USP · 2013-03-12 · Conteu´do 1 Agradecimentos 5 2 Introdução 9 3 Teoria de séries de Lie...

Universidade de Sao PauloInstituto de Astronomia, Geofısica e Ciencias

Atmosfericas

Octavio Ismael Miloni.

Teorias Hamiltonianas de Media e Ressonancias

Orientador: Prof. Dr. Sylvio Ferraz–Mello.

· Sao Paulo - Dezembro de 2007 ·



Dissertacao apresentada ao Departamento de Astronomia do Insti-tuto de Astronomia, Geofısica e Ciencias Atmosfericas da Universi-dade de Sao Paulo como requisito parcial para a obtencao do tıtulode Doutor em Ciencias.Orientador: Prof. Dr. Sylvio Ferraz–Mello.

· Sao Paulo - Dezembro de 2007 ·



Tese apresentada ao Departamento de Astronomia do Instituto deAstronomia, Geofısica e Ciencias Atmosfericas da Universidade deSao Paulo para a obtencao do tıtulo de Doutor em Ciencias.

Aprovacao em:

Banca Examinadora

Prof.Dr.:.....................................................................................................................Instituicao :.................................................................................................................Assinatura:.................................................................................................................Prof.Dr.:.....................................................................................................................Instituicao :.................................................................................................................Assinatura:.................................................................................................................Prof.Dr.:.....................................................................................................................Instituicao :.................................................................................................................Assinatura:.................................................................................................................Prof.Dr.:.....................................................................................................................Instituicao :.................................................................................................................Assinatura:.................................................................................................................Prof.Dr.:.....................................................................................................................Instituicao :.................................................................................................................Assinatura:.................................................................................................................

“El verdadero viaje de descubrimiento no consisteen buscar nuevos paisajes sino nuevos ojos“

Marcel Proust

Conteudo

1 Agradecimentos 5

2 Introducao 9

3 Teoria de series de Lie para sistemas Ressonantes 12

3.1 Esquema de Construcao da Solucao . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Desenvolvimentos em Series de Lie . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Desenvolvimentos na Condicao de Ressonancia . . . . . . . . . 143.4 As Equacoes de Perturbacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Sobre os desenvolvimentos em serie ao redor de uma Res-

sonancia 19

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Pontos singulares de uma equacao algebrica . . . . . . . . . . 19

4.2.1 O teorema de Preparacao de Weierstrass . . . . . . . . 194.2.2 Pontos Crıticos. Series de Puiseux . . . . . . . . . . . . 20

4.3 Aplicacao ao problema restrito dos tres corpos em ressonancia 214.3.1 Variaveis Ressonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3.2 Modelo do Pendulo: Potencias em raiz quadrada da

massa de Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3.3 Modelo de Andoyer: Potencias em raiz cubica da massa

de Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Aplicacao ao Problema Restrito dos Tres Corpos Elıptico 25

5.1 Modelo Classico. Orbita de Jupiter com PrecessaoUniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.1.1 Variaveis e Equacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 O Problema Estendido. Inclusao das PerturbacoesSeculares na Orbita de Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.2.1 Variaveis e Equacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6 A Funcao Perturbadora 30

6.1 A aproximacao de Beauge. O parametro δ . . . . . . . . . . . 306.2 A parte Indireta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.3 Inclusao da solucao secular para a orbita de Jupiter . . . . . . 34

6.3.1 As Expressoes de Dkm e Ek

m . . . . . . . . . . . . . . . 356.3.2 A Expressao Final da Funcao Perturbadora . . . . . . . 36

1

7 Obtencao de Elementos Proprios 38

7.1 Calculo de Elementos Proprios no problema Classico. O Mo-delo do Pendulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.1.1 Primeira Media: Os Elementos Semi-Medios . . . . . . 397.1.2 Segunda Media: Os Elementos Medios . . . . . . . . . 407.1.3 Desenvolvimento do Hamiltoniano na ressonancia . . . 417.1.4 O Kernel de Hori. Escolha do Modelo Integravel . . . . 427.1.5 Extensao ao segundo grau de liberdade . . . . . . . . . 447.1.6 Algumas transformacoes auxiliares . . . . . . . . . . . 457.1.7 O Hamiltoniano ate a ordem O(ε3/2Q3) . . . . . . . . . 467.1.8 A Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.1.9 Terceira Media: Os Elementos Proprios . . . . . . . . . 49

7.2 Calculo de Elementos Proprios incluındo as perturbacoes naorbita de Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.2.1 A Primeira Media: Os Elementos Semi-Medios . . . . . 527.2.2 O Kernel de Hori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.2.3 Construcao do Modelo Integravel . . . . . . . . . . . . 547.2.4 Famılia de solucoes periodicas proximas a um ponto

de equilibrio no plano (Θ1,J ∗) . . . . . . . . . . . . . 587.2.5 A solucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.2.6 A Variavel Acao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2.7 Extensao da Transformacao aos outros graus de liberdade 667.2.8 As equacoes de perturbacao . . . . . . . . . . . . . . . 687.2.9 A Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.2.10 Terceira Media: Os Elementos Proprios . . . . . . . . . 78

8 Conclusao 79

A Os Coeficientes Dkm e Ek

m 85

B Solucao formal para o Hamiltoniano de Andoyer ate a ordem

O(Q6) 92

C Coeficientes de Fourier da Funcao perturbadora 97

2

Lista de Figuras

1 Distribuicao dos Hildas em semieixo maior e excentricidade .A linha solida representa o limite de convergencia da desenvol-vimento de Laplace da funcao perturbadora (ver Ferraz-Mello,1994). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Limites de validade da aproximacao de Beauge para asteroidesem ressonancia 3:2 com Jupiter para eJ = 0 e diferentes va-lores de δ. A curva grossa preta mostra a posicao dos pontosonde xmin = −1 (curva de colisao ). As curvas naomarcadasadjacentes correspondem-se com δ = 0.001. Eixos: X =e cos θ1; Y = |e sin θ1|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Coefficientes principais da funcao perturbadora. Para excen-tricidades entre 0.15 e 0.3 o termo correspondente ao anguloressonante θ∗1 e dominante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Coeficientes principais da funcao perturbadora. Nesta figuraintroduzimos mais coeficientes que na figura 3, ja que paraexcentricidades menores sao necessarios mais termos para aconstrucao do Kernel de Hori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Neste grafico notamos que a substituicao de R10 por B1

√2J1

para a construcao do kernel de Hori e boa para excentrici-dades menores que 0.3, podendo considerar a diferenca comoperturbacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 Comparacao entre R001 com M1eJ . Neste grafico as curvas sao

bem diferentes, mas para excentricidades menores que 0.3 adiferenca dos valores absolutos e menor que 0.05 e podem serconsideradas da mesma ordem de grandeza. . . . . . . . . . . 56

7 Comparacao entre R020 e B22J

∗1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8 Comparacao entre integracao numerica da integracao do ker-nel de Hori com a aproximacao analıtica de ordem 2. A curvacontınua corresponde a solucao analıtica e a tracejada corres-ponde a integracao numerica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

9 Comparacao entre integracao numerica da integracao do ker-nel de Hori com a aproximacao analıtica a ordem 5. A curvacontınua corresponde a solucao analıtica (com as mesmas condicoesiniciais da figura anterior) e a tracejada corresponde a inte-gracao numerica. Podemos notar que a aproximacao melhoracom ordens maiores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3

10 Comparacao entre integracao numerica com diferentes ordensde aproximacao no modelo analıtico no espaco de fases. . . . . 62

11 Comparacao entre a integracao numerica do kernel com apro-ximacoes analıticas para diferentes ordens no tempo para avariavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

12 Comparacao entre a integracao numerica do kernel com apro-ximacoes analıticas para diferentes ordens no tempo para avariavel H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4

1 Agradecimentos

Foram muitos os anos que me levaram para acabar este projeto. Acabar?Nao sei se e bem assim... Tem um ditado que diz que as teses nao se acabam,se abandonam... Pode ser, ja que sempre fica muita coisa para fazer.

Mas neste tempo todo tive a oportunidade de aprender muita coisa enao so no plano da ciencia, mas na vida mesma. Conhecı muitos colegas queme apoiaram o tempo todo, ate nesses momentos de dificuldades onde umapalavra da muita forca.

E por isso que fico muito grato do pessoal que conheci, na USP e noBrasil.

Primeiro que tudo, eu quero agradecer ao professor Sylvio Ferraz-Mello.Foi ele que primeiro me aceitou para trabalhar no grupo. Depois com os anosfoi me guiando para trabalhar em teoria de perturbacoes e sempre, sempretinha alguma nova ideia para melhorar o meu trabalho. Sempre tinha algumacoisa a mais, para eu aprender.

A professora Tatiana Michtchenko, quem sempre estava ai, na hora emque precissava de ajuda e apoio.

A Cristian Beauge que conheco a muitos anos e que sempre foi a mesmapessoa: um grande amigo con quem se aprende muita coisa.

A Fernando Roig, por sua amizade.Quero agradecer a todos os colegas que com os anos viraram amigos. A

meu grande amigo Juan Luna, o Juancho; Raimundo Lopes de Oliveira, ogrande Raı; ao Abılio Matheus jr ; ao Nelson Callegari jr, o Nersao ; a Fer-nando Cachucho da Silva; ao Compadre Raul Puebla. E, claro, ao AdrianRodriguez, o yorugua a quem respeito muito por sua capacidade e sua sim-pleza (mesmo no futebol).

Aos caros funcionarios do IAG que desde o primeiro dia que eu chegueiao Brasil me ajudaram sempre: A Marina, Conceicao , e todo o pessoal dassecretarias.

Tambem aos que, com base na Argentina, fizeram possıvel tudo isto:A minha mulher, Florencia, minha Flor que com sua paciencia e amor meajudou para seguir sempre pra frente. Aos muchachos Julian y Nicolas pelaalegria que dao a minha vida com sua presenca; aos companheiros do gremiodocente da Universidade de La Plata, ADULP.

Aos professores da Facultad de Ciencias Astronomicas y Geofısicas dela Universidad Nacional de La Plata: Juan Carlos Altavista, Josue Nunez,Adrian Brunini, Pablo Cincotta, Juan Carlos Muzzio, Felipe Wachlin, Daniel

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Carpintero e Claudia Giordano. Eles me introduziram no mundo da dinamicae da Mecanica Celeste.

Para os meus amigos de sempre: Taton, Franco, Diego, Aldo, Faca,Mendo, Toni, Sombra, Piqui (el peruano), a La Flaca Valeria, a Lean, aClaudin Cogo.

E, claro, aos meus pais Adolfo e Angelica que sempre me apoiaram, desdeaquela maluquice inicial, quando comecei a estudar astronomia.

A minha irma Sofıa, a Choufi, porque sua alegria foi sempre para mimindispensavel. A Juan, Fede e Violeta, a Colachona

E ao Leon, meu filhote, a quem dedico nao so esta tese, mas todos os dıasde minha vida.

Obrigado.

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Resumo

Neste trabalho apresentamos as bases matematicas para a cons-trucao de Elementos Proprios (EP) para asteroides em ressonancia3:2 com Jupiter a partir dos elementos Keplerianos osculadores. Ometodo e baseado na aplicacao de uma nova teoria de perturbacoesressonante (Ferraz-Mello, 1997, 2007) a qual permite a construcaode solucoes formais no caso onde o angulo crıtico e de longo perıodoaparecem simultaneamente. A funcao perturbadora usada e o desen-volvimento de Beauge (Beauge, 1996), modificada para incluir termosde curto perıodo.

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Abstract

In this work we present the mathematical basis for the calculation ofproper elements (EP) for asteroids in a 3:2 mean-motion resonance withJupiter, starting from the original osculating keplerian elements. The methodis based on a new resonant perturbation theory (Ferraz-Mello, 1997, 2007),which allows the construction of formal solutions in cases where a resonantand long-period angles appear simultaneously. For the disturbing function,we used the Beauge’s expansion (Beauge, 1996), adapted to include shortperiod terms.

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2 Introducao

Em um tempo onde a maioria dos trabalhos relacionados ao sistema solarestao relacionados ao estudo de movimentos caoticos e sua evolucao, o estudode Elementos Proprios esta na direcao oposta. Dado um sistema dinamico(nosso caso os asteroides do cinturao principal perturbado por Jupiter), aideia e construir uma aproximacao integravel e sua evolucao temporal. Oselementos proprios sao funcoes das integrais primeiras. Mesmo que o sistemafosse caotico, estas integrais forneceriam informacao se: (i) a regiao caoticaesta confinada, ou (ii) o comportamento caotico possui escala de tempo muitolonga. Em ambos casos, os elementos proprios podem ser considerados comoquase-integrais de movimento, que possuem variacoes pequenas em longosperıodos de tempo. Em outras palavras, estas magnitudes permitem estudarestruturas dinamicas, que nao mudam em milhoes de anos.

A origem desta ideia deve-se a Hirayama (1918, 1923) que aplicou a teoriasecular linear de Laplace-Lagrange (ver tambem Brouwer 1951) para deter-minar os EP para asteroides no cinturao principal. O resultado do estudode Hirayama permitiu descobrir uma acumulacao de corpos no espaco deelementos proprios, cada uma dela foi chamada Famılia de Hirayama.

Se acredita que os elementos proprios permitem determinar a origem co-mun destes asteroides que, produto de uma colissao, sao o remanente deum corpo primordial. Por muitos anos, a maior parte do esforco foi colo-cada na construcao de melhores determinacoes de elementos proprios tantoanalıticas como numericas, mas fora das regioes onde acontecem ressonanciasde movimentos medios.

Como e comun no problema de tres corpos, a limitacao principal na cons-trucao de teorias analıticas fica nos limites de convergencia da funcao pertur-badora. Foi Williams (1969) quem resolveu este problema mediante a cons-trucao de uma teoria semianalıtica baseada numa determinacao numericado potencial perturbador numa grade de condicoes iniciais. O seu resul-tado nao so determinou novos elementos proprios, mas tambem permitiu adeterminacao das ressonancias seculares na regiao dos asteroides. Mais re-centemente, e como o numero de asteroides foi crescendo, Milani e Knezevic(1990, 1992, 1994) introduziram o formalismo das series de Lie para estimarelementos proprios ate segunda (e terceira em alguns casos) ordem das mas-sas. Lemaıtre e Morbidelli (1994) desenvolveram uma teoria semianalıticasimilar a de Williams, mas baseada em um formalismo Hamiltoniano. To-das as teorias obtem elementos proprios mediante uma serie de medias: a

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primeira delas para obter o Hamiltoniano secular, e a segunda para calcu-lar os elementos proprios. Finalmente, nos ultimos anos Knezevic e Milani(2001) adotaram uma nova abordagem puramente numerica a qual determinaelementos proprios denominados sinteticos.

Para o caso ressonante, Schubart (1968) analisou o comportamento delongo perıodo dos Hildas, via integracoes numericas sobre os termos de curtoperıodo (angulo sinodico). Ele obteve tres parametros caracterısticos (excen-tricidade, inclinacao e amplitude de libracao) para todos os Hildas conhecidosna epoca (Schubart, 1982a, 1982b).

Milani (1993) calculou elementos proprios sinteticos para asteroides troi-anos por meio de um tratamento puramente numerico. Mais recentemente,Beauge e Roig (2001) desenvolveram uma teoria semianalıtica para obter ele-mentos proprios para os asteroides troianos. Esta teoria consiste basicamenteem uma sucessao de medias mediante uma estrutura hierarquica que permitedistinguir entre angulos de curto e longo perıodo.

Neste trabalho construimos analıticamente os invariantes de movimentopara asteroides do grupo de Hilda mediante a aplicacao da teoria de series deLie, comecando com os elementos osculadores e obtendo, no final do processo,os elementos proprios dinamicos.

No segundo capıtulo desenvolvemos a teoria das series de Lie para proble-mas ressonantes. Esta teoria permite resolver o problema dos pequenos de-nominadores de maneira local, pois as solucoes sao validas numa vizinhancada condicao de ressonancia.

No capıtulo 3, apresentamos um metodo geral para determinar os diferen-tes tipos de desenvolvimentos em series de potencias no pequeno parametroperturbador. Isto e feito mediante a aplicacao do Teorema de Preparacao deWeierstrass que nos permitira, a partir da escolha do modelo integravel, odesenvolvimento certo para a aplicacao da teoria de perturbacao .

No capıtulo 4 escreveremos as diferentes formas de aplicar a teoria deperturbacao ao caso do problema restrito dos tres corpos, tanto no caso emque a orbita de Jupiter e considerada fixa, como no caso em que consideramosas perturbacoes seculares dos planetas gigantes sobre a orbita de Jupiter.

O capıtulo 5 esta dedicado a apresentacao da funcao perturbadora esco-lhida para a nossa teoria de perturbacoes . O desenvolvimento da funcaoperturbadora escolhido e o Desenvolvimento de Beauge (Beauge, 1994).

No capıtulo 6 aplicaremos a teoria desenvolvida ao problema restrito dostres corpos no caso da ressonancia 3:2 com Jupiter, para o caso onde con-sideramos a orbita de Jupiter fixa (Miloni, O. et al., 2005) e no caso que

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a orbita de Jupiter e perturbada pela acao dos planetas maiores do sistemasolar . Neste caso usamos para os elementos orbitais do planeta a solucao dateoria secular de Lagrange–Laplace. Em todos os casos, o calculo dos ele-mentos proprios segue o seguinte roteiro: (i) passagem dos elementos oscu-ladores a elementos medios (ou semimedios na nomenclatura adotada porMilani) fazendo uma media sobre os termos de curto perıodo. (ii) Integracaoanalıtica do Kernel de Hori (modelo do pendulo) sobre o angulo librante.(iii) Aplicacao da teoria de series de Lie ressonante para obter os elementosmedios-medios. (iv) Calculo dos elementos proprios eliminando a variavelangular restante (Miloni, O. & Ferraz-Mello, S., [27]).

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3 Teoria de series de Lie para sistemas Res-

sonantes

Para o caso de sistemas ressonantes, o princıpio geral, na hora de propor umasolucao de um sistema de equacoes diferenciais, segue o mesmo esquema queno caso de sistema nao ressonante: E preciso considerar um Hamiltonianointegravel e considerar termos de ordens superiores como perturbacoes.

Seja com series de Lie (Sersic, 1959; Hori, 1966; Ferraz-Mello, 2007)ou com as teorias classicas (Poincare, von Zeipel-Brouwer, Delaunay), asolucao obtida com estes metodos sao pequenas variacoes da solucao do pro-blema nao perturbado.

Desde o ponto de vista da topologia do espaco de fase, a solucao do pro-blema perturbado possui uma estrutura similar que o sistema nao perturbado.

Para sistemas Hamiltonianos em que a parte integravel e uma formaquadratica das corrdenadas e momentos , a topologia do espaco de fase ea de um toro (no caso unidimensional, o toro e a circunferencia no plano defase).

Para o caso nao ressonante, os desenvolvimentos em series das funcoesgeratrizes possuem, nos seus coeficientes, singularidades. Este problema ebem conhecido e foi chamado problema dos pequenos denominadores.

A teoria das series de Lie ressonante permite obter uma solucao local aoproblema dos pequenos denominadores. E local, pois as solucoes obtıdas,sao validas so numa vizinanca da condicao de ressonancia.

Os detalhes mais gerais da teoria podem ser achados no livro de Ferraz-Mello (Ferraz.Mello, S. 2007; secao 8).

Neste capıtulo vamos considerar os aspectos principais da teoria, aquelesque serao aplicados para a construcao dos elementos proprios ressonantes.Comecaremos com as relacoes dos desenvolvimentos em serie de Lie. Assecoes seguintes estao dedicadas a construcao das equacoes de perturbacao.

3.1 Esquema de Construcao da Solucao

Ao considerar um problema ressonante, basicamente os princıpios geraisque devemos seguir, na hora de procurar uma solucao formal em series as-sintoticas, podem resumir-se nos seguintes:1. Selecionar do Hamiltoniano original os termos que descrevam a geometriada ressonancia (Kernel de Hori).

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2. Construir a solucao do Hamiltoniano ressonante, obtendo as variaveisangulo-acao .3. Introduzir a solucao do kernel de Hori nas equacoes de perturbacao e,desta maneira, obter a funcao geratriz que define a transformacao canonicaque leva as novas variaveis angulo-acao para o Hamiltoniano completo (umavez fixada a ordem de aproximacao).

Cada um destes passos possui as dificuldades proprias, onde geralmentena hora de ir fazendo cada um desses passos deveremos fazer aproximacoesque deverao ser testadas, para nao perder precisao no resultado final.

No nosso trabalho, a selecao no kernel de Hori, nao so sera feita levandoem conta a topologia da ressonancia, mas tambem escolhendo os termosdo kernel de Hori pela grandeza (em termos numericos) dos coeficientes dafuncao perturbadora.

3.2 Desenvolvimentos em Series de Lie

Consideremos uma funcao f : T n×B → R definida sobre o espaco de fase deum sistema dinamico e onde B e um subconjunto de Rn. Seja W : T n ×B →R uma outra funcao . Se define como a derivada de Lie a relacao

D0W (f(θ, J)) = f(θ, J)

DW (f) = {f,W}Dk

W (f) = DW (D(k−1)W (f)) (1)

onde {f,W} indica o colchete de Poisson de f com W ,

{f,W} =n∑

i=1

(∂f

∂θi

∂W

∂Ji− ∂f

∂Ji

∂W

∂θi

)

(2)

O resultado mais importante para o uso das series de Lie e o fato de que,para toda funcao f , a serie

f(θ, J) =∞∑

k=0

1

k!Dk

W ∗(θ∗,J∗)(f(θ∗, J∗)) (3)

define uma transformacao canonica (θ, J) → (θ∗, J∗). Em particular, para atransformacao das coordenadas, temos

θl =∞∑

k=0

1

k!Dk

W ∗(θ∗,J∗)(θ∗l )

13

Jl =∞∑

k=0

1

k!Dk

W ∗(θ∗,J∗)(J∗l ) (4)

Para nossas aplicacoes e importante obter nao so a transformacao (3),mas tambem a transformacao inversa. Por causa da propria definicao , a tras-formacao inversa se obtem substituındo W ∗(θ∗, J∗) por −W ∗(θ, J) (Ferraz-Mello, S. 2007 secao 5.4), dando como resultado

θ∗l =∞∑

k=0

1

k!Dk

−W ∗(θ,J)(θl)

J∗l =

∞∑

k=0

1

k!Dk

−W ∗(θ,J)(Jl) (5)

Entao , procurar uma transformacao canonica e equivalente a procurar afuncao W que a defina: o gerador de Lie.

