UNIDADE_III_porcentagem e Juros Simples

7/29/2019 UNIDADE_III_porcentagem e Juros Simples

1/11

CENTRO UNIVERSITRIO DE ENSINO SUPERIOR DOAMAZONAS

COORDENAO DE ADMINISTRAO

MTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS ADMINISTRAO

ASSUNTO DA 2 NPC

APOSTILA 3:NOES DE MATEMTICA FINANCEIRA- JUROS SIMPLES


2/11

Manaus - Am2010

1 PORCENTAGEM

Em nosso dia-a-dia comum observarmos expresses como estas:

Desconto de at 30% na grande liquidao de vero. Os jovens perfazem um total de 50% da populao brasileira. A inflao registrada em dezembro foi de 1,93%. O rendimento da caderneta de poupana foi de 1,99 em dezembro.

Se repararmos em nossa volta, vamos perceber que o smbolo % aparece com muita freqnciaem jornais, revistas, televiso e anncios de liquidao. Esse o smbolo da porcentagem. Mas oque porcentagem?

Porcentagem toda razo na qual o denominador 100.

Note o prprio nome diz: por cem

A porcentagem tambm pode ser representada na forma de nmero decimal. Observe osexemplos:

02,0100

2%2 == 37,0

100

37%37 == 115,0

100

5,11%5,11 ==

Exerccios

1) Represente as porcentagens em nmeros decimais:

a) 12 % = d) 159 % = g) 60 % =

b) 30 % = e) 2,7 % = h) 45,1 % =

c) 7 % = f) 6,34 % = i) 0,3 % =

2) Transforme nmeros decimais em nmeros na forma de porcentagem. Para tanto, bastamultiplicar por cem.

a) 0,25 = d) 0,04 = g) 0,756 =

b) 0,7 = e) 5,29 = h) 0,0258 =

c) 2,3 = f) 0,069 = i) 0,4963 =

2

Para encontrar a representao na forma decimal s fazer a operao de diviso, neste caso 2 100


3/11

A porcentagem a forma usada para expressar a frao de denominador 100 ou representaoequivalente. Exemplo: 50% o mesmo que 50/100 ou ou 0,5 (metade).Exemplo: Qual o valor de 30% de 120?

120100

30 ou 0,3 x 120 = 36

A resposta 36.

Podemos obter a diferena percentual de dois valores apenas dividindo um pelo outro, diminuindoo resultado do nmero 1. Para obter o resultado do quanto, em percentual, um valor equivale aooutro, a mesma conta, exceto que no se subtrai do nmero 1.

Exemplo 1: Um produto sobe de R$ 100 para R$ 120. Qual sua variao percentual?

100

120 1 = 1,20 1 = 0,20 ou 20%

A resposta 20%.

Exemplo 2: H 1.000 carros produzidos por dia. Deste total, 150 so movidos a diesel. Qual aporcentagem de carros a diesel produzidos por dia?

1000

150= 0,15 ou 15%

A resposta 15%.

Exerccios3) Qual o valor de 50% de 175?

a) 87,5b) 85c) 80d) 75e) 72,5

4) Qual o valor de 25% de 225?a) 90

b) 125c) 42,19d) 52,25e) 56,25

5) O preo de um produto duplicou em um ano. O aumento percentual, portanto, foi de:a) 100%

b) 200%c) 300%d) 400%e) 500%

6) O preo de um produto quadruplicou em um ano. O aumento percentual, portanto, foi de:a) 100%

b) 200%c) 300%

3


4/11

d) 400%e) 500%

Exerccios

7) Calcule:a) 9,4% de 15000

b) 75,8% de 30000

8) Monte uma regra de trs para resolver cada um dos problemas abaixo. Ateno: leia e entendabem o que est sendo pedido.

a) 31% de certo nmero 2015. Qual o nmero?

b) Calculei 1% de um nmero e obtive 99. Qual o nmero?

c) 18% de que nmero vai resultar em 270?

9) Um aluno acertou, em um exame, 12 das 15 questes apresentadas. Qual foi a sua porcentagemde acerto?

10) Um vendedor tem 3% de comisso nos negcios que realiza. Qual foi a sua comisso em umavenda de R$ 36.000,00?

11) Um funcionrio recebeu um reajuste salarial de 15%. Quanto passar a receber, se seu salrioatual de R$ 750,00?

12) Meu salrio era R$ 800,00. Recebi um aumento de 2%. Quantos reais a mais vou receber?

13) No ms passado recebi R$ 1200,00. Quanto devo receber neste ms se tive um aumento de1,2% no meu salrio?

14) Uma loja est oferecendo 8% de desconto, para pagamento vista, na compra de umautomvel que custa R$ 24 700,00. Quanto uma pessoa pagar por esse carro vista?

