UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ

GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA

APOSTILA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS I

Professor Eduardo Rezende de Araújo

Rio de Janeiro

Dezembro/2015

“O primeiro procedimento que devemos

tomar para atingirmos a realização de qualquer

projeto pessoal, profissional ou acadêmico é

começá-lo.”

SUMÁRIO

1. CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS.............................................................06

1.1 DEFINIÇÕES DAS GRANDEZAS......................................................................06

1.2 FONTES DE TENSÃO E FONTES DE CORRENTE.........................................07

1.3 AS LEIS DE KIRCHHOFF...................................................................................07

1.3.1 Definições..........................................................................................................07

1.3.2 1ª Lei de Kirchhoff............................................................................................08

1.3.3 2ª Lei de Kirchhoff............................................................................................09

2. CIRCUITOS PURAMENTE RESISTIVOS.................................................................12

2.1 RESISTÊNCIA ELÉTRICA (LEI DE OHM)......................................................12

2.1.1 Resistência Elétrica...........................................................................................12

2.1.2 Lei de Ohm........................................................................................................12

2.2 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES.......................................................................13

2.2.1 Associação em série..........................................................................................13

2.2.2 Associação em paralelo.....................................................................................13

2.3 CIRCUITO DIVISOR DE TENSÃO E CIRCUITO DIVISOR DE CORRENTE...

................................................................................................................................14

2.3.1 Circuito Divisor de Tensão................................................................................14

2.3.2 Circuito Divisor de Corrente.............................................................................14

2.4 TEOREMAS DE RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS..............................................15

2.4.1 Teorema da Superposição..................................................................................15

2.4.2 Teorema de Thevenin........................................................................................17

2.4.3 Teorema de Norton............................................................................................18

2.4.4 Teorema dos Nós e Teorema das Malhas..........................................................21

2.4.4.1 Definições na Topologia dos Circuitos..................................................21

2.4.4.2 Teorema dos Nós...................................................................................22

2.4.4.3 Teorema das Malhas..............................................................................27

2.4.4.4 Transformações de fontes de corrente e de tensão................................32

3. COMPORTAMENTO PERMANENTE E TRANSITÓRIO DE CIRCUITOS

RESISTIVOS, CAPACITIVOS E INDUTIVOS..........................................................35

3.1 CAPACITORES....................................................................................................35

3.1.1 Associação de Capacitores................................................................................36

3.2 INDUTORES.........................................................................................................37

3.2.1 Associação de Indutores....................................................................................37

3.3 FUNÇÕES SINGULARES...................................................................................38

3.4 REVISÃO DE SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM

PELO MÉTODO DA DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA.......................................40

3.5 CIRCUITOS DE 1ª ORDEM (RESPOSTA AO DEGRAU)................................41

3.5.1 Circuitos Básicos de 1ª Ordem..........................................................................41

3.6 CIRCUITOS DE 1ª ORDEM (RESPOSTA AO IMPULSO)................................45

3.7 RESPOSTA NATURAL OU RESPOSTA LIVRE...............................................50

3.7.1 Resposta Natural de um Circuito RL.................................................................50

3.7.2 Resposta Natural de um Circuito RC................................................................53

3.8 CIRCUITOS DE 2ª ORDEM.................................................................................55

3.8.1 Solução de Equações Diferenciais de 2ª Ordem................................................55

3.8.2 Determinação das condições iniciais em circuitos de 2ª ordem........................59

3.8.3 Solução completa de circuitos de 2ª ordem.......................................................63

REFERÊNCIAS....................................................................................................................73

ANEXO A - EXPERIÊNCIA 01..........................................................................................74

ANEXO B - EXPERIÊNCIA 02..........................................................................................75

ANEXO C - EXPERIÊNCIA 03..........................................................................................76

ANEXO D - EXPERIÊNCIA 04..........................................................................................77

6

1. CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS

1.1 DEFINIÇÕES DAS GRANDEZAS

Carga Elétrica (q) – “C” – É uma partícula que contem características próprias e

efeitos próprios;

Corrente Elétrica (i) – “A” – É a quantidade de carga elétrica que atravessa a

seção reta de um condutor na unidade do tempo;

i(t) = dq/dt

Tensão Elétrica (e) – “V” – É a diferença de potencial elétrico que possibilita a

circulação de carga pelo condutor;

Energia Elétrica (w) – “J” – É o produto da carga transportada pela tensão;

dw = e(t) dq ∫ dw = ∫e(t) dq w = ∫e(t) i(t) dt

w = e(t) i(t) t

Potência Elétrica (P) – “W” – É uma grandeza instantânea. É a variação da

energia no tempo. É o produto da tensão pela corrente.

P(t) = dw/dt = e(t) i(t) dt/dt P(t) = e(t) i(t)

Analogia entre os sistemas elétrico e hidráulico:

Sistema hidráulico Sistema elétrico

H E R

7

1.2 FONTES DE TENSÃO E FONTES DE CORRENTE

Todos os elementos dos circuitos elétricos foram divididos em dois grupos:

a) Ativos (Fontes de tensão e Fontes de corrente);

b) Passivos (Resistores, Capacitores e Indutores).

