UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE ÁREA E VOLUME DE...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA

CENTRO DE CIÊCIAS EXATAS E BIÓLÓGICAS COLEGIADO DE MATEMÁTICA

SUELEN GERONÇO

UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE ÁREA E VOLUME DE PRISMAS UTILIZANDO O GEOGEBRA 3D COMO RECURSO DIDÁTICO

UNIÃO DA VITÓRIA 2015

1

SUELEN GERONÇO

UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE ÁREA E VOLUME DE PRISMAS UTILIZANDO O GEOGEBRA 3D COMO RECURSO DIDÁTICO

Trabalho de conclusão de curso apresentado para obtenção de grau de licenciada pela Universidade Estadual do Paraná- Campus de União da Vitória, Área de Matemática. Orientadora: Prof. Celine Maria Paulek

UNIÃO DA VITÓRIA

2015

2

RESUMO

O presente trabalho intitulado Uma proposta para o ensino de áreas e volumes de prismas utilizando o GeoGebra 3D como recurso didático, parte de uma pesquisa bibliográfica referente ao que apresentam os documentos oficiais nacionais e estaduais sobre o ensino da geometria espacial e sobre tecnologias digitais na educação básica, abordando as vantagens de sua inserção no ambiente de sala de aula. Após, são apresentadas orientações para as construções de prismas no software GeoGebra, que serão utilizados no desenvolvimento das tarefas. Em seguida apresentamos a proposta de ensino, na qual as tarefas propostas envolvem a classificação, a área e o volume de prismas. Espera-se que as tarefas propostas propiciem a construção do conhecimento do aluno, ou seja, propiciem ao aluno a oportunidade de compreender a calcular a área da superfície e o volume de um prisma.

Palavras-chave: Geometria espacial. Tecnologias Digitais. Software GeoGebra 3D.

3

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Prisma reto ................................................................................. 21

Figura 2 – Prisma oblíquo ............................................................................. 24

Figura 3 – Volume prisma ............................................................................. 27

4

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 Tarefa 1: classificação de um prisma ............................................ 29

Quadro 2 Tarefa 2: área da superfície de um prisma ................................... 32

Quadro Tarefa 3: volume de um prisma reto..............................................34

Quadro 4 Tarefa 4: volume de um prisma .................................................... 36

5

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ........................................................................................... 6

2 O ENSINO DA GEOMETRIA ESPACIAL ................................................... 7

3 TECNOLOGIAS DIGITAIS NA EDUCAÇÃO BÁSICA .............................. 10

3.1 TECNOLOGIAS DIGITAIS NO ENSINO ................................................... 10

3.2 TECNOLOGIAS DIGITAIS NO ENSINO DA MATEMÁTICA .................... 11

3.2.1 Tecnologias digitais e o ensino de geometria espacial .......................... 13

4 ORIENTAÇÕES PARA AS CONSTRUÇÕES DE PRISMAS NO

SOFTWARE GEOGEBRA ............................................................................. 17

4.1 PRISMA RETO ......................................................................................... 18

4.2 PRISMA OBLÍQUO ................................................................................... 22

4.3 PRISMA RETO E PRISMA OBLÍQUO CONSTRUÍDOS NO MESMO

ARQUIVO ....................................................................................................... 25

5 UMA PROPOSTA DE ENSINO UTILIZANDO O GEOGEBRA 3D COMO

RECURSO DIDÁTICO .................................................................................... 28

5.1 O PRISMA ................................................................................................ 28

5.1.1 Tarefa 1 – classificação de um prisma ................................................... 29

5.1.2 Tarefa 2 – área da superfície de um prisma .......................................... 31

5.1.3 Tarefa 3 – o volume de um prisma de base retangular reto .................. 34

5.1.4 Tarefa 4 – o volume de um prisma ........................................................ 36

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................... 39

REFERÊNCIAS .............................................................................................. 41

6

1 INTRODUÇÃO

O tema do presente trabalho surge do interesse pela geometria e pelas

tecnologias digitais. É possível observar que atualmente esses dois assuntos vêm

sendo discutidos com mais frequência, e quando se trata do ensino da geometria

espacial, existe um fator que dificulta a aprendizagem deste conteúdo, a

visualização de objetos tridimensionais.

Com os avanços tecnológicos surgiram softwares de geometria dinâmica 3D,

os quais permitem trabalhar os conteúdos de geometria espacial de maneira

dinâmica. Visando fazer com que sejam minimizadas as dificuldades relacionadas

ao calculo da área e do volume de prismas. Serão propostas algumas tarefas que

irão explorar construções feitas no software GeoGebra 3D.

O GeoGebra 3D vem sendo alvo de pesquisas a pouco tempo, pois é uma

versão nova, a qual possui grande potencial. Este software permite explorar

conteúdos de geometria espacial de forma dinâmica e a partir da exploração de

construções feitas no GeoGebra 3D os alunos poderão verificar propriedades e

construir conceitos de geometria espacial.

É apresentado inicialmente um breve referencial teórico sobre geometria

espacial e tecnologias digitais. São apresentadas orientações para a construção de

prismas retos e oblíquos de base retangular. Estas orientações têm como objetivo

servir de base para a construção dos sólidos que serão explorados nas tarefas

pospostas.

Por fim é apresentada a proposta de ensino, utilizando como recurso

didático as construções apresentadas no trabalho. As tarefas apresentadas

envolvem a classificação dos prismas como retos ou oblíquos, o calculo da área e o

cálculo do volume de um prisma.

7

2 O ENSINO DA GEOMETRIA ESPACIAL

As Orientações Curriculares para o Ensino Médio- (OCEM) (BRASIL, 2006)

e as Diretrizes da Educação Básica do Estado do Paraná- (DCE) (PARANÁ, 2008)

separam os conteúdos de Matemática em blocos, da seguinte maneira: Números e

operações (Números e álgebra); Funções; Análise de dados e probabilidade

(Tratamento da informação) e Geometria. De acordo com as OCEM o bloco de

geometria pode ser subdividido da seguinte maneira: geometria euclidiana,

geometria analítica e geometria espacial. As DCE trazem uma subdivisão a mais

além das citadas: noções de geometrias não euclidianas. O enfoque deste trabalho

será a geometria espacial.

As OCEM (BRASIL, 2006) sugerem que a geometria espacial seja

trabalhada utilizando figuras espaciais para representar ou visualizar formas do

mundo real, utilizando o conhecimento geométrico para leituras, compreensão e

ação sobre a realidade. As DCE (PARANÁ, 2008, p.56) recomendam que ao

trabalhar geometria espacial seja abordada a “nomenclatura, estrutura e dimensão

dos sólidos geométricos e cálculo de medidas de arestas, área das faces, área total

e volume de prismas retangulares (paralelepípedo e cubo) e prismas triangulares

(base triângulo retângulo), incluindo conversões”.

A geometria espacial pode ser trabalhada em conjunto com a métrica,

quando os assuntos abordados são o cálculo da área da superfície de um sólido

geométrico, volume de um sólido geométrico, o cálculo das medidas das arestas,

podendo trabalhar também conversões de medidas. Porém é necessário ressaltar

que deve-se abordar conceitos relacionados ao conteúdo de geometria espacial,

tirando o foco somente dos cálculos, o foco deste conteúdo deve ser a compreensão

e a construção de seus conceitos.

