UMA INTRODUÇÃO À TEORIA DAS DISTRIBUIÇÕES DE ORDEM FINITA

Manuel L. Esquível e

João Pedro Cabral

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UMA INTRODUÇÃO À TEORIA DAS DISTRIBUIÇÕES DE ORDEM FINITA

Manuel L. Esquível e

João Pedro Cabral

Universidade Nova de Lisboa Faculdade de Ciências e Tecnologia

Departamento de Matemática 2825 Monte de Caparica

RESUMO

Na primeira parte partindo de uma ideia de J. Sebastião e Silva, desenvolvemos sob a forma de uma proposta de tema de estudo, uma teoria das distribuições que utiliza apenas conceitos de Algebra e Análise Matemática correntemente ensinados num primeiro ano de uma Licenciatura em Matemática em Portugal. Na segunda parte apresentamos uma aplicação gráfica da aproximação de funções por distribuições, elaborado por Dr. João Pedro Cabral baseado no texto da primeira parte.

3

Soit dábord E un espace de Banach et considérons léspace DK des fonctions numériques ϕ(x) d’une variable, indefiniment dérivables et nulles en dehors dún intervalle borné k = [a,b ]. On démontre alors que l' éxpression générale des applications lineaires continues de Dk dans E est:

! "#$=

b

a

Knn Ddxxxf %%%& ,)()()1()( )(

oú f est une fonction continue dans [a,b ], à valeurs dans E , et n un entier ≥ 0, le couple (f,x) dependant de θ(mais pas de façon univoque)

in "SUR LA DEFINITION ET LA STRUCTURE DES DISTRIBUTIONS VECTORIELLES" par J. SEBASTIÃO E SILVA PORTUGALIAE MATHEMATICA Vol. 19 - Fax. 1 - 1960

4

INDICE Iª - PARTE Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Os espaços utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Exemplos notáveis de funções teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Operadores notáveis sobre )(RC

! e D(R) . . . . . . . . . . . . . . 12 Médias de uma função contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Algumas distribuições sobre R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Extensão dos operadores de derivação e primitivação . . . . . 18 Multiplicação por uma função de )(RC

! . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Aplicação do cálculo em D ao problema da introdução . . . . . 19 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 IIª PARTE …………………………………………………………….. 23

5

PRIMEIRA PARTE

INTRODUÇAO I

6

Uma aplicação f de um conjunto E qualquer num conjunto F é para nós [1] um subconjunto f! de E x F, a que chamamos o gráfico de f, que verifica as duas propriedades: 1) ! x " E # y " F (x,y) " $

f

2) ! x " E ! y1 y

2 " F (x,y

1), (x,y

2) " $

f % y

1 = y

2

Se E for vazio então E x F é vazio, só existe por isso uma possibilidade para f! que é f! =∅, as propriedades 1) e 2) são trivialmente verificadas e f é a aplicação vazia de ∅ em f . Se F for vazio então E x F é vazio e por isso f! terá de ser vazio também. No entanto, neste caso, as propriedades só serão válidas se E também for vazio. Nessa condição f é a aplicação vazia do vazio nele próprio isto é a aplicação identidade no vazio. "Conhecer" f é portanto conhecer uma regra definida sobre todo o conjunto E e que a um ponto x de E faz sempre corresponder um ponto y de F (pela propriedade 1)) e só um ponto de F pela (propriedade 2)). A esse ponto bem definido podemos chamar sem riscos de ambiguidade f(x) , a imagem em F, por f de x de E . Se E for não vazio então a diagonal de E , Δ= {(x,x) : x Œ E } é o gráfico da aplicação IdE , a identidade de E , definida pela regra:

! x " E IdE (x) = x .

Se considerarmos E = F = R às aplicações de E em F chamamos funções reais de variável real. "Conhecer" uma função f significa habitualmente para nós "conhecer" a familia de números reais ( ) Rxxf !)(

1, familia esta obtida por uma regra ou processo que supomos definido completamente e sem ambiguidade. Como exemplo de regras que admitimos geralmente serem definidas completamente e sem ambiguidade temos:

- As regras que fazem intervir a estrutura de corpo comutativo de que R pode ser munido, permitindo por exemplo definir as funções polinomiais e as funções racionais. - As que utilizem, através da noção de composição de aplicações, outras

funções supostamente já definidas, como por exemplo a função logaritmo de base e e a sua inversa, a função exponencial de base e, as funções

1 Admitimos habitualmente que um número real é "conhecido" quando por exemplo sabemos como calcular uma sucessão de Cunha-Cauchy de suas aproximações racionais.

