UNIDADE 05 Distribuio de Probabilidade SUMRIO 1. Introduo ............................................................................................................................. 3 2. Varivel aleatria .................................................................................................................. 3 2.1Definio e classificao ............................................................................................... 3 2.2Distribuio de probabilidade (caso discreto) ............................................................... 4 2.3Valor esperado e varincia e suas propriedades. ......................................................... 6 3. Distribuio de probabilidade - Variveis discretas .............................................................. 9 3.1Distribuio de Bernoulli .............................................................................................. 10 3.2Distribuio Binomial ................................................................................................... 11 3.3Distribuio de Poisson ............................................................................................... 18 4. Distribuio de probabilidade Varivel contnua ............................................................. 23 4.1Distribuio Uniforme .................................................................................................. 27 4.2Distribuio Normal ..................................................................................................... 30 4.3Aproximao Normal ................................................................................................... 39 4.3.1Aproximao Normal para Binomial .................................................................... 39 4.3.2Aproximao Normal para Poisson ..................................................................... 41 4.3.3Aproximao Normal com correo de continuidade ......................................... 42 5 Exerccios resolvidos ...................................................................................................... 43 6Exerccios propostos ...................................................................................................... 50 7Bibliografia ...................................................................................................................... 53 Estatstica Bsica 3 prof. Jos Aguinaldo 1. IntroduoNoestudosobreprobabilidades,iniciamoscomoconceitodeexperimentoaleatrioeespao amostral. O espao amostral, como foi visto, consiste de todos os resultados possveis de um experimentoaleatrio.Nocasodelanarumamoedaduasvezes,oespaoamostralseria {KK, KC, CK, CC} com K indicando cara e C indicando coroa.Em vez de trabalhar com o espao amostral {KK, KC, CK, CC} podemos definir uma varivel de nossointeresseeassociarcadaresultadodessavarivelum resultadodoespaoamostral. Estavariveldenominadadevarivelaleatriaeoconjuntoformadopelosvaloresdesta varivel e suas respectivas probabilidades denominado de distribuio de probabilidade. 2. Varivel aleatria 2.1Definio e classificao A varivel aleatria uma funo que associa um valor numrico do conjunto de nmeros reais () cada pontodo espao amostral (). De uma forma menos formal, podemos dizer quea varivel aleatria uma varivel quantitativa, cujo resultado (valor) depende do acaso (fatores aleatrios). Varivel aleatria A varivel aleatria uma funo que associa um nmero do conjunto de nmeros reais ( ) cada resultado do espao amostral ( ).Portanto,avarivelaleatriaumavarivelquantitativa,cujoresultadodependedefatores aleatrios. O fator aleatrio usado aqui para explicar que no podemos antecipar exatamente o resultado que ir sair, pois isso depender do acaso.Classificao do tipo das variveis aleatrias Umavarivelaleatriapodeserclassificadaemdiscretaoucontnuaecomumdenota-la pelas letras latinas maisculas X, Y, Z, etc e os valores observados pelas letras minsculas x, y, z, etc Estatstica Bsica 4 prof. Jos Aguinaldo VARIVEL ALEATRIA DISCRETACONTNUA Os possveis resultados esto contidos em um conjunto finito ou contvel de resultados. Os valores vm de uma CONTAGEM. Os possveis valores esto contidos em um conjunto infinito ou incontvel de resultados. Os valores vm de uma MENSURaO X = nmero de filhos por famlia x = {0, 1, 2, ...} X = tempo de vida de lmpadas x [0 ; ) Y = nmero de peas com defeitos em uma caixa com 20 peas y = {0, 1, 2, ... 20} Y = tempo dirio de uso do computadory [0 ; 24] 2.2Distribuio de probabilidade (caso discreto) Conhecerquaisosresultadospossveisdeumavarivelaleatrianosuficiente,tambm devemossaberqualaprobabilidadedecadaresultadoocorrer.Oconjuntoformadopelos resultadosdavarivelXesuasrespectivasprobabilidadesdenominadodedistribuiode probabilidade.Adistribuiodeprobabilidadenospermiteverificaraformacomoosvalores estodistribudos(quaisosmaiscomunseosmenoscomuns).Ogrficoabaixomostraa distribuiodeprobabilidadeparaavarivelaleatriaX=nmerodee-mailsquechegam duranteumahora.Pelogrfico,nota-sequemaisprovvelchegar2ou3e-mailsemuma hora do que chegar 8 e-mails. 8 7 6 5 4 3 2 1 00,250,200,150,100,050,00Nmero de e-mailsProbabilidade Estatstica Bsica 5 prof. Jos Aguinaldo EXEMPLO 01 - Umamoedahonestalanadaduasvezesparacimadeforma independente. Construa a distribuio de probabilidade da varivel X = nmero de caras. Soluo --------------------------------------------------------------------------------------------- A coluna 1 da tabela abaixo lista o espao amostral, a coluna 2 lista os resultados possveis da varivel X e a coluna 3 mostra a probabilidade de ocorrer cada resultado. Espao amostral xProbabilidade KK2P(KK) = P(K)P(K) = 0,500,50 = 0,25 KC1P(KC) = P(K)P(C) = 0,500,50 = 0,25 CK1P(CK) = P(C)P(K) = 0,500,50 = 0,25 CC0P(CC) = P(C)P(C) = 0,500,50 = 0,25 Resumindo a tabela acima temos a seguinte distribuio de probabilidade de X: Nadistribuiodeprobabilidade,acorrespondnciaentreosvaloresdavarivelaleatriaXe as respectivas probabilidades definida pela funo de probabilidade1 que representamos por: f(x) = P(x) = P(X = x) onde f(x) = probabilidade de a varivel X assumir o valor x Caracterstica da funo de probabilidade f(x) Uma funo de probabilidade deve satisfazer: i)f(xi) 0 A funo f(x) no-negativa ii)1 ) ( =iix f A soma das probabilidades deve ser igual a 1. bomdestacarqueadistribuiodeprobabilidadeumadistribuioterica,poisrefleteo que teoricamente esperamos da varivel aleatria e no os valores de fato observados no dia-a-dia.Parailustraroquefoiditaaqui,ogrficoabaixomostraosresultadosobservados, quando15pessoaslanaramamoedaduasvezesparacima.Notequeaspropores 1 A funo f(x) denominada de funo probabilidade, quando a varivel for discreta. Caso a varivel seja contnua, a funo f(x) denominada de funo densidade de probabilidade. Estatstica Bsica 6 prof. Jos Aguinaldo observadasdecarasnosoexatamenteiguaissprobabilidadesqueesperamos teoricamente, mas as diferenas so pequenas. 2 1 01086420Nmero de carasFrequncia4 (27%)9 (60%)2(13%) EXEMPLO 02 - A tabela abaixo caracteriza uma distribuio de probabilidade? Justifique. x0123 P(x)0,250,500,250,25 2.3Valor esperado e varincia e suas propriedades. Damesmaformaquesintetizamososdadosdeumaamostracalculandoamdia,mediana, varincia,desvio-padro,quartiletc,tambmpodemossintetizarumadistribuiode probabilidade calculando essas mesmas medidas descritivas. Suponha que a varivel aleatria discreta X pode assumir os valores Nx x x , , ,2 1Lcom as respectivas probabilidades de ocorrncia) ( , ), ( ), (2 1 Nx f x f x f L . Ento: O valor esperado (ou valor mdio) da varivel X : = = ) ( ) (i ix f x X E A varincia da varivel X : ( ) = = ) ( ) (2 2i ix f x X Varou 2 2 2) ( ) ( = = i ix f x X Var(frmula alternativa) O desvio-padro da varivel X : ) ( ) ( X Var X dp = = Onde ) ( ) ( ) ( ) (2 2 1 1 N N i ix f x x f x x f x x f x + + + =L ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) (2222 1212N N i ix f x x f x x f x x f x + + + = L Estatstica Bsica 7 prof. Jos Aguinaldo ) ( ) ( ) ( ) (2222 1212N N i ix f x x f x x f x x f x + + + =L Propriedades do valor esperado E(X) e varincia Var(X) Sejam a e b duas constantes, ento: Valor EsperadoVarincia b b E = ) (b X aE b aX E = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Y E X E Y X E = 0 ) ( = b Var) ( ) (2X Var a b aX Var = Var(Y) Var(X) ) ( + = Y X Var se X, Y so independentes2 EXEMPLO 03 - ComdadosdoltimoCENSO,aassistentesocialdeumCentrodeSade constatou que 20% das famlias de uma regio no tinham filhos, 25% tinham apenas um filho, 30%dois,15%trs,5%quatroe5%cincofilhos.ConsiderandoavarivelX=nmerode filhos por famlia x012345 f(x)0,200,250,300,150,050,05 Pede-se: a)A probabilidade de uma famlia tenha mais de dois filhos; b)A probabilidade de uma famlia tenha pelo menos um filho; c)P(X 1); P(1 X 3); P(X > 5) d)Determine o valor esperado de filhos (ou seja, o nmero mdio de filhos) e)Determine o desvio-padro de X. Soluo ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ a) P(famlia ter mais de dois filhos) = P(X > 2) = f(3) + f(4) + f(5) = 0,25(ou 25%) b) c) d) Valor Esperado05 , 0 5 05 , 0 4 15 , 0 3 30 , 0 2 25 , 0 1 20 , 0 0 ) x ( f xii i + + + + + = = = 1,75 filho O nmero mdio do nmero de filhos por famlia de 1,75 filhos (quase dois filhos) e) Desvio-padro da varivel X Primeiro vamos calcular a varincia de X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 05 , 0 75 , 1 5 05 , 0 75 , 1 4 15 , 0 75 , 1 3 30 , 0 75 , 1 2 25 , 0 75 , 1 1 20 , 0 75 , 1 0) ( ) (2 2 2 2 2 22 2 + + + + + = = iiix f x = 0,6125 + 0,14063 + 0,01875 + 0,23438 + 0,25313 + 0,52813 = 1,788 filho2(lembre-se, a unidade da varincia sempre ao quadrado) Agora vamos calcular o desvio-padro da varivel X 788 , 1 = = varincia= 1,34 filho 2 Se X e Y no forem independentes, ento Var(X Y) = Var(X) + Var(Y) 2Cov(X,Y), ondeCov(X,Y) a covarincia entre X e Y. Estatstica Bsica 8 prof. Jos Aguinaldo CLCULO ALTERNATIVO De forma alternativa, podemos calcular o valor esperado e a varincia usando uma tabela no EXEMPLO 3.

