UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE … · que são contra a segurança estrutural. Marcotti...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL

ESTUDO COMPARATIVO ENTRE OS MÉTODOS DE CÁLCULO DOS EFEITOS LOCAIS DE SEGUNDA ORDEM NO DIMENSIONAMENTO DE PILAR ES DE

EDIFÍCIOS

DANILO OLIVEIRA E SILVA

Fortaleza - Ceará 2010

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ESTUDO COMPARATIVO ENTRE OS MÉTODOS DE CÁLCULO DOS EFEITOS LOCAIS DE SEGUNDA ORDEM NO DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE

EDIFÍCIOS

Monografia submetida à Coordenação do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Civil. Orientador: Profa. Magnólia Maria C. Mota

FORTALEZA 2010

S579e Silva, Danilo Oliveira. Estudo comparativo entre os métodos de cálculo dos efeitos locais de segunda ordem no dimensionamento de pilares de edifícios / Danilo Oliveira Silva – Fortaleza, 2010.

63 f. il.; color. enc.

Orientador: Profa. Magnólia Maria Campelo Mota Monografia (graduação) - Universidade Federal do Ceará, Centro de Tecnologia, Depto. de Engenharia Civil, Fortaleza, 2010.

1. Armaduras de concreto I. Mota, Magnólia Maria Campelo (orient.) II. Universidade Federal do Ceará – Graduação em Engenharia Civil. III. Título

CDD 620

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ESTUDO COMPARATIVO ENTRE OS MÉTODOS DE CÁLCULO DOS EFEITOS LOCAIS DE SEGUNDA ORDEM NO DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE

EDIFÍCIOS

Monografia submetida à Coordenação do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Civil.

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Dedico este trabalho a meus pais, Carlos e Nádia, meus irmãos, Carlos,

Daniel e Naira, e minha namorada Maíra.

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RESUMO

O estudo de pilares de edifícios é o objetivo do presente trabalho. Por meio de uma pesquisa bibliográfica, para melhor compreensão das linhas de pesquisas que vêm sendo desenvolvidas nesta área, busca-se entender melhor a evolução dos processos de cálculo de pilares. Trata-se de um estudo de natureza descritiva, que envolve a leitura de trabalhos já existentes neste campo de pesquisa, iniciando-se com uma fundamentação teórica a fim de introduzir conceitos fundamentais para a compreensão do processo de dimensionamento de pilares. Desenvolve-se uma programação em planilhas excel para auxiliar no processo de cálculo das excentricidades nos pilares devido aos efeitos locais de segunda ordem, sendo abordados apenas dois métodos de cálculo aproximados, curvatura aproximada e rigidez κ aproximada. Através de exemplos, comparam-se os resultados obtidos. Palavras-chaves: Concreto Armado, pilar, efeitos de segunda ordem.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Diagrama tensão deformação de um material não-linear (SCADELAI, 2004) .....7 Figura 2.2 – Barra comprimida (BORGES, 1999 apud MARTINS, 2009) ...............................9 Figura 2.3 – Diagramas tensão-deformação (SCADELAI, 2004)..............................................9 Figura 2.4 – Diagrama tensão x deformação: compressão axial (SCADELAI, 2004 apud COLLINS, 1993)......................................................................................................................10 Figura 2.5 – Diagrama tensão deformação do concreto (NBR 6118:2003) .............................11 Figura 3.1 – Determinação do comprimento de flambagem do pilar.......................................14 Figura 3.2 – Comprimentos de flambagem para outros situações de vinculação (SCADELAI, 2004).........................................................................................................................................14 Figura 3.3 – Classificação quanto à posição em planta............................................................17 Figura 4.1 – Excentricidade inicial no topo e na base (Scadelai, 2004)...................................21 Figura 4.2 – Aproximação em apoios extremos (NBR 6118:2003) .........................................22

Figura 4.3 – Excentricidade de Forma......................................................................................23 Figura 4.4 – Imperfeições geométricas globais (NBR 6118:2003) ..........................................24 Figura 4.5 – Imperfeições geométricas locais (NBR 6118:2003) ............................................25 Figura 5.1 – Diagrama µ, η, 102d/r (Scadelai, 2004 apud Fusco, 1981) ..................................31 Figura 5.2 – Diagrama força x deslocamento com carregamento incremental (SCADELAI, 2004).........................................................................................................................................32 Figura 5.3 – Diagrama excentricidade x deslocamento com excentricidade incremental (SCADELAI, 2004)..................................................................................................................33 Figura 5.4 – Configurações fletidas (Scadelai, 2004) ..............................................................34 Figura 6.1 – Detalhe em Planta ................................................................................................35

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Valores do coeficiente adicional γn (tabela 13.1, NBR 6118:2003)........................12 Tabela 2 – Valores para momentos obtidos no Exemplo 1 ......................................................38 Tabela 3 – Valores para momentos obtidos no Exemplo 2 ......................................................41 Tabela 4 – Valores para momentos obtidos no Exemplo 3 ......................................................42 Tabela 5 – Valores para momentos obtidos no Exemplo 4 ......................................................45 Tabela 6 – Valores para momentos obtidos no Exemplo 5 ......................................................47 Tabela 7 – Valores para momentos de cálculo obtidos na primeira etapa ...............................48

Tabela 8 – Valores para momentos de cálculo obtidos na segunda etapa................................49

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO..............................................................................................................................1 1.1 OBJETIVOS ..................................................................................................................................1 1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO ......................................................................................................2 1.3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ..........................................................................................................2

2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS...............................................................................................5 2.1 INSTABILIDADE E EFEITOS DE 2A ORDEM .................................................................................5 2.2 NÃO-LINEARIDADES.................................................................................................................7

2.2.1 Não-linearidade geométrica.................................................................................................8

2.2.2 Não-linearidade física..........................................................................................................9

2.3 COMPORTAMENTO DO CONCRETO ........................................................................................10

3 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DO PROJETO DE PILARES ...........................................12 3.1 DIMENSÕES MÍNIMAS .............................................................................................................12 3.2 ARMADURA MÍNIMA E MÁXIMA EM PILARES.......................................................................12

3.3.1 Armadura mínima.............................................................................................................13

3.3.2 Armadura máxima ............................................................................................................13

3.3 COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM............................................................................................13 3.4 DETERMINAÇÃO DO ÍNDICE DE ESBELTEZ.............................................................................15 3.5 CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES ................................................................................................16 3.6 DISPENSA DA ANÁLISE DOS EFEITOS LOCAIS DE SEGUNDA ORDEM ...................................18

4 CÁLCULO DOS ESFORÇOS NOS PILARES........................................................................20 4.1 EXCENTRICIDADE INICIAL ......................................................................................................20 4.2 EXCENTRICIDADE DE FORMA .................................................................................................22 4.3 EXCENTRICIDADE ACIDENTAL ...............................................................................................23

4.4.1 Imperfeições globais...........................................................................................................23

4.4.2 Imperfeições locais .............................................................................................................24

4.4.3 Momento mínimo de primeira ordem................................................................................25

4.4 EXCENTRICIDADE DEVIDO À FLUÊNCIA ................................................................................26 4.5 EXCENTRICIDADE DE SEGUNDA ORDEM ...............................................................................27

5 DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2A ORDEM CONFORME A NBR-6118:2003...............................................................................................................................................28

5.1 MÉTODO DO PILAR-PADRÃO COM CURVATURA APROXIMADA..........................................28 5.2 MÉTODO DO PILAR-PADRÃO COM RIGIDEZ κ APROXIMADA ..............................................29 5.3 MÉTODO DO PILAR-PADRÃO ACOPLADO A DIAGRAMAS M,N,1/R ....................................30 5.4 MÉTODO GERAL......................................................................................................................31

6 EXEMPLOS...................................................................................................................................35 6.1 EXEMPLO 1...............................................................................................................................35 6.2 EXEMPLO 2...............................................................................................................................38 6.3 EXEMPLO 3...............................................................................................................................41 6.4 EXEMPLO 4...............................................................................................................................43 6.5 EXEMPLO 5...............................................................................................................................45

ix

6.6 EXEMPLO 6...............................................................................................................................48

7 CONCLUSÃO ..............................................................................................................................50

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...............................................................................................52

ANEXO.................................................................................................................................................53

1

1 INTRODUÇÃO

Nos últimos anos, áreas como a de tecnologia dos materiais, vêm sofrendo um

constante avanço, resultando na viabilização de concretos com maior capacidade de

resistência. Esses avanços possibilitaram a utilização de elementos estruturais mais esbeltos,

seja com a redução da seção transversal dos elementos estruturais, ou pelo aumento da altura

das construções. Com o aumento da esbeltez dos elementos estruturais e dos carregamentos, o

deslocamento do eixo do pilar gera esforços adicionais (efeito de 2a ordem), aumentando o

perigo de instabilidade da estrutura ou mesmo do seu colapso.

Segundo Scadelai (2004), no dimensionamento de pilares é indispensável a

análise de sua instabilidade e a consideração, além das solicitações iniciais e das solicitações

devidas às excentricidades acidentais, também dos momentos decorrentes dos deslocamentos

sofridos pela estrutura por ação de carregamento, que caracterizam os efeitos de 2a ordem.

Os efeitos de segunda ordem podem ser calculados através dos métodos

aproximados ou através do método geral. A utilização dos métodos aproximados, é

condicionada através do índice de esbeltez, que para o intervalo de λ1 ≤ λ ≤ 90 a norma

permite a consideração de dois métodos de cálculos diferentes, o método do pilar-padrão com

curvatura aproximada e o método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada.

