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Sinais e SistemasAula 1

Professor: Rafael Antunes Nóbrega

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Sinais e Sistemas

Capítulo 1

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Introdução

• Neste capítulo 1 veremos definições/descrições matemáticas de sinais e sistemas e suas representações:

– Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto;

– Energia e Potência de um sinal

– Transformações de variáveis independentes;

– Sinais periódicos

– Sinais senoidais e exponenciais;

– Funções impulso unitário e degrau unitário;

– Sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto;

– Propriedades básicas de sistemas;

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Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto

• Os sinais podem descrever uma grande variedade de fenômenos físicos;

– Fala humana, temperatura, umidade, vento, composição química, dilatação de um materiais, velocidade, aceleração, claridade, etc... podem ser transformados em corrente elétrica a partir de sensores;

• A informação do sinal está sempre contida em algum tipo de variação;

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• Exemplo: As variações ao longo do tempo dacorrente e tensão são sinais a tempo contínuo.

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Exemplo Sinal contínuo 1D f(t):

Sinal obtido com o uso de um microfonepara detectar as variações das pressõesacústicas em função do tempo e que depoissão convertidos em sinais elétricos.

should

we

chase

SistemaDigital

Texto:Should we chase


SistemaAnalógico

(amplificação)

Alto-falante

ADC


• Exemplo 2D: O que importa numa imagem monocromática é a variação do brilho ao longo da imagem f(x, y).

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• Sinais são representados matematicamente como funções de uma ou mais variáveis independentes.

– Sinal de fala f(t) pressão acústica como uma função do tempo (1 dimensão);

– Imagem monocromática f(x,y) brilho como uma função de duas variáveis espaciais (2 dimensões);

– Video f(x,y,t) exemplo de sinal em 3 dimensões.

• Neste curso focaremos em sinal com uma variável independente do tipo f(t) (1 dimensão).

• Geralmente a variável independente é o tempo, embora ela possa ser outra dimensão.

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• Os termos contínuo no tempo e discreto no tempo qualificam a natureza do sinal ao longo do eixo no tempo.

• Os termos analógico e digital, por outro lado, qualificam a natureza da amplitude do sinal.

• Então, podemos afirmar que os sinais podem ser:a) contínuo no tempo contínuo,b) contínuo no tempo discreto,c) discreto no tempo contínuo,d) discreto no tempo discreto.

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• Os termos tempo contínuo e tempo discreto referem-se a natureza da variável independente.

Tempo contínuo: a variável independente é contínua;

x(t) representação sinal tempo contínuo

Tempo discreto: a variável independente é discreta, ou seja assume apenas um conjunto discreto de valores. – (Exemplo: vazão de um reservatório por mês; consumo de energia por dia)

x[n] representação de sinal tempo discreto» (n valores inteiros em sequência)

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• Exemplos:


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contínuo no tempo contínuo

............. no tempo discreto



• Um sinal de tempo discreto pode representar:

– fenômenos para o qual a variável independente é inerentemente discreta.

– Ou, Amostragem de sinais de tempo contínuo (ADC).• Nesse caso o sinal de tempo discreto x[n] representa amostras

sucessivas de um sinal contínuo.

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• Porque discretizar um sinal contínuo??

– Vejamos o histórico a seguir...

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Surgimento do PDS?

• Até 1950, processamento de sinal era feito apenas com sistemasanalógicos (ex.: com circuitos analógicos).

• Na época a velocidade de processamento não era suficiente paraaplicação em tempo real.

• O processamento de sinais com computadores era aplicado parasimulação, como suporte à implementação da eletrônica analógicapor uma questão de teste e economia.

• Custo e tamanho eram outras vantagens de sistemas analógicosno processamento de sinais.

Histórico

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1946 ENIAC (Electrical Numerical Integrator and Calculator)- Primeiro computador digital eletrônico de grande escala- 30 toneladas, 5.50 m de altura e 25 m de comprimento.- Ocupando a área de um ginásio desportivo.- 70 mil resistores e entre 17.468 e 18.000 válvulas a vácuo.- Quando acionado pela primeira vez, o ENIAC consumiu tanta

energia que as luzes de Filadélfia piscaram.