xf(x)x f(x)x2.f(x) 00,200,000,00 10,250,250,25 20,300,601,20 30,150,451,35 40,050,200,80 50,050,251,25 Total11,754,85 Valor esperado: = ii ix f x ) (= 1,75 filho Varincia: 212 2) ( = =Nii ix f x= 4,85 (1,75)2 = 1,788 (filhos)2 Desvio-padro:788 , 1 = = varincia= 1,34 filho EXEMPLO 04 - SabendoqueE(X)=10eVar(X)=5eusandoaspropriedadesdovalor esperado e varincia para calcular E(Y), Var(Y) e dp(Y) nas situaes abaixo: a)Y = 3X + 20 b)Y = 5(X 4) + 20. c)Y = 5(X 1/5)+2X + 10 d)Y = 5(2 X) 4. Soluo ------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------- a) Y = 3X + 20 E(Y)20 ) X ( E 3 ) 20 ( E ) X 3 ( E ) 20 X 3 ( E + = + = + = 50 20 10 3 = + =Var(Y) 45 5 9 0 ) X ( Var 3 ) 20 ( Var ) X 3 ( Var ) 20 X 3 ( Var2= = + = + = + =dp(X)71 , 6 45 = = Agora resolvam a b, c, e d EXEMPLO 05 - Uma pea dever ser embalada em uma caixa. A pea tem peso mdio de 25 kg e desvio-padro de 3 kg e a caixa tem peso mdio de 2 kg e desvio-padro de 1 kg. Qual ser a mdia e o desvio-padro da pea embalada? OBS:Para x = 2 e f(x) = 0,30 temos:xf(x) = 2 0,30 = 0,60 e x2.f(x) = 220,30 = 1,20 Estatstica Bsica 9 prof. Jos Aguinaldo EXEMPLO 06 - Voctemasuadisposiotrsinvestimentos(A,B,C).Atabelaaseguir mostra o retorno anual (para cada1000 dlaresinvestidos) de cadaum desses investimentos sobcondieseconmicasdistintas,bemcomoaprobabilidadedequecadaumadessas condies econmicas venha a ocorrer. Retorno em dlares para cada 1000 dlares investidos em cada situao econmica Situao econmica Probabilidade Investimento A Investimento B Investimento C Recesso0,20-300-30 Estagnao0,50405276 Crescimento 0,3060200 a)Qualdostrsinvestimentosvocescolheriaaplicar?Baseiesuarespostanovalor esperado dos investimentos. b)Qualdostrsinvestimentosodemenorrisco?Eminvestimentos,sabe-seque quanto maior a variabilidade, maior ser o risco do investimento. 3. Distribuio de probabilidade - Variveis discretas Noestudodeumproblemarealdodia-a-dia,freqentementedeparamoscomsituaoonde devemostomaralgumadecisocomoauxiliodasprobabilidades.Porexemplo,noestudodo dimensionamentodeumestacionamento,onmerodecarrosqueentramnoestacionamento por hora uma varivel de interesse e o conhecimento da distribuio de probabilidade dessa varivel seria de grande auxlio. Ocomportamentodavariveldeinteressepodeserdescritoporumaexpressomatemtica, denominadademodeloprobabilstico,queassociaasprobabilidadescadavalordavarivel emestudo,permitindoassim,obterasuadistribuiodeprobabilidade.Comosmodelos probabilsticospodemoscalcularaprobabilidadedeumresultadoacontecersemterque coletar previamente os dados. Humavariedadedemodelosprobabilsticos,tantoparaasvariveisaleatriasdiscretas, quantoparaasvariveisaleatriascontnuas.Algunsdessesmodelosprobabilsticosesto citados logo abaixo: Modelos para varivel discretasModelos para variveis contnuas Distribuio de Bernoulli; Distribuio Binomial; Distribuio de Poisson;Distribuio Geomtrica; Distribuio Hipergeomtrica, etc. Distribuio Uniforme; Distribuio Normal; Distribuio Exponencial; Distribuio Lognormal; Distribuio Qui-quadrado, etc. Estatstica Bsica 10 prof. Jos Aguinaldo 3.1Distribuio de Bernoulli A distribuio de Bernoulli o modelo mais simples para varivel discreta e dele so originados outros modelos probabilsticos para varivel discreta. O modelo indicado para situaes em que observamos ou no alguma caracterstica de nosso interesse. Por exemplo: Lanar uma moeda: Sair cara ou no; Selecionar uma pea de um lote: defeituosa ou no; Selecionar um aluno: Foi reprovado em matemtica ou no; Tem computador em casa: Sim ou no; Paciente que fez cirurgia de alto risco: Sobreviveu ou no. Os experimentos acima so denominados de Experimentos de Bernoulli. Experimentos de Bernoulli Experimento simples, onde somente dois resultados so possveis (sucesso ou fracasso). A probabilidade de ocorrer um sucesso denotada por p e a probabilidade de ocorrer um fracasso denotada por q. Ento, P(ocorrer sucesso) = P(S) = pP(ocorrer fracasso) = P(F) = q = 1 p Numa linha de produo, onde 40% das peas so defeituosas, uma pea selecionada.Sucesso (S) = Pea com defeitop = P(sucesso) = 0,40 Fracasso (F) = Pea no est com defeitoq = P(Fracasso) = 0,60 Estatstica Bsica 11 prof. Jos Aguinaldo 3.2Distribuio Binomial A distribuio Binomial (ou modelo Binomial) uma generalizao da distribuio de Bernoulli. Com a distribuio Binomial podemos, por exemplo, calcular: a probabilidade de sair menos de 4 caras em 15 lanamentos de uma moeda honesta. a probabilidade de sair no mximo 3 peas com defeitos em um lote com 20 peas Dstribuio Binomial Quando so realizadas n ensaios independentes de Bernoulli e o nosso interesse recai sobre a varivel X = Nmero de sucessos nos n ensaios, ento a funo probabilidade de X dada por:x n xq pxnx f |||

\|= ) ( com x = 0, 1, ..., n Valor esperado e Varincia: p n = = E(X) q p n = = Var(X)2 Para representar uma varivel x com distribuio Binomial com n tentativas e probabilidade de sucesso p usamos a seguinte notao: X ~ Binomial(n; p). onden = nmero de ensaios (tentativas ou realizaes) independentes; x = o nmero de sucessos nos n ensaios; p e q = probabilidade de sucesso e fracasso (constante em cada ensaio); ! )! (!x x nnxn =|||

\| n! = n(n-1)(n-2)1(l-se n fatorial) EXEMPLO 07 - Resolva os fatoriais e a combinao a seguira)5! b)0! c) ! 38! 40 d) |||

\|=850508C Soluo ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a)120 1 2 3 4 5 ! 5 = = 5! (l-se5 fatorial) b)1 ! 0 =(por definio) c)1560 39 40! 38! 38 39 40! 38! 40= = =d)= = ===|||

\|648 49 50! 47 ) 1 2 3 (! 47 48 49 50! 47 ! 3! 50)! 3 50 ( ! 3! 5035019600 o nmero de ocorrncias de xsucessos em n ensaios. Isto , uma combinao de x sucessos em n tentativas. Estatstica Bsica 12 prof. Jos Aguinaldo Critrios para saber se a distribuio Binomial adequada i)Os n ensaios so independentes. Ou seja, o resultado de um ensaio no tem efeito no resultado do outro. ii)Cada tentativa tem apenas dois resultados, denotados por sucesso (S) ou fracasso (F). iii)A probabilidade p de sucesso permanece constante em todas as tentativas. Paraentenderoscritriosacima,vejaoexemplodeselecionarumaamostrade4peasde uma caixa com 20 peas, onde h 8 peas com defeito. Ser que podemos usar a distribuio Binomial para a varivel X = nmero de peas com defeito na amostra? Casoaretiradafossefeitacomreposio,aprobabilidadedeapeaserdefeituosaseria sempreamesmaemcadaretirada(p=8/20=0,40),portanto,nestecaso,podemosusara distribuio Binomial. Por outro lado, se a retirada for feita sem reposio, a probabilidade seria diferenteemcadaretirada,jqueototaldepeasnacaixanoseriaomesmoemcada retirada. Neste caso, portanto, no poderamos usar a distribuio Binomial. EXEMPLO 08 - Emcadasituaoabaixo,identifiqueonmerodeensaios,osucessoea probabilidade de sucesso e de fracasso. i)Sabe-se que 40% dos clientes que entram em uma loja fazem algum tipo de compras. Considerandoosprximos10clientesqueentramnaloja,qualaprobabilidadede quatro o mais clientes realizarem alguma compra? ii)Aprobabilidadedeumapeaserfabricadacomdefeito0,05.Umgrandelotecom peasserrejeitadoseumaamostrade20peasapresentaremtrsoumaispeas defeituosas, qual a probabilidade do lote ser rejeitado?iii)Sabe-se que 10% dos que reservam lugar em um vo desistem do embarque. Se 120 clientesreservaramovo,qualaprobabilidadedequatrooumaisclientesrealizarem alguma compra? Soluo ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- SituaoEnsaioSucessopq i)n = 10 clientesCliente realizar compras0,400,60 ii)n = 20 peasA pea est com defeito0,050,95 iii)n = 120 clientesCliente desistir do embarque0,100,90 Estatstica Bsica 13 prof. Jos Aguinaldo EXEMPLO 09 - Uma mquina desajustada produz 40% de peas com defeito. Supondo que 4 peas foram selecionadas aleatoriamente das peas produzidas durante um dia de produo, determine a probabilidade de: a)Determine a probabilidade de exatamente trs peas ser defeituosas b)Determine a probabilidade de uma a trs peas serem defeituosas c)Determine a probabilidade de pelo menos uma pea ser defeituosa. d)Qual o nmero mdio de peas com defeito na amostra? e)Qual o desvio-padro do nmero de peas com defeito? f)Mostre a distribuio de probabilidade da varivel X (ou seja, mostre uma tabela com os valores possveis de X e suas respectivas probabilidades) g)Determine a probabilidade de no mximo uma pea no ser defeituosa. h)Liste todos os resultados possveis onde aparecem 3 peas com defeitos, calcule a probabilidade de cada resultado, some-os e veja se o resultado coincidiu com o resultado obtido na letra a. Soluo ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- X = nmero de peas com defeitos segue distribuio Binomial com n = 4 e p = 0,40 A funo probabilidade de X x x x xx x xx f4 460 , 0 40 , 0)! 4 ( !! 460 , 0 40 , 04) ( = |||