Portanto, tem-se como motivação para este trabalho apresentar os conceitos

presentes na NBR 6118:2003 – Projeto de Estruturas de Concreto, a respeito do

dimensionamento de pilares de concreto armado, orientando estudantes e profissionais da área

sobre os possíveis questionamentos. Constitui-se numa bibliografia básica de consulta

relacionada a este tema.

1.1 Objetivos

De acordo com Scadelai (2004), os pilares apresentam certa suscetibilidade ao

fenômeno da instabilidade, existindo a tendência dos engenheiros evitarem, sempre que

possível, pilares muito esbeltos. A intenção dos pesquisadores desta área é tornar conhecido e

acessível aos projetistas o comportamento desses elementos, para que deles possa ser

aproveitado ao máximo a sua capacidade resistente.

Com esse intuito, este trabalho tem por objetivo fazer um estudo dos esforços

máximos em pilares de concreto armado em edifícios, submetidos à flexão composta de

2

acordo com as prescrições da NBR 6118:2003, comparando-se os métodos aproximados de

cálculo dos efeitos locais de segunda ordem. Essa comparação é importante na orientação de

estudantes e profissionais da área quanto à utilização de cada método. Exemplos são

apresentados de forma a verificar os esforços nos pilares para variações de carregamento

inicial.

1.2 Estrutura do Trabalho

Este trabalho está dividido em sete capítulos, onde o primeiro consiste nesta

introdução que trata da contextualização do problema, objetivos e trazendo a estrutura do

trabalho e uma revisão bibliográfica sobre o assunto abordado.

O segundo capítulo é reservado para trazer conceito sobre instabilidade e efeitos

de 2a ordem, não-linearidades e comportamento do concreto, conceitos estes, que são

fundamentais para o entendimento do problema.

O capítulo seguinte trata da definição das características geométricas dos pilares

necessária para o dimensionamento dos mesmos. O quarto capítulo mostra todos os tipos de

esforços que deverão ser calculados para o dimensionamento de pilares. O quinto capítulo

explica todos os métodos utilizados no cálculo dos efeitos de segunda ordem proposto pela

NBR 6118:2003.

No sexto capítulo, serão apresentados exemplos numéricos de cálculo dos

esforços máximos em pilares, ordenados de acordo com as solicitações. Por fim, no último

capítulo, são apresentadas as discussões dos resultados e as principais conclusões e sugestões

para trabalhos futuros.

1.3 Revisão Bibliográfica

Por volta dos anos 60, os pilares eram dimensionados à flambagem,

multiplicando-se a carga atuante no pilar, suposta centrada, por um coeficiente de segurança γ

e um coeficiente de majoração ω, que dependia do índice de esbeltez. Esse processo de

cálculo era conhecido como Processo ω (Ômega). Quando se tinha casos de flexão composta,

calculava-se a armadura para essa solicitação e verificava-se depois a armadura do pilar para

uma solicitação centrada e majorada de γ e ω.

3

Com o passar dos anos, começaram a ser estudados pilares para diversas

geometrias e solicitações, aumentando-se, assim, a complexidade do problema, pois a solução

exata dos mesmos recai na condição de não-linearidade geométrica, que se dá pela alteração

da geometria inicial devido às deformações sofridas ao longo do eixo do pilar causadas pela

solicitação atuante, e da condição de não-linearidade física, devido às relações tensão-

deformação do material concreto e do aço.

No Brasil há vários trabalhos desenvolvidos nessa linha de pesquisa, visando o

desenvolvimento do conhecimento do comportamento estrutural dos pilares e da

racionalização do seu uso.

Aufiero (1977, apud Scadelai,2004) apresenta um estudo sobre estabilidade de

pilares solicitados à flexo-compressão normal, considerando a influência da não-linearidade

física, do tipo de carregamento e da esbeltez, para fins de dimensionamento e definição da

capacidade de carga, utilizando o processo simplificado do pilar-padrão, cujos valores são

comparados com valores apresentados no Boletim de Informação no 103 do CEB, utilizando o

método geral.

Buchaim (1984, apud Scadelai, 2004) utiliza o processo do pilar-padrão para

analisar os conceitos que intervêm na consideração dos efeitos de segunda ordem e da

instabilidade por divergência do equilíbrio, em pilares de concreto armado sob flexo-

compressão.

Araújo (1984, apud Martins, 2009) analisou a classificação dos pilares contida na

NB-1/78, fazendo críticas e apontando erros devido ao critério sugerido na norma. Ainda

comenta que ao considerar como pilares curtos os pilares que possuem índice de esbeltez

inferior a 40, a norma desconsidera os efeitos da não-linearidade geométrica induzindo a erros

que são contra a segurança estrutural.

Marcotti (1984, apud Scadelai, 2004) apresenta uma análise ampla do problema

de instabilidade de pilares de concreto armado submetidos à flexo-compressão oblíqua.

França (1984) faz uma análise detalhada das relações momento versus curvatura,

em seções poligonais quaisquer submetidas à flexo-compressão oblíqua.

Paula (1988, apud Scadelai, 2004) apresenta um estudo sobre estabilidade das

configurações de equilíbrio, de pilares esbeltos de concreto armado, submetidos a flexo-

compressão normal e compressão axial, além de fazer um estudo comparativo entre pilares

esbeltos em estado limite último, analisados por meio de algoritmos e programas baseados no

método geral e no processo aproximado do pilar-padrão.

4

Mendes Neto (1991) apresenta um estudo sobre a estabilidade de pilares, de

seções quaisquer, solicitados a flexo-compressão oblíqua, através do processo do pilar-padrão.

Barcaji (1993, apud Scadelai, 2004) analisa os vários aspectos que devem ser

levados em consideração no projeto estrutural e no dimensionamento de pilares. Apresenta

também os métodos para análise da estabilidade de peças comprimidas, na flexão composta

normal, além de fornecer os conceitos e os critérios envolvidos no dimensionamento de

pilares, incluindo as prescrições das normas brasileiras.

Souza (2003, apud Scadelai, 2004) apresenta os resultados de uma análise de

estudos paramétricos, realizados com dois modelos computacionais em análise física e

geométrica não-linear, utilizando as recomendações da NBR 6118:1978 e da NBR 6118:2003.

Coelho e Banki (2005, apud Martins, 2009) fazem uma comparação entre os

requisitos da NB-1/78 e os da NBR 6118:2003, chegando a conclusão que a mudança nos

valores de cobrimento mínimo da armadura tornaram os pilares mais seguros, modernos,

duráveis e econômicos.

5

2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS

2.1 Instabilidade e Efeitos de 2a Ordem

Segundo o item 17.2 da NBR 6118:2003, o estado limite último de instabilidade é

atingido sempre que, ao crescer a intensidade do carregamento e, portanto, das deformações,

há elementos submetidos flexo-compressão em que o aumento da capacidade resistente passa

a ser inferior ao aumento da solicitação. Esta norma também apresenta três tipos de

instabilidade:

a) nas estruturas sem imperfeições geométricas iniciais, pode haver (para

casos especiais de carregamento) perda de estabilidade por bifurcação do

equilíbrio (flambagem);

b) em situações particulares (estruturas abatidas), pode haver perde de

estabilidade sem bifurcação do equilíbrio por passagem brusca de uma

configuração para outra reversa da anterior (ponto limite com reversão);

c) em estruturas de material de comportamento não-linear, com imperfeições

geométricas iniciais, não há perda de estabilidade por bifurcação do

equilíbrio, podendo, no entanto, haver perda de estabilidade quando, ao

crescer a intensidade do carregamento, o aumento da capacidade resistente

da estrutura passar a ser menor do que o aumento da solicitação (ponto

limite sem reversão).

Em peças de concreto armado submetidos à flexão, é usual e admissível calcular

os esforços solicitantes através da teoria de 1a ordem (configuração geométrica inicial).

Entretanto, essa teoria deve ser abandonada, quando as deformações são sensíveis a influência

dos esforços solicitantes. Assim, as condições de equilíbrio devem ser satisfeitas pela teoria

de 2a ordem (configuração deformada do sistema).

Efeitos de 2a ordem são aqueles que se somam aos obtidos numa análise de primeira

ordem (em que o equilíbrio da estrutura é estudado na configuração geométrica

inicial), quando a análise do equilíbrio passa a ser efetuada considerando a

configuração deformada

Os efeitos de 2a ordem, em cuja determinação deve ser considerado o

comportamento não-linear dos materiais, podem ser desprezados sempre que não

representem acréscimo superior a 10% nas reações e nas solicitações relevantes da

estrutura(NBR 6118: 2003, p. 89).

6

A NBR 6118 apresenta dois processos aproximados de verificação da dispensa

dos efeitos de 2a ordem global de uma estrutura, sendo eles o parâmetro de instabilidade α e o

coeficiente γz. Esta norma classifica as estruturas em duas: nós fixos são estruturas em que os

deslocamentos horizontais dos nós da estrutura são pequenos e, por decorrência, os efeitos

globais de segunda ordem são desprezíveis (inferior a 10% dos respectivos esforços de

primeira ordem); e nós móveis são aquelas onde os deslocamentos não são pequenos e, em

decorrência, os efeitos globais de segunda ordem são importantes (superior a 10% dos

respectivos esforços de primeira ordem).

Uma estrutura reticulada simétrica é considerada de nós fixos (podendo dispensar

os efeitos globais de segunda ordem) se seu parâmetro de instabilidade α for menor que o

valor α1, conforme a expressão:

α = HTOT

NK

ECS⋅ IC

(2.1)

sendo:

α1 = 0,2 + 0,1n se: n ≤ 3;

α1 = 0,6 se: n ≥ 4.

onde:

n: é o numero de andares;

Htot: é a altura total da estrutura;

NK: é a somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura, com seu valor

característico;

Ecs Ic: é o somatório de todos os valores de rigidez de todos os pilares na direção

considerada.