7

exponenciais de base real estritamente positiva e as suas inversas, as funções trigonométricas transcendentes e hiperbólicas, etc.

- As que utilizam processos de passagem ao limite como por exemplo a definição de uma função como a soma de uma série de funções convergentes ou como um integral de Riemann de uma família de funções dependendo de um parâmetro.

II

Consideremos o seguinte problema: Determinar, se possível a regra que rege a evolução no tempo do preço do ouro numa determinada bolsa (Nova York, Paris, Tokyo). As primeiras quatro hipóteses seguintes são discutíveis e embora restringindo e tornando mais definido o problema podem parecer naturais quando analizadas numa perspectiva que tome em consideração os dados estatísticos disponíveis sobre o preço do ouro.

1ªH.) A regra que descreve a evolução temporal do preço do ouro numa bolsa define uma função real de variável real p(t). 2ªH.) Se Δt representar um intervalo de tempo arbitrariamente pequeno, o preço do ouro no instante t + Δt é igual ao preço do ouro no instante t somado com uma outra função de t, seja ϑ(t). 3ªH.) ϑ(t) é a soma de uma função de t, E(t), que resumirá as influências exteriores e de uma função de t proporcional ao preço do ouro no instante t . 4ªH.) A influência de ϑ(t) no preço do ouro no instante t + Δt é proporcional ao intervalo de tempo Δt .

As quatro hipóteses apresentadas constituem um modelo económico que pode resumir-se na expressão seguinte:

! k " R+* (= ]0, + #[) $ t " R ! % > 0

$ &t " [- %, + % ] p(t + &t) = p(t) + &t(k p(t) + E(t))

(1)

O problema matemático posto por este modelo económico não está suficientemente determinado de forma a que se possa obter uma solução. No entanto para Δt não nulo a equação (1) pode escrever-se de forma equivalente:

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! k " R+* # t " R ! $ >0 # %t " [- $, + $ ] \ {0 }

%t

p(t + %t) - p(t) = k p(t) + E(t)

(2)

5ªH.) Se suposermos que p(t) é uma função continuamente derivável, tomando o limite em ambos os membros da equação (2) quando Δt tende para zero, dá-nos:

! k " R+* # t " R

dt

dp(t) = k p(t) + E(t) (3)

o que constitui um novo problema matemático onde o pretendido é agora a determinação de todas as funções deriváveis p , que satisfaçam (3). Na ausência de influências exteriores isto é:

! t " R E(t) = 0 o problema reduz-se a:

! k " R+* # t " R

dt

dp(t) = k p(t) (4)

A função p(t) = λekt sendo λ uma constante real qualquer verifica a equação (4). Podemos supor agora que λ é de facto uma função de t isto é que p(t) = λ (t) ekt. Derivando vem:

dt

dp(t) =

dtd !(t)

ekt + !(t) k ekt

Substituindo esta expressão em (3) vem:

dt

d !(t) =

"#$E(t) . e-kt %

&' (5)

6ªH.) Se suposermos que E(t) é contínua e que portanto existem primitivas da função que figura no 2º membro da equação (5) temos então a: Conclusão: O problema económico proposto tem a seguinte solução: Se considerarmos as hipóteses 1ªH. a 6ªH. a forma geral da função p(t) é-nos dada por:

9

! t " R p(t) = P rm [ E(t) . e-kt ] . ekt

isto é pelo produto de uma primitiva qualquer de E(t) e-kt por ekt.

III

Na resolução do problema em II, as duas últimas hipóteses 5ªH. e 6ªH. não são de facto passíveis de uma justificação económica qualquer. Poder-se-ia ainda objectar ao modelo económico proposto, que p(t) devendo sempre ser uma correspondência bem definida não têm porquê ser uma função. Os dados p1 , ..., pN disponíveis são os preços observados num conjunto finito t1 ,..., tN de instantes e portanto, a hipótese que fizemos sobre a existência de uma função real de variável real p tal que:

! j " {1, ..., N } (tj, p

j) " #

p também não parece à partida ter uma motivação essencialmente económica. Para efeitos de uma resolução matemática mais geral do modelo económico proposto em II, justifica-se a utilização de noções matemáticas que generalizem, em determinada perspectiva, a noção de função que utilizámos e onde as operações de derivação e primitivação tenham significado. Nos anos 50 deste século o matemático francês Laurent Schwartz sistematizou na teoria das distribuições uma categoria matemática para a qual estão definidas operações de derivação e primitivação com condições de aplicação muito gerais. O que se segue é um estudo simplificado desta teoria baseado numa representação das funções contínuas pelas suas médias generalizadas - definidas adiante - representação essa que permite reconstruir as funções contínuas ponto por ponto a partir do cálculo dessas médias.