\|= Veja que foram selecionadas 4 peas (n = 4) ao acaso, sendo que cada pea ou est com defeito(sucesso)ouno(fracasso)eaprobabilidadedeapeaestarcomdefeito sempreiguala0,40(p=0,40)paracadapea.Poristo,odistribuioBinomial adequado neste problema. a) P(trs peas serem defeituosas) = 3 4 360 , 0 40 , 0)! 3 4 ( ! 3! 4) 3 ( = f60 , 0 064 , 01 62460 , 0 40 , 0! 1 ! 3! 41 3 = =60 , 0 064 , 0 4 =%) 36 , 15 ( 1536 , 0 0864 , 0 4 ou = = 15,36% das vezes em uma amostra de 4 peas, trs delas estaro com defeito. b) P(de uma a trs peas serem defeituosas) = P(1 X 3) = f(1) + f(2) + f(3) = 0,3456 + 0,3456 + 0,1536= 0,8448(ou 84,48%) 1 4 160 , 0 40 , 0)! 1 4 ( ! 1! 4) 1 ( = f= 3 160 , 0 40 , 0! 3 ! 1! 4 = 40,0640,60 = 0,3456 2 4 260 , 0 40 , 0)! 2 4 ( ! 2! 4) 2 ( = f= 2 260 , 0 40 , 0! 2 ! 2! 4 = 60,160,36 = 0,3456 3 4 360 , 0 40 , 0)! 3 4 ( ! 3! 4) 3 ( = f= 1 360 , 0 40 , 0! 3 ! 1! 4 = 40,0640,60 = 0,1536 Estatstica Bsica 14 prof. Jos Aguinaldo c) P(pelo menos uma pea defeituosa) = P(X 1) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 0,3456 + 0,3456 + 0,1536 + 0,0256= 0,8704(ou 87,04%) As probabilidades f(1), f(2) e f(3) foram obtidas na letra b 4 4 460 , 0 40 , 0)! 4 4 ( ! 4! 4) 4 ( = f= 0 460 , 0 40 , 0! 0 ! 4! 4 = = 10,02561 = 0,0256 ATENO: O mesmo resultado acima poderia ter sido obtido se aplicar a regra do pelo menos um ... que vimos na unidade anterior. P(pelo menos um ...)= 1 P(nenhum ...) P(pelo menos uma pea defeituosa) = 1 P(nenhuma pea estar defeituosa) = 1 f(0) = 1 0,1296 = 0,8704 (ou 87,04%) 0 4 060 , 0 40 , 0)! 0 4 ( ! 0! 4) 0 ( = f= 4 060 , 0 40 , 0! 4 ! 0! 4 = = 110,1296 = 0,1296 Resultados interessantes (usando a regra do complemento) P(X a) = 1 P(X < a)P(X > a) = 1 P(X a) d) Nmero mdio (ou nmero esperado) de peas com defeito E(X) = = np = np = 40,40 = 1,6 pea (quase duas) com defeito em mdia e) Desvio-padro do nmero de peas com defeito) ( X Var = ) ( X Var = =98 , 0 60 , 0 40 , 0 4 = = q p npea com defeito f) Distribuio de probabilidade da varivel X x01234 f(x)0,12960,34560,34560,15360,0256 f(0) obtido da letra c f(1), f(2), f(3) e f(4) foram obtidos da letra b 4 3 2 1 00,350,300,250,200,150,100,050,00xf(x) Estatstica Bsica 15 prof. Jos Aguinaldo g) P(de no mximo uma pea no ser defeituosa) = ? Veja que agora estamos trabalhando com nmero de pea no defeituosas. At agora trabalhamos com o nmero de peas defeituosas, por isto usamos a probabilidade de sucessoigualap=0,40.Noentanto,pararesolveraletragtemosqueusarcomo probabilidadedesucessoovalorp=0,60,queaprobabilidadedeapeanoser defeituosa3. P(de no mximo uma pea no ser defeituosa) = P(X 1) = f(0) + f(1) = 0,0256 + 0,1536 = 0,1792 (ou 17,92%) 0 4 040 , 0 60 , 0)! 0 4 ( ! 0! 4) 0 ( = f= 4 040 , 0 60 , 0! 4 ! 0! 4 = 110,16 = 0,0256 1 4 140 , 0 60 , 0)! 1 4 ( ! 1! 4) 1 ( = f= 3 140 , 0 60 , 0! 3 ! 1! 4 = 40,600,064 = 0,1536 h) Aparecer 3 peas com defeito em 4 peas Vamos chamar de S = sucesso = pea defeituosaF = fracasso = pea no defeituosa Diferentes formas de aparecer trs peas defeituosas ProbabilidadeClculos FSSS P(FSSS) = 0,400,603 = 0,0864 P(FSSS) = P (F)P(S)P(S)P(S) = 0,400,600,600,60 SFSS P(SFSS)= 0,400,603 = 0,0864 P(SFSS) = P (S)P(F)P(S)P(S) = 0,600,400,600,60 SSFS P(SSFS)= 0,400,603 = 0,0864 P(SSFS) = P (S)P(S)P(F)P(S) = 0,600,600,400,60 SSSF P(SSSF) =0,400,603 = 0,0864 P(SSSF) = P (S)P(S)P(S)P(F) = 0,600,600,600,40 Total40,0864 = 0,3436--- Obs: Assumindo independncia entre os eventos, ento P(FSSS) = P (F)P(S)P(S)P(S). Aprobabilidadedesair3peascomdefeitosemumaamostracom4peasfoi0,3436,o mesmovalorobtidonaletraa.Vejaquetivemos4diferentesformasdesairtrspeascom defeitos e cada uma delas a probabilidade foi igual a 0,400,603, ento de uma maneira geral, a probabilidade de ocorrer x sucessos ( )x n xq pnx p ||||

\|=ensaios em sucessossairde diferentesformas de Nmerosucessos" ocorrer x"com

( )! !!ensaios em sucessossairde diferentesformas de Nmerox n xnCnxnx= =||||

\| = combinao de n de x em x 3 Para esta letra estamos admitindo que X =nmero de peas no defeituosasegue a distribuio Binomial com n = 40 ep =0,60 Estatstica Bsica 16 prof. Jos Aguinaldo EXEMPLO 10 - Umrestaurantesabeque85%dosclientesquereservammesarealmente comparecem. O restaurante tem somente 20 lugares, mas acabou aceitando fazer 22 reservas, determineaprobabilidadedeoclientequefezreservaaparecernorestauranteeser acomodado em sua mesa. Soluo ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ X = nmero de clientes que fizeram reservas comparecerem segue distribuio Binomial com n = 22 e p = 0,85, com funo probabilidade igual a: x x x xx x xx f2 2 2 215 , 0 85 , 0)! 22 ( !! 2215 , 0 85 , 02) ( = |||

\|= Vejaqueorestauranteaceitoufazer22reservas(n=22).Cadaclientequefezreserva pode aparecer (sucesso) ou no e a probabilidade de o cliente aparecer sempre igual a 0,85 (p = 0,85) em cada reserva. Por isto, que estamos usando a distribuio Binomial. Osclientesquefizeramreservarseroacomodadosemseuslugaresse,esomentese, aparecerem no mximo 20 clientes (se aparecer 21 ou 22 clientes algum ficar sem lugar no restaurante), ento P(todos serem acomodados) = P(X 20) = f(20) + f(19) + ...+ f(0) Veja que temos que usar 21 vezes a funo probabilidade f(x), o que muito trabalhoso, certo? O que fazer, ento? Usar a regra do complemento P(X 20) = 1 P(X > 20) = 1 - [ f(21) + f(22) ] 21 2 2 2115 , 0 85 , 0)! 21 22 ( ! 21! 22) 21 ( = f= 1 2115 , 0 85 , 0! 1 ! 21! 22 =0,1087 22 2 2 2215 , 0 85 , 0)! 22 22 ( ! 22! 22) 22 ( = f= 0 2215 , 0 85 , 0! 0 ! 22! 22 = 0,028 P(X 20) = 1 - [ 0,1087+ 0,028 ] = 1- 0,1367 = 0,8633(ou 86,33%) A probabilidade de o cliente que fez reserva aparecer no restaurante e ser acomodado em sua mesa de 0,8633. Estatstica Bsica 17 prof. Jos Aguinaldo Alguns grficos da distribuio Binomial Abaixo, temos alguns grficos da distribuio Binomial. Observe que em cada grfico, as hastes esto em torno da mdia = np. xP(x)1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 00. 300. 250. 200. 150. 100. 050. 00xP(x)10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 00. 250. 200. 150. 100. 050. 00xP(x)10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 00 . 3 00 . 2 50 . 2 00 . 1 50 . 1 00 . 0 50 . 0 0n =1 0 p= 0 .2 0 n= 1 0p =0 .5 0 n =1 0 p =0 .8 0 Usando o Excel No Excel, a funo DISTRBINOM(x; n; p; FALSO) retorna a probabilidade f(x) de ocorrer x sucessos em n provas, enquanto que a funo DISTRBINOM(x; n; p; VERDADEIRO)retorna a probabilidade de ocorrer no mximo x sucessos em n provas. Veja abaixo um exemplo onde foram calculadosf(6) e P(X 6) de uma distribuio Binomial com parmetros n = 10 e p = 0,40. = DISTRBINOM(C2; 10; 0,40; FALSO)= DISTRBINOM(C2; 10; 0,40; VERDADEIRO) Estatstica Bsica 18 prof. Jos Aguinaldo 3.3Distribuio de Poisson A distribuio dePoisson (ou modelo dePoisson) uma distribuio til como modelo terico para descrever a probabilidade de ocorrer um nmero de eventos ao longo de um intervalo de tempo (ou de rea, ou de volume, ou de cumprimento, etc). Exemplos de situaes, onde o modelo de Poisson adequado: Nmero de chamadas telefnicas por minuto; Nmero de carros que chegam ao estacionamento durante uma hora; Nmero de pessoas infectadas por unidade de rea; Nmero de acidentes por dia; Distribuio de Poisson Se o nmero mdio de eventos no intervalo igual a , ento a varivel aleatria X que igual aonmerodeeventosnointervalotemumadistribuiodePoissoncomparmetro.As probabilidades so obtidas pelo modelo matemtico abaixo: !) (xex fx = comx = 0, 1, 2 ,... Valor esperado E(X) e varincia Var(X)E(X) = = Var(X) = 2 = Notao: X ~ Poisson( ) significa que a varivel X = nmero de x eventos em um intervalosegue a distribuio de Poisson com taxa mdia igual ondef(x) = P(X = x) a probabilidade de ocorrer x eventos = taxa mdia de eventos no intervalo (de tempo, de comprimento, etc) com > 0 x = nmero de ocorrncia de eventos no intervalo e 2,718282 - o nmero neperiano ou nmero de Euler (pronuncia-se iler) x! = x(x-1)(x-2)21- o x fatorial (ou fatorial de x) Resultados interessantes (usando a regra do complemento) P(X a) = 1 P(X < a) P(X > a) = 1 P(X a) P(a X b) = P(X b) - P(X < a) Estatstica Bsica 19 prof. Jos Aguinaldo EXEMPLO 11 - OsnavioschegamaumportosegundoumadistribuiodePoissoncom mdia de 2 navios por hora. Determine a probabilidade: a)Chegar exatamente trs navios em uma hora; b)Chegar pelo menos um navio em uma hora; c)Chegar exatamente trs navios em 30 minutos; d)Chegar pelo menos um navio em duas horas; Soluo: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- X = nmero de navios que chegam ao porto em uma hora segue a distribuio de Poisson com taxa mdia de = 2 navios a cada hora. Portanto a funo probabilidade : !2) (2xex fx = ondex = 0, 1, 2, ... a) P(chegar exatamente trs navios em uma hora) = f(3) 180447 , 06135335 , 0 8! 32) 3 (2 3===ef (ou 18,05%) com3! = 321 = 6 e-2= (2,718282)-2 = (1 / 2,718282)2 = (0,367879)2 = 0,135335 Resposta: P(chegar exatamente trs navios em uma hora) = 0,1805 18,05% das vezes chegaro exatamente 3 navios em um intervalo de um intervalo de uma hora (Por exemplo, de 8:00 s 9:00 hs, ou 14:30 s 15:30 horas, ou 16:15 s 17:15 hs, etc) b) P(chegar pelo menos um navio em uma hora) = P(X 1) L + + + = ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( f f f X P(veja que no conseguiremos calcular, pois teoricamente vai at infinito). A soluo usar a regra do complemento: ) 0 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( f X P X P = < = = 1 0,135335 = 0,864665 (ou 86,47%) 135335 , 01135335 , 0 1! 02) 0 (2 0===efcom0! = 1 (por definio) e2= (2,718282)2 = (1 / 2,718282)2 = (0,367879)2 = 0,135335 Resposta: P(chegar pelo menos um navio em uma hora) = 0,8647 86,47% das vezes chegar pelo menos um navio em um intervalo de uma hora Estatstica Bsica 20 prof. Jos Aguinaldo c) P(chegar exatamente trs navios em 30 minutos) = f(3) Para trabalhar com intervalo de 30 minutos temos que encontrar a taxa mdia de navios que chegam durante um intervalo de 30 minutos. Como sabemos que a taxa mdia de dois navios por horas, ento em 30 minutos espera-se que a taxa mdia seja de 1 navio. Foi usada a regra de trs: 2 navios--------- 1 hora k navios ---------- 0,5 hora ( = 30 minutos) k = 2 0,5 / 1 = 1 navio Agora, vamos trabalhar com a taxa mdia de = 1 navio a cada 30 minutos. 061313 , 06367879 , 0 1! 31) 3 (1 3===ef(ou 6,13%) Resposta: P(chegar exatamente trs navios em 30 minutos) = 0,0613 6,13% das vezes chegaro exatamente 3 navios durante um intervalo de 30 minutos. c) P(chegar pelo menos uma navio em duas horas) = P( X 1) Para trabalhar com intervalo de 2 horas temos que encontrar a taxa mdia de navios que chegam durante um intervalo de 2 horas. Como sabemos que a taxa mdia de dois navios por horas, ento em duas horasespera-se que a taxa mdia seja de 4 navios.2 navios--------- 1 hora k navios ---------- 2 horas k = 2 2 / 1 = 4 navios Agora, vamos trabalhar com a taxa mdia de = 4 navios a cada duas horas. ) 0 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( f X P X P = < = = 1 0,018316 = 0,981684 (ou 98,17%) 018316 , 01018316 , 0 1! 04) 0 (4 0===ef e4= (2,718282)4 = (1 / 2,718282)4 = (0,367879)4 = 0,018316 Resposta: P(chegar exatamente trs navios em 30 minutos) = 0,9817 98,17% das vezes chegar pelo menos um navio durante um intervalo de 30 minutos. Estatstica Bsica 21 prof. Jos Aguinaldo Alguns grficos da distribuio de Poisson AbaixotemosalgunsexemplosdegrficosdadistribuiodePoissonparadiferentestaxa mdia (note que a distribuio est mais concentrada em torno de ). xP(x)1 4 1 2 1 0 8 6 4 2 00 . 3 00 . 2 50 . 2 00 . 1 50 . 1 00 . 0 50 . 0 0xP(x)1 4 1 2 1 0 8 6 4 2 00 . 2 00 . 1 50 . 1 00 . 0 50 . 0 0m d ia = 2 m d ia = 5 Usando o Excel No Excel, a funo POISSON(x; ; FALSO) retorna a probabilidade f(x) de ocorrer x eventos e afunoPOISSON(x; ;VERDADEIRO)retornaaprobabilidadedeocorrernomximox eventos. Veja abaixo um exemplo onde foram calculados f(6) e P(X 6) de uma distribuio de Poisson com taxa mdia de = 8. Usando o modelo de Poisson como aproximao do modelo BinomialAdistribuiodePoissonsurgiucomoumaformalimitedadistribuioBinomial,porisso, algumasvezesomodelodePoissonusadocomoaproximaodomodeloBinomial.Uma regra emprica para usar tal aproximao n 100 e n p 10. Se a varivel discreta X segue a distribuio Binomial com parmetros n e p n grande (n >100) e p pequeno, de forma que n p 10 A varivel discreta X segue aproximadamente a distribuio de Poisson com parmetro = n p x n xq pxnx f ) ( |||