O coeficiente γz é válido para estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares.

Pode ser determinado a partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem.

O valor de γz, para cada combinação de carregamento é dado pela expressão:

γZ =1

1−∆M tot,d

M1.tot,d

(2.2)

onde:

M1,tot,d: é a soma dos momentos de todas as forças horizontais da combinação

considerada, com seus valores de cálculo;

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∆M tot,d: é a somatória do produto de todas as forças verticais atuantes na estrutura,

pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise

de 1a ordem.

Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição: γz ≤ 1,1.

No presente trabalho considera-se, em princípio, que os pilares analisados

pertencem a uma estrutura de nós fixos e que os esforços transversais são desprezíveis.

2.2 Não-Linearidades

O estudo da não-linearidade é fundamental para a determinação dos esforços

máximos em estruturas interferindo no comportamento das mesmas.

Segundo Borges (1999, apud SCADELAI, 2004), o conceito de linearidade, por

vezes, é confundido com o conceito de elasticidade. Uma barra é de material elástico quando,

cessada a ação de carregamento aplicado, volta ao comprimento inicial; isso quer dizer que,

quando a tensão retorna ao valor zero, a deformação também é nula, não havendo, pois

nenhuma deformação residual.

O conceito de elasticidade e linearidade fica evidenciado na Figura 2.1. Quando

cessado o carregamento, a relação tensão-deformação retroceder pelo caminho cheio, o

comportamento do material é dito elástico (deformação resultante nula), caso retroceda pela

linha tracejada, o material é considerado inelástico (deformação resultante diferente de zero,

ou seja, deformação residual). O formato curvo do diagrama diz respeito ao comportamento

não-linear do material, não existindo uma proporcionalidade entre a tensão e a deformação.

Figura 2.1 – Diagrama tensão deformação de um material não-linear (SCADELAI, 2004)

8

Existem dois tipos de não-linearidades, a não-linearidade geométrica e a não-

linearidade física, que serão explicadas a seguir.

2.2.1 Não-linearidade geométrica

Segundo Mota (2009), a questão fundamental tratada na análise não linear

geométrica é a da expressão da condição de equilíbrio da estrutura levando em conta a sua

configuração deformada.

Na análise de estruturas, normalmente se determina os esforços através de uma

análise em seu estado indeformado, teoria de primeira ordem, em que a relação força-

deslocamento se mantém linear. Ao considerar os efeitos da mudança de geometria da

estrutura, esta relação deixa de ser linear, gerando esforços adicionais e podendo ocorrer

situações de instabilidade.

Segundo Benjamin (1982, apud SCADELAI, 2004), quando os efeitos não-

lineares implicarem em enrijecimento da estrutura, a utilização de uma análise linear pode

conduzir a estruturas mais seguras, porém antieconômicas. Por outro lado, se o

comportamento não-linear implicar em perda de rigidez ou de estabilidade, a utilização de

uma análise linear pode resultar ou induzir a uma falsa noção de segurança estrutural.

Logo, podemos concluir que a análise não-linear deveria sempre ser feita, porém

em alguns casos, o acréscimo de esforços provindo desta análise é muito pequeno, sendo

desnecessário um grau mais sofisticado de aproximação. A análise não linear deve ser levada

em consideração nos casos em que haja grandes deslocamentos, comprometendo a

estabilidade da peça, como o efeito da flambagem, ver Figura 2.2.

9

Figura 2.2 – Barra comprimida (BORGES, 1999 apud MARTINS, 2009)

2.2.2 Não-linearidade física

Segundo Scadelai (2004), a não-linearidade geométrica prova que pode não haver

uma proporcionalidade entre causa e efeito, mesmo quando o comportamento do material é

elástico-linear. O problema se agrava quando o próprio material apresenta comportamento

não-linear, o que caracteriza a não-linearidade física.

O comportamento linear do material se dá quando o mesmo obedece a Lei de

Hooke, ou seja, existe proporcionalidade entre as tensões e as deformações. Caso contrário, o

material é dito de comportamento não-linear, conforme a Figura 2.3.

Figura 2.3 – Diagramas tensão-deformação (SCADELAI, 2004)

10

2.3 Comportamento do Concreto

O comportamento do concreto é representado pelo diagrama tensão x deformação,

que é influenciado por vários fatores, tais como: idade do concreto, velocidade e duração do

carregamento aplicado entre outros, além da resistência do concreto.

Conforme Borges (1999), o diagrama tensão x deformação do concreto tem um

comportamento não-linear, variando com as várias classes de resistência. O concreto é um

material elastoplástico, no entanto apresenta um comportamento aproximadamente elástico-

linear para tensões na ordem de 30% da tensão máxima de compressão, onde a partir deste

valor, inicia-se a plastificação do concreto devido ao inicio do processo de fissuração,

conforme mostrado na Figura 2.4.

Figura 2.4 – Diagrama tensão x deformação: compressão axial (SCADELAI, 2004 apud COLLINS, 1993)

11

Figura 2.5 – Diagrama tensão deformação do concreto (NBR 6118:2003)

A NBR 6118:2003, apresenta um diagrama que pode ser usado para o

dimensionamento de peças de concreto armado de seção qualquer, no estado limite último,

conforme a Figura 2.5, composto por uma parábola do segundo grau entre os valores de εc

igual a zero e 2 %o , sendo a tensão igual à 0,85.fcd, e ainda um trecho reto compreendido

entre os valores 2 %o a 3,5 %o.

12

3 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DO PROJETO DE PILARES

3.1 Dimensões Mínimas

Na NBR 6118:2003, no item 13.2.3, estão relacionadas considerações sobre

dimensões limites que pilares e pilares paredes devem obedecer. De maneira geral a seção

transversal de pilares maciços, qualquer que seja sua forma, não deve apresentar dimensão

menor que 19 cm.

Em casos especiais, a norma permite a consideração de dimensões entre 19 cm e

12 cm, desde que se multipliquem as ações (força normal e momentos nas direções x e y), a

serem consideradas no dimensionamento, por um coeficiente adicional γn, de acordo com a

Tabela 3.1.

Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal de área inferior a

360 cm2.

Tabela 1 - Valores do coeficiente adicional γn (tabela 13.1, NBR 6118:2003)

b cm

≥ 19 18 17 16 15 14 13 12

γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 Onde:

γn =1,95− 0,05b;

b é a menor dimensão da seção transversal do pilar.

NOTA: O coeficiente γn deve majorar os esforços finais de cálculo nos pilares, quando de seu

dimensionamento.

3.2 Armadura Mínima e Máxima em Pilares

A NBR 6118:2003, em seu item 17.3.5, relaciona princípios básicos para adoção

de valores limites para armaduras longitudinais de pilares.

A ruptura frágil das seções transversais, quando da formação da primeira fissura, deve ser evitada considerando-se, para o cálculo das armaduras, um momento mínimo dado pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seção de concreto simples, supondo que a resistência ã tração do concreto seja dada por fctk,sup, devendo também obedecer às condições relativas ao controle da abertura de fissuras[...]

13

A especificação de valores máximos para as armaduras decorre da necessidade de se assegurar condições de ductilidade e de se respeitar o campo de validade dos ensaios que deram origem às prescrições de funcionamento do conjunto aço-concreto.

3.3.1 Armadura mínima

Para as armaduras longitudinais de pilares e tirantes, a armadura longitudinal

mínima deve ser:

As,mim = 0,15⋅Nd

fyd

≥ 0,004⋅ Ac (3.1)

onde:

Nd é o valor da força normal de cálculo;

fyd é a resistência à tração de cálculo do aço;

Ac é a área da seção transversal do pilar.

3.3.2 Armadura máxima

Segundo a NBR 6118:2003, a maior armadura possível em pilares deve ser de 8%

da seção real, considerando-se inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de

emenda por traspasse, assim:

As,máx =8,0

100⋅ Ac (3.2)

3.3 Comprimento de Flambagem

Comprimento de flambagem é a distancia entre pontos de inflexão da deformada

de flambagem de pilar quando submetido ao carregamento mais desfavorável. Este

comprimento depende da vinculação na base e no topo do pilar, assim, caso as condições de

vinculações forem diferentes em cada direção, teremos valores diferentes de le para cada

direção. O comprimento equivalente le do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em

ambas as extremidades, deve ser o menor dos seguintes valores (ver Figura 3.1):

le ≤l0 + h

l

(3.3)

onde:

l0 é a distancia entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos

horizontais, que vinculam o pilar;

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h é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo,

ou seja, altura da seção transversal na direção em estudo;

l é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos qual o pilar está

vinculado.

Figura 3.1 – Determinação do comprimento de flambagem do pilar

Na figura abaixo são mostrados outros tipos do comprimento de flambagem para

algumas situações de vinculação dos apoios nas extremidades.

Figura 3.2 – Comprimentos de flambagem para outros situações de vinculação (SCADELAI, 2004)

15

3.4 Determinação do Índice de Esbeltez

O índice de esbeltez é uma grandeza que depende do comprimento de flambagem

do pilar e do raio de giração, que por sua vez depende de sua seção transversal (forma e

dimensões). Quanto maior este índice, maior a possibilidade de haver flambagem do pilar,

que ocorre sempre segundo o eixo de menor inércia (ou seja, eixo onde o índice de esbeltez é

maior). A expressão de cálculo do índice de esbeltez está definida no item 15.8.2 da NBR

6118:2003, sendo:

λ =lei

(3.4)

onde:

le: comprimento de flambagem do pilar, sendo no caso de pilares engastado na

base e livres no topo, le = 2 l;

i =Ic

Ac

: raio de giração da seção geométrica da peça.

