FUNÇÕES(1) FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

1. (Uece 2015) Se a função real de variável real, definida por 2f(x) ax bx c,= + + é tal que

f(1) 2,= f(2) 5= e f(3) 4,= então o valor de f(4) é

a) 2. b) 1.− c) 1. d) 2.−

2. (Unisc 2015) Sejam as funções definidas por y x 5= − + e 2y x 3x 6.= − +

A respeito da representação gráfica destas funções no sistema cartesiano podemos afirmar que

a) se interceptam em um único ponto localizado no 1º quadrante. b) se interceptam em um único ponto localizado no 4º quadrante. c) se interceptam em dois pontos localizados no 1º e 4º quadrantes. d) se interceptam em dois pontos localizados no 1º e 2º quadrantes. e) Não se interceptam.

3. (Uea 2014) A figura mostra um quadrado de lado igual a 10 m. A região assinalada é constituída de

dois quadrados que não se intersecionam e cujos lados medem x metros. A área da região não

assinalada pode ser obtida pela lei 2A 100 2x .= −

Desse modo, quando x assumir o maior valor inteiro permitido, a área da região não assinalada será

igual, em metros quadrados, a a) 84. b) 36. c) 48. d) 68. e) 64.

4. (Unifor 2014) Na figura abaixo, temos a representação geométrica do gráfico de uma parábola, cuja

equação é 2y ax bx c.= + +

Para esta parábola representada no gráfico abaixo, os sinais dos produtos a b,⋅ a c⋅ e b c⋅ são,

respectivamente a) negativo, negativo e positivo. b) negativo, positivo e negativo. c) negativo, negativo e negativo. d) positivo, positivo e positivo. e) positivo, negativo e negativo.

5. (Ufrgs 2013) Dada a função f, definida por ( ) 2f x x 9 6x,= + − o número de valores de x que

satisfazem a igualdade ( ) ( )f x f x= − é a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.

6. (Pucrj 2013) Sejam f e g funções reais dadas por f(x) = 2 + x2 e g(x) = 2 + x.

Os valores de x tais que f(x) = g(x) são: a) x = 0 ou x = –1 b) x = 0 ou x = 2 c) x = 0 ou x = 1 d) x = 2 ou x = –1 e) x = 0 ou x = 1/2

7. (Uern 2013) Sejam as funções f(x) x 3= − e 2g(x) x 2x 4.= − + Para qual valor de x tem

f(g(x)) g(f(x))?=

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

8. (Ufrgs 2012) Considere as funções f e g tais que f(x) = 4x – 2x2 –1 e g(x) = 3 – 2x. A soma dos valores de f(x) que satisfazem a igualdade f(x) = g(x) é a) –4. b) –2. c) 0. d) 3. e) 4.

9. (Uern 2012) Seja uma função do 2º grau y = ax2 + bx + c, cujo gráfico está representado a seguir.

A soma dos coeficientes dessa função é a) – 2. b) – 3. c) – 4. d) – 6.

10. (Uepb 2013) Dada 2f(x) x 2x 5,= + + o valor de f(f( 1))− é:

a) – 56 b) 85 c) – 29 d) 29 e) – 85

11. (Espcex (Aman) 2012) O domínio da função real ( )−

=− +2

2 xf x

x 8x 12 é

a) ] [2, ∞

b) ] [2, 6

c) ] ], 6− ∞

d) ] ]2, 2−

e) ] [, 2− ∞

12. (G1 - ifce 2011) Sabendo-se que a expressão 2ax bx c+ + , onde a, b e c são números reais, é

positiva, para qualquer x real, é correto afirmar-se que

a) 2a 0 e b 4ac.> >

b) 2a 0 e b 4ac.> <

c) 2a 0 e b 4ac.< >

d) 2a 0 e b 4ac.< <

e) 2a 0 e b 4ac.< ≤

13. (Ufjf 2011) Seja f : →ℝ ℝ uma função dada por 2f(x) x 10x 5= µ + + , onde 0µ ≠ . Sabendo que

f(x) 0> para todo x ∈ℝ , é correto afirmar que µ pertence ao intervalo:

a) ] [20, + ∞

b) ] [5, + ∞

c) ] [0,10

d) ] [, 0−∞

e) ] [ ] [, 0 20, −∞ ∪ + ∞

14. (Uerj 2015) Um triângulo equilátero possui perímetro P, em metros, e área A, em metros

quadrados. Os valores de P e A variam de acordo com a medida do lado do triângulo.

Desconsiderando as unidades de medida, a expressão Y P A= − indica o valor da diferença entre os

números P e A.

O maior valor de Y é igual a:

a) 2 3

b) 3 3

c) 4 3

d) 6 3

15. (Upe 2015) Se escrevermos a função quadrática 2f(x) 2x x 3= − + na forma

2f(x) a (x m) n,= ⋅ − + o valor de a m n+ + é igual a

a) 19

4

b) 27

4

c) 41

8

d) 33

8

e) 25

8

16. (Fgv 2015) Seja f : ,→ℝ ℝ tal que 2 15

f(x) x bx ,4

= + + com b sendo uma constante real positiva.

