triangulos cevianas e pontos notáveis
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COLGIO PEDRO II U. E. ENGENHO NOVO II Tringulos: Cevianas Especiais e Pontos Notveis. Profa. Soraya Izar Aluno:Tringulos: Cevianas e Pontos Notveis. Nos tringulos existe um segmento denominado ceviana que une o vrtice de cada tringulo ao seu respectivo lado oposto. O nome ceviana foi dado a esses segmentos em homenagem ao matemtico italiano Giovanni Ceva (1648-1734), que demonstrou teoremas importantes sobre as mesmas. Qualquer linha que tenha essa caracterstica uma ceviana, entretanto apenas trs delas possuem caractersticas especiais: a altura, a mediana e a bissetriz.
Coord. Prof. Jorge Marcelo
TURMA: N:
C HA
- Altura: a ceviana perpendicular ao lado oposto. O ponto de encontro das trs alturas de um tringulo denominado ORTOCENTRO. O ortocentro pode ficar situado no interior, no exterior ou em um vrtice do triangulo (dependendo da natureza do tringulo). - Mediana: a ceviana que liga o vrtice ao ponto mdio do lado oposto. O ponto de encontro das trs medianas de um tringulo denominado BARICENTRO ou Centro de Gravidade. O Baricentro fica sempre situado no interior do triangulo, independendo da natureza do mesmo e divide as medianas na razo de 2 para 1. - Bissetriz: a ceviana que divide o ngulo interno do tringulo. O ponto de encontro das trs bissetrizes de um tringulo denominado INCENTRO ou centro da circunferncia inscrita (tringulo cujos lados so retas tangentes circunferncia). O Incentro fica sempre situado no interior do triangulo, independendo da natureza do mesmo.
Circunferncia inscrita ao tringuloI
OBS: A mediatriz, embora nem sempre coincida com uma ceviana, determina um ponto notvel importante no tringulo denominado CIRCUNCENTRO ou centro do tringulo circunscrito (tringulo cujos vrtices pertencem circunferncia e cujos lados so cordas da mesma) ao tringulo. O circuncentro pode ficar situado no interior, no exterior ou no ponto mdio de um lado do triangulo, dependendo da natureza do tringulo.
Circunferncia circunscrita ao tringuloO
B
Cevianas Especiais do tringulo:
bt z
M
- - mediana relativa ao lado . - - altura relativa ao lado . - - bissetriz do ngulo interno (relativa ao lado oposto = b)
Resumindo... - 3 ALTURAS do tringulo determinam o ORTOCENTRO. - 3 MEDIANAS do tringulo determinam o BARICENTRO OU CENTRO DE GRAVIDADE do tringulo. - 3 BISSETRIZES INTERNAS do tringulo determinam o INCENTRO (centro do crculo inscrito ao tringulo). O raio do circulo inscrito o segmento perpendicular ao lado do tringulo que passa pelo Incentro. - 3 MEDIATRIZES do tringulo determinam o CIRCUNCENTRO (centro do circulo circunscrito ao tringulo).
A
F
B
G
C
D J Determine o Circuncentro dos tringulos dados abaixo e construa as circunferncias circunscritas F E H
2.Determine o Incentro dos tringulos dados abaixo e construa as circunferncias inscritas.
K I R L
T
S N M
P G O
F
I
Q
U J 3. Determine o Baricentro dos tringulos dados abaixo 4.Determine o Ortocentro dos tringulos dados abaixo
V
X
M K
W
L
Y
Z
N
M
Se voc fez os exerccios propostos atentamente, deve ter observado que: - o Ortocentro no tringulo acuntngulo (no importando se escaleno, issceles ou eqiltero) fica no interior do tringulo; - o Ortocentro no tringulo retngulo (no importando se escaleno ou issceles) coincide com o vrtice do ngulo reto do tringulo; - o Ortocentro no tringulo obtusngulo (no importando se escaleno ou issceles) fica no exterior do tringulo. Observe o vrtice do ngulo obtuso com o referencial (altura relativa ao maior lado - lado oposto ao maior ngulo do tringulo obtusngulo); - o Circuncentro no tringulo acuntngulo (no importando se escaleno, issceles ou eqiltero) fica no interior do tringulo; - o Circuncentro no tringulo retngulo (no importando se escaleno ou issceles) fica no ponto mdio da hipotenusa do tringulo.; - o Circuncentro no tringulo obtusngulo (no importando se escaleno ou issceles) fica no exterior do tringulo; - o Baricentro e o Incentro ficam sempre no interior do tringulo, independente se ele escaleno, issceles, eqiltero, acutngulo, retngulo ou obtusngulo; Obs: 1) No tringulo eqiltero o Baricentro, Ortocentro, Incentro e Circuncentro so coincidentes. 2) O tringulo rtico formado pelos ps das trs alturas de um tringulo.- ha a altura relativa ao lado a. - Ha o p da altura relativa ha (ponto de interseo de ha com o lado BC).
A Hb Hc
- hb a altura relativa ao lado b. - Hb o p da altura relativa hb (ponto de interseo de hb com o lado AC). - hc a altura relativa ao lado c. - Hc o p da altura relativa hc (ponto de interseo de hc com o lado AB).
H hc
- H o ortocentro do tringulo ABC. - O tringulo HaHbHC o tringulo rtico gerado pelos ps das alturas do tringulo ABC
hb ha
B
Ha
C