15) Aps um aumento de 20% o salrio de Jos Carlos passou a ser R$ 1.800,00. De quanto era o

seu salrio?16)Um salrio de R$ 750,00 teve um aumento e passou a R$ 890,00. Qual o percentual de

aumento incidente sobre antigo salrio?

4


5/11

2 NOES BSICAS DE MATEMTICA FINANCEIRA

A MATEMTICA FINANCEIRA tem por objetivo estudar as diversas formas de evoluo dovalor do dinheiro no tempo, bem como as formas de anlise e comparao de alternativas para

aplicao / obteno de recursos financeiros.

A Matemtica Financeira teve seu incio exatamente quando o homem criou os conceitos deCapital, Juros, Taxa e Montante. Da para frente, os clculos financeiros tornaram-se mais justos eexatos.

A fim de facilitar a aprendizagem, optamos por agrupar algumas definies dos termos usadosna disciplina Matemtica Financeira.

2.1. O CAPITAL

C ou PV = Capital o valor normalmente dinheiro que voc quer aplicar ou emprestar.Tambm chamado Capital Inicial ou Principal, representado pela letra C ou PV. (Valor

presente abreviaes das palavras em ingls a Present Value. No curso adotaremos aterminologiaPV).

2.2. O MONTANTE

M = do ingls aMount, Montante (M) ou valor Futuro (FV abreviao das palavrascorrespondentes em ingls a Future Value) o capital inicial acrescido do rendimento obtidodurante o perodo de aplicao e representado pela letra M ou FV, ou seja:

M = C + Jou ainda,

FV = PV + J,

Esta ltima nomenclatura ser adotada neste curso.

2.3. O JURO

J= Juro a remunerao do capital empregado.

- PARA O INVESTIDOR : a remunerao do investimento.- PARA O TOMADOR : o custo do capital obtido por emprstimo.

Existem dois regimes de juros:(a) Simples;(b) Compostos.

5


6/11

2.4. O TEMPO

n = nesse caso uma incgnita (quem aprendeu equaes do segundo grau usou muitas incgnitas.

Todos aqueles x, y, z so incgnitas.) referente ao perodo de tempo (dias, semanas, meses, anos...)de uma aplicao financeira. Lembre-se da expresso: Levou n dias para devolver o dinheiro...

2.5. A TAXA DE JUROS

i= do ingls Interest, taxa de juros o ndice que determina a remunerao de um capital numdeterminado perodo de tempo (dias, meses, anos etc.).

A taxa de juros pode ser apresentada de duas formas no formato percentual ou no unitrio, porexemplo:

- Taxa percentual: 34% ao ms, 10% ao semestre, 12% ao ano etc.- Taxa unitrio: 0,34 ao ms, 0,10 ao semestre, 0,12 ao ano etc.

No exemplo acima observamos que 34% ao ms nada mais que100

34= 0,34

a.d. = abreviao usada para designar ao dia

a.m. = abreviao usada para designar ao ms

a.b. = abreviao usada para designar ao bimestre

a.t. = abreviao usada para designar ao trimestrea.q. = abreviao usada para designar ao quadrimestre

a.s. = abreviao usada para designar ao semestre

a.a. = abreviao usada para designar ao ano

Exerccios1. Represente a taxa de juros na forma unitria:

a. 2% a.d.

b. 25% a.m.

c. 32% a.d.

d. 0,5% a.s.

2. Represente a taxa de juros na forma percentual:a. 0,008 a.t.

b. 0,15 a.a.

c. 1,25 a.q.

d. 0,07 a.b.

3. Faa as transformaes no tempo do ano:a. 1 ano = .... dias

b. 1 ano = .... meses

c. 1 ano = .... bimestres

d. 1 ano = .... trimestres

e. 1 ano = .... quadrimestres

f. 1 ano = .... semestres

4. Faa as transformaes no tempo:

6


7/11

a. 1 bimestre = .... meses

b. 1 trimestre = .... meses

c. 1 quadrimestre = ... meses

d. 1 semestre = .... meses

3 JUROS SIMPLES

aquelepago unicamente sobre o capital inicial.

Nesta forma de clculo, somente o principal (capital inicial), ao longo do tempo, rendejuros. Os ganhos de um perodo no so incorporados para fins de clculo dos juros, nos perodosseguintes. Portanto, o saldo cresce em progresso aritmtica.

composto da seguinte frmula:

J = PV . i . nOnde:

J = jurosPV = capital iniciali = taxa unitria de jurosn = nmero de perodos que o capital ficou aplicado

Observaes:

A taxa ie o nmero de perodos n devem referir-se mesma unidade de tempo, isto , se a taxa for anual, otempo dever ser expresso em anos; se for mensal, o tempo dever ser expresso em meses, e assimsucessivamente;

Em todas as frmulas matemticas utiliza-se a taxa de juros na forma unitria (taxa percentual ou centesimal,

dividida por 100).