\|= !) (xex fx = EXEMPLO 12 - Emumaregio,apenas2%daspessoastmcomputadoremcasa.Uma escola tem 100 alunos, qual a probabilidade de que oito desses alunos tenham computador em casa? =POISSON(A2; 8; VERDADEIRO) =POISSON(A2; 8; FALSO) Estatstica Bsica 22 prof. Jos Aguinaldo Soluo: ---------------------------------------------------------------------------------------------- X = nmero de alunos com computador em casa segueadistribuioBinomialcom parmetros n = 100 alunos e p = 0,02 (probabilidade da pessoa ter computador em casa) P(de oito alunos terem computador em casa) = f(8) 8 00 1 885 , 0 15 , 08100) 8 ( |||

\|= f = 8 00 1 885 , 0 15 , 0)! 8 100 ( ! 8! 100 Calcularofatorialde100!umpoucotrabalhoso.PodemosusaraaproximaodePoisson. Voltando ao exemplo: = n p = 1000,02 = 2 ! 82) 8 (2 8 =ef= 40320135335 , 0 256 = 0,000859 Oresultadoacimaseriavaloraproximadodef(8)usandoadistribuiodePoisson.Ovalor exato, usando a distribuio Binomial, seria 0,000743. Estatstica Bsica 23 prof. Jos Aguinaldo 4. Distribuio de probabilidade Varivel contnua Atomomento,vimosalgumasdistribuiesparaasvariveisaleatriasdiscretas,essas Comoavarivelaleatriacontnuapodeassumirinfinitosvaloresdentrodeumintervalode nmeros reais, o clculo da probabilidade dessa varivel assumir um determinado valor perde o sentido, visto que essa probabilidade seria sempre zero. Veja o exemplo da vida til de uma bateria de celular, que uma varivel contnua. Se assumir que essa vida til pode variar de 10 horas a 72 horas (valores fictcios), a probabilidade de uma bateriadurarexatamente20,456horasseriazero.Umaexplicaodeformabemsimples poderia ser dada da seguinte forma: Se todos os valores possveis dentro do intervalo de 10 a 72 horas forem igualmente provveis, ento: P(bateria durar exatamente 10,456 horas) =01) 456 , 0 1 P(X == =onde o smbolo indica infinito, que o total de valores possveis dentro do intervalo de 10 a 72 horas. Sabendo deste resultado, no tem muito sentido calcular probabilidade de ocorrer um determinado valor, quando se trata de varivel contnua. Ento, o que feito nestes casos?Quandosetratadevarivelcontnua,devemossemprecalcularaprobabilidadedeavarivel terumvalorcompreendidoentredoisvaloresquaisquer.Ouseja,calculamosaprobabilidade de a varivel assumir determinado valor dentro de um intervalo [a; b]. Veja o exemplo a seguir parailustrarqueacabamosdedizer.Vejaoexemploaseguirparailustrarqueacabamosde dizer. EXEMPLO 13 - Nafiguraabaixo,oponteirogiralivrementesobreumcrculodivididoem oitosetores.Comovariveldeinteresse,vamosconsideraradistnciadopontoinicialato pontoemqueoponteiroirparar.Seoponteiroforcolocadoparagirarnosentidohorrio, determine a probabilidade de o ponteiro: Soluo ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a)Oponteirosobocrculopostoagirar,podendopararemqualquerposioaolongodo crculo.deesperarquesejaquaseimpossveldeoponteiropararexatamenteemcimado ponto k, portando a probabilidade disto ocorrer ser praticamente zero, ou seja, P(A) 0 onde o evento A = parar exatamente em cima do ponto k. b) Sendo razovel assumir que os 8 intervalos [0; 10), [10; 20), [20; 30), [30; 40), [40; 50), [50; 60), [60; 70) e [70; 80) sejam igualmente provveis, ento: P(cair no intervalo [10; 20)) = 1/8 = 0,125. a)Pararexatamenteemcimadopontok(nemum pouco antes e nem um pouco depois). b)Parar dentro do intervalo [10; 20]. Estatstica Bsica 24 prof. Jos Aguinaldo Noexemploanterior,podemosrepresentarasprobabilidadesassociadasacadaintervalo usandoumhistogramaconstrudodeformaqueasreasdosretngulosrepresentemas probabilidades de interesse. Areadoretngulosombreadonohistogramaacimaiguala1/8.Paraquereafosse realmente1/8,aalturadohistogramatevequeser1/80,poisreaderetngulo=base altura = 1 / 8 (20-10) altura = 1 / 8 10 altura = 1 / 8 altura = 1 / 80 Note,comohistogramaacima,quehumarelaoentreprobabilidadeerea.Istosempre acontecer, quando trabalhamos com distribuio de varivel contnua. Supondoqueocrculofossedivididoem16intervalos,sendoqueintervalotemamesma probabilidade 1/16, o histograma correspondente seria: Estatstica Bsica 25 prof. Jos Aguinaldo Podemosdividirocrculoem32intervalos,64intervaloseassimpordianteemesmoassim sua altura permanecer com o mesmo valor 1/80. Ento, em uma situao terica com infinitos intervalos, temos o seguinte histograma: Estehistogramatericodeterminadopelafunof(x)quedenominamosdefuno densidadedeprobabilidadeousimplesmentefunodensidadedavarivelX.Coma funodensidadef(x)podemoscalcularteoricamenteP(43X65),probabilidadedeo ponteirocairaumadistnciade43a65apartirdopontoinicial,calculandoareadeum retngulo. Escolhendoadequadamenteafunodensidadef(x)paraavariveldeinteresse,podemos calcularaprobabilidadetericadeavarivelassumirumvalordentrodointervalo[a;b], simplesmente calculando a rea da curva no intervalo [a; b]. Abaixo, temos um histograma para as notas de matemtica dos candidatos em um vestibular e afunodensidadef(x)(notecomoohistogramarefletedeumamaneiraaproximadaa realidade da varivel). 100 90 80 70 60 50 40 30 200NotasDensidade de frequncia 100 90 80 70 60 50 40 30 200NotasDensidade de frequncia 80 70 60 50 40 30 20 10 00X1 / 80 f(x) Funo densidade f(x)Histograma Probabilidade de obter mais de 80 pontos Portanto,P(43 X 65) = 0,275. Estatstica Bsica 26 prof. Jos Aguinaldo ATENO: bomdeixarbemclaroqueafunodensidadef(x)nofornecediretamentea probabilidade,elaapenasusadanoclculodereaeestareacorresponderanossa probabilidade de interesse. Emsituaessimples,iremoscalcularreasderetngulos,tringulosououtrasfiguras geomtricas mais simples, mas em situaes mais complexas, o clculo das reas ir requer o uso de clculo de integral. Afunodensidadeabaixo,descreveotempodevidadeumtipoespecialdelmpada.O clculo da reaneste caso no to simples assim, se pretendemos calcular a probabilidade de uma lmpada sobreviver mais de 15 mil horas devemos recorrer ao uso da integral. Abaixo temos algumas caractersticas importantes de uma funo densidade. Caractersticas da funo densidade f(x) uma funo no-negativa, ou seja, f(x) 0; A rea total da curva definida por f(x) igual a 1(Figura 1 abaixo); A probabilidade de a varivel assumir um valor no intervalo [a; b] : P(a X b) = rea da curva no intervalo [a; b] (figura 2 abaixo); A probabilidade de a varivel assumir um determinado valor sempre zero. Ou seja, P(X = k) = 0 (Figura 2 abaixo); A incluso ou excluso dos extremos no altera o valor da probabilidade, ou seja, P(a X b) = P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a < X b) A probabilidade de uma lmpada sobreviver mais de 15 mil horas igual a: P(X > 15) =153 , 0 dx ) x ( f15= ATENO: No se desespere, no vamos usar integral na nossa disciplina. Estatstica Bsica 27 prof. Jos Aguinaldo 4.1Distribuio Uniforme A distribuio Uniforme o modelo mais simples para varivel contnua. Este modelo adequado, quando razovel assumir que intervalos iguais da varivel tenham mesma probabilidade.

Distribuio Uniforme Se a varivel aleatria X segue a distribuio uniforme no intervalo [a; b], ento a funo densidade f(x) dada por: b] [a;x se 0b] [a;x sea - b1) (= x f Valor esperado E(X) e varincia Var(X)2) (a bx E+= =12) () (22a bx Var= = EXEMPLO 14 - AempresaPica-PauLtdacortamadeirasemformadetoras.O comprimento das toras varia uniformemente de 30 cm a 90 cm. a)Determine a probabilidade de uma tora ter comprimento maior que 80 cm de 65 cm a 70 cm exatamente 75 cmb)Se 1200 toras forem cortadas, qual o nmero de esperado de toras com comprimento maior que 80 cm.c)Qual o valor esperado e o desvio-padro do comprimento das toras. d)Sabendo que 90% das toras tm comprimento de k cm no mximo. Determine o valor de k. e)Determine os trs quartis (Q1, Q2 e Q3) dos comprimentos das toras. Soluo ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Se os comprimentos das toras variam uniformemente de 30 a 90, ento podemos assumir a distribuio uniforme para a varivel X= comprimento das toras com funo densidade f(x) igual a: 90] [30;x se 090] [30;x se 601) (= x f 601 f(x) x30 a b 1 f(x) xab Estatstica Bsica 28 prof. Jos Aguinaldo a) P(comprimento ser maior que 80) = P(X > 80) = 0,1667 P(comprimento de 65 cm a 70 cm) = P(65 X 70) = 0,0833 P(comprimento exatamente 75 cm) = P(X = 75) = 0(a rea no existe) b)SeP(X>80)=0,1667entocercade16,67%dastorasterocomprimentosmaioresque 80cm,entodeumtotalde1200torasonmerodetorascom80cmoumais aproximadamente 200 toras ( = 16,67% de 10000).

