INSTITUTO DE FÍSICA � UFRGSFÍSICA II�C (FIS01182)Método Keller

UNIDADE II

VETORES E INTEGRAIS

I. � Introdução:Na Unidade I você tomou conhecimento de alguns conceitos importantes, tais como carga

elétrica, condutores e isolantes, conservação e quantização da carga elétrica, bem como aprendeua calcular forças elétricas entre cargas puntiformes.

Nesta Unidade, no entanto, vamos nos afastar um pouco do conteúdo propriamente dito dadisciplina, de modo a fazer uma revisão matemática que proporcionará um melhor rendimento noresto do curso. A razão para isto é muito simples.

É certo que, quanto mais nos aprofundamos nos estudos dos fenômenos físicos, para que possa-mos estudá�los e representá�los analiticamente, mais conhecimento matemático necessitamos ter.A experiência nesta disciplina tem demostrado que os alunos têm muita di�culdade no curso, e àsvezes até desistem de fazê�lo, devido a problemas com a Matemática, principalmente pelo enfoquediferente com que ela é aplicada à Física. Por esta razão, nesta Unidade procuraremos explorar,de um ponto de vista puramente prático, alguns tópicos sobre vetores e integrais, atacando apenasos pontos relevantes ao nosso curso de Eletromagnetismo.

O conteúdo desta Unidade II inicia�se com as usuais de�nições de grandezas escalares e ve-toriais, bem como com as operações vetoriais mais necessárias ao curso. A seguir, é apresentadauma revisão de Cálculo Integral, abordando integrais inde�nidas e de�nidas de funções escala-res, culminando com a reapresentação do Teorema Fundamental do Cálculo Integral. Algumasaplicações envolvendo técnicas de integração, bem como aplicações destas técnicas na obtençãode momentos de inércia de distribuições contínuas de massa são exempli�cadas. Estes exemplosservem de guia para o cálculo de campos elétricos e magnéticos que surgirão durante o curso, apartir da próxima Unidade. Observe que resolução de problemas envolvendo integrais será umaatividade comum daqui para frente, não só nesta disciplina como nas que virão após. Portanto,você tem agora uma boa oportunidade de adquirir prática na aplicação de seus conhecimentosneste assunto.

Para �nalizar, apresentamos um tópico sobre integração de vetores, que inclui a integraçãoordinária de vetores, integrais de linha , de superfície e de volume. Você já teve contato com osdois primeiros tipos de integração, uma vez que na Física I, o cálculo do trabalho realizado poruma força variável , nos casos uni� e bidimensionais, é feito com estes 2 tipos de integrais.

Se você der especial atenção a esta Unidade e atingir plenamente todos os objetivos propostosa seguir, seu curso de Física II será bastante facilitado e você poderá concentrar seus esforços naFísica propriamente dita, pois a bagagem matemática necessária para o curso está contida aqui.Na próxima Unidade retornaremos ao livro�texto.

1

II. � Objetivos:

Ao término desta unidade você deverá ser capaz de:

1) somar vetores pelos métodos geométrico e analítico;2) calcular os produtos escalar e vetorial entre dois vetores;3) conceituar integral inde�nida e integral de�nida , e aplicar o Teorema Fundamental do Cál-

culo;4) resolver integrais pelo método de substituição de variáveis ;5) calcular momentos de inércia de distribuições lineares contínuas de massas;6) conceituar integrais duplas e triplas;7) resolver integrais ordinárias de vetores e conceituar integrais de linha, de superfície e de

volume.

III. � Procedimento sugerido :

a) Leia o texto Tópicos de Análise Vetorial em anexo e resolva os exercícios nelecontidos.

b) Leitura aconselhada: Cap. 3 do Livro�texto : Fundamentos de Física, D. Halliday,R. Resnick e J. Walker, vol. 1, 4a ed., LTC, 1996.

IV � Respostas dos exercícios do texto:

Seção 2

1) Não. Sim. 2) Não. 3) (a) 35, 5 km; (b) 23, 7o.4) (a) 6ı̂− 3̂− 3k̂; (b) −̂+ k̂; (c) ̂− k̂.5) s =

√a2 + b2 + 2 ab cos θ. 6) Sim. 7) Não. Sim.