Neste sentido as OCEM (BRASIL, 2006) dizem que para ensinar esses

conteúdos é necessário ir além de ensinar simplesmente o cálculo de áreas e

volumes, é preciso trabalhar com as construções das figuras espaciais e suas

planificações, identificar e analisar as diferentes representações das figuras planas e

espaciais, também identificar e compreender quais são os elementos dos sólidos

geométricos.

8

Segundo as DCE (PARANÁ, 2008) para trabalhar com o volume e a área

dos sólidos precisa-se propiciar ao aluno compreender o significado das fórmulas

que são utilizadas para tais cálculos, pois os conceitos relacionados a esses

cálculos são fundamentais para que o aluno amplie seu conhecimento. Nesse caso

é necessário explorar tarefas que levem a construção de conceitos.

De modo geral, temos que a Matemática deve ser trabalhada em sala de

aula visando desenvolver algumas competências, sendo enfatizado que “o ensino da

Matemática pode contribuir para que os alunos desenvolvam habilidades

relacionadas à representação, compreensão, comunicação, investigação e, também,

à contextualização sociocultural” (PCNEM e PCN+, 2002 apud BRASIL 2006, p.69).

De acordo com os PCNEM+ (BRASIL, 2009) a representação e

comunicação são duas partes que estão interligadas, pois se o aluno é capaz de

representar ele consegue se comunicar e vice-versa, portanto estão relacionadas a

leitura, interpretação e produção de textos que usam a linguagem dessa área do

conhecimento. A investigação e a compreensão também estão interligadas, a partir

do que o aluno compreende ele passa a investigar, a investigação está relacionada

às conjecturas, a capacidade de estabelecer estratégias para resolver situações-

problemas, elencando os conceitos e procedimentos necessários para que se

encontre uma solução para o problema. A contextualização sociocultural é a

capacidade de relacionar os conhecimentos específicos da Matemática a situações

reais, também a capacidade de avaliar essas situações criticamente e argumentar

sobre seus pontos de vista, defendendo-os.

As OCEM (BRASIL, 2006, p. 75) enfatizam que:

O ensino de Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano, como por exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber utilizar diferentes unidades de medidas.

Em sala de aula deve ser estabelecido um ambiente de aprendizagem no

qual aluno construa os conceitos relacionados aos conteúdos de geometria espacial

participando ativamente, questionando, argumentando sobre seus pontos de vista,

sugerindo possíveis soluções. Para que isso aconteça é necessário explorar os

momentos nos quais esse ambiente seja estabelecido, o professor deve estar

preparado para esclarecer as dúvidas que possivelmente irão surgir, mediar os

9

debates e socializações que serão realizados durante a aula, portanto o professor

deve estar preparado para intervir nestes ambientes de aprendizagem. Para que isto

ocorra devem ser propostas tarefas que fomentem os debates em sala de aula a fim

de enriquecer as discussões e aprimorar os argumentos dos alunos.

Conforme as OCEM (BRASIL, 2006) o desenvolvimento do raciocínio lógico,

a formulação de estratégias e a argumentação, são ações que devem ser

incentivadas pelo professor no momento em que está ensinando determinado

conteúdo, este momento deve possibilitar aos alunos a construção do seu próprio

conhecimento. Deste modo a repetição e a resolução de exercícios para a simples

aplicação de fórmulas e regras devem ser substituídas por situações que

possibilitem o aluno analisar, compreender, formular estratégias e registrar,

incentivando o desenvolvimento das competências citadas anteriormente.

As DCE (PARANÁ, 2008, p.57) destacam que:

[...] a valorização de definições, as abordagens de enunciados e as demonstrações de seus resultados são inerentes ao conhecimento geométrico. No entanto, tais práticas devem favorecer a compreensão do objeto e não reduzir-se apenas às demonstrações geométricas em seus aspectos formais.

Observa-se então que os conceitos relacionados a geometria espacial

possuem grande importância, bem como suas demonstrações.

Na sequência será discorrido sobre a utilização das tecnologias digitais na

educação básica.

10

3 TECNOLOGIAS DIGITAIS NA EDUCAÇÃO BÁSICA

Neste capítulo será discorrido sobre utilização das tecnologias digitais no

ensino da matemática, bem como a utilização de softwares de matemática para o

ensino de geometria espacial.

3.1 TECNOLOGIAS DIGITAIS NO ENSINO

O homem desde os primórdios vem criando artefatos que o auxiliam em seu

dia-a-dia, criações que avançam diariamente, tornando-se cada vez mais

sofisticadas. Estas criações são denominadas tecnologias, que segundo Bueno

(1999, p. 87 apud BRITO e PURIFICAÇÃO, 2012, p.21) é “um processo contínuo

através do qual a humanidade molda, modifica e gera qualidade de vida”.

Essas tecnologias avançaram até chegar ao que chamamos hoje de

tecnologias digitais e atualmente pode-se considerar que a maioria da população é

incluída digitalmente, ou seja, tem acesso às tecnologias digitais. Kenksi (2003, p.2)

afirma que:

Estamos vivendo um novo momento tecnológico. A ampliação das possibilidades de comunicação e de informação, por meio de equipamentos como o telefone, a televisão e computador, altera a nossa forma de viver e de aprender na atualidade.

Desta maneira “as tecnologias existentes em cada época, disponíveis para

utilização de determinado grupo social, transformaram radicalmente as suas formas

de organização social, a comunicação e a própria aprendizagem.” (KENSKI, 2003,

p.2). Segundo a autora com o passar dos anos as pessoas necessitam modificar seu

modo de vida para se adequar às tecnologias disponíveis no momento.

Kenski (2003) cita três características que garantem o rápido acesso a

comunicação e informação, as quais são: interatividade, hipertextualidade e

conectividade. A interatividade é garantida nos espaços virtuais, a hipertextualidade

é uma sequência de textos interligados com outros tipos de mídias tecnológicas e a

11

conectividade garante o acesso a informação e à comunicação rapidamente em

qualquer tempo e lugar. Pode-se considerar estas características como um

diferencial das tecnologias digitais, e isto pode favorecer tanto a aprendizagem

individual quanto a grupal.

Gravina e Santarosa (1998, p.8) dizem que “os ambientes informatizados

apresentam-se como ferramentas de grande potencial frente aos obstáculos

inerentes ao processo de aprendizagem”. Pode-se observar a importância de se

inserir as tecnologias digitais no processo de ensino e aprendizagem, pois é

necessário formar indivíduos pensantes que estejam preparados para lidar com os

desafios e as dificuldades, e as tecnologias podem auxiliar neste processo.

As autoras Gravina e Santarosa (1998) citam que o uso das tecnologias

digitais pode também não favorecer a aprendizagem, pois seu uso inadequado pode

colocar em risco o trabalho a ser desenvolvido. Portanto, além de saber utilizar um

recurso tecnológico é preciso saber utilizá-lo forma que este recurso favoreça a

aprendizagem.

Kenski (2003, p.9) afirma que:

As atuais tecnologias digitais de comunicação e informação nos orientam para novas aprendizagens. Aprendizagens que se apresentam como construções criativas, fluidas, mutáveis, que contribuem para que as pessoas e a sociedade possam vivenciar pensamentos, comportamentos e ações criativas e inovadoras, que a encaminhem para novos avanços socialmente válidos no atual estágio de desenvolvimento da humanidade.

