Uma aplicação da teoria quase-linea dre T. Kato à KdV em ...SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO...

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito: 11.12.2001

Assinatura: /

Uma aplicação da teoria quase-linear de T. Kato à KdV em espaços de Sobolev 1

Daniel dos Santos Viais Neto

Orientador: Prof. Dr. Wagner Vieira Leite Nunes

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matematicas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática.

USP - São Carlos Dezembro/2001

trabalho teve suporte financeiro do CNPq

A Comissão Julgadora:

Prof. Dr. Wagner Vieira Leite Nune

Profa. Dra. Hebe Azevedo tíiagioni

Prof. Dr. José Gaspar Ruas Filho

"À minha família ."

A fé é o fundamento da esperança,

é a ceitc/a a respeito do que não se vê. (Hebreus 11:1)

Agradecimentos

À Deus que, incomparável e inconfundível na sua infinita bondade, compreen-

deu os meus anseios e me deu a necessária coragem para atingir o meu objetivo.

Ao proí. Wagner, pela dedicação, orientação, paciência e principalmente por

acreditar em mim.

Aos meus pais, João e Ana, pela oportunidade de estudo, preocupação, apoio,

incentivo e amor.

Aos meus irmãos, João Paulo, Carlos Fernando e Matheus, pela força.

À minha amada Fabrícia, pela paciência, dedicação, amor e incentivo.

Ao meu primo Mário, pela admiração e incentivo.

Aos amigos de mestrado, em especial Silvia, Ricardo e Claudemir, pela amizade

e companheirismo.

Aos professores Eduardo, Janete, Valdir e José Gaspar pela disposição em me

ajudar nas horas que precisei. E a todos que de uma forma ou de outra contribuíram para a realização deste

trabalho.

Resumo

O objetivo deste trabalho é aplicar a teoria quase-linear de T. Kato para

mostrar existência e unicidade de soluções para o problema de Cauchy associado a equação

de Korteweg-de Vries em espaços de Sobolev.

Abst rac t

The purpose of this work is to apply the quasi-linear T. Kato's theory

to show existence and uniqueness of solutions of the Cauchy problem associated to the

Korteweg-de Vries equation in Sobolev space.

Sumário

Introdução 1

1 Prel iminares 3

2 Os Espaços de Sobo lev em R" H

3 Existência e Unic idade de Soluções para a K d V 25

Referências Bibl iográficas 35

í

Introdução

No capítulo 1, enunciamos conceitos e resultados conhecidos que serão essenciais

nos outros capítulos. Entre eles, destacarn-se a transformada de Fourier e suas pro-

priedades, a desigualdade de Holder, a generalização da desigualdade de Young e

uma consequência do teorema de Arzelá-Ascoli.

No capítulo 2, ciamos ênfase aos espaços de Sobolev de tipo L2, isto é, enuncia-

mos e demonstramos vários resultados, como por exemplo, o lema de Sobolev e o

lema de Rellich. Além disso, frisamos que em certas situações os espaços de Sobolev

formam uma álgebra de Banach.

Finalmente, 110 capítulo 3, enunciamos algumas definições da teoria de semi-

grupos e aplicamos a teoria quase-lmear de T. Kato para mostrar existência e uni-

cidade de soluções da equação de Korteweg-de Vries em espaços de Sobolev.

1

Capítulo 1

Preliminares

Neste capítulo definiremos vários conceitos e apresentaremos algumas notações

e resultados que serão necessários para o desenvolvimento deste trabalho.

Definição 1.1. Seja u G L ^ R " ) . A transformada de Fourier de u é a função

ú : Rn —> C dada por

ú ( 0 = (27T)-"/2 [ u[.r)t (1.1) VR"

onde x = (xux2l • • • , xn), Ç = . • • , £ R n e

IL

J=I

é o produto interno usual em R n .

Teorema 1.2. A transformada de Fourier de u 6 Ll(Rn) é uma função contínua,

limitada e satisfaz a desigualdade

IMIí/*. < (2tt) ~n/2\\u\\ rj.

Em particular, a aplicação u i—>• u é um operador limitado de Ll{Mn) em L°°(Mn)-

Além disso, vale o lema de Riemann-Lebesgue, isto é,

lim ú ( 0 = 0. Ií|->oo

Demonstração: Veja [II] página 303.

3

Teorema 1.3. (Desigualdade de Hõlder) Sejam u G L?{Rn) e v G L'(Rn) onde

l < p < oo e + -q = 1- Então uv G L^R") e

|uv| dx < |MUp|M|/,<;-

Demonstração: Veja [B] página 56.

Definição 1.4. Sejam u,v G L^M"). A convolução de u e v, denotada por u * v, é

definida por (u * <u)(.x) = / u(x - y)v{y)dy.

. / I R "

Teorema 1.5. (Desigualdade de Young) Sejam u G Ll(Rn) , v G L p (R n ) e

1 < P < oo. Então u * v G Lp(Rn) e

||U * v\\lp < ||«||L1 \\V\\LP.


Teorema 1.6. Sejam u,v G L l ( R n ) . Então


Definição 1.7. Seja a = (n-,.n:. , a ; i) uma n-upla de inteiros não negativos.

Chamamos a um multi-indice. Se a é um multi-índice e x = (xux2, • • • ,xn) G R"

escreveremos

|q | = ^ ctj = «i + .. . + a J U

.7 = 1

a! = «i!O2! . . . an\,

,.C> _ ,r.ai a2 a„ X — Xj X2 ••••'•n

dxJ \dX2J \dXn

4

Definição 1.8. 0 espaço de Schwartz (ou das funções rapidamente decrescentes),

denotado por S(Rn) ; é a coleção das u : Wl —> C tais que

u G C°°(R"), e

IM|í>,/9 = SUP I xad^u(x) I < oo xeE"

para todo par de rnulti-índices a,j3.

Vale observar que 5(R") é um, espaço métrico completo quando munido da distância

, , M v - 1 i i ^ - d o ) \ ( L 2 )

Observação 1.9. {<f>m} Ç S{Rn) converge a <j> G S(Rn) \\(prn - <j>\\a,p ^ ^ 0

para todo par de rnulti-índices a,/3.

Definição 1.10. Dados um espaço métrico X, um espaço vetorial normado Y e

uma aplicação u : X —>Y, o suporte de u é, por definição, o fecho do conjunto

{x G X ; u{x) ^ 0}.

Def inição 1.11. C0°°(Rn) é o conjunto das funções C°°(Mn) com suporte compacto.

Observação 1.12. C£°(R") Ç 5(RTl) Ç U>(R") para todo p G [1, oo]. Além disso,

estas inclusões são densas se p G [1, oo). (Veja [B] página 71)

Teorema 1.13. Seja u G 5(R"). Então ú G S{W) e valem as fórmulas

(_0i a i ( .x°u)A(O = (a°t i ) (0-

Demonstração: Para o caso n = 1 uma prova bem detalhada pode ser vista em

[II] págma 195 e para o caso geral veja [F] página 21.

