel das funções contínuas são importantes, principalmente para o cálculo diferencial. Uma função será contínua num ponto se seu gráfico naquele ponto não apresenta buracos (interrupções), saltos ou quebras. Considere, por exemplo, o gráfico a seguir:

Em todos os pontos (a, b, c e d) a função é descontínua, o que temos que visualizar é como se dão essas quebras.

Portanto, uma função será contínua se tiver as seguintes condições satisfeitas:1. f(a) está definido. 2. existe 3.

7 – Limite de uma função – Funções contínuas

Uma função pode ser contínua se considerarmos apenas um determinado intervalo, portanto o gráfico abaixo mostra um intervalo em que a função é contínua:

7 – Limite de uma função – Funções contínuas

Vejamos outros exemplos gráficos e tiremos algumas conclusões:

7 – Limite de uma função – Funções contínuas

7 – Limite de uma função

Abaixo temos as propriedades das funções contínuas:a) A função constante é contínua em todos os seus pontos;b) A função identidade é contínua em todos os seus pontos;Se f e g são contínuas em x = a entãoc) , onde n é um número real, é contínua em x = a sempre que estiver definida naquele ponto.d) é contínua em x = a.e) fg é contínua em x = a.f) é contínua em x = a desde que .

7 – Limite de uma função – Funções contínuas

Já as funções polinomiais e racionais temos:a) Toda função polinomial é contínua em todos os

pontos x.b) Toda função racional é contínua em todos os pontos

de x para os quais

7 – Limite de uma função – Funções contínuas

FIM DO TÓPICO