UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ- UNESPAR CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA COLEGIADO DE MATEMÁTICA

SOLIANE BAUFLEUR

EQUAÇÕES POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS: UMA PROPOSTA DE ENSINO

UNIÃO DA VITÓRIA 2013

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SOLIANE BAUFLEUR

EQUAÇÕES POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS: UMA PROPOSTA DE ENSINO

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de licenciado em Matemática, da Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras de União da Vitória – FAFIUV. Orientador: Prof. Mestre Everton José Goldoni Estevam.

UNIÃO DA VITÓRIA 2013

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AGRADECIMENTOS

Acima de tudo, agradeço a Deus, por todas as forças que Ele me dá e por

me iluminar sempre pelo caminho certo.

À minha família, minha mãe Anita, minha irmã Tatiane e minha avó Ritta,

pelo carinho e incentivo que sempre recebi.

Ao meu pai Renésio (in memorian), de quem herdei a paixão pela

Matemática.

Ao meu namorado Serginho, de quem sempre tive amor e apoio nos

momentos mais difíceis.

Aos meus colegas de turma, em especial ao Victor Hugo, pelas

contribuições com informações que me auxiliaram na realização do trabalho.

E principalmente ao Professor Everton que pacientemente, com sua

experiência, seus conhecimentos e sugestões contribuiu para a concretização desse

trabalho.

3

“Na maior parte das ciências uma geração põe abaixo o que a

outra construiu e o que uma estabeleceu, a outra desfaz.

Somente na matemática é que cada geração constrói um novo

andar sobre a antiga estrutura.”

Hankel

4

RESUMO

Nesse trabalho, discutimos o ensino e a aprendizagem de equações polinomiais associadas aos Números Complexos no Ensino Médio. Analisamos o contexto escolar em que esses conteúdos são apresentados, quais os problemas encontrados por professores e alunos e o que os currículos explicitam quanto ao ensino e aprendizagem desses conteúdos. Apresentamos, também, um estudo teórico sobre as equações polinomiais e os Números Complexos, numa abordagem voltada para o Ensino Médio. A partir desses apontamentos, e pautados nas metodologias de ensino, Resolução de Problemas e História da Matemática, desenvolvemos uma proposta de ensino, a qual acreditamos poder contribuir para a efetivação do ensino e aprendizagem desses conteúdos de maneira eficaz. Palavras-chave: Equações Polinomiais. Números Complexos. Resolução de Problemas. História da Matemática. Ensino.

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 7

2 DESENVOLVIMENTO DAS EQUAÇÕES POLINOMIAIS E DOS NÚMEROS

COMPLEXOS ............................................................................................................. 8

3 CONCEITOS E DEFINIÇÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS, POLINÔMIOS E

EQUAÇÕES POLINOMIAIS. .................................................................................... 12

3.1 NÚMEROS COMPLEXOS .................................................................................. 12

3.1.1 O conjunto dos Números Complexos ............................................................... 12 3.1.2 Propriedades da adição de Números Complexos ............................................ 13 3.1.3 Propriedades da Multiplicação de Números Complexos .................................. 14

3.2 POLINÔMIOS ...................................................................................................... 17

3.2.1 Polinômio .......................................................................................................... 17 3.2.2 Valor Numérico de um Polinômio ..................................................................... 17 3.2.3 Polinômio Nulo ................................................................................................. 17

3.2.3 Coeficientes do Polinômio Nulo ........................................................................ 17

3.2.4 Polinômios Idênticos ........................................................................................ 18

3.2.5 Coeficientes de Polinômios Idênticos ............................................................... 18 3.2.6 Adição de Polinômios ....................................................................................... 18

3.2.7 Propriedades da Adição de Polinômios ............................................................ 19 3.2.8 Multiplicação de Polinômios ............................................................................. 21 3.2.9 Propriedades da multiplicação de Polinômios .................................................. 21

3.2.10 Grau de um Polinômio .................................................................................... 21 3.2.11 Grau da Soma de Polinômios ......................................................................... 21

3.2.12 Grau do Produto de Polinômios ..................................................................... 22 3.2.13 Divisão de Polinômios (Algoritmo de Euclides) .............................................. 23 3.2.14 Existência e Unicidade do quociente e do resto ............................................. 23

3.2.15 Teorema do resto ........................................................................................... 23 3.2.16 Teorema de D’Alembert. ................................................................................ 24 3.2.17 Algoritmo de Briot-Ruffini ................................................................................ 24

3.3 EQUAÇÕES POLINOMIAIS ................................................................................ 25

3.3.1 Equação Polinomial .......................................................................................... 25 3.3.2 Raízes de Equações Polinomiais ..................................................................... 25 3.3.3 Conjunto solução .............................................................................................. 25

3.3.4 Teorema Fundamental da Álgebra ................................................................... 26 3.3.5 Teorema da Decomposição ............................................................................. 26 3.3.6 Corolário do Teorema da Decomposição ......................................................... 28

3 ENSINO E APRENDIZAGEM DE EQUAÇÕES POLINOMIAIS ............................ 29

3.1 EQUAÇÕES POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS NOS CURRÍCULOS

ESCOLARES ............................................................................................................ 30

6

3.2 EQUAÇÕES POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS NOS LIVROS

DIDÁTICOS ............................................................................................................... 31

3.3 O QUE PESQUISAS APONTAM SOBRE O ENSINO DE EQUAÇÕES

POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS ............................................................. 33

4 METODOLOGIAS PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA ..................................... 35

4.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ......................................................................... 35

4.2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DE EQUAÇÕES POLINOMIAIS E

NÚMEROS COMPLEXOS ........................................................................................ 36

4.3 HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ............................................................................. 37

5 PROPOSTA DE ENSINO....................................................................................... 39

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 51

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 53

7

1 INTRODUÇÃO

Equações polinomiais ou algébricas e Números Complexos são conteúdos

relevantes e que devem ser trabalhados no Ensino Médio. Estão presentes nos

Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2000), nas

Orientações Curriculares Nacionais (BRASIL, 2006), nas Orientações Educacionais

Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL,

2002) e nas Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná (PARANÁ, 2008).

Historicamente, os Números Complexos surgiram quando matemáticos

resolviam equações polinomiais. Inicialmente as raízes de números negativos eram

ignoradas pelos mesmos, porém devido à frequência com que tinham que trabalhar

com esses números, até então desconhecidos, fundamentou-se uma teoria

envolvendo as raízes de números negativos, hoje conhecida como Números

Complexos.

Assim, pesquisadores e currículos defendem que o ensino de equações

polinomiais e de Números Complexos deve proceder de forma contextualizada e

associada, pelo fato de que os Números Complexos surgiram em decorrência da

resolução de equações polinomiais.

Entretanto, nas escolas na maioria das vezes, quando trabalhados, esses

conteúdos aparecem distantes e sem qualquer ligação, devido a abordagem

estritamente algébrica feita por alguns livros didáticos e também a dificuldade dos

alunos em compreender a álgebra.

Em meio a esse contexto problemático em que se encontra o ensino e

aprendizado de Números Complexos e equações polinomiais no Ensino Médio,

estruturamos uma proposta de ensino que viabilize um ensino contextualizado e

associado desses conteúdos.

Para tal utilizamos como metodologia de ensino a Resolução de Problemas

e a História da Matemática.

O trabalho apresenta ainda, uma breve história do desenvolvimento desses

conteúdos e traz também, de maneira formal, toda a parte teórica utilizada na

proposta de ensino.

8

2 DESENVOLVIMENTO DAS EQUAÇÕES POLINOMIAIS E DOS NÚMEROS

COMPLEXOS

Resolver equações polinomiais intrigou matemáticos desde a antiguidade.

Egípcios e Mesopotâmios há aproximadamente 1700 anos antes de Cristo já

trabalhavam com equações do primeiro grau e Babilônios, nessa mesma época,

conheciam métodos de encontrar raízes de segundo grau, segundo Garbi (2010).

No século 12, o matemático Bháskara tornou-se popular por encontrar a

fórmula geral para a solução das equações polinomiais de grau dois, hoje, no Brasil,

conhecida como a Fórmula de Bháskara:

.

Entretanto, como o próprio Bháskara relatou, a fórmula que leva o seu nome

não foi encontrada por ele, e sim por Sridhara, um século antes (GARBI, 2010).

Apenas no Brasil a Fórmula de Bháskara tem esse nome. Garbi (2010) também

afirma que foi com a Fórmula de Bháskara que se obteve pela primeira vez raízes de

Números negativos, até então desconhecidos e ignorados pelos matemáticos da

época.

Apesar dos avanços realizados desde a antiguidade sobre a resolução de

equações de graus um e dois, pouca coisa evoluiu em relação a isso até o século

XV (DOMINGUES, apud IEZZI, 2004). “Somente na época do Renascimento foram

alcançados os primeiros resultados relativos a equações de grau superior a dois”

(LIMA et al, 2006, p. 228).

Nada era conhecido a respeito de raízes de equações de grau maior que

dois. Em 1494, Pacioli publicou o livro Summa, obra na qual se limitava à resolução

de equações de grau um e dois, e ao final do livro, Pacioli afirmava que a solução da

cúbica era tão impossível quanto à quadratura do círculo

(DOMINGUES, apud IEZZI, 2004).

Porém, essa afirmação logo foi desmentida. Por volta de 1500, Scipione Del

Ferro, conseguiu resolver equações de grau três utilizando a substituição

que transforma em (DOMINGUES, apud IEZZI,

2004). Scipione morreu e não publicou seu método, mas o segredou a Fior, um de

seus alunos.