10

- OS ESPAÇOS UTILIZADOS - RR = espaço vectorial sobre R das funções reais de variável real. - C0( R) = {f ∈RR : f é contínua em R}

!"#

C0 ( R) é um sub-espaço vectorial (s.e.v.) de R

R

i.e. $ f, g % C0( R) $ & , µ % R &f + µg % C

0( R)

'()

- C0( R) = {f ∈RR : f ´ existe e é contínua em R}

f´ é a derivada f i.e. a função real de variável definida por

! x " R f´(x) = lim h

f(x + h) - f (x)

#$%

&'(

h )0

[ ])(C de s.e.v. um é )( 01

RRC - por indução é possível definir:

! n " 1 Cn

( R ) = {f # RR

: f ́ # Cn - 1

( R ) } [ ( )

Nn

nRC !)( é portanto uma família decrescente - no sentido da inclusão - de sub-

espaços vectoriais de RR. ]

C! ( R ) = "

n=0

! C

n ( R)

[ )(RC

! é um sub espaço vectorial de RR e não é o e. v. trivial {0 }] .

Por exemplo: Se f(x) = ex

! x " R)

Então f ! C "

( R) - [ ]{ }0| ,:)()(

ba,!"#"= $

cRbaRCRD %%

11

[ D( R) = é o espaço vectorial das FUNÇÕES TESTE, que são as funções )(RC

!"# que se anulam no complementar [ ]cba, de um intervalo fechado limitado [a, b ]. Ver exemplos nas figuras juntas à introdução

]

!"#

f1 (x) = e

- 1-x2

1

| x | < 1

= 0 | x | $ 1 , etc

EXEMPLOS NOTAVEIS DE FUNÇÕES TESTE

AS APROXIMAÇÕES DA IDENTIDADE

Seja

!0(t ) = e

-1 - t

2

1

| x | < 1

= 0 | x | " 1 Questão: a) D!0" - mostre por indução que a )(0 n! , a nésima derivada de 0! , se

pode escrever como produto de uma fracção racional por 0! (t) , lá onde 0! não se anula e que em t = ± 1 não há problemas. b) Mostre que !

R

dtt)(0" existe em *

+R i.e. é um número real estritamente

positivo. Seja

!0(t ) =

"R

!0(t ) dt

!0(t )

Então

!0 " D e #R

!0(t) dt = 1

. . Seja agora para e > 0 qualquer

! t " R #$0 (t ) = $

1 #0( $t)

Questão: Mostre que:

12

1) ! " > 0 #"0 $ D

2) ! " > 0 ! t $ R #"0(t) = 0 % | t | & 0

3) !

R

"#0 (t) dt = 1 $ # > 0

. Considere agora o operador de translacção ( )

0x! por 0x ( 0x ∈ R) definido

em RR por:

( )00 )( ,

0xtftfRxRf x

R !="#"# $ Questão:

Mostre que:

!"#

$ x0 % R &x

0 % L( R

R , R

R)

'()

i.e. é uma aplicação

linear de RR

em RR.

Mostre que a restrição de

0x! a )(RC

! é ainda uma transformação linear desse espaço nele próprio.

OPERADORES NOTAVEIS SOBRE )( e )( RDRC!

Def. 1) Para Rx !0 , fP

xrm0 é a função real definida por:

P r m

x0

f(t ) = !x

0

t

f (x ) dx .

Prm = Primitivação OBS: 0x

rmP está bem definido desde que )(0 RCf ! . Questão: Mostre que:

1 ) ! x0" R P

rm

x0 " L(C

#( R) , C

#( R)).

2 ) ! x0" R P

rm

x0 " L( D ( R) , C

#( R))

Def. 2) Seja para )(1 RCf !