Teorema 1.14. Sejam u G Lp(K"),P e [1, oo] e </> e 5(R r í)- Então u*<j>e C°°(Rn)

e dn(u * 0) = IÍ * {d"(j)) para todo rnulti-índice a.

Demonstração: Veja [F] página 17.

5

Definição 1.15. Seja u G S(Rn) . A transformada inversa de Fourier de u é

a função ú : R" —> C dada por

ú(x) = (2n)'^2 / i t »

Observação 1.16. O.s resultados anteriores válidos para a transformada de Fourier

também valem para a transformada inversa. Ern particular, o teorema 1.2.

Teorema 1.17. Sejam u, v G S{Rn). Então valem as fórmulas

ulr) = ú{-x), x G R",

(ú)v = u= (ú)\ (1-3)


Corolário 1.18. Sejam u, v G S(Wl). Então valem as fórmulas

(„ * ?;)v(x) = (2T , ) n ' 2 u{x)v{x) , x G R n ,

( « * 5 ) ( 0 = ( 2 7 T ) b / 2 M A ( 0 , í e r .

Demonstração: Consequência imediata dos teoremas 1.6 e 1.17.

Teorema 1.19. Seja S{Rn) munido da distância (1.2). Então A : 5 (R") S(R")

e um isomorfismo no sentido de espaços métricos, isto é, é vrijetiva, sobre, contínua

com inversa contínua.

Demonstração: Para o caso n = 1 veja [II] página 201. Tal demonstração pode

ser estendida para o caso geral.

Observe que a t ransformada de Fourier não pode ser definida em L 2 (R n ) através

da fórmula (1.1) uma vez que a integral que ali aparece não faz sentido em geral se

u G L2 (R"). Por exemplo, a função

{0, se x G ( - o o , l ]

x se x G (1, oo)

6

pertence a L2(R). mas não a L\R). Porém, utilizando a identidade de Parseval,

isto é, \\U\\L2 = \\u\\L2 V u G S(Wl) (Veja [II] página 314), podemos verificar que

tanto a transformada de Fourier quanto sua inversa podem ser estendidas como

operadores lineares de L 2 (R n ) em si próprio satisfazendo a identidade de Parseval.

Em particular, se u G L 2 (R n ) , dada uma sequência {u n } em S(Rn) convergindo a u

em L2(R") definimos

ú = lim ún , u = lim ún (1-4) n-> oo n—>00

onde o limite deve ser interpretado no sentido L2. Combinando (1.3) e (1.4) segue

que (ú)v = u = (ú)A para u G L 2 (R n ) . Assim,

Teorema 1.20. A transformada de Fourier

A : L 2 (R n ) —> L2(R")

•a 1—> u

definida corno a única extensão da transformada em S(Rn) a L2(Rn) é um operador

unitário. Sua inversa é a transformada inversa v.

Definição 1.21. O conjunto das distribuições temperadas, denotado por S'{R"); é

o dual topológico de 5 (R n ) , isto é,

S'(Rn) = { T : S(Rn) —> C ; T linear contínuo}.

Além disso, vamos adotar a seguinte notação:

u{i>) = ueS'(Rn), Rn).

Em particular, se u G LP{W) com 1 ) = í a(x)cix)dx. 'ij:eS{R"), •mn

temos que u G 5"(R'1).

Definição 1.22. A derivada dau de u G S'{Wl) é definida por

Definição 1.23. A transformada de Fourier de u G S'{Rn) é definida por

(U,íj) = (u , í> , i p e S ( E n ) (1.5)

e a transformada inversa por

(ÍV0) = M ^ ) , e 5 ( R n ) - ( L 6 )

Teorema 1.24. Seja u G S'{Rn). Então ú e u definidas por (1.5) e (1.6) são

distribuições temperadas. Além disso, (ú)v = u = {ú)A e a aplicação u h—>• ú é

contínua com inversa contínua.

Demonstração: Para o caso n = 1 veja [II] página 212. Tal demonstração pode

ser estendida para o caso geral.

Definição 1.25. A coleção das funções ernC°°{Wl) de crescimento lento, denotada

por Q(R"), é a colaça,o das 0 G C°°(En) tal que para todo multi-índice a existe uma

constante Ca e um inteiro não negativo Na satisfazendo

\tTHx)\<Ca(l + \4Yn

para todo x G Rn com jx| suficientemente grande.

Teorema 1.26. Sejam 0 G Q(Kn) e u G S'(Rn). Então:

(i) -ip G S{Rn), então 0-0 G S{Rn). Além disso, a aplicação 0; i—> 0'0 é contínua

de S^K71) em si próprio.

(n) O funcional linear (pu definido por

(0U/0) = (u,M>), '0e5(R")

é um elemento de S'{M.n), chamado o produto da distribuição temperada u com

a função <p.

(in) Valem as fórmulas

0a ú = H ) H ( X % ) A

nde xa u (resp. Çaú) denota o produto da função <f>(x) = Xa (resp. 0(0 = Ça)

com a, distribuição u (resp. ú).

o

Demonstração: O item (i) é consequência da regra de Leibnitz e do fato que <p

cresce menos que um polinómio e 0 decresce mais rápido que o inverso de qualquer

polinómio 110 infinito. A segunda parte segue do item (i), enquanto (iii) é con-

sequência imediata do item (ii) e do teorema 1.13.

Teorema 1.27. A função x \—> |x|A definida em W1 - {0} é integrável em uma

vizinhança de zero se, e somente se, A > - n e integrável fora de uma vizinhança de

zero se, e somente se, X < —n.


Teorema 1.28. (Generalização da Desigualdade de Young) Sejam (E,a,/j.)

um espaço de medida, 1 0 uma constante. Suponhamos que

K é uma função mensurável em E x E tal que JE\K(x,y)\dn(x) < C Vx G E,

fE \K(x, y)\d/i(y) <CVyeEeue LV(E). Então a função Tu dada por

Tu(x) = f K(x,y)u(y)dn{y)

está bem definida q.t.p. e pertence a LP(E). Além disso,

\\Tu\\L1> < C\\u\\LP.


Definição 1.29. Seja X Ç K". Urna aplicação u : X —> Km diz-se Lvpschitziana

quando 3 C > 0 tal que V x, y G A\ tem-se |u(x) - u(y)\ < C\x - y|.

Definição 1.30. Sejam X , Y espaços métricos. Um conjunto E de aplicações

u : X —> Y diz-se eqúicontínuo no ponto a e X quando V e > 07 3 5 > 0 tal que

dlr.u) < 5 em X implique d(u{x),u(a)) < £ em Y, V u G E. Se E é eqiiicontínuo

em todos os pontos de X, diz-se. simplesmente que E é eqiiicontínuo.