9) (a) 1 nos três casos; (b,c) 0 nos três casos; (d) k̂, ı̂ e ̂; (e) −̂, −k̂ e −ı̂.10) (a) 13; (b) 3(̂ı+ ̂+ k̂) (c) −3(̂ı+ ̂+ k̂).11) cos θ =

~A· ~B| ~A|| ~B| = AxBx+AyBy+AzBz√

A2x+A2

y+A2z

√B2x+B2

y+B2z

.

12) 21, 8o.

Seção 3

1) a. ln(

L+aa

), b.

√R2 + a2 − a, c. 1

a− 1√

R2+a2 , d. 12.

2) Iz = ρa3θo. 3) I = 53ρa3. 4) I = 3πρa3.

5) Iz = ρL(

l2

12+ r2

). 6) I = 4

3ρL3.

Seção 4

1) ~I = 8ı̂+ 8, 6̂; |~I| = 11, 7.2) ~I = 0, 5k̂; |~I| = 0.5.

2

Tópicos de Análise Vetorial

No estudo da eletricidade e do magnetismo grande economia de notação e grande clarezapodem ser obtidas se usarmos a notação da análise vetorial . O propósito desta Unidade é daruma breve, mas consistente, exposição (ou revisão, para aqueles que já estão familiarizados como assunto) da análise vetorial básica e fornecer o conhecimento necessário para um melhor e maisadequado tratamento para a eletricidade e magnetismo.

1 � Grandezas:

No estudo da Física elementar, muitos tipos de grandezas foram encontradas. Em particular,a separação entre escalares e vetores foi feita e nos é su�ciente. Vejamos estas de�nições:

1.1 � Escalares:

Um escalar é uma grandeza que �ca completamente caracterizada por sua magnitude . Exem-plos de escalares são muitos: massa, tempo, área , etc.

Uma extensão simples do conceito de escalar é o de campo escalar , i.e., uma função da posiçãoque é completamente especi�cada por sua magnitude em todos os pontos no espaço, como porexemplo a temperatura de uma sala: ela pode ser diferente em diferentes pontos da sala. Outroexemplo, e que nos interessará em muito, é o do potencial eletrostático .

1.1 � Vetores:

Um vetor é uma grandeza que é completamente caracterizada por sua magnitude, direção esentido. Como exemplos de vetores podemos citar a posição desde uma origem �xa, velocidade ,aceleração, força, etc. Usualmente os vetores são representados gra�camente por uma �echa cujocomprimento é proporcional a magnitude do vetor, a direção é a reta que passa ao longo da mesmae o sentido é dado pela orientação da �echa, indicada por sua ponta. No texto, os vetores sãorepresentados ou por uma letra em negrito ou por uma letra com uma pequena �echa em cima.

A generalização para um campo vetorial fornece uma função de posição que �ca completamenteespeci�cada por sua magnitude, direção e sentido em todos os pontos do espaço . O campo elétrico ,que será estudado na Unidade seguinte é um exemplo de campo vetorial.

2 � Álgebra Vetorial:

Uma vez que a álgebra de escalares já é familiar a você, a usaremos para desenvolver a álgebravetorial. Para que isto possa ser efetivado, vamos começar representando os vetores em uma formamais conveniente.

2.1 � Decomposição de vetores:

Consideremos um sistema de coordenadas cartesiano tridimensional. Este sistema será deno-tado pelas três variáveis x, y e z ou, quando convier, por x1, x2 e x3. O sistema deve ser dextrógiro,i.e., se alinharmos a palma da mão direita ao eixo x (ou x1) e a girarmos (pelo menor ângulo) emdireção ao eixo y (ou x2), o polegar esticado deve �car alinhado com o eixo z (ou x3).

3

Com relação a este sistema, um vetor ~V é especi�cadopor suas componentes cartesianas Vx, Vy e Vz tais que

Vx = |~V |cos αx

Vy = |~V |cos αy (1)Vz = |~V |cos αz

onde |~V | é o módulo do vetor ~V e αi é o ângulo entreo vetor e o eixo i. No caso de um campo vetorial , cadacomponente deve ser interpretada com uma função de x,y e z. A Fig.1 ao lado mostra o vetor ~V com suas res�

Fig.1 Decomposição do vetor ~V em

componentes cartesianas Vx, Vy e Vz .

pectivas componentes. Deve ser enfatizado que introduzimos a representação dos vetores segundoum sistema de coordenadas cartesiano apenas por simplicidade e para facilitar o entendimen-to. Todas as de�nições e operações são, de fato, independentes de qualquer escolha especial decoordenadas .