13

Der f = f ́! C

0 ( R)

Questão: Mostre que: 1) Der ! L(C

" ( R) , C

"( R)

2) Der ! L(D( R) , D( R))

3) Der 0 P rm

x0 (f) --- f

4) Prm

x0

0 Der (f) --- f - f(x0).

Seja agora para Rx !0 e 0>! qualquer e 0x

!" definida por:

! t " R #$

x0 (t ) = %x

0 #$

0 (t ) = #$

0 (t - x0

)

Questão: Mostre que:

1) ! " > 0 ! x0 # R $"

x0 # D

2) ! " > 0 ! x

0 # R ! t # R

$"

x0 (t) = 0 % t # [ x

0 - ", x

0 + " ]

c

3) !R

"#

x0 (t) dt = 1

MÉDIAS DE UMA FUNÇÃO CONTINUA

Seja dada f∈ C0 ( R) e n ∈ N ( = { 0, 1, 2, ..., n, ... }) , para ϕ ∈ D sabemos que por definição existem a, b, ∈ R tais que [ ] 0|

,=c

ba! i.e. tal que ϕ se

anula no complementar de um intervalo [ a, b ]. (fechado limitado). Considere:

Mf

n ( !) = (- 1 )

n "

a

b

f (t ) !( n ) (t ) dt .

Questão: Mostre que )(!nfM é um número real bem definido. Como )(. nf ! é uma

função contínua (porquê ?) basta verificar que )(!nfM não depende de a e b.

14

Repare-se que os números reais a, b para os quais se tem [ ] 0|,

=cba

! não são únicos.

Comece por considerar c, d ∈R tais que [ ] 0|,

=cdc

! e mostre que no caso c≤ a <

<b≤ d :

!c

d

f(t) "(n) (t) dt = !

c

a

f(t) "(n) (t) dt. + !a

b

f(t) "(n) (t) dt

+ !b

d

f(t) "(n) (t) dt = !a

b

f(t) "(n) (t) dt.

Proceda depois à análise do caso geral. Def.: Chamamos n

fM MÉDIA DE ORDEM n ∈ N DE f, )(0 RCf ! , à aplicação definida em D( R) e tomando valores em R por:

! " # D Mf

n ( ") = (- 1 )

n $

R

f (t ) "( n ) (t ) dt .

Questão: Mostre que 1) n

fM é uma forma linear i.e. que nfM é linear de D( R) em

R. OBS: (Fundamental) Sejam )(, 0

21 RCff ! . Então:

!"# $ % & D M

f1

0 ( %) = M

f2

0 ( %)

'() * f

1 = f

2 .

Questão: Suponha o contrário i.e. que existe ( ) ( )02010 tq. xfxfRx !" . Mostre que ] [ )()(,, tq.0 2100 tftfxxt !+"#$>% &&& (utilizará a continuidade de f1 e f2 em x0 .) . Mostre que então: ( ) ( )0

2

0

1

00 x

f

x

fMM !! "" #

o integral de uma função não nula de sinal constante é não nulo. Teorema:

15

! f " C0( R) ! x

0 " R lim M

f

0 ( #$

x0) = f(x

0) |

|___________________|

$%0|

Δ Questão: Suponha x0 = 0 1)

!!! M

f

0 ( "#

0) - f(0) !!! $ %

-#

+#

| f(0) - f(t) | "#0 (t) dt

2) Mostre que ! " > 0 # a ́< $ tq.

! " > 0 " < # ́ $

%%% M

f

0 ( &

"0) - f(0)

%%% ' (

(usará a continuidade de f em zero) 3) Passe ao caso x0 qualquer ∇ Teorema:

! f " C1 ( R) ! # " D ( R) M

f

1 ( #) = M

f́

0 ( #)

||_______________

Δ Questão: Escreva segundo a definição 0

fM ! , integre por partes o integral, anule o termo integrado utilizando o facto que para a, b bem escolhidos [ ] 0|

,=c

ba! . ∇

Corolário:

! f " C1 ( R) lim M

f

1 ( #$

x0) = f (́x

0)

$%0 Δ Questão : Utilize os dois teoremas anteriores. ∇

[Este resultado mostra que "conhecer" as medias de ordem 1 de f equivale a "conhecer" a primeira derivada de f desde que f ∈ C1. No que vai seguir-se vamos mostrar que esta observação permite definir uma noção de derivação com boas propriedades sobre um espaço maior que D ].

Generalização:

! " # N* ! f # C"

Mf

" = M

f

0 ( ")

Δ Questão: Mostre que assim é (por indução). ∇

16

ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES SOBRE R Seja D * o dual algébrico de D i.e. o conjunto de todas as formas lineares de D i.e. ainda o conjunto de todas as aplicações lineares de D no seu corpo de base R. Def.1 - Seja n ∈ N. Seja:

Dn

= { T ! D * : ( " f ! C0 : T = M

f

n) }

[ Dn é o conjunto de todas as formas lineares sobre D que se podem escrever como médias de ordem n para uma certa função f ∈ 0

C ]

2 - Seja D = ! D

n

n "N RESULTADO (Fundamental) D é um espaço vectorial sobre R. Δ Questão : Suponha que DTT !21, então para n∈N e p∈N teremos (por exemplo)

pn

fnf

MTMT+

==21

21 e com )(, 021 RCff ! .