As fontes podem ser:

1) Independentes: são as fontes de tensão ou de corrente que fornecem energia fixa

ao resto do circuito. Ex:

30 V 10 V 8 A

2) Dependentes ou Controladas: São as fontes de tensão ou de corrente que

dependem de valores característicos dentro do circuito, isto é, são funções de

grandezas do sistema. Ex:

2ec V 10ib A

1.3 AS LEIS DE KIRCHHOFF

1.3.1 Definições:

Nó – É a junção de dois ou mais elementos em um ponto elétrico;

Malha – É um caminho fechado de circulação de grandeza.

nós, malhas

nós, malhas

8

nós, malhas nós, malhas

1.3.2 1ª Lei de Kirchhoff

“A soma algébrica das correntes em um nó qualquer é igual à zero.”

Por convenção, faremos:

(corrente negativa)

(corrente positiva)

Exemplo: i1

i2 i3

A B C 4 nós, 7 malhas

i4 i5 i6

D

Nó A: -i4 - i2 + i1 = 0

Nó B: + i2 + i3 + i5 = 0

9

1.3.3 2ª Lei de Kirchhoff

“A soma algébrica das tensões em uma malha qualquer é igual à zero.”

Por convenção, faremos:

+ -

Sentido Horário Sentido Anti-horário

Exemplo: e1

e2 e3

A B C

e4 e5 e6

D

Malha ABDA: + e4 + e3 + e5 = 0

Malha ABCDA: + e2 + e3 - e6 + e4 = 0

Obs:

1. Dois ou mais elementos estão em série quando são atravessados pela mesma

corrente;

2. Dois ou mais elementos estão em paralelo quando estão submetidos a mesma

tensão;

3. Sempre que uma corrente atravessa um elemento passivo (R, L ou C) num

sentido determinado, ocorre uma queda de tensão em sentido oposto.

10

Exemplo 1: Encontre o valor das tensões desconhecidas no circuito abaixo. Encontre

primeiro V1.

10V V2

8V

V1

V3 9V

Resposta: V1 = 11 V; V2 = 2 V; V3 = -1 V

Exemplo: 2: Encontre o valor das correntes desconhecidas.

I2 5A

I1

7A 1 2

3A 4A 3A

Resposta: I1 = 2 A; I2 = -6 A

11

Exemplo 3: Encontre o valor da tensão e1 no circuito abaixo:

4Ω 1Ω

12V e1 1Ω 2Ω 1Ω

Resposta: e1 = 10,8 V

Exemplo 4: Encontre o valor da corrente I1 no circuito abaixo:

3Ω

10A I1 1Ω 4Ω 1Ω

Resposta: I1 = 20/3 A

12

2. CIRCUITOS PURAMENTE RESISTIVOS

São circuitos que contem, além das fontes, apenas os elementos passivos resistores.

2.1 RESISTÊNCIA ELÉTRICA (LEI DE OHM)

2.1.1 Resistência elétrica

É a capacidade de um material de se opor à passagem do fluxo de corrente

elétrica.

Elemento usado: Resistor R

Transforma energia elétrica em calor. É um dissipador de energia.

Metais (cobre e alumínio, por exemplo) possuem resistência elétrica desprezível.

São os condutores.

Borracha, água, ar etc. – Possuem alta resistência elétrica. São os isolantes.

Madeira, álcool etc. – Não são considerados isolantes nem condutores. São

chamados de maus condutores ou maus isolantes.

2.1.2 Lei de ohm

V = R . I onde: V = tensão em Volts

R = resistência em Ohms ( Ω )

I = corrente em Ampères

P(t) = V.I = RI2 = V

2/R (Watts)

W(t) = ∫P(t) dt = ∫ V.I dt = R∫I2 dt = 1/R ∫V

2 dt (Joules)

Para tensões e correntes constantes:

W = V.I.t = R.I2.t = V

2.t/R

13

A condutância é o inverso da resistência:

G = 1/R = I/V (Siemens ou Mho) (Ʊ)

2.2 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES

2.2.1 Associação em Série

e1(t) e2(t) e3(t)

R1 R2 R3

e(t) ≡ e(t) i(t) Req

i(t)

Req = e(t)/i(t)

e(t) = e1(t) + e2(t) + e3(t)

e(t) = R1 i(t) + R2 i(t) + R3 i(t) = i(t) R1 + R2 + R3

e(t)/i(t) = R1 + R2 + R3

Req = R1 + R2 + R3

2.2.2 Associação em Paralelo

i(t) i1(t) i2(t) i3(t)

e(t) R1 R2 R3 ≡ e(t) i(t) Req

Req = e(t)/i(t)

i(t) = i1(t) + i2(t) + i3(t)

14

i(t) = e(t)/R1 + e(t)/R2 + e(t)/R3 = e(t) 1/R1 + 1/R2 + 1/R3

i(t)/e(t) = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3

1/Req = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3

Obs: Para dois únicos elementos Req = (R1.R2)/(R1+R2)