Para obter a transformacao canonica, consideremos um sistema dinamicocom n graus de liberdade definido no espaco de fase T n × B, isto e, defi-nido num conjunto de variaveis angulares e seus momentos conjugados. SejaH(θ, J) o Hamiltoniano do sistema. Para procurar o gerador de Lie que definaa transformacao canonica, vamos aplicar a serie (3) usando como funcao f afuncao Hamiltoniana do sistema. Entao

H(θ, J) =∞∑

k=0

1

k!Dk

W ∗(θ∗,J∗)(H(θ∗, J∗)). (6)

Seja H∗ o Hamiltoniano nas novas variaveis (θ∗, J∗). Se o Hamiltonianonao depende explıcitamente do tempo, teremos que o Hamiltoniano e a ener-gia do sistema, e, porem, constante, entaoH∗(θ∗, J∗) = H(θ, J). Entao ,podemos escrever

H∗(θ∗, J∗) =∞∑

k=0

1

k!Dk

W ∗(θ∗,J∗)(H(θ∗, J∗)) (7)

Esta ultima equacao possui duas funcoes indeterminadas, H∗ e W ∗ etemos que achar uma maneira de determina-las. Na proxima secao vamosresolver esta questao .

3.3 Desenvolvimentos na Condicao de Ressonancia

As equacoes de perturbacao permitem determinar as funcoes indeterminadasH∗ e W ∗.

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Basicamente, estas equacoes se obtem a partir dos desenvolvimentos emserie das funcoes H∗ e W ∗ e substituir nas eqns. (7). Este e o mecanismo,tanto para regime nao ressonante, como para ressonante.

No caso de que uma ressonancia acontece, os passos a seguir para obteras equacoes de perturbacao sao os seguintes:i) Desenvolver o Hamiltoniano numa vizinhanca da condicao de ressonanciaexata.ii) Considerar do Hamiltoniano os termos que contenham a topologia daressonancia.iii) Identificar as ordens de grandeza das funcoes para obter as equacoes deperturbacao .

Consideremos o caso em que uma ressonancia simples ocorre. Seja Jr ovalor do momento para a condicao de ressonancia exata.

O Hamiltoniano sera desenvolvido em potencias de (J−Jr). Uma vez queescolhemos do Hamiltoniano os termos principais que descrevem a geometriada ressonancia, devemos identificar a ordem de grandeza de (J − Jr). Naseguinte secao encontramos uma forma para esta identificacao de maneiraformal.

Consideremos inicialmente um sistema dinamico onde a funcao Hamiltonianae

H(θ, J) = H0(J) + εH1(θ, J)

onde ε e um parametro pequeno.A condicao de ressonancia simples sera

∂H0

∂J1= 0 em J1 = Jr

Sem perda de generalidade, podemos supor que o angulo crıtico e θ1.Consideremos um desenvolvimento do Hamiltoniano na condicao de res-

sonancia exata. Teremos que

H(θ, J) =∞∑

k=0

1

k!

∂k

∂Jk1

[H0(J)

](J1 − Jr)

k + ε∞∑

k=0

1

k!

∂k

∂Jk1

[H1(θ, J)

](J1 − Jr)

k

Introduzindo este desenvolvimento na condicao de conservacao da energia(7) devemos levar em conta que na hora de calcular os colchetes de Poisson,derivar com relacao a variavel J1 diminui a ordem na funcao , e por tantodevemos fazer uma consideracao especial neste ponto.

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Consideremos uma funcao f : T n × B → R que seja homogenea de graur no conjunto S = (ξ, εd), onde consideramos ξ = J1 − Jr e J1 − Jr = O(εd).Temos o grau de homogeneidade gr [f ] = r. Entao , a derivada de f comrelacao a ξ possui um grau de homogeneidade

gr

[∂f

∂ξ

]

= r − 1

Na hora de calcular o colchete de Poisson entre duas funcoes , devemoslevar em conta este fato e, entao , se consideramos uma outra funcao definidano espaco de fases, g, com grau de homogeneidade s no conjunto S = (ξ, εd)o colchete de Poisson entre as duas funcoes deve ser separado da forma:

{f, g} = {f, g}1 + {f, g}m

onde o subındice 1 indica que e a parte del colchete calculado com as derivadascom relacao as variaveis θ1 e ξ e o subındice m as restantes.

Os graus de homogeneidade ficam

gr [{f, g}1] = r + s− 1

gr [{f, g}m] = r + s

Isto obriga a considerar o colchete sempre como composto por duas com-ponentes: aquela que transforma o grau de homogeneidade e aquela que opreserva.

3.4 As Equacoes de Perturbacao

Para obter as equacoes de perturbacao precisamos considerar desenvolvimen-tos em serie das funcoes presentes na condicao de conservacao da energia (7).

A teoria de series de Lie para sistemas ressonantes presupoe a introducao deum Hamiltoniano que descreva a geometria da ressonancia. Chamemos aeste Hamiltoniano Fl, onde l indica o grau de homogeneidade no conjuntoS = (ξ, εd). Entao , o desenvolvimento do Hamiltoniano original pode seescrever como

H(θ, J) = Fl + Fl+1 + ...

Para o Hamiltoniano nas novas variaveis vamos supor um desenvolvi-mento similar:

H∗(θ∗, J∗) = H∗l +H∗

l+1 + ...

16

O gerador de Lie W ∗ possui um desenvolvimento1

W ∗(θ∗, J∗) = W ∗2 +W ∗

3 + ...

As equacoes de perturbacao sao obtıdas substituindo estes desenvolvi-mentos na eq. (7) e igualando termos da mesma ordem em S = (ξ, εd).

Desta maneira obtemos

H∗l = Fl(θ

∗, J∗)

H∗l+1 = Fl+1(θ

∗, J∗) + {Fl(θ∗, J∗),W ∗

2 }1

H∗l+2 = Fl+2(θ

∗, J∗) + {Fl+1(θ∗, J∗),W ∗

2 }1 + {Fl(θ∗, J∗),W ∗

2 }m +

+1

2{{Fl(θ

∗, J∗),W ∗2 }1,W

∗1 }1 + {Fl(θ

∗, J∗),W ∗3 }1

... =...

A primeira equacao nao trivial e a segunda, onde temos duas funcoes in-determinadas: H∗

l+1 e W ∗2 . Se de alguma maneira resolvemos esta equacao ,

a proxima equacao tem como incognitas as funcoes H∗l+2 e W ∗

3 , e assim pordiante.

Em geral, a k−esima equacao homologica tem a forma:

H∗l+k = Ψk + {Fl,W

∗k+1}

onde as funcoes Ψk sao obtıdas uma vez resolvidas as equacoes das ordensanteriores.

Esta ultima equacao fica particularmente simples se para o Hamiltoni-ano ressonante obtemos as variaveis angulo-acao , (w,Λ) de maneira talde que o Hamiltoniano toma a forma Fl = Fl(Λ). Nestas variaveis, aequacao homologica toma a forma

H∗l+k = Ψk −

∂Fl

∂Λ∗1

∂W ∗k+1

∂w∗1

Novamente, a equacao homologica tem duas funcoes indeterminadas, epara resolve-la adoptamos a media

H∗l+k =

1

(2π)n

∫ 2π

0...∫ 2π

0Ψkdw

∗1....dw

∗n = Ψ

(S)k

1A condicao de que o menor grau de homogeneidade comece em dois vem do fato deque Fl, {Fl, W

∗

1}1, {{Fl, W

∗

1}1, W

∗

1}1, etc. possuem todos a mesma ordem, gerando uma

indeterminacao (para detalhes ver Ferraz-Mello, S. 2007).

17

onde o ındice (S) indica secular.Isto e, o Hamiltoniano H∗ e escolhido de maneira tal que nao dependa dos

angulos. Entao , com os termos restantes, os quais sao periodicos, obteremosa funcao W ∗

k+1, da maneira:

W ∗k+1 =

(∂Fl

∂Λ∗1

)−1 ∫(Ψk −H∗

l )dw∗1 =

(∂Fl

∂Λ∗1

)−1 ∫Ψ

(P )k dw∗

1

onde o ındice (P ) indica periodico.Sera desta maneira que procuraremos os geradores de Lie, para os modelos

que estudaremos.Nas nossas aplicacoes, vamos considerar mais termos crıticos, de curto e

longo perıodo e, portanto, a abordagem sera um pouco diferente. No capıtulo6 deste trabalho consideraremos estas particularidades.

18

4 Sobre os desenvolvimentos em serie ao re-

dor de uma Ressonancia

Neste capıtulo vamos analisar os diferentes tipos de desenvolvimentos quedevem ser adotados para pesquisar solucoes formais em serie de potenciasno caso em que uma ressonancia acontece. Este estudo e feito mediante aaplicacao do Teorema de Preparacao de Weierstrass (Goursat, J. B. 1916,§357) que permite determinar os diferentes sistemas cıclicos de raızes daequacao de Hamilton-Jacobi, considerada como uma equacao algebrica sin-gular na origem. Cada sistema cıclico possui um unico desenvolvimento emserie de Puiseux (Valiron, 1951, secao 2) que se correspondem com as seriesadotadas, para a procura de solucoes formais.

4.1 Introducao

O primeiro passo numa aplicacao de uma teoria de perturbacoes e a su-posicao de que as funcoes podem ser desenvolvidas em serie de potencias deum certo parametro, que e considerado como pequeno. E bem conhecidoque se o problema e nao ressonante as funcoes podem ser desenvolvidas empotencias inteiras do pequeno parametro, cuja convergencia estara sujeita ascondicoes do Teorema KAM. No caso do problema restrito dos tres corpos,o pequeno parametro sera a massa do corpo perturbador. Quando os corposenvolvidos satisfazem uma relacao de ressonancia, os desenvolvimentos naosao em potencias inteiras, mas em raiz quadrada (Poincare, H. 1892, cap.XIX §201) ou em ızes cubicas do pequeno parametro (Garfinkel, B., 1982;Ferraz-Mello, 1985a, 1985b). A questao e determinar analıticamente qualtipo de desenvolvimento deve ser usado. Neste capıtulo abordaremos esteproblema.

4.2 Pontos singulares de uma equacao algebrica

4.2.1 O teorema de Preparacao de Weierstrass

Teorema (Weierstrass): Seja F (x, ε) uma funcao analitica nas variaveis com-plexas x, ε talque F (0, 0) = 0. Consideremos que F pode ser expressa comouma serie:

F (x, ε) = A0 + A1(ε)x+ ...+ +An(ε)xn + ... (8)

19

onde cada coeficiente Aj e uma serie de potencias em ε. Se para ε = 0 aequacao F (x, 0) = 0 tem x = 0 como raiz de multiplicidade k, entao F (x, ε)pode ser fatorizada como

F (x, ε) = [xk + αk−1(ε)xk−1 + ...+ α1(ε)x+ α0]G(x, ε) (9)

onde as funcoes αj(ε) sao analıticas em ε, αj(0) = 0 e a funcao G satisfazG(0, 0) 6= 0.

Nos vamos apenas aplicar o resultado. Uma demostracao deste teoremapode ser achada em Goursat (Goursat, J. B. 1916, §357).

4.2.2 Pontos Crıticos. Series de Puiseux

Para procurar solucoes em serie de Puiseux vamos estudar as raızes daequacao F (x, 0) = 0. Numa vizinhanca da origem do plano complexo, asraızes da equacao (8) sao as raızes da equacao xk+αk−1(ε)x

k−1+...+α1(ε)x+α0 = 0. Consideremos D ∈ C um dominio que contem a origem (da variavelε). Para algum valor de ε ∈ D, e.g., ε0 vamos estudar o comportamento dasraızes da eqn. (8) mudando ε0, considerado como um parametro.

Sejam x01, x

02, ...., x

0k as raızes da eqn.(8) para um certo ε0. Consideremos

a transformacao a um parametro ϑ : C × [0, k] → C definida como:

(ε0, l) → ε0 exp(i2πl), 0 ≤ l ≤ k (10)

A eqn. (8) e transformada em

xk + αk−1(ε0 exp(i2πl))xk−1 + ... + α1(ε0 exp(i2πl))x+ α0(ε0 exp(i2πl)) = 0(11)

Agora, os ındices superiores 0 indicam as raızes para l = 0. E evidenteque para valores inteiros de l, as raızes voltam a ser as mesmas, o problemaconsiste em considerar as mudancas em x quando l muda continuamente.

Introduzamos a seguinte notacao: Seja xmr a r − esima raiz da equacao

(8) para l = m. Um resultado da teoria de funcoes e que para cada r fixo,xm

r e uma funcao contınua no parametro m.Definicao : Consideremos a equacao xk+αk−1(ε)x

k−1+...+α1(ε)x+α0 =0. Um subconjunto de raızes Sm = {x0

1, x02, .., x

0m, } ∈ C, m ≤ k forma um

sistema cıclico de ordem m se e somente se xmj = x0

j .A partir desta definicao podemos enunciar o seguinte lema:

20

Lema (Goursat): As raızes da equacao xk + αk−1(ε)xk−1 + ...+ α1(ε)x+

α0 = 0, as quais sao nulas para ε = 0 formam um ou mais sistemas cıclicosna vizinhanca da origem.

Cada sistema cıclico possui uma unica serie de Puiseux: Se mudamos avariavel ε0 = ε

′m0 depois de uma volta ao redor da origem (na nova variavel)

voltamos ao mesmo valor ε0. Ja que a raiz considerada esta no conjuntoSm depois das m voltas retorna ao mesmo valor. Isto indica que cada raiz,considerada como funcao de ε′, e uma funcao uniforme e possui, portanto, odesenvolvimento

x =∞∑

j=0

λjε′

0

j, (12)

onde x representa a um elemento de Sm. Se voltamos a ε0, obtemos

x =∞∑

j=0

λjεj/m0 , (13)

que e o desenvolvimento de Puiseux para cada elemento de Sm.Para determinar em forma pratica quantos sistemas cıclicos ha, temos a

proposicao:Proposicao: Um polinomio P (x) ∈ C[[x]] no anel de polinomios com coe-

ficientes analıticos possui um so sistema cıclico se e somente se e irredutıvel

4.3 Aplicacao ao problema restrito dos tres corpos em

ressonancia

4.3.1 Variaveis Ressonantes

Para fazer uma aplicacao do paragrafo precedente consideremos um asteroidese movendo ao redor do Sol numa relacao ressonante (p+1) : p de movimentosmedios com Jupiter. Consideremos as variavies ressonantes (Ferraz-Mello,1987):

θ1 = (p+ 1)λJ − pλ− J1 = L−Gθ2 = (p+ 1)λJ − pλ−J J2 = G+ 1

nJ

Λθ3 = λ− λJ J3 = (p+ 1)L+ p

nJ

Λ(14)

onde λ, sao a longitude media e o argumento do perielio respectivamente.O subındice indica Jupiter. nJ e o movimento medio de Jupiter; L, G sao asvariavies de Delaunay usuais e Λ e o momento associado a λJ no plano defase estendido.

21

4.3.2 Modelo do Pendulo: Potencias em raiz quadrada da massa

de Jupiter

Depois de fazer a primeira media sobre o angulo rapido θ3 o Hamiltoni-ano pode ser desenvolvido ao redor de a um valor de referencia J3 o quale constante. Escolhemos J3 = Lresonant. Ja que L − J∗

3 = −p(J∗1 + J∗

2 ) odesenvolvimento resulta:

H∗0 = − µ2

2(J∗3 )2

− µ2

2

∞∑

i=3

(i+ 1)

J2+i3

pi(J∗1 + J∗

2 )i (15)

− nJJ∗3 − gJJ

∗2 − εR

Para a aplicacao da teoria de perturbacoes para sistemas ressonantes(Ferraz-Mello, 1997) separamos do Hamiltoniano o termo que contem oangulo lento θ1 e podemos escrever:

F ∗0 =

1

2ν11ξ

2 − εR1 cos θ1 −µ2

2

∞∑

i=3

(i+ 1)

J2+i3

piξi − ε∆R (16)

onde ξ = J∗1 + J∗

2

A equacao de Hamilton-Jacobi se transforma em uma equacao algebrica

F ∗0 (ξ, ε) =

1

2ν11ξ

2 − εR1 cos θ1 −µ2

2

∞∑

i=3

(i+ 1)

J2+i3

piξi − ε∆R = 0, (17)

que satisfaz F ∗0 (ξ, ε) = 0

Como F (ξ, 0) = 0 tem ξ = 0 como raiz com multiplicidade 2 e naodepende de potencias maiores que 2 em ε, podemos escrever a equacao

F (ξ, ε) = (ξ2 + bε)G(ξ, ε) (18)

Seguindo Valiron (Valiron, 1950, secao 2) e Dieudonne (Dieudonne 1971,secao 5.2) podemos escrever

√ε/c = ξ(1 + ψ(ξ)), (19)

e numa vizinhanca da origem podemos escrever:

ξ =√ε/c+ λ2

(√ε/c

)2

+ ...+ λn

(√ε/c

)n

+ ... (20)

o que e equivalente a dizer que ξ = O(√ε). Este resultado permite procurar

as funcoes geratrizes como series potencias da raiz quadrada na massa deJupiter.

22

4.3.3 Modelo de Andoyer: Potencias em raiz cubica da massa de

Jupiter

Em alguns casos, quando a excentricidade do asteroide e pequena, pode-

mos aproximar o momento J1 = Le2/2 ou, em excentricidade, e =√

2J1/L

(Ferraz-Mello, 1987). Com esta aproximacao o termo principal ressonantedo Hamiltoniano pode se escrever

F0 = aξ2 + ε(√

2J1 cos θ1 + β cos θ2

)+ ordem superior (21)

Se usamos a integral de Sessin G (Ferraz-Mello, 1987) as novas variaveis sao

Θ = arctan(H/K)

J =1

2(K2 +H2) (22)

G = J1 + J2 −J = O(J )

onde K =√

2J1 cos θ1 + βeJ cos θ2, H =√

2J1 sin θ1 + βeJ sin θ2. Nestasvariaveis, o Hamiltoniano pode ser escrito como

F0 = 2aGJ + aJ 2 + ε√

2J cos Θ + higher orders (23)

Se x =√

2J , a equacao de Hamilton-Jacobi toma a forma:

F = ax2 + bx4 + εµx+ O(εx2) = 0 (24)

µ contem o cosseno e o coeficiente. Dividindo a equacao por x obtemosF = ax+ bx3 + εµ+O(εx) = 0. Levando em conta que a = O(x2) podemosnotar que F (0, 0) = 0. A equacaoF (x, 0) = 0 tem x = 0 como raiz commultiplicidade 3. Aplicando o teorema de preparacao de Weierstrass podemosescrever:

F = (x3 + α2(ε)x2 + α1(ε)x+ α0(ε))G(x, ε) (25)

Falta ainda provar que o polinomio x3 + α2(ε)x2 + α1(ε)x+ α0(ε) e irre-

dutıvel. Para provar isto, podemos fazer uso de que a = O(x2) e substituirna equacao , obtendo:

F = ax3 + εµ+ O(εx) = 0 (26)

Numa vizinhanca da origem podemos escrever:

(ε

a′

)1/3

= x(1 + φ(x)) (27)

23

Em forma analoga podemos obter a serie de Puiseux para o Hamiltonianode Andoyer (Sessin, W., 1981; Garfinkel, B., 1982; Ferraz-Mello, S., 1985a,1985b)

x =(ε

a′

)1/3

+ λ2

(ε

a′

)2/3

+ ... (28)

Voltando a relacao x =√

2J obtemos que J = O(ε2/3) que permite suporque as funcoes geratrizes podem ser desenvolvidas em potencias de ε2/3.

Neste capıtulo apresentamos um metodo que permite obter os diferentesdesenvolvimentos em serie quando estamos em presenca de uma ressonancia.O metodo e baseado numa aplicacao do Teorema de Preparacao de Weiers-trass o qual nos permite estudar as singularidades da equacao de Hamilton-Jacobi, na hora da aplicacao do teorema da funcao implıcita.

Os exemplos que apresentamos sao aqueles que vamos usar em nossasaplicacoes, mas os teoremas sao gerais e fornecem o metodo para determinaros desenvolvimentos.

24

5 Aplicacao ao Problema Restrito dos Tres

Corpos Elıptico

Neste capıtulo vamos expressar a funcao Hamiltoniana do problema restritodos tres corpos a fim de poder aplicar a teoria de perturbacoes e, dessamaneira, obter os elementos proprios dos asteroides do grupo de Hilda.

O primeiro caso a estudar e o classico problema restrito dos tres cor-pos, isto e o problema onde fazemos a suposicao de que a orbita de Jupiterso e modificada pela acao dos planetas maiores do sistema solar na pre-cessao uniforme do perielio.

O segundo modelo a estudar e o conhecido como problema restrito dostres corpos estendido. Este modelo inclui as perturbacoes que sofre a orbitade Jupiter por causa dos planetas gigantes do sistema solar.

As perturbacoes dos planetas gigantes produzem, na orbita de Jupiter,variacoes no argumento do perielio, na excentricidade, na inclinacao e nalongitude no nodo ascendente. Para o caso plano, vamos considerar as va-riacoes na excentricidade e na longitude do perielio, as quais sao fornecidaspela teoria secular de Lagrange–Laplace.

Em ambos modelos vamos considerar o caso onde uma ressonancia ocorre.Em particular, vamos considerar a relacao de ressonancia de movimentosmedios 3:2.

5.1 Modelo Classico. Orbita de Jupiter com Precessao

Uniforme

5.1.1 Variaveis e Equacoes

Consideremos um asteroide em movimento ao redor do Sol no mesmo planoque Jupiter e em ressonancia de movimentos medios 3:2 com este planeta.Consideremos que o planeta esta sobre uma orbita que precessiona uniforme-mente. Sejam a, e, , aJ , eJ , J e nJ os semieixos maiores, excentricidades eargumentos do perielio do asteroide e Jupiter respectivamente e nJ e o movi-mento medio do planeta. Chamemos gJ a velocidade de precessao do perieliode Jupiter devida aos efeitos gravitacionais dos outros planetas. Para levarem conta a dependencia temporal, vamos trabalhar no espaco de fases esten-dido (Ferraz-Mello, 2007). Neste espaco os elementos canonicos do asteroidesao:

25

3 .8 3 .9 4 .0 4 .1

S E MI - MAJOR AX I S (AU )

0 .0

0 .1

0 .2

0 .3

EC

CE

NT

RIC

ITY

Figura 1: Distribuicao dos Hildas em semieixo maior e excentricidade . A li-nha solida representa o limite de convergencia da desenvolvimento de Laplaceda funcao perturbadora (ver Ferraz-Mello, 1994).