2.2 � Soma de vetores:

A soma de dois vetores é de�nida como o vetor cujas componentes são as somas das corres-pondentes componentes dos vetores originais . Assim, se ~C é o resultado da soma dos vetores ~A e~B, escrevemos

~C = ~A + ~B (2)

eCx = Ax + Bx , Cy = Ay + By e Cz = Az + Bz . (3)

Esta de�nição de soma vetorial é completamente equivalenteà conhecida regra do paralelogramo para a adição vetorial, queestá indicada na Fig. 2 ao lado.A subtração vetorial é de�nida em termos do negativo de umvetor, que é um vetor cujas componentes são as negativas dascorrespondentes do vetor original. Assim, se ~A é um vetor, − ~Aé de�nido por

(− ~A)x = −Ax , (− ~A)y = −Ay e (− ~A)z = −Az . (4)

Fig.2 Soma vetorial usando a

regra do paralelogramo .

A operação de subtração é então de�nida como a soma do negativo, i.e.,

~A − ~B = ~A + (− ~B) . (5)

Como a soma de números reais é associativa , segue�se que a adição vetorial (e subtração) é tambémassociativa . Em notação vetorial

~A+ ( ~B + ~C) = ( ~A+ ~B) + ~C = ( ~A+ ~C) + ~B = ~A+ ~B + ~C . (6)

Em palavras, os parênteses não são necessários , como indicado pela última expressão.

2.2 � Multiplicação de vetores:

O mais simples produto é aquele de um escalar por um vetor . Esta operação resulta numvetor cujas componentes são dadas pelo produto da multiplicação do escalar pela correspondente

4

componente do vetor original. Se c é um escalar e ~A um vetor, o produto c ~A é o vetor ~B, de�nidopor

Bx = cAx , By = cAy e Bz = cAz . (7)

Fica claro que, se ~A for um campo vetorial e c for um campo escalar , então ~B será um novo campovetorial que não é necessariamente um simples múltiplo do campo original.

Agora, se desejamos multiplicar dois vetores, existem duas possibilidades, conhecidas comoproduto escalar e produto vetorial .

Vamos considerar primeiro o produto escalar . Observe que o �nome� do produto decorre danatureza escalar do produto. A de�nição do produto escalar , escrito ~A · ~B. é

~A · ~B = AxBx + AyBy + AzBz . (8)

Esta de�nição é equivalente a outra, talvez mais comum,

~A · ~B = | ~A|| ~B| cos φ , (9)

onde φ é o ângulo entre os dois vetores (veja Fig.3 abaixo).O produto vetorial de dois vetores é um vetor, como o �nome� indica. Se ~C é o vetor produto

de ~A e ~B, então ~C = ~A× ~B ou, em componentes,

Cx = AyBz − AzBy , Cy = AzBx − AxBz e Cz = AxBy − AyBx . (10)

Esta de�nição mostra que o vetor ~C é perpendicu-lar ao plano que contém os dois vetores do produto e éequivalente à seguinte de�nição:

|~C| = | ~A|| ~B| sen ϕ , (11)

com o sentido dado pela regra da mão direita (a mesmausada anteriormente para de�nir o sistema de coorde-nandas dextrógiro). A Fig.3 ao lado mostra a geometriado produto vetorial. É importante notar que o produtovetorial depende da ordem dos fatores : intercambiandoa ordem dos vetores introduzimos um sinal negativo noresultado.

Fig.3 Produto vetorial entre dois veto-

res. O sentido do vetor ~C é determinado

pela regra da mão direita .

O produto vetorial pode ser facilmente obtido em termos de um determinante. Sejam ı̂, ̂ e k̂vetores unitários (i.e., possuem módulo 1) que de�nem as direções x, y e z, respectivamente, dosistema de coordenadas escolhido. Então,

~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣∣ı̂ ̂ k̂Ax Ay Az

Bx By Bz

∣∣∣∣∣∣∣ . (12)

2.4 � Exercícios:

1) Pode�se combinar dois vetores de módulos diferentes para que se tenha uma resultante nula?E três vetores?2) Pode um vetor ter módulo nulo se uma de suas componentes não o é?

