Uma Abordagem Fuzzy para uma Corda Vibrante

Douglas Silva Oliveira Rosana Sueli da Motta JafeliceFaculdade de Matematica, UFU,

38408-100, Uberlandia, MGE-mail: douglasso1988@gmail.com rmotta@ufu.br

RESUMO

As cordas vibrantes apresentam suas duas extremidades fixas. A vibracao da corda ocorrequando os seus pontos afastam-se da posicao de equilıbrio estavel. Como exemplo de instru-mentos musicais que utilizam as cordas vibrantes temos: a guitarra, o piano, a harpa, o violino,o contrabaixo e outros. O estudo do movimento das cordas vibrantes permite a compreensao dofuncionamento de tais instrumentos [3].

O objetivo deste trabalho e o de modelar a equacao da corda vibrante considerando a veloci-dade de propagacao da onda como sendo um parametro incerto e encontrar a solucao aproximadapara tal equacao para alguns parametros em estudo.

Vamos considerar uma vibracao transversal de uma corda flexıvel, em que as extremidadesestao fixas nos pontos x = 0 e x = L. Suponhamos que nao haja forcas externas que possamatuar na corda e que esta vibra unicamente em funcao da elasticidade.

A elongacao da corda, num dado instante, isto e, o deslocamento u(x, t) de um ponto ar-

bitrario x da corda no instante t e dado pela solucao da equacao diferencial∂2u

∂t2= a2 ∂2u

∂x2, onde

a =√

Tρ (cm/s) e a velocidade de propagacao da onda, T (Newton) e a tensao aplicada sobre a

corda e ρ (g/cm) e a densidade linear da corda em questao [4].Utilizamos a seguinte equacao com as seguintes condicoes de fronteira:

∂2u

∂t2= a2(T, ρ)

∂2u

∂x2com 0 < x < 2, (1)

em que a posicao da corda no instante inicial e dado por u(x, 0) = 3sen(πx); a velocidade dacorda no instante inicial satisfazendo as condicoes de fronteira e dado por ut(x, 0) = 0; e aposicao das extremidades da corda em qualquer instante e dado por u(0, t) = u(2, t) = 0.

Em algumas circunstancias, como nas cordas de instrumentos musicais, a velocidade depropagacao da onda pode ser um parametro incerto. Assim, utilizando a teoria dos conjuntosfuzzy para modelar este parametro considerando-o dependente da tensao e da densidade lineardo material.

No Sistema Baseado em Regras Fuzzy (SBRF) consideramos como variaveis linguısticas deentrada a tensao (com domınio no intervalo [0, 1]) e a densidade linear (com domınio no intervalo[0, 10]). A variavel linguıstica de saıda e dada pela velocidade de propagacao ao quadrado daonda (com domınio no intervalo [0, 40]). As funcoes de pertinencia das variaveis de entrada ede saıda sao trapezoidais. O metodo de inferencia utilizada e o Metodo de Mamdani e o dedefuzzificacao e o Centro de Gravidade [2].

Um exemplo de regra fuzzy que utilizamos neste problema e:

• Se a tensao e media e a densidade linear e grande entao a velocidade de propagacao aoquadrado e baixa.

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ISSN 1984-8218

Para determinar a aproximacao numerica da solucao de equacao (1) utilizamos o metodo dediferencas finitas e na discretizacao do tempo o Metodo Explıcito [1] com o software Matlab.

Consideramos os seguintes casos:

1o: Na Figura 1, utilizamos T = 0.1 e ρ = 10 e obtemos a velocidade de propagacao aoquadrado a2 = 3.4926.

2o: Na Figura 2, utilizamos T = 1 e ρ = 1 e obtemos a2 = 36.5461.

A distancia vertical do valor de maximo da curva ate o valor de mınimo e de 6 cm. Assim,no primeiro caso a distancia vertical percorrida e de 5.95 cm e no segundo caso a distanciapercorrida e de 18.07 cm.

0 0.5 1 1.5 2−3

−2

−1

0

1

2

3

x

u(x,

t)

Figura 1: Solucao da equacao (1) paravelocidade baixa.

0 0.5 1 1.5 2−3

−2

−1

0

1

2

3

x

u(x,

t)

Figura 2: Solucao da equacao (1) paravelocidade alta.

A vantagem de se trabalhar com o parametro fuzzy e que a solucao numerica para a equacao(1) considerando a2 como uma constante, resulta em um unico comportamento para a corda,enquanto considerando a2 como um parametro fuzzy, podemos obter varios comportamentospara o fenomeno. No primeiro caso a corda nao percorre a distancia vertical maxima que e de6 cm. No segundo caso, a corda percorre tres vezes a distancia vertical maxima.

Atraves da Teoria dos Conjuntos Fuzzy e dos metodos numericos e possıvel visualizar gra-ficamente como a tensao e a densidade influenciam o fenomeno da vibracao das cordas comextremidades fixas.

Palavras-chave: Corda Vibrante, Teoria dos Conjuntos Fuzzy, Velocidade de Propagacao.

Agradecimentos

Os autores agradecem a FAPEMIG pelo auxılio financeiro na participacao do evento e asegunda autora agradece ao CNPq (Processo 477918/2010-7) pelo auxılio financeiro.

Referencias

[1] N.B. Franco, “Calculo Numerico”, Pearson Prentice Hall, 2006.

[2] R.S.M. Jafelice, L.C. Barros e R.C. Bassanezi, Usando a Teoria Fuzzy na Modelagem deFenomenos Biologicos, em Simposio de Aplicacoes em Logica Fuzzy, Sorocaba, SP, 2008.

[3] http://nfist.pt/sf/sf3/musica/cordas.htm - Acessado em 01/12/2011.

[4] http://www.estv.ipv.pt/paginasPessoais/isabelduarte/cam05 06/CAM cap 3.pdf - Aces-sado em 13/10/2011.

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