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Sinais e Sistemas

Professor: Rafael Antunes Nbrega

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Continuao... CAPTULO 1: Introduo:

Sinais de tempo contnuo e de tempo discreto; Energia e Potncia de um sinal Transformaes de variveis independentes; Sinais peridicos Sinais senoidais e exponenciais; Funes impulso unitrio e degrau unitrio; Sistemas de tempo contnuo e de tempo discreto; Propriedades bsicas de sistemas;

CAPTULO 2: Sistemas lineares invariantes no tempo: Representaes de sinais em termos de impulso; Convoluo. Esquema de Interconexes Propriedades de sistemas LIT Equaes diferenciais lineares com coeficientes constantes Funes de singularidade

CAPTULO 3: Srie de Fourier Perspectiva histrica Resposta dos sistemas LIT s exponenciais complexas Representao de sinais peridicos de tempo contnuo Convergncia da srie de Fourier Propriedades da srie de Fourier de tempo contnuo Representao de sinais peridicos de tempo discreto Propriedades da srie de Fourier de tempo discreto Srie de Fourier e sistemas LIT Filtragem Exemplos filtros contnuos Exemplos filtros discretos

CAPTULO 4: A transformada de Fourier de tempo contnuo Representaes de sinais aperidicos (tempo contnuo) TF para sinais peridicos Propriedades da TF de tempo contnuo A propriedade da convoluo A propriedade da multiplicao Sistemas caracterizados por equaes diferenciais lineares com coeficientes constantes

CAPTULO 5: A transformada de Fourier de tempo discreto Representaes de sinais aperidicos (tempo discreto) TF para sinais peridicos Propriedades da TF de tempo discreto

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visto

Assim como no caso de tempo contnuo, os sinais peridicos no tempo discreto podem ser incorporados dentro da estrutura da SF de tempo discreto, interpretando a transformada de um sinal peridico como um trem de impulsos no domnio da frequncia;

Considere o sinal x[n] = ejw0n,

Vimos no tempo contnuo que a TF de ejw0t pode ser interpretada como um impulso em w = w0;

Podemos esperar a mesma coisa para o sinal discreto sendo que TF do sinal precisa ser peridica em w com perodo 2;

Isso causa impulsos em w0, w0 2, w0 4, w0 6, ...

De fato temo que a TF de x[n] :

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TF para sinais peridicos

Transformada de Fourier de tempo discreto

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Agora considere:

A sua TF :

De modo que a transformada de Fourier de um sinal peridico pode ser montada a partir de seus coeficientes de Fourier.

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Repare que a equao anterior

uma combinao linear de sinais na forma de x[n] = ejw0n, e assim, a TF de x[n] deve ser uma combinao linear de TFs da forma da equao

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Suponha que escolhamos o intervalo do somatrio na equao anterior de modo que:

Logo, x[n] = a0 + a1 ej(2/N)n + a2 e

j2(2/N)n + ... + aN-1 ej(N-1)(2/N)n

Assim, x[n] uma combinao linear de sinais do tipo x[n] = ejw0n, com w0 = 0, 2/N, 4/N, ..., (N-1)2/N.

Na figura do prximo slide temos a TF deste sinal.

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k=0

N-1


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Transformada de Fourier de x[n]

Exemplo 5.5

x[n] = cos(w0n)

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Exemplo 5.6

Trem de impulso...

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Propriedades da TF de tempo discreto

As propriedades esto resumidas na tabela 5.1;

Veremos aquelas que se diferenciam das propriedades da TF de tempo contnuo;

Usaremos a seguinte notao:

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Periodicidade:

Como vimos a TF de tempo discreto sempre peridica em w com perodo 2; ou seja:

A TF de tempo contnuo, em geral, no peridica.

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Deslocamento no tempo e na frequncia:

Essas relaes podem ser obtidas pela substituio direta de x[n-n0] na Equao de anlise e substituindo X(e

j(w-w0)) na Equao de sntese.

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Lembrando


Deslocamento no tempo e na frequncia:

Exemplo 5.7

Comparao entre sistemas passa-baixa e passa-alta

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Conjugao e simetria conjugada:

Por isso, Re{X(ejw)} uma funo par e Im{X(ejw)} uma funo impar de w.

De modo semelhante, a magnitude de X(ejw) uma funo par e o ngulo de fase uma funo impar;

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Conjugao e simetria conjugada:

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Diferenciao e acumulao: O correspondente discreto da integrao a acumulao;

Considere o seguinte:

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Lembrando para o tempo contnuo


Diferenciao e acumulao:

Exemplo 5.8

Ache a TF do degrau unitrio

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Reflexo no tempo:

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Eq. de anlise


Expanso no tempo: No tempo contnuo tivemos que:

No discreto, a deve ser um inteiro, logo no podemos tornar o sinal mais lento fazendo |a| < 1;

Por outro lado, se a for um inteiro diferente de 1, no estaremos acelerando o sinal original;

Por exemplo, o sinal x[2n] consiste de amostras pares de x[n];

Entretanto existe um resultado parecido com a equao obtida para o tempo contnuo:

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Exemplo p/ k =3


Expanso no tempo:



Pela TF temos:

enquanto que:

Por comparao:

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Para k > 1, o sinal expandido e sua TF comprimida;

Expanso no tempo: Exemplo 5.9

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Diferenciao na frequncia:

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Relao de Parseval:

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Energia total do sinal x(t)

(3.110)

Parseval Srie de Fourier


- Semelhante ao caso contnuo...

- A Relao de Parseval determina que essa energia pode ser determinada |X(ejw)|2/2, em um intervalo de 2;

-|X(ejw)|2 denominado de: ESPECTRO DE DENSIDADE DE ENERGIA do sinal x[n];

Energia total do sinal x[n]

A potncia mdia em um sinal peridico iqual a soma das potncias mdias de seus componentes harmnicos individuais

Relao de Parseval: Exemplo 5.10

x[n] peridico?

Real?

Par?

Energia finita?

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