5

3) Um carro percorre uma distância de 30 km no sentido oeste�leste; a seguir percorre 10 km nosentido sul�norte e �nalmente percorre 5 km numa direção que forma um ângulo de 30o com onorte e 60o com o leste. (a) Use um sistema cartesiano de coordenadas e calcule o módulo dodeslocamento resultante. (b) Obtenha o ângulo entre o vetor deslocamento resultante e o sentidooeste�leste.4) Dois vetores são dados por ~a = 3ı̂− 2̂− k̂ e ~b = 3ı̂− ̂− 2k̂. Calcule: (a) ~a+~b, (b) ~a−~b, (c)−~a+~b.5) Dois vetores de módulos a e b formam entre si um ângulo θ. Determine o módulo s do vetorresultante da soma destes dois vetores.6) Pode um produto escalar ser uma grandeza negativa? Explique.7) Se ~A × ~B = 0 conclui�se que ~A e ~B são paralelos um ao outro? A recíproca é verdadeira?Explique.8) Mostre que para qualquer vetor ~a: (a) ~a · ~a = a2 e (b) ~a× ~a = 0.9) Considere os vetores unitários ı̂, ̂ e k̂. Calcule:

a) ı̂ · ı̂, ̂ · ̂ e k̂ · k̂ b) ı̂ · ̂, ̂ · k̂ e k̂ · ı̂c) ı̂× ı̂, ̂× ̂ e k̂ × k̂ d) ı̂× ̂, ̂× k̂ e k̂ × ı̂ e) ı̂× k̂, ̂× ı̂ e k̂ × ̂

(13)

10) Para os vetores ~a e ~b do problema 4), calcule: (a) ~a ·~b, (b) ~a×~b, (c) ~b× ~a.11) Dois vetores ~A e ~B têm componentes, segundo três eixos ortogonais x, y e z, dadas por Ax,Ay e Az e Bx, By e Bz, respectivamente. Calcule o ângulo formado por ~A e ~B.12) Para os vetores ~a e ~b do problema 4), calcule o ângulo que eles formam entre si.

3 � Cálculo Integral:

3.1 � Integrais inde�nidas:

Dada uma função f(x), qualquer função F (x), tal que dF (x)dx

= f(x), é chamada de integralinde�nida de f(x). É claro que se F (x) é integral inde�nida de f(x), então F (x) + C, onde C éuma constante qualquer, também é integral inde�nida de f(x), pois d

dx(F (x) + C) = dF (x)

dx= f(x).

Logo, a integral inde�nida de uma função é determinada a menos de uma constante arbitrária .Simbolicamente, a integral inde�nida de f(x) é representada por∫

f(x) dx = F (x) + C . (14)

3.2 � Integrais de�nidas:

Como você deve estar lembrado do seu curso de Cálculo, a integral de�nida pode ser conceituadageometricamente através da área limitada por uma curva y = f(x), o eixo dos x e as ordenadaslevantadas em x = a e x = b (veja Fig.4 a seguir). No entanto, a de�nição pode ser dada sem ouso da geometria. Subdivida o intervalo a ≤ x ≤ b em n subintervalos por meio dos pontos x1,x2, ... , xn−1, escolhidos arbitrariamente. Em cada um dos novos intervalos (a, x1), (x1, x2), ...,(xn−1, b) escolha arbitrariamente um ponto interno; tais pontos podem ser ξ1, ξ2, ...,ξn. Agoraexecute a soma

f(ξ1)(x1 − a) + f(ξ2)(x2 − x1) + . . .+ f(ξn)(b− ξx).

6

Chamando a = xo, b = xn e xk − xk−1 = ∆k,a soma pode ser reescrita

n∑k=1

f(ξk) ∆k , (15)

que, geometricamente, representa a soma dasárea dos retângulos mostrados na Fig.4. Consi-deremos agora que o número de subdivisões, n,aumente de tal forma que cada ∆xk → 0. As-sim, a soma (15) se aproxima de um limite cujovalor não depende do modo de subdivisão e, ge- Fig.4 Subdivisão da área sob a curva em elementos ∆k.

ometricamente, se torna idêntico à área sob a curva y = f(x) mostrada na Fig.4. Podemos entãode�nir a integral de�nida da função f(x), entre os pontos a e b como

lim∆xk→0

n∑k=1

f(ξk) ∆k =∫ b

af(x) dx . (16)

Do lado direito desta equação, f(x) é chamada de integrando e a e b são chamados de limites deintegração.