O resultado seguinte é consequência do teorema de Arzelá-Ascoli.

Teorema 1.31. Toda sequência eqúicontinua e pontualmente limitada de aplicações

uk : Rn —> Rm possui uma subseqúência que converge uniformemente em, cada parte

compacta de K".

Demonstração: Veja [LI] página 247.

9

Capítulo 2

Os Espaços de Sobolev em Rn

0 objetivo principal deste capítulo é definir e apresentar alguns resultados rela-

cionados com os espaços de Sobolev de tipo L2. Tais espaços serão importantes no

desenvolvimento do último capítulo.

Definição 2.1. Seja s 6 R. Os espaços de Sobolev (de tipo L2) em Rn são os

seguintes subconjuntos de S"(Rn)-'

H"(Rn) = {u e S'(Rn) ; (1 + |£ |2) s / 2ú e L2(R")}.

O espaço Hs(Wl) é de Hilbert quando munido do produto interno

(u,v) s = f (1 • ^VoiiiriLXlí-J I R "

A norma correspondente é, evidentemente,

i iuii2= í (i + m\m\2d{. J K"

De maneira equivalente, podemos definir Hs(Rrí) como sendo o completamento de

S(W) com relação à norma

IM|S = ||As'ÍÍ||/;2

onde As : —> 5(E") é 0 °Perador lvnear d('fimdo Por

(Asu)A(0 = (i + k l 2 ) s / M O -

Observemos que As+t = ASA'' para todo s, t £ R.

11

Propos ição 2.2. Sejarn s,t G R. Entõ,o:

(i) Hs(Rn) C H^W1) se s>t e esta inclusão é contínua e densa.

(u) (Hs(Rn))A = L2(W\(l + \tfydO-

(iu) 0 dual topológico de Hs(Rn), isto é, a coleção de todos os funcionais lineares

contínuos de Hs(Rn) em C, é isometricamente isomorfo a H's{Rn).

(iv) S(Rn) Ç Hs{Rn) para todo s G R e esta inclusão é densa.

Demons tração : Veja [II] página 337 e [S] página 15. •

A proposição 2.2 mostra em particular que os elementos de Hs(R"), s > 0, são

funções de quadrado integrável pois neste caso H'{Rn) Ç H°{R") = L2(Rn)- Se

s < 0, os elementos de H"{Rn) definem funcionais lineares contínuos em H^(Rn),

portanto em S(Rn), assim os elementos de f/ s '(R r i) são distribuições temperadas.

Agora veremos uma caracterização para os espaços de Sobolev.

Teorema 2.3. Sejam k inteiro positivo e s G R. Então u G H*{Rn) se, e somente

se dau G Hs~k(Rn) para |a| < k, onde as derivadas são calculadas no sentido das

distribuições. Além disso, as normas

IMI, e E ( 2 - 1 }

|o|<fc

são equivalentes.

Demons tração: Pelo teorema 1.26(iii), temos:

(,dau)A = {i)MC'à, u G 5"(Rn). (2-2)

Além disso,

i r i = i c • • • c i < a + i e i 2 r / 2 • • • ( ! + k i 2 ) Q b / 2 = t 1 + k i 2 ) h / 2 ( 2 - 3 )

Bc>0 tal que (1 + \Z\2)k/2 < * £ (2'4)

\ a \ < k

12

Então, se u G Hs{R"), \a\ < k, pela proposição 2.2(n), (2.2) e (2.3) temos que

Jr"

< í (í + i e n ^ í í i + i e i 2 ) " 7 2 ) 2 ! ^ ) ! 2 ^

= [ (i + \z\2Y\m\2dt<oo. •JRn

Isto implica que

\\cTu\\s.k < |H|., (2.5)

e d" a k ir A (R")-

Reciprocamente, se &>u G i / ' , _ f c(Rn) , | a | < k, pela proposição 2.2(ii), (2.2) e

(2.4) temos que

(i + m x o \ 2 d z = [ ((i + m k , 2 n i + \z\2y-k\m\2ds

<

= c V / {i + \z\2y-kWu)*{ç)\2dç<oo

\a\<k

onde C = c2dk e dk uma constante que depende do número de termos da soma

EW<* l ^ f . Portanto,

IMI, < c 1 ' 2 Y , l l ^ l l - * ( 2 ' 6 )

\«\<k

e u G H"{RM). Segue das desigualdades (2.5) e (2.6) que as normas em (2.1) são

equivalentes. m

Corolário 2.4. Seja k inteiro positivo, Hk(Wl) é o espaço das u G L 2 (R n ) cujas

derivadas (no sentido das distribuições) d°u G L2(R") para | a | < k, e as normas

ll-IU e £ | |ô%) |U a \ a \ < k

são equivalentes.

13

É interessante observar que para s suficientemente grande, os elementos de

H*{Rn) são funções contínuas e, em certos casos até diferenciáveis. Mas precisa-

mente, valem os seguintes resultados:

Teorema 2.5. (Lema de Sobolev) Sejas > n /2 . Então Hs(R") Ç CUR7 1) , onde

C'oo(Rn) é o espaço das funções continuas de R n em C que tendem a zero quando

|xI -> oo. Além disso, vale a desigualdade

Demonstração: Vamos mostrar que se u G HS{W") e s > n/2 então u é uma

função integrável. Temos que

uma vez que a integral no último membro da desigualdade é finita devido à hipótese

a > n/2. Com isso, pelo Teorema 1.2, u é contínua e vale o lema de Riemann-

Lebesgue, isto é,

Portanto, HS{W) Ç CUR'1)- •

Corolário 2.6. Seja s > k + n/2, k G N. Então i / s (R" ) Ç C*(R") , onde C£,(R")

é o espaço das funções de classe Ck de R" em C tais que as próprias funções e suas

derivadas até ordem k tendem a zero quando |x| —oo.

Demonstração: Seja u G //•"(R") tal que .s > A; + n/2 , A; G N. Pelo teorema

2.3, dau G Hs~k(Wl), | a | < k. Visto que s - k > n /2 , pelo teorema 2.5,

&*u G C U R r i ) , |r>:| < A;, ou seja, u G CkJR"). •

Corolário 2.7. Seja u G Hs{Rn) V s G R. Então u G C £ ( R n ) , onde C£(Rn) é o

espaço das funções de classe C°° de R" em C tais que elas e suas derivadas de todas

as ordens tendem a zero quando |ir| —> oo.

u\\l°o < C||u||.„

onde C > 0 é urna constante.

lirri u(x) = 0

14

Para enunciar o próximo resultado, definiremos a aplicaçao restrição como sendo

R : S(Rn) —^ S{R'lk) dado por Ru{y) = u(y, 0), y G R"~k.