1) Mostre que:

T1 = M

(Prm

x0

f1)

n+1

para um x0 que escolherá e por indução que pn

gMT+

=1 onde pCg ! e poderá

ser:

g = P rm

x0

0 P rm

x0

0 ... 0 P rm

x0

f1 .

2) Então

T1 + T

2 = M

(f+g)

n+p

3) Para a multiplicação por um escalar é trivial n

fnf MM !! = .

17

NOTAÇÃO: Aos elementos de D chmamos DISTRIBUIÇÕES sobre R. EXEMPLO 1) A aplicação

0

00

fMf

DC

a

!

permite identificar 00

e DC . Δ Questão : Mostre que é uma aplicação injectiva e sobrejectiva. ∇ EXEMPLO 2) Seja !F a função real de variável real definida por:

F!(t) = 0 se t " 0

= t se t # 0 .

Obviamente )(0 RCF !" . Def: DM

F!=

2

0 "" é a DISTRIBUIÇÃO DE DIRAC EM ZERO

RESULTADO:

! " # D MF$

2 ( ") = "(0 )

ΔQuestão : integre por partes e utilize o facto que qualquer ϕ∈D se anula fora de um intervalo fechado limitado. ∇

18

EXTENSÃO DOS OPERADORES DE DERIVAÇÃO

PRIMITIVAÇÃO TRANSLACÇÃO DE

Def: A aplicação

1

:~

+

!

nf

nf MM

DDerD

a

é a DERIVAÇÃO em D RESULTADOS: 1) ( )DDLerD ,

~!

2) ( ) DererDpNp p

C!"#$ |

~,1,

[ estes resultados mostram que o operador erD

~ é linear como o operador Der em D e que coincide com este último desde que o objecto seja suficientemente regular; daqui para a frente não precisamos distinguir erD

~ e Der ]. Questão Δ: para demonstrar 2) utilize a identificação entre C0 e D0 e que

Cp s. e. v. C

0.

Def: A aplicação

!"

!#

$

%

&

'1

00

,1

:~

0

0

nf

nf

fPf

xrm

MMn

MM

DDP

xrm

a

a

é a PRIMITIVAÇÃO em D RESULTADOS: 1) ( )DDLPrm ,

~!

2) Drm IdPerD =°

~

~ [ Em virtude da definição de rmP e destes resultados não distinguiremos rmP

~ e erD~ ]

[Observe que há como que uma "inconsistência" no facto que para n≥1 todos

19

os operadores 0~ xrmP se confundirem quando actuam em n

fM (independentemente de x0 )]

Questão: Verifique que 0~ xrmP está bem definido e depois utilize os resultados sobre

rmP e Der. Questão: Para x0∈R defina um operador de translacção

0

~x

! sobre D de forma a

que quando restringido a C0 coincida com 0x

! .

MULTIPLICAÇÃO POR UMA

FUNÇÃO DE )(RC!

Seja "⊗" a operação de Multiplicação definida para g ∈ )(RC

! e DM nf ! por:

n

gfnf MMg

.=! (onde f.g é o produto de funções usual).

RESULTADOS:1) A multiplicação por g assim definida é um operador linear

de D em D. 2) Este operador restringido 0

C ( ou a 0D ) coincide com a

multiplicação de funções habitual. 3) FORMULA DE LEIBNITZ (generalizada)

( ) 11g ,

+!+!=!"# nf

nf

nf MgMDerMgDerCf

Δ Questão: Para demonstrar use a identificação entre C0 e D

0

e a observação fundamental página 5, pense na fórmula de Leibnitz usual

(f . g)́ = f .́g + f.g´

APLICAÇÃO DO CALCULO EM D AO

PROBLEMA DA INTRODUÇÃO

Supondo que no problema da introdução as influências exteriores E(t) são, não uma função de )(0 RC , mas agora sim um elemento de D.

0

fM

20

Teorema: Seja ( ) ktkt

rm eeEPp !!= "~ [era a solução do problema só que como )(0 RCE! tinhamos:

( )[ ] ktktrm eetEPp .).(~ !=

Então se n

fME = com )(0 RCf ! temos: P = M

f

n-1 se n ! 1

P = P rm (f . e-kt) . ekt se n = 0 .