c) O tamanho mdio das toras : 60230 902) ( =+=+= = a bx Ecm O desvio-padro dos comprimentos das toras :32 , 17 30012) 30 90 (12) () (2 2= === = a bx Var cm d) P(comprimento no mximo k) = 0,90.rea = base altura = 0,90 (k 30) 1/60 = 0,90 k = 54 + 30 = 84 cm e) Lembre-se de que Q1 = P25 ento basta repetir a letra d usando 0,25 no lugar de 0,90. Para o Q2, usar 0,50 no lugar de 0,90 e para o Q3 usar 0,75 no lugar de 0,90. x f(x) 601 30 k900,90 Estatstica Bsica 29 prof. Jos Aguinaldo EXEMPLO 15 - Umgeradordenmerosaleatriossegueadistribuiouniformeno intervalo de 10 a 20.a)Determine a probabilidade de o nmero gerado ser: Maior que 17.resp: 0,30 Menor que 12,5.resp: 0,25 Entre 14 e 16.resp: 0,20 Exatamente o nmero 18 resp: 0 b)Se 1000 nmeros so gerados, quantos deles sero maiores que 17?resp: 300 nmeros c)Qual o valor mdio e desvio-padro dos nmeros gerados. resp: = 15 = 2,89 EXEMPLO 16 - Otemporequeridoparacompletarumaoperaodemontagemseguea distribuio uniforme no intervalo de 30 a 40 minutos. a)Determine a probabilidade de uma montagem requererMais de 37 minutos para ser completado. de 34 a 36 minutos; Exatamente 34 minutos. b)Sabendoque25%dasvezes,otempodemontagem,nomximo,ksegundos, determine o valor de k. c)Qual a mdia e a varincia do tempo de montagem. Respostas: a) 0,300,200 b) k = 32,5 minc) = 35 e 2 = 8,33 Estatstica Bsica 30 prof. Jos Aguinaldo 4.2Distribuio Normal A distribuio Normal a distribuio de probabilidade mais usada na Estatstica, pois serve de modeloparaumgrandenmerodevariveiscontnuasetambmcomomodeloaproximado para outras distribuies de probabilidade (Binomial, Poisson, etc).Eminfernciaestatstica,umareadaestatsticaqueprocuratomardecisesacercada populaousandoapenasosdadosdeumaamostra,a mdiaamostralavariveldemaior interesseeconhecerasuadistribuiodeprobabilidadedegrandeimportncia.Seo tamanhodaamostraforconsideradogrande(n30),podemosusaradistribuionormal comomodeloadequadoparadescreverosresultadosdamdiaamostral,mesmosea populao de onde a amostra foi retirada no seguir a distribuio normal. Esse o resultado doTeoremaCentraldoLimite(principalteoremanaEstatstica)equemostraagrande importncia da distribuio normal. Distribuio normal UmavarivelaleatriacontnuaXtemdistribuionormalcomparmetros e ,seasua funo densidade f(x) for dada por:

, para < x < onde4, > 0e = 2,718282 = 3,14159 NOTAO:X~Normal( ; )AvarivelXtemdistribuionormalcommdia e desvio-padro . Valor esperado E(X), varincia Var(X) e desvio-padro dp(X) da varivel X E(X) = Var(X) = 2 dp(X) = 4 e = nmero neperiano ou nmero de Euler (pronuncia-se iler). 2x21e21) x ( f||

\| =x f(x) Estatstica Bsica 31 prof. Jos Aguinaldo Efeito da mdia e do desvio-padro na curva normal A mdia determina o valor do centro da curva normal, enquanto que o desvio-padro determina a largura da curva normal. Quanto menor o valor do desvio-padro , menor ser a variabilidade dos dados, conseqentemente menor ser a largura da curva. Algumas caractersticas da distribuio Normal (1)A mdia, mediana e moda so iguais. Ou seja, = Md = mo; (2)Acurvanormal,almdeterumareatotaliguala1,simtricaemtornodamdia, sendo assim, P(X < - b) = P(X > + b); (3)P(X [a; b]) = P(a X b) = rea da curva no intervalo [a; b] (4)A incluso ou excluso dos extremos no altera o valor da probabilidade. Portanto, P(a X b) = P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a < X b) 80 70 60 50 40 30 20 10 00,100,080,060,040,020,00Xf(x) = 20 = 4 = 50 = 8 = 20 = 8 Estatstica Bsica 32 prof. Jos Aguinaldo (5)Quaisquerquesejamosvaloresdamdia edodesvio-padro deumadistribuio normal, os seguintes resultados so vlidos: P( 1 X + 1) = 0,6827 - Cerca de 68,3% dos valores esto a um desvio-padro distante da mdia; P( 2 X + 2) = 0,9545 - Cerca de 95,5% dos valores esto a 2 desvios-padres distante da mdia; P( 3 X + 3) = 0,9973 - Cerca de 99,7% dos valores esto a 3 desvios-padres distante da mdia; Seas notas em matemtica dos candidatos em um vestibular forem normalmente distribudas com mdia de = 65 pontos e desvio-padro de = 12 pontos, ento aproximadamente 95% desses candidatos iro obter notas de 41 a 89 pontos, pois 41 = 65 212 (= 2) 89 = 65 + 212 (= + 2) Distribuio normal padro A distribuio normal padro um acaso especial da distribuio normal onde a mdia zero ( = 0) e desvio-padro um ( = 1). As reas dessa distribuio so obtidas com o auxilio de tabelas e serve de referncia para calcular probabilidades das outras distribuies normais Por que usamos tabela na distribuio normal? Comofoiditoanteriormente,asprobabilidadessoobtidasresolvendoaintegralda funodensidadenointervalodeinteresse.Ograndeproblemaqueintegrar algebricamenteumacurvanormalnopossveleasoluoencontradafoiusar mtodosnumricos5paracalculardeformaaproximadaasreasdeinteresse.Essas reas so calculadas apenas para a distribuio normal padro. 5 Mtodos computacionais usados para obter a integral de uma funo Montgomery, 2002 Estatstica Bsica 33 prof. Jos Aguinaldo Paraobterasreasdeoutrosintervalosteremosquelembrardequeacurvanormal simtrica em torno da mdia, de que rea total um e de que as reas dos intervalos (-; 0] e [0; +) so iguais a 0,50. Atabelaquevamosusarforneceareadacurvanormalpadronointervalodezeroatum determinado valor, ou seja, no intervalo [0; zc].Por exemplo, usando a tabela normal padro, qual a probabilidade P(0 Z 1,58)? O valor zc =1,58 dever ser dividido em duas partes (1,5 e 8). A primeira parte (1,5) dever ser localizada na primeira coluna da tabela e a segunda parte (8) dever ser localizada na primeira linhadatabela.Nainterseodessasduaspartesteremosovalor0,442947quea probabilidade desejada. Usando a tabela normal padro, P(0 Z 1,58) = 0,442947. Usando o resultado acima, outras probabilidades podem ser obtidas. Veja a seguir: P(Z > 1,58) = 0,50 0,442947 = 0,057053 (lembre-se de que a rea no intervalo [0; ] igual a 0,50) Por simetria, temos que: P(-1,58 Z 0) = 0,442947P(Z < -1,58)= 0,057053 Continuando com a tabela normal padro, qual o valor de zc tal que P(0 Z zc) = 0,35? Resposta: O valor de zc 1,04 01,58Z Tabela normal padro z 8 ... 1,5 0,442947 ... P(0 Z 1,58) = Tabela normal padro z 4 ... 1,0 0,350830 ... mais prximo de 0,35 P(0 Z zc) = 0,35 0zcZ -1,58 0 Z 0,057053 0,442947 0 01,58 Z0,05705 Estatstica Bsica 34 prof. Jos Aguinaldo EXEMPLO 17 - Sabendo que a varivel Z tem distribuio normal padro, responda: a)P(Z < 1,85) b)P(Z > - 2,33) c)P(2,33 Z 1,50) d)P(-2,33 Z -1,50) e)P(-1,80 Z 0,85) f)Calcule k tal que P(Z k) = 0,95. g)Calcule k, tal que P(Z k) = 0,05. Soluo ---------------------------------------------------------------------------------------------- a) P(Z < 1,85) = 0,5 + 0,467843 = 0,967843 ( = rea sombreada na figura abaixo) b) P(Z > -2,33) = 0,5 + 0,490097 = 0,990097 ( = rea sombreada na figura abaixo) c) P(2,30 Z 1,50) = rea no intervalo [0; 2,30] rea no intervalo [0; 1,50] = 0,489276 0,433193 = 0,056083 d) P(-1,86 Z 0,85) = rea no intervalo [-1,86; 0]+rea no intervalo [0; 0,85] = 0,468557 + 0,302337 = 0,770894 001,850,5 Da tabela normal padro 0,467843Observao P(Z < 1,85) = P(Z 1,85) 0-2,3300,5 Da tabela normal padro 0,490097 001,52,30,056083 -1,8600,85 Z Estatstica Bsica 35 prof. Jos Aguinaldo e) P(-2,30 Z -1,50) = rea no intervalo [-2,30; 0] rea no intervalo [-1,50; 0] = 0,489276 0,433193 = 0,056083(veja que por simetria j poderamos ter obtido este resultado) e) Calcule k tal que P(Z k) = 0,95. Resposta: O valor de k 1,65. Veja que o valor 0,95 corresponde a rea da curva sob o intervalo (; 0]. Sabendo que a rea no(;0]iguala0,50,entoorestante0,45ficasendoareanointervalo[0;k].Como a tabelastrabalhacomreasnointervalo[0;zc],poristoqueolhamosnatabelaovalor correspondente a rea 0,45. e encontramos k = 1,65. f) Calcule b tal que P(Z b) = 0,05. Da letra e podemos concluir que P(Z 1,65) = 0,95 e P(Z > 1,65) = 0,05. Por simetria, sabemos que P(Z < 1,65) = 0,05 (certo?), ento com isto a resposta para a letra f b = 1,65 Padronizao de uma varivel Atagorastrabalhamoscomadistribuionormalpadro.Ecomodevemostrabalharcom as outras distribuies de probabilidades? QualquervarivelXtendodistribuionormalcommdiaedesvio-padropodeser transformada em uma distribuio normal padro, basta, para isto, padronizar a varivel X. X tem distribuio normal com mdia e desvio-padro .

Z tem distribuio normal padro com mdia = 0 e desvio-padro = 1. 0-2,3-1,50Z Da letra c e por simetria temos0,056083 00 1,650,95 0,05 00,95 -1,650Z Tabela normal padro z 5 ... 1,6 0,449 497 ... mais prximo de 0,45 00 k = ?0,500,45 P(0 Z k) = 0,45 =xz Padronizao Estatstica Bsica 36 prof. Jos Aguinaldo X ~ Normal( ; ) Z ~ Normal(0; 1) ( ) ||