3.1. Juro Comercial e Juro Exato

conveniente observar que os juros simples podem ser:

Juro Comercial: para operaes envolvendo valores elevados e perodos pequenos (1 dia oualguns dias) pode haver diferena na escolha do tipo de juros a ser utilizado. O juro Comercialconsidera o ano comercial com 360 dias e o ms comercial com 30 dias.

Juro Exato: no clculo do juro exato, utiliza-se o ano civil, com 365 dias (ou 366 dias se o ano

for bissexto) e os meses com o nmero real de dias(28, 29, 30 ou 31 dias, conforme o caso).

Obs.: sempre que nada for especificado, considera-se a taxa de juros sob o conceito comercial.

Exemplo: Voc pediu a seu chefe um emprstimo de R$ 10.000,00 e ele, vai lhe cobrar uma taxade juros de 5% ao ms, sobre o capital inicial, 6 meses depois voc quita sua dvida. Quanto a maisvoc ter de pagar, a ttulo de juros?Soluo:Aplicando a frmula:

J= o que voc quer descobrir (incgnita)PV= 10000i = 5% a.m. = 0,05 a.m.n = 6 meses

7


8/11

Logo: J= 10000 0,05 6J= R$ 3.000,00

Cuidado com as taxas mensais supostamente baixas. Pelo exemplo acima, fica evidenciado quemesmo taxas pequenas se forem aplicadas por um perodo mais ou menos longo, pode causar umverdadeiro prejuzo ao bolso. Um grande exemplo do dia-a-dia? Cre-di--rio !

3.2. Taxas equivalentes

Em muitos casos temos que transformar a taxa de juros ao ms, por exemplo, para a taxa de jurosdiria. Esse clculo muito usado em transaes financeiras em geral e as taxas que procuramosso denominadas equivalentes.

Duas taxas so equivalentes se fizerem com que um mesmo capital produza o mesmo montanteno fim do mesmo prazo de aplicao.

No caso de juros simples, o clculo simplificado pelo carter linear desse tipo de capitalizao.Pode ser feito por meio de proporcionalidade (usando regra de trs simples, por exemplo).

Para efeito demonstrativo, vamos colocar a frmula que pode ser usada para o clculo dessas taxas.

2211 niPVPVniPVPV +=+

2211 niPVniPV =

2211 nini =

Exemplo: Calcular a taxa anual em juros simples, equivalente taxa de 2,5% a.m.Soluo:i1 = taxa procuradai2 = 2,5% a.m.n1 = 1 anon2 = 12 ms

2211 nini =

i1 . 1 = 2,5 . 12

i1 = 30% a.a.

ExercciosCalcular a taxa anual proporcional a:

a) 1,5% a.m. Resposta: 18% a.a.b) 8% a.t. Resposta: 32% a.a.c) 21% a.s. Resposta: 42% a.a.d) 0,05% a.d. Resposta: 18% a.a.

5. Calcular a taxa mensal proporcional a:a) 9% ao trimestre; Resposta: 3% a.m.

b) 24% ao semestre; Resposta: 4% a.m.

c) 0,04% ao dia. Resposta: 1,2% a.m.

8


9/11

6. Calcular os juros anuais de R$ 1.250,00 a 5% ao ano.

7. Calcular os juros mensais de R$ 1.680,45 taxa de 9% ao ano.

8. Calcular o juro produzido por R$ 500,00 taxa de 80% ao ano durante 45 dias.

9. Um capital de R$ 28.000,00, aplicado durante oito meses, rendeu juros de R$ 11.200,00.Determinar a taxa anual? Resposta: 60% ao ano.

10. Determinar em quantos meses um capital de R$ 32.000,00 aplicado taxa de 12% ao ano,rendeu R$ 4.800,00 de juros simples. Resposta: 15 meses.

11. Determinar a que taxa mensal esteve aplicado um capital de R$ 48.000,00 que, em 3 meses e20 dias, rendeu R$ 440,00 de juros. Resposta: 0,25% ao ms.