9

Alguns anos mais tarde, Niccolo Fontana, mais conhecido como Tartaglia

devido a sua gagueira, também pesquisava a respeito de soluções para a equação

de grau três, e em cerca de 1530, Fior, desafiou Tartaglia para uma disputa

envolvendo equações cúbicas. “Tartaglia aceitou o desafio [...] e além de resolver as

do tipo , também achou a fórmula geral para as do tipo ,

que Fior não conhecia” (GARBI, 2010, p. 37). Tartaglia venceu a disputa, o que só

aumentou a sua fama.

Entretanto, Tartaglia acabou revelando seus métodos de resolução de

equações cúbicas ao matemático Girolamo Cardano. Em 1545, Cardano publicou o

livro Ars Magna (Arte Maior) que continha os métodos de resolução de equações do

terceiro grau descobertos por Tartaglia. Nesse mesmo livro, Ludovico Ferrari,

discípulo de Cardano, apresentou um método para reduzir as equações do quarto

grau a equações cúbicas (DOMINGUES, apud IEZZI, 2004).

Isso gerou uma série de intrigas entre Tartaglia e Cardano, porém a fórmula

para resolução de desenvolvida por Tartaglia, hoje é conhecida como

fórmula de Cardano, descrita a seguir.

.

Além de muitas intrigas, a resolução de equações de grau três e quatro

trouxeram vários impasses aos matemáticos por cerca de dois séculos e meio.

Cardano em seu livro Ars Magna, a fim de resolver o problema de dividir 10

em duas partes tal que seu produto seja 40, obteve a equação ,

e aplicando a fórmula de Bháskara, encontrou e .

Também constatou que a equação possui uma raiz , porém

ao ser aplicada na fórmula que leva o seu nome, obtêm-se que uma das raízes é

(DOMINGUES, apud IEZZI, 2004).

Garbi (2010) afirma que “Parecia que, ao invés de responder a simples

pergunta ‘como resolver equações do 3º grau?’, Tartaglia havia mexido com um

verdadeiro vespeiro, do qual saiam estranhíssimas e insondáveis questões (p. 41)” e

completa que “aqui estava uma questão realmente séria e que não poderia

simplesmente ser ignorada. [...] estava-se diante de equações do 3º grau com

soluções evidentes, mas cuja determinação passava pela extração de raízes

quadradas de Números negativos (p.48-49)”.

10

Desde Heron de Alexandria, há mais de dois mil anos, as raízes de Números

negativos eram simplesmente ignoradas pelos matemáticos. Surge, então, a

necessidade da construção dos Números Complexos. “A busca por métodos

algébricos gerais de solução para tais equações foi responsável por grandes

desenvolvimentos da Matemática, incluindo a invenção dos Números Complexos

(LIMA et al, 2006, p. 228)”.

Segundo Domingues apud Iezzi (2004), Bombeli, em 1572, ao publicar

Álgebra, descreve uma teoria dos Números Complexos pela primeira vez, fazendo

e

(notação usada hoje),

encontrando , de onde temos . De fato, substituindo os valores de a

e b, temos:

.

No qual resolvendo obtemos:

.

E logo,

.

Analogamente, temos:

.

Daí temos que:

.

Porém, por anos ainda, os Números Complexos mantiveram certo mistério.

Somente a partir de 1799 Wessel, Argand e Gauss, fizeram publicações relevantes a

respeito desses Números, admitindo uma representação geométrica a eles. E foi

Hamilton, em 1833, que introduziu a álgebra formal dos Números Complexos,

conhecida hoje (DOMINGUES, apud IEZZI, 2004).

Foi Euler no século XVIII, que além de dominar por completo os Números

Complexos, introduziu boa parte da simbologia matemática utilizada hoje.

Euler foi o consolidador da simbologia moderna, tendo não apenas consagrado o que de melhor se dispunha à época, mas também, inventando muito do que hoje se utiliza. [...] dentre as inúmeras representações propostas e consagradas por Euler, uma nos interessa de

imediato: é o famoso “i”, significando a (GARBI, 2010, p.102).

11

Outra questão levantada após ficar conhecido o método para encontrar as

raízes de equações polinomiais de grau três e quatro, foi a respeito das equações de

grau maior do que ou igual a cinco.

Vários matemáticos durante anos tentaram encontrar métodos para resolver

as equações de grau maior que quatro, entretanto ninguém obteve sucesso. Então

se começou a pensar na impossibilidade de resolvê-las por radicais. Ruffini, em

1799, confirmou essa impossibilidade, mas seus argumentos para tal não foram

considerados (DOMINGUES, apud IEZZI, 2004).

Gauss, nesse mesmo ano, demonstrou o Teorema Fundamental da Álgebra,

no qual afirma que toda equação polinomial de coeficientes Reais ou Complexos

tem, pelo menos uma raiz complexa (GARBI, 2010).

Abel, em 1824, publicou um artigo em que provou ser impossível a resolução

de equações com grau maior do que ou igual a 5, em sua forma geral, por meio de

radicais, o que ficou conhecido como Teorema de Ruffini-Abel (DOMINGUES, apud

IEZZI, 2004).

E em 1830, Evariste Galois descobriu um método que determina quando

uma equação polinomial pode ser resolvida com as operações elementares,

introduzindo a noção de grupo.

A teoria de Galois associa a cada equação algébrica um conveniente grupo de permutações de suas raízes. E estabelece que a equação é resolúvel por radicais se, e somente se, esse grupo é de um certo tipo (definido na teoria). Por fim conseguia-se uma caracterização da resolubilidade por radicais! E como, para , sempre há equações de grau n cujo grupo não é do tipo definido por Galois, o próprio teorema de Ruffini-Abel passava a ser consequência da teoria de Galois (DOMINGUES, apud IEZZI, 2004, p. 198).

Com esse feito, Galois finalmente encerrou o capítulo das equações

polinomiais.

12

3 CONCEITOS E DEFINIÇÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS, POLINÔMIOS E

EQUAÇÕES POLINOMIAIS.

Para elaborarmos uma proposta de ensino sobre equações polinomiais e

Números Complexos devemos, primeiramente, compreender toda a teoria envolvida.

Nesse capítulo abordamos definições, teoremas e também demonstrações a

respeito desses conteúdos.

Optamos por abordar as equações polinomiais no conjunto dos Números

Complexos e nas demonstrações que seguem, utilizamos argumentos mais simples,

que possam ser compreendidos por alunos do Ensino Médio.

Todas as definições, teoremas e demonstrações, que seguem foram

baseadas no livro: IEZZI, G. Fundamentos da Matemática Elementar – volume 6. 6.

ed. São Paulo: Atual, 2004.

3.1 NÚMEROS COMPLEXOS

3.1.1 O conjunto dos Números Complexos

Seja o conjunto dos Números Reais. Consideremos todas as propriedades

e definições desse conjunto.

O produto cartesiano x = ²:

.

isto é, ² é o conjunto dos pares ordenados em que x e y são Números Reais.

Chama-se conjunto dos Números Complexos, e representa-se por , o

conjunto dos pares ordenados de Números Reais para os quais estão definidas a

igualdade, adição e multiplicação, conforme descritas a seguir.

Tomando e dois elementos de ², tem-se:

a) Igualdade:

b) Adição:

c) Multiplicação: .

É usual representar cada elemento com o símbolo , logo:

, sendo .

13

3.1.2 Propriedades da adição de Números Complexos

Dados , com , e com

, verificam-se as propriedades:

a) Associatividade: .

Demonstração:

Como , seguindo a definição de adição de Números Complexos, tem-se:

.

Sendo que são Números Reais, vale a associatividade aditiva para os

Números Reais. Então temos:

b) Comutatividade: .

Demonstração:

Como , seguindo a definição de adição de Números Complexos, tem-se:

.

pelo fato de serem Números Reais, vale a propriedade comutativa para os

Números Reais. Então, obtemos:

c) Existência do elemento neutro: .

Demonstração:

Tomemos . Queremos mostrar que existe um , com , e

com , no qual tem-se . Aplicando a definição de adição de

Números Complexos, temos:

de onde,

.

14

Obtêm-se o seguinte sistema de equações pela definição de igualdade de Números

Complexos

Como , afirmamos que e , pois 0 é o elemento neutro da

adição no conjunto do Números Reais. Portanto, existe chamado

de elemento neutro para a adição em , que

d) Existência do elemento simétrico: .

Demonstração:

Dados e . Queremos mostrar que para todo , existe um

, com , e com , no qual tem-se . Aplicando a

definição de adição de Números Complexos, temos:

,

de onde igualando a ,

.

Pela definição de igualdade de Números Complexos, obtêm-se o sistema de

equações,

Como , adicionamos na primeira e na segunda equação,

respectivamente, e obtemos:

Portanto, existe chamado de elemento simétrico para a adição

em , denotado por , que,

3.1.3 Propriedades da Multiplicação de Números Complexos

Dados , com , e com

, verificam-se as propriedades:

a) Associatividade: .

Demonstração:

Como , seguindo a definição de multiplicação de Números Complexos,

tem-se:

15

.

Como são Números Reais, pela distributividade da multiplicação em

relação à soma dos Números Complexos:

.

Colocando em evidência e , temos:

.

Obtemos assim, pela comutatividade aditiva dos Números Reais,

b) Comutatividade: .

Demonstração:

Como , pela definição de multiplicação de Números Complexos, tem-se:

.

Pelo fato de serem Números Reais, vale a comutatividade multiplicativa e

aditiva para os Números Reais. Então, obtemos:

c) Existência do elemento neutro: .

Demonstração:

Tomemos . Queremos mostrar que existe um , com , e

com , no qual tem-se . Aplicando a definição de multiplicação de

Números Complexos, temos:

.

de onde,

.