\| = aZ P a X P= olhar as reas na tabela da normal padro ( ) ||

\| = bZaP b X a P= olhar as reas na tabela da normal padro EXEMPLO 18 - Emumaregio,oquocienteintelectual(QI)daspessoasadultasseguea distribuio normal com mdia de 100 pontos e desvio-padro de 15 pontos.Escolhendo uma pessoa ao acaso, determine a probabilidade desta pessoa: a)ter QI maior que 120 pontos. b)ter QI menor que 75 pontos. c)ter QI de 110 a 120 pontos.d)ter QI de 75 a 120 pontos. Soluo ---------------------------------------------------------------------------------------------- Como varivel de interesse vamos definir X = QI de uma pessoa adulta e pelo enunciado do problemasabemosqueXsegueadistribuionormalcommdia=100pontosedesvio-padro = 15 pontos. a)P(um pessoa adulta ter QI maior que 115 pontos) = P(X > 115) = ? Para usar a tabela normal padro devemos inicialmente padronizar o valor 115. 15100 120120= = =xz x= 1,33 b)P(um pessoa adulta ter QI menor que 75 pontos) = P(X < 75) = ? Padronizando o valor 75:15100 7575= = =xz x= -1,67 0 100 120x 0 1,33 z = 0,5 - 0,408241 = 0,091759 Resposta: P(X > 120) = P(Z > 1,33) = 0,091759 Cerca de 9,18% das pessoas adultas tm QI maior que 115 pontos. Resposta: P(X < 75) = P(Z < -1,67) = 0,047460 Cerca de 4,7% das pessoas adultas tm QI menorque 75 pontos. -1,670 z 0 75100 x = 0,5 - 0,452540 = 0,047460 Estatstica Bsica 37 prof. Jos Aguinaldo c)P(um pessoa adulta ter QI de 110 a 120 pontos) = P(110 X 120) = ? Padronizando o valor 110: 15100 110110= = =xz x= 0,67 Padronizando o valor 120: 15100 120120= = =xz x= 1,33 P(0,67 Z 1,33) = rea no intervalo [0; 1,33] rea no intervalo [0; 0,67] = 0,408241 0,248571= 0,15 d)P(um pessoa adulta ter QI de 75 a 120 pontos) = P(75 X 120) = ? Padronizando o valor 75: 15100 7575= = =xz x= -1,67 Padronizando o valor 120: 15100 120120= = =xz x= 1,33 P(0,67 Z 1,33) = rea no intervalo [1,67; 0] + rea no intervalo [0; 1,33] = 0,452540 + 0,408241 = 0,860781 0 00,67 1,33 z 0,159670 100110 120 Resposta: P(110 X 120) = P(0,67 Z 1,33) = 0,159670 Cerca de 15,97% das pessoas adultas tm QI de 110 a 120 pontos. Resposta: P(75 X 120) = P(-1,67 Z 1,33) = 0,860781 Cerca de 86,1% das pessoas adultas tm QI de 75 a 120 pontos. 75100 120 -1,6701,33 Estatstica Bsica 38 prof. Jos Aguinaldo EXEMPLO 19 - Continuando com o EXEMPLO 18. a)Cerca de 95% das pessoas adultas tm QI menor que b pontos. Determine o valor de b? b)A MENSA uma organizao que rene os 2% de maior QI da populao. Qual o menor QI que permite algum ingressar na MENSA? Soluo ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a) Sabendo que 95% das pessoas tm QI menor que b pontos, pela figura abaixo vemos que 45% tm QI de 100 a b pontos, ou seja, P(100 X < b) = 0,45. Aps padronizao temos que P(100 X < b) = P(0 Z zc) = 0,45. Pela tabela normal padro, sabemos que zc = 1,65 (se tiver dvidas ainda, veja o exemplo 11e). Ento,15100 = =b xzc = 1,65 b 100 = 1,65*15 = 24,75 Portanto, b = 124,75 pontos. b) Como queremos encontrar um valor b do QI tal que 2% das pessoas estejam acima e 98% estejamabaixo.Ento,narealidade,estamosnamesmasituaodaletraaacima, bastando trocar 0,95 por 0,98.Usandoomesmoraciocniodaletraa,temosqueb=130,75pontos(usandozc=2,05).Portanto,paraingressarnaMENSA,apessoadeveobternomnimo130,75 pontos no teste de admisso. P(0 Z k) = 0,45 00 zc z 0,500,45 100b x Estatstica Bsica 39 prof. Jos Aguinaldo 4.3Aproximao Normal 4.3.1Aproximao Normal para Binomial Em situaes onde temos que usar a distribuio binomial, um valor muito grande para o n torna o clculo das probabilidades muito cansativo. Uma alternativa para este problema usar a distribuio normal como uma aproximao para a distribuio binomial.As condies para este uso requerem um n muito grande e um p no muito prximo de 0 ou de 1 (veja a regra prtica a seguir). Se a varivel discreta X segue a distribuio binomial com parmetros n e p Regra prtica6 A varivel X ter aproximadamente uma distribuio normal com parmetrosp n = e q p n = Ento, se voc lanar um dado para cima 300 vezes a probabilidade de se obter a face quatro mais de 80 vezes obtida pela distribuio binomial, mas podemos usar a distribuio normal para obter uma aproximao da probabilidade. P(X > 80) P(X > 80) EXEMPLO 20 - Deacordocomoltimocenso,20%dasfamliasdeumaregiovivem abaixo da linha da pobreza. De uma amostra aleatria de 80 famlias e usando a aproximao normal, determine: a)A probabilidade de menos de 10 famlias amostradas viverem abaixo da linha da pobreza;b)A probabilidade de 15 a 25 famlias amostradas viverem abaixo da linha da pobreza c)Aprobabilidadedemenosde25%dasfamliasamostradasviveremabaixodalinhada pobreza; d)A probabilidade de mais de trs quartos das famlias amostradas viverem abaixo da linha da pobreza; e)O nmero esperado das 80 famlias amostradas que vivem abaixo da linha da pobreza? Soluo ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ VejaqueavarivelX=nmerodefamliaqueviveabaixodalinhadapobrezaseguea distribuio binomial com n = 80 famlias e p = 0,20 (probabilidade de uma famlia viver abaixo dalinhadapobreza),pormvamosusaraaproximaonormalparacalcularas probabilidades. Verificando as condies: np = 80 = 800,20 = 16 5 (ok) n(1 - p) = 80(1 - 0,20) = 64 5 (ok) Ento X segue aproximadamente a distribuio normal com mdiap n = = 16 e desvio-padro) 1 ( p p n = =) 20 , 0 1 ( 20 , 0 80 = 3,5777. 6 Esta condio uma regra prtica usada por muitos autores.No exemplo do dado, temos = np = 3001/6 = 50 e 2 = np(1-p) = 3001/6(1-1/6) = 41,667 n p 5 n q 5 Normal com = 50 e = 6,45 Binomial com n = 300 e p = 1/6 Estatstica Bsica 40 prof. Jos Aguinaldo a) P(menos de 10 famlias) = P(X < 10) =Padronizando o valor 10: 5777 , 316 1010= = =xz x= -1,68 Ento: P(X < 10) = P(Z < -1,68) = rea no intervalo (; 0]rea no intervalo [-1,68; 0] = 0,5 0,453521 = 0,046479 (faa o desenho da curva normal) b) P(de 15 a 20 famlias) = P(15 X 20) =Padronizando o valor 15: 5777 , 316 1515= = =xz x= -0,28 Padronizando o valor 20: 5777 , 316 2020= = =xz x= 1,12 Ento: P(15 X 20) = P(-0,28 Z 1,12) = rea no intervalo [0,28; 0] + rea no intervalo [0; 1,12] = 0,110261 + 0,368643 = 0,478904 (faa o desenho da curva normal) c) ... menos de 25% das famlias... equivale a ... menos de 20 famlias ... (25% de 80 igual a 20) P(menos de 20 famlias) = P(X < 20) Padronizando o valor 20: 5777 , 316 2020= = =xz x= 1,12 Ento: P(X < 20) = P(Z < 1,12) = rea no intervalo (; 0] + rea no intervalo [0; 1,12] = 0,5 + 0,368643= 0,868643 (faa o desenho da curva normal) d) ... mais de das famlias... equivale a ... mais de 60 famlias ... (75% de 80 igual a 60) P(mais de 60 famlias) = P(X > 60) Padronizando o valor 60: 5777 , 316 6060= = =xz x= 12,30 Ento: P(X > 60) = P(Z > 12,30) = rea no intervalo [0; +) rea no intervalo [0; 12,30] = 0,5 0,5= 0,0 (faa o desenho da curva normal) e) O nmero mdio (ou valor esperado) de famlias que vivem abaixo da linha da pobreza = 16 famlias. QuandousamosaaproximaoNormalparaaBinomial,estamosaproximandouma variveldiscreta(quesassumemvaloresinteiros)porumavarivelcontnua(que podeassumirquaisquervaloresdentrodeumintervalodenmeroreais).dese esperarquealgumajustedevaserfeito.Esteajustedenominadodecorreode continuidade e esta descrita na seo 4.3.3. Estatstica Bsica 41 prof. Jos Aguinaldo EXEMPLO 21 - Sabe-seque40%dosalunosemumaescolatmcarroprprio.Deuma turma com 15 alunos, determine a probabilidades abaixo usando a distribuio Binomial e a aproximao normal.a)No mximo 3 alunos terem carro prprio.b)Pelo menos 10 alunos terem carro prprio.c)Exatamente 6 alunos terem carro prprio.d)Menos de 2 alunos terem carro prprio. e)Mais 6 alunos terem carro prprio. 