Histórico

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Em Julho de 1961 um grupo de estudantes do MassachusettsInstitute of Technology (MIT) testava pela primeira vez"Spacewar!", um jogo eletrônico desenvolvido em um enormecomputador que custava milhares de dólares. Ocupando 2 kB dememória

Histórico

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http://jogos.uol.com.br/album/historia_album.jhtm?abrefoto=1

http://jogos.uol.com.br/album/historia_album.jhtm?abrefoto=1

Surgimento do PDS?

• Enquanto isso, algoritmos computacionais eram desenvolvidos e aprimorados, motivando cada vez mais o uso prático de PDS.

• Em 1965, Cooley e Tukey desenvolveram um eficiente algoritmo para a Transformada de Fourier: a Fast Fourier Transform (FFT). Aumentando a velocidade em ordens de magnitude em relação aos algoritmos da época.

• Junto a isso, a invenção e proliferação de microprocessadores específicos abriu caminho para implementações PDS de baixo custo.

Histórico

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Surgimento do PDS?

• Em meados de 1980, os microcomputadores alcançaram uma velocidade que fazia possível a aplicação em larga escala de técnicas de PDS, atingindo várias áreas da sociedade.

• Hoje, PDS é uma tecnologia aplicada às principais áreas de interesse da sociedade com um futuro longo e próspero.

Teoria

Aplicações

TecnologiaPDS

1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

CPU - MHz

Histórico

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Aplicação do PDS

• Tecnologia de grande importância para uma vasta gama de àreasfundamentais na sociedade:

– Medicina

– Comunicação

– Segurança nacional

– Exploração espacial

– Arqueologia

– Entretenimento

– Acústica

– Biomédica

– Pesquisa fundamental

– Etc...

Histórico

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Descrição Matemática

• Para que o desenvolvimento de aplicações nessas áreas sejam possíveis, é fundamental que possamos descrever matematicamente os sinais e sistemas

• Possibilitando assim tanto a análise como o desenvolvi-mento de sistemas em busca de compreensão e solução dos diversos problemas presentes em nosso mundo;

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Energia e Potência de um sinal

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21( ) ( ) ( ) ( )p t v t i t v t

R

A energia total dissipada no intervalo t1 ≤ t ≤ t2

A potência média neste intervalo:

Sejam v(t) e i(t) a tensão e a corrente sobre um resistor R.

Potência Instantânea

2

1

2

1

)(1

)( 2

t

t

t

t

dttvR

dttpE

2

1

2

1

)(11

)(1 2

1212

t

t

t

t

m dttvRtt

dttptt

P


12 tt

EPm


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Como veremos, na prática, muitas vezes é conveniente considerar sinais que assumem valores complexos.

Nesse caso temos:

Definição: Energia total do sinal x(t) no intervalo t1 t2

2

1

2( )

t

t

E x t dt

Definição: Energia total do sinal x[n] no intervalo n1 n2

2

1

2[ ]

n n

n n

E x n

Como definir potência média do sinal?

Como definir potência média do sinal?


c = a + bi |c| =


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Como veremos, na prática, muitas vezes é conveniente considerar sinais que assumem valores complexos.

Nesse caso temos:

Definição: Energia total do sinal x(t) no intervalo t1 t2

2

1

2( )

t

t

E x t dt

Definição: Energia total do sinal x[n] no intervalo n1 n2

2

1

2[ ]

n n

n n

E x n

12 tt

EPm

112

nn

EPm

Número de pontos no intervalo



• É importante notar que os termos potência e energia são usados aqui independentemente de as quantidades serem de fato relacionadas a energia física. É apenas mais prático usar esses termos de modo geral.

– Por exemplo: Se compararmos as equações abaixo:

– Vemos que se x(t) representa a tensão de um resistor, então essa segunda equação deveria ser dividida pela resistência para obtermos a unidade de energia física.