Pela definição de igualdade dos Números Complexos, obtêm-se o sistema

equações,

16

Multiplicando (I) por -b, (II) por a, e adicionando ambas, temos:

realizando as operações em resulta em:

.

Substituindo o valor de em qualquer uma das equações, tem-se que ,

pois é o elemento neutro da multiplicação em . De fato,

Disto, afirmamos que e . Portanto, existe chamado de

elemento neutro para a multiplicação em tal que

d) Existência do elemento Inverso: .

Demonstração:

Dados e . Queremos mostrar que para todo , existe um

, com , e com , no qual tem-se . Aplicando a

definição de multiplicação de Números Complexos, temos:

.

de onde igualando a ,

.

Pela definição de igualdade de Números Complexos, obtêm-se o sistema de

equações,

Isolando t em (II) e substituindo em (I), temos:

e

.

Substituindo o valor encontrado para s encontramos o valor de t,

.

Portanto, existe

chamado de elemento inverso para a

multiplicação em tal que,

17

3.2 POLINÔMIOS

3.2.1 Polinômio

DEFINIÇÃO: Dada a sequência de Números Complexos ,

consideremos a função dada por ,

com . A função é denominada função polinomial ou polinômio associado a

sequência dada.

Os Números , , ... , são chamados coeficientes, e , , ... ,

são denominados termos do polinômio.

3.2.2 Valor Numérico de um Polinômio

DEFINIÇÃO: O valor numérico de um polinômio , para , é o

número complexo que se obtem substituindo o x por .

3.2.3 Polinômio Nulo

DEFINIÇÃO: Dizemos que um polinômio é nulo (ou identicamente nulo)

quando assume o valor numérico para todo x complexo.

3.2.3 Coeficientes do Polinômio Nulo

TEOREMA: Dado o polinômio

Um polinômio é nulo se, e somente se, todos os coeficientes de forem

nulos, ou seja, .

Demonstração:

Sabemos por hipótese que é nulo. Então existem Números

Complexos distintos dois a dois, que são raízes de , ou seja,

.

Dessa forma, estamos diante um sistema linear homogêneo do tipo x

cujas incógnitas são . Como o determinante desse sistema é:

18

não nulo por tratar-se do determinante de uma matriz de Vandermonde cujos

elementos característicos são todos distintos , o sistema possui uma

única solução que é a trivial, . Logo todos os coeficientes

de são nulos, como queríamos demonstrar.

De fato, se , então temos:

Logo para todo , e portanto é nulo.

3.2.4 Polinômios Idênticos

DEFINIÇÃO: Dizemos que é idêntico a , ou que e são

iguais, quando assumem valores iguais para todo Complexo.

3.2.5 Coeficientes de Polinômios Idênticos

TEOREMA: Dados os polinômios

temos que e são iguais se, e somente se, os coeficientes de e

forem ordenadamente iguais.

Demonstração:

Para todo , temos:

3.2.6 Adição de Polinômios

DEFINIÇÃO: Dados dois polinômios

19

chama-se soma de com , o polinômio

.

Pelo menos ou é não nulo. Em geral, para somar os polinômios

onde devemos somar todos os termos de mesmo grau.

3.2.7 Propriedades da Adição de Polinômios

Dados os polinômios

valem as seguintes propriedades:

a) Associatividade: .

Demonstração:

Sejam polinômios. Pela definição de adição de polinômios, temos:

e pelo fato de , a adição de Números Complexos é associativa:

b) Comutatividade:

Demonstração:

Sejam e polinômios. Temos:

20

Pela definição de adição de polinômios, obtemos:

Pelo fato de , a adição de Números Complexos é comutativa:

c) Existência do Elemento Neutro: .

Tomemos

e , com . Queremos mostrar

que , para qualquer . Aplicando a definição de adição de

polinômios, temos:

De onde igualando a , tem-se de polinômios idênticos:

Adicionando em ambos os lados da equação acima:

Como , com , vemos que é o polinômio nulo. Portanto, temos

que , e 0 denota o polinômio nulo.

d) Existência do Elemento Simétrico: .

Tomemos

e

, com e o elemento neutro

(polinômio nulo) . Queremos mostrar que para qualquer temos tal

que . Aplicando a definição de adição de polinômios, obtemos:

De onde igualando a , tem-se de polinômios idênticos:

21

Adicionando em ambos os lados da equação acima:

Portanto, temos o elemento simétrico para qualquer que seja :

3.2.8 Multiplicação de Polinômios

DEFINIÇÃO: Dados dois polinômios

chama-se produto de com o polinômio

3.2.9 Propriedades da multiplicação de Polinômios

Dados os polinômios , e valem as seguintes propriedades:

a) Associatividade: .

b) Comutatividade: .

c) Elemento Neutro: .

d) Distributividade: .

Devido a dificuldade nas demonstrações destas propriedades, pois

necessitam em suas demonstrações trabalhar com conceitos de somatório em um

nível mais avançado, tomaremos como válidas sem demonstrá-las efetivamente.

3.2.10 Grau de um Polinômio

DEFINIÇÃO: Dado um polinômio

não nulo. Chama-se grau de p(x), e representa-se por ou o Número

Natural n tal que e para todo . Assim, o grau de um polinômio

é o índice do último termo não nulo de .

3.2.11 Grau da Soma de Polinômios

TEOREMA: Dados dois polinômios não nulos. Se o polinômio

possui grau n e possui grau m, o grau de é menor do que ou igual

ao maior dos Números entre o grau de e , ou seja,

22

.

Demonstração:

Sejam

polinômios não nulos, temos que

e . Nesse caso, temos três possibilidades para n e m.

Consideremos . Assim, pela definição de adição de polinômios, sendo

, temos que:

.

Assim, .

Se considerarmos , analogamente obteremos que,

.

Se , temos que:

Como pode ser nulo, então

. Portanto, , para

quaisquer valores de e .

3.2.12 Grau do Produto de Polinômios

TEOREMA: Dados dois polinômios não nulos. Se o polinômio

possui grau n e possui grau m, o grau de é a soma de , ou

seja,

23

Demonstração:

Sejam

, com e

, com .

Multiplicando por , e escolhendo um como um coeficiente qualquer dessa

multiplicação, temos que .

Como , e , então temos que:

3.2.13 Divisão de Polinômios (Algoritmo de Euclides)

DEFINIÇÃO: Dados dois polinômios não identicamente nulos:

Dividir por consiste em obter dois polinômios (quociente) e

(resto) tais que,

i)

ii) , ou o resto é identicamente nulo (divisão exata).

3.2.14 Existência e Unicidade do quociente e do resto

TEOREMA: Dados dois polinômios não identicamente nulos:

existem um único polinômio e um único polinômio tais que:

i)

ii) .

Optamos por não demonstrar este Teorema aqui devido a sua demonstração

ser extensa. Tal demonstração pode ser obtida no livro de referência utilizado.

3.2.15 Teorema do resto

TEOREMA: O resto da divisão de um polinômio por é igual ao

valor numérico de em .

Demonstração:

Pelo Teorema acima da divisão de polinômios tem-se que

, onde é o quociente da divisão e o resto da divisão. Vemos

que tem grau 1. Então pela definição de divisão de polinômios, temos que

24

, ou seja, o resto ou é nulo, ou tem grau igual zero. Disto, é um

polinômio constante.

Calculando os valores de em a, obtemos:

3.2.16 Teorema de D’Alembert.

TEOREMA: Um polinômio é divisível por se, e somente se, é

raiz de .

Demonstração:

Pelo Teorema do resto ao dividirmos por , temos que .

Disto, obtemos,

3.2.17 Algoritmo de Briot-Ruffini

Dados os polinômios

vamos determinar o quociente e o resto da divisão de por .

Façamos:

.

Pela definição de multiplicação, temos:

Impondo a condição , resultam as igualdades:

Os cálculos para obter o quociente e o resto da divisão de por

tornam-se mais rápidos com a aplicação o seguinte dispositivo prático de Briot-

Ruffini:

25

adiciona

multiplica

Figura 1 - Dispositivo prático de Briot-Ruffini. Fonte: IEZZI. 2004, p. 84.

3.3 EQUAÇÕES POLINOMIAIS

3.3.1 Equação Polinomial

DEFINIÇÃO: Seja o polinômio dado por

as equações da forma ,

são chamadas de equações algébricas ou equações polinomiais.

O grau de uma equação polinomial é o grau do polinômio .

3.3.2 Raízes de Equações Polinomiais

DEFINIÇÃO: Dada uma equação polinomial , chama-se raiz da equação

todo número que, substituído no lugar de x torna a igualdade verdadeira. Isto é, é

raiz de se, e somente se, .

3.3.3 Conjunto solução

DEFINIÇÃO: Chama-se conjunto solução da equação o conjunto S

cujos elementos são as raízes complexas da equação. E, então, resolver uma

equação polinomial é encontrar seu conjunto solução, ou seja, encontrar suas

raízes.

26

3.3.4 Teorema Fundamental da Álgebra

TEOREMA: Toda equação polinomial de grau maior do que ou

igual a um admite ao menos uma raiz complexa.

Demonstração

Devido a demonstração deste teorema exigir conceitos mais elaborados e

que não são trabalhados no Ensino Médio, tomaremos como válido sem a

demonstração.

3.3.5 Teorema da Decomposição

TEOREMA: Toda equação polinomial de grau maior do que ou

igual a 1

pode ser decomposta em n fatores do primeiro grau, isto é,

em que , , , ... , são raízes de . Com exceção da ordem dos fatores tal

decomposição é única.

Demonstração (existência):

Seja o polinômio , em que .