λ , L =√µa

, G− L = L(√

1 − e2 − 1) (29)

t , T

onde L, G sao as variaveis planas de Delaunay e T e a coordenada canonicaconjugada do tempo t.

No caso da ressonancia 3:2, usamos as variaveis ressonantes usuais (Ferraz-Mello, 1987)

θ1 = 3λJ − 2λ−

θ2 = 3λJ − 2λ−J (30)

θ3 = λ− λJ

J1 = L−G

J2 =nJG+ TnJ − gJ

(31)

J3 = 3L+ 2(gJG+ T )

nJ − gJ.

26

As equacoes de movimento sao

θi =∂H

∂Ji(32)

Ji = −∂H∂θi

onde o Hamiltoniano se escreve como

H = − µ2

2(J3 − 2(J1 + J2))2+ T − εR, (33)

R e a funcao perturbadora e ε = GmJ/m⊙. Para os calculos que faremosmais adiante, podemos notar que se T e eliminado das equacoes (31) (nadefinicao de J3) obtemos L = J3 − 2(J1 + J2).

Ja que os Hildas tem geralmente excentricidades maiores do que o raiode convergencia do desenvolvimento classica em coeficientes de Laplace (vera figura), no nosso modelo o desenvolvimento usado e o desenvolvimento deBeauge (Beauge, 1996) o qual nao e dado por uma serie infinita, e por tanto,valida para todos os valores da excentricidade.

A desenvolvimento assimetrico tampouco pode ser usada pelo fato de queos Hildas possuem uma amplitude de libracao grande, que nao permite usareste tipo de desenvolvimento.

Na proxima secao vamos desenvolver a funcao perturbadora nos termosformulados por Beauge.

Esta desenvolvimento tem a forma

R =1

aJ

4∑

i=0

15∑

j=0

15∑

k=0

15∑

l=−15

15∑

m=−15

15∑

n=−15

Rijklmn ×

× (α− αres)iejek

J cos(lθ1 +mθ2 + nθ3) (34)

com

e =

√√√√1 −[

1 − J1

J3 − 2(J1 + J2)

]2

,

a = [J3 − 2(J1 + J2)]2 /µ, (35)

onde Rijklmn sao coeficienes constantes, α = aaJ

e αres = 23

23 .

Para nossa aplicacao vamos introduzir uma pequena modificacao da funcaoperturbadora porque faremos o desenvolvimento em potencias de α − αres

em vez de α. Por esta razao , adotaremos ate a potencia 4 nesta quantidade,pois numa vizinhanca da ressonancia e uma quantidade pequena.

27

5.2 O Problema Estendido. Inclusao das Perturbacoes

Seculares na Orbita de Jupiter

5.2.1 Variaveis e Equacoes

Nesta secao vamos considerar as perturbacoes seculares da orbita de Jupiter,dada pela teoria secular de Lagrange-Laplace:

eJ exp(iJ) =8∑

j=5

Aj exp(i(gjt+ νj)) (36)

onde as amplitudes Aj, frequencias gj e as fases νj poden ser obtıdos deNobili et al (1989).

Na tabela seguinte colocamos os valores usados neste trabalho:

Frequencia (”/yr) Fase (νj , em graus) Amplitudeg5 4.25749319 27.005 4.41872 × 10−2

g6 28.24552984 124.1994 -1.57002 × 10−2

g6 3.08675577 117.0516 1.8139 × 10−3

g5 0.67255084 70.7508 5.8 × 10−5

Para trabalhar com as perturbacoes seculares, vamos separar as expressoesem duas partes

eJ exp(iJ) = epJ exp(ip

J) +8∑

l=6

Al exp(iχl) (37)

onde o ındice (p) indica proprio, isto e epJ = A5,

pJ = g5t+ ν5 e χl = glt+ νl

(l = 6, 7, 8).A dependencia com o tempo e tambem, nesta abordagem, explıcita, pois

a longitude media e uma funcao linear no tempo, e a funcao perturbadoradepende desse angulo.

Para eliminar esta dependencia explıcita com o tempo, introduzimos maisgraus de liberdade associados com os argumentos da solucao secular paraJupiter, seguindo a ideia de Morbidelli e Moons (Morbidelli & Moons, 1993).Esta eliminacao e feita definindo novas coordenadas no espaco de fases, aquais sao funcoes lineares do tempo, e seus momentos conjugados.

28

coordenada momentoλ LλJ Λ G− L

(p)J G5

χ6 G6

χ7 G7

χ8 G8

Com esta extensao , o Hamiltoniano pode se escrever como

H = − µ2

2(J3 − 2(J1 + J2))2+ nJΛ + g5G5 + g6G6 + g7G7 + g8G8 − εR, (38)

onde R e a funcao perturbadora e ε = GmJ/m⊙.Na ressonancia 3:2, usamos as variaveis ressonantes estandar, como na

secao anterior, mas com a introducao das novas coordenadas que eliminama dependencia temporal

coordenada momentoθ1 = 3λJ − 2λ− J1 = L−G

θ2 = 3λJ − 2λ−(p)J J2 = G+ Λ

θ3 = λ− λJ J3 = 3L+ 2Λ

θ4 = (p)J J4 = G5 +G+ Λ

θl = χl+1 Jl = Gl+1 (l = 5, 6, 7)

As equacoes de movimento sao

θi =∂H

∂Ji

; Ji = −∂H∂θi

, (39)

onde o Hamiltoniano e agora

H = − µ2

2(J3 − 2(J1 + J2))2+3nJ(J1+J2)−nJJ3−g5J2+

8∑

l=6

glJl−1−εR. (40)

29

6 A Funcao Perturbadora

Para o problema restrito dos tres corpos, a funcao pertubadora e

R =1

∆− rrJ

r3J

(41)

onde∆ = |r− rJ | = (r2 + r2

J − 2rrJ cosS)1/2. (42)

S e o angulo entre o asteroide e Jupiter relativo ao Sol.Como foi mostrado por Ferraz-Mello (Ferraz-Mello, 1994), o desenvolvi-

mento Laplaciano nao pode ser usado para aplicacao no caso dos Hildas, jaque estes asteroides ficam fora da regiao de convergencia.

Por essa razao , neste trabalho vamos trabalhar com o desenvolvimentoda funcao perturbadora proposto por Beauge (Beauge, 1996). Este desen-volvimento e valido para todas as excentricidades excluındo regioes ondeacontecem singularidades associadas a colisioes entre Jupiter e o asteroide.

6.1 A aproximacao de Beauge. O parametro δ

O maior problema no desenvolvimento de R vem do termo ∆−1. Introduzindoa relacao ρ = r/rJ , obtemos da equacao . (42)

rJ

∆= (1 + ρ2 − 2ρ cosS)−1/2. (43)

Beauge centra o seu desenvolvimento em um ajuste polinomico da funcao

rJ

∆= (1 + x)−1/2. (44)

ondex = ρ2 − 2ρ cosS (45)

representando a funcao (1 + x)−1/2 por um polinomio de grau N na variavelx:

(1 + x)−1/2 ≃N∑

n=0

bnxn (46)

onde os coeficientes bn sao determinados numericamente partir de uma re-gressao linear.

30

- 1 . 0 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0

X

0 .0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1 .0

Y

Figura 2: Limites de validade da aproximacao de Beauge para asteroides emressonancia 3:2 com Jupiter para eJ = 0 e diferentes valores de δ. A curvagrossa preta mostra a posicao dos pontos onde xmin = −1 (curva de colisao ).As curvas naomarcadas adjacentes correspondem-se com δ = 0.001. Eixos:X = e cos θ1; Y = |e sin θ1|.

A variavel 1 + x e uma medida da proximidade da condicao inicial coma singularidade em 1

∆. Esta medida e igual a zero na singularidade e vai

crescendo a medida que vai se afastando da curva de colisao . Notemos queos valores de ρ e S nao sao por separado significantes, so e importante adistancia a singularidade.

O ajuste numerico e feito usando valores de x > −1 + δ, onde δ e umparametro positivo proximo a zero. Na aproximacao de Beauge, o numeronecessario de termos para representar ∆−1 depende da magnitude de ∆−1 naregiao a ser estudada:

Perto do mınimo de ∆−1, com poucos termos teremos uma boa repre-sentacao de (1 + x)−1/2.

Este numero cresce rapidamente assim que as orbitas vao se aproximando,ficando proximas a colisao (Beauge & Michtchenko, 2003).

Para o caso dos Hildas, δ > 0.1 uma boa aproximacao pode ser obtıdacom um numero razoavel de termos. Nesta tese, usaremos N = 15.

Os limites δ na comensurabilidade 3:2 (α ≃ 0.763) saomostrados na figura2 (para eJ = 0). O maximo valor (δ = 0.39) fica em e ∼ 0.51, θ1 = 0 (sobre o

31

eixo X). Este ponto e muito proximo a solucao estacionaria de corrotacao daressonancia asteroidal 3:2 (e1 = 0.45 para e2 → 0; ver Ferraz-Mello et al.,1993). As singularidades de ∆−1 estao sobre a curva preta grossa (curva decolisao ).

Introduzindo a expressao explıcita para x na equacao (46), temos

rJ

∆≃

N∑

k=0

n∑

j=0

ck(−2)j

(kj

)

ρ2k−j cosj S (47)

onde os ck sao coeficientes constantes, os quais podem ser obtidos a partirdos bk.

Como nesta tese fazemos uma teoria plana, isto e as orbitas de Jupitere do asteroide sao coplanares, introduzimos a definicao de S no caso plano:S = f − fJ + ∆. Escrevendo as potencias dos cossenos por multiplosdo argumento, e introduzindo a expressao plana de S, podemos reescrever aultima equacao como:

aJ

∆≃

N∑

k=0

N−k∑

i=0

2Ak,iαm(r1a1

)m(r2a2

)−m−1

cos k(f − fJ + ∆) (48)

onde m = 2i+ k.O proximo passo e a transformacao da anomalia verdadera em anoma-

lia media. Para fazer isto, usamos os desenvolvimentos de Fourier para oproblema dos dois corpos:

(r

a

)n

cos (kf) =∞∑

j=0

(Xn,kj +Xn,k

−j ) cos (jℓ) (49)

(r

a

)n

sin (kf) =∞∑

j=0

(Xn,kj −Xn,k

−j ) sin (jℓ)

onde o indices superiores n podem ser tanto positivos como negativos. Oscoeficientes Xn,k

j sao os coeficientes de Hansen (ver, para detalhes, Tisserand,1889, cap. XV §96; Kaula, 1962). Os coeficientes de Hansen sao funcoes daexcentricidade e podem ser desenvolvidos em serie de potencias nas mesmas:

Xn,kj = e|k−j|

∞∑

s=0

Y n,ks+u1,s+u2

e2s (50)

(u1 = max (0, j − k) e u2 = max (0, k − j)) onde os numeros Y n,ks+u1,s+u2

sao osoperadores de Newcomb.

32

Os operadores de Newcomb nao dependem das excentricidades e, portanto, sao sempre os mesmos para todas as condicoes iniciais; eles obede-cem relacoes de recorrencia o que permite que sejam calculados facilmentepara todos os subındices (Brouwer & Clemence, 1961, cap. XV §4).

Introduzindo a eq. (50) na eq. (49), se obtem

(r

a

)n

cos (kf) =∞∑

i=0

∞∑

m=−∞

Bn,k,i,mei cos (mℓ) (51)

(r

a

)n

sin (kf) =∞∑

i=0

∞∑

m=−∞

Cn,k,i,mei sin (mℓ)

onde Bn,k,i,m e Cn,k,i,m sao coeficientes constantes expressos como funcoesdos operadores de Newcomb. Estes coeficientes, primeiro calculados por Le-verrier, nao dependem dos parametros orbitais e podem ser calculados umaunica vez. Eles tem propriedades interesantes. A mais importante delas e apropriedade de d’Alembert: Bn,k,i,m = Cn,k,i,m = 0 onde |m| < i ou quando|m| − i e impar.

O ultimo destes desenvolvimento e uma serie de potencia em e convergentepara e < 0.6627434 · · · (ver para detalhes Wintner, 1941, cap. IV).

Introduzindo agora a eq. (51), e suas analogas para Jupiter, na expressao daparte direta da funcao perturbadora, e reordenando os termos, obtemos:

1

∆≃ 1

aJ

∞∑

j,k=0

∞∑

m,n=−∞

N∑

l=0

N−l∑

i=0

Al,iD2i+l,j,k,m,nα2i+leiej

J cos (mℓ− nℓJ + l∆)

(52)onde os coeficientes D2i+l,j,k,m,n estao dados por:

D2i+l,j,k,m,n =1

2γmγn

(B2i+l,l,j,|m| + sign(m)C2i+l,l,j,|m|) × (53)

(B−2i−l−1,l,k,|n| + sign(n)C−2i−l−1,l,k,|n|)

e γm e uma funcao definida como:

γm =

{1/2 if m = 01 if m > 0.

(54)

Esta e a parte direta da funcao perturbadora.

33

6.2 A parte Indireta

A funcao que aparece na parte indireta de R e

rrJ

r3J

. (55)

Comparando as eqn. (41) e eq. (48), podemos ver que a contribuicao temexatamente a mesma forma funcional como um dos termos da desenvolvi-mento (eqn. 48). Isto significa que podemos adicionar a parte indireta dire-tamente na definicao dos coeficientes usados na secao anterior.

Isto pode ser feito simplesmente modificando o coeficiente Ak,i com k = 1,i = 0 da maneira:

A1,0 −→ A1,0 − 1/2. (56)

Desta maneira, podemos obter uma unica expressao em serie para a funcaoperturbadora do problema dos tres corpos no caso planetario em coordenadasrelativas heliocentricas. E importante notar que os coeficientes sao constantespara todas as condicoes iniciais, e somente os determinamos uma vez so.(para detalhes, ver Beauge, 1996; Beauge & Michtchenko, 2003.)

Cada termo em R depende das anomalias medias ℓ ,ℓJ e da diferenca entreas longitudes do perielio. ∆. Em termos das variaveis canonicas usadasnesta teoria, estes argumentos podem ser escritos como (m−ℓ)θ1+(ℓ−n)θ2+(3m− 2n)θ3.

6.3 Inclusao da solucao secular para a orbita de Jupiter

Comecando com a expressao geral do desenvolvimento de Beauge para afuncao perturbadora

R =1

aJ

4∑

i=0

15∑

j=0

15∑

k=0

15∑

l=−15

15∑

m=−15

15∑

n=−15

Rijklmn ×

(α− αres)iejek

J cos(lθ1 +mθ02 + nθ3), (57)

vamos agora introduzir os efeitos das perturbacoes dos planetas gigantes naorbita de Jupiter, dada pela teoria secular de Lagrange-Laplace eqns. (37).

Necessitamos achar uma expressao para ekJ cos(lθ1 ±mθ0

2 + nθ3) (usamosos dois sinais para trabalhar com m positivos):

ekJ cos(lθ1 ±mθ0

2 +nθ3) = ekJ cosmθ0

2 cos(lθ1 +nθ3)∓ ekJ sinmθ0

2 sin(lθ1 +nθ3)(58)

34

Chamando Dkm = ek

J cosmθ02 e Ek

m = ekJ sinmθ0

2, podemos escrever

ekJ cos(lθ1 ±mθ0

2 + nθ3) = Dkm cos(lθ1 + nθ3) ∓ Ek

m sin(lθ1 + nθ3) (59)

6.3.1 As Expressoes de Dkm e Ek

m

A partir das equacoes (37), multiplicando o complexo conjugado por exp (iψ)(ψ = 3λJ − 2λ), obtemos

eJ exp(iθ02) = e

(p)J exp(iθ2) +

8∑

j=6

Aj exp[i(ψ − χj)] (60)

o que pode ser escrito como

eJ exp(iθ02) = e

(p)J exp(iθ2) +

8∑

j=6

Aj exp[i(θ2 + θ4 − θj−1)]. (61)

Com essas expressoes vamos expressar Dkm e Ek

m. Das regras de d’Alembert,sabemos que k = m,m+2, m+4, .... Por tanto, vamos calcular primeiro Dm

m

e Emm .Para simplificar a notacao , introduzimos a variavel complexa Xm

k =ek

J exp(imθ02). Temos, entao , Dm

m = Re[Xmm ] e Em

m = Im[Xmm ].

A partir deXmm = X1

1X(m−1)(m−1) , temos

Dmm = Re[X1

1X(m−1)(m−1) ] = D1

1D(m−1)(m−1) −E1

1E(m−1)(m−1)

Emm = Im[X1

1X(m−1)(m−1) ] = D1

1E(m−1)(m−1) + E1

1D(m−1)(m−1) (62)

Se usamos

cos[(m− 2)θ02] = cos θ0

2 cos[(m− 1)θ02] + sin θ0

2 sin[(m− 1)θ02]

e multiplicamos por emJ obtemos

E11E

m−1m−1 +D1

1Dm−1m−1 = e2JD

m−2m−2.

e combinando com (62) obtemos as relacoes de recorrencia

Dmm = 2D1

1D(m−1)(m−1) − e2JD

(m−2)(m−2)

Emm = D1

1E(m−1)(m−1) + E1

1D(m−1)(m−1) (63)

35

Para obter Dkm e Ek

m precisamos levar em conta o fato que k = m,m +2, m+ 4, .... Por tanto, e preciso calcular

Dmm, e

2JD

mm, e

4JD

mm, ...

e o mesmo para Ekm.

Para fazer estes calculos, precisamos as expressoes para e2J , e4J , e6J , etc.Das relacoes de recorrencia, e levando em conta que e2JD

m−2m−2 = Dm

m−2, temos

Dm+2m = 2D1

1Dm+1m+1 −Dm+2

m+2 (64)

e, em geral, conseguimos as relacoes que nos permitem obter todos os termosDm+2l

m Em+2lm como

Dm+2lm = 2D1

1Dm+2l−1m+1 −Dm+2l

m+2

Em+2lm = E1

1Dm+2l−1m−1 +D1

1Em+2l−1m−1 (65)

Com isto, completamos os calculos dos termos Dkm e Ek

m. Em anexo vamoscolocar os primeiros coeficientes Dk

m e Ekm.

6.3.2 A Expressao Final da Funcao Perturbadora

Uma vez que temos as expressoes para os termos Dkm e Ek

m, necessitamosvoltar a funcao pertubadora, para dar uma expressaomais compacta e podercumprimentar o processo de media

Como Dkm e uma serie de cossenos e Ek

m uma serie de senos, podemosescrever

Dkm cos(lθ1 + nθ3) ± Ek

m sin(lθ1 + nθ3) =∑

k2,m2,r,s,t,u

e(p)J

k2Bkmk2m2rstu × (66)

× cos(lθ1 +m2θ2 + nθ3 + rθ4 + sθ5 + tθ6 + uθ7)

onde os ındices k2 e m2 tem k e m como limite.Entao , a funcao perturbadora pode se escrita como

R =1

aJ

4∑

i=0

∑

j

∑

k

∑

l

∑

k2

∑

m

∑

m2

∑

n

∑

r

∑

s

∑

t

∑

u

RijklmnBkmk2m2rstu (67)

× (α− αres)ieje

(p)J

k2 cos(lθ1 +m2θ2 + nθ3 + rθ4 + sθ5 + tθ6 + uθ7),

36

Definindo

Pijk2lm2nrst =∑

k,m

RijklmnBkmk2m2rstu (68)

temos que

R =1

aJ

4∑

i=0

∑

j

∑

k

∑

l

∑

k2

∑

n

∑

m2

∑

r

∑

s

∑

t

∑

u

Pijk2lm2nrst(α− αres)ieje

(p)J

k2 ×

× cos(lθ1 +m2θ2 + nθ3 + rθ4 + sθ5 + tθ6 + uθ7), (69)

37

7 Obtencao de Elementos Proprios

A construcao dos elementos proprios, comecando dos elementos osculadores,consiste em uma sequencia de passos, os quais podem ser resumidos como osseguintes:

• Obtencao dos elementos semi-medios.Estes elementos sao os obtıdos a partir de uma media sobre o termo decurto perıodo, isto e, na diferenca de longitudes medias do asteroidee o planeta. Para o caso nao ressonante, esta media proporciona oselementos medios (Milani & Knezevic, 1991)

• Obtencao dos elementos medios.Este segundo passo e o de maior importancia e onde devemos aplicar ateoria de series de Lie para sistemas ressonantes. Esta aplicacao, parao caso asteroidal, esta composta dos seguintes passos:

– Desenvolvimento do Hamiltoniano ao redor da condicao de res-sonancia.

– Construcao de um kernel de Hori integravel que descreva a topo-logia da ressonancia.

– Integracao do kernel integravel.

– Resolver termo-a-termo as equacoes de perturbacao, obtendo afuncao geratriz

• Obtencao dos elementos propriosUma vez que foi feita a segunda media, o Hamiltoniano resultante de-pende de angulos nao criticos, os quais podem ser eliminados por umamedia (via series de Lie, nao ressonante), dando como resultado o Ha-miltoniano independente dos angulos, e, em consequencia, definindovariaveis acao invariantes. Estas variaveis serao denominadas Elemen-tos Proprios Dinamicos.

Com os elementos proprios dinamicos e fazendo as transformacoes inver-sas (obtıdas nos passos anteriores), podremos definir elementos KeplerianosEquivalentes -na nossa teoria plana- o semieixo e a excentricidade, a e e.

Neste capıtulo vamos obter os elementos proprios dinamicos nos dois mo-delos do problema restrito dos tres corpos.

38

7.1 Calculo de Elementos Proprios no problema Classico.

O Modelo do Pendulo

7.1.1 Primeira Media: Os Elementos Semi-Medios

A primeira media e feita sobre o angulo rapido θ3 que e a diferenca entreas longitudes medias. Esta media e feita aplicando a teoria de series de Liepara sistemas nao ressonantes (Hori, 1966; Ferraz-Mello, 1990) ate a primeiraordem no parametro ε.

Comecando com o Hamiltoniano dado pela equacao (40) vamos construiruma transformacao canonica que nos conduza a um Hamiltoniano transfor-mado

H∗ = EW (1)H(θ∗1, θ∗2, θ

∗3; J

∗1 , J

∗2 , J

∗3 ) =

∞∑

l=0

εl

l!Dl

W (1)(H). (70)

Se fazemos a suposicao

H∗ = H∗0 + εH∗

1 + ε2H∗2 + ε3H∗

3 + ..., (71)

W (1) = W(1)1 + εW

(1)2 + ... , (72)

e introduzimos estes desenvolvimentos nas equacoes (70), obtemos asequacoes de perturbacao

H∗0 =

(

− µ2

2L2+ T

)

(J∗

1 ,J∗

2 ,J∗

3 )

,

H∗1 =

(R+

{H∗

0 ,W(1)1

})

(θ∗1 ,θ∗2 ,θ∗3 ;J∗

1 ,J∗

2 ,J∗

3 ), (73)

......