4.3.2Aproximao Normal para Poisson Da mesma forma que usamos a distribuio normal como aproximao da distribuio binomial, ns podemos tambm us-la como aproximao da distribuio de Poisson. A condio de que o produto np seja um valor razovel (maior que 5, por exemplo 7). Se a varivel discreta X segue a distribuio de Poisson com parmetro Regra prticaA varivel X ter aproximadamente uma distribuio normal com parmetros = e = EXEMPLO 22 - SeaindstriadetecidoXYZsabequeemsuaproduocostuma apresentardefeitosquesegueadistribuiodePoissoncomumataxa mdiade2defeitosa cada 50 metros de tecido. Determine a)A probabilidade de um rolo com 200 metros de tecido apresentar 12 ou mais defeitos. b)A quantidade esperada de rolos que teriam menos de 5 defeitos em uma amostra de 80 rolos de 200 metros. Soluo ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Veja que a varivel X = nmero de defeitos em um rolo com 200 metros segue a distribuio de Poisson = 8 defeitos (note que dois defeitos a cada 50 metros equivalem a oito defeitos a cada 200 metros), porm vamos usar a aproximao normal com = = 8 e 8284 , 2 8 = = = . a) P(Doze ou mais defeitos) = P(X 12) = P(Z 1,41) = 0,0793 b) P(de menos de 5 defeitos) = P(X < 5) = P(Z < -1,06) = 0,1446 Veja que 14,46% dos rolos de 200 metros apresentam menos de 5 defeitos, ento de uma amostra de 80 rolos espera-se que 12 (14,46% de 80) rolos tenham menos de 5 defeitos. 7 Alguns falam 10 5 Estatstica Bsica 42 prof. Jos Aguinaldo 4.3.3Aproximao Normal com correo de continuidade QuandousamosaaproximaoNormalparaaBinomiale/ouPoisson,estamosaproximando uma varivel discreta (que s assumem valores inteiros) por uma varivel contnua (quepode assumirquaisquervaloresdentrodeumintervalodenmeroreais).deseesperarque algumajustedevaserfeito.Esteajustedenominadodecorreodecontinuidadeeesta descrita em outra seo. A correo de continuidade ajuda a melhorar as probabilidades obtidas por meio da aproximao normal para a Binomial e/ou Poisson. A correo simplesmente somar ou subtrair 0,5 ao valor (antes de obter as probabilidades). P(X a) = P(X a + 0,5)P(X a) = P(X a - 0,5)P(X = a) = P(a - 0,5 X a + 0,5) EXEMPLO 23 - Volteaoexemplo20euseaaproximaonormalcomcorreode continuidade. Soluo --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a) P(menos de 10 famlias) = P(X < 10) = P(X 9) P(X 9,5) 5777 , 316 5 , 9 xz 5 , 9 x= = == -1,82 Ento: P(X < 10) P(X 9,5) = P(Z < -1,82) = 0,5 0,4656 = 0,0344 > EXEMPLO 24 - Volteaoexemplo22euseaaproximaonormalcomcorreode continuidade. Soluo ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a) P(Doze ou mais defeitos) = P(X 12) = P(X 11,5) = .... Resposta: 0,1057 b) P(de menos de 5 defeitos) = P(X < 5) = P(X 4) = P(X 4,5) = ... Resposta: 0,1057 Estatstica Bsica 43 prof. Jos Aguinaldo 5 Exerccios resolvidos EXERCCIO 01 - (CorrareThephilo,2003)AempresaMasters&Doctosuma empresadeprestaodeserviosdeauditoriaindependenteeconsultoriaempresarial.A diretoria da empresa precisa decidir quanto contratao de um novo gerente de projetos.As alternativas propostas foram: Contratar um gerente para projetos de auditoria ouContratar um gerente para projetos de consultoria. Atabelaabaixoresumeosretornosproporcionadospeladecisotomadaemdoispossveis cenrios (mercado em alta ou mercado em baixa). Por exemplo, a contrataode um gerente deconsultoriapoderepresentarumretornode$360.000,casoomercadoestejaemalta8ou um prejuzo de $50.000, caso o mercado esteja em baixa. Contratar Gerente de Consultoria Contratar Gerente de Auditoria CenrioProbabilidade Retorno (em mil) CenrioProbabilidade Retorno (em mil) Mercado em ALTA 0,80360 Mercado em ALTA 0,80240 Mercado em BAIXA 0,20-50 Mercado em BAIXA 0,205 SupondoqueaprobabilidadedomercadoestaremALTAseja0,80edomercadoestarem BAIXA seja 0,20, responda: a)Caso o gerente de consultoria seja contratado, calcule o valor esperado do retorno.b)Caso o gerente de auditoria seja contratado, calcule o valor esperado do retorno.c)Com base nos resultados obtidos em a e b, qualdeveria ser a melhor deciso paraa empresa? d)Calculeocoeficientedevariaodosretornosemcadaproposta.Qualproposta apresentamenorrisconosretornos?Obs:Emanlisefinanceira,investimentocom menor variabilidade tem menor risco. SOLUO ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a)Caso o gerente de Consultoria seja contratado, calcule o valor esperado do retorno. E(RConsultoria) = C = [xi*fi] = [360*0,80] + [(-50)*0,20] = $278 mil b)Caso o gerente de Auditoria seja contratado, calcule o valor esperado do retorno. E(RAuditoria) = A = [xi*fi] = [240*0,80] + [5*0,20] = $193 mil c)Com base nos resultados obtidos em a e b, qual deveria ser a melhor deciso para a empresa? Contratar o gerente de consultoria, pois o retorno esperado (ou seja, retorno mdio) maior. 8 Uma alta demanda por servios de consultoria. Estatstica Bsica 44 prof. Jos Aguinaldo d)Calculeocoeficientedevariaodosretornosemcadaproposta.Qualproposta apresentamenorrisconosretornos?Obs:Emanlisefinanceira,investimentocom menor variabilidade tem menor risco. Contratando gerente de Auditoria A = [xi*fi] = $193 mil Varincia: 2A = (xi A)2*fi = (240 -193)2*0,80+(5 -193)2*0,20 = 8836 Desvio-padro = A = RAIZ(8836) = $94 mil CV = A / A = 94 / 193 = 0,487(ou 48,7%) Contratando gerente de Consultoria C = [xi*fi] = 278 mil $ Varincia: 2A = (xi C)2*fi = (360 278)2*0,80 + (-50 - 278)2*0,20 = 26896 Desvio-padro = A = RAIZ(26896) = $164 mil $ CV = A / A =164/ 278 = 0,59 (ou 59%) Ento, a proposta com menor risco Contratando gerente de Auditoria, pois apresenta menor CV. EXERCCIO 02 - DeacordocompesquisadaFecomrcio-RJ(FederaodoComrcio doRiodeJaneiro),emparceriacomoInstitutoIpsos,42%dosbrasileirosassumiramque compraramprodutospiratasem2007.Considereumaamostrade6brasileirosescolhidosao acaso, determine a probabilidade. a)De todos deles comprarem produtos piratas.b)De menos de dois deles comprar produtos piratas c)De pelo menos um deles comprar produtos piratas.d)De apenas dois deles no comprarem produtos piratas. SOLUO ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- AvarivelX=Nmerodebrasileirosquecompramprodutospiratasem2007seguea distribuio Binomial com n = 6 e p = 0,42. Por que foi escolhida a distribuio Binomial ??? Porque cada um dos 6 brasileiros escolhidos representaum experimento simples deBernoulli com probabilidade de sucesso (que de comprar produtos piratas) igual a 0,42. Um experimento de Bernoulli se caracteriza quando temos um experimento com apenas dois resultados (sucesso e fracasso) sendo a probabilidade de sucesso igual a p a) P(todos comprarem) = P(X = 6) = 0,0055f(6) = 6 6 658 , 0 42 , 0)! 6 6 ( ! 6! 6 = 0,0055 Lembre-se0! = 1 (por definio) e 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720 Estatstica Bsica 45 prof. Jos Aguinaldo b) P(menos de dois ...) = P(X < 2) = f(0) + f(1) = 0,0381 + 0,1654 = 0,2035 f(0) = 0 6 058 , 0 42 , 0)! 0 6 ( ! 0! 6 = 0,0381 f(1) = 1 6 158 , 0 42 , 0)! 1 6 ( ! 1! 6 = 0,1654 c) P(pelo menos um ...) = P(X 1) = 1 P(X < 1)= 1 f(0) = 1 0,0381 = 0,9619 Lembre-se da seguinte dicaP(pelo menos um comprar ...)=1 P(nenhum comprar ...) c) P(apenas dois deles no comprarem) = P(apenas quatro comprarem) = f(4) = 0,1570 = f(4) = 0,1570 f(4) = 4, ,)! ( !! 6 458 0 42 04 6 44 = 0,1570 OBS: Note que se dois no compraram, significa que quatro compraram. Ou,podemostambmtrocaraprobabilidadedesucessop=0,42para0,52(pois52%dos brasileiros no compram produtos piratas em 2007) f(2) = 2 6 242 , 0 58 , 0)! 2 6 ( ! 6! 6 = 0,1570 EXERCCIO 03 - Otemponecessriopararealizarauditoriadebalanoscontbeis segue aproximadamente uma distribuio normal com mdia de 40 minutos e desvio-padro de 12 minutos. a)Supondo que uma empresa de contabilidade pblica ir realizar uma auditoria, determine a probabilidade de a empresa: i)Gastar mais de 75 minutos com a auditoria; ii)Gastar de 55 minutos a 70 minutos; iii)Gastar de meia hora a uma hora;b)Seaempresativer50balanoscontbeisparaserauditadas,quantasdelaslevaro menos de 20 minutos?Obs: Inicialmente, calcule a probabilidade de se gastar menos de 20 minutos. c)Cerca de 20% das auditorias gastam mais de k minutos. Determine o valor de k. Soluo ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ DefinindoavarivelX=tempopararealizarauditoria,temosqueXsegueadistribuio normal com = 40 min e = 12 min OBS:Noclculodeprobabilidadesusandoadistribuionormal,ajudamuitoquando desenhamos a curva normal com as regies de interesse sombreadas. a)i) P(X > 75) = P(Z > 2,92) = 0,5 rea[0; 2,92) = 0,5 0,498250 = 0,00175onde z = (75 - 40)/12 = 2,92