Para peças com seção transversal simétrica λ é definido para cada uma das

direções x e y principais de inércia. Para peças com seções retangulares resulta:

• Na direção x

λx =le,x

iy (3.5)

sendo:

iy =Iy

A (3.6)

Iy =h⋅ b3

12 (3.7)

iy =h⋅ b3

12⋅

1b⋅ h

(3.8)

iy =b

12 (3.9)

logo:

λx =le,x 12

b (3.10)

16

• Na direção y

λy =le,y

ix (3.11)

sendo:

ix =Ix

A (3.12)

Ix =b⋅ h3

12 (3.13)

ix =b⋅ h3

12⋅

1b⋅ h

(3.14)

ix =h

12 (3.15)

logo:

λy =le,y 12

h (3.16)

Percebe-se que quando a deformação ocorre na direção do eixo x (portanto

esbeltez λx), a rotação da seção transversal ocorre segundo o eixo y (assim raio de giração iy).

3.5 Classificação dos Pilares

Nas estruturas de nós fixos, os pilares podem ser classificados quanto à sua

posição em planta e quanto à sua esbeltez. Esta classificação é dada para sistematizar o estudo

dos mesmos possibilitando uma abordagem simplificada e prática.

De acordo com sua posição em planta, os pilares podem ser classificados como

internos, de canto e de borda. A cada um desses tipos de pilares, existe uma situação de

projeto ou de solicitação diferente, como mostra a Figura 3.3.

17

Figura 3.3 – Classificação quanto à posição em planta

O posicionamento dos pilares em planta é de fundamental importância para o

dimensionamento, pois irá informar se o pilar terá uma excentricidade inicial e o tipo de

solicitação a ser considerada no dimensionamento.

Para pilares internos ou centrais, o carregamento vertical não sofre nenhuma

excentricidade inicial, em qualquer dos dois sentidos, do eixo do pilar, ou seja, a

excentricidade inicial no topo do pilar nos dois sentidos é igual a zero, assim, seu

dimensionamento ficará determinado por uma flexão composta reta, nos dois sentidos.

Pilares de borda ou laterais, em um de seus sentidos, possuem uma viga com sua

extremidade se apoiando no mesmo, provocando um giro significativo causado por momento

de engastamento, logo, o carregamento vertical sofrerá uma excentricidade inicial neste

sentido, sendo a mesma nula no outro sentido. Seu dimensionamento se dará por dois tipos de

solicitações, o primeiro será uma flexão composta reta no sentido em que o momento de

engastamento está aplicado, e o segundo será uma flexão composta oblíqua no outro sentido,

ou seja, a solicitação inicial deverá ser considerada no seu sentido de aplicação e no outro,

deverá ser considerado as outras solicitações.

Para pilares de canto existirão momentos de engastamento nos dois sentidos, logo,

existirá excentricidade inicial nas duas direções, sendo seu dimensionamento determinado por

flexão composta oblíqua nas duas direções.

A classificação dos pilares quanto à esbeltez informará a importância da

verificação dos efeitos de segunda ordem, podendo ser classificados como curtos,

moderadamente esbeltos, esbeltos e muito esbeltos.

18

Para pilares curtos, quando λ for menor que o valor limite λ1 (definido

posteriormente), segundo o item 15.8.2, os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados,

pois, os esforços obtidos na configuração deformada são aproximadamente iguais aos

esforços obtidos na configuração indeformada.

Para pilares moderadamente esbeltos, quando λ estiver entre λ1 e 90, os esforços

de segunda ordem não podem ser desprezados, e podem ser calculados através do método do

pilar padrão com curvatura aproximada e do método do pilar-padrão com rigidez κ

aproximada.

Para os pilares esbeltos, com λ entre 90 e 140, os esforços de segunda ordem

podem ser calculados através do método do pilar-padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r,

sendo obrigatória a consideração do efeito da fluência no processo de dimensionamento.

Pilares muito esbeltos são aqueles em que λ está entre 140 e 200, assim, os

esforços de segunda ordem são obrigatoriamente calculados pelo método geral, onde se leva

em conta a não-linearidade física e geométrica do pilar. Também é obrigatória a consideração

da fluência.

No item 15.8.1, da NBR 6118:2003, fica vedado o uso de pilares com λ maior que

200, exceto no caso de postes com força normal menor que 0,10.fcd.Ac.

Assim, a classificação dos pilares quanto a esbeltez pode ser resumida como:

• Pilar curto: λ ≤ λ1;

• Pilar moderadamente esbelto: λ1 < λ ≤ 90;

• Pilar esbelto: 90 < λ ≤ 140;

• Pilar muito esbelto: 140 < λ ≤ 200.

3.6 Dispensa da Análise dos Efeitos Locais de Segunda Ordem

Os esforços locais de segunda ordem podem ser desprezados, conforme o item

15.8.2 da NBR 6118:2003, quando o índice de esbeltez λ for menor que o valor limite λ1. Este

valor limite é influenciado pela excentricidade relativa de primeira ordem e1/h; pela

vinculação dos extremos da coluna isolada; pela magnitude e forma do diagrama de

momentos de primeira ordem. Segundo SCADELAI (2004), a esbeltez limite corresponde ao

valor da esbeltez a partir do qual os efeitos de segunda ordem começam a provocar uma

redução da capacidade resistente do pilar no estado limite último, quando comparado com a

19

capacidade resistente obtida de acordo com a teoria de primeira ordem. Sendo λ1 calculado

pela expressão:

λ1 =25+12,5

e1

hαb

(3.17)

sendo:

35 ≤ λ1 ≤ 90

e1 a excentricidade de primeira ordem;

h é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo.

O coeficiente αb deve ser obtido conforme o estabelecido a seguir:

a) para pilares biapoiados sem cargas transversais, deve ser obtido pela fórmula:

αb = 0,6+ 0,4MB

MA

≥ 0,40 (3.18)

onde:

0,4 ≤ αb ≤ 1,0

MA e MB são momentos de primeira ordem nos extremos do pilar. Deve ser

adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o sinal

positivo, se tracionar a mesma face que MA, e negativo em caso contrario.

b) para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura:

αb =1,0 (3.19) c) para pilares em balanço

αb = 0,80+ 0,20MC

MA

≥ 0,85 (3.20)

onde:

0,85 ≤ αb ≤ 1,0

MA é o momento de primeira ordem no engaste e MC é o momento de primeira

ordem no meio do pilar em balanço.

d) para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o mínimo

αb =1,0 (3.21)

20

4 CÁLCULO DOS ESFORÇOS NOS PILARES

Segundo Carvalho (2009), uma força normal atuando em um pilar de seção

retangular pode estar aplicada no centro geométrico (compressão centrada), a certa distância

desse centro e sobre um dos eixos de simetria (flexão composta) e em um ponto qualquer da

seção (flexão oblíqua), sendo essas distâncias chamadas de excentricidades e devem ser

conhecidas para o dimensionamento de pilares isolados.

Essas excentricidades podem ser de diversos tipos e causados por diferentes

fatores, sendo, em geral, divididos da seguinte forma:

• Excentricidade inicial;

• Excentricidade de forma;

• Excentricidade acidental;

• Excentricidade devido à fluência;

• Excentricidade de segunda ordem.

Neste capítulo, será explicado todo o procedimento para determinação destas

excentricidades.

4.1 Excentricidade Inicial

Em estruturas de edifícios de vários andares, nas ligações de extremidades das

vigas, ocorrem ligações monolíticas com os pilares de canto e os laterais, estando estes

submetidos a um momento fletor inicial. Esse momento pode ser representado por uma

excentricidade inicial ei da força de compressão.

A excentricidade inicial pode ocorrer em pilares de qualquer esbeltez e em

qualquer das duas direções (eix ou eiy) ou em ambas as direções (eix, eiy), devendo ainda ser

acrescentados às demais excentricidades.

Esta excentricidade deverá ser obtida a partir das seguintes expressões:

eix =Mx

N (4.1)

eiy =My

N (4.2)

21

Figura 4.1 – Excentricidade inicial no topo e na base (Scadelai, 2004)

Na verificação dos esforços máximos em pilares de edifícios, numa análise local

entre dois pavimentos (rótulas nas duas extremidades), duas situações deveram ser

consideradas: a primeira em uma seção próxima à extremidade e a segunda em uma seção

intermediária. Na seção de extremidade, a excentricidade de primeira ordem é nula, mas não a

de segunda ordem; na seção intermediária, existe excentricidade de segunda ordem e a

excentricidade de primeira ordem tem uma influência menor, sendo expressa pela equação

abaixo:

ei* = αb ⋅ ei (4.3)

sendo, αb definido no item 3.6.

A NBR 6118:2003, no item 14.6.7, traz uma formulação aproximada de cálculo

da solidariedade dos pilares com as vigas, onde diz que o momento fletor é igual ao momento

de engastamento perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos, assim, temos que:

Momento na extremidade da viga:

Mextr,viga =rinf + rsup

rinf + rsup + rviga

⋅ Meng (4.4)

Momento no tramo superior do pilar:

M1,p sup =rsup

rinf + rsup + rviga

⋅ Meng (4.5)

Momento no tramo inferior do pilar:

M1,p inf =rinf

rinf + rsup + rviga

⋅ Meng (4.6)

onde:

22

rinf, rsup, rviga é a rigidez de cada elemento i no nó considerado;

ri =I i

l i, sendo I i a inércia do elemento e l i o comprimento do elemento conforme

Figura 4.2;

Meng é o momento de engastamento perfeito na ligação viga-pilar;

M1,psup é o momento na extremidade inferior do pilar superior;

M1,pinf é o momento na extremidade superior do pilar inferior.