Para resolver a equacao homologica adotamos a regra de media

H∗1 =< R >θ∗3

(74)

e obtemos o gerador de Lie de primeira ordem

W(1)1 =

1

aJ

4∑

i=0

15∑

j=0

15∑

k=0

15∑

l=−15

15∑

m=−15

15∑

n=−15

Rijklmn

lΓ1 +mΓ2 + nΓ3×

(α∗ − αres)ie∗jek

J sin(lθ∗1 +mθ∗2 + nθ∗3) (75)

39

onde

Γj =∂H∗

0

∂J∗j

, j = 1, 2, 3. (76)

As funcoes e∗(J∗) e a∗(J∗) sao definidas da mesma relacao funcional quee(J) e a(J) (eqns. 35).

Os elementos semi-medios e os elementos osculadores estao relacionadospela transformacao canonica gerada por W (1), a qual, ate primeira ordem e

θi = θ∗i + {θ∗i ,W(1)1 }

Ji = J∗i + {J∗

i ,W(1)1 }. (77)

O Hamiltoniano semi-medio e, entao ,

H∗ = H0(J∗) − ε

1

aJ

4∑

i=0

15∑

j=0

15∑

k=0

15∑

l=−15

15∑

m=−15

Rijklm0 ×

(α∗ − αres)ie∗jek

J cos(lθ∗1 +mθ∗2). (78)

7.1.2 Segunda Media: Os Elementos Medios

Como foi dito na introducao ao capıtulo, para a obtencao do elementos mediosdevemos seguir o seguinte roteiro:

• Expandir o Hamiltoniano H∗ ao redor da condicao de ressonancia;

• Separar o Hamiltoniano em duas partes:

H∗(θ∗, J∗) = H∗pendulo + ∆H∗; (79)

• Integrar o pendulo nas variaveis {θ∗1, (J∗1 + J∗

2 )} e obter as correspon-dentes variaveis angulo-acao (w∗

1,Λ∗1);

• Estender a transformacao para incluir o outro grau de liberdade com aTransformacao de Henrard-Lemaıtre;

• Obter as equacoes de perturbacao ;

• Fazer a media no angulo w∗1.

40

7.1.3 Desenvolvimento do Hamiltoniano na ressonancia

Uma vez feita a primeira media, o Hamiltoniano resultante nao depende doangulo θ∗3. Entao , J∗

3 e uma constante. Este valor constante sera fixado novalor de referencia

J∗3 = Lres =

√µares = [

2µ2

3nJ

]1/3

e desenvolvemos L∗ ao redor desse valor. Como L∗ = J∗3 − 2(J∗

1 + J∗2 ), isto e

equivalente a desenvolver o Hamiltoniano em serie de Taylor em ξ = J∗1 +J∗

2 =0.

A parte nao perturbada do Hamiltoniano pode ser escrita como:

H∗0 = −µ

2

2

∞∑

i=0

(i+ 1)

(J∗3 )(2+i)

2i(J∗1 + J∗

2 )i + 3nJ(J∗1 + J∗

2 ) − nJJ∗3 − gJJ

∗2 .

Introduzindo nres = µ2

(J∗

3 )3, H∗

0 pode se escrito:

H∗0 = − µ2

2(J∗3 )2

+ (3nJ − 2n)(J∗1 + J∗

2 ) − (80)

− µ2

2

∞∑

i=3

(i+ 1)

J2+i3

2i(J∗1 + J∗

2 )i − nJJ∗3 − gJJ

∗2 .

Devido a definicao de nres temos que 3nJ − 2nres = 0. O HamiltonianoH∗(θ∗, J∗) e de dois graus de liberdade onde θ∗1 e crıtico (ressonante) e θ∗2 ede longo perıodo.

Nas seguintes expressoes, vamos tambem desenvolver J∗1 numa vizinhanca

de −J∗2 usando

J∗1 = −J∗

2 + ξ (81)

E importante notar que nao consideramos que J∗1 e J∗

2 sao pequenos, masJ∗

1 + J∗2 e a quantidade pequena.

A funcao perturbadora e desenvolvida como:

R = R0 +∂R∂ξ

|ξ=0(J∗1 + J∗

2 ) + ...

onde∂R∂ξ

|ξ=0 =

[∂R∂a∗

∂a∗

∂ξ+∂R∂e∗

∂e∗

∂ξ

]

|ξ=0. (82)

41

Em ξ = 0 temos (ver as eqs. 35)

a∗|ξ=0 =J∗

32

µ

e∗|ξ=0 =

√√√√1 −(J∗

2 + J∗3

J∗3

)2

(∂a∗

∂ξ

)

|ξ=0 = −4J∗

3

µ(83)

(∂e∗

∂ξ

)

|ξ=0 = (−1)

1 −(J∗

2 + J∗3

J∗3

)2

−1/2

(J∗2 + J∗

3 )(2J∗2 − J∗

3 )

J∗3

3

Para calcular as derivadas parciais com relacao a ξ nas eqs. (83), usamosa eq. (81) e consideramos o momento J∗

2 como uma constante.

7.1.4 O Kernel de Hori. Escolha do Modelo Integravel

A condicao de ressonancia impoe condicoes sobre o Hamiltoniano a ser esco-lhido como Hamiltoniano integravel. Ja sabemos que H0(J

∗) nao e adequadopara ser usado como Hori. Temos que escolher um novo kernel de Hori quepossua os aspectos topologicos de um fluxo Hamiltoniano no entorno de umaressonancia. Por esta razao, e necessario considerar ordens de grandeza (as-sociadas ao pequeno parametro ε) de forma tal que no Kernel de Hori todosos termos possuam a mesma ordem e os termos restantes sejam de ordemsuperior. Usemos agora, o fato que J∗

1 + J∗2 e uma quantidade pequena:

ξ = J∗1 + J∗

2 = O(√ε).

Para asteroides com excentricidades entre 0.15 e 0.3 (valores tıpicos nogrupo de Hilda) podemos supor que todos os termos que contem o anguloθ∗2 podem ser considerados como perturbacao (ver figura 4). Mesma coisaocorre com os termos seculares εR0

00(J∗2 ). Por tanto, podemos considerar

que a parte principal do Hamiltoniano e agora

F ∗2 =

1

2ν11(J

∗1 + J∗

2 )2 + εR000(J

∗2 ) − gJJ

∗2 + εR0

10(J∗2 ) cos θ∗1 (84)

onde ν11 = − 12µ2

(J∗

3 )4e as funcoes R0

00 e R010 sao geralmente definidas por

R0ℓm = −

4∑

i=0

15∑

j=0

15∑

k=0

Rijkℓm0(α∗ − α0)

i

aJ

e∗jekJ

ξ=0

(85)

42

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5semi-mean eccentricity

0.001

0.01

0.1

1

coef

fici

ent

R10

R01

R11R00

Figura 3: Coefficientes principais da funcao perturbadora. Para excentri-cidades entre 0.15 e 0.3 o termo correspondente ao angulo ressonante θ∗1 edominante.

(Nesta expressao , a excentricidade e semieixo sao calculados em ξ = 0, istoe, em J∗

3 =√µares e J∗

1 = −J∗2 .)

O angulo θ∗2 e cıclico, portanto J∗2 e constante na solucao deste Hamilto-

niano.Alem do mais R0

10 e constante e F ∗2 e o Hamiltoniano do pendulo simples,

cuja solucao , no caso de libracoes de pequenas amplitudes pode ser escritapor (Ferraz-Mello, 2002)

J∗1 + J∗

2 = −8ω0

1

|ν11|{[cosw∗

1]Q− [2 cosw∗1 − cos 3w∗

1]Q3

− [17

2cosw∗

1 − 5 cos 3w∗1 − cos 5w∗

1]Q5} + O(Q7) (86)

sin θ∗1 = 8[sinw∗1]Q− 24[2 sinw∗

1 − sin 3w∗1]Q3

− 8[25

2sinw∗

1 − 3 sin 3w∗1 − 5 sin 5w∗

1]Q5 + O(Q7) (87)

43

A amplitude Q se relaciona com a acao do pendulo Λ∗1 como

Q =

√ν11Λ

∗1

32ω01

.

O coeficiente R010 e uma quantidade positiva. No caso em que R0

10 sejanegativa, a definicao do angulo θ1 poderia ser mudado adicionando π antesde usar os resultados classicos do pendulo.

A acao e uma quantidade pequena da ordem O(√ε) ja que Q e, a priori,

uma quantidade finita (a amplitude do pendulo e uma constante arbitraria).Mais ainda, a hipotese de Q pequeno e uma condicao independente da mag-nitude de ε.

Depois de introduzir as novas variaveis, a eqn. (86) fica como

F ∗2 = F(Λ∗

1, J∗2 ) − gJJ

∗2 + εR0

00(J∗2 ), (88)

onde a funcao F(Λ∗1, J

∗2 ) e a parte do Hamiltoniano semi-medio correspon-

dente ao modelo do pendulo em termos da nova acao :

F(Λ∗1, J

∗2 ) = εR0

10(J∗2 )(1 − 32Q2 + 64Q4

)+ O(Q6) (89)

O kernel de Hori proposto so inclui o termo crıtico do angulo θ1. Os outrostermos periodicos do Hamiltoniano semi-medio nao foram considerados paraa construcao do kernel e foram levados em conta em ordens superiores. Estaescolha faz com que o trabalho fique relativamente simples, mas pode resultarem falta de precisao da teoria. Em aplicacoes mais reais, para obter melhoraproximacao e conveniente incluir ao menos o termo dependente do angulode longo perıodo θ2 − θ1, cujo coeficiente e da mesma ordem que R0

10) e usara transformacao de Sessin (Sessin and Ferraz-Mello, 1984) na integracao .

7.1.5 Extensao ao segundo grau de liberdade

As variaveis introduzidas na secao anterior, w∗1,Λ

∗ sao variaveis angulo-acaosomente quando F ∗

2 e considerado como um Hamiltoniano de um grau deliberdade. Como as variaveis do sistema dado sao θ∗1, θ

∗2,Λ

∗1,Λ

∗2, temo que

extender a transformacao canonica para incluir o segundo grau de liberdade.Para fazer isto usamos a transformacao introduzida por Henrard-Lemaıtre(Henrard & Lemaıtre, 1986).

θ∗1 = θ∗1(w∗1,Λ

∗)

44

J∗1 = J∗

1 (w∗1,Λ

∗)

θ∗2 = w∗2 − Ξ2(w

∗1,Λ

∗)

J∗2 = Λ∗

2 (90)

onde

Ξ2 =∫ w1

0

(∂θ∗1∂w∗

1

∂J∗1

∂Λ∗2

− ∂θ∗1∂Λ∗

2

∂J∗1

∂w∗1

)

dw∗1.

E necessario, em princıpio, escrever θ∗1 em termos de w∗1,Q(Λ∗

1). Usamos, parasin θ∗1 e (J∗

1 + J∗2 ) a solucao do pendulo obtıda na secao anterior. E, fazendo

uso da hipotese de pequenas amplitudes podemos usar a aproximacao

θ∗1 = arcsin(sin θ∗1) = sin θ∗1 +sin3 θ∗1

6+ ... (91)

a qual e desenvolvida ao redor de Q = 0.Ate a ordem O(Q7), temos

θ∗1 = 8 sinw∗1Q +

[16 sinw∗

1 +8

3sin 3w∗

1

]Q3 +

+[92 sinw∗

1 + 24 sin 3w∗1 +

8

5sin 5w∗

1

]Q5 (92)

e, depois de fazer algebra, obtemos

Ξ2 = −8 sinw∗1Q− 16

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

sin 2w∗1Q2 −

[16 sinw∗

1 +8

3sin 3w∗

1

]Q3 −

− 16

|ν11|∂ω0

1

∂Λ2

[2 sin 2w∗1 + sin 4w∗

1]Q4 −

−[92 sinw∗

1 + 24 sin 3w∗1 +

8

5sin 5w∗

1

]Q5 + O(Q6) (93)

e a transformacao esta completa.

7.1.6 Algumas transformacoes auxiliares

Como precisamos escrever o Hamiltoniano em termos das novas variaveis,desenvolvemos os cossenos em potencias de Q

cos θ∗1 = 1 − 16[1 − cos 2w∗1]Q2 − 32[cos 2w∗

1 − cos 4w∗1]Q4 −

− [64 + 112 cos 2w∗1 − 128 cos 4w∗

1 − 48 cos 6w∗1]Q6 + · · · . (94)

45

Ate a ordem Q3, temos tambem:

cos θ∗2 = cosw∗2 + 4[cos(w∗

1 + w∗2) − cos(w∗

2 − w∗1)]Q +

+ 8{−2 cosw∗2 + (1 +

1

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

) cos(w∗2 + 2w∗

1) +

+ (1 − 1

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

) cos(w∗2 − 2w∗

1)}Q2 −

− {( 32

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

+ 24) cos(w∗1 + w∗

2) +

− (32

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

− 24) cos(w∗2 − w∗

1) +

+ (32

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

+ 12) cos(3w∗1 + w∗

2) +

+ (32

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

− 12) cos(w∗2 − 3w∗

1)}Q3 (95)

e

cos(θ∗1 − θ∗2) = cosw∗2 − { 8

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

cos(w∗2 − 2w∗

1) −

− 8

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

cos(2w∗1 + w∗

2)}Q2 + O(Q4) (96)

7.1.7 O Hamiltoniano ate a ordem O(ε3/2Q3)

Ate a ordem O(ε3/2), o Hamiltoniano pode ser escrito na forma

H∗ = F ∗2 + F ∗

3 (97)

onde F ∗2 e dado pela equacao (88) e

F ∗3 =

1

6ν111(J

∗1 + J∗

2 )3 + ε(J∗1 + J∗

2 )dR00

dξ|ξ=0 +

+ ε(J∗1 + J∗

2 )dR10

dξ|ξ=0 cos θ∗1 + εR0

10 cos θ∗2 + εR01−1 cos(θ∗1 − θ∗2).

Nesta equacao , ν111 = −96µ2

J∗

35 e os novos coeficientes sao definidos como na

equacao (115).

46

Nas novas variaveis, temos:

F ∗3 =

[

−8εω01

|ν11|

(∂R10

∂ξ|ξ=0 +

∂R00

∂ξ|ξ=0

)

Q−

−(

64ν111(ω01)

3

|ν11|3− 16εω0

1

|ν11|(5∂R10

∂ξ|ξ=0 +

∂R00

∂ξ|ξ=0

))

Q3

]

cosw∗1 +

−(

64ν111(ω01)

3

3|ν11|3+

8εω01

|ν11|(9∂R10

∂ξ|ξ=0 +

∂R00

∂ξ|ξ=0

)

Q3 cos 3w∗1 +

+[εR0

10 + εR01−1 − 16εR0

10Q2]cosw∗

2 +

−[

4εR010Q−

(

24εR010 −

32εR010

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

)

Q3

]

cos(w∗1 − w∗

2) +

+

[

4εR010Q−

(

24εR010 +

32εR010

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

)

Q3

]

cos(w∗1 + w∗

2) +

+

(8εR0

1−1

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

+ 8εR010 +

8εR010

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

)

Q2 cos(2w∗1 + w∗

2) +

−(

8εR01−1

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

− 8εR011 +

8εR011

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

)

Q2 cos(2w∗1 − w∗

2) +

+

(32εR0

10

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

− 12εR010

)

Q3 cos(3w∗1 − w∗

2) +

+

(32εR0

10

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

+ 12εR010

)

Q3 cos(3w∗1 + w∗

2) + O(Q4) (98)

7.1.8 A Media

Consideremos agora a transformacao canonica (w∗,Λ∗) → (w∗∗,Λ∗∗) geradapelo gerador de Lie

W (2)(w∗∗,Λ∗∗) = W(2)2 +W

(2)3 + ... (99)

onde os subındices indicam o grau em S.As equacoes de perturbacao sao

F ∗∗2 = F ∗

2 (Λ∗∗)

F ∗∗3 = F ∗

3 (w∗∗,Λ∗∗) + {F ∗∗2 ,W

(2)2 }1 (100)

Como a acao Λ∗∗1 tem uma ordem O(

√ε), na aplicacao da teoria das series

de Lie, e necessario levar em conta que os colchetes de Poisson contem duas

47

partes de diferentes ordens de grandeza. Em verdade, se f, g sao duas funcoescom graus r e s no conjunto S ≡ (Λ∗∗

1 ,√ε), o colchete de Poisson e

{f, g} = {f, g}1 + {f, g}2

onde

{f, g}1 =∂f

∂w∗∗1

∂g

∂Λ∗∗1

− ∂f

∂Λ∗∗1

∂g

∂w∗∗1

= O(r + s− 1)

{f, g}2 =∂f

∂w∗∗2

∂g

∂Λ∗∗2

− ∂f

∂Λ∗∗2

∂g

∂w∗∗2

= O(r + s) (101)

Para resolver a segunda equacao (100), adotamos

F ∗∗3 =

1

2π

∫ 2π

0F ∗

3 (w∗∗,Λ∗∗)dw∗∗1

e obtemos o gerador de Lie ressonante

W(2)2 =

(∂F ∗∗

2

∂Λ∗∗1

)−1 ∫F ∗

3 (w∗∗,Λ∗∗)dw∗∗1

ou

ω1W(2)2 =

[

−8εω01

|ν11|

(∂R10

∂ξ|ξ=0 +

∂R00

∂ξ|ξ=0

)

Q−

−(

64ν111(ω01)

3

|ν11|3− 16εω0

1

|ν11|(5∂R10

∂ξ|ξ=0 +

∂R00

∂ξ|ξ=0

))

Q3

]

sinw∗∗1 +

−(

64ν111(ω01)

3

9|ν11|3+

8εω01

3|ν11|(9∂R10

∂ξ|ξ=0 +

∂R00

∂ξ|ξ=0

)

Q3 sin 3w∗∗1 +

−[

4εR010Q−

(

24εR010 −

32εR010

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

)

Q3

]

sin(w∗∗1 − w∗∗

2 ) +

+

[

4εR010Q−

(

24εR010 +

32εR010

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

)

Q3

]

sin(w∗∗1 + w∗∗

2 ) +

+

(4εR0

1−1

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

+ 4εR010 +

4εR010

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

)

Q2 sin(2w∗∗1 + w∗∗

2 ) +

−(

4εR01−1

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

− 4εR010 +

4εR010

|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

)

Q2 sin(2w∗∗1 − w∗∗

2 ) +

48

+

(32εR0

10

3|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

− 4εR010

)

Q3 sin(3w∗∗1 − w∗∗

2 ) +

+

(32εR0

10

3|ν11|∂ω0

1

∂Λ∗2

+ 4εR010

)

Q3 sin(3w∗∗1 + w∗∗

2 ) + O(Q4).

(102)

ω1 e a frequencia do angulo w∗∗1 :

ω1 =∂F ∗∗

2

∂Λ∗∗1

=∂F(Λ∗∗)

∂Λ∗∗1

= ω01(1 − 4Q2) + O(Q4). (103)

Das equacoes do pendulo para pequenas oscilacoes (Ferraz-Mello, 2002),podemos ver que,

ω1 ≈ ω01(Λ

∗∗2 )(1 − 4Q(Λ∗∗

1 ,Λ∗∗2 )2)

As quantidades ν11, ω01, Q,Rij que aparecem no lado direito da equacao (102)

tem as mesmas definicoes de antes, mas substituindo Λ∗ por Λ∗∗.Ate esta ordem, entao , a transformacao canonica das variavies semi-

medias em variaveis medias esta dada por

w∗1 = w∗∗

1 + {w∗∗1 ,W

(2)2 }1

w∗2 = w∗∗

2 + {w∗∗2 ,W

(2)2 }1

Λ∗1 = Λ∗∗

1 + {Λ∗∗1 ,W

(2)2 }1

Λ∗1 = Λ∗∗

1 + {Λ∗∗2 ,W

(2)2 }1 (104)

e o Hamiltoniano resultante para os elementos medios e:

H∗∗ = F(Λ∗∗) − gJΛ∗∗2 + εR0

00(Λ∗∗2 ) + (105)

+[εR0

10(Λ∗∗2 ) + εR0

1−1(Λ∗∗2 ) − 16εR0

10(Λ∗∗2 )Q2

]cosw∗∗

2 . (106)

7.1.9 Terceira Media: Os Elementos Proprios

O Hamiltoniano obtıdo na secao anterior e um Hamiltoniano de um graude liberdade (as unicas variaveis sao , agora, w∗∗

2 and Λ∗∗2 ), e, por tanto,

integravel.Podemos usar de novo uma serie de Lie ate a primeira ordem no pe-

queno parametro√ε para construir a solucao do sistema. Consideremos

49

uma transformacao canonica (w∗∗2 ,Λ

∗∗2 ) → (w∗∗∗

2 ,Λ∗∗∗2 ) gerada pelo gerador

de Lie W (3)(w∗∗∗2 ,Λ∗∗∗

2 ) e as equacoes de perturbacao 2

H∗∗∗ = H∗∗(w∗∗∗2 ,Λ∗∗∗

2 ) + {F ∗∗∗2 ,W (3)} (107)

Para resolver esta equacao , adotamos a media

H∗∗∗ =1

2π

∫ 2π

0H∗∗(w∗∗∗

2 ,Λ∗∗∗2 )dw∗∗∗

2

e o gerador de Lie

W (3) =

(∂H∗∗∗

∂Λ∗∗∗2

)−1 ∫H∗∗(w∗∗∗

2 ,Λ∗∗∗2 )dw∗∗∗

2 .