Portanto, pode-se pensar nas tecnologias digitais como um meio para

favorecer a aprendizagem de matemática, ou seja, pensar em meios em que a sua

utilização auxilie os alunos na construção de seu conhecimento.

3.2 TECNOLOGIAS DIGITAIS NO ENSINO DA MATEMÁTICA

Como visto anteriormente as tecnologias digitais podem auxiliar no processo

de aprendizagem, e segundo Gravina e Santarosa (1998, p.7) “[...] a aprendizagem

é um processo construtivo que depende de modo fundamental das ações do sujeito

e duas suas reflexões sobre estas ações [...]”. Para utilizar as tecnologias digitais

visando que a aprendizagem aconteça é preciso propor tarefas nas quais os alunos

12

conjecturem e ajam sobre o meio propiciado, refletindo após sobre suas conjecturas

validando-as ou não.

Gravina e Santarosa (1998, p.7) dizem que a aprendizagem “no contexto da

matemática são as ações, inicialmente sobre objetos concretos que se generalizam

em esquemas, e num estágio mais avançado são ações sobre objetos abstratos que

generalizam em conceitos e teoremas”.

As tecnologias digitais podem ser consideradas um diferencial no ensino da

matemática. Neste sentido Princival (2012, p.15) afirma que as tecnologias digitais

no ensino da matemática:

[...] constituem-se ferramentas úteis para o ensino e aprendizagem de matemática, proporcionam aulas diferenciadas, fornecem dinamismo a conceitos e propriedades matemáticas, tornando-os mais concretos para o aluno, estimulando o pensamento crítico e observação do mesmo quanto a novos conteúdos e até mesmo aos já estudados.

As DCE (PARANÁ, 2008, p.65) enfatizam que “os recursos tecnológicos,

como o software, a televisão, as calculadoras, aplicativos da internet, entre outros,

têm favorecido as experimentações matemáticas e potencializado formas de

resolução de problemas.” De acordo com as DCE (PARANÁ, 2008) esses recursos

podem auxiliar professores e alunos a generalizar, a visualizar e „fazer matemática‟

de maneira manipulável e dinâmica, o que ajuda na construção, interação, trabalho

colaborativo e confronto da teoria e da prática.

Atualmente existem inúmeros recursos tecnológicos voltados para o ensino

da matemática. As possibilidades de exploração destes recursos também são

inúmeras, assim pode-se adequar esses recursos para trabalhar conteúdos

matemáticos de forma que os alunos participem ativamente.

Conforme Gravina e Santarosa (1998, p.10):

Alguns dos recursos já disponíveis em certos ambientes: ferramentas para construção de objetos matemáticos, múltiplas representações, procedimentos dos alunos podem ser registrados ou automatizados (capturação de procedimentos), auto escala automatizada, zoom-in e zoom-out, dados que atualizam com a dinâmica da situação, traçados de lugares geométricos, cálculos automáticos. Capturação de procedimentos é um recurso encontrado, particularmente, em programas para a Geometria. Automaticamente são gravados os procedimentos do aluno em seu trabalho de construção e mediante solicitação o aluno pode repassar a „história‟ do desenvolvimento de sua construção.

13

As tecnologias digitais avançam diariamente, com esses avanços os

recursos tecnológicos voltados para o ensino da matemática são aprimorados e

melhorados, e também surgem novos recursos. Não podemos nos contentar por

muito tempo com o mesmo recurso, pois em um futuro próximo teremos que nos

adaptar a um novo recurso com capacidade de exploração maior do que ao qual

estávamos habituados.

Para auxiliar o aluno na construção do seu conhecimento é possível utilizar

as tecnologias digitais como recurso didático. Existem softwares de geometria

dinâmica 3D que possuem alguns diferenciais que podem ser utilizados como

recursos didáticos para trabalhar com a geometria espacial.

3.2.1 Tecnologias digitais e o ensino de geometria espacial

Temos vários softwares que podem auxiliar o aluno a explorar e construir

diferentes conceitos matemáticos. Conforme as OCEM (2006, p. 88):

Os programas de expressão1 apresentam recursos que provocam, de forma

muito natural, o processo que caracteriza o „pensar matematicamente‟, ou seja, os alunos fazem experimentos, testam hipóteses, esboçam conjecturas, criam estratégias para resolver problemas.

Pode-se encontrar inúmeros softwares de geometria dinâmica com réguas e

compassos virtuais que possibilitem aos alunos explorar e construir objetos

relacionados ao conteúdo de geometria.

Utilizar os recursos tecnológicos em sala de aula pode propiciar ao aluno

desenvolver as habilidades e competências já citadas. Ou seja, com o uso de

recursos tecnológicos em sala de aula pode ser possível aguçar a percepção do

aluno em relação aos objetivos da aula, os quais devem ter em vista o processo de

aprendizagem do aluno e prepará-lo para solucionar seus problemas cotidianos com

auxilio da matemática sempre que possível.

A utilização da geometria dinâmica (GD) pode facilitar tanto a vida do

professor quanto a do aluno, pois as construções de geométricas feitas com lápis,

1 São softwares matemáticos.

14

régua e compasso não são manipuláveis, ou seja, quando trabalhamos com um

software de geometria dinâmica temos a possibilidade de manipular os objetos

construídos. Silva (2010, p.20) nesse sentido afirma que “a principal característica

de um software GD é a possibilidade de arrastar. Essa característica permite que os

estudantes explorem situações problemas e façam conjecturas sobre o conteúdo

que estão estudando”.

Desta forma inúmeras explorações podem ser feitas manipulando uma única

construção e isto pode auxiliar na aprendizagem do conceito abordado. Porém

somente o software não dará conta de tudo sozinho, de acordo com Morelatti e

Souza:

[...] a criação de um ambiente de aprendizagem que favoreça a construção do conhecimento e o desenvolvimento de habilidades de pensar, necessárias ao cidadão atual, não depende somente software escolhido, mas do professor e da metodologia utilizada por ele. (2014, p.268)

Portanto o professor deve estar preparado para conduzir suas aulas e

orientar seus alunos durante o desenvolvimento das tarefas. O professor deverá

também ter um bom jogo de cintura, pois durante o desenvolvimento podem ocorrer

alguns imprevistos, e o professor deverá encontrar uma solução para que tarefa

obtenha êxito.

Segundo Ritter (2011, p.35) “A aprendizagem em Matemática depende das

ações que levam ao experimentar, interpretar, visualizar, induzir, conjecturar e

abstrair”, assim as tarefas propostas devem englobar essas ações, visando

proporcionar ao aluno a construção do seu conhecimento.

Durante o desenvolvimento das tarefas o aluno deverá agir por si só sem

que o professor lhe dê repostas prontas, e desta forma o aluno deverá organizar

suas ideias e formular estratégias para desenvolver as tarefas propostas, para que

isso aconteça a tarefa deverá propiciar ao aluno a possibilidade de agir sozinho sem

que o professor necessite intervir intensivamente durante o desenvolvimento. A

tarefa também deve estar de acordo com o nível de desenvolvimento do aluno.

Quando se trata de construções relacionadas a geometria espacial, observa-

se que com lápis e papel é mais difícil observar os sólidos geométricos, pois nesse

caso o sólido é projetado em um plano bidimensional. Para que o aluno possa

identificar e compreender quais e o que são os elementos dos sólidos geométricos

15

pode-se utilizar softwares de geometria dinâmica 3D. Deste modo o aluno terá a

oportunidade de observar os elementos do sólido geométrico em suas diferentes

posições, verificar suas planificações, bem como identificar seus elementos, isso

será possível utilizando a ferramenta “girar” que alguns dos softwares de GD 3D

possuem.