Figura 4.2 – Aproximação em apoios extremos (NBR 6118:2003)

4.2 Excentricidade de Forma

Segundo Carvalho (2009), no projeto estrutural de uma edificação, devido ao

projeto arquitetônico, muitas vezes não é possível fazer com que eixos de vigas e pilares

sejam coincidentes, sendo o mais usual que as faces externas ou internas das vigas coincidam

com as faces dos pilares em que estão apoiados. Assim, como pode ser observado na figura

abaixo, as reações das vigas chegam de forma excêntrica ao pilar – excentricidade de forma.

23

Figura 4.3 – Excentricidade de Forma

Deve-se tomar cuidado ao ser utilizado programas automáticos de cálculo que

consideram como padrão a consideração desta excentricidade em todos os casos, podendo

levar a valores exagerados no pilar.

4.3 Excentricidade Acidental

O item 11.3.3.4, da NBR 6118:2003, trata das imperfeições geométricas, e diz que

na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem ser consideradas as

imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada.

Segundo Carvalho (2009), muitas imperfeições podem ser cobertas apenas pelo

uso de coeficientes ponderadores, mas as imperfeições dos eixos das peças, não podem. Elas

devem ser explicitamente consideradas, pois tem efeitos significativos sobre a estabilidade da

construção. Podem ser divididas em dois grupos: imperfeições geométricas globais e

imperfeições locais.

4.4.1 Imperfeições globais

Na análise global da estrutura, sejam elas contraventadas ou não, deve-se

considerar o desaprumo dos elementos verticais, conforme a Figura 4.4.

24

Figura 4.4 – Imperfeições geométricas globais (NBR 6118:2003)

θ1 =1

100 H (4.7)

θa = θ1⋅1+1 n

2 (4.8)

onde:

θ1 é o desaprumo de um elemento vertical contínua;

θ1min =1 400 para estruturas de nós fixos;

θ1min =1 300 para estruturas de nós móveis;

θ1max =1 200;

H é a altura total da edificação, em metros;

N é o número de prumadas de pilares.

Conforme a NBR 6118:2003, o desaprumo não deve ser superposto ao

carregamento de vento. Entre os dois, carregamento de vento e desaprumo, deve ser

considerado o mais desfavorável, definido através do que provoca maior momento total na

base de construção.

4.4.2 Imperfeições locais

Na verificação de um lance de pilar, no caso que está se tratando aqui, deve ser

considerado o efeito do desaprumo ou falta de retilineidade do seu eixo, conforme a figura

abaixo.

25

Figura 4.5 – Imperfeições geométricas locais (NBR 6118:2003)

O valor da excentricidade acidental, para o caso de falta de retilineidade pode ser

calculado pelas expressões:

ea = θ1⋅l

2

(4.9)

θ1 =1

100 l (4.10)

Para o caso de desaprumo, a excentricidade pode ser calculada como:

ea = θ1⋅ l (4.11) onde:

l é a altura de um pavimento (não confundir com comprimento de flambagem);

θ1min =1 300 para imperfeições locais;

θ1max =1 200.

Para casos usuais, a norma admite a consideração apenas da falta de retilineidade

ao longo do lance do pilar seja suficiente.

4.4.3 Momento mínimo de primeira ordem

Segundo o item 11.3.3.4.3, da NBR 6118:2003, o efeito das imperfeições

geométricas locais em um lance de pilar pode ser substituído em estruturas reticuladas pela

consideração do momento mínimo de 1a ordem dado pela expressão:

M1d ,mim = Nd 0,015+ 0,03h( ) (4.12) onde:

26

Nd é o esforço normal de cálculo;

h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros.

Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais

esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo, sendo este, o valor de

cálculo utilizado no dimensionamento. A este momento devem ser acrescidos os momentos de

2a ordem, quando for o caso.

Segundo Carvalho (2009), no caso de pilares submetidos à flexão oblíqua

composta, esse mínimo deve ser respeitado em cada uma das direções principais,

separadamente.

Alguns autores fazem diferentes interpretações sobre a consideração do momento

mínimo, pois, justificam que a NBR 6118:2003 define de forma ambígua este momento.

Justificam que no item 11.3.3.4.3, faz-se referência que o momento mínimo, quando maior,

deve substituir o oriundo das imperfeições locais, e no item 15.8.3.3.2, recomenda que o

momento mínimo substitua, quando maior, o momento de primeira ordem. Também,

encontram-se textos, que interpretam que o momento mínimo, quando maior substitui o

momento total de primeira ordem (acidental e inicial de primeira ordem), sendo acrescido a

este o oriundo das imperfeições locais. Neste trabalho, interpretou-se que o momento mínimo

deverá substituir, quando maior, o momento inicial de primeira ordem (não sendo necessária a

verificação das imperfeições locais), sendo este o valor adotado em todo o processo de

cálculo.

4.4 Excentricidade Devido à Fluência

Conforme a NBR 6118:2003, a consideração da fluência do material concreto

deve ser obrigatória para pilares com λ > 90 e pode ser efetuada de maneira aproximada,

considerando a excentricidade adicional ecc dado pela fórmula:

ecc =MSg

NSg

+ ea

2,718

ϕNSg

Ne −NSg −1

(4.13)

onde:

Ne =10⋅ Ec ⋅ Ic

le2

MSg, NSg são valores característicos dos esforços solicitantes devidos à

combinação quase permanente;

27

φ é o coeficiente de fluência;

Ec é o módulo de elasticidade do concreto;

Ic é o momento de inércia da seção de concreto;

le é o comprimento de flambagem.

4.5 Excentricidade de Segunda Ordem

Num lance de pilar, sobre o efeito do carregamento vertical e dos momentos

iniciais, seu respectivo eixo não se mantém retilíneo, surgindo aí efeitos locais de segunda

ordem que, em princípio, afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo do mesmo.

A teoria que rege esse fenômeno é chamada de segunda ordem e pode ser mais ou

menos simplificada, sendo os principais processos para obtenção dos esforços de uma barra

apresentados na seção seguinte.

Para Carvalho (2009), uma forma de reproduzir este efeito é a consideração de

uma força de compressão atuando com certa excentricidade (e2) em relação ao centro do pilar,

chamada de excentricidade de segunda ordem.

28

5 DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2 a ORDEM

CONFORME A NBR-6118:2003

De acordo com a NBR 6118:2003, os efeitos locais de 2a ordem, podem ser

calculados através dos métodos aproximados ou através do método geral. A norma trás três

métodos aproximados, sendo eles: o método do pilar-padrão com curvatura aproximada, o

método do pilar padrão com rigidez κ aproximada e o método do pilar padrão acoplado a

diagramas M, N, 1/r. A determinação da metodologia de cálculo a ser adotado, está

condicionada ao índice de esbeltez, sendo especificada mais adiante.

Segundo Scadelai (2004 apud BORGES, 1999), a desvantagem do processo do

pilar-padrão reside no fato que seus resultados são precisos apenas nos casos onde a seção é

constante, inclusive armadura, e o carregamento não é composto por forças transversais, ou

seja, o método do pilar-padrão só conduz a bons resultados se a linha elástica for muito

próxima da senoidal. Para os casos em que isso não acontece, pode-se optar pelo processo do

pilar-padrão melhorado, cujo objetivo é estender a aplicação do processo a casos de barras

submetidas a carregamento transversal, através de uma correção no método, resultado de uma

linearização do diagrama (M, N, 1/r).

5.1 Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada

Segundo Carvalho (2009), os métodos aproximados, em geral, procuram a seção

mais solicitada do pilar e, a partir de algumas simplificações, estabelecem expressões que

permitem calcular o efeito de segunda ordem.

Para a determinação dos esforços de segunda ordem pelos métodos aproximado

do pilar-padrão com curvatura aproximada, são admitidas as seguintes hipóteses: a flecha

máxima é função da curvatura da barra; a não-linearidade geométrica é considerada de uma

forma aproximada, em que a linha elástica da barra deformada é dada por uma função

senoidal; a curvatura é dada pela derivada segunda da equação da linha elástica; e a não-

linearidade física será considerada de forma aproximada, sendo considerada através de uma

expressão aproximada da curvatura na seção crítica.

Este método pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ ≤ 90, seção

constante e armadura simétrica e constante ao longo do seu eixo.

A excentricidade de segunda ordem é dada pela seguinte expressão:

29

e2 =1

r

x= l

⋅le

2

10 (5.1)

onde, le é o comprimento de flambagem e, 1/r é a curvatura na seção crítica, que é

considerado de forma aproximada, dado pela seguinte fórmula:

1

r=

0,005

(ν + 0,5)⋅ h (5.2)

sendo:

(ν + 0,5) ≥1;

h é a altura da seção na direção considerada;

ν =Fd

Ac ⋅ fcd

=Fd

b⋅ h⋅ fcd

é o valor adimensional da força normal.

Assim, temos que a expressão para o cálculo da excentricidade de segunda ordem

ficará:

e2 =le

2

10⋅

0,005

(ν + 0,5)⋅ h (5.3)

Para o cálculo do momento total máximo é necessário a consideração do efeito do

momento de primeira ordem em uma seção intermediária do pilar, sendo este de menor

ordem. Assim o cálculo do momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão:

Md,tot = αb ⋅ M1d,A + Nd ⋅le

2

10⋅

0,005

(ν + 0,5)⋅ h≥ M1d,A ≥ M1d,mim (5.4)

onde:

αb é o valor calculado no item 3.6 deste trabalho;

Nd é a força normal de cálculo;

M1d,A é o momento de primeira ordem;

M1d,mim é o momento mínimo de primeira ordem.

5.2 Método do Pilar-Padrão com Rigidez κκκκ Aproximada

Na determinação dos esforços de segunda ordem por este método aproximado são

feitas as mesmas considerações adotadas no método anterior, exceto a consideração da não-

linearidade física que é considerada através de uma expressão aproximada da rigidez.