3.3. Montante

o capital acrescido de seus juros

FV = PV + J

Substituindo o juro na equao acima, temos

FV = PV + PV. i. nOu

FV = PV(1 + i . n)

Exemplo: Seu chefe, num ato de generosidade desmedida e pressionado pelo Sindicato, informouque, no ms que vem, dar um aumento de 3% no salrio de todos os funcionrios. Supondo-seque voc ganhe R$ 1.100,00, para quanto vai o seu salrio?Soluo:

FV= o que voc quer descobrirPV= 1.100i = 3% a.m. = 0,03 a.m.n = 1 ms

Logo:FV= 1100

(1+ 0,03

1)FV= R$ 1.133,00

Exerccios

12. Qual o capital que, taxa de 10% ao ano, em 25 dias, produz o montante de R$ 7.280,45?

13. Determinar quanto render um capital de R$ 60.000,00 aplicado a taxa de 24% ao ano, durantesete meses?

14. Certo capital, acrescido de juros de 6,5% ao ano em 1 ano e 4 meses, importa em R$ 7.824,00.Determinar o capital.

9


10/11

15. Determinar o montante correspondente a uma aplicao de R$ 450,00, por 225 dias, uma taxade 5,6% ao ms?

16. Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00. Resultante da aplicao decerto capital taxa de 42% ao ano, durante 13 meses?

Questes Objetivas

17. (Cespe-UNB, CEF Gerente Junior-2000) Um certo capital, aplicado a juros simples durante 15meses, rendeu um determinado juro. Se aplicarmos o triplo desse capital mesma taxa, em que

prazo o juro obtido ser igual ao dobro do obtido na primeira aplicao?a) 5 meses.

b) 7 meses e meio.c) 10 meses.d) 12 meses.e) 18 meses.

18. A que taxa de juros simples, em porcento ao ano, deve-se emprestar R$ 2 mil, para que no fimde cinco anos este duplique de valor?

a) 20%b) 30%c) 40%d) 50%e) 100%

19. Considere o emprstimo de R$ 5 mil, no regime de juros simples, taxa de 2% ao ms e prazode 1 ano e meio. Qual o total de juros pagos nesta operao?

a) R$ 5 mil.b) R$ 2 mil.c) R$ 10 mil.d) R$ 2,5 mil.e) R$ 1,8 mil.

Exerccios complementares

20. Determinar o capital e os juros cuja soma, no fim de 5 meses, taxa de 5,5% ao ano, atingiu

R$ 17.676,00.Resposta: C: R$ 17.280,00 e J: R$ 396,00.

21. Durante 155 dias certo capital gerou um montante de R$ 64.200,00. Sabendo-se que a taxa dejuros de 4% ao ms, determinar o valor do capital aplicado?Resposta: R$ 53.204,42.

22. Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um emprstimo deR$ 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros de 25,2% ao semestre?Resposta: 156.500,00.

23. Em quanto tempo um capital de R$ 800,00, aplicado taxa de 0,1% ao dia, gera um montantede R$ 1.000,00?Resposta: 250 dias ou 8,33 meses.

10


11/11

24. Uma empresa aplicou R$ 2.000,00 no dia 15.07.2001 e resgatou essa aplicao no dia21.07.2001 por R$ 2.018,00. Qual foi a taxa mensal de rendimento proporcionada por essaoperao?Resposta: 4,5% ao ms.

25. Calcular o valor do capital que, aplicado taxa de 50,4% ao ano, durante dois anos e trs

meses, produz um montante de R$ 600.000,00?Resposta: R$ 281.162,14.

26. Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 40.000,00, aplicado taxa de 5% ao ms, produz R$18.600,00 de juros?Resposta: 9,3 meses ou 279 dias.

27. Obteve-se um emprstimo de R$ 10.000,00, para ser liquidado por R$ 14.675,00 no final deoito meses e meio. Qual a taxa de juros cobrada nessa operao? Resposta: 66% ao ano.

28. Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor? Resposta: 2,083 anosou 25 meses.

29. A que taxa de juros um capital aplicado 10 meses rende juros igual a 1/4 do seu valor?Resposta: 2,5% ao ms.

30. Um capital emprestado gerou R$ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo da aplicao foide 13 meses e a taxa de juros de 6% ao ms, calcular o valor do montante? Resposta: R$220.720,00.

31. Em quantos dias um capital de R$ 270.420,00 produzir juros de R$ 62.304,77 a uma taxa de5,4% ao ms?Resposta: 128 dias.

32. Determinar o capital necessrio para produzir um montante de R$ 798,00 no final de um ano emeio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre?Resposta: R$ 420,00.

33. A aplicao de R$ 35,60 gerou um montante de R$ 58,03 no final de nove meses. Calcular ataxa anual? Resposta: 84% ao ano.

34. Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1,00. Sabendo-se que a taxa de juros de 5%ao ms e o prazo de 8 meses, calcular o valor dos juros?Resposta: R$ 0,29.

11

UNIDADE_III_porcentagem e Juros Simples

Documents

Transcript of UNIDADE_III_porcentagem e Juros Simples