2.3 CIRCUITO DIVISOR DE TENSÃO E CIRCUITO DIVISOR DE

CORRENTE

2.3.1 Circuito Divisor de Tensão

R1 Req = R1 + R2

i(t) = V/R1 + R2

V e1(t) R2 e2(t) e2(t) = R2 . i(t) = R2 . V/R1 + R2

i(t) e2(t) = V . R2/R1 + R2

Consequentemente:

e1(t) = V . R1/R1 + R2

2.3.2 Circuito Divisor de Corrente

i1(t) = V/R1

i1(t) i2(t) V = I . Req

R1 R2 i1(t) = I . Req/R1 = I . (R1.R2/R1+R2)/R1

I i1(t) = I . R2/R1 + R2

15

Consequentemente:

i2(t) = I . R1/R1 + R2

2.4 TEOREMAS DE RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS

2.4.1 Teorema da Superposição

Se o circuito é composto por mais de uma fonte, podemos calcular as grandezas

deste circuito considerando cada uma das fontes separadamente e somando

algebricamente os resultados parciais. Procedimento:

1. Calcular o valor desejado para cada uma única fonte, colocando as demais em

repouso (mortas).

Fonte de corrente em repouso: circuito aberto;

Fonte de tensão em repouso: curto-circuito;

2. Somar algebricamente os resultados parciais.

Exemplo 5: Calcule a tensão e0(t) no circuito abaixo:

4Ω

5V e0(t) 6Ω 2A

16

Resposta: e0 = 1,8 V

Exemplo 6: Calcule a tensão e0(t) no circuito abaixo:

3Ω 4Ω

60V e0(t) 6Ω 24V

2Ω

Resposta: e0(t) = 36 V

17

2.4.2 Teorema de Thevenin

Consiste em transformar um circuito qualquer em um circuito divisor de tensão

(Circuito Equivalente de Thevenin), onde a fonte possuirá o valor de eoc, o primeiro

elemento valerá Req e o segundo elemento corresponderá ao retirado do circuito

original. O valor das grandezas (tensão, corrente, potência e energia) no segundo

resistor do circuito equivalente será o mesmo do circuito original.

Circuito Equivalente de Thevenin

Req

Circuito Elemento Elemento

Ativo eoc ≡ eoc

onde:

eoc = tensão com o circuito aberto (ou tensão de Thevenin eTH);

Req = resistência equivalente com o circuito em repouso, vista através dos terminais do

elemento (ou Resistencia de Thevenin RTH).

Exemplo 7: Calcule a tensão e0(t) pelo Teorema de Thevenin

1Ω

12V 4Ω

1Ω 3Ω e0(t)

18

Resposta: e0(t) = 7,8 V

2.4.3 Teorema de Norton

Consiste em transformar um circuito qualquer em um circuito divisor de

corrente (Circuito Equivalente de Norton), onde a fonte possuirá o valor de isc, o

primeiro elemento valerá Req e o segundo elemento corresponderá ao retirado do

circuito original. O valor das grandezas (tensão, corrente, potência e energia) no

segundo resistor do circuito equivalente será o mesmo do circuito original.

Circuito Equivalente de Norton

Circuito Elemento Elemento

Ativo isc ≡ isc Req

Onde:

isc = corrente de curto-circuito

Req = resistência equivalente com o circuito em repouso, vista através dos terminais do

elemento.

19

Exemplo 8: Calcule a tensão e0(t) pelo Teorema de Norton

1Ω

12V 4Ω

1Ω 3Ω e0(t)

Resposta: e0(t) = 7,8 V

Exemplo 9: Calcule a tensão e0(t) pelo Teorema de Thevenin

2Ω e0(t) 4Ω

6V

4Ω 5Ω 2Ω

20

Resposta: e0(t) = 30/23 V = 1,30 V

Exemplo 10: Calcule a corrente i2(t) por Norton

4Ω

3V i2(t) 6Ω 2A

Resposta: i2(t) = - 0,5 A

21

Exemplo 11: Calcule a corrente i2(t) por Thevenin

4Ω

3V i2(t) 6Ω 2A

Resposta: i2(t) = - 0,5 A

2.4.4 Teorema dos Nós e Teorema das Malhas

2.4.4.1 Definições na Topologia dos Circuitos

Ramo (b) – É qualquer segmento que contenha um único elemento elétrico.

Logo, o número de ramos de um circuito é igual ao número de elementos deste

circuito;

Nó (n) – É a união de dois ou mais ramos de um circuito;

Malha ou Laço (l) – É um caminho fechado de circulação de grandeza;

Grafo ou Árvore (G) – É a representação dos ramos de um circuito.

22

A B C A B C

D

D

2.4.4.2 Teorema dos Nós

“Há exatamente (n-1) equações nodais independentes definidas pela Lei de

Kirchhoff para correntes (1ª Lei de Kirchhoff)”.