3.3 � Algumas propriedades das integrais de�nidas:

1.∫ b

a{f(x)± g(x)} dx =

∫ b

af(x) dx±

∫ b

ag(x) dx , (17)

2.∫ b

aA f(x) dx = A

∫ b

af(x) dx , A sendo uma constante qualquer , (18)

3.∫ c

af(x) dx =

∫ b

af(x) dx+

∫ c

bf(x) dx , (19)

4.∫ b

af(x) dx = −

∫ a

bf(x) dx , (20)

5.∫ a

af(x) dx = 0 . (21)

3.4 � Teorema fundamental do Cálculo Integral:

Se F (x) é a integral inde�nida de f(x), então∫ b

af(x)dx = F (b)− F (a) . (22)

Este importante teorema permite-nos calcular as integrais de�nidas sem o uso direto de sua de�-nição, sempre e quando a integral inde�nida seja conhecida.

3.5 � Algumas integrais imediatas:

A seguir apresentamos as integrais inde�nidas de algumas funções simples. Para os propósitosdo nosso curso, você deverá saber de cor pelo menos as sete primeiras.

1.∫undu = un+1

n+1, n 6= −1 2.

∫ duu

= ln|u| (23)

7

3.∫sen u du = −cos u 4.

∫cos u du = sen u

5.∫sec2u du = tg u 6.

∫cosec2u du = −cotg u

7.∫eudu = eu 8.

∫audu = au

ln u, a > 0 , a 6= 1

9.∫ du√

a2−u2 = sen−1(

ua

)ou cos−1

(ua

)10.

∫ du√u2±a2 = ln

(u±√u2 ± a2

)11.

∫ duu2+a2 = 1

atg−1

(ua

)12.

∫ duu2−a2 = 1

2aln∣∣∣u−au+a

∣∣∣13.

∫ duu√

u2−a2 = 1acos−1

(au

)(24)

3.6 � Método de substituição de variáveis:

Se o cálculo de uma integral∫f(x)dx não é imediatamente óbvio em termos das formas ime-

diatas anteriores, em muitos casos ela pode ser resolvida substituindo�se a variável x por umavariável conveniente, u(x), de tal modo que a integral resultante em termos de u,

∫g(u)du, se-

ja uma integral imediata. Neste método, cuidado especial deve ser tomado com os limites deintegração, que na nova forma integral,

∫g(u)du, devem ser expressos em termos de u.

Vamos ilustrar o método através de dois exemplos:Exemplo 1: Calcule

∫ L0

dx(x+a)2

fazendo a substituição x+ a = u.Então: x = u− a → dx = du.Para os limites de integração temos:

x = 0 → u = a ;

x = L → u = a+ L , (25)

de modo que

∫ L

0

dx

(x+ a)2=∫ a+L

a

du

u2=∫ a+L

au−2du =

∣∣∣∣∣u−1

−1

∣∣∣∣∣a+L

a

=1

a− 1

a+ L=

L

a(a+ L), (26)

onde usamos a integral imediata 1.

Exemplo 2: Calcule∫∞0

dx(x+a)3/2

fazendo a substituição x = a tgθ.Então dx = a sec2θdθ e x2 + a2 = a2(1 + tg2θ) = a2sec2θ, e os limites de integração

x = 0 → θ = 0 ;

x =∞ → θ =π

2. (27)

A integral se torna então∫ ∞

0

dx

(x+ a)3/2=∫ π

2

0

a sec2θ dθ

a3 sec3θ=

1

a2

∫ π2

0cosθ dθ =

1

a2[senθ]

π20 =

1

a2. (28)

3.7 � Aplicação � cálculo do momento de inércia de um �o:

O cálculo do momento de inércia de um �o homogêneo (de densidade linear de massa constante)é um tipo de problema que envolve a montagem e resolução de integrais numa forma muitosemelhante aos problemas de cálculo de campos elétricos e magnéticos que abordaremos em nossocurso, com a vantagem de incluir apenas grandezas que já são do seu conhecimento.

8

a) Momento de inércia de um ponto material :o momento de inércia de um ponto material demassa m, em relação a um eixo z, como você deveestar lembrado da Física I, é de�nido por Iz = r2m,onde r é a distância do ponto ao eixo (veja Fig.5ao lado).