"#$

Δ: basta fazer as contas utilizando o que já sabe sobre os operadores erD

~ , rmP~ e ⊗

(em que a multiplicação é pelas funções kte! e kt

e ambas em )(RC! .

[Repare-se que no caso n = 0 a solução é exactamente a que era dada se E pertencesse a )(RC

! ]. PROBLEMA: (este problema é digamos a motivação das aplicações deste trabalho; é talvez a parte mais atractiva). Suponha que quer que p∈D e que p tenha a forma

p = !k=1

N a

k "

tk

onde: Rak ! , k=1,2,..,N e ( ) 0

~ !"!kk tt #= com Rtk ! e ( )kt!"

~ o operador de translacção definido nas distribuições [ para o caso de não ter conseguido lá atrás verifique que:

( )

nf

nfx

xMM

00

~

!=

""

é uma boa definição de operador de translacção nas distribuições] . Determine E∈D de forma a que

( ) ktktrm eeEPp !!= "~

21

(Sugestão): experimente

E = !k=1

N b

k "

-tk (M

F#

)

e tente determinar os bk que façam funcionar o esquema. REFERENCIAS [1] - EXBRAYAT, J. M. ; MAZET, P. ALGÉBRE 1. Notions Fondamentales de la Théorie des ensembles HATIER UNIVERSITÉ PARIS 1971 (página 20 e seguintes) - GODEMENT, R COURS D'ALGÉBRE Colletion Enseignement des Sciences HERMANN PARIS 1966 (página 53 e seguintes).

22

SEGUNDA PARTE

23

Nesta secção, vamos trabalhar graficamente dois dos resultados obtidos, nomeadamente: i) ( ) ( ) ( )lim , ,

!!"

#= $ % & $%

0

00

00

0M f x f C xfx

ii) ( ) ( ) ( )lim , ,!

!"#

$ = $ % & ' %&0

10

10

0M f x f C xfx

aplicando-os de uma forma mais geral. Comecemos por fixar ε>0 e ( )f C! "0 . Com base no que foi dito, podemos construir uma função continua da seguinte forma:

h! :"# "

( )x M fx! 0 "#

Por i), temos que as funções h! , ε>0, funcionam como aproximações por funções contínuas de f. Na verdade, ao observarmos os exemplos, fica-se com a ideia que na realidade são mais do que contínuas! A ideia será fixar alguns valores para ε, e obter o gráfico de h! para uma certa função f. Para tal, construiu-se um programa em QBASIC para gerar valores para h! , sendo esses valores guardados num ficheiro de tipo texto (ficheiro com a extensão txt). Finalmente, usando esses valores e o utilitário EXCEL, obteve-se os gráficos desejados. Passamos agora a apresentar esse programa, e a explicar brevemente o seu funcionamento. 1 CLS 10 DIM X(2000) 20 DIM Y(2000) 30 DIM LE(320) 40 REM Defina aqui o seu ficheiro 50 OPEN "NOME.TXT" FOR OUTPUT AS #1 LEN = 9999 60 REM Defina aqui a sua função 70 DEF FNFUNCAO (T, G, M) = função 1 / (M * .4439935) * EXP(-1 / (1 - ((T - G) / M) ^ 2)) 80 LET A = ε: FOR PIXEL = 60 TO 260 90 LET COO = (PIXEL - 160) * .04 100 LET EXTINF = COO - A: LET EXTSUP = COO + A 110 LET AMPLITUDE = (EXTSUP - EXTINF) / 3000 120 FOR I = 2 TO 1000 130 LET X(I) = EXTINF + (I - 1) * (EXTSUP - EXTINF) / 1000 140 IF I MOD 2 <> 0 THEN LET K = 4 ELSE LET K = 2 150 LET Y(I) = K * FNFUNCAO(X(I), COO, A) 160 NEXT I 170 LET SOMATORIO = 0 180 FOR R = 2 TO 1000: LET SOMATORIO = SOMATORIO + Y(R): NEXT R 190 LET INTEGRAL = AMPLITUDE * SOMATORIO 200 LET LE(PIXEL) = INTEGRAL 210 PRINT INTEGRAL 220 WRITE #1, LE(PIXEL) 230 NEXT PIXEL Todo o que está em itálico representa o que utilizador tem que introduzir na listagem., conforme o caso que deseja estudar, antes de por o programa a correr. Vamos agora explicar o funcionamento de cada linha:

24

• 0-30:Limpa o ecrã e prepara as variáveis X, Y, LE. • 40-50:Cria um ficheiro sequencial, no qual o computador vai escrever os valores da distribuição. A palavra nome em itálico dentro das aspas substitui-se pelo nome desejado para o ficheiro. • 60-70:Na linha 70 define-se a função. Onde a palavra função em itálico é substituída pela expressão da função que queremos aproximar. O parâmetro T representa a variável, G representa o valor de x0 , e M o de ε. • 80:Inicia-se o ciclo para calcular o valor da distribuição. Dá-se o valor de ε à variável A. • 90:Transforma pixels em valores reais. Vamos calcular os valores da distribuição em 201 valores reais entre -4 e 4 (incluindo estes extremos), com saltos de 0.04. • 100:Calcula os extremos de integração. • 110-180:Calcula os integrais necessários ao cálculo das distribuições. Para se calcular estes integrais, recorreu-se à formula de Simpson. Mas como estes integrais são integrais impróprios, desprezou-se os extremos do intervalo de integração. Na linha 110 calcula-se uma constante necessária à formula de Simpson. Na linha 120 inicia-se o ciclo para calcular as imagens (calculadas na linha 150) dos extremos da partição (calculados na linha 130). O k que aparece na linha 150 toma o valor 2 ou 4, conforme I é par ou ímpar (operação que é feita na linha 140). A linha 160 fecha o ciclo. Nas linhas 170 e 180 efectua-se a soma dos valores obtidos na linha 150. • Calcula o valor da distribuição. • 200-220:Imprime o valor de cada distribuição no ecrã, e escreve esses valores no ficheiro sequencial aberto. Passemos agora aos exemplos propriamente ditos. Para começar, vamos ver três aproximações para f x x( ) = , função que é continua em todo seu domínio. O gráfico abaixo apresentado corresponde à aproximação com ε=0.9, onde y h= 0 9. .

y

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

Figura 1

Observando o gráfico, existe um factor que se realça imediatamente. Uma característica da função módulo é que é diferenciável em todo o ℜ, com excepção do ponto zero. O gráfico da função obtida é diferenciável em todo o ℜ! Na realidade o

25

“bico” da função módulo foi “suavizado”, por algo semelhante a uma parábola. Vejamos agora o gráfico de ε=0.5, onde y h= 0 5. .

y

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

Figura 2 Como seria de esperar, o “fenómeno de suavização” volta a repetir-se, mas agora numa vizinhança mais pequena de 0. Para finalizar este exemplo, vamos apresentar o gráfico para ε=0.1, onde y h= 01. .

y

0

1

2

-2 -1 0 1 2

y

Figura 3

As alterações para esta aproximação já são menos visíveis, pelo que foi necessário restringir o gráfico ao intervalo [-2,2] para uma melhor visualização do que se passa numa vizinhança de zero. Realmente, já se verifica uma boa aproximação à função módulo, mantendo-se uma “suavização” numa vizinhança de zero, sendo essa vizinhança muito pequena. Este exemplo levanta uma questão, cuja resposta deixamos ao cuidado do leitor, e que passamos a apresentar:

Seja ( )f C! "0 e ε>0. Será que ( ) ( ) ( )h x M Cfx

! !"= # $0 1 ?

26

Voltemos agora ao resultado indicado em i). Na verdade, para ( )M fx00!"

existir basta garantir a integrabilidade de f em [ ]x x0 0! +" ", . Podemos portanto

relaxar as condições indicadas em i). Seja I ! " numerável e ( )f C I! "0 \ tal que em todos os pontos de I os limites à esquerda e à direita de f existem e são finitos. Nestas condições, f é integrável em qualquer intervalo fechado de ℜ. O resultado i) garante que

( )! "# =$

x I M f xfx\ , lim ( )

%%&

0

0

A questão reside nos pontos de I. Para tal, vamos considerar { }( )f C! "0 0\ ,

definida por f xx

x( )

,

,=

! <

"

#$%

1 0

1 0. As figuras 4,5 e 6 correspondem ás aproximações

desta função para, respectivamente, ε=0.9, ε=0.5 e ε=0.01, onde se tem, respectivamente, y h= 0 9. , y h= 0 5. e y h= 0 01. .

y

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

Figura 4

27

y

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

Figura 5

y

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 0 1

y

Figura 6

Observando os gráficos, verificamos que acontece o mesmo processo de “suavização” que aconteceu para o módulo, verificando-se a continuidade e a diferenciabilidade em todo o ℜ das aproximações, facto que não acontecia para f. Nos três gráficos verificamos que o valor das aproximações no ponto zero é zero. O que se passará no limite? Fixemos ε>0 qualquer, então

( )M f t t dt t dt t dtf0 0 0 0

00

0

! ! ! !" "

"

"

"

"

"

"

= = # +

# #

$ $ $( ) ( ) ( ) ( )

mas como ! !" "0 0( ) ( )# =t t , temos que ! !"