Exemplo 12: Determine todas as correntes e tensões do circuito abaixo:

A 2Ω B

5A 4Ω 3Ω 2A 6Ω

C

23

Resposta: e (4Ω) = 8 V; e (3Ω) = 2 V; e (5A) = 8 V; e (2A) = 2 V; e (6Ω) = 2 V; e (2Ω) = 6 V

I (4Ω) = 2 A; I (3Ω) = 2/3 A; I (6Ω) = 1/3 A; I (2Ω) = 3 A;

24

Exemplo 13: Calcule a tensão e0(t) pelo Teorema dos Nós

A

2Ω e0(t) 4Ω

6V B C

4Ω 5Ω 2Ω

D

Resposta: e0(t) = 1,30 V

Obs: Sempre que no circuito houver fonte de tensão, a tensão no nó “imediatamente

após” a esta fonte deverá ser acrescida do seu próprio valor. Ex:

A

2 V eA = eB + 2

B

25

Exemplo 14: Calcule o valor da corrente i0(t) no circuito abaixo pelo Teorema dos Nós

A 4Ω B 2Ω C

i0(t)

58V 3Ω 10V

D

Resposta: i0(t) = 10 A

26

Exemplo 15: Calcule a tensão no resistor de 6 Ω por Nós.

A 2Ω B 5Ω C

i0(t)

40V 6Ω 32A

E 3Ω D

Resposta: e (6Ω) = 78 V

27

Exemplo 16: Calcule a tensão no resistor de 5 Ohm por Nós.

Resposta: e (5Ω) = 0,28 V

2.4.4.3 Teorema das Malhas

“Há exatamente (b - n) +1 equações de malhas independentes definidas pela Lei

de Kirchhoff para tensões (2ª Lei de Kirchhoff)”.

D

C B A

28

Exemplo 17: Calcule todas as tensões e correntes do circuito abaixo:

A 3Ω B 4Ω C

60V 6Ω 24V

E 2Ω D

Resposta: i (3Ω) = 8A; i (60V) = 8A; i (4Ω) = - 2A; i (2Ω) = - 2A; i (24V) = - 2A; i (6Ω) = 6A;

e (3Ω) = 24V; e (4Ω) = - 8V; e (2Ω) = 24V; e (6Ω) = 36V;

29

Obs: Sempre que no circuito houver fonte de corrente, a corrente de malha que passa

por esta fonte terá o seu próprio valor. Ex:

Exemplo 18: Calcule a tensão no resistor de 6 Ω por Malhas

A 2Ω B 5Ω C

40V 6Ω 32A

E 3Ω D

Resposta: e (6Ω) = 78 Volts

30

Exemplo 19: Calcule a tensão no resistor de 5Ω por Malhas

A 5Ω B 3Ω C

2A 1Ω 2Ω 4V

D

Resposta: e (5Ω) = 0,28 Volts

31

Exemplo 20: Determine todas as correntes e tensões do circuito abaixo pelo Teorema

das Malhas:

A 2Ω B

5A 4Ω 3Ω 2A 6Ω

C

32

Resposta: e (4Ω) = 8 V; e (3Ω) = 2 V; e (5A) = 8 V; e (2A) = 2 V; e (6Ω) = 2 V; e (2Ω) = 6 V

I (4Ω) = 2 A; I (3Ω) = 2/3 A; I (6Ω) = 1/3 A; I (2Ω) = 3 A;

2.4.4.4 Transformações de fontes de corrente e de tensão

É uma ferramenta que pode ajudar na simplificação de circuitos. Nesta

transformação, as características V-I são idênticas ao circuito original.

33

O processo consiste em substituir uma fonte de tensão com uma resistência em

série por uma fonte de corrente com uma resistência em paralelo ou vice-versa:

Analisando os circuitos, podemos concluir que:

Os dois circuitos são equivalentes, pois ambos tem a mesma relação V-I nos

terminais “a” e “b”;

Se as fontes forem desligadas, a resistência equivalente entre “a” e “b” é a

mesma: Is = Vs/R ou Vs = Is R;

As polaridades da fonte de tensão e da fonte de corrente são as mesmas;

A transformação de fontes não é possível quando o resistor em paralelo da fonte

de corrente ou o resistor em série da fonte de tensão for nulo (Zero Ω).

Exemplo 21: Determine o valor de Vo no circuito abaixo:

a

b b

a

34

Resposta: e (8Ω) = 3,2 Volts

35

3. COMPORTAMENTO PERMANENTE E TRANSITÓRIO DE CIRCUITOS

RESISTIVOS, CAPACITIVOS E INDUTIVOS

3.1 CAPACITORES

É um armazenador de energia em forma de campo elétrico. Armazena tensão. São

medidos em Farad (F).

i(t) C = q/e(t) q = C . e(t)

dq/dt = C de(t)/dt

e(t) C i(t) = C de(t)/dt

t t

∫to de(t)/dt = 1/C ∫to i(t) dt

t

e(t) – e(to) = 1/C ∫to i(t) dt e(t) = e(to) + 1/C ∫ i(t) dt

P(t) = e(t) . i(t) P(t) = e(t) . C de(t)/dt P(t) = C . e(t) . de(t)/dt

dw(t)/dt = e(t) . dq

t t

∫to dw(t) = ∫to e(t) . i(t) dt w(t) = w(to) + ∫ e(t) . i(t) dt

36

3.1.1 Associação de Capacitores:

Série: C1 C2

e1(t) e2(t)

e(t) i(t) ≡ e(t) i(t) Ceq

e(t) = 1/Ceq ∫ i(t) dt equação (1);

e(t) = e1(t) + e2(t) e(t) = 1/C1 ∫ i(t) dt + 1/C2 ∫ i(t) dt;

e(t) = ∫ i(t) dt [ 1/C1 + 1/C2 ] equação (2);