Fig.5 Massa m distante r do eixo de rotação z.

b) Momento de inércia de uma distribuição dis�creta de pontos materiais , em relação a um eixoz, é a soma dos momentos de inércia de cadaponto com relação ao mesmo eixo z, i.e.,

Iz =n∑

i=1

r2imi , (29)

conforme a Fig.6 ao lado. Fig.6 Massa mi distante ri do eixo de rotação z.

c) Momento de inércia de uma distribuição con-tínua e linear de massa: considere uma distri-buição contínua de massa, ou seja, um �o comdensidade linear de massa , ρ, constante. Podemoscalcular o momento de inércia deste �o comrelação a um eixo z dividindo o �o em pedaços decomprimentos in�nitesimais, dl, que contêm umamassa in�nitesimal dm = ρ dl, e que, portanto,podem ser tratados como verdadeiros pontosmateriais. Fig.7 Fio homogêneo rotando em torno do eixo z.

Desta forma, o momento de inércia de cada um destes pedaços in�nitesimais é, de acordo como item a) acima,

dIz = r2dm = r2ρ dl . (30)

Finalmente somamos todos os momentos de inércia devidos a cada um dos elementos dl de que secompõe o �o. Numa notação pouco rigorosa podemos escrever

Iz =∑

dIz =∑

r2dm . (31)

No entanto, se considerarmos a distância de um ponto do �o ao eixo, r, como função da posiçãodo ponto sobre o �o, l, (ou vice�versa), a soma da expressão acima é a soma dos produtos dosintervalos in�nitesimais, dl, em que foi dividido o intervalo total de de�nição de uma função, pelosrespectivos valores desta função, r2, em cada um daqueles intervalos in�nitesimais. Portanto estasoma é, rigorosamente falando, uma integral,

Iz =∫

dIz =∫

r2 dm = ρ∫

r2 dl , (32)

cujos limites de integração devem abranger o comprimento total do �o.É claro que para podermos calcular a integral

∫r2 dl temos que explicitar a relação funcional

entre r e dl, ou substituindo r em função de l ou ambas em função de uma terceira variável.

9

Exemplo 3: Calcule o momento de inércia dosegmento da Fig.8, de densidade linear de massaconstante: (a) em relação ao eixo dos y e (b) emrelação ao eixo dos x.(a) Temos

Iy =∫x2 dm = ρ

∫ a+L

ax2 dl . (33)

Como x é o mesmo para todos os dl (x = b)

Iy = ρb2∫ a+L

adl = ρb2L . (34)

Fig.8 Segmento de �o de comprimento L.

(b) Agora

Ix =∫y2 dm = ρ

∫ a+L

ay2 dl . (35)

A integral nesta forma não pode ser resolvida, pois aparecem nela duas variáveis interdependentes.Temos que expressar y em função de l ou vice�versa. Vemos imediatamente que dl = dy, pois asegmento de reta é paralelo ao eixo dos y. Assim,

Ix = ρ∫ a+L

ay2 dy = ρ

∣∣∣∣∣y3

3

∣∣∣∣∣a+L

a

=1

3ρ[(a+ L)3 − a3] . (36)

Exemplo 4: Calcule o momento de inércia deum �o em forma de 1/4 de circunferência de raioa, de densidade de massa uniforme ρ, em relaçãoa um de seus diâmetros.De acordo com a Fig.9 ao lado,

Iy =∫x2 dm = ρ

∫x2 dl . (37)

Fig.9 Fio em forma de 1/4 de circunferência.

Neste caso o mais simples é expressar tanto x como dl em função de θ (e de dθ), i.e.,

x = a senθ e dl = a dθ , θ em radianos . (38)

Esta integral pode ser resolvida facilmente através de uma transformação trigonométrica (faça�a!!), tendo como resultado

Iy = ρ a3

[θ

2− sen 2θ

4

]π2

0

=π

4ρ a3 . (39)

3.6 � Integrais duplas:

Seja f(x, y) uma função de duas variáveis livres de�nida numa região R do plano xy, conformeindica a Fig.10 a seguir. Subdivida R em n sub-regiões ∆Rk, de área ∆Ak, k = 1, 2, ..., n. Sejam(ξk, ηk) as coordenadas de um ponto interno de ∆Rk.