Pelo Teorema Fundamental da Álgebra (3.3.3) tem-se que possui pelo menos

uma raiz , isto é, . Logo pelo Teorema de D’Alembert (3.2.14) é

divisível por e existe um polinômio tal que:

onde é de grau , e o coeficiente de maior grau é Pelo Teorema

Fundamental da Álgebra (3.3.3) tem-se que possui pelo menos uma raiz ,

isto é, . Logo pelo Teorema de D’Alembert (3.2.14) é divisível por

e existe um polinômio tal que:

onde é de grau , e o coeficiente de maior grau é . Substituindo em

temos:

Novamente pelo Teorema Fundamental da Álgebra (3.3.3) tem-se que possui

pelo menos uma raiz , isto é, . Logo pelo Teorema de D’Alembert

(3.2.14) é divisível por e existe um polinômio tal que:

27

onde é de grau , e o coeficiente de maior grau é . Substituindo em

temos:

Como n é finito, prosseguindo da mesma maneira n vezes, chegamos à conclusão

que:

onde é de grau , e o coeficiente de maior grau é . Por esse motivo

, e portanto, substituindo na equação acima, obtemos:

em que , , , ... , são raízes de

Demonstração (unicidade):

Seja o polinômio , em que .

Suponhamos que este admita duas decomposições:

Podemos escrever:

e supondo reduzidos e ordenados, temos:

Pelo teorema dos polinômios idênticos (3.2.5), temos que, necessariamente,

e . Ficamos, então com a igualdade:

(I)

Atribuindo a o valor de , obtemos:

Se o produto é nulo, isso implica que um dos fatores é nulo.

Consideremos, de forma conveniente, . Assim a igualdade (I) se transforma

em:

na qual obtemos que:

(II)

Atribuindo a o valor de , obtemos:

28

Se o produto é nulo, isso implica que um dos fatores é nulo.

Consideremos, de forma conveniente, . Assim a igualdade (II) se transforma

em:

na qual obtemos que:

Analogamente, continuando para , com , obteremos as

igualdades

. Estas igualdades juntamente com e

são a prova da unicidade da decomposição.

3.3.6 Corolário do Teorema da Decomposição

COROLÁRIO: Toda equação polinomial de grau admite n, e somente

n, raízes complexas.

Demonstração:

Seja o polinômio , em que .

Sabemos pelo Teorema da Decomposição (3.3.4) que pode ser decomposta

em n fatores do primeiro grau, isto é,

em que , , , ... , são raízes de , distintas ou não. No teorema anterior

ao provarmos a unicidade da decomposição, fica claro que , , , ... , são as

únicas raízes de , que podem ser distintas ou não.

29

3 ENSINO E APRENDIZAGEM DE EQUAÇÕES POLINOMIAIS

No que se refere ao ensino e à aprendizagem de Matemática, as equações

são um conteúdo de extrema importância para ser abordado em sala de aula. Para

Bezerra e Mendes (2006),

Compreende-se que as equações sejam de que tipo for, é um conteúdo atraente de estudo e pode ser um assunto central e de grande importância dentro da matemática e das suas aplicações. Inúmeros problemas e processos da Ciência e da Tecnologia, e mesmo da nossa vida cotidiana, podem ser descritos ou modelados por meio de equações. (p. 3).

Para um estudo mais aprofundado de equações polinomiais, é necessário

que haja anteriormente um estudo dos Números Reais e Complexos. Principalmente

dos Números Complexos. Isso, porque, historicamente, os Números Complexos

surgiram da necessidade de resolver equações polinomiais de grau 3. Quando

Cardano e Tartaglia desenvolveram as estratégias para encontrar essas raízes, se

depararam com raízes de Números negativos. Daí surgiram vários estudos para

compreender e formalizar esses Números.

É fato que o desenvolvimento dos Números Complexos seguiu um longo caminho, desde sua criação até os nossos dias. Tais Números são parte essencial na história das equações, e por si só, tal aspecto já seria bastante relevante para ser apresentado pelo professor aos seus alunos, para despertar-lhes o interesse ou, pelo menos curiosidade, pela evolução das ideias matemáticas. É plausível que tal atitude contribua para desmistificar o senso predominante de que as ideias matemáticas foram obras de gênios inspirados que criaram objetos abstratos cuja utilidade parece ser escrita apenas aos problemas abordados nos livros escolares, distantes do cotidiano. (OLIVEIRA, 2010, p. 20).

Caldeira (2012) discute que, “para nos apropriarmos de um conteúdo é

necessário, entre outros fatores, compreender como ele se estrutura, qual a sua

história e quais suas inter-relações com as demais áreas do conhecimento” (p. 1).

Então, trabalhar as equações polinomiais e os Números Complexos

desassociados, pode ficar sem sentido, pois historicamente ambos os conteúdos

foram estruturados de forma conjunta, e assim podem ser explorados juntos.

A seguir apresentamos o que pesquisas e orientações têm apontado a

respeito dos problemas em relação à abordagem desses conteúdos.

30

3.1 EQUAÇÕES POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS NOS CURRÍCULOS

ESCOLARES

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio

(BRASIL, 2000), as Orientações Curriculares Nacionais (BRASIL, 2006), as

Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais

do Ensino Médio (BRASIL, 2002) e as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná

(PARANÁ, 2008), as equações polinomiais ou algébricas devem ser abordadas no

Ensino Médio.

Analisando os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio,

percebemos que eles apontam que “aspectos do estudo de polinômios e equações

algébricas podem ser incluídos no estudo de funções polinomiais, enriquecendo o

enfoque algébrico que é feito tradicionalmente” (BRASIL, 2000, p. 43). As

Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais

do Ensino Médio (BRASIL, 2002) também chamam atenção ao estudo de equações

polinomiais, enfatizando que o ensino das mesmas não deve se conter às equações

de primeiro e segundo graus, assim como devem ser relacionadas a outras áreas do

conhecimento (BRASIL, 2002, p. 122).

Já as Orientações Curriculares Nacionais (BRASIL, 2006) não trazem

especificamente os polinômios como um conteúdo a ser abordado. Contudo,

destacam o estudo das funções polinomiais no bloco de Funções. Apresentam a

importância de se abordar esse conteúdo, citando que,

Funções polinomiais mais gerais de grau superior a 2 podem ilustrar as dificuldades que se apresentam nos traçados de gráficos, quando não se conhecem os 'zeros' da função. Casos em que a função polinomial se decompõe em um produto de funções polinomiais de grau 1 merecem ser trabalhados. (p. 74).

As Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná (PARANÁ, 2008), trazem os

polinômios no Ensino Médio, no conteúdo estruturante Números e Álgebra, e as

funções polinomiais no conteúdo estruturante de Funções. Quanto aos primeiros,

espera-se que o aluno identifique e realize operações com polinômios. Não cita nada

especificamente em relação às funções polinomiais, mas considera relevante o

conteúdo estruturante de funções, apontando a importância de que o aluno

identifique, analise gráficos e realize cálculos envolvendo diferentes funções, assim

como as utilize para resolver problemas.

31

Em relação aos Números Complexos, as Diretrizes Curriculares do Estado

do Paraná (PARANÁ, 2008) expõem que no conteúdo estruturante Números e

Álgebra deve-se trabalhar Números Reais e Complexos, com o intuito de que os

alunos compreendam esses Números, assim como suas operações.

As Orientações Curriculares Nacionais (BRASIL, 2006), no bloco de

Números e Operações, trazem que,

Os Números Complexos devem ser apresentados como uma histórica necessidade de ampliação do conjunto de soluções de uma equação, tomando-se, para isso, uma equação bem simples, a saber, x²+1 = 0. (p. 71).

As Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares

Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2002) além de apontarem os Números

Complexos como conteúdo a ser trabalhado no Ensino Médio, destacam a

importância de associar o ensino desses Números ao de equações polinomiais.

Tradicionalmente, a Matemática do ensino médio trata da ampliação do conjunto numérico, introduzindo os Números Complexos. Como esse tema isolado da resolução de equações perde seu sentido para os que não continuarão seus estudos na área, ele pode ser tratado na parte flexível do currículo das escolas (p. 122).

Com todos os apontamentos citados, fica evidente que os currículos

incentivam o estudo, tanto de equações polinomiais como de Números Complexos,

por serem conteúdos importantes para os alunos do Ensino Médio.

3.2 EQUAÇÕES POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS NOS LIVROS

DIDÁTICOS

Apesar de todos os apontamentos realizados até agora sobre a importância

do ensino das equações polinomiais e dos Números Complexos no Ensino Médio,

muitas vezes esses conteúdos são abordados muito superficialmente ou nem sequer

vistos no Ensino Médio.

O que acontece é que vários livros didáticos apresentam as equações

polinomiais sem ligação alguma com os Números Complexos, sem contar também

que muitos deles trazem esses conteúdos de maneira insuficiente, em seus últimos

capítulos sem muita importância.

Em uma pesquisa realizada tratando de equações polinomiais, na qual foram

analisados diversos livros didáticos de Ensino Médio, dos anos de 1940 a 1990,

Azevedo (2002) constatou que o tópico “equações algébricas ou polinomiais” é

32

destinado apenas à 3ª série do Ensino Médio, nos seus últimos capítulos.

Particularmente, eu não tive contato com nenhum dos conteúdos citados acima em

todo meu Ensino Médio.

Azevedo ainda destaca que,

As equações algébricas ou polinomiais, que aparecem nos livros didáticos do Ensino Médio, são praticamente ignoradas nas escolas públicas. Os professores alegam que o tempo destinado para trabalhar os conteúdos do Ensino Médio é muito curto e que o programa é muito extenso; que os alunos entram para o Ensino Médio com uma grande defasagem no conteúdo do Ensino Fundamental, que dificilmente chegam até esse tópico com os alunos e, quando chegam, não percebem que ele enfeixa toda a matemática do Ensino Médio. Assim sendo, as equações algébricas são vistas como mais um conteúdo que tanto faz ensinar ou não. (2002, p. 33).