Este método é empregado apenas no cálculo de pilares com λ ≤ 90, seção

retangular constante e armadura simétrica e constante ao longo do seu eixo.

Segundo a formulação apresentada pela NBR 6118:2003, o cálculo do momento

total máximo no pilar deve ser calculado a partir da majoração do momento de 1a ordem pela

expressão:

30

Md,tot =αb ⋅ M1d,A

1− λ2

120⋅ κ /ν

≥M1d ,A

M1d,mim

(5.5)

Onde o valor da rigidez adimensional κ dado aproximadamente pela expressão:

κ = 32⋅ 1+ 5⋅Md,tot

h⋅ Nd

⋅ ν (5.6)

As variáveis h, Nd, ν, M1d,A e αb são definidas no item anterior. Observa-se que

para encontrar o valor da rigidez κ é necessário o valor de Md,tot e para o cálculo do Md,tot é

necessário o valor de κ, logo a solução deste problema somente pode ser obtida através de um

processo iterativo (usualmente duas ou três iterações são suficientes).

Uma consideração importante a ser feita no uso deste método é a forma de

convergência da solução, que depende do valor inicial de Md,tot adotado. O valor adotado para

a primeira iteração deve ser um valor próximo do valor da solução algébrica, pois quanto mais

próximo desta solução, menos iterações são necessárias. Ainda tem a possibilidade de não

convergência para a solução algébrica, caso seja adotado um valor muito alto para Md,tot.

Como solução para este problema, muitos autores sugerem alguns processos

diretos. Neste trabalho, nós iremos substituir a fórmula da rigidez κ no valor do Md,tot,

obtendo-se a seguinte expressão:

A⋅ Md,tot2 + B⋅ Md,tot + C = 0 (5.7)

onde:

A = 5⋅ h (5.8)

B = h2⋅ Nd −Nd ⋅ le

2

320− 5⋅ h⋅ αb ⋅ M1d,A (5.9)

C = −Nd ⋅ h2⋅ αb ⋅ M1d,A (5.10)

Logo, a solução se resume na resolução de uma equação do segundo grau, assim:

Md,tot =−B + B2 − 4AC

2A (5.11)

Esta formulação possibilita o cálculo direto, sem o uso do processo iterativo, cujo

resultado deve ser idêntico ao obtido deste processo.

5.3 Método do Pilar-Padrão Acoplado a Diagramas M,N,1/r

A determinação dos esforços locais de 2a ordem em pilares com 90 ≤ λ ≤ 140,

pode ser feita pelo método do pilar-padrão ou do pilar padrão melhorado, utilizando-se para a

curvatura da seção crítica valores obtidos de diagramas M, N, 1/r específicos para o caso. Se

31

λ > 90, é obrigatório a consideração dos efeitos da fluência, de acordo com o item 15.8.4 da

NBR 6118 (ABNT, 2003).

Para a resolução deste método, podem ser utilizados diagramas µ, η, 103d/r, com

grandezas adimensionais, como mostrado na Figura 5.1.

Figura 5.1 – Diagrama µ, η, 102d/r (Scadelai, 2004 apud Fusco, 1981)

5.4 Método Geral

Conforme a NBR 6118:2003, o método consiste na análise não-linear de segunda

ordem efetuada com discretização adequada da barra, considerando a relação momento-

curvatura real em cada seção, e considerando a não-linearidade geométrica de maneira não

aproximada. O emprego deste método é obrigatório para pilares com λ > 140. É aplicado a

qualquer tipo de pilar, inclusive em casos que a armadura ou a força normal são variáveis ao

longo de seu comprimento.

32

Para sua formulação são empregadas equações diferenciais que geralmente não

tem solução direta conhecida, logo, sendo necessária a aplicação de soluções aproximadas

para o cálculo, como os métodos iterativos. Mesmo o método iterativo possibilitando algumas

simplificações, sua solução requer um considerável esforço manual, havendo a necessidade da

utilização de softwares específicos de cálculo.

De acordo com Borges (1999, apud Scadelai, 2004), o método geral, quanto ao

rigor, faz duas concessões: admite ser a curvatura igual à segunda derivada da equação da

linha elástica e, já que sua execução necessita de processos numéricos, precisa de subdivisão

da peça em elementos, tornando os resultados dependentes do número de elementos

considerados.

Conforme Carvalho (2009), a curvatura da peça é determinada através do estado

de esforços resistidos pela seção, onde em cada ponto se relaciona o momento atuante com a

curvatura.

Segundo Scadelai (2004), o método geral consiste em estudar o comportamento

das estruturas de concreto armado, à medida que se dá o aumento do carregamento ou da

excentricidade do carregamento na barra.

O estudo, a partir de um carregamento incremental, consiste em aplicar a

carregamento em parcelas, de modo que, cada etapa seja possível a consideração do

deslocamento da etapa anterior. A carga critica é o maior valor encontrado no diagrama força

versus deslocamento, para o qual a curva do gráfico tende assintoticamente, conforme a

Figura 5.2.

Figura 5.2 – Diagrama força x deslocamento com carregamento incremental (SCADELAI, 2004)

33

A outra forma de aplicação do método é através da excentricidade incremental,

sendo obedecido o mesmo procedimento anterior, mas ao invés de se manter constante as

excentricidades e variar a força aplicada mantêm-se constante a força aplicada e variam-se as

excentricidades de primeira ordem. O valor crítico da excentricidade é o maior valor

encontrado no diagrama excentricidade versus deslocamento, para o qual a curva do gráfico

tende assintoticamente, conforme a Figura 5.3.

Figura 5.3 – Diagrama excentricidade x deslocamento com excentricidade incremental (SCADELAI, 2004)

Para melhor explicar o princípio do método geral, Scadelai (2004) fez a seguinte

explicação: considerou um pilar engastado na base e livre no topo, sujeito a uma força de

compressão Nd, com uma excentricidade “e” do eixo do pilar. Sob a ação do carregamento, o

pilar sofre uma deformação que gera um momento adicional Nd.y, que por sua vez, gera

deslocamentos e momentos adicionais. Se as ações externas (Nd e Md) forem menores que a

capacidade resistente da barra, essa interação continua até ser atingido o estado de equilíbrio

da barra, ou seja, a deformação tende a um valor a, conforme a Figura 5.4a. Caso contrário, se

as ações externas forem maiores que a capacidade resistente da barra, o pilar perde

estabilidade, ou seja, a deformação tende ao infinito, conforme a Figura 5.4b.

34

a) equilíbrio estável b) equilíbrio instável

Figura 5.4 – Configurações fletidas (Scadelai, 2004)

35

Viga(20x60)

Pilar (20x60)

6 EXEMPLOS

Neste item, serão apresentados alguns exemplos do cálculo dos esforços máximos

em pilares de concreto armado, utilizando os métodos do pilar padrão com curvatura

aproximada e o método da rigidez κ aproximada.

6.1 Exemplo 1

Neste primeiro exemplo apresenta-se o cálculo dos esforços máximos em um pilar

em que os momentos são menores que o momento mínimo e tracionando faces opostas do

pilar. Os pontos de aplicação das solicitações são o topo (nó A) e a base do pilar (nó B).

Considera-se o vigamento do pavimento inferior igual ao do pavimento superior. Dados:

• Concreto C30 e aço CA-50;

• Seção transversal: 20 cm x 60 cm;

• Pé-direito = 320 cm;

• Nk = 1400 kN;

• MkxA = +25kNm e Mkx

B = −25kNm.

Figura 6.1 – Detalhe em Planta

Cálculo do comprimento de flambagem:

36

lex ≤lo + hv = 2,60+ 0,60= 3,20m

lo + b = 2,60+ 0,2= 2,80m⇒ lex =

2,80m

Momento mínimo:

Nd =1400⋅ 1,4 =1960kN

M1dx,min = Nd ⋅ (0,015+ 0,03⋅ h)

M1dx,,min =1960⋅ (0,015+ 0,03⋅ 0,2) = 41,16kNm

Podendo ser expresso da seguinte forma:

emin,x =M1dx,min

Nd

=41,161960

= 0,021m

Cálculo da excentricidade inicial:

Para a obtenção da excentricidade inicial, adota-se o maior valor de momento das

duas extremidades, ou se menor, adotar o momento mínimo. Assim, temos que:

eix =Mx

N=

41,16

1960= 0,021m

Índice de esbeltez é dado por:

λx = 12⋅lex

b= 12⋅

280

20

λx = 48,5

Verificação da dispensa dos efeitos locais de 2a ordem:

Com M1dx =1,4⋅ 25 = 35kNm, logo, M1dx ≤ M1dx,min , assim, temos que:

αbx =1,0

λ1x =25+12,5⋅ e1x h

αb

=25+12,5⋅ 2,1 20

1,0

λ1x = 26,31, assim λ1x = 35,0

Como λx ≥ λ1x, temos que os efeitos locais de segunda ordem devem ser

verificados.