Substituindo (1) em (2), temos:

1/Ceq ∫ i(t) dt = ∫ i(t) dt [ 1/C1 + 1/C2 ] 1/Ceq = 1/C1 + 1/C2 + …

Paralelo:

i(t)

i1(t) i2(t)

e(t) C1 C2 ≡ e(t) i(t) Ceq

i(t) = Ceq . de(t)/dt equação (1);

i(t) = i1(t) + i2(t)

i(t) = C1 . de(t)/dt + C2 . de(t)/dt i(t) = de(t)/dt [ C1 + C2 ] equação (2);

Substituindo (1) em (2), temos:

37

Ceq . de(t)/dt = de(t)/dt [ C1 + C2 ] Ceq = C1 + C2 + ...

3.2 INDUTORES

É um armazenador de energia em forma de campo magnético. Armazena corrente.

São medidos em Henry (H).

i(t)

e(t) L

e(t) = L . di(t)/dt i(t) = i(t0) + 1/L ∫e(t) dt

P(t) = L . i(t) . di(t)/dt w(t) = w(to) + ∫ e(t) . i(t) dt

3.2.1 Associação de Indutores:

Série: Leq = L1 + L2 + ...

Paralelo: 1/Leq = 1/L1 + 1/L2 + …

38

3.3 FUNÇÕES SINGULARES

São, genericamente, funções matemáticas que representam sinais de entrada de

algum uso para a física.

0 t < 0

a) Função Degrau Unitário μ-1(t)

1 t > 0

μ-1(t)

1

t

0 t < 0

b) Função Rampa Unitária μ-2(t)

t t > 0

μ-2(t) = ∫ μ-1(t) dt

μ-2(t)

t

39

0 t < 0

c) Função Impulso Unitário μ0(t) ∞ t = 0

0 t > 0

μ0(t) = d μ-1(t)/dt

μ0(t)

t

Teorema 1

Se todas as tensões e correntes permanecem finitas, a tensão nos terminais de

uma capacitância, assim como a corrente através de uma indutância, não poderão se

alterar instantaneamente;

Teorema 2

Um impulso unitário de corrente passando através de uma capacitância altera sua

tensão de 1/C Volts, enquanto que um impulso unitário de tensão aplicado nos terminais

de uma indutância altera a corrente que passa por ela de 1/L Àmperes.

Observação 1

A resposta que o sistema fornece a uma função degrau unitário é chamada de

“resposta ao degrau” e simbolizada por r(t);

Observação 2

A resposta que o sistema fornece a uma função impulso unitário é chamada de

“resposta ao impulso” e simbolizada por h(t);

40

Observação 3

h(t) = d r(t)/dt

3.4 REVISÃO DE SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM

PELO MÉTODO DA DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA

d v(t)/dt

= d ln v(t)

v(t) dt

Exemplo 22: Resolva a equação diferencial: 2dy/dt + 6 = 4y

Explicitando a derivada temos:

dy/dt = 2y - 3

Tornando a variável „y‟ única e positiva:

(1/2) dy/dt = 2y - 3 (1/2)

(1/2) dy/dt = y - 3/2

dy/dt = (y - 3/2) . 2

dy/dt = 2

(y - 3/2)

∫ d ln y - 3/2 = ∫2 dt

dt

ln y - 3/2 = 2 t + ¢

e 2t + ¢

= y - 3/2

y - 3/2 = e ¢ . e

2t

41

y - 3/2 = ± e ¢ . e

2t

y - 3/2 = K e 2t

y = K e 2t

+ 3/2

3.5 CIRCUITOS DE 1ª ORDEM (RESPOSTA AO DEGRAU)

São circuitos regidos por equações diferenciais de 1ª Ordem. São compostos por

R e C ou R e L.

3.5.1 Circuitos Básicos de 1ª Ordem

São circuitos de 1ª Ordem que podem ser reduzidos, por simples associações dos

elementos, a dois únicos elementos passivos (R e C ou R e L). São os circuitos RC

série, RC paralelo, RL série e RL paralelo.

a) Circuito RC paralelo

i(t) R C e(t)=?

i(t) = iR(t) + iC(t) i(t) = e(t)/R + C de(t)/dt

i(t) = μ-1(t) p/ t>0 , i(t) = 1A

e(t)/R + C de(t)/dt = 1 , que é uma equação diferencial de 1ª Ordem

Solução:

42

b) Circuito RL série

R

e(t) i(t)=? L

e(t) = eR(t) + eL(t) e(t) = R i(t) + L di(t)/dt

e(t) = μ-1(t) p/ t>0 , e(t) = 1V

R i(t) + L di(t)/dt = 1 , que é uma equação diferencial de 1ª Ordem

Solução:

43

c) Circuito RC série

R

e(t) i(t)=? C

e(t) = eR(t) + eC(t) e(t) = R i(t) + 1/C ∫ i(t) dt

e(t) = μ-1(t) p/ t>0 , e(t) = 1V

R i(t) + 1/C ∫ i(t) dt = 1 , que é uma equação diferencial de 1ª Ordem

Solução:

44

d) Circuito RL paralelo

i(t) R L e(t)=?

i(t) = iR(t) + iL(t) i(t) = e(t)/R + 1/L ∫ e(t)/dt

i(t) = μ-1(t) p/ t>0 , i(t) = 1A

e(t)/R + 1/L ∫ e(t)/dt = 1 , que é uma equação diferencial de 1ª Ordem

Solução:

45

3.6 CIRCUITOS DE 1ª ORDEM (RESPOSTA AO IMPULSO)

a) Circuito RC paralelo

i(t) R C e(t)=?

e(t) = 1 e-t/RC

μ-1(t)

C

46

b) Circuito RL série

R

e(t) i(t)=? L

i(t) = 1 e-Rt/L

μ-1(t)

L

c) Circuito RC série

R

e(t) i(t)=? C

i(t) = μ0(t) - 1 e-t/RC

μ-1(t)

R CR2

47

d) Circuito RL paralelo

i(t) R L e(t)=?

i(t) = μ0(t) R - R2 e

-Rt/L μ-1(t)

L

Exemplo 23: Calcule r(t) no circuito abaixo

R1

e(t) R2 C e(t)=?

48

Resposta: e (t) = Req ( 1 – e –t/Req.C

) . µ -1 (t)

R1

Exemplo 24: Calcule a corrente no capacitor do exemplo anterior, através da tensão

encontrada.

Resposta: ic (t) = e –t/RC

. µ -1 (t)

R1

Exemplo 25: Calcule a corrente no capacitor do exemplo anterior utilizando o Teorema

de Thevenin e compare com a resposta anterior.

49

Resposta: ic (t) = e –t/RC

. µ -1 (t)

R1

Exemplo 26: Calcule r(t) no circuito abaixo

1Ω

2F

e(t) 4F 3Ω e(t)=?

50

Resposta: e (t) = ( 3/4 - 5/12 e -2t/9

) µ -1 (t)

3.7 RESPOSTA NATURAL OU RESPOSTA LIVRE

3.7.1 Resposta Natural de um Circuito RL

Dado o circuito abaixo:

A chave encontra-se fechada por um longo período de tempo e será aberta em t = 0.

Assim, todas as tensões e correntes do circuito serão constantes e, quando a chave

for aberta, o circuito se reduzirá à:

De acordo com a 2ª Lei de Kirchhoff,

L di/dt + R i = 0

Resolvendo a equação diferencial, temos:

i

V

i

V I(0) = Is

51

i(t) = i(0) e-(R/L) t

A, p/ t ≥ 0

Assim, como V = R i V = R i(0) e-(R/L) t

Volts

A Constante de Tempo T

É o inverso positivo do coeficiente de t.

i(t) = i(0) e-(R/L) t

T = L/R = constante de tempo

Quanto maior for o T, mais rapidamente a corrente ou a tensão se aproxima de

zero. Ex:

i(t) i(t)

T baixo T alto

t t

52

Por questões práticas, afirmamos que as variáveis do circuito atingem seus

valores finais quando o tempo for igual a 5T, ou seja, 5L/R. Neste momento, os valores

da corrente e da tensão serão menores que 1% do seu valor inicial:

i(t) = i(0) e-(R/L) t

= i(0) e-(R/L) (5L/R)

= i(0) e-5

= 0,00674 i(0)

i(t) = 0,674% i(0)

Exemplo 27: A chave no circuito abaixo esteve fechada por um longo período de tempo

antes de ser aberta em t = 0. Determine:

a) iL(t), p/ t ≥ 0; Resposta: 20 e-5t

A

b) i0(t), p/ t ≥ 0; Resposta: 4 e-5t

A

c) V0(t), p/ t ≥ 0; Resposta: 160 e-5t

Volts

d) P(10Ω), p/ t ≥ 0 . Resposta: 2560 e-10t

W

53

3.7.2 Resposta Natural de um Circuito RC

Analogamente:

Dado o circuito abaixo:

A chave encontra-se na posição “a” por um longo período de tempo e passará para

a posição “b” em t = 0.

Assim, todas as tensões e correntes do circuito serão constantes e, quando a chave

passar para a posição “b”, o circuito se reduzirá à:

De acordo com a 1ª Lei de Kirchhoff,

Cdv/dt + V/R = 0

a b

Vg

i

V

54

V = Vg e-t/RC

Volts

Assim, como i = V/R i = Vg/R x e-t/RC

A

Os conceitos da Constante de Tempo T neste circuito RC são os mesmos

aplicados ao circuito RL. Desta forma:

T = RC = constante de tempo

Exemplo 28: A chave no circuito abaixo esteve na posição “a” por um longo período de

tempo antes de passar para a posição “b” em t = 0. Determine:

a) VC(t), p/ t ≥ 0; Resposta: 100 e-25t

Volts

b) V0(t), p/ t ≥ 0; Resposta: 60 e-25t

Volts

c) i0(t), p/ t ≥ 0; Resposta: e-25t

mA

d) P(60kΩ), p/ t ≥ 0 . Resposta: 60 e-50t

mW

a b

Vc Vo

io

55

3.8 CIRCUITOS DE 2ª ORDEM

São os circuitos regidos por equações diferenciais de 2ª Ordem. São compostos

pelos elementos R, L e C.