Por tanto obtemos

H∗∗∗ = F(Λ∗∗∗) − gJΛ∗∗∗2 + εR0

00(Λ∗∗∗2 )

e

W(3)3 =

1

ω2

[εR0

10(Λ∗∗∗2 ) + εR0

1−1(Λ∗∗∗2 ) − 16εR0

10(Λ∗∗∗2 )Q2

]sinw∗∗∗

2 (108)

onde

ω2 =∂H∗∗

0

∂Λ∗∗2

Com isto obtivemos duas quase-integrais Λ∗∗1 e Λ∗∗∗

2 , as quais chamamosElementos Proprios Dinamicos. Λ∗∗∗

2 esta relacionado com Λ∗∗2

Λ∗∗∗2 = Λ∗∗

2 +∂W

(3)3 (w∗∗,Λ∗∗)

∂w∗∗2

=

= Λ∗∗2 +

1

ω2

[εR0

10(Λ∗∗2 ) + εR0

1−1(Λ∗∗2 ) − 16εR0

10(Λ∗∗2 )Q2

]cosw∗∗

2

A transformacao na variavel angulo e similar.Para aplicacao no problema asteroidal, e de interesse a construcao de ele-

mentos tipo Keplerianos: semieixo e excentricidade como funcoes das acoesproprias Λ∗∗

1 e Λ∗∗∗2 .

2Por razoes de simplicidade omitimos em todas as equacoes desta secao a dependenciacom a constante Λ∗∗

1.

50

Estes elementos podem ser obtıdos seguindo os passos: (i) Equacoes for-malmente iguais as eqns. (90) sao usadas para obter as variaveis formais J∗∗∗

e θ∗∗∗;(ii) Estas variaveis podem ser usadas para determinar os equivalentes

momentos de Delaunay; e com estes momentos de Delaunay (iii) Aplicandoas eqns. (35) obter as elementos proprios elıpticos equivalentes a∗∗∗ e e∗∗∗.

51

7.2 Calculo de Elementos Proprios incluındo as per-

turbacoes na orbita de Jupiter

7.2.1 A Primeira Media: Os Elementos Semi-Medios

Como no caso do problema classico, a primeira media e feita no angulorapido θ3 (o angulo sinodico do asteroide). Ate a primeira ordem no pe-queno parametro vamos obter o gerador de Lie, da mesma maneira que nasecao 7.1.1, para o Hamiltoniano do problema estendido.

Neste caso, as equacoes de perturbacao sao:

H∗0 =

(

− µ2

2L2+ 3nJ(J1 + J2) − nJJ3 − g5J2 +

8∑

l=5

glJj−1

)

J∗

,

H∗1 =

(−R+

{H∗

0 ,W(1)1

})

(θ∗;J∗), (109)

......

Adotando a regra de media

H∗1 =< −R >θ∗3

(110)

e, resolvendo a equacao (110) para obter o gerador de Lie de primeira ordem

W(1)1 =

1

aJ

∑

i,j,k2,l,m2,n,r,s,t,u

(111)

yPijk2lm2nrstu(α− αres)

iej

lΓ1 +m2Γ2 + nΓ3 + rΓ4 + sΓ5 + tΓ6 + uΓ7×

× sin[lθ∗1 +m2θ∗2 + nθ∗3 + rθ∗4 + sθ∗5 + tθ∗6 + uθ∗7]

onde

Γj =∂H∗

0

∂J∗j

, j = 1, 2, ....7 (112)

O resultantes elementos semi-medios e os originais elementos osculadoresestao relacionados pela transformacao canonica gerada por W (1), a qual, atea primeira ordem e

θi = θ∗i + ε{θ∗i ,W(1)1 }

Ji = J∗i + ε{J∗

i ,W(1)1 }. (113)

52

O Hamiltoniano semi-medio e

H∗ = H0(J∗) − ε

1

aJ

∑

ijk2lm2rstu

Pijk2lm20rstu(α− αres)iej ×

× cos[lθ∗1 +m2θ∗2 + rθ∗4 + sθ∗5 + tθ∗6 + uθ∗7].

7.2.2 O Kernel de Hori

Como sabemos, no caso em que uma ressonancia acontece, nao e possıvel usaro Hamiltoniano nao perturbado como nucleo integravel.

O Hamiltoniano que descreva a topologia da ressonancia nao so deverconter a informacao da ressonancia, mas tambem deve ser um Hamiltonianoque possua a mesma ordem de grandeza.

Para a escolha do nucleo integravel vamos considerar as ordens de gran-deza dos coeficientes por um estudo numerico, a fim de levar em conta ostermos que sejam comparaveis.

O Hamiltoniano integravel correspondente sera o Hamiltoniano de An-doyer, e, por tanto, as ordens de grandeza e os desenvolvimentos serao feitosno parametro J∗

1 + J∗2 o que e suposto da ordem:

ξ = J∗1 + J∗

2 = O(ε2/3).

A figura 4 mostra os coeficientes da funcao perturbadora onde algunsdeles ja foram mostrados na figura 3. Isto foi feito para estudar a grandezados coeficientes. Neste grafico observamos que para valores da excentricidadeentre 0 ≤ e ≤ 0.2 os termos que devem ser levados em conta sao

R010(J

∗2 ) cos θ∗1 + R0

01(J∗2 ) cos θ∗2 + R0

20(J∗2 ) cos 2θ∗1 (114)

R002(J

∗2 ) cos 2θ∗2 + R0

11(J∗2 ) cos(θ∗1 + θ∗2).

onde as funcoes sao geralmente definidas como

R0ℓm = −

4∑

i=0

15∑

j=0

15∑

k=0

Pijkℓm0000(α∗ − α0)

i

aJe∗jek

J

ξ=0

(115)

(no colchete, a excentricidade e o semieixo sao evaluado em ξ = 0, isto e, emJ∗

3 =√µares e J∗

1 = −J∗2 .)

53

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

coef

icie

nte

excentricidade

Coeficientes da Funcao Perturbadora

R10

R20

R01

R00

R11

R1,-1

Figura 4: Coeficientes principais da funcao perturbadora. Nesta figura in-troduzimos mais coeficientes que na figura 3, ja que para excentricidadesmenores sao necessarios mais termos para a construcao do Kernel de Hori.

7.2.3 Construcao do Modelo Integravel

Para contruir o modelo integravel vamos separar os coeficientes da funcao perturbadora(114) da seguinte maneira:

R010 = B1

√2J∗

1 + δR010

R001 = M1eJ + δR0

01

R020 ≈ B22J

∗1

R002 ≈ M2e

2J (116)

R011 = C11

√2J∗

1eJ + δR011

(117)

54

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

coef

icie

nte

excentricidade

COMPARACAO ENTRE R10 E B1.SQRT(2J_1) PARA A CONSTRUCAO DO KERNEL

R10B1.sqrt(2J_1)

Figura 5: Neste grafico notamos que a substituicao de R10 por B1

√2J1 para

a construcao do kernel de Hori e boa para excentricidades menores que 0.3,podendo considerar a diferenca como perturbacao.

onde B1, B2, M1, M2 e C11 sao

B1 =1

aJ

4∑

i=0

15∑

k=0

Pi1k100000(α− αres)

i

√L

∣∣∣∣∣L=J∗

3

e(p)J

k,

B2 =1

aJ

4∑

i=0

15∑

k=0

Pi2k200000(α− αres)

i

L

∣∣∣∣∣L=J∗

3

e(p)J

k (118)

M1 =1

aJ

4∑

i=0

Pi01010100.(α− αres)i

∣∣∣∣∣L=J∗

3

,

M2 =1

aJ

4∑

i=0

Pi02020200(α− αres)i

∣∣∣∣∣L=J∗

3

e

C11 =1

aJ

4∑

i=0

Pi11110100(α− αres)

i

√L

∣∣∣∣∣L=J∗

3

Esta separacao dos coeficientes da funcao perturbadora deve ser estudadanumericamente. As figuras 5, 6, e 7 mostram que para excentricidades me-nores que 0.3 podemos fazer estas separacoes considerando os δR0

10, δR001 e

δR011 como de ordem superior.

55

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

coef

icie

nte

excentricidade

COMPARACAO ENTRE R20 E B2.2J_1 PARA A CONTRUCAO DO KERNEL

B2.2J_1

R20

Figura 6: Comparacao entre R001 com M1eJ . Neste grafico as curvas sao bem

diferentes, mas para excentricidades menores que 0.3 a diferenca dos valoresabsolutos e menor que 0.05 e podem ser consideradas da mesma ordem degrandeza.

Usando as regras de D’Alembert, os coeficientes δR0lm podem ser escritos

como:

δR010 = c10;1(2J

∗1 )3/2 + O(e5)

δR001 = c01;1 + c01;2J

∗1 + c01;2(J

∗1 )2 + O(e6) (119)

δR011 = c11;1(2J

∗1 )3/2 + O(e5)

(120)

Com estas definicoes e aplicando a transformacao de Sessin (Sessin 1981,Ferraz-Mello, 2007):

√2J ∗ cos Θ∗

1 =√

2J∗1 cos θ∗1 + β1eJ cos θ∗2

√2J ∗ sin Θ∗

1 =√

2J∗1 sin θ∗1 + β1eJ sin θ∗2

Θ∗2 = θ∗2

G∗ = J∗2 +

1

2β2

1e2J − β1eJ

√2J∗

1 cos(θ∗1 − θ∗2), (121)

56

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

coef

icie

nte

excentricidade

COMPARACAO ENTRE R01 E M1.eJ PARA A CONSTRUCAO DO KERNEL

R01

M1.eJ

Figura 7: Comparacao entre R020 e B22J

∗1 .

com β1 = M1/B1 podemos escrever a funcao R como:

R∗ = B1

√2J ∗ cos Θ∗

1 +B22J ∗ cos 2Θ∗1 + ∆R∗ (122)

onde

∆R∗ = ∆1R∗ + ∆2R∗, (123)

com

∆1R∗ = B2

[(β2

1 − β22)e

2J cos 2Θ∗

2 +(C11

B2

− 2β1

)√2J∗

1eJ cos(θ∗1 + Θ∗2)]

+

+ δR010 cos θ∗1 + δR0

01 cos Θ∗2 + δR0

11 cos(θ∗1 + Θ∗2), (124)

∆2R∗ contem os termos restantes da funcao perturbadora original nas novasvariaveis, e β2

2 = M2/B2.O conjunto (Θ∗

1,Θ∗2;J ∗,G∗) e canonico. G∗ e conhecida como a integral

de Sessin.Escolhamos como Hamiltoniano integravel (kernel de Hori)

F ∗ =1

2ν11(J ∗ + G∗)2 + εB1

√2J ∗ cos Θ∗

1 + εB22J ∗ cos 2Θ∗1 (125)

onde ν11 = −12µ2

J∗43

.

57

Como os termos constantes da parte linear do Hamiltoniano nao perturbadonao contribuem ao fluxo do kernel, podemos considerar o Hamiltoniano

H∗ = F ∗ − ε∆R. (126)

E importante por enfase no fato de que ∆R esta ainda expressa em termosdas novas e as velhas variaveis.

Vamos primeiro integrar o kernel de Hori e depois resolveremos este pro-blema da mistura de variaveis.

Vamos definir ε′ = εB1 e µ′ = εB2. Com estas definicoes escrevemos okernel de Hori como

F ∗ = aJ ∗ + bJ ∗2 + ε′√

2J ∗ cos Θ∗1 + µ′2J ∗ cos 2Θ∗

1 +

+1

2ν11G∗2 (127)

onde a = ν11G∗, b = 12ν11.

O conjunto completo de equacoes diferenciais associadas com F ∗ e (noparametro u)

dΘ1

du= a+ 2bJ ∗ + ε′

1√2J ∗

cos Θ∗1 + 2µ′ cos 2Θ∗

1

dJ ∗

du= ε′

√2J ∗ sin Θ∗

1 + 4µ′J ∗ sin 2Θ∗1 (128)

Observemos que o sistema no plano (Θ1,J ∗) e autonomo e pode serresolvido separadamente.

7.2.4 Famılia de solucoes periodicas proximas a um ponto de equi-

librio no plano (Θ1,J ∗)

Para construir as variaveis angulo-acao associadas com F ∗, no subspaco (Θ∗1,J ∗)),

vamos construir famılias de solucoes periodicas (Ferraz-Mello, 2007 sec.2.2)

J ∗ =m∑

l=0

alQl

Θ∗1 =

m∑

l=1

slQl (129)

onde al e sl sao polinomios de Fourier no angulo w∗1, e Q e um parametro

livre da ordem da amplitude das oscilacoes ao redor do ponto de equilibrioJ ∗ = a0, Θ∗

1 = 0 (mod π).

58

Para a frequencia ω∗1 =

dw∗

1

du, vamos considerar

ω∗1 = ω0∗

1 +n∑

i=1

oiQi (130)

Substituındo estas espansoes nas equacoes diferenciais, os coeficientes in-determinados sao obtıdos por identificacao de termos da mesma ordem em Q.No entanto, a determinacao destes coeficientes indeterminados fica compli-cado pela aparicao de denominadores (por causa da raiz quadrada). Para re-solver esta questao , introduzimos a variavel auxiliar p =

√2J ∗ e as equacoes

diferenciais podem ser escritas como

dp

du= ε′ sin Θ∗

1 + 2µ′p sin 2Θ∗1

pdΘ∗

1

du= ap + bp3 + ε′ cos Θ∗

1 + 2µ′p cos 2Θ∗1. (131)

A nova variavel pode tambem ser desenvolvida em serie de potencias doparametro Q: p =

∑nl=0 plQl

Para obter ass funcoes pl e sl temos que comparar termos com a mesmaordem em Q:Ordem 0:

2bp30 − ρp0 − ε′ = 0

p′0 = 0 (132)

Ordem 1:

ω0∗1 p0s

′1 − ρp1 = 0

ω0∗1 p

′1 − (ε′ + 4µ′p0)s1 = 0 (133)

Ordem 2:

ω0∗1 p0s

′2 − ρp2 = −(o1p0 + ω0∗

1 p1)s′1 −

1

2(ε′ + 8µ′p0)s

21 + 3bp0p

21

ω0∗1 p

′2 − (ε′ + 4µ′p0)s2 = −o1p

′1 + 4µ′s1p1 (134)

Ordem 3:

ω0∗1 p0s

′3 − ρp3 = −(o2p0 + o1p1 + ω0∗

1 p2)s′1 − (o1p0 + ω0∗

1 p1)s′2 +

+ 6bp0p1p2 − (ε′ + 8µ′p0)s1s2 − bp30 − 4µ′p1s

21

ω0∗1 p

′3 − (ε′ + 4µ′p0)s3 = −(o1p

′2 + o2p

′1) + 4µ′(p1s2 + p2s1) −

− 1

6(ε′ + 16µ′p0)s

31, (135)

59

0

0.5

1

1.5

2

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

sqrt

(2J)

sin(

thet

a)

sqrt(2J)cos(theta)

Comparacao integracao numerica - modelo ordem 3

ordem 2

numerica

Figura 8: Comparacao entre integracao numerica da integracao do kernel deHori com a aproximacao analıtica de ordem 2. A curva contınua correspondea solucao analıtica e a tracejada corresponde a integracao numerica.

e assim sucessivamente. Nestas expressoes a linha indica derivada comrelacao a w∗

1 e definimos

ρ = a + 3bp20 + 2µ′.

7.2.5 A solucao

As equacoes de ordem zero definem o centro de libracao em J ∗ = 12p2

0 =const..

As equacoes de ordem um formam um sistema linear homogeneo deequacoes diferenciais com coeficientes constantes. A frequencia propria e1 (ja que w∗

1 e a variavel angulo, ver para detalhes Ferraz-Mello 2007, secC.9). Entao

ω0∗1 =

√−p0(ε′ + 4µ′p0)ρ

p0(136)

60

0

0.5

1

1.5

2

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

sqrt

(2J)

sin(

thet

a)

sqrt(2J)cos(theta)

Comparacao integracao numerica - modelo ordem 5

ordem 5

numerica

Figura 9: Comparacao entre integracao numerica da integracao do kernel deHori com a aproximacao analıtica a ordem 5. A curva contınua correspondea solucao analıtica (com as mesmas condicoes iniciais da figura anterior) ea tracejada corresponde a integracao numerica. Podemos notar que a apro-ximacao melhora com ordens maiores.

A solucoes de ordem um sao

s1 = sinw∗1

p1 =p0ω

0∗1

ρcosw∗

1 (137)

A amplitude de w∗1 foi arbitrariamente fixada igual a 1 ja que depois sera

multiplicada por um fator arbitrario Q.Ordem 2:

s2 =ε′ω0∗

1

2p0ρ2sin 2w∗

1

p2 =1

4ρ2

[(−ε′ρ+ 24bp3

0µ′ + 6bp2

0ε′) −

− (−ε′ρ+ 8bp30µ

′ + 2bp20ε

′) cos 2w∗1

]

61

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

sqrt

(2J)

sin(

thet

a)

sqrt(2J)cos(theta)

Comparacao Integracao Numerica - Modelo no espaco de fases

ordem 2

ordem 5

numerica (+)

Figura 10: Comparacao entre integracao numerica com diferentes ordens deaproximacao no modelo analıtico no espaco de fases.

o1 = 0 (138)

Os termos restantes foram escritos de tal maneira que poem em evidenciaque fazendo as substituicoes, elas se combinam para formar sistemas naohomogeneos de equacoes diferenciais, os quais tem a mesma parte homogeneaque a equacao de ordem um.

No caso destas equacoes somente sao necessarias solucoes particulares.Podemos notar que em cada lado esquerdo nao podem ter termos com frequencia1. Esta condicao nos conduz a obtencao das constantes oj (j 6= 0).

Obtemos

62

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0 10 20 30 40 50 60 70

sqrt

(2J)

cos(

thet

a)

tempo

Comparacao Integracao Numerica - Modelo Analitico

ordem 2

ordem 5

numerica (+)

Figura 11: Comparacao entre a integracao numerica do kernel com apro-ximacoes analıticas para diferentes ordens no tempo para a variavel

Ordem 3:

s3 =1

192p20ρ

2ω0∗1

2

[108p4

0b2ε′2 + 1728p6

0b2µ′2 − 1152p3

0bε′µ′ρ+ 864p5

0b2ε′µ′+

+ 63ε′2ρ2 − p0ε′ρ3 − 2016p4

0bµ′2ρ+ 432p0ε

′µ′ρ2 −− 16p2

0µ′ρ3 − 162p2

0bε′2ρ+ 768p2

0µ′2ρ2

]sin 3w∗

1

p3 =1

64p0ρ3ω0∗1

[4(960p6

0b2µ′2 + 480p5

0b2ε′µ′ − 416µ′2ρp4

0b+ 60p40b

2ε′2 −

− 176µ′ρp30bε

′ − 64µ′2ρ2p20 + 16µ′p2

0ρ3 − 18p2

0bε′2ρ− 8µ′ρ2p0ε

′ +

+ ε′ρ3p0ε′ − ε′2ρ2) cosw∗

1 + (192p60b

2µ′2 + 96p50b

2ε′µ′ + 32µ′2ρp40b+

63

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 10 20 30 40 50 60 70

sqrt

(2J)

sin(

thet

a)

tempo

Comparacao Integracao Numerica - Modelo Analitico

ordem 2

ordem 5

numerica (+)

Figura 12: Comparacao entre a integracao numerica do kernel com apro-ximacoes analıticas para diferentes ordens no tempo para a variavel H.

+ 12p40b

2ε′2 − 64µ′ρp30bε

′ − 16µ′ρ3p20 − 18p2

0bε′2ρ+ 16µ′p0ρ

2ε′ −− ε′ρ3p0 + 7ε′2ρ2) cos 3w∗

1

]

o2 =1

16p20ρ

2ω0∗1

[60p4

0b2ε′2 − ρ2ε′2 + 960p6

0b2µ′2 − 480p5

0b2ε′µ′ − 96µ′2ρp4

0b −

− 16µ′ρ2p0ε′ − 16µ′p2

0ρ3 − 18p2

0bε′2ρ− 96µ′ρp3

0bε′ − ε′ρ3p0

](139)

Os termos de ordens superiores sao calculados de maneira similar.Quando comparamos a integracao numerica para o Hamiltoniano de An-

doyer com dois harmonicos e as aproximacoes analıticas, podemos notar queno espaco de fases a aproximacao de ordem dois e boa (figura 10), mas se

64

olhamos o que acontece no plano (t,K) e (t, H) (fig. 11 e fig.12) as curvascorrespondentes a diferentes aproximacoes sao bem diferentes. Isto ocorreporque para ordens maiores de aproximacao a frequencia sofre correcoes im-portantes.