Sabendo que a abscissa do ponto de mínimo do gráfico dessa função é igual a ordenada desse ponto,

então, b é igual a

a) 11

2

b) 5

c) 9

2

d) 4

e) 7

2

17. (G1 - cftmg 2014) Sobre a função real ( ) 2f(x) k 2 x 4x 5= − + − assinale (V) para as afirmativas

verdadeiras ou (F) para as falsas.

( ) O gráfico de f(x) é uma parábola para todo k ;∈ℝ

( ) Se k 1,= então f(x) é negativa para todo x ;∈ ℝ

( ) Se k 2,> então f(x) é uma parábola com concavidade voltada para cima;

( ) Se k 3,= então f( 5) 1.− =

A sequência correta encontrada é a) V – F – F – F. b) F – V – F – V.

c) V – F – V – V. d) F – V – V – F.

18. (Ucs 2014) O lucro obtido por um distribuidor com a venda de caixas de determinada mercadoria é

dado pela expressão 26 0,01

L(x) x x 0,6x,5 5

= − −

em que x denota o número de caixas vendidas.

Quantas caixas o distribuidor deverá vender para que o lucro seja máximo? a) 60 b) 120 c) 150 d) 600 e) 1500

19. (Ibmecrj 2013) O gráfico da função quadrática definida por ( ) 2f x 4x 5x 1+= + é uma parábola de

vértice V e intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo AVB é a) 27/8 b) 27/16 c) 27/32 d) 27/64 e) 27/128

20. (Fgv 2011) O gráfico de uma função quadrática f (x) tem as seguintes características:

· O vértice é o ponto (4,-1).

· Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5,0).

O ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas é: a) (0,14) b) (0,15) c) (0,16) d) (0,17) e) (0,18) 21. (Unb 2011) Em 1772, o matemático Euler observou que, ao se inserir os números inteiros de 0 a 39

na fórmula 2x x 41+ + , obtém-se uma lista de 40 números primos. No plano de coordenadas

cartesianas xOy, considerando 2y g(x) x x 41= = + + , conclui-se que os pares (N, g(N)), para

0 N 39≤ ≤ , pertencem a uma parábola que

a) intercepta o eixo das ordenadas em um número composto. b) ilustra uma função crescente no intervalo [0, 39]. c) intercepta o eixo das abscissas em dois números primos. d) tem vértice em um dos pares ordenados obtidos por Euler.

RESPOSTAS E SOLUÇÕES

1.[B]

Desde que f(1) 2,= f(2) 5= e f(3) 4,= vem

a b c 2 c 2 a b

4a 2b c 5 4a 2b c 5

9a 3b c 4 9a 3b c 4

c 2 a b

3a b 3

4a b 1

a 2

b 9 .

c 5

+ + = = − −

+ + = ⇔ + + = + + = + + =

= − −

⇔ + = + =

= −

⇔ = = −

Portanto, temos 2f(x) 2x 9x 5= − + − e, assim,

2f(4) 2 4 9 4 5 1.= − ⋅ + ⋅ − = −

2.[A]

Vamos supor que o domínio das funções seja o conjunto dos números reais.

As abscissas dos pontos de interseção das curvas y x 5= − + e 2y x 3x 6= − + são as raízes da equação

2x 3x 6 x 5,− + = − + ou seja, x 1.= Daí, como a imagem de x 1= é y 1 5 4,= − + = segue-se que as

curvas se intersectam em um único ponto, localizado no primeiro quadrante.

3. [D]

O maior valor inteiro para o lado do quadrado, de acordo com as condições acima, é 4m.

Portanto, a área da região não assinalada é:

2 2A 100 2 4 68m .= − ⋅ =

4.[D]

Como a parábola tem concavidade para baixo e intersecta o eixo das ordenadas em um ponto de

ordenada negativa, temos a 0< e c 0.< Além disso, a abscissa do vértice também é negativa. Daí, só

pode ser b 0.< Em consequência, a b 0,⋅ > a c 0⋅ > e b c 0.⋅ >

5.[B]

Temos

2

f(x) f(x) 2 f(x) 0

2 (x 3) 0

x 3.

= − ⇔ ⋅ =

⇔ ⋅ − =

⇔ =

Portanto, x 3= é o único valor de x para o qual se tem f(x) f(x).= −

6.[C]

Os valores de x para os quais =f(x) g(x) são tais que

2 22 x 2 x x x 0

x(x 1) 0

x 0 ou x 1.

+ = + ⇔ − =

⇔ − =

⇔ = =

7.[B]

Lembrando que uma função só está bem definida quando conhecemos o seu domínio, contradomínio e

a lei de associação, vamos supor que f : →ℝ ℝ e g : .→ℝ ℝ Além disso, por exemplo, a função g f�

está definida apenas quando o contradomínio de f é igual ao domínio de g.