10

Forme a soman∑

k=1

f(ξk, ηk) ∆Ak . (40)

Considere agora o limite

limn→∞

n∑k=1

f(ξk, ηk) ∆Ak , (41)

Fig.10 Área subdividida em elementos ∆Ak.

no qual o número de divisões aumenta inde�nidamente e as dimensões de cada ∆Rk se aproximamde zero. Este limite é representado pelos símbolos∫

Rf dA ou

∫ ∫Rf(x, y) dx dy , (42)

e é chamado de integral dupla de f(x, y) sobre a região R.

3.7 � Integrais triplas:

Os conceitos anteriores podem facilmente ser generalizados para regiões tridimensionais. Consi-dere uma função de 3 variáveis livres f(x, y, z), de�nida numa região tridimensional R. Subdividaa região em n sub�regiões de volume ∆Vk, k = 1, 2, ..., n. Chamando de (ξk, ηk, ρk) um pontointerno de cada sub�região, forme o limite da soma

limn→∞

n∑k=1

f(ξk, ηk, ρk) ∆Vk , (43)

onde o número n de subdivisões tende ao in�nito, de modo que as dimensões das sub�regiõestendem a zero. Se este limite existe, ele é denotado por∫

Rf dV ou

∫ ∫ ∫Rf(ξk, ηk, ρk) dx dy dz , (44)

e é chamado de integral tripla de f(x, y, z) sobre R. Por exemplo, se f(x, y, z) descrever a densidadede massa (variável) da região R, a integral acima dará a massa total da região.

3.8 � Exercícios:

1) Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis e a lista dasintegrais imediatas:

a.∫ L

0

dx

x+ a; b.

∫ R

0

x dx√x2 + a2

; c.∫ R

0

x dx

(x2 + a2)3/2; d.

∫ π2

0senθ cosθ dθ . (45)

2) Calcule o momento de inércia de um �o emforma de arco de circunferência de raio a, ângulocentral θo (veja Fig.11 ao lado) e densidade linearde massa constante ρ, em relação ao eixo z per-pendicular ao plano do arco que passe pelo centrodo mesmo.

Fig.11 Fio em forma de arco.

11

3) Calcule o momento de inércia de um �o homogêneo em forma de circunferência completa deraio a, com densidade linear de massa uniforme ρ, em relação a um eixo tangente a circunferênciae situado no mesmo plano desta.

4) Calcule o momento de inércia de um �o re-tilíneo homogêneo com densidade linear de massauniforme ρ e comprimento L, em relação a um ei-xo z perpendicular ao plano da página e situado auma distância R do �o, confrome mostra a Fig.12ao lado.

Fig.12 Fio homogêneo rotando.

5) Usando o resultado do problema 4), calcule o momento de inércia de um �o com as mes-mas características daquele, dobrado em forma de quadrado de lado L, em relação a um eixoperpendicular ao plano do quadrado que passa pelo centro do mesmo.

4 � Integração de Vetores:

Até o momento consideramos apenas integrais de funções escalares, i.e., funções cujos valoressão números.

A Fig.13 ao lado representa os valores de umcampo vetorial ~F (x, y, z) em dois pontos do es-paço, (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2). um exemplo de cam-po vetorial pode ser

~F (x, y, z) = 2yı̂+ (x2 + y)̂+ z2k̂ . (46)

cujo valor no ponto (0, 1, 2), por exemplo, é o vetor2ı̂+ ̂+ 4k̂. Vamos agora considerar campos veto-riais ou funções vetorias, cujos valores são vetores. Fig.13 Campo vetorial.

4.1 � Integrais ordinárias de vetores:

Os campos ou funções vetoriais são passíveis de integração de modo inteiramente análogo àsfunções escalares. Porém, cuidados especiais devem ser tomados devido ao caráter vetorial destasfunções. Consideremos, por simplicidade, uma função vetorial que depende apenas da coordenadax, por exemplo

~F (x) = Fx(x)̂ı+ Fy(x)̂+ Fz(x)k̂ . (47)

A integral~I =

∫ b

a

~F (x) dx (48)

representa, do mesmo modo que para as funções escalares, a soma dos produtos dos intervalosin�nitesimais dx em que se divide o intervalo total [a, b] de de�nição da função ~F (x), pelos valoresrespectivos desta função naqueles intervalos in�nitesimais. Porém, como ~F (x) é um vetor, estasoma é uma soma vetorial e não uma soma de números, e o seu resultado é um vetor, e não umnúmero. Esta importante observação quer dizer que não podemos simplesmente integrar o módulo

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de ~F (x) para obter o módulo da integral, porque o módulo de uma soma de vetores não é igual àsoma dos módulos dos vetores, i.e.,

I 6=∫ b

a|~F (x)| dx , (49)

mas que temos que decompor ~F (x) em suas componentes e integrar cada uma delas separadamentepara obter as componentes correspondentes da integral,

~I =∫ b

a

~F (x) dx =∫ b

aFx(x) dx ı̂+

∫ b

aFy(x) dx ̂+

∫ b

aFz(x) dx k̂

= Ix ı̂+ Iy ̂+ Iz k̂ , (50)

com I =√I2x + I2

y + I2z .