Teorema 2.8. A aplicação restrição R estende-se a uma aplicação limitada de

H*(Rn) para H"-W2]{Rn-k) se s > k/2.

Demonstração: É suficiente mostrar que | | R u \ \ s ^ k / 2 ) é dominado por \\u\\s para

u G S(K"), pois S(Rn) é denso em //S(M"). Seja v = Ru. Com isto, temos que

Hv) = JXk Hv, De fato, pelo teorema de Fubini,

v(y) = u{y,0)

= ( 2 T T ) - ^ .' Mk •/ R

ev'ryú(r)) Ç)dr}d£,

= (2tt)-" /2 / eiri'y / ú(r], Ç)dÇdr]. J \it"-k Juk

Tomando (%) = JRk ú(7],Ç)dÇ, vale a seguinte igualdade:

v(y) = Õ(y).

Portanto,

Hri) = 0(v).

Com isso, usando a desigualdade de Hólder, temos:

\v(v)\2 - ! / u(rhí)dí|

u KA'

< (},(//, o r ( i + M + 10 T ^ (i + \v\ + 10 U Kk

Estabelecendo 1 + |//|2 = a2 e | 0 = r, o segundo fator da última expressão é igual a

> r<x> (a2 + r2)~srk~ldr = a' / (1 + /"') \// w/c

./ o ./o

onde é uma constante dada pelo volume da esfera unitária em Rk centrada na

origem (as duas integrais são iguais pela mudança de variável r at). Pelo teorema

1.27 a última integral é finita quando s > k/2, assim

)(//)|2 < c , , : ( i + \V \2)WV-' / Kr/,ora + \n\2 +

ou

l«fa) |2( l + M 2 r ( f c / 2 ) < Cs.k í |w(r/,OI2(l + \v\2 + Kl2)sdÇ

onde Cs,k > 0 é uma constante que depende somente de s e k. Integrando ambos os

lados com respeito a r/, concluímos que

M l (k/2) < CsAMÍi-

•

Agora mostraremos um lema técnico que nos será útil.

Lema 2.9. Para todo r] £ R n e. s £ R, tem,os:

(l + (l + \ri\2) ' s <2^(1 +

Demonstração: Claramente temos que

Kl < - v\ + M o. K | 2 < 2 ( K - r / | 2 + |r/|2).

Assim,

l + | í r < 2 ( l + K - r / | 2 ) ( l + |r/|2). (2.7)

Sc ò' > 0, basta elevar ambos os lados de (2.7) a potência .s. Se s < 0, basta elevar

ambos os lados de (2.7) a potência - s com £ e r/ trocados. •

Na proposição abaixo veremos que a multiplicação de funções de S(Rn) por

elementos de H*(Rn) está em HS{R").

Propos ição 2.10. Se </> £ S(R r í), então a aplicação u i—<pu em S(Rn) estende-se

a urn operador limitado em Hs(Rn) para todo s £ R.

Demonstração: Isto é equivalente a mostrar que u i—> iV((f)A~su) é limitado em

H°{Wl) = L 2 (R n ) para s £ R. Entretanto,

(A'0A_í«)a(O = (i + K I 2 ) 5 / 2 ( M ^ ) A ( 0

= (27r)-n/2(l + | í | ' 2 r / 2 ( 0 * ( A - « ) A ) ( O

= (27r)-"/2(l + K|2) s / 2 I fà-ri)(l + \Ti\2)-a,2*(v)dv J Rn

- í (2^rn'2(\ + iei2r/20(e - MI + M2)-̂ )̂̂ ,. J iR"

16

Definamos A'(Ç, r/) = (2TT)-"/2(1 + |£ | 2 ) s / 2 <fe - v)( 1 + \v\'2)~s/2- Pelo lema 2.9,

\K(tv)\ < (27r)"n/22lsl/2(l + | ^ - 7 7 | 2 ) H / 2 | f e - » 7 ) | .

Logo, JRn \K(Ç, rj)\d£ e JK,„ |/v (Ç, são limitados por

( 2 ^ ) - " / 2 2 l ^ 2 í ( l - f | £ | 2 ) l s | / 2 | < M £ M ./R»

que é finito, pois c/> decresce rapidamente no infinito. A afirmação segue do teorema

1.28. •

Enunciaremos agora mais um lema técnico que nos será de grande utilidade.

Lema 2.11. Para iodo G M" e s G M, existe urna constante Cs > 0, indepen-

dente de £ e 7i, tal que

KI + K I 2 R / 2 - ( I + M 2 Y / 2 I < ca\ç - v m + L E I 2 ) ^ + A + M 2 ) ^ ] -

Demons tração : Veja [F] página 250. •

Para o próximo lema usaremos a seguinte notação: [A,B] = AB - BA.

Lema 2.12. Dado s G R, existe urna constante C > 0 tal que para todo (f) G S(K'1)

f; u G H*"l{Rn),

|| [As, 4>}u ||o < C||(^|||.s d M I , 1-

D e m o n s t r a ç ã o : Estabelecendo u = A ' " s u , devemos mostrar que W .€ H°{Rn),

|| [ A ' \ 0 ] A L ^ | |0 < C | M | M + » , 2 | M I O -

Entretanto,

[A'", 4>]!\}~sv = As(f)A]~sv - (f)Alv.

Assim,

([A-% 0 ] A ' \ - ) A ( 0 = (A'V/>A1~,'ÍV)A(£) - ( 0 A ' W ) A ( O =

= (1 + K I Y W - ^ N O - ( 2 T T ) ( A 1W ) A ) ( 0

= (27T) " / 2 Í(1 + | t f y r 2 ( j > * ( A 1 - s v ) A ) ( 0 - / - + \v\2Y/2Hv)dri [ J M"

= / (27r)"n/2[(l + - r])(l + | r / | 2 ) ^ - fá ~ V){ 1 + \ri\2Y/2}Hv)dri J IR"

= í (271) "/2(l + \ r f n m ~ '/)[(! + lí|2)s/2 - (1 + \v\2y/2}Hv)dr]. i s »

17

Estabelecendo rj) = ( 2 ^ ) - / 2 ( l + M 2 ) ^ - + |Ç|2)'5/2 - (1 + \v\2) ' / 2],

pelos lemas 2.9 e 2.11 temos:

\K(^ rl)\ < (27i)-n'2m - - '/l[(l + líl2)^^1 + I + 1]

< C 1 ( 2 7 r ) - " / 2 2 ^ i | 0 ( í - v M - r/|[(l + - r / | 2 ) ^ + 1]