O aluno pode vir a verificar várias propriedades relacionadas do sólido com

uma única construção. Ao instigar os alunos a explorar, pode-se fazer com que eles

construam os conceitos explorados verificando se as propriedades se mantém ou

não, arrastando os objetos pertencentes a construção, o que pode propiciar a

construção do conhecimento em relação aos conteúdos abordados.

O software de GD 3D pode ser utilizado para ensinar a geometria espacial

de forma dinâmica, sendo assim o aluno poderá manipular e explorar as

construções. Pode-se então propor tarefas que utilizem um software de geometria

dinâmica como recurso didático, visando que essas tarefas proporcionem ao aluno a

oportunidade de investigar, formular estratégias, argumentar e compreender os

conceitos relacionados a tarefa.

Para o desenvolvimento da proposta de ensino deste trabalho será adotado

como recurso didático o software de geometria dinâmica o GeoGebra 3D (colocar

nota de rodapé com disponível em).

Princival (2012 p.19) traz que o GeoGebra:

É um software de geometria dinâmica, que pode ser utilizado para trabalhar conteúdos de geometria, cálculo e álgebra. Na construção de figuras geométricas ele faz com que os alunos possam modificá-las sem que as mesmas percam suas propriedades geométricas, o que possibilita uma melhor visualização e interpretação.

Souza (2014, p.25) cita que:

O GeoGebra é capaz de lidar com variáveis para números, pontos, vetores, derivar e integrar funções, e ainda oferecer comandos para se encontrar raízes e pontos extremos de uma função. Com isto, o programa reúne as ferramentas tradicionais da geometria com outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo. Isto tem a vantagem didática de representar, ao mesmo tempo em um único ambiente visual, as características geométricas e algébricas.

Podemos observar que é possível trabalhar com outros conteúdos além da

geometria utilizando o software GeoGebra, porém neste trabalho o foco é a

geometria espacial e a exploração dos conceitos relacionados ao prisma.

16

Serão apresentadas a seguir orientações para a construção de um prisma

reto, de um prisma oblíquo e uma construção com os dois prismas em um mesmo

arquivo.

17

4 ORIENTAÇÕES PARA AS CONSTRUÇÕES DE PRISMAS NO SOFTWARE

GEOGEBRA

Neste capítulo serão apresentadas orientações para as construções de

prismas. As construções serão feitas no software GeoGebra 3D. Estas orientações

são a princípio destinadas ao professor, pois objetiva-se que os alunos explorem as

construções no decorrer das tarefas. Mas nada impede que o professor solicite que

seus alunos façam a construção para depois realizarem as tarefas exploratórias,

caso o professor prefira dessa forma.

Deixamos ainda uma segunda opção para o professor, que são as

construções prontas e estão disponíveis na pagina do GeoGebra Tube, a qual pode

ser acessada por meio da internet no endereço www.tube.geogebra.org. As

construções disponíveis estão nomeadas na página da internet da seguinte forma:

4.1 Prisma reto2, 4.2 Prisma oblíquo3, 4.3 Prisma reto e prisma oblíquo no

mesmo arquivo4.

O software GeoGebra possui uma janela de visualização 3D, que será

utilizada para fazer as construções dos objetos em três dimensões, e uma janela de

visualização 2D a qual auxiliará nas construções destes objetos.

Na janela de visualização serão construídos os objetos bidimensionais, os

quais servirão de base para a construção dos sólidos. Na janela de visualização 3D

serão construídos os objetos tridimensionais, ou seja, os sólidos geométricos.

O software possui ferramentas de zoom as quais são ampliar e reduzir,

estas ferramentas podem auxiliar na visualização das construções. Portanto caso os

objetos não possam ser visualizados da maneira desejada é necessário utilizar estas

ferramentas para ajustar a visualização.

Serão utilizadas também frequentemente outras duas opções: exibir rótulo

e exibir objeto. A opção exibir objeto será desmarcada sempre que for necessário

ocultar um objeto auxiliar, já a opção exibir rótulo será desmarcada para todos os

objetos construídos (exceto dos pontos e controles deslizantes), pois ela oculta o

nome do objeto. Estas ações serão realizadas para diminuir a poluição visual, desta

2 Disponível em: www.tube.geogebra.org/material/simple/id/2282077



https://tube.geogebra.org/material/simple/id/2282077






18

forma devem ser ocultados também os eixos (nas duas janelas de visualização) e a

janela de álgebra.

Durante a construção é importante que os objetos construídos possuam o

mesmo rótulo que os indicados nas orientações, caso não possua o mesmo rótulo

será necessário renomear o objeto construído para que não ocorram erros.

4.1 PRISMA RETO

A partir das orientações a seguir será construído um prisma reto de base

retangular.

1. Abra um novo arquivo do GeoGebra 3D;

2. No menu Exibir selecione a opção Janela de visualização 3D

;

3. Clique com o botão direito sobre na Janela de visualização e desmarque a

opção eixos. Repita o mesmo processo na Janela de visualização 3D

A partir das orientações 4, 5, 6 e 7 serão criados 4 controles deslizantes, que

são os seguintes: a e b que irão alterar as dimensões do retângulo que será a base

do prisma, h que irá alterar a altura do prisma e i que irá alterar a abertura da

planificação do prisma.

4. Clique na janela de visualização, e selecione a ferramenta Controle

deslizante , clique na janela de visualização para criar o controle

deslizante Altere o rótulo do controle deslizante para a, o intervalo para 0 e 5,

e incremento para 0.1. Após clique em 5;

5 Algumas versões do GeoGebra 3D possuem como opção ok ao invés de aplicar.

19

5. Selecione a ferramenta Controle deslizante , clique na janela de

visualização para criar o controle deslizante. Altere o rótulo do controle

deslizante para b, o intervalo para 0 e 5, e incremento para 0.1. Após clique

em Aplicar;



deslizante para h, o intervalo para 0 e 5, e incremento para 0.1. Após clique

em Aplicar;

20



deslizante. Altere o rótulo do controle deslizante para i, o intervalo para 0 e 1,

e incremento para 0.01. Após clique em Aplicar;

As orientações 8 e 9 apresentam os passos para a construção do retângulo

que será a base do prisma. O polígono será nomeado pol16.

8. No campo de entrada , digite Polígono[(0,0),

(0,0) + (0, b), (0,0) + (a, b), (0,0) + (a, 0)]

9. Selecione todos os objetos construídos a partir da construção do retângulo,

clique com o botão direito sobre estes objetos e desmarque a opção Exibir

rótulo;

A orientação 10 será utilizada para construir o ponto H, que será uma das

extremidades da altura.

10. No campo de entrada digite H=(0,0,h);

A partir das orientações 11 a 13 será construído o prisma g.

11. No campo de entrada digite Prisma[pol1, H];

12. Selecione todos os objetos construídos a partir da construção do prisma,


rótulo;

13. Clique com o botão direito sobre o prisma g e desmarque a opção Exibir

rótulo;

6 Caso o polígono não possua este rotulo será necessário renomeá-lo, para isso clique como botão

direito sobre o polígono e altere o rótulo para pol1. O mesmo deve ser feito para os próximos objetos caso os rótulos não estejam de acordo com as orientações.