7.2.6 A Variavel Acao

Uma vez que temos obtıdo a solucao do kernel de Hori podemos calcular avariavel acao

Por definicao , temos que a acao :

Λ∗1 =

1

2π

∮J ∗dΘ∗

1 =1

2π

∫ 2π

0J ∗dΘ

∗1

dw1dw1 (140)

Calculando a integral, obtemos a variavel acao em termos da amplitudeQ. Obtemos:

Λ1 =1

2

[p0p11Q

2 +(p0p31 + p11p20 + 2p0p22s22 +

1

2p11p22 +

1

2p2

11s22

)Q4

+(p20p31 + p11p31s22 +

1

2p22p31 + p11p33s22 +

1

2p2

11s42 + 2p20p22s22+ (141)

+ 2p0p22s42 +1

2p11p42 + 3p0p33s33 +

1

2p22p33 +

3

2p11p22s33 + 2p0p42s22

)Q6]

onde, para simplificar a notacao , escrevemos a solucao do kernel de Horicomo:

p1 = p11 cosw∗1

s2 = s22 sin 2w∗1

p2 = p20 + p22 cos 2w∗1 (142)

s3 = s33 sin 3w∗1

p3 = p31 cosw∗1 + p33 cos 3w∗

1

s4 = s42 sin 2w∗1 + s44 sin 4w∗

1

p4 = p40 + p42 cos 2w∗1 + p44 cos 4w∗

1

Para expressar a solucao das equacoes diferenciais para o kernel de Hori,necessitamos escrever as variaveis em termos da variavel acao . Para fazerisso, devemos invertir a ultima expressao para obter

Q2 =2ρ

p20ω

0∗1

Λ∗1 −

1

4p60ω

0∗1

4

[608b2p5

0ε′µ′ + 1216b2p6

0µ′2 + 76b2p4

0ε′2−

65

− 16µ′ρ2p0ε′ − 128µ′2ρ2p2

0 − 4p20bε

′2ρ− 368µ′ρp30bε

′ + ρ2ε′2 +

+ ε′ρ3p0 + 16µ′p20ρ

3 − 736µ′2ρp40b]Λ∗

12 + O(Λ∗

13) (143)

A frequencia em termos da acao e

ω∗1 = ω0∗

1 +2o2ρ

ω0∗1 p

20

Λ∗1 +

o2

4p60ω

0∗1

4

[608b2p5

0ε′µ′ + 1216b2p6

0µ′2 + 76b2p4

0ε′2−

− 16µ′ρ2p0ε′ − 128µ′2ρ2p2

0 − 4p20bε

′2ρ− 368µ′ρp30bε

′ + ρ2ε′2 +

+ ε′ρ3p0 + 16µ′p20ρ

3 − 736µ′2ρp40b]Λ∗

12 + O(Λ∗

13), (144)

e o Hamiltoniano e expresso na forma

F ∗ = ω0∗1 Λ∗

1 +o2ρ

ω0∗1

Λ∗12 +

o2

6p60ω

0∗1

4

[608b2p5

0ε′µ′ + 1216b2p6

0µ′2 + 76b2p4

0ε′2−

− 16µ′ρ2p0ε′ − 128µ′2ρ2p2

0 − 4p20bε

′2ρ− 368µ′ρp30bε

′ + ρ2ε′2 +

+ ε′ρ3p0 + 16µ′p20ρ

3 − 736µ′ρp40b]Λ∗

13 + O(Λ∗

14) (145)

7.2.7 Extensao da Transformacao aos outros graus de liberdade

O kernel de Hori foi construido a partir de um sistema de um grau de li-berdade, mas na realidade o sistema possui mais graus de liberdade, so queno kernel os angulos que lhes correspondem sao cıclicos. No entanto, paracontinuar com o processo de perturbacao , devemos levar em conta de que nafuncao perturbadora os angulos associados aos outros momentos aparecem.Isto obriga a extender, como na analise anterior, a transformacao canonicaaos outros graus de liberdade. Para fazer isto voltamos a usar a trans-formacao de Henrard & Lemaıtre

Θ∗1 = Θ∗

1(w∗1,Λ

∗)

J ∗ = J ∗(w∗1,Λ

∗)

Θ2 = w∗2 − Ξ2(w

∗1,Λ

∗)

G∗ = Λ∗2

θj = w∗j − Ξj(w

∗1,Λ

∗)

Jj = Λ∗j j = 4, ..7 (146)

onde:

Ξj(w∗1,Λ

∗) =∫ w∗

1

0

(∂Θ∗

1

∂w∗1

∂J ∗

∂Λ∗j

− ∂Θ∗1

∂Λ∗j

∂J ∗

∂w∗1

)

dw∗1 (147)

66

para j = 2, 4, 5, 6, 7.Notemos que Θ∗

1, J ∗ sao independentes de Λ∗j (j ≥ 4), mas dependem de

Λ∗2 = G∗ por causa de a = ν11G∗ e p0 (ja que ap3

0 + (2 + µ′)p0 + ε′ = 0).Usando a variavel p (p =

√2J ∗) a expressao para Ξ2 fica

Ξ2(w∗1,Λ

∗1,Λ2) =

∫ w∗

1

0p

(∂Θ∗

1

∂w∗1

∂p

∂Λ∗2

− ∂Θ∗1

∂Λ∗2

∂p

∂w∗1

)

dw∗1 (148)

Ao calcular a funcao Ξ2, se obtem que o termo nao periodico

m0 =1

2π

∫ 2π

0Ξ2dw

se escreve como

m0 = p0p11Q∂Q∂Λ∗

2

+1

2

∂p0

∂Λ∗2

p11Q2 +1

2

∂p11

∂Λ∗2

p0Q2

+[p11p22 + p2

11s22 + p20p11 + 4p0p22s22 + 2p0p31

]Q3∂Q

Λ∗2

+

+

[1

4

∂p11

∂Λ∗2

p22 +1

4

∂p22

∂Λ∗2

p11 +1

2p11

∂p11

∂Λ∗2

s22 +1

4p2

11

∂s22

∂Λ∗2

+1

2

∂p20

∂Λ∗2

p11 +1

2

∂p11

∂Λ∗2

p20+

+∂p0

∂Λ∗2

p22s22 +∂p22

∂Λ∗2

p0s22 +∂s22

∂Λ∗2

p0p22 +1

2

∂p0

∂Λ∗2

p31 +1

2

∂p31

∂Λ∗2

p0

]

Q4 (149)

Se olhamos como ficou a expressao da acao (eqn. 141) podemos notar que(pelo menos ate ordem O(Q5)) temos

m0 =∂

∂Λ∗2

[Λ∗1] = 0

Isto significa que a funcao Ξ2 e uma funcao periodica, como ja foi obser-vado por Henrard e Lemaıtre (Henrard & Lemaıtre, 1986).

Com este resultado, e, a partir da solucao do kernel de Hori, podemosobter a funcao Ξ2 ate a ordem O(Q4):

Ξ2 = m1 sinw∗1 +m2 sin 2w∗

1 +m3 sin 3w∗1, (150)

onde os coeficientes m1, m2 e m3 sao calculados como:

m1 =1

2p0∂p0

∂Λ∗2

Q +[p0p20 + p0p22 + p0p11s22 +

1

2p2

11

]∂Q∂Λ∗

2

Q2 +

67

+

[1

2

∂p0

∂Λ∗2

p20 +1

2

∂p0

∂Λ∗2

p11s22 +1

2p0∂p11

∂Λ∗2

s22 +1

4p0p11

∂s22

∂Λ∗2

+

+1

4

∂p0

∂Λ∗2

p22 +1

2p0∂p20

∂Λ∗2

+3

8p11

∂p11

∂Λ∗2

+1

4p0∂p22

∂Λ∗2

]

Q3

= m10 +m12Q2 +m13Q3, (151)

m2 =1

4

[∂p0

∂Λ∗2

p11 + p0∂p11

∂Λ∗2

+ 4p0∂p0

∂Λ∗2

s22

]

Q2 +[3

2p0p33 + 2p0p20s22+

+3

2p0p11s33 + p11p22 +

1

2p2

11s22 +1

2p2

0p31 + +1

2p2

11p20

]Q3 ∂Q

∂Λ∗2

= m22Q2 +m23Q3 (152)

e

m3 =

[1

8p11

∂p11

∂Λ∗2

+1

4

∂p0

∂Λ∗2

p22 +1

4p0∂p22

∂Λ∗2

+3

2p0∂p0

∂Λ∗2

s33 +∂p0

∂Λ∗2

p11s22

− 1

4p0p11

∂s22

∂Λ∗2

+ p0∂p11

∂Λ∗2

s22

]

Q3

= m33Q3 (153)

Ja que Θ∗1 e J ∗ nao dependem de Jj (j = 4, ...8), as derivadas com

relacao a estas variaveis sao zero. Entao , as funcoes Ξj = 0 sao zero tambem.Com isto, a transformacao completa e:

J ∗ =p2(w∗

1,Λ∗1,Λ

∗2)

2Θ∗

1 = sin(w∗1)Q(Λ∗

1,Λ∗2) + s22 sin(2w∗

1)Q2(Λ∗1,Λ

∗2) + s33 sin(3w∗

1)Q3(Λ∗1,Λ

∗2)

G∗ = Λ∗2

Θ∗2 = w∗

2 − (m1(Λ∗1,Λ

∗2) sinw∗

1 +m2(Λ∗1,Λ

∗2) sin 2w∗

1 +m3(Λ∗1,Λ

∗2) sin 3w∗

1)

J∗l = Λ∗

l

θ∗l = w∗l l = 4, 5, 6, 7 (154)

7.2.8 As equacoes de perturbacao

Devemos lembrar que ainda temos a funcao perturbadora expressa em termosde novas e velhas variaveis. Precisamos, entao escrever tudo em termos dasnovas variaveis.

68

Ja que as medias sao feitas diretamente nos angulos, e apropriado escrevertodas as funcoes separadas por harmonicos.

Cada coeficiente na desenvolvimento sera um polinomio ate ordem 3 emQ.

J =[1

2p0

2 +(p0p20 +

1

4p11

2)Q2]

+

+[1

2p0p11Q+

(1

2p11p20 +

1

2p0p31 +

1

4p11p22

)Q3]cosw1 +

+[(

1

2p0p22 +

1

8p11

2)Q2]cos(2w1) +

+[(

1

2p0p33 +

1

4p11p22

)Q3]cos(3w1) (155)

cos Θ∗1 =

[1 − 1

4Q2]

+[−1

4s22Q

3]cosw1 + (

1

8Q2) cos 2w1 +

+[1

4s22Q

3]cos 3w1 (156)

√2J ∗ cos(Θ∗

1) = (p0 +(−1

4p0 + p20

)Q2)

+ (1

4p11Q+

(1

4p31 −

1

8p0s22 −

3

64p11

)Q3) cosw1 +

+ ((

1

16p0 +

1

4p22

)Q2) cos 2w1 +

+ ((

1

8p0s22 +

1

64p11 +

1

4p33

)Q3) cos 3w1 (157)

Para Θ2 temos

cos(Θ∗2) =

[(1 − 1

4m11

2Q2 − 1

2m11m12Q

3]cos(w∗

2) +

+[−1

2m11Q− 1

2m12Q

2 +(

1

16m11

3 − 1

2m13 −

1

4m11m22

)Q3]cos(w∗

1 + w∗2)

+[1

2m11Q+

1

2m12Q

2 +(− 1

16m11

3 +1

2m13 −

1

4m11m22

)Q3]cos(w∗

1 − w∗2)

+[(

1

8m11

2 − 1

2m22

)Q2 +

(−1

2m23 +

1

4m11m12

)Q3]cos(2w∗

1 + w∗2)

69

+[(

1

8m11

2 +1

2m22

)Q2 +

(1

2m23 +

1

4m11m12

)Q3]cos(2w∗

1 − w∗2)

+[(

− 1

48m11

3 − 1

2m33 +

1

4m11m22

)Q3]cos(3w∗

1 + w∗2)

+[(

1

48m11

3 +1

2m33 +

1

4m11m22

)Q3]cos(3w∗

1 − w∗2)

cos(2Θ∗2) =

[1 −m11

2Q2 − 2m11m12Q3]cos(2w∗

2)

+[−m11Q−m12Q

2 +(

1

2m11

3 −m13 −m11m22

)Q3]cos(w∗

1 + 2w∗2)

+[m11Q+m12Q

2 +(−1

2m11

3 +m13 −m11m22

)Q3]cos(w∗

1 − 2w∗2)

+[(

1

2m11

2 −m22

)Q2 + (−m23 +m11m12)Q

3]cos(2w∗

1 + 2w∗2)

+[(

1

2m11

2 +m22

)Q2 + (m23 +m11m12)Q

3]cos(2w∗

1 − 2w∗2)

+[(

−1

6m11

3 −m33 +m11m22

)Q3]cos(3w∗

1 + 2w∗2)

+[(

1

6m11

3 +m33 +m11m22

)Q3]cos(3w∗

1 − 2w∗2)

Para fazer a media (ate a ordem ε4/3) sobre o angulo rapido, w∗1, necessitamos

escrever a parte perturbadora em termos das novas variaveis;

∆1R = B2

[(β2

1 − β22)e

2J cos 2Θ∗

2 +(C11

B2

− 2β1

)√2J∗

1eJ cos(θ∗1 + Θ∗2)]

+

+ δR010 cos θ∗1 + δR0

01 cos Θ∗2 + δR0

11 cos(θ∗1 + Θ∗2)

− g5

[Λ2 −

1

2β2

1e(p)J

2 + β1e(p)J

√2J1 cos(θ1 − Θ2)

](158)

o ultimo termo se corresponde as relacoes da transformacao de SessinJ2 = Λ2 − 1

2β2

1e(p)J

2 + β1e(p)J

√2J1 cos(θ1 − Θ2).

Sinteticamente podemos escrever a funcao perturbadora como

∆1R =∑

l

∑

m

(∆1R)lm cos(lw1 +mw2),

onde os coeficientes sao calculados a partir da transformacao as novas variaveisdos termos:

√2J1 cos(θ∗1) =

[p0 +

(−1

4p0 + p20

)Q2]

70

+[−e(p)

J β1 +1

4e(p)J β1m11

2Q2 +1

2e(p)J β1m11m12Q

3]cos(w∗

2)

+[1

4p11Q+

(− 3

64p11 −

1

8p0s22 +

1

4p31

)Q3]cos(w∗

1)

+[1

2e(p)J β1m11Q+

1

2e(p)J β1m12Q

2 − 1

16e(p)J β1 (−4m11m22−

− 8m13 +m113)Q3]cos(w∗

1 + w∗2)

+[−1

2e(p)J β1m11Q− 1

2e(p)J β1m12Q

2 +1

16e(p)J β1 (4m11m22−

− 8m13 +m113)Q3]cos(w∗

1 − w∗2)

+[(

1

16p0 +

1

4p22

)Q2]cos(2w∗

1)

+[−1

8e(p)J β1

(−4m22 +m11

2)Q2 − 1

8e(p)J β1 (−4m23 + 2m11m12)Q

3]cos(2w∗

1 + w∗2)

+[−1

8e(p)J β1

(4m22 +m11

2)Q2 − 1

8e(p)J β1 (4m23 + 2m11m12)Q

3]cos(2w∗

1 − w∗2)

+[(

1

8p0s22 +

1

64p11 +

1

4p33

)Q3]cos(3w∗

1)

+[

1

48e(p)J β1

(24m33 +m11

3 − 12m11m22

)Q3]cos(3w∗

1 + w∗2)

+[− 1

48e(p)J β1

(24m33 +m11

3 + 12m11m22

)Q3]cos(3w∗

1 − w∗2)

2J1 =[p0

2 + e(p)J

2β12 +

(2 p0p20 −

15

32p0

2 +1

32p11

2)Q2]

+

+[−2 p0e

(p)J β1 +

1

4e(p)J β1

(p0m11 + 2 p0 − 8 p20 + 2 p0m11

2)Q2+

+1

4e(p)J β1 (p0m12 + 4m11p0m12)Q

3]cos(w∗

2) +

+[1

2p0p11Q+

(1

2p11p20 +

1

2p0p31 +

1

16p11p22−

− 3

16p0

2s22 −3

16p0p11

)Q3]cos(w∗

1) +

+[

1

64e(p)J β1 (−16 p11 + 64 p0m11 + 16 p0)Q+ e

(p)J β1p0m12Q

2+

+1

64e(p)J β1 (3 p11 + 4 p11s22 + 8m11p0s22 − 2 p0 − 8m11p22+

71

+ 8 p11m22 + 8 p0s22 − 4 p22 + 2m11p11 − 6 p0m112 − 18 p0m11 +

+ 2 p11m112 + 8 p0m22 + 64m11p20 − 16 p31 + 64 p0m13 −

+ 8 p0m113 + 16 p0s31 + 16 p20 + 32 p0m11m22

)Q3]cos(w∗

1 + w∗2) +

+[− 1

64e(p)J β1 (16 p11 + 64 p0m11 + 16 p0)Q− e

(p)J β1p0m12Q

2−

− 1

64e(p)J β1 (−3 p11 + 4 p11s22 − 8m11p0s22 − 2 p0 − 8m11p22+

+ 8 p11m22 − 8 p0s22 − 4 p22 − 2m11p11 − 6 p0m112 − 18 p0m11 −

+ 2 p11m112 − 8 p0m22 + 64m11p20 + 16 p31 + 64 p0m13 − 8 p0m11

3 +

+ 16 p0s31 + 16 p20 − 32 p0m11m22)Q3]cos(w∗

1 − w∗2) +

+[(

1

32p11

2 +1

2p0p22 +

3

32p0

2)Q2]cos(2w∗

1) +

+[− 1

16e(p)J β1 (−p11 − 2m11p11 − 16 p0m22 + p0 + 4 p22 − 4 p0s22+

+ 2 p0m11 + 4 p0m112)Q2 − 1

16e(p)J β1 (8m11p0m12+

+ 2 p0m12 − 2 p11m12 − 16 p0m23)Q3]cos(2w∗

1 + w∗2) +

+[− 1

16e(p)J β1 (p11 + 2m11p11 + 16 p0m22 + p0 + 4 p22 + 4 p0s22+

+ 2 p0m11 + 4 p0m112)Q2 − 1

16e(p)J β1 (8m11p0m12+

+ 2 p0m12 + 2 p11m12 + 16 p0m23)Q3]cos(2w∗

1 − w∗2)

+[(

1

16p11p22 +

1

2p0p33 +

3

16p0

2s22 +1

32p0p11 − e

(p)J

2β12m11m22

)Q3]cos(3w∗

1)

+[

1

192e(p)J β1 (−3 p11 + 12 p11s22 − 24m11p0s22 + 2 p0 + 48 p0s33 − 48 p33+

+ 24m11p22 + 24 p11m22 − 24 p0s22 + 12 p22 − 6m11p11 + 6 p0m112 + 6 p0m11 −

+ 6 p11m112 − 24 p0m22

)Q3]cos(3w∗

1 + w∗2)

+[− 1

192e(p)J β1 (3 p11 + 12 p11s22 + 24m11p0s22 + 2 p0 + 48 p0s33 + 48 p33+

+ 24m11p22 + 24 p11m22 + 24 p0s22 + 12 p22 + 6m11p11 + 6 p0m112 + 6 p0m11 +

+ 6 p11m112 + 24 p0m22

)Q3]cos(w∗

1 − w∗2)

72

√2J1 cos(θ∗1 + Θ∗

2) =[p0 +

(−1

4p0 −

1

4p0m11

2 + p20 +1

8p0m11

)Q2+

+(−1

2m11p0m12 +

1

8p0m12

)Q3]cos(w∗

2) +

+[−e(p)

J β1 + e(p)J β1m11

2Q2 + 2 e(p)J β1m11m12Q

3)]cos(2w∗

2) +

+[(

−1

2p0m11 +

1

8p11 +

1

8p0

)Q− 1

2p0m12Q

2+

+(−1

4p0m11m22 +

1

16m11p0s22 +

1

8p20 −

1

32p22−

+1

64p0 −

1

2p0m13 +

1

32p11s22 +

1

8p0s31 −

1

16p11m22 +

+1

16m11p22 −

3

64p0m11

2 +1

16p0m11

3 − 1

2m11p20 +

9

64p0m11 +

+1

16p0m22 −

1

16p0s22 −

3

128p11 +

1

8p31 +

1

64m11p11 −

− 1

64p11m11

2)Q3]cos(w∗

1 + w∗2) +

+[e(p)J β1m11Q+ e

(p)J β1m12Q

2−

− 1

2e(p)J β1

(m11

3 − 2m13 − 2m11m22

)Q3]cos(w∗

1 + 2w∗2) +

+[(

1

2p0m11 +

1

8p11 −

1

8p0

)Q+

1

2p0m12Q

2+

+(−1

4p0m11m22 +

1

16m11p0s22 −

1

8p20 +

1

32p22 +

1

64p0+

+1

2p0m13 −

1

32p11s22 −

1

8p0s31 +

1

16p11m22 −

1

16m11p22 +

+3

64p0m11

2 − 1

16p0m11

3 +1

2m11p20 −

9

64p0m11 +

1

16p0m22 −

+1

16p0s22 −

3

128p11 +

1

8p31 +

1

64m11p11 −

+1

64p11m11

2)Q3]cos(w∗

1 − w∗2) +

+[−e(p)

J β1m11Q− e(p)J β1m12Q

2+

+1

2e(p)J β1

(m11

3 − 2m13 + 2m11m22

)Q3]cos(w∗

1 − 2w∗2) +

73

+[(

1

8p0s22 +

1

32p11 −

1

2p0m22 −

1

16m11p11 −

1

16p0m11+

+1

8p0m11

2 +1

8p22 +

1

32p0

)Q2 +

(−1

2p0m23 −

1

16p11m12−

− 1

16p0m12 +

1

4m11p0m12

)Q3]cos(2w∗

1 + w∗2) +

+[−1

2e(p)J β1

(m11

2 − 2m22

)Q2−

− 1

2e(p)J β1 (2m11m12 − 2m23)Q

3]cos(2w∗

1 + 2w∗2) +

+[(

−1

8p0s22 −

1

32p11 +

1

2p0m22 +

1

16m11p11 −

1

16p0m11+

+1

8p0m11

2 +1

8p22 +

1

32p0

)Q2 +

(1

2p0m23 +

1

16p11m12−

− 1

16p0m12 +

1

4m11p0m12

)Q3]cos(2w∗

1 − w∗2) +

+[(

1

4p0m11m22 −

1

16m11p0s22 +

1

8p0s33 +

1

32p22 +

1

192p0+

+1

32p11s22 −

1

16p11m22 −

1

16m11p22 +

1

64p0m11

2 − 1

48p0m11

3 −

+1

64p0m11 −

1

16p0m22 +

1

8p33 +

1

16p0s22 +

1

128p11 −

+1

64m11p11 +

1

64p11m11

2 − 1

2p0m33

)Q3]cos(3w∗

1 + w∗2) +

+[1

6e(p)J β1

(m11

3 − 6m11m22 + 6m33

)Q3]cos(3w∗

1 + 2w∗2) +

+[(

1

4p0m11m22 −

1

16m11p0s22 −

1

8p0s33 −

1

32p22−

− 1

192p0 −

1

32p11s22 +

1

16p11m22 +

1

16m11p22 −

1

64p0m11

2 +

+1

48p0m11

3 +1

64p0m11 −

1

16p0m22 +

1

8p33 +

1

16p0s22 +

+1

128p11 −

1

64m11p11 +

1

64p11m11

2 +1

2p0m33

)Q3]cos(3w∗

1 − w∗2) +

+[−1

6e(p)J β1

(m11

3 + 6m11m22 + 6m33

)Q3]cos(3w∗

1 − 2w∗2)

√2J1 cos(θ∗1 − Θ∗

2) = −e(p)J β1 +

74

+[p0 +

(p20 −

1

4p0 −

1

4p0m11

2 − 1

8p0m11

)Q2+

+(−1

2m11p0m12 −

1

8p0m12

)Q3]cos(w∗

2) +

+[(

1

8p11 −

1

2p0m11 −

1

8p0

)Q− 1

2p0m12Q

2+

+(− 3

128p11 −

1

32p11s22 −

1

16m11p0s22 +

1

64p0+

+1

16m11p22 −

1

16p11m22 −

1

16p0s22 +

1

32p22 −

− 1

64m11p11 +

3

64p0m11

2 +9

64p0m11 −

1

64p11m11

2 −

− 1

16p0m22 −

1

2m11p20 +

1

8p31 −

1

2p0m13 +

1

16p0m11

3 −

− 1

8p0s31 −

1

8p20 −

1

4p0m11m22

)Q3]cos(w∗

1 + w∗2) +

+[(

1

8p11 +

1

2p0m11 +

1

8p0

)Q+

1

2p0m12Q

2+

+(− 3

128p11 +

1

32p11s22 −

1

16m11p0s22 −

1

64p0 −

1

16m11p22+

+1

16p11m22 −

1

16p0s22 −

1

32p22 −

1

64m11p11 −

+3

64p0m11

2 − 9

64p0m11 −

1

64p11m11

2 − 1

16p0m22 +

+1

2m11p20 +

1

8p31 +

1

2p0m13 −

1

16p0m11

3 +

+1

8p0s31 +

1

8p20 −

1

4p0m11m22

)Q3]cos(w∗

1 − w∗2) +

+[(

− 1

32p11 −

1

16m11p11 −

1

2p0m22 +

1

32p0 +

1

8p22−

+1

8p0s22 +

1

16p0m11 +

1

8p0m11

2)Q2 +

+(

1

4m11p0m12 +

1

16p0m12 −

1

16p11m12 −

1

2p0m23

)Q3]cos(2w∗

1 + w∗2)

+[(

1

32p11 +

1

16m11p11 +

1

2p0m22 +

1

32p0+

+1

8p22 +

1

8p0s22 +

1

16p0m11 +

1

8p0m11

2)Q2 +

75

+(

1

4m11p0m12 +

1

16p0m12 +

1

16p11m12 +

1

2p0m23

)Q3]cos(2w∗

1 − w∗2) +

+[(

1

4p0m11m22 +

1

16m11p0s22 −

1

8p0s33 −

1

32p22−

− 1

192p0 −

1

32p11s22 −

1

16p11m22 −

1

16m11p22 −

− 1

64p0m11

2 − 1

48p0m11

3 − 1

64p0m11 +

1

16p0m22 +

+1

8p33 +

1

16p0s22 +

1

128p11 +

1

64m11p11 +

+1

64p11m11

2 − 1

2p0m33

)Q3]cos(3w∗

1 + w∗2) +

+[(

1

4p0m11m22 +

1

16m11p0s22 +

1

8p0s33 +

1

32p22+

+1

192p0 +

1

32p11s22 +

1

16p11m22 +

1

16m11p22 +

+1

64p0m11

2 +1

48p0m11

3 +1

64p0m11 +

1

16p0m22 +

+1

8p33 +

1

16p0s22 +

1

128p11 +

1

64m11p11 +

+1

64p11m11

2 +1

2p0m33

)Q3]cos(3w∗

1 − w∗2)

Uma vez que temos os desevolvimentos de Fourier destes termos podemoscalcular o desenvolvimento de Fourier para a funcao perturbadora, cujos co-eficientes sao (∆1R)lm. Por causa do tamanho dos coeficientes, as expressoesforam colocadas no anexo C.