< c 2 m - r i m + v \ 2 ) u ^ •

Logo, jR„ \ K ( ^ r i M e fR„ são limitadas por

m i 2 ( i + ití2)N+nj2^ 1 /2

(1 + Kl T n t % 1/2

Cs II 0111., s | + n + 2

e a afirmação segue novamente do teorema 1.28. •

Proposição 2.13. Dado s G R, existe urna constante C > 0 tal que para todo

ó e S(Wn) e u e Hs{Rn),

Il0u||, < (sup |0(.T)|)||-;í!|s + c | |0 | | jS |+ n h 2 |MI . -L-

Demonstração: Pelo lema 2.12 temos:

||<H|, = \ \ A s M \ o = - tAS> < IIMsm||o + II [A's, (f>]u ||o

< (sup 10(.x) | ) 11 A S ' U | | o A C11011 |,s j + n + 2 1111 s — 1

= (sup |0(:/;)|)|M|.S + C | |0 | | | , | l „ + 2 | | " | | , - i -se IR"

Vejamos a seguir dois resultados que serão essenciais para demonstrar o próximo

teorema que será utilizado no capítulo 3.

Lema 2.14. Sejam è./d) € S(R") reais. Então existe C > 0 tal que

IIMIIw < C { | | 0 | U I H I h + I H I w W / I }

para todo s > 0 onde

= M\l>

18

Demonstração: Seja v = (pi'. Logo v = (27r)~7l/"20 * 'ip- Como

para. todo par ?/ G W\ segue que

•) R"

< CJ n(\Ç - v\" + \v\'MZ - v)Mfl)\dri

< + MO)

onde

^ = ( | . H 0 | ) *

V2 = 101 :

Pelo teorema 1.2 temos que,

'"i||o < II l-nAllolml/,' =

Logo,

= 11 l -NIo < +W2II0 < ^{11^110 + IK2II0}

Lema 2.15. Sejam </>,•& G 5(R") reais. Então

II [As, 0]'0||o < C{| |V0|U| |0; | | , -1 + | |V0||. ,-i | |V|U}

•para todo s > 1.

Demonstração: Seja v = [A\0]'0- Então,

= (27r)-"/2 jR , l(A(04 ' - A(r/)'5)0(£ - 77)̂ (77)̂ 77

a ( O = (i + \ o 2 y / 2

19

Utilizando o lema 2.11, obtérn-se

|£.(0I <C,{As-l(hg) + hAs-lg}A(0

M O = k i w o i , m = \ m \

Logo,

IMIo < C.dlA^^MIIo + ll^-^llo}

< C x d l ^ l l ^ i + ll/ll lL-ll&ll.-l}-

Aplicando o lema 2.14 e usando o fato que \\.\\l°° < C2IMU, temos

||7;||o < C { | | / i | U | M | , - i + | | / i | | a - i N U }

onde usamos as relações \\h\\s = || \\h\\A = | |V0|U, IM|S = \\4>\\s c \\g\\A = \\ip\U-

Isto conclui a demonstração do lema. •

Teorema 2.16. Sejam u, v G S(Rn) reais e s > 1 + n /2 . Então existe C v n > 0 tal

que || [ A v o l l o ^ c v i M U I M I ,

onde D = d" com |c*| = 1.

Demons tração : Basta tomarmos (p - v e i/j = Du no lema 2.15 e notar que

l | . | U < c s | | . | U .

O próximo resultado nos diz que Hs(Rn) é uma álgebra de Banach sempre que

s > n /2 .

Teorema 2.17. Seja s > n /2 , s G R. Então, Hs(Rn) é uma álgebra comutativa

cm relação à operação multiplicação de funções ponto a ponto, isto é, para quaisquer

u,v,w G Hx{R") a a G C, ternos:

u • V G Hs{Rn),

U • V — V • u,

20

(u + v) • w = u • W + 'U • w

e

a(u • v) = (era) • v.

Além disso, a operação aeima é uma aplicação bihnear contínua de Hs(Rn) xHs(Rn)

em Hs(R") na topologia da norma, ou seja, existe uma constante Cs<n > O tal que

| | w u | | s < C s , n | H U | i ; | | s , Vu, v G Hs(Rn).

Demonstração: Veja [S] página 20. •

Vejamos agora uma versão localizada dos espaços de Sobolev.

Definição 2.18. Seja í ] C i " um aberto. Definimos Hq(Q) como sendo o fecho de

C0°°(S1) em Hs(R").

Quando O é limitado, os espaços H ^ Q ) tem uma interessante propriedade de

compacidade: O lema de Rellich. Antes, veremos outro lema que será útil na de-

monstração deste.

Lema 2.19. Sejam íl limitado, s G R e {uk} é uma sequência em tal que

ih/c||s < C < oo, para todo k. Então existe uma subseqúência {ukj} que converge

em Hl(R") para todo t < s.

Demonstração: Seja 0 G C0°°(R") tal que <f)(x) = 1, Vx G Í2. Então uk - <puk e,

assim úk = (27r)~n/20 * úk. Pelo lema 2.9 c pela desigualdade de Hõlder, temos:

(i + iei2y/2Moi < (27T)-"/2 / (i + \t\2y/2m - v)\Mv)\dri Jun

= (2TT)-"/2 í (i + iei2)'s/2(i + \v\2rs/2m - vw + \v\2r/2\Mn)\dv J K"

< (27T) - " / ' 2 / 2 l - s l / 2 ( l + | Ç - r / | 2 ) l s ' / 2 | 0 ( í - r / ) | ( l + | r / | 2 ) ^ 2 | à A : ( / / ) | ^

< (27r)-"/ a2l s l / '2 | |0 | |N |K| | s

e para j - 1, 2,. .. , n, como

õmo = *ukm

pela mesma razão anterior,

(1 + K|2)' s /2 |9 /UA:(0I < (27r)-»/22H/2 | |x^| |H | |u f c | | f l .

21

Como ||'ufc||s < C, VA;, temos

^ ( O I ^ Í Z ^ - ^ ^ I I ^ I I h í i + IÇI2)-872

e

\djúk{Ç)\ < (27r)-n/22H/2C||x^||w(l + |£|2)"'/2

para todo k,j. Deste modo, as sequências {úk} e {djúk} são uniformemente limi-

tadas em compactos de R". Segue do teorema do valor médio que as úk's são Lips-

chitzianas em compactos de R n e isto implica que a sequência {úk} é eqiiicontínua em

compactos de R". Então, o teorema 1.31 nos garante que existe uma subseqiiência

{uk ]} que converge uniformemente em cada subconjunto compacto de R". Com isso,

afirmamos que {ukj} converge em / / t (R n ) ,V í < s.

