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Sinais e SistemasAula 6

Professor: Rafael Antunes Nbrega

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Continuao... CAPTULO 1: Introduo:

Sinais de tempo contnuo e de tempo discreto; Energia e Potncia de um sinal Transformaes de variveis independentes; Sinais peridicos Sinais senoidais e exponenciais; Funes impulso unitrio e degrau unitrio; Sistemas de tempo contnuo e de tempo discreto; Propriedades bsicas de sistemas;

CAPTULO 2: Sistemas lineares invariantes no tempo: Representaes de sinais em termos de impulso; Convoluo. Esquema de Interconexes Propriedades de sistemas LIT Equaes diferenciais lineares com coeficientes constantes Funes de singularidade

CAPTULO 3: Srie de Fourier Perspectiva histrica Resposta dos sistemas LIT s exponenciais complexas Representao de sinais peridicos de tempo contnuo 2

visto

Funes de singularidade

Examinaremos a funo impulso unitrio de tempo contnuo;

Funes de singularidade representam um conjunto de sinais relacionado ao impulso unitrio;

Idealizamos o impulso unitrio com um pulso suficientemente curto;

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Vimos que (propriedade seletiva do impulso):

x(t) = x(t)*(t), para qualquer x(t);

Logo: (t) = (t)*(t);

Podemos supor que: lim0(t)= (t)

e r(t) = (t)*(t);

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O impulso unitrio como um pulso idealizado


https://maxwell.ict.griffith.edu.au/spl/Excalibar/Jtg/Conv.html

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Temos que no limite 0, ento r(t) deve ser um impulso unitrio assim como: r(t)* r(t) r(t)* (t) ...

Por coerncia, h um nmero ilimitado de sinais que parecem diferentes, sendo que todos se comportam como um impulso no limite;

A resposta de um sistema LIT a todos esses sinais essencialmente idntica para suficientemente curto.

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Exemplo:

Considere

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)()(2)(

txtydt

tdy

Para pequeno, as respostas so essencialmente indistinguveis de modo que todos os sinais de entrada se comportam da mesma maneira.

Exemplo:

Considere

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)()(20)(

txtydt

tdy

Note que agora deve ser menor...

Logo, o valor mx. de dependedo sistema.

O impulso unitrio ento a idealizao de um pulso curto cuja durao suficiente-mente curta para o sistema em questo;

O impulso unitrio um sinal que quando aplicado a um sistema LIT, gera a resposta ao impulso. x(t) = x(t) * (t)

As propriedades do impulso unitrio podem ser obtidas a partir da definio operacional acima. Exemplo: se x(t) = 1 para todo t, ento:

De modo que o impulso unitrio tem rea unitria;

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Definindo o impulso unitrio por meio da convoluo


Usando um mtodo alternativo, tomamos um sinal arbitrrio g(t) e o espelhamos em g(-t) para efetuar a convoluo com o impulso:

Uma equao implica na outra...

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Verificando:

Que igual a:

Logo, a equao de g(0) uma definio operacional equivalente do impulso unitrio.

O impulso unitrio o sinal que quando multiplicado por um sinal g(t) e depois integrado de - a +, produz o valor g(0).

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Esta equao, dada por g(0) til para determinarmos algumas das propriedades do impulso unitrio. Considere o sinal f(t)(t), sendo que f(t) outro sinal, ento:

Porm, se considerarmos o sinal f(0)(t), temos que:

Logo, os dois sinais se comportam de maneira idntica quando multiplicados por qualquer sinal g(t) e depois integrado de - a +.

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Outras maneiras de se chegar a propriedade de seletividade do impulso

No captulo 1, chegamos a mesma concluso de maneira mais direta:

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Considere o sistema LIT para o qual a sada a derivada da entrada:

A resposta ao impulso desse sistema chamada de doubletunitrio u1(t), e pode ser representado assim:

Essa equao pode servir como definio operacional de u1(t).

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Doublets unitrios e outras funes de singularidade


dt

tdxty

)()(

)(*)()(

)( 1 tutxdt

tdxty

Podemos definir u2(t) como a resposta ao impulso de um sistema LIT que retorna a segunda derivada da entrada:

Observe que:

De modo geral:

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)(*)()(

)( 22

2

tutxdt

txdty

)(*)(*)()()(

112

2

tututxdt

tdx

dt

d

dt

txd

)(*)()( 112 tututu

k vezes ,)(*...*)()( 11 tututuk

Cada uma dessas funes de singularidade tem propriedades que podem ser deduzidas de sua definio operacional; Por exemplo, se considerarmos x(t) = 1:

Logo, o doublet unitrio tem rea nula.

Fazendo a convoluo de g(-t) com u1(t), temos:

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Esses funes podem ser relacionadas a pulsos curtos;

Podemos entender o doublet como a idealizao da derivada de um pulso curto com rea unitria.

Como (t) se comporta como um impulso quando 0, podemos esperar que sua derivada se comporte como um doubletquando 0.

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1/

(t)

Como:

E usando o fato que x(t)*(t-t0) = x(t-t0), temos:

Essa aproximao se torna cada vez mais precisa medida que 0.

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Podemos definir sinais que representam integrais sucessivas da funo impulso unitrio:

Com a seguinte definio operacional de u(t):

Para um sistema feito de uma cascata de dois integradores:

Como u(t) = 0 para t < 0 e u(t) = 1 para t 1, temos que:

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Sinal chamado de rampa unitria

Podemos obter uma definio operacional para o comportamento de u-2(t):

E podemos definir integrais de ordem mais elevada:

Essas integrais podem ser calculadas diretamente:

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Integrais sucessivas podem ser definidas para cada valor de t

Notao:

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Como o diferenciador um sistema inverso do integrador, temos:

Generalizando:

Logo, ao definirmos as funes de singularidade em termos do seu comportamento em convoluo, obtemos uma caracterizao que nos permite manipul-las com relativa facilidade e interpret-las diretamente em termos de sua importncia para os sistemas LIT.

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Prxima aula SRIE DE FOURIER

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