21

As orientações 14 e 15 serão utilizadas para a construção da planificação da

superfície do prisma g. O rótulo da planificação será j.

14. No campo de entrada digite Planificação [g, i];

15. Selecione todos os objetos construídos a partir da planificação, clique com o

botão direito sobre estes objetos e desmarque a opção Exibir rótulo;

A próxima orientação apresenta os passos para a construção de uma caixa

para exibir/esconder objetos. Essa ferramenta irá esconder a planificação e controle

deslizante i, para exibir a planificação novamente é necessário selecionar a caixa

exibir.

16. Selecione a ferramenta Caixa para exibir/esconder objetos , clique na

janela de visualização para criar a caixa. Coloque a legenda como Exibir e

selecione os seguintes objetos: número i e a planificação j. Após clique em

Aplicar.

Figura 1 – Prisma reto Fonte: A autora, 2015

22

4.2 PRISMA OBLÍQUO

A partir das orientações seguir será construído um prisma oblíquo de base

retangular.


2. No menu Exibir selecione a opção Janela de visualização 3D;


opção eixos. Repita o mesmo processo na Janela de visualização 3D

A partir das orientações 4, 5, 6 e 7 serão criados 4 controles deslizantes, que

são os seguintes: a e b que irão alterar as dimensões do retângulo que será a base

do prisma, h que irá alterar a altura do prisma e i que irá alterar a abertura da

planificação do prisma.



deslizante. Altere o nome do controle deslizante para a, o intervalo para 0 e 5,

e incremento para 0.1. Após clique em Aplicar/Ok;


visualização para criar o controle deslizante. Altere o nome do controle

deslizante para a, o intervalo para 0 e 5, e incremento para 0.1. Após clique

em Aplicar;


visualização para criar o controle deslizante. Altere o nome do controle


em Aplicar;



deslizante. Altere o nome do controle deslizante para i, o intervalo para 0 e 1,


23

As orientações 8 e 9 apresentam os passos para a construção da base do

prisma, que neste caso será um retângulo.

8. No campo de entrada digite Polígono[(0,0), (0,0) + (0, b), (0,0) + (a, b),

(0,0) + (a, 0)]



rótulo;



10. No campo de entrada digite H= (1, 1, h)

A próxima orientação apresenta os passos para a construção da reta g,

perpendicular ao plano da base e que contém a altura do prisma, neste caso a altura

não será congruente às arestas da face, pois o prisma será oblíquo e suas arestas

laterais não são perpendiculares às bases.

11. No campo de entrada digite Perpendicular[H, pol1]

As orientações 12 a 14 apresentam os passos para a construção da altura

do prisma.

A partir da próxima orientação será construído um ponto, que será a outra

extremidade da altura.

12. Selecione a ferramenta Interseção de dois objetos , e construa o

ponto de intersecção entre o plano da base e a reta g;

13. Clique com o botão direito sobre o ponto e selecione a opção Renomear e

altere seu rótulo para H’;

14. Clique com o botão direito sobre a reta g desmarque a opção Exibir objeto;

As orientações 15 e 16 apresentam os passos para a construção da altura

do prisma. O rotulo do segmento será j.

15. No campo de entrada digite Segmento[H, H’]

16. Clique com o botão direito sobre o segmento HH’ e desmarque a opção

Exibir rótulo;

A partir das orientações 17 e 18 será construído o prisma k.

17. No campo de entrada digite Prisma[pol1, H]



24

rótulo;

A orientação 19 será utilizada para a construção da planificação da

superfície do prisma k.

19. No campo de entrada digite Planificação[k, i]

A próxima orientação apresenta os passos para a construção de uma caixa

para exibir/esconder objetos. Essa ferramenta irá esconder a planificação e controle

deslizante i, para exibir a planificação novamente é necessário selecionar a caixa

exibir.

20. Selecione a ferramenta Caixa para exibir/esconder objetos , clique

na janela de visualização para criar a caixa. Coloque a legenda como Exibir e

selecione os seguintes objetos: número i e a planificação l. Após clique em

;

Figura 2 – Prisma oblíquo Fonte: A autora, 2015

25

4.3 PRISMA RETO E PRISMA OBLÍQUO CONSTRUÍDOS NO MESMO ARQUIVO

Esta construção será utilizada na tarefa que aborda o volume de um prisma,

para tanto precisamos construir um prisma reto e um prisma obliquo em um mesmo

arquivo, para posterior exploração.


2. No menu Exibir selecione a opção Janela de visualização 3D;


opção Eixos. Repita o mesmo processo na Janela de visualização 3D

A partir das orientações 4, 5 e 6 serão criados 3 controles deslizantes, que

são os seguintes: a e b que irão alterar as medidas dimensões dos retângulos que

serão as bases dos prismas e h que irá alterar as medidas as alturas dos prismas.



deslizante. Altere o rótulo do controle deslizante para a, o intervalo para 0 e 5,




deslizante para b, o intervalo para 0 e 5, e incremento para 0.1. Após clique

em Aplicar;




em Aplicar;

As orientações 7, 8 e 9 apresentam os passos para a construção do

retângulo que será a base do prisma reto. O polígono será nomeado pol1.

7. No campo de entrada, digite Polígono[(0,0), (0,0) + (0, b), (0,0) + (a, b), (0,0)

+ (a, 0)]


26


rótulo;



9. No campo de entrada digite H = (0, 0, h)

A partir das orientações 10, 11 e 12 será construído o prisma g.

10. No campo de entrada digite Prisma[pol1, H]



rótulo;

12. Clique com o botão direito sobre o prisma g e desmarque a opção Exibir

rótulo;

As orientações 13 e 14 apresentam os passos para a construção da base do

prisma oblíquo, que neste caso será um retângulo. O polígono será nomeado pol2.

13. No campo de entrada digite Polígono[(7,0), (7,0) + (0, b), (7,0) + (a, b), (7,0)

+ (a, 0)]



rótulo;

A orientação 15 será utilizada para construir o ponto P, que será uma das


15. No campo de entrada digite P = (9, 1, h)

A próxima orientação apresenta os passos para a construção da reta m,

perpendicular ao plano da base e que contém a altura do prisma, neste caso a altura

não será congruente às arestas da face, pois o prisma será oblíquo e suas arestas

laterais não são perpendiculares às bases.

16. No campo de entrada digite Perpendicular[P, pol2]

As orientações 17 a 21 apresentam os passos para a construção da altura

do prisma oblíquo.

A partir da próxima orientação será construído um ponto, que será uma das


17. Selecione a ferramenta Interseção de dois objetos , e construa o

ponto de intersecção entre o plano da base e a reta m;

27

Clique com o botão direito sobre o ponto e selecione a opção Renomear e

altere seu rótulo para P’;

18. Clique com o botão direito sobre a reta m desmarque a opção Exibir objeto;

As orientações 19 e 20 apresentam os passos para a construção da altura

do prisma. O rotulo do segmento será n.

19. No campo de entrada digite Segmento[P, P’]

20. Clique com o botão direito sobre o segmento PP’ e desmarque a opção

Exibir rótulo;

A partir das orientações 22 e 23 será construído o prisma oblíquo o.