7.2.9 A Media

Consideremos agora a transformacao canonica (w∗,Λ∗) → (w∗∗,Λ∗∗) geradapelo gerador de Lie

W (2)(w∗∗,Λ∗∗) = W(2)2 +W

(2)3 + ... (159)

onde os subındices estao relacionados com o grau de homogeneidade em ε2/3.As equacoes de perturbacao sao

F ∗∗ = F ∗(Λ∗∗)

∆1R∗∗ = ∆1R(w∗∗,Λ∗∗) + {F ∗∗,W(2)2 }1 (160)

76

Como a acao Λ∗∗1 possui uma ordem O(ε2/3), na aplicacao da teoria e

necessario levar em conta o fato do que o colchete de Poisson contem duaspartes de diferentes ordens (secao 2).

Para resolver a segunda das equacoes (160), adotamos

∆1R∗∗ =1

2π

∫ 2π

0∆1R∗(w∗∗,Λ∗∗)dw∗∗

1

e obtemos o gerador de Lie ressonante

W(2)2 =

(∂F ∗∗

2

∂Λ∗∗1

)−1 ∫[∆1R∗∗ − ∆1R∗(w∗∗,Λ∗∗)]dw∗∗

1

Para obter W(2)2 consideramos

W(2)2 =

∑

l

∑

s

W(2)ls sin(lw∗∗

1 + sw∗∗2 ).

e reemplazando nas equacoes de perturbacao , obtemos:

W(2)2 =

(∂F ∗∗

2

∂Λ∗∗1

)−1 4∑

l=1

1∑

s=−1

[∆1R]lsl

sin(lw∗∗1 + sw∗∗

2 ).

onde [∆1R]ls sao os coeficiente dos termos periodicos de ∆1R.Ate esta ordem, a transformacao canonica que relaciona os elementos

semi-medios com os elementos medios vem dada por

w∗ = w∗∗ + {w∗∗,W(2)2 }1

Λ∗ = Λ∗∗ + {Λ∗∗,W(2)2 }1 (161)

O Hamiltoniano resultante para os elementos medios e:

H∗∗ = F (Λ∗∗) +8∑

j=6

gjΛ∗∗j−1 − ε∆(R∗∗)00 − ε∆1R∗∗(w∗∗

2 ,Λ∗∗) (162)

o ultimo termo indica que apos da media dependem do angulo w∗∗2 .

77

7.2.10 Terceira Media: Os Elementos Proprios

Usando novamente as series de Lie ate primeira ordem no pequeno parametroε2/3 para construir a transformacao canonica (w∗∗,Λ∗∗) → (w∗∗∗,Λ∗∗∗) geradapelo gerador de Lie W (3)(w∗∗∗,Λ∗∗∗) . as equacoes de perturbacao sao

H∗∗∗ = H∗∗(w∗∗∗,Λ∗∗∗) + {F ∗∗∗,W (3)} (163)

Para resolver esta ultima equacao , adotamos novamente a media 3

H∗∗∗ =1

2π

∫ 2π

0H∗∗(w∗∗∗,Λ∗∗∗)dw∗∗∗

2

A maneira de obter o gerador de Lie e similar a forma da secao anterior.Por tanto com esta aplicacao obtivemos as quase-integrais Λ∗∗∗, que chama-mos Elementos Proprios Dinamicos

Λ∗∗∗ esta relacionada com Λ∗∗ por

Λ∗∗∗ = Λ∗∗ +∂W

(3)3 (w∗∗,Λ∗∗)

∂w∗∗(164)

e na transformacao nos angulos e similar.Uma vez que temos elementos proprios dinamicos podemos definir, em

forma analoga os chamados elementos proprios elipticos equivalentes a∗∗∗ ee∗∗∗ como fora enunciado na secao anterior (Miloni et al. 2005).

3Neste caso consideramos os efeitos ate primeira ordem em ε1/3. Se precisamos fazeruma teoria ate ordem maior, devemos levar em conta os termos que associados aos angulosw4, w5, w6, w7 e w8.

78

8 Conclusao

Nesta tese deixamos formulado uma teoria que permite calcular os elementosproprios para asteroides ressonantes. Embora os desenvolvimentos tenhamsido escritos para a ressonancia 3:2, em geral esta abordagem pode ser usadapara qualquer tipo de ressonancia de primeira ordem.

Na aplicacao da teoria de series de Lie para sistemas ressonantes, houvedificuldades para a execucao de cada passo no esquema formulado para aconstrucao dos elementos proprios. Estas dificuldades em alguns casos fo-ram algebricas, pelo tamanho das equacoes. Mas os principais problemasestiveram ligados ao proprio desenvolvimento da teoria.

A incorporacao dos termos da solucao secular de Lagrange-Laplace nafuncao perturbadora nos obrigou a achar desenvolvimentos para que a ex-pressao final contivesse todas as longitudes medias e argumentos do perieliodos planetas maiores, a fim de trabalhar com a excentricidade propria deJupiter como constante.

A construcao do modelo integravel, em vez de seguir o caminho classicode escolha do modelo do pendulo ou o Hamiltoniano de Andoyer com umharmonico, foi feita estudando a grandeza numerica dos coeficientes da funcaoperturbadora. Esta maneira de escolher permite duas coisas:i) Aplicar uma teorıa ressonante sem perder a topologia da ressonancia.ii) Manter no Hamiltoniano ressonante os termos da funcao perturbadora damesma ordem em termos absolutos.

Esta escolha do Hamiltoniano fez com que o kernel de Hori nao necessa-riamente seja de aqueles com solucao analıtica conhecida. Mais ainda, estecriterio nos obriga a procurar as solucoes propondo desenvolvimentos emserie para todas as funcoes envolvidas e para os parametros relacionados.Neste trabalho procuramos as solucoes por construcao de solucoes periodicasnuma vizinhanca do ponto de libracao.

O estudo da periodicidade da funcao Ξ2 que define a transformacao deHenrard-Lemaıtre (secao 7.2.9), propriedade sem a qual nao poderiamos con-tinuar com as transformacoes, foi mostrada por calculo direto em comparacaocom a expressao achada para a variavel acao.

A limitacao mais importante que possui esta teoria e o fato que apenasfoi analisado o problema no plano: Isto permite so obter os elementos Ke-plerianos equivalentes semieixo e excentricidade.

Para poder ter uma comparacao com outras teorias de elementos proprios,e preciso construir uma teoria no espaco, a fim de poder construir um con-

79

junto completo de elementos proprios, a, e e a inclinacao I.

80

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84

A Os Coeficientes Dkm e Ek

m

e2J = e(p)J

2+ 2 e

(p)J A6 cos (θ4 − θ5) + 2 e

(p)J A7 cos (θ4 − θ6) + A6

2

+ 2 e(p)J A8 cos (θ4 − θ7) + 2A6A7 cos (θ5 − θ6) + 2A6A8 cos (θ5 − θ7) +

+ A72 + 2A7A8 cos (θ6 − θ7) + A8

2 (165)

e4J = 2 e(p)J

2A6

2 cos (2 θ4 − 2 θ5) + 2 e(p)J

2A8

2 cos (2 θ4 − 2 θ7) +

+ 2A72A8

2 cos (2 θ6 − 2 θ7) 4 e(p)J

2A6

2 + 4 e(p)J

2A7

2 + 4 e(p)J

2A8

2 +

+ 4A62A7

2 + 4A62A8

2 + 4A72A8

2 + 8 e(p)J

2A6A7 cos (θ5 − θ6) +

+ 8 e(p)J

2A6A8 cos (θ5 − θ7) + 8 e

(p)J

2A7A8 cos (θ6 − θ7) + 8 e

(p)J A6 cos (θ4 − θ5)A7

2 +

+ 8 e(p)J A6 cos (θ4 − θ5)A8

2 + 8 e(p)J A7 cos (θ4 − θ6)A6

2 + 8 e(p)J A7 cos (θ4 − θ6)A8

2 +

+ 8A62e

(p)J A8 cos (θ4 − θ7) + 8A6

2A7A8 cos (θ6 − θ7) + 8 e(p)J A8 cos (θ4 − θ7)A7

2 +

+ 8A6A7 cos (θ5 − θ6)A82 + 8A6A8 cos (θ5 − θ7)A7

2 + e(p)J

4+ A6

4 + A74 + A8

4 +

+ 4 e(p)J

3A6 cos (θ4 − θ5) + 4 e

(p)J

3A7 cos (θ4 − θ6) + 4 e

(p)J

3A8 cos (θ4 − θ7) +

+ 4 e(p)J A6

3 cos (θ4 − θ5) + 4 e(p)J A7

3 cos (θ4 − θ6) + 4A63A7 cos (θ5 − θ6) +

+ 4A63A8 cos (θ5 − θ7) + 4 e

(p)J A8

3 cos (θ4 − θ7) + 4A6A73 cos (θ5 − θ6) +

+ 4A6A83 cos (θ5 − θ7) + 4A7

3A8 cos (θ6 − θ7) + 4A7A83 cos (θ6 − θ7) +

+ 4 e(p)J

2A6A7 cos (2 θ4 − θ5 − θ6) + 4 e

(p)J

2A6A8 cos (2 θ4 − θ5 − θ7) +

+ 4 e(p)J A6

2A7 cos (θ4 − 2 θ5 + θ6) + 4 e(p)J A6

2A8 cos (θ4 − 2 θ5 + θ7) +

+ 8 e(p)J A6A7A8 cos (θ4 − θ5 − θ6 + θ7) + 8 e

(p)J A6A7A8 cos (θ4 − θ5 + θ6 − θ7) +

+ 2 e(p)J

2A7

2 cos (2 θ4 − 2 θ6) + 2A62A7

2 cos (2 θ5 − 2 θ6) +

+ A62A8

2 cos (2 θ5 − 2 θ7) + 4 e(p)J

2A7A8 cos (2 θ4 − θ6 − θ7) +

+ 4 e(p)J A7

2A6 cos (θ4 − 2 θ6 + θ5) + 4 e(p)J A7

2A8 cos (θ4 − 2 θ6 + θ7) +

+ 4 e(p)J A8

2A6 cos (θ4 − 2 θ7 + θ5) + 4 e(p)J A8

2A7 cos (θ4 − 2 θ7 + θ6) +

+ 4A62A7A8 cos (2 θ5 − θ6 − θ7) + A6A7

2A8 cos (θ5 − 2 θ6 + θ7) +

+ 4A6A82A7 cos (θ5 − 2 θ7 + θ6) + 8 e

(p)J A6A7A8 cos (θ4 − θ6 + θ5 − θ7) . (166)

Com as primeiras potencias da excentricidade, podemos calcular os pri-meiros Dm

m e Emm .

85

Estes sao :

D22 = A6

2 cos (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ5) + e(p)J

2cos (2 θ2) + A8

2 cos (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ7) +

+ A72 cos (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ6) + 2 e

(p)J A6 cos (2 θ2 + θ4 − θ5) +

+ 2A6A8 cos (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ7) + 2A6A7 cos (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ6) +

+ 2 e(p)J A8 cos (2 θ2 + θ4 − θ7) + 2 e

(p)J A7 cos (2 θ2 + θ4 − θ6) +

+ 2A7A8 cos (2 θ2 + 2 θ4 − θ6 − θ7) (167)

E22 = 2 e

(p)J A6 sin (2 θ2 + θ4 − θ5) + e

(p)J

2sin (2 θ2) + 2 e

(p)J A8 sin (2 θ2 + θ4 − θ7) +

+ 2 e(p)J A7 sin (2 θ2 + θ4 − θ6) + A6

2 sin (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ5) +

+ 2A6A8 sin (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ7) + 2A6A7 sin (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ6) + (168)

+ 2A7A8 sin (2 θ2 + 2 θ4 − θ6 − θ7) + A72 sin (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ6) +

+ A82 sin (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ7)

D33 = 3A7

2A8 cos (3 θ2 + 3 θ4 − 2 θ6 − θ7) + 3A8A62 cos (3 θ2 + 3 θ4 − θ7 − 2 θ5) +

+ 3A8e(p)J

2cos (3 θ2 + θ4 − θ7) + 3A8

2A6 cos (3 θ2 + 3 θ4 − 2 θ7 − θ5) +

+ 6A8e(p)J A7 cos (3 θ2 + 2 θ4 − θ7 − θ6) + 3A8

2e(p)J cos (3 θ2 + 2 θ4 − 2 θ7) +

+ 3A82A7 cos (3 θ2 + 3 θ4 − 2 θ7 − θ6) + 3 e

(p)J A6

2 cos (3 θ2 + 2 θ4 − 2 θ5) +

+ 6A6A7A8 cos (3 θ2 + 3 θ4 − θ5 − θ6 − θ7) + 6A6e(p)J A7 cos (3 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ6) +

+ 6A6e(p)J A8 cos (3 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ7) + 3 e

(p)J A7

2 cos (3 θ2 + 2 θ4 − 2 θ6) +

+ 3 e(p)J

2A6 cos (3 θ2 + θ4 − θ5) + 3 e

(p)J

2A7 cos (3 θ2 + θ4 − θ6) +

+ 3A6A72 cos (3 θ2 + 3 θ4 − θ5 − 2 θ6) + 3A6

2A7 cos (3 θ2 + 3 θ4 − 2 θ5 − θ6) +

+ A63 cos (3 θ2 + 3 θ4 − 3 θ5) + A7

3 cos (3 θ2 + 3 θ4 − 3 θ6) +

+ A83 cos (3 θ2 + 3 θ4 − 3 θ7) + e

(p)J

3cos (3 θ2) (169)

E33 = 6A6e

(p)J A8 sin (3 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ7) + 6A6e

(p)J A7 sin (3 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ6) +

+ 6A8e(p)J A7 sin (3 θ2 + 2 θ4 − θ7 − θ6) + 3 e

(p)J

2A6 sin (3 θ2 + θ4 − θ5) +

+ 3A8e(p)J

2sin (3 θ2 + θ4 − θ7) + e

(p)J

3sin (3 θ2) + A8

3 sin (3 θ2 + 3 θ4 − 3 θ7) +

+ A73 sin (3 θ2 + 3 θ4 − 3 θ6) + A6

3 sin (3 θ2 + 3 θ4 − 3 θ5) +

86

+ 6A6A7A8 sin (3 θ2 + 3 θ4 − θ5 − θ6 − θ7) + 3 e(p)J

2A7 sin (3 θ2 + θ4 − θ6) +

+ 3 e(p)J A6

2 sin (3 θ2 + 2 θ4 − 2 θ5) + 3 e(p)J A7

2 sin (3 θ2 + 2 θ4 − 2 θ6) +

+ 3A82e

(p)J sin (3 θ2 + 2 θ4 − 2 θ7) + 3A8A6

2 sin (3 θ2 + 3 θ4 − θ7 − 2 θ5) +

+ 3A62A7 sin (3 θ2 + 3 θ4 − 2 θ5 − θ6) + 3A6A7

2 sin (3 θ2 + 3 θ4 − θ5 − 2 θ6) +

+ 3A82A6 sin (3 θ2 + 3 θ4 − 2 θ7 − θ5) + 3A7

2A8 sin (3 θ2 + 3 θ4 − 2 θ6 − θ7) +

+ 3A82A7 sin (3 θ2 + 3 θ4 − 2 θ7 − θ6) (170)

D31 = 2A6A7A8 cos (θ2 + θ4 + θ5 − θ6 − θ7) + 2 e

(p)J A8A6 cos (θ2 + θ5 − θ7) +

+ 2A6A7A8 cos (θ2 + θ4 + θ7 − θ5 − θ6) + 2 e(p)J A8A7 cos (θ2 + θ6 − θ7) +

+ 2A7e(p)J A6 cos (θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ6) + 2A6

2e(p)J cos (θ2) + 2 e

(p)J

2A6 cos (θ2 + θ4 − θ5) +

+ 2 e(p)J

2A7 cos (θ2 + θ4 − θ6) + 2 e

(p)J

2A8 cos (θ2 + θ4 − θ7) + 2A6

2A7 cos (θ2 + θ4 − θ6) +

+ 2A62A8 cos (θ2 + θ4 − θ7) + 2A7

2e(p)J cos (θ2) + 2A7

2A6 cos (θ2 + θ4 − θ5) +

+ 2A72A8 cos (θ2 + θ4 − θ7) + 2A8

2e(p)J cos (θ2) + 2A8

2A6 cos (θ2 + θ4 − θ5) +

+ 2A82A7 cos (θ2 + θ4 − θ6) + A6e

(p)J

2cos (θ2 − θ4 + θ5) + 2 e

(p)J A8A6 cos (θ2 + θ7 − θ5) +

+ 2 e(p)J A8A6 cos (θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ7) + 2 e

(p)J A8A7 cos (θ2 + θ7 − θ6) +

+ 2 e(p)J A8A7 cos (θ2 + 2 θ4 − θ6 − θ7) + 2A7e

(p)J A6 cos (θ2 + θ6 − θ5) +

+ 2A7e(p)J A6 cos (θ2 + θ5 − θ6) + 2A6A7A8 cos (θ2 + θ4 + θ6 − θ5 − θ7) + e

(p)J

3cos (θ2) +

+ A63 cos (θ2 + θ4 − θ5) + A7

3 cos (θ2 + θ4 − θ6) + A83 cos (θ2 + θ4 − θ7) +

+ A62e

(p)J cos (θ2 + 2 θ4 − 2 θ5) + A7e

(p)J

2cos (θ2 − θ4 + θ6) +

+ A72e

(p)J cos (θ2 + 2 θ4 − 2 θ6) + e

(p)J

2A8 cos (θ2 − θ4 + θ7) +

+ e(p)J A8

2 cos (θ2 + 2 θ4 − 2 θ7) + A62A7 cos (θ2 + θ4 + θ6 − 2 θ5) +

+ A6A72 cos (θ2 + θ4 + θ5 − 2 θ6) + A6

2A8 cos (θ2 + θ4 + θ7 − 2 θ5) +

+ A6A82 cos (θ2 + θ4 + θ5 − 2 θ7) + A7

2A8 cos (θ2 + θ4 + θ7 − 2 θ6) +

+ A7A82 cos (θ2 + θ4 + θ6 − 2 θ7) (171)

D42 = 6A8

2e(p)J A7 cos (2 θ2 + θ4 − θ6) + 6A8

2e(p)J A6 cos (2 θ2 + θ4 − θ5) +

+ 6A82A6A7 cos (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ6) + 3 e

(p)J A6

2A8 cos (2 θ2 + 3 θ4 − 2 θ5 − θ7) +

+ 3 e(p)J A6A8

2 cos (2 θ2 + θ4 + θ5 − 2 θ7) + 3 e(p)J A6A8

2 cos (2 θ2 + 3 θ4 − θ5 − 2 θ7) +

87

+ 3 e(p)J

2A7A6 cos (2 θ2 + θ6 − θ5) + 3 e

(p)J A7

2A6 cos (2 θ2 + 3 θ4 − 2 θ6 − θ5) +

+ 3 e(p)J

2A8

2 cos (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ7) + 3 e(p)J

2A6

2 cos (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ5) +

+ 3A62A7

2 cos (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ6) + 3A63e

(p)J cos (2 θ2 + θ4 − θ5) +

+ 3A63A7 cos (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ6) + 3A6

3A8 cos (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ7) +

+ 3A62A8

2 cos (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ7) + 3A62e

(p)J

2cos (2 θ2) +

+ 3A73e

(p)J cos (2 θ2 + θ4 − θ6) + 3A7

3A6 cos (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ6) +

+ 3A73A8 cos (2 θ2 + 2 θ4 − θ6 − θ7) + 3A7

2A82 cos (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ7) +

+ 3A72A6

2 cos (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ5) + 3A72e

(p)J

2cos (2 θ2) +

+ 3A82A7

2 cos (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ6) + 3A83e

(p)J cos (2 θ2 + θ4 − θ7) +

+ 3A83A6 cos (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ7) + 3A8

3A7 cos (2 θ2 + 2 θ4 − θ6 − θ7) +

+ 3A82A6

2 cos (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ5) + 3A82e

(p)J

2cos (2 θ2) +

+ 6 e(p)J

2A6A7 cos (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ6) + e

(p)J

4cos (2 θ2) +

+ A74 cos (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ6) + A8

4 cos (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ7) +

+ A64 cos (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ5) + 3 e

(p)J

2A7

2 cos (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ6) +

+ 3 e(p)J

3A7 cos (2 θ2 + θ4 − θ6) + 3 e

(p)J

3A6 cos (2 θ2 + θ4 − θ5) +

+ 3 e(p)J

3A8 cos (2 θ2 + θ4 − θ7) + 6 ejp2A6A8 cos (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ7) +