OBS: rea[0; 2,92]na TABELA = 0,498250 040 75 x = 0,5 - 0,498250 = 0,00175 Estatstica Bsica 46 prof. Jos Aguinaldo ii) P(55 X 70) = P(1,25 Z 2,50) = rea[0; 2,5] rea[0; 1,25]= 0,493790 - 0,394350 = 0,099440 onde z = (55-40)/12 = 1,25 rea[0; 1,25]= 0,394350 z = (70-40)/12 = 2,50 rea[0; 2,50]= 0,493790 iii) P(30 X 60) = P(-0,83 Z 1,67)= 0,296731 + 0,452540 = 0,749271 onde z = (30-40)/12 = -0,83rea[0; -0,83]=rea[0; 0,83] = 0,296731z = (60-40)/12 = 1,67 rea[0; 1,67]= 0,452540 b) P(X < 20) = P(Z < -1,67) = 0,5 - 0,452540 = 0,0475 (ou seja, 4,75%) 4,75%de50=2,42balanos.Dototalde50balanos,espera-sequedoisdeleslevem menos de 20 minutos para serem auditadas. *** Ou usar regra de trs 100% ------ 50x = 4,75* 50 / 100= 2,4 4,75% ------x c) P(X > k) = P(Z > zc) = 0,20Fazendoodesenhodacurvanormalesombreandocorretamenteasregies,veremosqueP(Z > zc) = 0,20 implica que P(0 Z zc) = 0,30 e, pela tabela normal padro, temos zc = 0,84.Agora, basta resolver a equaozc = (k - )/ = 0,84 ( k 40) = 0,84*12 = 10,08 k = 50,08 min 0= 0,493790 - 0,394350 = 0,099440 40 5570x 304060x = 0,296731 + 0,452540 = 0,749271 040 k = ? x 0,20 0,30 Estatstica Bsica 47 prof. Jos Aguinaldo EXERCCIO 04 - Sabe-sequepequenosdefeitosemfolhasdecompensadoseguema distribuio de Poisson com uma mdia de dois defeitos por metro quadrado. a)Qualaprobabilidadedeaparecernomnimotrsdefeitosemumafolhacom1metro quadrado? b)Qual aprobabilidade de aparecer mais de um a trs defeitos em uma folha com 1 metro quadrado? c)Qual a probabilidade de aparecer no mximo dois defeitos em uma folha de 1,50 metros x 2,20 metros? Soluo ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- AvarivelX=nmerodedefeitopormetroquadradosegueadistribuiodePoissoncom mdia de = 2 defeitos/m2. A funo probabilidade de X ( )! xex fx =com x = 0, 1, 2, ... e = 2,7183 a)P(aparecer no mnimo trs defeitos em uma folha) = P(X 3) = 0,3233 P(X 3) = 1 P(X < 3) = 1 [f(2) + f(1) + f(0)] OBS: Optamos por usar ocomplemento, pois P(X 3) envolveria calcular a probabilidade de f(3), f(4), f(5) e assim sucessivamente, o que seria nada prtico de se fazer. Vamos primeiro calcular f(2), f(1) e f(0) separadamente. ( )213534 , 0 4! 2e 22 f2 2= == 0,2707( )113534 , 0 2! 1e 21 f2 1= == 0,2707 ( )113534 , 0 1! 0e 20 f2 0= == 0,1353 e2 = (2,7183) -2 = (1/2,7183)2 = (0,36788)2 = 0,1353 (ou use a funo = exp(-2) no Excel) P(X 3) = 1 [ f(3) + f(2) + f(1) ]=1 (0,2707+0,2707+0,1353)= 1 0,6767 = 0,3233( ou32,33%). RESPOSTA: A probabilidade de aparecer no mnimo 3 defeitos em uma folha com um metro quadrado de 0,3233 b)P(aparecer de um a trs defeitos ... ) = P(X [1; 3]) = P(1 X 3)= f(1) + f(2) + f(3) = 0,7218 ( )113534 , 0 2! 1e 21 f2 1= == 0,2707( )213534 , 0 4! 2e 22 f2 2= == 0,2707 ( )613534 , 0 8! 3e 23 f2 3= == 0,1804 P(1 X 3) = 0,2707 + 0,2707 + 0,1804 = 0,7218( ou72,18%). RESPOSTA: A probabilidade de aparecer de um a trs defeitos em uma folha com um metro quadrado de 0,7218 Estatstica Bsica 48 prof. Jos Aguinaldo c)P(aparecer no mximo dois defeitos em uma folha de 1,50 metros x 2,20 metros) = P(X 2) Aquitemosumafolhacomasseguintesdimenses1,50metrosx2,20metrosoquedaria umareade1,5x2,2=3,30metrosquadrados.Nestecasoaindapodemosusara distribuio de Poisson, porm temos que alterar a mdia . Usando a regra de trs simples 2 defeitos -------------- 1 m2 * defeitos ------------- 3,30 m2 * = (2 x 3,30)/1 = 6,6 defeitos em folhas com 3,3 m2 P(X 2) = f(0) + f(1) + f(2) ( )100136 , 0 1! 0e 6 , 60 f6 , 6 0= == 0,00136( )100136 , 0 6 , 6! 1e 6 , 61 f6 , 6 1= == 0,00898 ( )400136 , 0 56 , 43! 2e 6 , 62 f6 , 6 2= == 0, 02963 P(X 2) = f(0) + f(1) + f(2) = 0,001360 + 0,00898 + 0,02963 = 0,03997 ( ou 4%). RESPOSTA: A probabilidade de aparecer no mximo dois defeitos em uma folha com 1,5 x 2,2 metros 0,04.EXERCCIO 05 - VolteaoEXERCCIO2,masagoraconsiderequeaamostraaleatria foi de 60 brasileiros. Responda os itens abaixo usando a aproximao normal. a)Qualovaloresperado()eodesvio-padro()davarivelX=nmerodebrasileiros amostrados que compram produtos piratas. b)Qualaprobabilidadede,nomximo,20dessesbrasileirosteremcompradoprodutos piratas? c)Qualaprobabilidadedemaisdametadedessesbrasileirosteremcompradoprodutos piratas?obs: ... mais da metade ... = ... mais de 30(= metade de 60) ... d)Qualaprobabilidadedeexatamente55%dessesbrasileirosteremcompradoprodutos piratas?obs: ... exatamente 55% ... = ... exatamente 33(= 55% de 60) ... Soluo --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a) AvarivelX=Nmerodebrasileirosquecompraramprodutospiratasem2007seguea distribuio Binomial com n = 60 e p = 0,42. Para usar a aproximao normal as condies np 5 e n(1-p) 5 devem ser satisfeitas np = 60 0,42 = 25,25 ok en(1-p) = 60 0,58 = 34,8 5 ok Estatstica Bsica 49 prof. Jos Aguinaldo Como as duas condiesacima foram satisfeitas, ento podemos usar a aproximao Normal para distribuio Binomial.Sendo assim, a varivel X tem aproximadamente distribuio normal com mdia = np = 25,2 e desvio-padroq p n = = 3,823. RESPOSTAS: Mdia: = np = 60*0,42 = 25,2 brasileirosdesvio-padro:616 , 14 58 , 0 42 , 0 60 q p n = = = = 3,823 brasileiros b) P(no mximo 20 comprarem ...) =P(X 20) = P(Z -1,36) = 0,5 0,413085 = 0,086915 onde z = (20-25,2)/3,823 = -1,36 rea[0; -1,36]na TABELA NORMAL = 0,413085(Faa o desenho da curva normal com a rea sombreada) c) P(mais da metade comprarem ...) = P(X > 30) = P(Z >1,26) = 0,5 - 0,396165 = 0,103835 onde z = (30-25,2)/3,823 = 1,26rea[0; 1,26]na TABELA NORMAL = 0,396165 (Faa o desenho da curva normal com a rea sombreada) d) P(exatamente 55% desses brasileiros comprarem ...) = P(X = 33) = P(Z = 2,04) = 0 onde z = (33 - 25,2)/3,823 = 2,04 Em(d)ovalorobtidonofoiumaboaaproximao,poisseusssemosmodeloBinomial (que seria o mais correto) para calcular P(X = 33) o valor obtido seria diferente de zero. Aaproximaonormalpoderiasermelhoradausandooquechamamosdecorreode continuidade.Estacorreoseriasimplesmentesomaresubtrair0,5dovalor33antesde calcularaprobabilidade.Ento,emvezdecalcularaprobabilidadeP(X=33)deveramos calcular a probabilidade de X estar dentro do intervalo [32,5 ; 33,5]. P(32,5 X 33,5) = P(1,91 Z 2,17) = 0,484997 0,471933 = 0,013063 (valor aproximado) onde z = (32,5-25,2)/3,823 = 1,91 rea[0; 1,91] na TABELA NORMAL = 0,471933 z = (33,5-25,2)/3,823 = 2,17 rea[0; 2,17] na TABELA NORMAL = 0,484997 OBS: Usando o modelo Binomial teramos f(33) = 0,013313 (valor exato) Estatstica Bsica 50 prof. Jos Aguinaldo 6Exerccios propostos EXERCCIO 01 - Umdadohonestolanadoduasvezesparacimadeforma independente.ConstruaadistribuiodeprobabilidadedavarivelaleatriaX=somadas faces voltadas para cima. EXERCCIO 02 - A tabela abaixo mostra distribuio de probabilidade para o lucro obtido nas vendas dirias de uma pea x Lucro em $ -20-54070120150 f(x) Probabilidade 0,050,100,35k0,250,15 a)Determine o valor de k, de forma que a tabela acima seja realmente uma distribuio de probabilidade. b)Qual a probabilidade de o estabelecimento no ter prejuzo. c)Qual seria o lucro dirio esperado nas vendas das peas.d)Calcule o desvio-padro do lucro dirio.e)Qual seria o lucro mensal esperado nas vendas das peas.Obs: 1 ms = 30 dias EXERCCIO 03 - Suponha que os pesos de uma pea apresentam uma mdia de 25 kg e desvio-padro de 3 kg. Essa pea dever ser embalada em uma caixa que pesa em mdia 2 kg com desvio-padro de 1 kg. Qual ser a mdia e o desvio-padro da pea embalada? EXERCCIO 04 - Umaprovatem6questescomquatroalternativascadauma.Um aluno no estudou para a prova e resolveu chutar as questes. Determine a probabilidade de o aluno: a)Acertar no mximo 1 questo b)Acertar todas as questes c)Acertar pelo menos uma questo d)Errar no mximo uma questo. EXERCCIO 05 - OgerentedalojaXYZsabeque80%dosclientesqueentramnaloja fazem algum tipo de compras. Vamos considere os prximos 6 clientes que entraro na loja e que X = nmero de clientes que faro alguma compra. x0123456 f(x)0,00006?0,01536?0,245760,39322? a)Complete a distribuio de probabilidade para a varivel X. b)Qual a probabilidade de menos de 3 clientes realizarem alguma compra? c)Qual a probabilidade de mais de 4 clientes realizarem alguma compra? Estatstica Bsica 51 prof. Jos Aguinaldo EXERCCIO 06 - Sabe-se que 5% das peas so fabricadas com defeito. Um grande lote compeasserrejeitadoseumaamostrade20peasapresentarem3oumaispeas defeituosas, qual a probabilidade de o lote ser rejeitado? Resposta: P(X 3 ) = 0,07548 EXERCCIO 07 - Sabe-seque10%daspessoassocanhotasemcertaempresa.No setor XYZ dessa empresa trabalham 25 funcionrios. a)Qual o nmero esperado de funcionrios canhotos no setor XYZ?b)Determine a probabilidade de: Haver mais de 3 canhotos no setor XYZHaver nenhum canhoto no setor XYZ Resposta: = 2,5 P(X > 3) = 0,23641f(0) = 0,07179 EXERCCIO 08 - Testes indicam que o tempo de durao das geladeiras da marca XYZ tem distribuio normal com mdia de 72 meses e desvio-padro de 18 meses. a)O fabricante estipulou como garantia um prazo mximo de 6 meses, perodo no qual ele ficar obrigado de consertar qualquer defeito que surgir no equipamento. Determine a probabilidade de uma geladeira estragar durante a garantia. b)Se forem vendidas 150 mil geladeiras durante um ano, qual o nmero esperado de geladeiras que o fabricante dever consertar durante o prazo da garantia? c)Sabendo que 98% das geladeiras conseguem durar mais de k meses, determine o valor de k. Respostas: a) 0,000121b) cerca de 18 geladeirasc) k = 108,9 meses EXERCCIO 09 - Sabe-se que 10% das pessoas que esto na fila de um banco desistem de permanecer na fila. Em uma fila com 100 pessoas,a)Calcule,usandoaaproximaonormal,aprobabilidadedemenosdeoitopessoas desistirem de permanecer na fila. b)Calcule,usandoaaproximaonormal,demaisdeumquartodaspessoas desistirem de permanecer na fila. Respostas: = 10 = 3 a) P(X < 8) = P(z < -0,67) = 0,25143 b) mais de equivale dizer mais de 25% de 100 = 25, ento P(X > 25) = P(z > 5) = 0,0EXERCCIO 10 - m exame de mltipla escolha foi elaborado com 10 questes, cada uma com quatro opes. A aprovao no exame exige do aluno que ele acerte pelo menos 60% da prova. Um aluno nada estudou e est pretendendo chutar as questes. a)Qual a probabilidade de ele acertar todas as questes? b)Qual a probabilidade de ele errar oito questes? c)Qual a probabilidade de ele ser aprovado no exame?d)Qual o nmero esperado de questes que este aluno acertaria? Respostas: a.) p(10) = 0,0000009537 b.)errar 8 questes acertar 2 questesEnto, p(2) =0,18771 c.) P(ser aprovado) = P(acertar no mnimo 6 questes) = p(6) + p(7) + p(8) + p(9) + p(10) = 0,01973 d.) nmero mdio de questes corretas = = np = 2,5 questes (de 2 a 3 questes) Estatstica Bsica 52 prof. Jos Aguinaldo EXERCCIO 11 - Uma fabrica de chocolate comercializa barras de chocolate que pesam em mdia 200 gramas. Os pesos so normalmente distribudos com uma desvio-padro de 40 gramas.a)Qual a probabilidade de uma barra de chocolate escolhida ao acaso pesar de 200 a 250 gramas? b)Qual a probabilidade de uma barra de chocolate escolhida ao acaso pesar menos de 90 gramas? c)Qualonmeroesperadodebarrasdechocolatecompesosuperiora230gramas,se voc comprasse 20 barras? Respostas: a.) P(200 X 250) = P(0 Z 1,25) = 0,3944 (ou 39,44%) b.)P(X < 90) = P(Z < -2,75) = 0,003(ou 0,3%) c.) P(X > 230) =P( Z > 0,75) = 0,2266(ou 22,66%) 22,66% de 20 = 4,5 barras(de 4 a 5 barras) EXERCCIO 12 - Umbancorecebeemmdia6chequessemfundopordia.Quala probabilidade de que ele receba:a)nenhum cheque sem fundo um determinado dia? b)4 cheques sem fundo durante um determinado dia?c)pelo menos um cheque sem fundo um determinado dia? d)um cheque sem fundo da Tera-feira? e)dez cheques sem fundo durante um determinado dia? f)dez cheques sem fundo em um intervalo de dois dias seguidos? DICA: Apesar de no estar falando do modelo a ser utilizado, note que o modelo de POISSON o mais adequado, pois temosainformaodeumataxamdiade6chequessemfundosduranteointervalodeumDIA(=6 cheques/dia). O modelo Binomial no aplicado aqui, pois no temos a probabilidade de sucesso (p) e nem o nmero de tentativas (n) independentes. Repostas a) 0,002479b) 0.13385c) 0,997521 d) 0,014873 e) 0.04130 f) 0.10484 EXERCCIO 13 - Seucomputadornaempresaondetrabalharecebee-mailaumataxa mdia de 2 e-mails a cada cinco minutos. Durante uma hora de servio qual a probabilidade de voc ter recebido mais de trinta e-mails (usando a aproximao Normal para Poisson). Resposta: P(X > 30) = P(Z > 1,22) = 0,1112(sem correo de continuidade) P(X > 30) = P(X > 30 +0,5) = P(X > 30,5) = P(Z > 1,33) = 0,0918 (com correo de continuidade) Estatstica Bsica 53 prof. Jos Aguinaldo 7Bibliografia BRUNI, Leal Adriano, Estatstica Aplicada Gesto Empresarial, So Paulo: Editora Atlas. 2 Edio, 2008. LEVINE, David M.; STEPHAN, David; KREHBIEL, Timothy C.; BERENSON, Mark L.. Estatstica: Teoria e Aplicaes usando Microsoft Excel em Portugus. 5 ed.. Rio de Janeiro: LTC - Livros Tcnicos e Cientficos. 2005. TRIOLA, Mario F. Introduo estatstica. Rio de Janeiro: LTC - Livros Tcnicos e Cientficos, c2005. 656p. MARTINS, Gilberto de Andrade, Estatstica Geral e Aplicada. So Paulo, Editora Atlas, 2005.