Numa análise de livros didáticos, Borges (2007), em sua dissertação, estuda

3 coleções e constata que os polinômios, as equações e as funções polinomiais não

são apresentadas de maneira articulada. Cita, também, o livro Exame de textos, de

Elon Lages de Lima, no qual ele apresenta que “[...] os polinômios são funções de

natureza simples, que devem ser olhados sob alguns pontos de vista que se

entrelaçam e se complementam” (BORGES, 2007 p. 101).

Com os Números Complexos a realidade de muitos livros didáticos não é

diferente. E ainda, esses conteúdos são claramente apresentados desassociados.

Araújo (2006) retrata exatamente isso em uma pesquisa realizada em 10

livros didáticos do Ensino Médio,

Em geral, nos livros analisados, o citado conteúdo é apresentado antes do estudo de equações polinomiais. Além disso, nenhum dos autores faz referência aos polinômios como uma aplicação para os Números Complexos, tendo em vista que estes surgiram para resolver equações do 3º grau. O que percebemos é que os autores estudados introduzem o conteúdo, tentando resolver uma equação do 2º grau com o discriminante negativo. Na sequência, falam que o conjunto dos Números Reais foi ampliado para o conjunto dos Complexos para resolver problemas com esse tipo de equações. Nesse sentido, eles substituem a raiz quadrada de -1 pelo símbolo i e apresentam o conteúdo dos Números Complexos. (p.72).

Abordagens desse tipo só contribuem para uma distorção do conteúdo, à

medida que induz os alunos a conclusões errôneas, inclusive em relação à história

da Matemática. Rosa (1998 apud MONZON, 2010, p. 13) diz que,

Esse tipo de abordagem faz parecer que a matemática é mágica, e que nunca haverá obstáculos para a mesma, pois qualquer que seja a dificuldade pode-se inventar algum conceito que supere essa dificuldade alguém decidiu que era o momento de inventar os Números Complexos e simplesmente diz que i²=-1. (p. 81).

Muitas vezes os livros didáticos influenciam o ensino dos professores

servindo como um “guia” para as aulas. Para Onuchic “[...] os professores se apoiam

33

quase que exclusivamente nos livros didáticos que, muitas vezes, são de qualidade

insatisfatória”. (1999, p. 212). Dessa forma, tende a dificultar e decair o ensino e a

aprendizagem desses conteúdos.

3.3 O QUE PESQUISAS APONTAM SOBRE O ENSINO DE EQUAÇÕES

POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS

Os problemas existentes no ensino e no aprendizado de equações

polinomiais e Números Complexos não se limitam apenas aos livros didáticos.

Apesar da importância que os currículos dão para se trabalhar esses conteúdos e de

forma articulada, não é o que acontece em muitas escolas.

Assim como Azevedo (2002), Borges (2007) aponta que os polinômios não

constam em muitos currículos escolares e, quando aparecem, são trabalhados muito

superficialmente.

Geralmente o estudo de equações e funções algébricas na escola limita-se

apenas às equações do primeiro e segundo graus. Lopes (2007), embora refira-se a

Portugal, denuncia isso ao afirmar que, no Ensino Médio, os professores “[..] não

mais voltam a abordar o aperfeiçoamento do que vem já de trás, muito em especial

as equações do tipo algébrico, completas e de grau superior ao segundo” (p. 1).

Como já citado anteriormente, as Orientações Curriculares Nacionais defendem o

estudo de funções com grau maior que dois, destacando sua importância. Carneiro

(1999) também comenta sobre a importância de se trabalhar com as equações

algébricas de grau maior que dois,

Fala-se muito hoje (e com razão) na necessidade de motivar os temas da Matemática a partir de problemas interessantes e realistas. Perdem-se, no entanto, muitas oportunidades de empregar essa estratégia, ao deixar fora dos programas do ensino médio a resolução de equações polinomiais de grau superior a dois. (p. 1).

Outro aspecto que a pesquisadora Azevedo (2002) destaca é a dificuldade

de aprendizagem por parte dos alunos em relação a esse conteúdo.

[...] as dificuldades detectadas no ensino-aprendizagem das equações algébricas, no 3º ano do Ensino Médio, estão intimamente relacionadas com as dificuldades que aparecem a partir do ensino-aprendizagem de modo geral, passando pela álgebra e chegando até às equações algébricas. (AZEVEDO, 2002, p. 37).

De fato, há uma grande dificuldade por parte dos alunos em compreender

conceitos algébricos, como apontam as pesquisas de Rocha (2011) e Gil (2008).

34

Entretanto, Rocha (2011), em um estudo sobre as dificuldades do ensino e

aprendizado da álgebra, cita que, “o papel do educador é fundamental, pois é dele

que partem as tarefas que propiciam que o aluno faça relações, ou seja, produza

significado para aquele estudo” (p. 5).

Isso revela que o professor também pode contribuir significativamente para

que os alunos compreendam conceitos relacionados à álgebra, como é o caso das

equações polinomiais. Porém, é claro que por vezes isso não ocorre. Como já

citado, esse conteúdo é trabalhado superficialmente por muitos professores.

Em relação aos Números Complexos, pesquisadores como Caldeira (2012),

Araújo (2006), Monzon (2010) e Oliveira (2010), expõem que o fato de estudá-los

sem fazer qualquer menção à parte histórica dos mesmos, e também sem qualquer

aplicação, não faz sentido e pode dificultar o aprendizado dos alunos.

Uma abordagem que consista nos aspectos descritos acima vai contra os

próprios currículos escolares que, como já citado, defendem uma abordagem dos

Números Complexos juntamente com sua parte histórica.

Devido a todos os apontamentos descritos, parece evidente a relevância

atribuída aos polinômios no Ensino Médio e por outro lado, as diversas lacunas que

parecem perdurar no que se refere ao ensino desse conteúdo, uma vez que envolve

a associação com diversos outros campos da Álgebra.

35

4 METODOLOGIAS PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA

Muito se fala a respeito do ensino de Matemática atualmente. O ensino e a

aprendizagem da Matemática vêm sendo discutidos profundamente devido aos

resultados de pesquisas que apontam a grande dificuldade dos alunos em relação à

Matemática.

É evidente que o estudo de conteúdos descontextualizados pode não surtir

os efeitos esperados, contudo, é o que mais acontece nas escolas.

Assumindo a perspectiva sobre contextualização de Morais que diz que, “[...]

o conhecimento não consolidado é facilmente esquecido. Daí, então, a importância

de se contextualizar a construção dos conceitos em Matemática utilizando situações

suficientemente relevantes aos alunos” (2008, p. 29). Contextualização esta, que

não é necessariamente a aplicação dos conteúdos em uma situação real do

cotidiano do aluno, e sim apresentar um problema que possibilite ao aluno encontrar

utilidade no que se estuda, nem que seja dentro da própria Matemática.

Pensando nisso, e a partir das considerações realizadas anteriormente,

optamos pela utilização das metodologias de ensino de Resolução de Problemas e

História da Matemática para exploração das equações polinomiais e Números

Complexos. Acreditamos que elas podem contribuir para a aprendizagem desses

conteúdos, uma vez que enfocam a contextualização.

4.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

A Resolução de Problemas enquanto metodologia prioriza a

contextualização dos conceitos abordados, partindo de uma situação para então se

chegar à abstração. Onuchic defende que na Resolução de Problemas,

O problema é olhado como um elemento que pode disparar um processo de construção do conhecimento. Sob esse enfoque, problemas são propostos ou formulados de modo a contribuir para a formação dos conceitos antes mesmo de sua apresentação em linguagem matemática formal. (1999, p. 207).

Ou seja, o aprendizado a partir da Resolução de Problemas,

[...] pode ser visto como um movimento do concreto (um problema do mundo real que serve como exemplo do conceito ou da técnica operatória) para o abstrato (uma representação simbólica de uma classe de problemas e técnicas para operar com esses símbolos). (ONUCHIC, 1999, p. 207).

36

A pesquisadora também chama a atenção para o fato dos próprios PCN

incentivarem o ensino por meio da Resolução de Problemas. De fato, os currículos

defendem a utilização da Resolução de Problemas como uma metodologia essencial

para se trabalhar e principalmente pela contextualização dos conceitos estudados

que ela proporciona, que é um ponto bastante discutido e que deve ser trabalhado.

Outro aspecto pelo qual Onuchic defende o ensino através da Resolução de

Problemas é que somente quando o aluno resolve um problema é que surgem as

dúvidas e então o professor pode ver o que o aluno não entendeu ou interpretou mal

(ONUCHIC, 1999). Ela cita ainda que todos que fazem parte da Educação

[...] deveriam fazer da compreensão seu ponto central e seu objetivo. Fazendo isso, eles mudariam a visão estreita de que a Matemática é apenas uma ferramenta para resolver problemas, para uma visão mais ampla de que a Matemática é um caminho de pensar e um organizador de experiências. [...] O papel da Resolução de Problemas no currículo passaria de uma atividade limitada para engajar os alunos, depois da aquisição de certos conceitos e determinadas técnicas, para ser tanto um meio de adquirir novo conhecimento como um processo no qual pode ser aplicado aquilo que previamente havia sido construído. (p. 208).