De fato, Vi? > 0,

\\ukl-ukx= í (i + i e r ^ K c o - ^ í o r ^ JW

(I + k h w o - M O I 2 ^ líl <R

J\Z\>R

< (1 + sup |ú f c i(0 - ^ - ( 0 1 2 í |Ç| <H J\Ç\<R

+ (I + R2Y-S I + J\t\>R

< (1 + n y ^ ^ n lwnRn sup |ú f c i(0 - uk] (Ol2

\ Í \ < R

+ (l + /?2)t-'||ufci

onde wn = nR~n fmRd£- Dado e > 0, como t-s < 0 e \\uki-ukj\\s < 2C, podemos

escolher R, suficientemente grande, de modo que a segunda parcela na última ex-

pressão seja menor que s/2.\/i,j. Mas então podemos escolher i,j, suficientemente

grande, de modo que a primeira parcela seja também menor que e /2, pois {ú k ]}

converge uniformemente em compactos de R™. Logo, {itfc} é de Cauchy em H^W 1 )

para t < s, e como este é completo, temos que {ukj} converge em Hl{Rn) para t < s.

Teorema 2.20. (Lema de Rellich) Sejam t < s e íl limitado. A inclusão

Hq(Q) —> Hq{Ç}) é compacta.

22

Demonstração: Seja { u k } uma sequência limitada em H q ( Í I ) . Para cada k, escolha

uma sequência {u3k} em convergindo para uk em H s ( R n ) . Podemos assumir

que

IKII* < 2\\uk\\s,Vj, k.

Assim, {u'k.} ê limitada em H " ( R n ) . Sendo t < s, pelo lema 2.19 alguma subseqiiência

de {uk} é convergente em //'(IR"). Então para j , k pertencentes a esta subseqiiência,

temos:

11 Uj - Uk\\t < II Uj - Xí) 111 + 11 u] - uk 111 + 11 ukk - uk 111

< || Uj - u]:||4. + || Uj - uk || s + || Ukk - Uk ||,,

e a expressão à direita tende a zero quando j , k oo. Logo, {uk} é de Cauchy

em H l ( R n ) , que é Hilbert e, portanto converge em H ' ( R n ) . Com isto temos que a

inclusão — > f l ^ í l ) é compacta. •

23

Capítulo 3

Existência e Unicidade de

Soluções para a KdV

Neste capítulo apresentaremos algumas definições da teoria de semi-grupo, enun-

ciaremos o teorema de existência e unicidade da teoria quase-linear de T. Kato e

aplicaremos este para mostrar existência e unicidade de soluções da equação de

Korteweg-de Vries em espaços de Sobolev de tipo L2.

Definição 3.1. Seja X um espaço de Banach. Uma família a um, parâmetro

T(t), t e M, de operadores lineares limitados de X em X é um, C0 grupo (ou

grupo fortemente contínuo) se:

(i) T(0) = I,

(u) T(t + s) = T{t)T{.h), V t, s (E R,

(in) l im t_>0T(t)x — x, V x e A'.

De maneira, análoga, definimos C() semi-grupo para t > 0.

Definição 3.2. O gerador infinitesimal A de um C0 grupo ( C0 semi-grupo)

T(Í), Í É R (t>0), é definido por

T(t)x — x d .4./; = hm — ^ = — | t ; 0 t-> o t at

quando o limite existe. O domínio de A, denotado por D (A), é o conjunto de todos

os elementos x <G X tais que o limite existe ( no caso de C0 semi-grupo, considere

t - > o ^

25

Considere o problema de Cauchy para a equação de evolução quase-lmear

dfu + A{t,u)u = 0, 0 <t<T, u(O) = 0, (3-1)

onde A(t,u) é um operador linear para cada t, G [0,T] e cada u G X.

Hipótese (X). Suponhamos X e Y espaços de Banach reais, reflexivos com Y

contido em X contínua e densamente e S um isomorfismo de Y sobre X tal que a

norma em Y é escolhida de modo que S seja uma isometria, isto é,

W\\Y = \\S\\x-

Hipótese (A.l). Suponha que para cada (t,y) G [0 ,T] x W, onde W ê uma bola

aberta em Y centrada em y0, tem-se A(t,y) G B(V, X) no sentido que

ÍYÇD(A(t,y)) V(t, y) G [0, T] x W

(^(i,!/) B(F, X)

Além disso, suponhamos que V y G W fixo, a aplicação t G [0, T] i—> A(t,y)

pertence a C([0, T]; B(V, X)) e V t G [0,T] fixo, a aplicação y e W A(t, y) é de

Lipschitz 110 sentido que

||v4(/,, y) - A(í,z)||B(v,a-) < Anlly -

onde /i] > 0 é uma constante.

Hipótese (A.2). Suponhamos que A{t.,y)y0 G K para todo (t,,y) G [O,!1] x W e que

vale

||A(/vy)yo||r </ i2 , í G [ 0 , T ] , ? y G W

onde /í2 > 0 uma constante.

Hipótese (A.3). Suponha que para cada (t,y) G [0, T] x W, -Ã(t,y) gera um C0

scmi-grupo tal que

||e-s^(í'y)||B(A-) < s G [0,oo) e (3 G IR

( isto é, A{t,y) G G(X, 1,(1), notação de T. Kato).

Hipótese (A. l). Suponhamos que para cada (t,y) G [0,T] x W tem-se

SA(t,y)S~l = A(t,y) + B(t,y)

B{t,y)e B (A) , \\tí{t,y)\\B{X) < ^

26

onde /i3 > 0 é uma constante. A igualdade em (3.2) deve ser entendida no sentido

estrito, isto é,

x G D{A(t,y)) & S~lx G D{A{t,y)) e A(t,y)S~lx G Y.

Com isto, temos o teorema de existência e unicidade da teoria quase-linear de T.

Kato.

Teorema 3.3. Suponhamos que as hipóteses ( X ) , ( A . 1 ) - ( A 4 ) estão satisfeitas. Se

(j) ç W, então (3.1) tem urna única solução

para algum T' G (0,T].

Demonstração: Veja [K3] e [12] página 48. •

Passemos agora a uma aplicação deste a Equação de Korteweg-de Vries em es-

paços de Sobolev de tipo L2. Para isso, considere o seguinte problema de Cauchy:

í d,u + 0]u + uõxu = 0 , / > o , X- G R ( K d V ) ^ 3 )

u(0, x') = 4>(x)

Teorema 3.4. Seja s > 3/2, s G R. Para cada 0

(dependendo somente de \\<p\\s) a uma única solução u para (3.3) tal que

U G C([0,T]; H s m n a u t o , n H * - 3 ( R ) ) .

Afim de demonstrar o teorema 3.4 faremos preliminarmente uma transfor-

mação, a saber,

u{t) = P{t)v{t) (3-4)

onde P{t) : HS{R) —• HS{R) ê um operador linear definido por

27

Notemos que P( í ) , t G R, forma um Cn grupo unitário em H*{R).

