Prof.: Rodrigo Carvalho

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Dados três pontos A,B e C não colineares, chama-se de triângulo ABC à reunião dos segmentos AB, BC e AC.

A

C B

DEFINIÇÃO

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ELEMENTOS

x

z

y

CB

A

- VÉRTICES: A, B e C.

- LADOS: AB, BC e AC.

- ÂNGULOS INTERNOS: A, B e C.

- ÂNGULOS EXTERNOS: x, y e z.

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CLASSIFICAÇÃO

a) Quanto aos lados:

ESCALENO(3 lados não congruentes)

EQUILÁTERO(3 lados congruentes)

ISÓSCELES(2 lados congruentes)

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b) Quanto aos ângulos:

.

RETÂNGULO

(Possui um ângulo reto)

ACUTÂNGULO

(Possui 3 ângulos agudos)

OBTUSÂNGULO

(Possui um ângulo obtuso)

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SÍNTESE DE CLAIRUT

É possível classificar os triângulos quanto aos ângulos, conhecendo apenas as medidas dos seus lados. Sendo a o maior lado do triângulo, temos :

a < b + c

a = b + c

a > b + c

2 2 2

2 2 2

2 2 2

Acutângulo

Retângulo

Obtusângulo

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TEOREMAS ANGULARES DOS TRIÂNGULOS

a) Teorema dos ângulos internos

Em todo triângulo, a soma das medidas dos três ângulos internos é sempre igual a 180º.

A

CB

A + B + C = 180º

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b) Teorema do ângulo externo

Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

A

B

x

x = A + B

OBSERVAÇÃO: Esse teorema é válido para qualquer ângulo externo do triângulo.

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c) Teorema dos ângulos externos

Em todo triângulo, a soma das medidas dos ângulos externos é sempre igual a 360º.

x

z

y

x + y + z = 360º

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PONTOS NOTÁVEIS DOS TRIÂNGULOS

a) ORTOCENTROAltura de um triângulo: Segmento que parte do vértice e é perpendicular à reta suporte do lado oposto a esse vértice.

CB

A

.

..OO ponto de encontro das alturas de um triângulo é chamado de ORTOCENTRO.

H1

H2

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A depender do tipo de triângulo, podemos ter:

.

.

.OOrtocentro interior ao triângulo

(TRIÂNGULO ACUTÂNGULO)

..O

Ortocentro sobre o triângulo

(TRIÂNGULO RETÂNGULO)

.

.

.O

Ortocentro exterior ao triângulo

(TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO)

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b) BARICENTROMediana de um triângulo: Segmento que parte do vértice e intercepta o ponto médio do lado oposto a esse vértice.

CB

A

M1

M2.G

O ponto de encontro das medianas de um triângulo é chamado de BARICENTRO.

OBSERVAÇÃO: O baricentro é o centro de gravidade(pressão) do triângulo.

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PROPRIEDADE DO BARICENTRO

Em todo triângulo, o baricentro divide cada mediana na razão de 2 para 1, ou seja, a medida do baricentro ao vértice é o dobro da medida do baricentro ao ponto médio.

M1

M2

M3

.x

2xy

2y

z

2z

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c) INCENTROBissetriz de um triângulo: Segmento da bissetriz interna que parte do vértice e intercepta o lado oposto a esse vértice, dividindo o ângulo do vértice em duas partes congruentes.

A

CB

.I

O ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo é chamado de INCENTRO.

OBSERVAÇÃO: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

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d) CIRCUNCENTROMediatriz: Reta perpendicular a um segmento pelo seu ponto médio.

A

CB.

..P

O ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo é chamado de CIRCUNCENTRO.

OBSERVAÇÃO: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

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PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS ISÓSCELES

- A base de um triângulo isósceles é o lado não congruente, caso exista;

BASE

- Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes;

xx

- Os segmentos notáveis coincidem em relação à base.

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PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS

- Os três ângulos de um triângulo equilátero são congruentes;

60º

60º

60º - Os segmentos notáveis coincidem em relação a todos os lados.

CONSEQUÊNCIA: Os pontos notáveis do triângulo equilátero coincidem.

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Sugestão de exercícios:

CAPÍTULO 02

Questões: 41, 44, 46, 48, 54, 60, 61, 64, 69, 81, 86 e 94.