Apesar de todos os pontos positivos que a Resolução de Problemas possui,

nem sempre ela foi vista como uma metodologia. Resolver problemas limita-se,

muitas vezes, a “treinar” os algoritmos, como algo que aparece para “fixar” o

conteúdo que já foi passado aos alunos. Isso perdurou por anos (e ainda perdura até

hoje) até se pensar em um ensino com compreensão, já que o que estava sendo

feito até então não surtia os efeitos desejados. Conforme Onuchic citou, a

Resolução de Problemas propõe isso, pois pode possibilitar um ensino com

compreensão.

O foco em Resolução de Problemas é de que “[...] o ponto de partida das

atividades matemáticas não é a definição, mas o problema” (ONUCHIC, 1999, p.

215). Dessa maneira, a metodologia pode contribuir como orientação para o

aprendizado dos alunos, pois o problema proposto não é apenas uma aplicação de

um conteúdo já trabalhado.

4.2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DE EQUAÇÕES POLINOMIAIS E

NÚMEROS COMPLEXOS

Ficou claro que o ensino e a aprendizagem das equações polinomiais e dos

Números Complexos da forma como vêm sendo tratados não surtem os efeitos

37

desejados. E isso não é um problema que ocorre apenas com as equações

polinomiais, mas com a Álgebra em si.

Para que o ensino da Álgebra atinja seus objetivos, assegurando ao aluno um acervo de habilidades e conhecimentos úteis e funcionais, no sentido de prepará-lo, capacitando-o a enfrentar os problemas do dia-a-dia, é preciso introduzir uma nova metodologia para o ensino, onde se pode trabalhar o concreto, o abstrato e as aplicações. (ROCHA, 2011, p. 1).

As metodologias e recursos utilizados pelo professor em sala de aula podem

contribuir para um aprendizado significativo. A Resolução de Problemas pode

contribuir devido a contextualização que ela proporciona, um aspecto criticado, já

que muitas vezes a contextualização é deixada de lado no ensino desses conteúdos.

Para Eisenberg e Dreyfus (1995, apud AZEVEDO, 2002, p.122), "a solução

de problemas que, à primeira vista, parecem não ter qualquer ligação com

polinômios, acaba dependendo muito deles. Os polinômios são onipresentes em

matemática e é importante que os alunos os dominem com segurança".

Onuchic (1999) defende também que por meio da Resolução de problemas

é possível trabalhar a maior parte dos conceitos e procedimentos matemáticos,

senão todos eles.

4.3 HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

Como já citado, tanto os currículos escolares quanto pesquisadores,

defendem o ensino de equações polinomiais e Números Complexos sem

desconsiderar o aspecto histórico dos mesmos.

Surge então a possibilidade de utilizar a História da Matemática como uma

metodologia que contribui para a aprendizagem significativa da Matemática, já que

os conteúdos estão relacionados historicamente.

Roratto et al (2011) defendem a contextualização que a História da

Matemática proporciona.

Com o uso da História em uma perspectiva evolucionista linear, o aluno tem condições de atuar como um matemático e não apenas reproduzir o conhecimento dessa disciplina. Mais do que isso, nessa perspectiva o ensino fica contextualizado e é minimizado o problema de já se partir de casos formais e abstratos, visto que o processo de aprendizagem é iniciado por contextos mais intuitivos e, gradativamente vão aumentando os níveis de abstração e formalismo. Durante esse processo gradual de formalização, é possível que o estudante use os conhecimentos previamente aprendidos para atuarem como âncora para os novos aprendizados, o que aumenta a

solidez e possibilita que a aprendizagem seja significativa (p.140).

38

Ou seja, a História da Matemática pode possibilitar ao aluno que haja como

um matemático. Pode-se, assim, recriar os momentos e situações em que os

próprios matemáticos passaram. Dessa forma, pode-se explorar as dificuldades e os

erros que os próprios matemáticos tiveram, mostrando aos alunos que a construção

da Matemática não apresenta caráter linear e que houve dificuldades ao longo dos

anos e do desenvolvimento da Matemática.

Outra questão é em relação ao que Guichard (1986) chama a atenção, para

o fato de que, além da contextualização que a História da Matemática pode

propiciar, ela esclarece porque e como tais conhecimentos matemáticos se

desenvolveram.

Os conhecimentos em História da Matemática permitem compreender melhor como chegámos aos conhecimentos actuais, porque é que se ensina este ou aquele capítulo. Com efeito, sem a perspectiva crítica que a história nos dá, a matemática ensinada transforma-se pouco a pouco no seu próprio objecto, e os objectos matemáticos ficam desnaturados: já não são mais do que objectos de ensino. Aprendem-se os casos notáveis para eles mesmos, a noção de distancia para ela mesma: está-se então em presença do fenómeno da transposição didáctica em que o objecto de ensino é o resultado de uma descontextualização, está separado da problemática que lhe deu origem e que faz viver a noção como saber (p. 1).

Trabalhar a História da Matemática como metodologia em sala de aula

possibilita, portanto, além da contextualização já citada, que os alunos possam

compreender os problemas que originaram determinados conteúdos.

Esperamos assim, pelos motivos explicitados, que a utilização das

metodologias de ensino Resolução de Problemas e História da Matemática, possam

na proposta de ensino contribuir de maneira significativa ao aprendizado dos alunos

nos conteúdos de Números Complexos e equações polinomiais.

39

5 PROPOSTA DE ENSINO

A partir dos apontamentos feitos anteriormente, estruturamos uma proposta

de ensino que abrange os conteúdos de Números Complexos e equações

polinomiais. As metodologias de ensino utilizadas são a Resolução de Problemas e

a História da Matemática.

Nessa proposta abordamos apenas as equações polinomiais com

coeficientes Complexos. Apesar de a maioria dos livros didáticos também

apresentarem o estudo de equações com coeficientes Inteiros, Racionais e Reais,

os mesmos não serão discutidos, pois nosso enfoque é o ensino associado de

Números Complexos e equações polinomiais, conforme discutido nas seções

anteriores.

A proposta em si consiste na resolução de três problemas, os quais

chamaremos de Problemas 1, 2 e 3. Ao final de cada problema há um quadro com

vistas a orientar as possíveis ações do professor e dos alunos no decorrer de cada

tarefa. Inicialmente, o professor pode dividir a turma em grupos de até 4 alunos e

entregar os seguintes problemas, cada um após o término do anterior.

PROBLEMA 1 - Considere uma caixa de papelão cujas medidas são

Números consecutivos representados por , e , conforme

representado na Figura 2.

Figura 2 – Representação da caixa do Problema 1. Fonte: A autora, 2013.

40

Quais as medidas das arestas para que a área de papelão utilizada seja de 724cm²?

A área da caixa é dada pela soma das áreas das faces da caixa:

Caso os alunos não saibam como encontramos a área da caixa, o professor

pode pedir a eles que planifiquem a caixa a fim de facilitar a compreensão, como

mostra a Figura 3.

Figura 3 – Caixa planificada do Problema 1. Fonte: A autora, 2013.

Substituindo os valores em a, b e c, temos:

Aplicando a distributividade e somando os monômios de mesmo grau,

obtemos a equação para calcular a área da caixa:

Queremos encontrar as medidas das arestas de modo que a área da caixa

tenha 724cm², ou seja, devemos encontrar os valores de x quando A(x)=724cm².

Temos:

Para resolvermos , encontramos as suas raízes, e para

tal utilizamos a fórmula de Bháskara. Se os alunos, não lembrarem como resolver

41

uma equação do segundo grau, o professor poderá passar a fórmula no quadro,

visto que este é um conteúdo abordado no 9º ano do Ensino Fundamental.

É esperado que os alunos possuam conhecimento em relação a resolução

de equações do segundo grau através da fórmula de Bháskara. Entretanto, qualquer

dúvida que alunos tiverem a respeito disso, o professor poderá revisar esse

conteúdo.

É possível que os alunos conheçam e encontrem as raízes da equação por

outros métodos, como pelas relações de Girard ou chutando valores, o que também

deve ser considerado, se o método estiver correto.

Aqui optamos por resolver pela fórmula de Bháskara. Substituindo os valores

dos coeficientes a, b, e c, tem-se:

Como x representa uma medida, desprezamos a raiz negativa, e neste caso,

x=10cm. Logo , e

, quando a área é de 724cm².

O professor deve auxiliar os alunos para que todos consigam solucionar o

problema. Após os alunos resolverem o problema, o professor poderá pedir para que

eles apresentem aos demais colegas os resultados obtidos.

Com esse problema o professor pode introduzir a definição de polinômio real

e grau de um polinômio. Para esse caso, temos o polinômio

que possui grau 2.

Os polinômios Reais e Complexos obedecem as mesmas propriedades e

definições, só diferem em relação aos coeficientes. No caso de polinômios Reais os

coeficientes são Números Reais e nos polinômios Complexos os coeficientes são

Números Complexos.

Inicialmente introduziremos os conceitos de polinômios Reais para

posteriormente abranger os polinômios Complexos.

No problema 1, obtemos o polinômio A(x) realizando operações entre os

polinômios , e . O professor pode definir a adição e

multiplicação de polinômios, assim como as suas propriedades, e também o grau da

soma e do produto de polinômios.

42

Em seguida, introduzir a definição de equação polinomial real, de valor

numérico de um polinômio e a definição de raízes de equações polinomiais.

O professor poderá também abordar os polinômios idênticos e polinômios

nulos. Para esse problema, pode-se constatar que ,

ou seja, as equações polinomiais terão raízes diferentes. Por isso, é necessário

calcular as raízes de .

Segue o Quadro 1 com algumas considerações em relação as possíveis

ações dos alunos e do professor.

Ação dos alunos Ação do professor

- Compreender o problema (concluir que deve-se calcular a área da caixa).

- Verificar se os alunos compreenderam o que deve ser feito inicialmente no problema, isto é, o cálculo da área da caixa. - Pode ler o problema junto com os alunos, pois no mesmo já se pede isso.