Dado um circuito alimentado por uma entrada x(t), podemos calcular as saídas

y(t) deste circuito (tensões e correntes, por exemplo) através dos seguintes

procedimentos:

1. Relacionar entrada e saída (encontrar a equações diferenciais que representam o

modelo matemático do circuito);

2. Resolver as equações diferenciais;

3. Determinais as constantes da solução das equações, através da análise das

condições iniciais.

3.8.1 Solução de Equações Diferenciais de 2ª Ordem

Seja a seguinte equação diferencial:

A d2y(t) + B dy(t) + C y(t) = F(t)

dt2 dt

56

A solução total da equação diferencial será dada por:

Solução Total y(t) = Solução homogênea yh(t) + Solução particular yp(t)

Solução homogênea:

Equação Característica: A s2 + B s + C = 0

Hipóteses:

S1

1ª) Raízes Reais e Diferentes

S2

yh(t) = K1 . e S1 . t

+ K2 . e S2 . t

S1

2ª) Raízes Reais e Iguais S

S2

yh(t) = K1 . e S . t

+ K2 . t . e S . t

S1 = α + jβ

3ª) Raízes Imaginárias

S2 = α - jβ

57

yh(t) = e α . t

K1 cos βt + jK2 sen βt

Solução particular:

F(t) yp(t)

K A

k tn A0 + A1 t + A2 t

2 +…+ An t

n

k cos ωt A1 cos ωt + A2 sen ωt

k sem ωt A1 sen ωt + A2 cos ωt

k eαt

A eαt

Exemplo 29: d2y(t) - 3 dy(t) + 2 y(t) = t

2

dt2 dt

58

Resposta: y (t) = K1 e 2t

+ K2 e t + 7/4 + (3/2) t + (1/2) t

2

Exemplo 30: Supondo que as condições iniciais do exemplo anterior sejam as

seguintes, encontre a solução completa da equação diferencial.

y(0+) = 7/4 e dy(t) = 4

dt 0+

59

Resposta: y (t) = 5/2 e 2t

- 5/2 e t + 7/4 + (3/2) t + (1/2) t

2

Exemplo 31: d2y(t) - 4 dy(t) + 4 y(t) = t

2 + 3t + 2

dt2 dt

Resposta: y (t) = K1 e 2t

+ K2 t e 2t

+ 13/8 + (5/4) t + (1/4) t2

3.8.2 Determinação das condições iniciais em circuitos de 2ª ordem

A ordem da equação diferencial é igual ao número de constantes na solução e

igual ao número de condições iniciais necessárias para a determinação da(s)

constante(s) da solução. No nosso caso, 2ª ordem, teremos que encontrar:

y(0+) e dy

dt 0+

Obs: Se a resposta desejada for a tensão num capacitor ou a corrente num

indutor, o valor inicial da derivada dy poderá ser obtido da própria lei do

elemento. dt 0+

60

Tensão no Capacitor:

iC = C dec/dt dec = iC / C

dt

dec = iC(0+) / C

dt 0+

Corrente no Indutor:

eL = L diL/dt diL = eL / L

dt

diL = eL(0+) / L

dt 0+

Exemplo 32: Não há energia armazenada para t < 0. Determine e(t) e de(t)/dt em t=0+.

i(t) = µ-1 (t)

e(t)

61

Resposta: e (0+) = 0 e de(t) = 1/C

dt 0+

Exemplo 33: Idem ao anterior

e1(t) = 6 cos 2t

e(t)

62

Resposta: e (0+) = 6 e de(t) = - 9/4

dt 0+

Exemplo 34: Idem ao anterior

Resposta: e (0+) = 0 e de(t) = 1/6

dt 0+

e(t)

63

3.8.3 Solução completa de circuitos de 2ª ordem

A solução completa de um circuito de 2ª Ordem consiste em:

Aplicar o Teorema das Malhas ou o Teorema dos Nós de forma a

encontrar a(s) equação(ões) diferencial(is) das variáveis envolvidas no

circuito;

Resolver o sistema de equações diferenciais quando for o caso;

Resolver a equação diferencial;

Determinar as constantes.

Exemplo 35: Calcule i0(t), e1(t) e iC(t) no circuito abaixo, sabendo-se que a entrada é

uma função degrau unitário, que não há energia armazenada para t < 0 e que R2 = L/C.

e1(t)

iC(t)

i0(t)

64

65

Resposta: i0 (t) = ( 1 – e –Rt/L

) µ-1 (t); e1 (t) = R µ-1 (t); ic (t) = e –Rt/L

µ-1 (t)

Exemplo 36: Calcule e0(t) no circuito abaixo:

A B

66

67

e0 (t) = - 0,73 e -0,4t

- 0,27 e -2,6t

+ 1

Exemplo 37: Calcule e0(t) no circuito abaixo:

A C B

e0(t)

D

68

69

70

e0 (t) = 1,43 e -0,7t

- 1,43 e -2,8t

Exemplo 38: Idem, pelo Teorema das Malhas.