21. No campo de entrada digite o ponto Prisma [pol2, P];



rótulo;

Figura 3 – Volume prisma Fonte: A autora, 2015

28

5 UMA PROPOSTA DE ENSINO UTILIZANDO O GEOGEBRA 3D COMO

RECURSO DIDÁTICO

Neste capítulo é apresentada uma proposta de ensino que tem como

objetivo proporcionar ao aluno a oportunidade de construir conceitos de geometria

espacial. Esta proposta explora as construções apresentadas no capítulo anterior.

As tarefas propostas são pensadas de acordo com o referencial teórico

apresentado em capítulos anteriores, ou seja, visa utilizar tecnologias digitais como

metodologia de ensino. No referencial é apresentado também como as tarefas

podem ser encaminhadas e como pode ocorrer o desenvolvimento das aulas ao

utilizar tecnologias digitais.

Ao explorar essas construções será abordada a classificação (reto ou

obliquo), área da superfície e o volume de prismas.

Para que as tarefas sejam desenvolvidas será necessário que os alunos

utilizem alguns conhecimentos adquiridos anteriormente, que são os seguintes:

calculo da área de figuras planas e congruência de figuras planas. Caso os alunos

não lembrem, o professor precisará retomar esses assuntos, pois o desenvolvimento

de algumas tarefas depende destes conhecimentos.

Sempre que for necessário ou solicitado os alunos poderão utilizar os

recursos do software para determinar medidas de segmentos, ângulos, área e

volume, e caso não tenham familiaridade com os recursos do software, é importante

que o professor explore as ferramentas e explique como utilizá-las.

5.1 O PRISMA

Serão propostas nesta seção algumas tarefas, espera-se que estas

propiciem ao aluno a oportunidade de: classificar um prisma como reto ou oblíquo,

compreender como calcular a área da superfície de um prisma e compreender como

calcular o volume de um prisma. Para que os alunos desenvolvam as tarefas que

serão propostas a seguir deverão saber o que é um prisma e quais são seus

elementos.

29

5.1.1 Tarefa 1 – classificação de um prisma

Serão utilizadas para desenvolver a tarefa as construções 4.1 (Prisma reto)

e 4.2 (Prisma obliquo) apresentadas no capítulo anterior.

Segue tarefa:

(continua)

Tarefa 1

Abra os arquivos 4.1 e 4.2, observe os prismas construídos no software e responda

as questões a seguir:

1. Movimente os controles deslizantes a, b e h (em ambos os arquivos). O que

ocorre quando os controles deslizantes são movimentados?

2. O que ocorre quando um dos controles deslizantes citados na questão

anterior é igual a zero? Justifique

3. Selecione a ferramenta Ângulo e meça o ângulo formado entre as

arestas laterais e o plano da base, para isso clique na aresta e no plano da

base. Responda:

a) Na construção 4.1, qual é o ângulo formado entre o plano da base e as

arestas laterais?

b) E na construção 4.2?

4. Selecione a ferramenta Mover e movimente novamente o controle

deslizante h nos dois arquivos:

a) Na construção 4.1 os ângulos se alteram quando o controle deslizante é

movimentado?

b) Na construção 4.2, os ângulos se alteram quando o controle deslizante h é

movimentado? Em algum momento as arestas laterais serão perpendiculares

ao plano da base?

5. Selecione a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro ,

determine a medida das arestas laterais em ambos os arquivos. A medida

30

(conclusão)

das arestas laterais é congruente a altura no arquivo 4.1? E no arquivo 4.2?

Por quê?

6. Qual é a diferença entre os dois prismas? Justifique

7. Como podem ser classificados os prismas de acordo com as características

que os diferenciam?

No arquivo 4.1 movimente os controles deslizantes a, b e h e os deixe com

valores iguais.

8. Quais são as formas geométricas das faces laterais? E das bases?

9. Essas figuras são congruentes?

10. Como podemos classificar este prisma? Justifique

Quadro 1 – Tarefa 1: classificação de um prisma Fonte: A autora, 2015

Espera-se que na questão 1 os alunos respondam que ao movimentar os

controles a e b alteram-se as medidas das dimensões dos retângulos que são as

bases dos prismas, e ao movimentar o controle h altera-se a medida da altura do

prisma, e juntamente com as dimensões alteram-se as medidas dos seguintes

elementos: arestas, área das faces, área das bases, área da superfície lateral e

total, volume.

Como resposta para a questão 2 deseja-se que os alunos quando um dos

controles é igual a zero não existe sólido, porém no arquivo 4.2 quando um dos

controles deslizantes é igual a zero pode se ter a impressão que existe um prisma,

caso isso aconteça deve ser solicitado aos alunos que cliquem na janela de

visualização 3D e selecionem a ferramenta Girar janela de visualização 3D , e

após alterem a posição do prisma, desta forma será possível observar que a figura

formada possui somente duas dimensões.

Já na questão 3 item a) deve-se obter como resposta que os ângulos

formados pelas arestas laterais e as bases no arquivo 4.1 são iguais a 90°, e no item

b) que no arquivo 4.2 os ângulos formados entre as arestas laterais e as bases são

diferentes de 90°.

No item a) da questão 4 espera-se que os alunos observem que as medidas

dos ângulos não alteram, e no item b) que as arestas serão sempre obliquas ao

plano das bases.

31

Almeja-se na questão 5 que os alunos observem que na construção 4.1 as

arestas laterais são congruentes a altura do prisma, já no arquivo 4.2 eles devem

observar que isto não ocorre.

Com a questão 6 espera-se que os alunos observem que a diferença entre

os dois prismas é o ângulo formado pelas arestas laterais e o plano das bases do

prisma, bem como a forma das faces laterais que no prisma oblíquo são

paralelogramos e no prisma reto são retângulos.

Objetiva-se na questão 7 que os alunos respondam que o prisma do arquivo

4.1 pode ser classificado como prisma reto, já o prisma do arquivo 4.2 pode ser

classificado como prisma oblíquo, que segundo Dolce e Pompeo (2011 p. 140)

possuem a seguinte definição: “prisma reto é aquele cujas arestas laterais são

perpendiculares ao plano da base. Prisma oblíquo é aquele cujas arestas laterais

são oblíquas a base”.

Caso os alunos dêem respostas diferentes cabe ao professor formalizar a

questão da classificação do prisma.

Espera-se que os alunos na questão 8 respondam que a forma geométrica

das faces laterais e das bases são quadrados, e na questão 9 que estes quadrados

são congruentes.

Na questão 10 os alunos devem classificar este caso especial de prisma

como um cubo, justificando que as arestas e as áreas das faces deste sólido são

congruentes, e os ângulos formados pelas arestas laterais e os planos da base são

de 90°. Caso os alunos encontrem as regularidades, mas não o denominem como

cubo, o professor deverá explicar que este prisma é chamado de cubo.

5.1.2 Tarefa 2 – área da superfície de um prisma

Para o desenvolvimento desta tarefa serão utilizadas as mesmas

construções da tarefa anterior. Segue tarefa:

32

(continua)

Tarefa 2

Abra os arquivos 4.1 e 4.2.

Selecione a opção exibir e responda as questões a seguir:

1. Movimente o controle deslizante i (em ambos os arquivos). O que é obtido

quando este controle deslizante i está igual a 1?

Movimente os controles deslizantes a, b e h e os deixe com valores

diferentes.