- Calcular a área da caixa. - Realizar as operações necessárias para tal.

- Verificar se os alunos sabem calcular a área de um paralelepípedo. - Ajudar os alunos a compreender que a área da caixa é dada pela soma das áreas das faces da caixa. Pode pedir para que planifiquem a caixa, a fim de melhorar a visualização, conforme descrito na Figura 3. - Poderá levar para a sala uma caixa, o que pode facilitar a visualização dos cálculos a serem feitos. - Verificar se os alunos compreenderam que, como as arestas da caixa estão em função de x, deve-se encontrar para quais valores de x temos a área da caixa igual a 724 cm². Poderá fazer no quadro alguns exemplos com Números. - Verificar se os alunos sabem realizar operações com polinômios. Caso contrário poderá auxiliá-los.

- Determinar as raízes da equação polinomial do segundo grau encontrada.

- Verificar se os alunos conhecem algum método para encontrar as raízes de uma equação polinomial do segundo grau. É esperado que os alunos conheçam a Fórmula de Bháskara. O professor pode relembrá-la ou até mesmo expor aos alunos, explicando que a mesma é utilizada para encontrar raízes de equações quadráticas. - Verificar, caso os alunos realizem outro método, se este é correto. - Aproximar procedimentos distintos de resolução apresentados pelos alunos.

- Visto que uma equação polinomial do segundo grau possui duas raízes que podem ou não ser iguais, constatar qual das raízes satisfaz o problema. Nesse caso, haverá duas

- Verificar se os alunos compreendem a quantidade de raízes que deve ter a equação e seus significados. - Verificar se os alunos sabem qual raiz satisfaz o problema. Caso os alunos não saibam qual das

(continua)

(conclusão)

43

raízes distintas, e . Por se tratar de uma medida de comprimento, deve-se usar a raiz .

raízes utilizar, poderá questiona-los: “É possível que uma medida de uma caixa seja negativa?”. - Verificar se os alunos compreenderam o que o x encontrado nos dá os valores das arestas da caixa, tal que a área da caixa seja 724 cm².

- Substituir o valor encontrado para x nas equações que nos dão as arestas, e assim calcular os valores das arestas.

- Verificar se os alunos compreendem o significado da incógnita. - Verificar se os alunos realizaram as substituições corretamente.

- Expor para a turma seus resultados e suas conclusões.

- Ordenar as apresentações de diferentes procedimentos e sistematizar. - Indagar os alunos a respeito das resoluções do problema e explorar os resultados obtidos. - Aproximar e estabelecer relações entre diferentes estratégias. - A partir dos resultados dos alunos, introduzir a definição de polinômio real, assim como suas propriedades da adição e da multiplicação, grau de um polinômio, grau da soma e da multiplicação. Em seguida também pode sistematizar a definição de equação polinomial e de raízes de equações polinomiais.

Quadro 1 - Quadro de referência para a ação dos alunos e do professor no desenvolvimento do Problema 1. Fonte: A autora, 2013.

PROBLEMA 2 – Divida um segmento de comprimento 10 em duas partes

cujo produto dessas partes seja 40.

Se necessário, inicialmente o professor poderá auxiliar os alunos a

compreender o que o problema pede. Pode facilitar desenhar o segmento de reta e

atribuir incógnitas as medidas pedidas.

Chamando de x uma parte, e sendo o comprimento total igual a 10, então a

outra parte será 10-x, conforme mostra a Figura 4.

Figura 4 – Segmento de reta explicativo ao Problema 2. Fonte: A autora, 2013.

Como o produto das duas partes deve ser igual a 40, então, nesse caso,

tem-se .

Os alunos podem também considerar segmento de reta com comprimento

10 e partes iguais a x e a y, conforme Figura 5.

44

Figura 5 – Segmento de reta explicativo ao Problema 2. Fonte: A autora, 2013.

Desse modo, obtemos o sistema:

, no qual, isolando y na

primeira equação temos, , e substituindo na segunda

equação, temos, , equação

equivalente a anterior.

Para resolvermos a equação aplicamos a fórmula de

Bháskara, e encontramos as suas raízes.

Substituindo os coeficientes a, b e c na fórmula, obtemos as duas raízes x’ e

x’’:

O professor poderá indicar aos alunos que eles podem fatorar o -60, ou se

preferir, trabalhar sem a fatoração.

Neste momento, provavelmente os alunos podem concluir que não há raízes

Reais, que a raiz quadrada de Números negativos não existe, ou algo do gênero,

dependendo da formação que já possuem. O professor pode interferir e pedir que

substituam x’ ou x’’ na equação , constatando assim que x’ e x’’

são raízes da equação.

Outra opção é que os alunos substituam uma das raízes x’ ou x’’, no sistema

obtido inicialmente

, obtendo os mesmos resultados, já que a equação do

segundo grau foi obtida através do sistema.

45

De fato, x’ e x’’ satisfazem as condições do problema, e, portanto são a

solução do mesmo.

O professor poderá pedir para que os alunos observem que número que foi

obtido e que tirem conclusões sobre, pois esses Números satisfazem o problema.

Após o término da resolução do problema, a partir das resoluções e

conclusões dos alunos, o professor poderá introduzir a definição dos Números

Complexos, assim como as operações de adição e multiplicação, e suas

propriedades.

Sendo assim, esse problema não possui solução, pois por se tratar de uma

medida real.

A construção dos Números Complexos surgiu principalmente por conta da

resolução de uma equação cúbica, na qual se obteve raízes de Números negativos

através da aplicação da fórmula de Cardano, como descrito no capítulo 2. Optamos

pelo problema que recai em uma equação quadrática, pelo motivo de que também

intrigou os matemáticos a respeitos desses Números desconhecidos até então

naquela época. E também, porque é mais viável trabalhar com uma equação

quadrática que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara, do que com uma

equação cúbica resolvida pela fórmula de Cardano, que além de sua complexidade

não aparece como conteúdo do Ensino Médio.

Em seguida, o professor pode, então, abranger para os Números

Complexos, as definições a respeito de polinômios e equações polinomiais

realizadas no problema anterior, destacando que os polinômios Reais e Complexos

obedecem as mesmas propriedades e definições, só diferem em relação aos

coeficientes. No caso de polinômios Reais os coeficientes são Números Reais e nos

polinômios Complexos os coeficientes são Números Complexos.

Segue o quadro 2, detalhando as possíveis ações do professor e dos alunos.

Ação dos alunos Ação do professor

- Compreender o problema (concluir que deve-se dividir um segmento de comprimento 10 em duas partes, iguais ou diferentes, de maneira que ao multiplicar os valores dessas

- Verificar se os alunos compreenderam o problema. Pode sugerir que os alunos desenhem o segmento a fim de facilitar a compreensão. - Verificar se os alunos sabem o que é um segmento. Em caso negativo, explicar o que é um

(continua)

46

partes, obtenha-se 40). segmento de reta. - Poderá pedir aos alunos para darem nomes às partes, isto é, atribuir uma incógnita para cada parte, uma vez que elas são desconhecidas. Poderá também, dar exemplos com Números: “Se todo o segmento mede 10, e supondo que uma das partes meça 3, quanto mede a outra parte? Mede 7, pois 10-3=7. E se não soubéssemos que uma das partes mede 3? Há como generalizar para qualquer valor? E se uma das partes medir 6? Quanto mede a outra?”

- Encontrar um sistema com 2 incógnitas e a partir disso, obter a equação polinomial de grau 2

. Ou mesmo, obter direto essa equação.

- Direcionar os alunos a fim de que considerem as informações dadas no problema e consigam obter

a equação polinomial quadrática .

- Resolver a equação polinomial

.

- Verificar se os alunos resolveram a equação corretamente. Não são esperadas dúvidas quanto a isso, uma vez que no Problema 1 (anterior a esse) houve a discussão da resolução de equações polinomiais de grau 2.

- Analisar as raízes obtidas e concluir elas envolvem Números Complexos.

- Verificar o que os alunos fazem quando obtêm raízes complexas. Questiona-los: “É possível extrair a raiz de um número negativo? Que conhecimentos vocês tem sobre essas raízes?”. - Poderá pedir para que os alunos observem que número que foi obtido e que tirem conclusões sobre, pois esses Números satisfazem o problema. “Esses Números são raízes da equação? E se substituirmos uma das raízes na

equação , o que acontece? O que significa um número ser raiz de uma equação polinomial qualquer? Se ao substituirmos uma dessas raízes na equação e obtermos zero, elas são de fato, raízes da equação?” - O professor pode ajudar os alunos a perceberem que, na verdade, esses Números encontrados, são raízes da equação. Porém, “Que Números são esses? Tratam-se de Números Reais? No conjunto dos Números Reais é possível extrair raízes de Números menores do que zero? Se sim, como? E se colocássemos

, por exemplo. Assim teríamos

. E agora, é possível resolver? Disto temos

que . Mas quem é i?” O professor poderá relembrar aos alunos essas propriedades da radiciação, caso eles não saibam. - Poderá então, introduzir e sistematizar o conceito de número complexo e suas propriedades.

- Expor para a turma seus resultados e suas conclusões.

- Indagar os alunos a respeito das resoluções do problema e explorar os resultados obtidos. - Reforçar os conceitos explicados nos problemas

(conclusão)

47

anteriores e agora amplia-los para o conjunto dos Números Complexos.

Quadro 2 - Quadro de referência para a ação dos alunos e do professor no desenvolvimento do Problema 2. Fonte: A autora.

PROBLEMA 3 – Utilizando a mesma caixa do Problema 1, quais as medidas

das arestas para que o volume ocupado pela caixa seja de 24cm³?