Cálculo dos efeitos de segunda ordem:

• Método do pilar-padrão com curvatura aproximada

37

ν =Nd

b⋅ h⋅ fcd

=1960

0,2⋅ 0,6⋅ 30000 1,4= 0,762

Md,tot = αbx⋅ M1d,A + Nd ⋅lex

2

100,005

(ν + 0,5)⋅ h

Md,tot =1,0⋅ 46,16+1960⋅2,82

100,005

(0,762+ 0,5)⋅ 0,2

Md,tot = 71,60kNm

• Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada

Utilizando o método direto proposto no item 5.2, temos:

A = 5⋅ b = 5⋅ 0,2 =1,0

B = b2⋅ Nd −Nd ⋅ lex

2

320− 5⋅ b⋅ αb ⋅ M1d,A

B = 0,22⋅ 1960−1960⋅ 2,82

320− 5⋅ 0,2⋅ 1,0⋅ 41,16= −10,78

C = −Nd ⋅ b2⋅ αb ⋅ M1d,A = −1960⋅ 0,22⋅ 1,0⋅ 41,16= −3226,94

Md,tot =−B+ B2 − 4AC

2A=

10,78+ (−10,78)2 + 4⋅ 1⋅ 3226,94

2⋅ 1

Md,tot = 62,45kNm

Para a determinação dos esforços finais de cálculo, verifica-se o momento em uma

seção no topo , entre o topo e a base do pilar. O momento na seção de topo e de base do pilar

deverá ser o maior valor entre momento inicial e o momento mínimo. O momento em uma

seção intermediária do pilar deverá ser o momento total obtido pelos métodos de cálculo dos

efeitos de segunda ordem, sendo que este deverá ser maior que o momento inicial, e este, por

sua vez, deverá ser maior que o momento mínimo. Assim, a armadura longitudinal do pilar

deverá ser dimensionada de modo que a sua resistência atenda as condições de solicitações da

seção mais desfavorável, sendo listada a seguir.

A força normal de cálculo, para as duas metodologias analisadas, é igual a:

Nsd =1960kN

E o momento, para os dois métodos, é apresentado na Tabela 2:

38

Tabela 2 – Valores para momentos obtidos no Exemplo 1

Curvatura Aproximada (kNm)

Rigidez κ Aproximada (kNm)

Diferença (%)

Exemplo 01 Msd < M1d,min 71,60 62,45 12,78

6.2 Exemplo 2

Neste segundo exemplo, apresenta-se o cálculo dos esforços máximos em um

pilar em que os momentos são iguais ao momento mínimo e tracionando faces opostas do


Considerou-se o vigamento do pavimento inferior igual ao do pavimento superior, conforme

Figura 6.1. Dados:




• Nk = 1400 kN;

• MkxA = +29,4kNm e Mkx

B = −29,4kNm.


lex ≤lo + hv = 2,60+ 0,60= 3,20m

lo + b = 2,60+ 0,2= 2,80m⇒ lex =

2,80m

Momento mínimo:

Nd =1400⋅ 1,4 =1960kN

M1dx,min = Nd ⋅ (0,015+ 0,03⋅ h)

M1dx,,min =1960⋅ (0,015+ 0,03⋅ 0,2) = 41,16kNm


emin,x =M1dx,min

Nd

=41,161960

= 0,021m



duas extremidades, ou se menor, adota-se o momento mínimo. Assim, temos que:

39

eix =Mx

N=

29,4

1400= 0,021m


λx = 12⋅lex

b= 12⋅

280

20

λx = 48,5


Com M1dx =1,4⋅ 29,4 = 41,16kNm, logo, M1dx = M1dx,min , assim, podemos ter dois

casos:

Para 0,1=bα

αb =1,0

λ1x =25+12,5⋅ e1x h

αb

=25+12,5⋅ 2,1 20

1,0

λ1x = 26,31, assim λ1x = 35,0


verificados.



ν =Nd

b⋅ h⋅ fcd

=1960

0,2⋅ 0,6⋅ 30000 1,4= 0,762


2

100,005

(ν + 0,5)⋅ h

Md,tot =1,0⋅ 46,16+1960⋅2,82

100,005

(0,762+ 0,5)⋅ 0,2

Md,tot = 71,60kNm



A = 5⋅ b = 5⋅ 0,2 =1,0


2

320− 5⋅ b⋅ αb ⋅ M1d,A

40

B = 0,22⋅ 1960−1960⋅ 2,82

320− 5⋅ 0,2⋅ 1,0⋅ 41,16= −10,78

C = −Nd ⋅ b2⋅ αb ⋅ M1d,A = −1960⋅ 0,22⋅ 1,0⋅ 41,16= −3226,94


2A=

10,78+ (−10,78)2 + 4⋅ 1⋅ 3226,94

2⋅ 1

Md,tot = 62,45kNm

Para αb = 0,6+ 0,4MB

MA

MA = 29,4kNm e MB = -29,4kNm

αb = 0,6+ 0,4MB

MA

= 0,6− 0,429,4

29,4= 0,4

λ1x =25+12,5⋅ e1x h

αb

=25+12,5⋅ 2,1 20

0,4

λ1x = 65,78

Como λx ≤ λ1x, temos que os efeitos locais de segunda ordem podem ser

desprezados, ou seja:

e2x = 0


seção no topo , entre o topo e a base do pilar. O momento na seção de topo e da base do pilar








Nsd =1960kN

E o momento, para os dois métodos, é apresentado na Tabela 3:

41


Exemplo 02 Msd = M1d,min



Diferença (%)

αb = 1,0 71,60 62,45 12,78 αb = 0,4 41,16 41,16 0

Diferença (%) 42,51 34,09 -

6.3 Exemplo 3

Neste terceiro exemplo apresenta-se o cálculo dos esforços máximos em um pilar

em que os momentos são maiores que o momento mínimo e tracionando faces opostas do


Considerou-se o vigamento do pavimento inferior igual ao do pavimento superior, conforme

Figura 6.1. Dados:




• Nk = 1400 kN;

• MkxA = +35kNm e Mkx

B = −35kNm.


lex ≤lo + hv = 2,60+ 0,60= 3,20m

lo + b = 2,60+ 0,2= 2,80m⇒ lex =

2,80m

Momento mínimo:

Nd =1400⋅ 1,4 =1960kN

M1dx,min = Nd ⋅ (0,015+ 0,03⋅ h)

M1dx,,min =1960⋅ (0,015+ 0,03⋅ 0,2) = 41,16kNm


emin,x =M1dx,min

Nd

=41,161960

= 0,021m



duas extremidades, ou se menor, adotar o momento mínimo. Assim, temos que:

42

eix =Mx

N=

35

1400= 0,025m


λx = 12⋅lex

b= 12⋅

280

20

λx = 48,5


Com M1dx =1,4⋅ 35 = 49kNm, logo, M1dx ≥ M1dx,min , assim, temos que:

MA = 35kNm e MB = -35kNm

αb = 0,6+ 0,4MB

MA

= 0,6− 0,435

35= 0,4

λ1x =25+12,5⋅ e1x h

αb

=25+12,5⋅ 2,5 20

0,4

λ1x = 66,41, assim λ1x = 35,0

Como λx ≤ λ1x, temos que os efeitos locais de segunda ordem podem ser

desprezados, ou seja:

e2x = 0


seção no topo, entre o topo e a base do pilar. O momento na seção de topo e de base do pilar








Nsd =1960kN

E o momento, para os dois métodos, é apresentado na tabela abaixo:




Diferença (%)

Exemplo 03 Msd > M1d,min 49,0 49,0 0

43

6.4 Exemplo 4

Neste quarto exemplo, apresenta-se o cálculo dos esforços máximos em um pilar

em que os momentos são maiores que o momento mínimo, com momento igual a zero no topo

e momento diferente de zero na base. Os pontos de aplicação das solicitações são o topo (nó

A) e a base do pilar (nó B). Considera-se o vigamento do pavimento inferior igual ao do

pavimento superior, conforme Figura 6.1. Dados:




• Nk = 1400 kN;

• MkxA = 0 e Mkx

B = −35kNm.


lex ≤lo + hv = 2,60+ 0,60= 3,20m

lo + b = 2,60+ 0,2= 2,80m⇒ lex =

2,80m

Momento mínimo:

Nd =1400⋅ 1,4 =1960kN

M1dx,min = Nd ⋅ (0,015+ 0,03⋅ h)

M1dx,,min =1960⋅ (0,015+ 0,03⋅ 0,2) = 41,16kNm


emin,x =M1dx,min

Nd

=41,161960

= 0,021m



duas extremidades, ou se maior, adotar o momento mínimo. Assim, temos que:

eix =Mx

N=

35

1400= 0,025m


λx = 12⋅lex

b= 12⋅

280

20

44

λx = 48,5



MA = 35kNm e MB = 0kNm

αb = 0,6+ 0,4MB

MA

= 0,6+ 0,40

35= 0,6

λ1x =25+12,5⋅ e1x h

αb

=25+12,5⋅ 2,5 20

0,6

λ1x = 44,27


considerados.



ν =Nd

b⋅ h⋅ fcd

=1960

0,2⋅ 0,6⋅ 30000 1,4= 0,762


2

100,005

(ν + 0,5)⋅ h

Md,tot = 0,6⋅ 49,0+1960⋅2,82

100,005

(0,762+ 0,5)⋅ 0,2

Md,tot = 59,84kNm



A = 5⋅ b = 5⋅ 0,2 =1,0


2

320− 5⋅ b⋅ αb ⋅ M1d,A

B = 0,22⋅ 1960−1960⋅ 2,82

320− 5⋅ 0,2⋅ 0,6⋅ 49 = 0,98

C = −Nd ⋅ b2⋅ αb ⋅ M1d,A = −1960⋅ 0,22⋅ 0,6⋅ 49 = −2304,96

Md,tot =−B + B2 − 4AC

2A=

−0,98+ (0,98)2 + 4⋅ 1⋅ 2304,96

2⋅ 1

Md,tot = 47,52kNm

45


seção no topo, entre o topo e a base do pilar. O momento na seção de topo e da base do pilar








Nsd =1960kN





Diferença (%)

Exemplo 04 Msd > M1d,min 59,84 47,52 20,59

6.5 Exemplo 5

Neste quinto exemplo, apresenta-se o cálculo dos esforços máximos em um pilar

em que os momentos são maiores que o momento mínimo e tracionando a mesma face do


Considera-se o vigamento do pavimento inferior igual ao do pavimento superior, conforme

Figura 6.1. Dados:




• Nk = 1400 kN;

• MkxA = −15kNm e Mkx

B = −35kNm.


lex ≤lo + hv = 2,60+ 0,60= 3,20m

lo + b = 2,60+ 0,2= 2,80m⇒ lex =

2,80m

46

Momento mínimo:

Nd =1400⋅ 1,4 =1960kN

M1dx,min = Nd ⋅ (0,015+ 0,03⋅ h)

M1dx,,min =1960⋅ (0,015+ 0,03⋅ 0,2) = 41,16kNm


emin,x =M1dx,min

Nd

=41,161960

= 0,021m



duas extremidades, ou se maior, adotar o momento mínimo. Assim, temos que:

eix =Mx

N=

35

1400= 0,025m


λx = 12⋅lex

b= 12⋅

280

20

λx = 48,5



MA = 35kNm e MB = 15kNm

αb = 0,6+ 0,4MB

MA

= 0,6+ 0,415

35= 0,7714

λ1x =25+12,5⋅ e1x h

αb

=25+12,5⋅ 2,5 20

0,7714

λ1x = 34,43, assim, temos λ1x = 35


considerados.