De fato, se 0 G / / " (R) , então

(P(O)0) A (O = = 0 ( 0 = ( /0 ) A (O-

Isto implica que P(0) = I. Do mesmo modo,

= e^(P(s)(pr(0 = (P(t)P(sW(0

ou seja, P{t + s) = P{t)P(s). E finalmente, como

todo te R, (1 + \í\2y\(e^34> - m ) I2 < 4(1 + Kl2)'WOI2 e L\R, dÇ), pelo

ou seja, P(t) é unitário.

A seguir, mostraremos que o gerador infinitesimal de P(t), t G R, é o operador

linear -d3x : Hs y\R) —* //'S'(R) definido por

De fato, se (p G / / • , + 3(R), temos:

e para todo í t K, U + KI J (P ~ YVvÇ/l -

teorema da convergência dominada, segue que

lim ||P{t)<f> - cA||, = 0

Além disso,

m<p\\i = / ( i + ifi2)ie*,fJntei2dí

í { 1 + 1 e n C - ^ - - ' e m m J IR

28

Observemos que:

(i) Para cada Ç e R fixado, ^ ^ " —> 0 q u a n d o t

(ii) Pelo teorema, do valor médio, 3t0 G R tal que

](,ue rioç3| < = \e\\t\ => I ^ H < lí3!-

L 0 g 0 ) - < C 1 / 2K 3 | , Ví G R. Portanto,

1 - ^ 3 i 2 ( i + i f H i ^ í o i 2 < c \ e \ 2 ( i + \ t \ 2 r \ m \ 2

< C{i + \tf)s+3m)\2eLl{R,dÇ).

Com isto, pelo teorema da convergência dominada, temos

|| + dl(f)\\s —> 0 quando t 0.

Observações:

1. P(t)L(dx) = L{dx)P(t), onde L{dx) = EÍLo akdx c o m a* constante para todo

k G {0,1, 2,. .. ,N}, isto é, P(t) comuta com um operador diferencial linear

com coeficientes constantes.

2. Substituindo (3.4) em (3.3) produziremos, como veremos abaixo, uma equação

de evolução quase linear para v = v(t) que apresenta apenas uma derivada de

primeira ordem em relação a variável x. Isto nos possibilita trabalhar em um

espaço maior, como veremos. Vejamos os cálculos:

( c U ) A ( 0 = = =

= ^\dxv)A(0 = (P(t)dxu)A(0 =» dxu = P(t)dxv,

analogamente,

( ^ U ) A ( 0 = ( P ( t ) d r V ) A ( í ) d3rU = P(t)dlv,

e finalmente,

dtU = (dtP(t))v + P{t)d,v = -%P(t)v + P(t)dtv = P(t)dtv - P(t)Õ3xv.

29

Assim, ficamos com o seguinte problema de Cauchy:

— + A(t,v)v = 0, u(0) = (3-5) dt

onde A(t,y) = yP{t)dx é um operador linear definido em HS{R), s > 3/2, que só

depen de de t > 0 e y G IP^R), s > 3/2, e tem a seguinte propriedade:

Lema 3.5. Seja s > §. Se (t,y) G [0,T] x W, onde W = {y G H°(R) ; ||y||s < R},

temos que

(A(t, 0)„ > 0 G C0°°(R). (3-6)

Demonstração: De fato,

— (A(t, y)4>, <p)o = -(P(-t)P(t)yP(t)dx(t>A)o = -(P(t)ydxP(t)(t>, P(t)j>)o

= -{P{t)ydx^iP)0 = - í P{t)ydTip.'ipdx (4> = P(t)<f>)

= - f (P(t)y)dx^dx = I P(t)dxy%-d,x J K 1 -/K Z

^ c II I I I I / " ' ' C R < — sup ||y||s||V 2 < — I L / . I I 2

Portanto,

iiynsiiriiu — o L yÇ-W L

(A(t,y)(f>,<l>)Q> ~^\\P(tWo = -PUWl

onde /3 = ^ > 0.

Note que o lema 3.5 é válido também para (f) G HS{R), s > 3/2, pois C^°(K) é

denso neste espaço.

Passemos agora a verificação do teorema 3.3 para o problema de Cauchy (3.5).

No que segue, considere X = L2{R) ,Y = HS{R) ,s > 3/2 e y, z G W, onde

W = {y G HS{R) ; \\y\\s < R}. Deste modo, é claro que Y está contido contínua e

densamente em X. Além disso, 5 = (1 - d*)"'2 : Y X definido por

^ = ( ( l + |Ç|2r/2í)v,

é um isomorfismo de Y em A" e de fato uma isometria, pois

\\<í>\\s = \\S(f>\\0-

30

Com isso, fica provado a hipótese (X).

Como, para cada (í, y) G [0, T] x W, D{A{t,;//)) = Y, a demonstração da hipótese

(A.l) se resume ao seguinte lema:

L e m a 3 .6 . Valem, as seguintes afirmações:

(i) A(t,y)eB(Y,X), (í, y) G [0, T] x W.

(ti) Para cada yeW fixo, t G [0,T] i—> A(t,y) pertence a C([0, T]; B(Y, X)).

(in) \\A{t,y) - A(l, Z)\\B(Y,X) < HÍWV ~ 1̂1o, onde > 0 e urna constante.

D e m o n s t r a ç ã o : Para (t,y) G [0,T] x W fixados e </> G Y, temos que

\\A{t,y)<f>\\0 = \\yP(t)dx(f)\\Q<\\P(t)dx<l>\\^\\y\\o

< C\\P(t)dx<t>\\s , i l ? y | | o < C | | 0 | U | y | | o ,

isto é, A(t,y) G B(Y, X). Portanto (í) esta demonstrado. Quanto a (ii), observe que

\\A{t, y)4> - A(to, y)(f)\\o = \\yP{t)dx<l> - yP{t0)dx(f>||o \\0

 - A(t0,y)4>||o —> 0. Isto

encerra a demonstração de (ii). Para finalizar, vejamos que vale (iii).

De Fato,

| | ( / i ( í , y ) A(t,zM\» = | | 0 ; - z)P{t)dAb < \\PmM^\\y - * l l o

< C\\P{t)dx(t>\\,-i\\y - z | | o < C\\(p\\s\\y - z\\0.

Isto implica que | |A{t, y) - A(t, z)\\B{Y,x) < f'i\\y ~ z||o- •

Observe que W é uma bola centrada em y0 = 0. Isto implica que a hipótese

(A.2) é satisfeita trivialmente.

Vejamos agora que a hipótese (A.3) 6 satisfeita.