O volume da caixa é dado pela área da base multiplicado pela altura da

caixa: . Caso os alunos não lembrem como calcular o volume de um

paralelepípedo, o professor pode dizer a eles e até mesmo passar no quadro, se a

dúvida for geral.

Substituindo os valores em a, b e c, temos: .

Aplicando a distributividade, obtemos a equação para calcular o volume da caixa:

.

Queremos encontrar as medidas das arestas de modo que o volume da

caixa tenha 24cm³, ou seja, devemos encontrar os valores de x quando V(x)=24cm³.

Temos: . Atribuímos valores a x vemos

que 2 é uma raiz, pois .

Aqui, o professor pode abordar a divisão de polinômios e introduzir o

Teorema de D’Alembert (3.2.16). Pois sabendo que 2 é uma raiz pelo Teorema de

D’Alembert temos que o polinômio pode ser divido pelo polinômio

. Aplicando o algoritmo de Euclides (3.2.13) para a divisão, obtemos:

Logo, temos que . Agora basta

encontrar as raízes de . Aplicando a fórmula de Bháskara e

substituindo os valores dos coeficientes a, b, e c, tem-se:

48

Como x representa uma medida, desprezamos as raízes complexas

e

, e assim, x=2cm.

Logo , e , quando o

volume é de 24cm³.

Outra maneira de encontrar as raízes da cúbica

sabendo que 2 é uma raiz, é através do algoritmo de Briott-Ruffini , que o professor

pode apresentar aos alunos.

-24

Obtemos . Novamente podemos aplicar a fórmula de

Bháskara e encontrar as outras duas raízes, constatando que satisfaz o

problema.

O professor pode abordar o Teorema Fundamental da Álgebra e também o

Teorema da Decomposição. Nesse caso, para , temos

e as raízes ,

e

.

Logo

.

Segue o quadro 3 explicitando as possíveis ações.

Ação dos alunos Ação do professor

- Compreender o problema (concluir que deve-se calcular o volume da caixa).

- Verificar se os alunos compreenderam o que deve ser feito inicialmente no problema, isto é, o cálculo do volume da caixa. - Pode ler o problema junto com os alunos, pois no mesmo já se pede isso. - Pode pedir que os alunos comparem com o Problema 1 e tentem calcular o volume da caixa com as arestas encontradas, observando que com as medidas das arestas do Problema 1, não obtemos o volume pedido de 24cm³.

(continua)

49

- Calcular o volume da caixa. - Realizar as operações necessárias para tal.

- Verificar se os alunos sabem calcular o volume de um paralelepípedo. - Ajudar os alunos a compreender que o volume da caixa é dado pela multiplicação entre a área da base pela altura da caixa. Isto é, nesse caso,

temos . - Poderá levar para a sala uma caixa, o que pode facilitar a visualização dos cálculos a serem feitos. - Verificar se os alunos compreenderam que, como as arestas da caixa estão em função de x, deve-se encontrar para quais valores de x temos o volume da caixa igual a 24 cm³. Poderá fazer no quadro alguns exemplos com Números. - Verificar se os alunos estão realizando corretamente as operações com polinômios já definidas nos problemas anteriores. Caso contrário poderá auxiliá-los, destacando as propriedades comutativa, distributiva e associativa. - Durante a resolução poderá questioná-los sobre o grau do polinômio obtido, e fazer considerações sobre o grau da soma e da multiplicação dos polinômios.

- Encontrar as raízes da equação polinomial do terceiro grau

encontrada, .

- Relembrar o que é raiz de uma equação. - Verificar se os alunos conhecem algum método para encontrar as raízes de uma equação polinomial do terceiro grau. Poderá pedir para que os alunos atribuam valores para encontrarem uma das raízes. Caso os alunos não consigam, o professor poderá sugerir o número 2 como uma das possíveis raízes. - Sabendo que uma das raízes da equação

polinomial é 2, o professor poderá conduzi-los para que tentem diminuir um grau da equação, pois assim, teríamos uma equação polinomial do segundo grau, a qual os alunos já conhecem métodos de resolução, que utilizaram no Problema 1. - Poderá fazer alguns questionamentos: “E se tentássemos dividir a equação polinomial? Pelo que poderíamos dividi-la? Lembrem-se que 2 é uma das raízes.” Caso os alunos não consigam pensar em dividir a equação polinomial por , isto é x menos uma das raízes, o professor poderá sugerir isso a eles, e auxiliar para que realizem a divisão corretamente. Explicar aos alunos que um polinômio é divisível por , sendo uma

raiz de , devido ao Teorema de D’Alembert que nos permite isso. - A fim de diminuir um grau da equação polinomial, o professor poderá ensiná-los o Algoritmo de Briott-Ruffini. - Após os alunos diminuírem um grau da equação,

e chegarem em , verificar se irão calcular as raízes corretamente. - Verificar se os alunos compreenderam que as

(continua)

50

três raízes encontradas correspondem a equação

. Explicar a eles que a equação acima, pode ser reescrita como o produto

, ou

. Aqui, pode-se abordar

o Teorema da Decomposição, que nos diz ser possível o que foi feito acima.

- Visto que uma equação polinomial do terceiro grau possui três raízes que podem ou não ser iguais, constatar qual das raízes satisfaz as condições do problema. Nesse caso, por se tratar de uma medida de comprimento, deve-se usar a raiz real .

- Verificar se os alunos sabem qual raiz satisfaz o problema. Caso os alunos não saibam qual das raízes utilizar, poderá questiona-los: “É possível que uma medida de uma caixa seja um número complexo?”. - Verificar se os alunos compreenderam que o x encontrado nos dá os valores das arestas da caixa, tal que o volume da caixa seja de 24 cm³. - Poderá questionar os alunos: “Quantas raízes uma equação quadrática pode ter? Podemos ter uma equação quadrática com 3 ou mais raízes? E a equação cúbica? Quantas raízes obtemos? Elas podem ser iguais? É possível que uma equação cúbica tenha mais de 3 raízes?”. A partir dessas indagações, explicar o Corolário do Teorema da Decomposição.

- Substituir o valor encontrado para x nas equações que nos dão as arestas, e assim calcular os valores das arestas.

- Verificar se os alunos compreendem o significado da incógnita. - Verificar se os alunos realizaram as substituições corretamente.

- Expor para a turma seus resultados e suas conclusões.

- Ordenar as apresentações de diferentes procedimentos e sistematizar. - Indagar os alunos a respeito das resoluções do problema e explorar os resultados obtidos. - Aproximar e estabelecer relações entre diferentes estratégias. - Reforçar os conceitos explicados nos problemas anteriores. - A partir dos resultados dos alunos, introduzir o Teorema Fundamental da Álgebra.

Quadro 3 - Quadro de referência para a ação dos alunos e do professor no desenvolvimento do Problema 3. Fonte: A autora, 2013.

O professor poderá explorar mais conteúdos a respeito das equações

polinomiais e dos Números Complexos. Poderá aplicar mais problemas também.

Esperamos que tal proposta possa contribuir para a aprendizagem dos

alunos.

(conclusão)

51

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Quando cursei o Ensino Médio não tive qualquer contato com os conteúdos

apresentados. Foi muito bom realizar todo esse trabalho, devido ao grande

aprendizado que me proporcionou, pois assim pude compreender não somente a

parte teórica e histórica, como o contexto envolvido no ensino das equações

polinomiais e dos Números Complexos.

Apesar de serem conteúdos importantes e os próprios currículos

defenderem que eles devem ser trabalhados no Ensino Médio, numa abordagem

que possa associá-los e revelar aspectos históricos, ficou claro que há grandes

dificuldades por parte dos professores em ensiná-los em sala de aula.

Isso se deve a inúmeros fatores, como a própria abordagem desassociada e

inconsistente que muitos livros didáticos apresentam, e as dificuldades que os

alunos revelam para compreender conteúdos algébricos.

Outro fator é a descontextualização com que são abordados. Pude perceber,

pelo que diversos pesquisadores apontam, que tanto no ensino de equações

polinomiais quanto de Números Complexos, as definições são priorizadas em

detrimento da contextualização e da história da matemática presente no desenrolar

dos conteúdos.

Inicialmente, minha intenção foi dar enfoque apenas às equações

polinomiais complexas, deixando de lado os Números Complexos. Porém, ao

analisar todo o desenvolvimento histórico das equações polinomiais e ver que os

Números Complexos surgiram em decorrência das equações polinomiais, percebi

que trabalhar esses conteúdos de forma associada poderia ser uma possibilidade.

Todo esse trabalho foi realizado com o objetivo de criar uma proposta de

ensino que, se aplicada, possa contribuir para a aprendizagem dos alunos a respeito

das equações polinomiais e dos Números Complexos. Trabalhamos na perspectiva

de entender em que contexto se encontram esses conteúdos, desde como são

abordados nas escolas, nos livros didáticos, nos currículos. Demos ênfase à parte

histórica dos mesmos, buscando associá-los de maneira que os alunos possam

compreender, também, todo o desenvolvimento dos conteúdos citados.

Acreditamos que esse trabalho pode contribuir para que professores

compreendam um pouco do que permeia o ensino e a teoria dos Números

Complexos e das equações polinomiais. Dessa forma, acreditamos que a aplicação

52

das tarefas pode comprovar nossas conjecturas a respeito da utilização das

metodologias de ensino de História da Matemática e Resolução de Problemas, para

ensinar de maneira associada as equações polinomiais e os Números Complexos,

podendo, assim, surtir efeitos no aprendizado dos alunos em relação a esses

conteúdos que aqui foram abordados.

53

REFERÊNCIAS

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