Derivada de uma função polinomial Página 1

Derivada de uma função polinomial Esta lista tem o objetivo de apresentar uma regra prática para a diferenciação (ou derivação) de funções polinomiais simples, bem como algumas aplicações em Física, no entanto, o estudo em profundidade será feito no curso de Cálculo. Exemplos. Diferencie as funções abaixo:

a) 2x

1)x(f b)

3 2x)x(y

a)

b)

Exemplo. Diferencie a função 5x6x10x4x12x)x(f 3458 .

Universidade São Judas Tadeu

Regra da potência. Dada a função polinomial n

xy(x) k , onde n é um número real qualquer e

k uma constante, sua derivada é dada por: -1n

x(x)y' nk ou -1nx

dx

dynk

Regra da soma e subtração: Se f e g forem ambas diferenciáveis, então.

)x(g

dx

d)x(f

dx

d

dx

g(x) f(x)d

Derivada de uma função polinomial Página 2

Em Física, se a posição x de um corpo em função do tempo t é dada por uma função x(t), a função velocidade vx(t) e a função aceleração ax(t) são obtidas por diferenciação, como segue: Exercícios 1. Diferencie (derive) cada função a seguir.

xx

1x)x(g)k

2xx3

1x3)x(f)j

7u6u2u5)u(f)i

10t6t3)t(f)h

1x2)x(f)g

x5x10)x(f)f

xx)x(f)e

x2

1)x(f)d

x10)x(f)c

x)x(f)b

10)x(f)a

2

2

45

23

2

23

32

2

5

5

2. Uma partícula move-se ao longo do eixo x de acordo com a função x(t) = 50t + 2t3, sendo x em metros e t em segundos. Calcule: a) a velocidade média da partícula durante os três primeiros segundos de movimento; b) a velocidade instantânea da partícula em t = 3,0 s e c) a aceleração nesse mesmo instante.

3. A posição de um corpo é dada por: 62 t100,0t80,417,2)t(x , onde x está em metros e t

em segundos. a) Determine os instantes para os quais carro possui velocidade zero. b)Determine sua posição e sua aceleração para os instantes em que o carro possui velocidade zero. 4) A posição de um corpo no instante t é dada por S = 3t3 + 4t2 – t + 3, onde t é dado em

segundos e S em metros. Determine a velocidade e a aceleração desse corpo no instante

t = 1 s.Sabe –se que a velocidade é a taxa de variação do espaço em função do tempo e a

aceleração é taxa de variação da velocidade em função do tempo.

5) Um empresário estima que quando x unidades de certo produto são vendidas, a receita bruta

associada ao produto é dada por C = 0,5 x2 + 3x -2 milhares de reais. Qual é a taxa de variação

da receita quando 3 unidades estão sendo vendidas? Resp. 6 mil reais /unidade

Função velocidade: dt

dx(t)vx Função aceleração:

dt

dv(t)a x

x

Derivada de uma função polinomial Página 3

Respostas: 1-) a) 0 b) 5x4 c) 50x4 d) x e) 2x+3x2 f) 30x2+10x g) 2 h) 6t-6 i) 15u2-4u+6 j) 15x4 + (4/3)x3 + 1

k) x2

1

x

12x

3

2-) a) 68m/s b) 104 m/s c) 36 m/s2 3) a) 0 e 2s b) Posição: x(0)= 2,17 m e x(2,0)=15 m. Aceleração: a(0)=9,60 m/s2 e a(2,0)=-38,4 m/s2