Desse modo, o valor de x para o qual se tem f(g(x)) g(f(x))= é

2 2 2 2x 2x 4 3 (x 3) 2(x 3) 4 x 2x 3 x 6x 9 2x 6

6x 15 3

x 3.

− + − = − − − + ⇔ − − = − + − +

⇔ = +

⇔ =

8.[C]

2

2

1 2

f(x) g(x)

2x 4x 1 3 2x

2x 6x 4 0

x 1 e x 2.

=

⇒ − + − = −

⇒ − + − =

⇒ = =

Portanto:

2 2f(1) f(2) 2(1) 4(1) 1 2(2) 4(2) 1 0. + = − + − + − + − =

9.[C]

Do gráfico, temos que os zeros da função quadrática são 2 e 5. Logo, a lei da função é dada por

y a (x 2) (x 5),= ⋅ − ⋅ − com a .∗∈ℝ Então, como a parábola intersecta o eixo das ordenadas no ponto

(0, 10),− segue que

10 a (0 2) (0 5) a 1.− = ⋅ − ⋅ − ⇔ = −

Portanto, y (x 2) (x 5)= − − ⋅ − e a soma pedida é igual a (1 2) (1 5) 4.− − ⋅ − = −

10.[D]

Como 2f( 1) ( 1) 2 ( 1) 5 4,− = − + ⋅ − + = segue que

2f(f( 1)) f(4) 4 2 4 5 29.− = = + ⋅ + =

11.[E]

Os valores de x para os quais f está definida são tais que

2

2 x 0 x 2

e e x 2

x 2 e x 6x 8x 12 0

− ≥ ≤

⇔ ⇔ < ≠ ≠− + ≠

Portanto, o domínio de f é D ] , 2[.= − ∞

12.[B]

Se 2ax bx c 0+ + > para qualquer x real, então devemos ter 2 2b 4ac 0 b 4ac− < ⇔ < e a 0.>

13.[B]

A função f é estritamente positiva para todo x real se

∆ < ⇔ − ⋅µ ⋅ < ⇔ µ >20 10 4 5 0 5.

Portanto, µ pertence ao intervalo + ∞]5, [.

14.[B]

Seja ℓ a medida do lado do triângulo. Logo, tem-se que

2

2

Y P A

33

4

33 3 ( 2 3) .

4

= −

= −

= − ⋅ −

ℓℓ

ℓ

Portanto, para 2 3,=ℓ Y atinge o seu maior valor, ou seja, 3 3.

15.[C]

Tem-se que

2

2

2

2

f(x) 2x x 3

x2 x 3

2

1 12 x 3

4 8

1 232 x .

4 8

= − +

= − +

= − − +

= − +

Por conseguinte, vem 1 23 41

a m n 2 .4 8 8

+ + = + + =

16.[B]

Escrevendo a lei de f na forma canônica, obtemos

2 2b 15 bf(x) x .

2 4

− = + +

Portanto, sendo b 0,> vem

22b 15 b

b 2b 15 0 b 5.2 4

−− = ⇔ − − = ⇒ =

17.[D]

O gráfico de f não é uma parábola para k 2.= De fato, para k 2= tem-se f(x) 4x 5,= − cujo gráfico é

uma reta.

Se k 1,= então 2 2f(x) x 4x 5 (x 2) 1.= − + − = − − − Portanto, f(x) 0< para todo x real.

Se k 2,> então o coeficiente dominante de f é positivo e, por conseguinte, o gráfico de f é uma

parábola com a concavidade voltada para cima.

Se k 3,= então 2f( 5) ( 5) 4 ( 5) 5 0.− = − + ⋅ − − =

18.[C]

Reescrevendo a lei de L, obtemos

21 3L(x) x x.

500 5= − +

Portanto, o resultado pedido é igual a

3

5 150.1

2500

− =

⋅ −

19.[E]

Os zeros da função f são 1x 1= − e 21

x .4

= −

O vértice do gráfico de f é o ponto 5 9

V , .8 16

− −

Portanto, a área do triângulo AVB é dada por

1 1 9 271 .

2 4 16 128

⋅ − + ⋅ − =

20.[B]

Seja f : →ℝ ℝ a função quadrática definida por 2f(x) a(x p) q,= − + em que (p, q) é o vértice do

gráfico de f.

Logo, 2f(5) a(5 4) ( 1)

0 a 1 a 1.

= − + −

= − ⇒ =

Assim, como (p, q) (4, 1),= − segue que 2f(x) (x 4) 1.= − −

O ponto de intersecção do gráfico de f com o eixo das ordenadas é dado por:

2f(0) (0 4) 1 16 1 15 (0,15).= − − = − = ⇒

21.[B]

Escrevendo a função g na forma canônica, obtemos:

2

2

2

g(x) x x 41

1 1x 41

2 4

1 163x .

2 4

= + +

= + − +

= + −

Assim, para 1

N x2

= > − a função g é crescente e, portanto, g é crescente para N [0, 39].∈