"

"

"0

00

0

( ) ( )t dt t dt

#

$ $= , pelo que ( )M f0 0!" =0.

Assim obtemos a conclusão que ( )lim!

!"#

=0

0 00M f . A função limite das aproximações

estará então definida da seguinte forma:

28

( )lim

,

,

,!

!"#

=

$ <

=

>

%

&'

('0

0

1 0

0 0

1 0

M

x

x

x

fx

Comparando a nova função obtida com a original, verificamos que continuamos a não ter continuidade em zero, mas que o valor obtido agora em zero é diferente da função original, ou seja, as duas funções coincidem, com excepção no ponto zero. Analisemos agora o resultado ii). Como anteriormente, a existência de

( )M fx10!" é garantida pela integrabilidade de f. Assim obtemos uma forma de

“derivação” mais geral, definida da seguinte forma: Seja I ! " numerável e ( )f C I! "0 \ tal que em todos os pontos de I os limites à esquerda e à direita de f

existem e são finitos. Seja ainda ε>0 e ( )h x M xnfn x

! !"( ) ,= # $% . Definimos derivação da forma dada na secção anterior, isto é,

( )( ) ( ) ( )Der h x h x M xn nfn x ! ! !"( ) ( ) ,= = # $%+ +1 1 . Será interessante calcular lim ( )

h!!

1

0"

para os exemplos anteriores, visto que em ambos os casos, f não é derivável no ponto zero, nem sendo sequer contínua neste ponto no segundo exemplo. Comecemos pela função módulo. Vejamos os gráficos para y h h h= 0 9

10 51

0 11

.( )

.( )

.( )

,, y = y = .

y

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

Figura 7

29

y

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

Figura 8

y

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

y

Figura 9

Em qualquer dos três casos, as funções são contínuas e diferenciáveis em ℜ, e comparando com o segundo exemplo, ficamos com a ideia que a função limite neste caso talvez seja idêntica à do segundo exemplo. Na verdade, pelo resultado ii) tem-se imediatamente que

( )lim,

,!!"

#=

$ <

>

%&'0

11 0

1 0M

x

xfx

De maneira análoga ao segundo exemplo, podemos concluir que

( )lim

,

,

,!

!"#

=

$ <

=

>

%

&'

('0

1

1 0

0 0

1 0

M

x

x

x

fx

30

A derivada da função modulo está definida em ℜ\{0}. A função agora obtida está definida em todo o ℜ, e como sabemos, coincide com a derivada do módulo em ℜ\{0}, mas não é continua em zero. Calculemos agora os gráficos para y h= 0 9

1.( ) ,

y = h0 51.( ) e y = h0 01

1.( ) , relativamente ao segundo exemplo.

y

-1

0

1

2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

Figura 10

y

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

Figura 11

31

y

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-1 -0.5 0 0.5 1

y

Figura 12

Continuamos a obter, nos três casos, funções continuas e diferenciáveis em todo o ℜ.

Relativamente à função limite, por ii) sabemos que ( )lim ,!

!"#

= $ %0

10 0M xf

x . Para o

ponto zero, passa-se algo interessante. Se observamos o que se passa numa vizinhança de zero, nos três exemplos, verificamos que, à medida que ε diminui, os valores de h!( )1 nessa vizinhança aumentam, especialmente para ε=0.01. Isto levanta uma

pergunta, cuja verificação remetemos para o leitor:

Será que ( )lim,

,!!"

#=

$

+ % =

&'(0

10 0

0M

x

xfx ?

Para a função original, apesar de não ser diferenciável em zero, a sua derivada à direita existe e é igual a zero, e a sua derivada à esquerda tem como limite + ! . Para a função limite, o ponto zero valerá + ! . Para finalizarmos, ao observarmos os três exemplos, surge uma ideia, que deixamos para o leitor ponderar sobre ela: Seja I ! " numerável e ( )f C I! "0 \ tal que em todos os pontos de I os limites à esquerda e à direita de f existem e são finitos. Será que ! >" 0 , ! "#n , ( ) ( )h C

n

! " #1 (dos exemplos dados concluímos imediatamente que a continuidade e diferenciabilidade para a função limite não tem que ser verificar)?