ν =Nd

b⋅ h⋅ fcd

=1960

0,2⋅ 0,6⋅ 30000 1,4= 0,762

47


2

100,005

(ν + 0,5)⋅ h

Md,tot = 0,7714⋅ 49,0+1960⋅2,82

100,005

(0,762+ 0,5)⋅ 0,2

Md,tot = 68,24kNm



A = 5⋅ b = 5⋅ 0,2 =1,0


2

320− 5⋅ b⋅ αb ⋅ M1d,A

B = 0,22⋅ 1960−1960⋅ 2,82

320− 5⋅ 0,2⋅ 0,7714⋅ 49 = −7,42

C = −Nd ⋅ b2⋅ αb ⋅ M1d,A = −1960⋅ 0,22⋅ 0,7714⋅ 49 = −2963,52


2A=

7,42+ (−7,42)2 + 4⋅ 1⋅ 2963,52

2⋅ 1

Md,tot = 58,27kNm


seção no topo e entre o topo e a base do pilar. O momento na seção de topo e da base do pilar








Nsd =1960kN





Diferença (%)

Exemplo 05 Msd > M1d,min 68,24 58,27 14,61

48

6.6 Exemplo 6

Neste sexto exemplo, apresenta-se um estudo do cálculo dos esforços máximos

em um pilar em que os momentos são maiores que o momento mínimo tracionando a mesma

face do pilar, variando a intensidade do carregamento. No processo de cálculo fizeram-se as

mesmas considerações dos exemplos anteriores.

Para auxiliar o cálculo, confeccionou-se uma planilha excel (ver Anexo 1), onde

foram programadas as fórmulas utilizadas no cálculo, sendo os resultados apresentados

abaixo.

Em uma primeira etapa, manteve-se a força normal constante e variou-se o

momento atuante nas extremidades do pilar (momentos de valores iguais nas duas

extremidades, tracionando a mesma face do pilar e com valores maiores que o momento

mínimo) e na segunda etapa, fixou-se o valor do momento (momento tracionando a mesma

face do pilar e com valor maior que o mínimo) e variando-se a força normal.

Para a primeira etapa, temos que a força normal é igual a:

Nk =1400kN

Os resultados encontrados são apresentados na tabela abaixo:

Tabela 7 – Valores para momentos de cálculo obtidos na primeira etapa

Valores de Momento Mk (kNm)



Diferença (%)

30 72,44 63,49 12,35 40 86,44 80,30 7,10 50 100,44 96,49 3,92 60 114,44 112,28 1,89 70 128,44 127,76 0,53 80 142,44 143,02 0,41 90 156,44 158,10 1,05 100 170,44 173,05 1,51 110 184,44 187,88 1,83

Para a segunda etapa, temos que os momentos iguais a:

MkA = MkB = 40kNm

Os resultados encontrados, variando a força normal, são apresentados na Tabela 8:

49

Tabela 8 – Valores para momentos de cálculo obtidos na segunda etapa

Valores da Força Normal Nk (kN)



Diferença (%)

1400 86,44 80,30 7,10 1450 86,86 80,81 6,96 1500 87,26 81,31 6,82 1550 87,65 81,79 6,68 1600 88,02 82,27 6,53

50

7 CONCLUSÃO

Baseado no que já foi exposto neste trabalho, apresentam-se neste capítulo as

principais conclusões sobre ao cálculo dos esforços máximos em pilares de concreto armado

de edifícios.

Nos exemplos mostrados no capítulo anterior, procurou-se verificar o

comportamento dos esforços máximos nos pilares calculados através dos métodos do pilar-

padrão com curvatura aproximada e do pilar-padrão com rigidez κ aproximada, sendo

expostos a variados tipos e intensidades de carregamento.

No primeiro exemplo, considerou-se momento de primeira ordem menor que o

mínimo e tracionando faces opostas do pilar, sendo encontrados, para esta situação, valores de

momentos máximos com diferença de 12,78% para mais no método da curvatura aproximada,

ver Tabela 2.

No segundo exemplo, manteve-se a mesma força normal e momentos de primeira

ordem tracionando faces opostas do pilar, mas a solicitação foi aumentada para que o

momento solicitante fosse igual ao mínimo, sendo verificado um resultado preocupante, pois

para o valor do momento solicitante igual ao valor do momento mínimo, temos duas

possibilidades do cálculo do αb, a primeira é αb = 1,0 e outro αb = 0,4, sendo que para o

método da curvatura aproximada a diferença chegou a 42,51%, conforme Tabela 3, uma

diferença muito alta, levando-se em conta que os dois casos atendem à norma.

No terceiro exemplo, conservou-se a força normal, sendo aplicado momento de

primeira ordem maior que o mínimo tracionando faces opostas. Assim, como não foi

necessária a verificação dos efeitos de segunda ordem, o dimensionamento foi feito com as

solicitações iniciais, obtendo-se os mesmos resultados para os momentos finais no pilar.

No quarto exemplo, conservou-se a força normal, manteve-se o momento na base

do pilar e igualou-se a zero o momento no topo do pilar, observando para essa situação uma

diferença de 20,59% para mais no método da curvatura aproximada, ver Tabela 5.

Para o quinto exemplo, conservou-se a força normal, sendo aplicado um momento

maior que o mínimo tracionando a mesma face do pilar, obtendo uma diferença de 14,61%

para mais no método da curvatura aproximada, ver Tabela 7.

No último exemplo, realizou-se um estudo comparativo em duas etapas. Na

primeira etapa, manteve-se a força normal e variou-se o valor do momento (tracionando a

mesma face), conforme a Tabela 7. Observou-se que para valores pequenos de momento a

51

diferença entre os métodos chegou a 12,35%, caindo à medida que se aumentava o valor do

momento. Na segunda etapa, manteve-se o valor do momento (tracionando a mesma face) e

variou-se o valor da força normal, assim, conforme a Tabela 8, observou-se que à medida que

se aumentava a força normal, a diferença ia diminuindo. Assim, concluímos que as diferenças

são maiores para valores pequenos de solicitações, diminuindo à medida que se faz acréscimo

de solicitação.

Como sugestão para trabalhos futuros pode-se fazer comparações adotando-se os

demais métodos apresentados neste trabalho. Também sugerimos um estudo do processo de

dimensionamento para pilares com outros tipos de seções transversais, como pilares circulares

ou em L.

52

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1978) NBR 6118 –

Projeto e execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003) NBR 6118 –

Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro.

AUFIERO, L. Estabilidade de colunas isostáticas de concreto armado. 1977.

Dissertação (mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.

CARVALHO, Roberto Chust; PINHEIRO, Libânio Miranda. Cálculo e

detalhamento de estruturas usuais de concreto armado. Volume 2. São Paulo. Pini, 2009.

BORGES, A.C.L. Análise de pilares esbeltos de concreto armado solicitados à

flexo-compressão oblíqua. 1999. Dissertação (mestrado) – Escola de Engenharia de São

Carlos, Universidade de São Paulo.

FRANÇA, R.L.S. Relações momento-curvatura em peças de concreto armado

submetidas à flexão oblíqua composta. 1984. Dissertação (mestrado) – Escola Politécnica,

Universidade de São Paulo.

MARTINS, Carlos Henrique de Lima. Comparação entre o dimensionamento

de pilares de canto de acordo com a NBR 6118/2003 e a NB-1/78. 2009. Monografia

(graduação) – Universidade Federal do Ceará.

MENDES NETO, F. Estudo de pilares de concreto armado submetidos a

flexão oblíqua composta. 1991. Dissertação (mestrado) – Escola Politécnica, Universidade

de São Paulo.

MOTA, Joaquim Eduardo. Contribuição ao projeto de estruturas multi-piso

reticuladas em concreto pré-moldado. 2009. Tese (doutorado) – Escola de Engenharia de

São Carlos, Universidade de São Paulo.

SCADELAI, M.A. Dimensionamento de pilares de acordo com a

NBR6118:2003. São Carlos, 2004. 124 p. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de

São Carlos, Universidade de São Paulo.

SOUZA, T.J.M. Considerações sobre os efeitos locais de 2a ordem. In: V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto, São Paulo.

53

ANEXO

Na próxima página, será apresentada a planilha de cálculo utilizada para facilitar o

processo de na pesquisa anteriormente mostrada. Esta planilha é auto-explicativa, nos campos

amarelos são colocados os dados de entrada do problema, e a cada passa dado, ao lado tem

um texto explicativo correspondente, explicando como se obteve aquele valor ou qual dado de

entrada a ser inserido. Os valores contidos na planilha são iguais ao do primeiro exemplo.

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