Três outros tipos de integrais vetoriais serão importantes em nosso curso. Com isto quere-mos dizer que será importante saber claramente o signi�cado destas integrais, embora não sejaimportante saber como resolvê�las.

4.2 � Integrais de linha:

Considere uma função vetorial ~F (x, y, z) das coordenadas or-togonais x, y e z, que assume diferentes valores ao longo da curvaC, que vai do ponto A até o ponto B, conforme mostra a Fig.14.Divida esta linha em n segmentos ∆lk, e a cada um deles associeum vetor ∆~lk (k = 1, 2, ..., n), com módulo ∆lk, cuja direção é ado segmento e seu sentido é de A para B. Faça o produto escalarde cada vetor ∆~lk pelo valor de ~F num ponto deste segmento esome todos os n produtos escalares.

A integral de linha é então de�nida como o limite desta somaFig.14 Caminho de integração.

quando o número de subdivisões tende ao ∞ de tal modo que o tamanho de cada segmento tendea zero. Esta de�nição pode ser compactamente escrita com

∫ B

AC

~F · d~l = limn→∞

n∑i=1

~Fi ·∆~li . (51)

É importante notar que a integral de linha depende não apenas dos pontos extremos, a e b, comotambém da curva C, i.e., do caminho, sobre a qual a integração é feita. Um exemplo conhecidodeste tipo de integral é o do trabalho realizado por uma força que atua sobre uma partícula quandoela se desloca entre dois pontos A e B, ∫ B

A

~F · d~l =WAB , (52)

como você deve ter visto em Física I.Se a curva C for fechada, a integral de linha receberá uma notação especial:∮

C

~F · d~l . (53)

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4.2 � Integrais de superfície:

Considere um campo vetorial ~F (x, y, z) de�ni-do nos pontos do espaço e uma superfície de formaqualquer, S. Divida esta superfície em n elemen-tos de superfície de áreas ∆Sk (k = 1, 2, ..., n). As-socie a cada elemento da superfície um vetor querepresentaremos por ∆~Sk, de módulo ∆Sk, de di-reção perpendicular à superfície e de sentido ado-tado através da convenção: se a superfície S nãoé plana, a convenção usual é de adotar�se para ovetor o sentido que vai da face côncava para a face

Fig.15 Superfície de integração.

convexa da superfície (veja Fig.14). Tome o produto escalar de cada vetor ∆~Sk pelo valor de ~Fnum ponto do elemento de área ∆Sk e some todos os n produtos escalares.A integral de superfície éentão de�nida como o limite desta soma quando o número de subdivisões tende ao ∞ de tal modoque o tamanho de cada elemento de área tende a zero. Esta de�nição pode ser compactamenteescrita como ∫

S

~F · d~S = limn→∞

n∑i=1

~Fi ·∆~Si . (54)

Muito importante em nosso curso serão as integrais de superfície tomadas sobre superfícies fechadasde diversos formatos. Também neste caso, a integral recebe uma notação especial∮

S

~F · d~S . (55)

Quando a superfície é fechada, a convenção para o sentido dos vetores ∆~Sk é o de considerá�lossempre apontando para fora da superfície.

4.3 � Integrais de volume:

Se κ um escalar e ~F é um vetor, então as duas integrais de volume que nos interessarão são

J =∫

Vκ dV , e ~M =

∫V

~F dV . (56)

Claramente J é um escalar e ~M é um vetor. Estas integrais são bastante familiares e não requeremmaiores detalhamentos.

4.4 � Exercícios:

1) Calcule ~I =∫ 31~F (x) dx, onde ~F (x) = 2xı̂+ x2̂. Calcule o módulo de ~I.

2) Calcule ~I =∫ π

20~F (θ) dθ, onde ~F (θ) = senθ cosθ k̂. Calcule o módulo de ~I.

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