2. No arquivo 4.1, quais são as formas geométricas das faces do prisma reto? E

no arquivo 4.2?

3. Como ambos os tipos de quadriláteros podem ser classificados? Justifique

4. Como pode ser calculada a área de cada um desses quadriláteros?

5. Selecionando alguns valores para os controles deslizantes a, b e h preencha

os quadros a seguir:

a) Prisma reto

a b h Área das faces laterais Área da

base

Área

superfície

lateral

Área

superfície

total 1º 2° 3° 4° 1° 2º

b) Prisma oblíquo

a b h Área das faces laterais Área da

base

Área

superfície

lateral

Área

superfície

total 1° 2° 3º 4° 1° 2°

33

(conclusão)

6. Observando os quadros acima como pode ser calculada a área da superfície

lateral do prisma reto? E do prisma oblíquo?

7. Como podemos generalizar o cálculo da área da superfície lateral e total

destes prismas?

Quadro 2 – Tarefa 2: área da superfície de um prisma Fonte: A autora, 2015

Espera-se que na questão 1 os alunos respondam que pode ser obtida a

planificação da superfície dos prismas. Na questão 2 os alunos devem identificar as

figuras no arquivo 4.1 como retângulos, e no arquivo 4.2 devem identificar as bases

como retângulos e as faces laterais como paralelogramos.

Já na questão 3 deseja-se como resposta que todas as figuras citadas

podem ser classificadas como paralelogramos, pois seus pares de lados opostos

são paralelos.

Na questão 4 os alunos deverão lembrar como calcular a área das figuras

citadas na questão 3, caso os alunos não lembrem será necessário lembrá-los.

Abaixo segue como calcular estas áreas:

“A área de um retângulo é o produto da medida de sua base pela medida de

sua altura.”, ou seja, (GERÔNIMO e FRANCO, 2010, p.109)

“A área de um paralelogramo é o produto de qualquer base pela altura

correspondente.” , ou seja, ( ) (GERÔNIMO e FRANCO, 2010, p.111)

Almeja-se com a questão 5 que os alunos preencham os quadros,

calculando a área de todas as faces laterais e das bases, e após adicionem a área

das faces laterais para obter a área da superfície lateral. E para obter a área da

superfície total adicionem a área da superfície lateral com as áreas das bases. O

34

professor pode também solicitar que seja utilizada a ferramenta Área para

determinar a medida da área das faces laterais e das bases.

Os alunos devem observar como preencheram o quadro para responder a

questão 6 e responder que as áreas da superfície lateral e total são dadas pela

soma das áreas das faces laterais (área da superfície lateral) e pela soma das áreas

das faces laterais com a área das bases laterais (área da superfície total).

Na questão 7 os alunos devem generalizar o calculo da área da superfície

de um prisma. Caso os alunos determinem uma generalização para cada prisma, o

professor deverá abordar estas generalizações fazendo com que os alunos

observem que em ambos os casos a forma utilizada para calcular a área da

superfície do prisma é a mesma. Segundo Gerônimo e Franco (2010, p.285):

“A área lateral de um prisma é a área da superfície lateral, que é a soma das

áreas dos paralelogramos. A área total de um prisma é a soma da área com as

áreas da base, ou seja:

.

5.1.3 Tarefa 3 – o volume de um prisma de base retangular reto

Na tarefa proposta a seguir será utilizada também a construção 4.1 (Prisma

reto). Antes da tarefa ser iniciada o professor deverá trabalhar com os alunos o

significado de volume. A seguir tarefa:

(continua)

Tarefa 3

Abra o arquivo 4.1.

Sabendo que o sólido construído no arquivo é um prisma reto de base retangular,

responda as questões a seguir:

1. Abra o arquivo 4.1, movimente os controles deslizantes a, b e h. O que

35

(conclusão)

ocorre quando são movimentados estes controles?

2. Clique na janela de visualização 3D. Selecione a ferramenta Volume

calcule o volume do prisma, para isso clique no prisma. Movimente

novamente os controles deslizantes. O que ocorre com o volume quando os

controles são movimentados?

3. Fixe valores para os controles deslizantes a e b, e após preencha o quadro

atribuindo diferentes valores ao controle deslizante h, inicie com h=1:

a= b=

h Área da base Volume

1

4. Com base na observação feita na questão acima, como pode ser calculado

o volume do prisma reto de base retangular? Justifique

Quadro 3 – Tarefa 3: volume de um prisma reto Fonte: A autora, 2015

Espera-se que na questão 1 os alunos respondam que ao movimentar os

controles a e b alteram-se as medidas das dimensões do retângulo que é a bases

do prisma. E ao movimentar o controle h altera-se a medida das alturas dos prismas,

juntamente com as medidas das dimensões alteram-se as medidas dos seguintes

elementos: arestas, área das faces, área das bases, área da superfície lateral, área

da superfície total e volume.

Com a questão 2 almeja-se que os alunos observem que ao movimentar os

controles deslizantes o volume do prisma é alterado.

Na questão 3 objetiva-se que os alunos preencham o quadro para

posteriormente relacionar os resultados obtidos com o volume do prisma reto de

base retangular, os alunos podem utilizar a ferramenta Área para determinar a

área da base do prisma. Já na questão 4 os alunos deverão observar os dados do

36

quadro e relacionar que o cálculo do volume de um paralelepípedo retângulo é dado

pelo seguinte resultado:

“O volume de um sólido geométrico determinado por um paralelepípedo

retângulo é igual ao produto da área da base pela medida da altura.” (GERÔNIMO e

FRANCO, 2010, p.285)

5.1.4 Tarefa 4 – o volume de um prisma

Para esta tarefa deverá ser utilizada a construção 4.3 (Prisma reto e prisma

oblíquo construídos no mesmo arquivo). O Principio de Cavalieri deverá ser

enunciado e explicado para os alunos, pois eles necessitarão deste princípio para

desenvolver a tarefa. Segue o princípio: “dois sólidos, nos quais todo plano secante,

paralelo a um dado plano, determina superfícies de áreas iguais (superfícies

equivalentes), são sólidos de volumes iguais (sólidos equivalentes).” (DOLCE e

POMPEO, 2011 p.164)

A seguir tarefa:

(continua)

Tarefa 4

Abra o arquivo 4.3 e responda as questões a seguir:

1. Movimente os controles deslizantes a e b. O que ocorre quando estes

controles deslizantes são movimentados?

2. As bases dos prismas são congruentes? E as alturas são congruentes?

Clique na janela de visualização 3D. Selecione a ferramenta Ponto e

crie um ponto sobre uma das arestas do prisma reto, para isso clique sobre

uma das arestas;

Selecione a ferramenta Plano paralelo e construa um plano paralelo ao

plano da base e passando pelo ponto que você determinou, para isso clique

37

(conclusão)

no ponto da base e no ponto construído no passo anterior;

Determine a interseção entre o plano e o prisma reto, para isso digite na

barra de entrada Interseção[p, g], observe que interseção determinada é um

retângulo;

Construa a interseção entre o plano e o prisma obliquo, para isso digite na

barra de entrada Interseção[p, o], observe que interseção determinada é um

retângulo;

Repita as orientações anteriores mais 5 vezes;

Observação: os rótulos dos prismas sempre serão os mesmos, somente são

modificados os rótulos dos planos, os quais serão sempre os últimos objetos

construídos;

3. As áreas das superfícies determinadas pelos planos (em cada um dos

prismas) são congruentes?