A C B

e0(t)

D

71

72

e0 (t) = 1,43 e -0,7t

- 1,43 e -2,8t

73

REFERÊNCIAS

BOYLESTAD, Robert L. Introdução à Análise de Circuitos. Rio de Janeiro: Livros

Técnicos e Científicos, 2013.

CLOSE, Charles M. Circuitos lineares. Rio de Janeiro: LTC, 1999.

DORF, Richard C.; SVOBODA, James A. Circuitos Elétricos, Rio de Janeiro: LTC,

2006.

EDMNISTER, Joseph A.. Circuitos Elétricos. São Paulo: Pearson Education do Brasil,

2011 (Coleção Schaum).

IRWIN, J. David. Introdução à Análise de Circuitos Elétricos. Rio de Janeiro: Livros

Técnicos e Científicos, 2011.

MARIOTTO, Paulo Antônio. Análise de Circuitos Elétricos. São Paulo: Prentice Hall,

2013.

NILSSON, James W.; RIEDEL, Susan A. Circuitos Elétricos. São Paulo: Pearson

Prentice Hall, 2009.

ROBBINS, Allan H. e MILLER, Wilhelm C. Análise de Circuitos Teoria e Prática.

São Paulo: Cengage Learning Editora, 2010.

00

74

ANEXO A

Experiência 01

2ª Lei de Kirchoff

1. Monte o circuito abaixo utilizando os resistores existentes na bancada. A

disposição dos resistores bem como o valor da fonte de tensão fica a

critério do aluno.

R1 R3

V R2 R4

2. Com o auxílio do multímetro, meça a tensão nos elementos das três

malhas do circuito e observe a validade da 2ª Lei de Kirchoff em cada

uma das malhas, isto é, “a soma algébrica das tensões em uma malha é

igual a zero”.

3. Retire o resistor R3 do circuito e mantenha o circuito aberto em seu

lugar. Verifique se esta Lei se permanece verdadeira para a malha

externa.

75

ANEXO B

Experiência 02

Teorema de Thevenin

1. Calcule o valor da tensão no resistor de 330Ω do circuito abaixo pelo

Teorema de Thevenin.

270Ω

10 V 820Ω 330Ω

2. Monte o circuito acima;

3. Meça a tensão no resistor de 330 Ω e compare o valor encontrado com o

valor calculado no item 1;

4. Retire o resistor de 330 Ω do circuito e meça eoc;

5. Desconecte a fonte, coloque um curto-circuito em seu lugar e meça a

Req;

6. Monte na bancada o Circuito Equivalente de Thevenin conforme abaixo:

Utilize o potenciômetro como Req;

Req

eoc 330Ω

7. Com o auxílio de um multímetro, meça a tensão no resistor de 330Ω;

8. Encontre o erro percentual entre o valor calculado (item 1) e o valor

medido no Circuito Equivalente de Thevenin (item 7):

E% = (Item 1 - Item 7) x 100 / Item 1

76

ANEXO C

Experiência 03

Teorema da Superposição

1. Calcule o valor da tensão no resistor de 4,7 kΩ do circuito abaixo pelo

Teorema da Superposição.

4,7kΩ 15kΩ

5,17 V 8,2kΩ 10kΩ 3 V (Icel)

Minipa

(fonte fixa)

2. Monte o circuito acima na bancada;

3. Com o auxílio de um multímetro, meça a tensão no resistor de 4,7kΩ e

compare o valor encontrado com o valor calculado no item 1;

4. Desconecte a fonte de 3 V, coloque um curto-circuito em seu lugar e

meça a tensão no R=4,7kΩ (considerando somente a FT = 5,17 V);

5. Reconecte a fonte de 3 V;

6. Desconecte a fonte de 5,17 V, coloque um curto-circuito em seu lugar e

meça a tensão no R=4,7kΩ (considerando somente a FT = 3 V);

7. Efetue a soma algébrica dos resultados parciais encontrados nos itens 4

e 6 para obter a resposta final.

8. Encontre o erro percentual entre o valor calculado no item 1 e o valor

encontrado no item 7:

E% = (Item 1 - Item 7) x 100 / Item 1

77

ANEXO D

Experiência 04

Teorema dos Nós

1. Calcule o valor da tensão no resistor de 4,7 kΩ do circuito abaixo pelo

Teorema dos Nós.

4,7kΩ 15kΩ

5,17 V 8,2kΩ 10kΩ 3 V (Icel)

Minipa

(fonte fixa)

2. Monte o circuito acima na bancada;

3. Com o auxílio de um multímetro, meça a tensão no resistor de 4,7 kΩ e

compare o valor encontrado com o valor calculado no item 1;

4. Encontre o erro percentual entre o valor calculado no item 1 e o valor

encontrado no item 3.

E% = (Item 1 - Item 3) x 100 / Item 1