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2

1

2

1

)(1

)( 2

t

t

t

t

dttvR

dttpE2

1

2( )

t

t

E x t dt



• Veremos que, em muitos casos, será de interesse examinar a potência e a energia em sinais ao longo de um intervalo de tempo com duração infinita:– -∞ < t < ∞

– -∞ < n < ∞

• Nesses casos, definimos a energia total como limites das equações anteriores:

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2

1

2( )

t

t

E x t dt

2

1

2[ ]

n n

n n

E x n

t

T

T

T dttxdttxE22

)()(lim

n

N

Nn

N nxnxE22

][][lim



• Note que para alguns sinais, a integral ou a soma dessas equações não convergem.

– Por exemplo, se x(t) ou x[n] forem iguais a um valor constante diferente de zero para todo t ou n.

• Sinais desse tipo têm energia infinita enquanto sinais com E∞ < ∞ têm energia finita

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• De modo análogo, podemos definir a potência média em um intervalo de duração infinita:

• Dessas equações podemos definir 3 classes de sinais:– 1) Sinais com energia finita (Pm = 0)

– 2) Sinais com potência média finita (E = ∞)

– 3) Sinais com energia e potência média infinitas

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T

T

T dttxT

P2

)(2

1lim

N

Nn

N nxN

P2

][12

1lim



– 1) Sinais com energia finita

• Esses sinais devem ter uma potência média igual a zero, pois no caso do tempo contínuo, por exemplo, temos que:

• Exemplo: sinal de valor 1 para 0 ≤ t ≤ 1 e 0 caso contrário:

– E∞= 1

– P∞ = 0

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02

lim

T

EP T



– 2) sinais com potência média finita

• Se P∞ > 0, necessariamente E∞ = ∞– Se há energia média diferente de zero por unidade de tempo (=

potência diferente de zero), então integrá-la ou somá-la em um intervalo de tempo infinito resulta em uma quantidade infinita de energia.

• Exemplo 1, x[n] = 4– E∞ = ∞

– P∞ = 16

• Exemplo 2,

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– 3) Sinais com P∞ e E∞ ambos infinitos

• Exemplo,

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Transformações da variável independente

• Veremos as transformações principais que podemos efetuar na variável independente:

– Deslocamento no tempo;

– Reflexão no tempo;

– Mudança na escala do tempo;

– Transformações conjuntas;

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Deslocamento no tempo

• Dado um sinal x[n], o sinal x*n − n0] é igual ao sinal x[n] deslocado no eixo dos tempos.

– y*n+ = x*n − n0]

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• No tempo contínuo.

– y(t) = x(t-t0)

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• Esse tipo de operação tem aplicação em, por exemplo, radares e sonares;

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transmissor

receptor

Correlaçãocruzada


http://en.wikipedia.org/wiki/File:CrossCorr_Pulse.png

Reflexão no tempo

• Dado um sinal x(t), o sinal x(−t) é o resultado da rotação de x(t) ao redor do eixo dos tempos. O mesmo para sinais a tempo discreto x[n] x[-n].

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Mudança na escala do tempo

• Dado um sinal x(t), o sinal x(at), a > 0, é uma versão ampliada ou reduzida de x(t). – A ampliação ocorre quando 0 < a < 1, enquanto que a > 1 provoca a

redução.

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y1(t)=x(2t) y2(t)=x(0,5t)x(t)

tO escalonamento para sinais a tempo discreto constitui um tópicoespecial de Processamento de Sinais e não será considerado aqui.


Transformações conjuntas

• Essas 3 transformações podem ser aplicadas em conjunto aplicando a seguinte forma:

– y(t) = x(αt+β)• α positivo ou negativo (reflexão no tempo)

• |α| < 1 (ampliação), |α| > 1 (redução)

• β (deslocamento temporal)

• Exemplo 1.1- Desenhe x(t+1), x(-t+1) dado x(t)

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• Solução exemplo 1.1:

38Sugestão: Na letra (c) gere x1(t)=x(-t), então faça x2(t)=x1(t+1)



• Exemplo 1.2- Esboce x(3t/2), x(3t/2+1) considerando x(t):

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• Solução exemplo 1.2:

40

Sugestão: Primeiro realizar o desolcamento.


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