Observe que foi utilizado acima o princípio de Cavalieri;

4. Agora utilizando este princípio você pode afirmar que os volumes dos sólidos

são iguais? E a forma de calcular o volume é a mesma?

5. Como podemos calcular o volume de um prisma qualquer?

Quadro 4 –- Tarefa 4: volume do prisma Fonte: A autora, 2015

Objetiva-se que na questão 1 os alunos respondam que ao movimentar os

controles a e b alteram-se as medidas das dimensões dos retângulos que são as

bases dos prismas, e ao movimentar o controle h altera-se a medida da altura do

prisma, e juntamente com as dimensões alteram-se as medidas dos seguintes

elementos: arestas, área das faces, área da superfície lateral e área da superfície

total, volume.

Na questão 2 almeja-se que os alunos observem que as áreas das bases

dos prismas serão sempre congruentes, e isto decorre do fato das dimensões dos

retângulos que são as bases de ambos os prismas estarem associadas aos mesmos

controles deslizantes, o mesmo ocorre para as alturas.

Caso os alunos não tenham muito conhecimento sobre como fazer

construções no software GeoGebra 3D o professor poderá auxiliá-los, mostrando

como fazer as construções. O professor deve chamar a atenção dos alunos para o

fato de que os nomes dos prismas sempre serão os mesmos, mas os nomes dos

38

planos paralelos não serão, pois são planos diferentes. Portanto deverão sempre

observar como o plano foi nomeado para construir a interseção do plano com os

prismas.

Após os alunos terem construído os planos paralelos a base e as

interseções deste plano com os respectivos prismas, os alunos deverão observar na

questão 3 que as superfícies determinadas por estes planos são congruentes.

Já na questão 4 deseja-se que os alunos afirmem que os prismas têm

volumes equivalentes, pois as áreas determinadas pelos planos paralelos

determinaram superfícies de áreas congruentes, e possuem também as áreas das

bases e alturas congruentes e isto garante que os prismas possuem mesmo volume,

sendo assim a maneira de calcular o volume destes prismas é a mesma.

Na questão 5 os alunos deverão concluir que o volume do prisma é dado

pelo seguinte resultado: “o volume de um prisma é o produto da área da base pela

medida da altura”, ou seja, V= Abh (DOLCE e POMPEO, 2011, p.166).

39

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste trabalho buscou-se propor tarefas utilizando construções feitas no

software GeoGebra 3D como recurso didático. A partir dessas construções propõem-

se a exploração das mesmas para trabalhar com a classificação, o cálculo da área

da área da superfície e o cálculo do volume de prismas, tendo como intuito atribuir

um dinamismo as aulas e propiciar aos alunos a oportunidade de construir novos

conceitos matemáticos.

Desta forma espera-se que as tarefas propostas facilitem o processo de

ensino e aprendizagem da geometria espacial.

As tecnologias digitais podem sempre ser utilizadas no processo de ensino e

aprendizagem, visto que se forem utilizadas de forma coerente serão capazes de

despertar o interesse e a curiosidade dos alunos, possibilitando que ocorra a

aprendizagem.

Sendo assim, o desenvolvimento deste trabalho proporcionou a

oportunidade de elevar os meus conhecimentos relacionados ao uso de tecnologias

digitais para o ensino da geometria espacial.

Devemos buscar por novos recursos, novas metodologias que sejam

capazes de despertar o interesse e a vontade do aluno, algo que faça o aluno olhar

para a matemática de outra forma, que a aprendizagem dos conteúdos de

matemática se torne cada vez mais desejada tanto pelos alunos quanto pelos

professores, para que realmente haja a construção de conceitos.

Para mim como futura professora este trabalho só contribuiu, pois em um

futuro próximo estarei lecionando, e quando for necessário poderei utilizar esta

proposta com os meus alunos.

A partir das pesquisas realizadas para o desenvolvimento deste trabalho

conclui-se que o professor necessita sempre atualizar-se, buscando novos métodos

que possam ser eficazes.

Neste trabalho visou-se explorar uma versão nova de um recurso muito

conhecido pelos professores de matemática, e que já foi alvo de inúmeras pesquisas

(exceto a nova versão 3D).

Ao explorar o software GeoGebra 3D, foi possível observar que ele é um

software com grande potencial que possibilita explorar inúmeros conteúdos, porém

40

a forma explorada nem sempre é a melhor, sempre há algo a aprender, e o que foi

apresentado neste trabalho é somente um parcela das potencialidades a serem

exploradas no GeoGebra 3D.

41

REFERÊNCIAS

BRASIL. Ministério da Educação. Secretária de Educação Básica. Orientações curriculares para o ensino médio: Ciências da Natureza Matemática e suas tecnologias. Brasília, 2006. BRASIL. Secretária de Educação Média e Tecnológica. PCN+ Ensino médio: Orientações curriculares para o ensino médio: Ciências da Natureza Matemática e suas tecnologias. Brasília, 2009. BRITO, G. S.; PURIFICAÇÃO, I. Educação e novas tecnologias: um repensar. Curitiba: IBPEX, 2012. DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos da matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica. 3. ed. São Paulo: Atual, 2011. GERÔNIMO, J. R.; FRANCO, V. A. Geometria plana e espacial: um estudo axiomático. 2. ed. Maringá: Eduem, 2010. GRAVINA, M. A.; SANTAROSA, L. M. A aprendizagem da matemática em ambientes informatizados. IV Congresso RIBIE. Brasília, 1998. Disponível em: <http://www.ufrgs.br/niee/eventos/RIBIE/1998/pdf/com_pos_dem/117.pdf> Acesso: 07 de julho de 2015 KENSKI, V. M. Aprendizagem Mediada pela tecnologia. Revista Diálogo Educacional. Curitiba, v.4, n.10, p.47-56, set/dez.2003. MORELATTI, M. R. M.; SOUZA, L. H. G de. Aprendizagem de conceitos geométricos pelo futuro professor das séries iniciais do Ensino Fundamental e as novas tecnologias. Educar, n.28, 2006. Disponível em <http://www.capes.gov.br> Acesso em: 24 de março de 2015. PARANÁ. Secretaria de Educação do Estadual do Paraná. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: matemática. Paraná, 2008. Disponível em: < http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/diretrizes/dce_mat.pdf> Acesso: 24 de março de 2015 PRINCIVAL, C. J. O USO DOS SOFTWARES BRR. OFFICE CALC E GEOGEBRA NO ENSINO FUNÇÕES QUADRÁTICAS. 2012. Trabalho de conclusão de curso (Licenciatura em matemática) – Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras, Colegiado de Matemática, União da Vitória, 2012. RITTER, A. M. A visualização no ensino de geometria espacial: possibilidades com software calque 3D. 2011. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Instituto de Matemática, Porto Alegre, 2011.

42

SILVA, G. H. G. da. Grupos de estudo como possibilidade de formação de professores de matemática no contexto da geometria dinâmica. 2010. 191 f. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas, 2010. SOUZA, L.A. Uma proposta para o ensino da geometria espacial usando o Geogebra 3D. 2014. Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual da Paraíba, Centro de Ciências e Tecnologias, Campina Grande, 2014.

UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE ÁREA E VOLUME DE...

Documents

Transcript of UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE ÁREA E VOLUME DE...