L e m a 3.7. Para cada (t,y) G [0,T] x W, -A{t,y) gera urn C0 serni-grupo tal que

|KS / 1 ( 1 ' ? ; ) | |B(.Y) < A s e [0, oc) e P G R . (3-7)

31

Demons tração : Vejamos que o operador -A{t,y) é fechado. Para isto, seja {<K}

uma sequencia em V tal que 0 n 0 na norma Y e -A{t,y)4>n ->• 0> na norma X .

É claro que 0 G F e como .s - 1 > 1/2,

||,í/; + / i ( t , y )0 | | o < ||-(/; + ,4(í, y)07i||o + I! - A(t,y)<f>n + A(t,y)(l>||0

< | | - 0 + A(t, y ) 0 n | | o + || - dxP{t){(f>n - 0 ) I U - | | y | ! o

< ||'0 + ;í/)0„||o + C | | 0 n — 0||s-

Fazendo n -> oo, concluímos que -A(t,y)<j> = W- Portanto, -A{t,y) é fechado.

Agora, verificaremos propriedades do operador linear (-pi - A(t,y)) : Y >• X.

Observe que pelo lema 3.5,

((/3 + A( t ,y) '0 ,0) o > 0,

Assim, dados 0; G Y e A > 0, temos que

||(A + fi + A(í, y)) 0j|o||'0!lo > |((A + /i + A(t, y))ip, V;)o|

> + +

> AII^IIS,

ou seja, ||(A + /3 + y ) ) - 0 | | o > MH'\\o- Isto é equivalente a dizer que (—(51 - A(t, y))

é dissipativo ( Veja [P] página 14). Além disso, como

| | . 4 ( 7 , , y ) ' 0 | | d = í \yP(tWA2dx< | | y | | ^ | | 5 x 0 | l o Jr

< CM\1\H€<C2U\\1

onde C2 - CSR2 > 0 é uma constante, segue que

| | ( - / i - A(t, y))-0||o < PW\\o + \\A{t, ,y)'0||o < + CUII-

Mas o operador linear [SI : V —>• X gera um C0 semi-grupo em X. Logo, pela

teoria de perturbação de semi-grupos ( Veja [P] página 84, corolário 3.5), - A ( t , y )

gera um C0 semi-grupo que satisfaz (3.7). •

Finalmente, verificaremos que vale a hipótese (A.4)

32

Lema 3.8. Para cada (t,y) G [O,T] x W temos

SA{t,y)S~l = A{t,y) + B{t,y)

B(t, y) G B ( X ) , | |B(Í,Y)| |B(A-) <

onde fj.:i > O é uma constante.

D e m o n s t r a ç ã o : Observe primeiramente que se 0 € D{A{t,y)) = K, então existe

uma única '0 e * tal que (1 - = 0- Logo,

A(t,y)S~1(l> = yP(t)dxS~^

= yP{t)dxS-2ip {(f> = S~xip)

mas (1 - e / Í 2 ' (R) , Portanto, y P ^ R O - ^ ^ 0 G ^ P o i s V é

uma álgebra de Banach. Isto implica que o operador SA{t,y)S~l : Y ^ X esta

bem definido. Segue então que

.s'. //).s" 'o = Sul^luK-S ''o

= y)4> + SyP(t)dxS~l4> - yP(t)dxSS^4>

= A(t, y)(f> + B(t, y)(j),

onde B{t,y) = [S, yP(t)dx}S~l. Agora c preciso mostrar que B(t,y) G B ( X ) .

Para isso note que

B(t,yW = [S,yP(t)dx]S-^ = S{yP(t)dxS-^)-yP(t)d^

= [S, y]dxP(t)S- V + y - W C O S " 1 - ydxP(t) 0

= [ 5 , . ' / / ; , / ' • ; / ! > ' V + ydxP{t)i> - ydxP{t

para toda 0 G C0°°(R). Logo, pelo teorema 2.16,

| | £ ( í , y ) 0 l | o = || [ S , z / l ^ P ^ S - ^ l l o

= | | [ S , y ] < M l o { * = P ( t ) S - i 1 > )

< C. V i | | y | | , | |0IU

= Z1:! II'011 o 33

onde = C U M I , < C o m o é e m S G g U e q U e

\B{t, u)\\b{x) <

D e m o n s t r a ç ã o do T e o r e m a 3.4: Verificadas as hipóteses (X), (A.1)-(A.4) para

o problema de Cauchy (3.5), o teorema 3.3 garante que existe uma única solução

, £ C ( [ 0 , n n n c u [ 0 , n v ) , T e (0,T], para o problema (3.5). Visto que

v(t) = P(t)v(t) e P{t), i G M, forma um Cn grupo unitário, então existe uma única

solução u e c ( [ 0 , T l ; H ' ( R ) ) n C l ( [ 0 I r ] ; f f - 3 ( R ) ) . s > 3 / 2 ' P a r a 0 p r o b l e m a d e

Cauchy (3.3). Isto encerra a demonstração do teorema.

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Referências Bibliográficas

[B] Brézis, H., Analyse Fonctionnelle Théorie et Applications, Masson, Paris, 1983.

[F] Folland, G.B., Introduchon to Partial Differential Equatwns, Princeton Uni-

versity Press, Princeton, 1976.

[11] Iório Jr., R-J-, Iório, V.M., Equações Parciais Diferenciais: Uma Introdução,

IMPA, Rio de Janeiro, 1988.

[12] Iório Jr., R.J., Nunes, W.V.L., Introdução às Equações de Evolução não Li-

neares, IMPA, Rio de Janeiro, 1993.

[G] Guimarães, C.M., Um Teorema de Compacidade e a Equação de Korteweg-de

Vries , dissertação de mestrado, ICMC-USP, São Carlos, 1993.

[Kl] Kato, T., On the Cauchy Problem for thc (Generahzed) Korteweg-de Vries

Equatwns, Studies m Appl. M a t h , Adv. m Math. Suppl. Studies, Academic

Press, Vol.8, (1983), 93-128.

[K2] Kato, T., On the Korteweg-de Vries Equation, Manuscripta Math., Vol.28,

(1979), 89-99.

[K3] Kato, T., Quasi-hnear equations of evolution, unth applications to partial diffe-

rential equatwns, Lecture Notes in Math., 448, (1975), 25-70.

[LI] Lages, E.L., Espaços Métricos, IMPA, Rio de Janeiro, 1977.

[L2] Lages, E.L., Curso de Análise, Volume 2, IMPA, Rio de Janeiro, 1981.

[P] Pa/v. A., Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Diffe-

rential Equatwns, Springer Verlag, New York, 1983.

35

[S] Santos, M.M., A Versão de Kato-Lai do Método de Galerkin e a Equação de

Korteweg-de Vnes (KdV) , dissertação de mestrado, IMPA, Rio de Janeiro,

1988.

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Uma aplicação da teoria quase-linea dre T. Kato à KdV em ...SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO...

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