+ 6 e(p)J

2A7A8 cos (2 θ2 + 2 θ4 − θ6 − θ7) + 6A6

2e(p)J A7 cos (2 θ2 + θ4 − θ6) +

+ 6A62e

(p)J A8 cos (2 θ2 + θ4 − θ7) + 6A6

2A7A8 cos (2 θ2 + 2 θ4 − θ6 − θ7) +

+ 6A72e

(p)J A6 cos (2 θ2 + θ4 − θ5) + 6A7

2e(p)J A8 cos (2 θ2 + θ4 − θ7) +

+ 6A72A6A8 cos (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ7) + 6 e

(p)J A6A7A8 cos (2 θ2 + θ4 + θ5 − θ6 − θ7) +

+ 6 e(p)J A6A7A8 cos (2 θ2 + 3 θ4 − θ6 − θ5 − θ7) + A7A8

3 cos (2 θ2 + 2 θ4 + θ6 − 3 θ7) +

+ 3 e(p)J A7A8

2 cos (2 θ2 + θ4 + θ6 − 2 θ7) + 3 e(p)J A7A8

2 cos (2 θ2 + 3 θ4 − θ6 − 2 θ7) +

+ 3 e(p)J A7A6

2 cos (2 θ2 + θ4 + θ6 − 2 θ5) + 3 e(p)J A7A6

2 cos (2 θ2 + 3 θ4 − θ6 − 2 θ5) +

+ 6 e(p)J A6A7A8 cos (2 θ2 + θ4 + θ6 − θ5 − θ7) + 3 e

(p)J

2A7A8 cos (2 θ2 + θ6 − θ7) +

+ 3 e(p)J A7

2A8 cos (2 θ2 + 3 θ4 − 2 θ6 − θ7) + 3A72A8A6 cos (2 θ2 + 2 θ4 + θ7 − 2 θ6 − θ5) +

+ 3A7A82A6 cos (2 θ2 + 2 θ4 + θ6 − θ5 − 2 θ7) + 3A6A8e

(p)J

2cos (2 θ2 + θ7 − θ5) +

+ 3A6A8e(p)J

2cos (2 θ2 + θ5 − θ7) + 3 e

(p)J A7

2A8 cos (2 θ2 + θ4 + θ7 − 2 θ6) +

+ 3 e(p)J A6

2A8 cos (2 θ2 + θ4 + θ7 − 2 θ5) + 3 e(p)J A7

2A6 cos (2 θ2 + θ4 + θ5 − 2 θ6) +

88

+ 3A72A8A6 cos (2 θ2 + 2 θ4 + θ5 − 2 θ6 − θ7) + 3A7A8

2A6 cos (2 θ2 + 2 θ4 + θ5 − θ6 − 2 θ7) +

+ 3 e(p)J

2A7A6 cos (2 θ2 + θ5 − θ6) + e

(p)J A6

3 cos (2 θ2 + 3 θ4 − 3 θ5) +

+ e(p)J

3A6 cos (2 θ2 − θ4 + θ5) + 3A7A8A6

2 cos (2 θ2 + 2 θ4 + θ7 − θ6 − 2 θ5) +

+ 3A7A8A62 cos (2 θ2 + 2 θ4 + θ6 − 2 θ5 − θ7) + 3 e

(p)J

2A7A8 cos (2 θ2 + θ7 − θ6) +

+ e(p)J A7

3 cos (2 θ2 + 3 θ4 − 3 θ6) + e(p)J

3A7 cos (2 θ2 − θ4 + θ6) +

+ e(p)J A8

3 cos (2 θ2 + 3 θ4 − 3 θ7) + e(p)J

3A8 cos (2 θ2 − θ4 + θ7) +

+ A6A73 cos (2 θ2 + 2 θ4 + θ5 − 3 θ6) + A6

3A7 cos (2 θ2 + 2 θ4 + θ6 − 3 θ5) +

+ A6A83 cos (2 θ2 + 2 θ4 + θ5 − 3 θ7) + A6

3A8 cos (2 θ2 + 2 θ4 + θ7 − 3 θ5) +

+ A73A8 cos (2 θ2 + 2 θ4 + θ7 − 3 θ6) + 6 e

(p)J A6A7A8 cos (2 θ2 + θ4 + θ7 − θ5 − θ6) (172)

E31 = 2 e

(p)J A8A6 sin (θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ7) + 2 e

(p)J A8A6 sin (θ2 + θ5 − θ7) +

+ 2 e(p)J A8A6 sin (θ2 + θ7 − θ5) + 2 e

(p)J A7A6 sin (θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ6) +

+ 2 e(p)J A7A6 sin (θ2 + θ6 − θ5) + 2 e

(p)J A7A8 sin (θ2 + 2 θ4 − θ6 − θ7) +

+ 2 e(p)J A7A8 sin (θ2 + θ6 − θ7) + 2A6

2A8 sin (θ2 + θ4 − θ7) +

+ 2A72e

(p)J sin (θ2) + 2A7

2A6 sin (θ2 + θ4 − θ5) +

+ 2A72A8 sin (θ2 + θ4 − θ7) + 2A8

2e(p)J sin (θ2) +

+ 2A82A6 sin (θ2 + θ4 − θ5) + 2A8

2A7 sin (θ2 + θ4 − θ6) +

+ 2A62e

(p)J sin (θ2) + 2 e

(p)J

2A6 sin (θ2 + θ4 − θ5) +

+ 2 e(p)J

2A7 sin (θ2 + θ4 − θ6) + 2 e

(p)J

2A8 sin (θ2 + θ4 − θ7) +

+ 2A62A7 sin (θ2 + θ4 − θ6) + e

(p)J A8

2 sin (θ2 + 2 θ4 − 2 θ7) +

+ A62A7 sin (θ2 + θ4 + θ6 − 2 θ5) + A7

3 sin (θ2 + θ4 − θ6) +

+ A83 sin (θ2 + θ4 − θ7) + 2 e

(p)J A7A6 sin (θ2 + θ5 − θ6) +

+ 2A6A7A8 sin (θ2 + θ4 + θ5 − θ6 − θ7) + 2A6A7A8 sin (θ2 + θ4 + θ6 − θ5 − θ7) +

+ 2A6A7A8 sin (θ2 + θ4 + θ7 − θ5 − θ6) + 2 e(p)J A7A8 sin (θ2 + θ7 − θ6) +

+ A62A8 sin (θ2 + θ4 + θ7 − 2 θ5) + A6A8

2 sin (θ2 + θ4 + θ5 − 2 θ7) +

+ A72A8 sin (θ2 + θ4 + θ7 − 2 θ6) + A7A8

2 sin (θ2 + θ4 + θ6 − 2 θ7) +

+ e(p)J A6

2 sin (θ2 + 2 θ4 − 2 θ5) + e(p)J

2A7 sin (θ2 − θ4 + θ6) +

+ e(p)J A7

2 sin (θ2 + 2 θ4 − 2 θ6) + e(p)J

2A8 sin (θ2 − θ4 + θ7) +

89

+ e(p)J

2A6 sin (θ2 − θ4 + θ5) + A6

3 sin (θ2 + θ4 − θ5) + A6A72 sin (θ2 + θ4 + θ5 − 2 θ6) +

+ e(p)J

3sin (θ2) (173)

E42 = 3A7

3A8 sin (2 θ2 + 2 θ4 − θ6 − θ7) + 3A6A83 sin (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ7) +

+ A73A8 sin (2 θ2 + 2 θ4 + θ7 − 3 θ6) + 3 e

(p)J A7

3 sin (2 θ2 + θ4 − θ6) +

+ A63A7 sin (2 θ2 + 2 θ4 + θ6 − 3 θ5) + 3A7

2A82 sin (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ6) +

+ 3A62A7

2 sin (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ6) + e(p)J

3A7 sin (2 θ2 − θ4 + θ6) +

+ A6A73 sin (2 θ2 + 2 θ4 + θ5 − 3 θ6) + 3 e

(p)J

2A7

2 sin (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ6) +

+ A63A8 sin (2 θ2 + 2 θ4 + θ7 − 3 θ5) + 3 e

(p)J

2A6

2 sin (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ5) +

+ e(p)J A7

3 sin (2 θ2 + 3 θ4 − 3 θ6) + 3A7A83 sin (2 θ2 + 2 θ4 − θ6 − θ7) +

+ 3 e(p)J

3A6 sin (2 θ2 + θ4 − θ5) + 3A6A7

3 sin (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ6) +

+ 3A63A8 sin (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ7) + 3 e

(p)J

2A6

2 sin (2 θ2) +

+ 3 e(p)J

3A7 sin (2 θ2 + θ4 − θ6) + 3 e

(p)J

3A8 sin (2 θ2 + θ4 − θ7) +

+ e(p)J

3A6 sin (2 θ2 − θ4 + θ5) + 3 e

(p)J

2A7

2 sin (2 θ2) +

+ e(p)J A6

3 sin (2 θ2 + 3 θ4 − 3 θ5) + 3 e(p)J

2A8

2 sin (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ7) +

+ e(p)J

3A8 sin (2 θ2 − θ4 + θ7) + 3A6

2A82 sin (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ7) +

+ e(p)J A8

3 sin (2 θ2 + 3 θ4 − 3 θ7) + 3A63A7 sin (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ6) +

+ 3 e(p)J A8

3 sin (2 θ2 + θ4 − θ7) + A7A83 sin (2 θ2 + 2 θ4 + θ6 − 3 θ7) +

+ 3 e(p)J A6

3 sin (2 θ2 + θ4 − θ5) + 3 e(p)J

2A8

2 sin (2 θ2) +

+ A6A83 sin (2 θ2 + 2 θ4 + θ5 − 3 θ7) + 3A6

2A72 sin (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ5) +

+ 3A72A8

2 sin (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ7) + 3A62A8

2 sin (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ5) +

+ e(p)J

4sin (2 θ2) + A6

4 sin (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ5) +

+ A84 sin (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ7) + A7

4 sin (2 θ2 + 2 θ4 − 2 θ6) +

+ 3 e(p)J A7

2A8 sin (2 θ2 + 3 θ4 − 2 θ6 − θ7) + 6 e(p)J A6A7A8 sin (2 θ2 + 3 θ4 − θ5 − θ6 − θ7) +

+ 3 e(p)J A6

2A8 sin (2 θ2 + 3 θ4 − 2 θ5 − θ7) + 3 e(p)J A8

2A7 sin (2 θ2 + 3 θ4 − θ6 − 2 θ7) +

+ 3 e(p)J A8

2A6 sin (2 θ2 + 3 θ4 − θ5 − 2 θ7) + 3 e(p)J A7

2A6 sin (2 θ2 + 3 θ4 − θ5 − 2 θ6) +

+ 3 e(p)J A6

2A7 sin (2 θ2 + 3 θ4 − 2 θ5 − θ6) + 6 e(p)J

2A6A7 sin (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ6) +

90

+ 6 e(p)J

2A6A8 sin (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ7) + 6 e

(p)J

2A7A8 sin (2 θ2 + 2 θ4 − θ6 − θ7) +

+ 3 e(p)J

2A6A7 sin (2 θ2 + θ5 − θ6) + 3A6A7

2A8 sin (2 θ2 + 2 θ4 + θ5 − 2 θ6 − θ7) +

+ 3 e(p)J A7

2A6 sin (2 θ2 + θ4 + θ5 − 2 θ6) + 3A6A82A7 sin (2 θ2 + 2 θ4 + θ5 − θ6 − 2 θ7) +

+ 3 e(p)J

2A6A8 sin (2 θ2 + θ5 − θ7) + 3 e

(p)J A8

2A6 sin (2 θ2 + θ4 + θ5 − 2 θ7) +

+ 6 e(p)J A6

2A7 sin (2 θ2 + θ4 − θ6) + 6 e(p)J A6

2A8 sin (2 θ2 + θ4 − θ7) +

+ 6A62A7A8 sin (2 θ2 + 2 θ4 − θ6 − θ7) + 3 e

(p)J

2A6A7 sin (2 θ2 + θ6 − θ5) +

+ 3A62A7A8 sin (2 θ2 + 2 θ4 + θ6 − 2 θ5 − θ7) + 3A6A8

2A7 sin (2 θ2 + 2 θ4 + θ6 − θ5 − 2 θ7) +

+ 3 e(p)J A6

2A7 sin (2 θ2 + θ4 + θ6 − 2 θ5) + 3 e(p)J

2A7A8 sin (2 θ2 + θ6 − θ7) +

+ 3 e(p)J A8

2A7 sin (2 θ2 + θ4 + θ6 − 2 θ7) + 6 e(p)J A7

2A6 sin (2 θ2 + θ4 − θ5) +

+ 6 e(p)J A7

2A8 sin (2 θ2 + θ4 − θ7) + 6A6A72A8 sin (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ7) +

+ 3 e(p)J

2A7A8 sin (2 θ2 + θ7 − θ6) + 6 e

(p)J A6A7A8 sin (2 θ2 + θ4 + θ5 − θ6 − θ7) +

+ 6 e(p)J A6A7A8 sin (2 θ2 + θ4 + θ6 − θ5 − θ7) + 3 e

(p)J A7

2A8 sin (2 θ2 + θ4 + θ7 − 2 θ6) +

+ 3 e(p)J

2A6A8 sin (2 θ2 + θ7 − θ5) + 3 e

(p)J A6

2A8 sin (2 θ2 + θ4 + θ7 − 2 θ5) +

+ 3A6A72A8 sin (2 θ2 + 2 θ4 + θ7 − θ5 − 2 θ6) + 3A6

2A7A8 sin (2 θ2 + 2 θ4 + θ7 − 2 θ5 − θ6) +

+ 6 e(p)J A8

2A6 sin (2 θ2 + θ4 − θ5) + 6 e(p)J A8

2A7 sin (2 θ2 + θ4 − θ6) +

+ 6A6A82A7 sin (2 θ2 + 2 θ4 − θ5 − θ6) + 6 e

(p)J A6A7A8 sin (2 θ2 + θ4 + θ7 − θ5 − θ6) (174)

91

B Solucao formal para o Hamiltoniano de An-

doyer ate a ordem O(Q6)

Neste apendice vamos escrever as solucoes para o Hamiltoniano de Andoyerate a ordem O(Q6).

Os passos para obter as solucoes foram explicados na secao 6. Nesteapendice vamos escrever as solucoes ate a ordem O(Q6).

Para as variaveis p =√

2J ∗ e Θ∗1 supomos os desenvolvimentos

p =5∑

l=0

plQl

Θ∗1 =

5∑

l=1

slQl (175)

e para a frequencia

ω∗1 = ω0∗

1 +n∑

i=1

oiQi. (176)

Chamando ρ = a + 3bp20 + 2µ′, obtemos

ω0∗1 =

√−p0(ε′ + 4µ′p0)ρ

p0(177)

Ordem 1:

s1 = sinw∗1

p1 =p0ω

0∗1

ρcosw∗

1 (178)

Ordem 2:

s2 =(2bp2

0 − ρ)ω0∗1

2ρ2sin 2w∗

1

p2 =1

4ρ2

[(−ε′ρ+ 24bp3

0µ′ + 6bp2

0ε′) −

− (−ε′ρ+ 8bp30µ

′ + 2bp20ε

′) cos 2w∗1

]

o1 = 0 (179)

92

Ordem 3:

s3 =1

192p20ρ

2ω0∗1

2

[108p4

0b2ε′2 + 172p6

0b2µ′21152p3

0bε′µ′ρ+ 864p5

0b2ε′µ′+

+ 63ε′2ρ2 − p0ε′ρ3 − 2016p4

0bµ′2ρ+ 432p0ε

′µ′ρ2 −− 16p2

0µ′ρ3 − 162p2

0bε′2ρ+ 768p2

0µ′2ρ2

]sin 3w∗

1

p3 =1

64p0ρ3ω0∗1

[4(960p6

0b2µ′2 + 480p5

0b2ε′µ′ − 416µ′2ρp4

0b+ 60p40b

2ε′2 −

− 176µ′ρp30bε

′ − 64µ′2ρ2p20 + 16µ′p2

0ρ3 − 18p2

0bε′2ρ− 8µ′ρ2p0ε

′ +

+ ε′ρ3p0ε′ − ε′2ρ2) cosw∗

1 + (192p60b

2µ′2 + 96p50b

2ε′µ′ − 32µ′2ρp40b+

+ 12p40b

2ε′2 − 64µ′ρp30bε

′ − 16µ′ρp30 − 18p2

0bε′2ρ+ 16µ′p0ρ

2ε′ −− ε′ρ3p0 + 7ε′2ρ2) cos 2w∗

1

]

o2 =1

16p20ρ

2ω0∗1

[60p4

0b2ε′2 − ρ2ε′2 + 960p6

0b2µ′2 − 480p5

0b2ε′µ′ − 96µ′2ρp4

0b −

− 16µ′ρ2p0ε′ − 16µ′p2

0ρ3 − 18p2

0bε′2ρ− 96µ′ρp3

0bε′ − ε′ρ3p0

](180)

Ordem 4:

s4 =−1

192p20ρ

4ω0∗1

[−8160p5

0b2ε′µ′ρ− 16512b2p6

0µ′2ρ− 112µ′p2

0ρ4 − 7ε′p0ρ

4 + 2136b3p60ε

′2 −

− 7ε′2ρ3 + 17088b3p70ε

′µ′ + 34176b3p80µ

′2 + 96ε′µ′bp30ρ

2 − 14bε′p30ρ

3 −− 288bp4

0µ′2ρ2 − 112ε′µ′p0ρ

3 + 224bp40µ

′ρ3 − 1008p40b

2ε′2ρ]sin 2w∗

1 −

− −1

96p20ρ

4ω0∗1

[432ε′µ′bp3

0ρ2 − 2p3

0bε′ρ3 + 672p4

0bµ′2ρ2 + 192p7

0b3ε′µ′ − 72p4

0b2ε′2ρ +

+ 72p20bε

′2ρ2 − 768p60b

2µ′2ρ− 192p20µ

′2ρ3 − 480p50b

2ε′µ′ρ+ 16p20µ

′ρ4 +

+ 384p80b

3µ′2 − 128p0ε′µ′ρ3 − 23ε′2ρ3 + 24p6

0b3ε′2 − 32p4

0bµ′ρ3 + p0ε

′ρ4]sin 4w∗

1

p4 = − 1

64p0ρ5

[18816p8

0b3µ′2 + 9408p7

0b3ε′µ′ − 6912p6

0b2µ′2ρ+ 1176p6

0b3ε′2−

− 3808p50b

2ε′µ′ρ− 768p40bµ

′2ρ2 + 192p40bµ

′ρ3 − 520p40b

2ε′2ρ+ 16p30bε

′µ′ρ2 +

+ 12p30bε

′ρ3 − 32p20µ

′ρ4 + 34p20bε

′2ρ2 − 16p0ε′µ′ρ3 − 3p0ε

′ρ4 − 4ε′2ρ3]−

− 1

384p20ρ

4ω0∗1

2

[137088p8

0b3ε′µ′2 − 63744p7

0b2µ′3ρ− 80p0ε

′2µ′ρ3 + 2856p60b

3ε′3 −

− 6144p50b µ

′3ρ2 − 256p20ε

′µ′2ρ3 + 3200p50bµ

′2ρ3 − 1584p40b

2ε′3ρ+

+ 25p0ε′2ρ4 − ε′3ρ3 − 16656p5

0b2ε′2µ′ρ+ 96p2

0bε′3ρ2 + 182784p9

0b3µ′3 −

93

− 864p40bε

′µ′2ρ2 + 1000p40bε

′µ′ρ3 + 552p30bε

′2µ′ρ2 − 57216p60b

2ε′µ′2ρ+

+ 34272p70b

3ε′2µ′ − 368p20ε

′µ′ρ4 − 1024p30µ

′2ρ4 + 50p30bε

′2ρ3]cos 2w∗

1 −

− 1

384p20ρ

4ω0∗1

2

[1536p9

0b3µ′3 + 24p6

0b3ε′3 − 112p0ε

′2µ′ρ3 − 280p40bε

′µ′ρ3 +

+ 408p30bε

′2µ′ρ2256p30µ

′2ρ4 + 480p40bε

′µ′2ρ2 − 14p30bε

′2ρ3 +

+ 7p0ε′2ρ4 + 1152p8

0b3ε′µ′2 + 288p7

0b3ε′2µ′ − 23ε′3ρ3 − 72p4

0b2ε′3 +

+ 72p20bε

′3ρ2 + 104p20ε

′µ′ρ4 − 896p50bµ

′2ρ3 − 128p20ε

′µ′2ρ3 −− 768p6

0b2ε′µ′2ρ+ 768p7

0b2µ′3ρ− 528p5

0b2ε′2µ′ρ

]cos 4w∗

1

o3 = 0 (181)

Ordem 5:

s5 =1

4096ρ6p02(ε′2 + 8 ε′ µ′ p0 + 16µ′2p0

2)[145408 p0

8ρ3b2µ′3 − 154624µ′3p06ρ4b+ 213 ρ4ε′

4+

+ ε′2ρ6p0

2 + 51408 b4p08ε′

4+ 47104µ′3p0

4ρ5 − 52032 ρ3ε′2µ′2p0

4b+

+ 1842432 ρ2ε′2b2p0

6µ′2 + 326016 ρ2ε′3b2p0

5µ′ − 7680 ρ3ε′3µ′ p0

3b+ 214 ρ5ε′3p0 −

− 5916672 p08b3ε′

2ρ µ′2 − 1028736 p0

7b3ε′3ρ µ′ − 15095808µ′3ρ p0

9b3ε′ − 15264 p04bε′

2ρ4µ′ +

− 4800 ρ4ε′3µ′ p0 + 81792 b2p0

7ε′ µ′2ρ3 − 88896µ′2ρ4p05bε′ − 24576µ′4p0

6ρ3b+

+ 4784 ρ5ε′2µ′ p0

2 + 27904µ′2p02ρ4ε′

2+ 568 ε′

3ρ3p0

5b2 − 16 ε′ ρ6p03µ′ −

− 14413824µ′4ρ p010b3 + 4310016µ′4ρ2p0

8b2 + 822528 b4p09ε′

3µ′ + 4935168 b4p0

10ε′2µ′2 +

+ 13160448 b4p011ε′ µ′3 − 66960 p0

6b3ε′4ρ− 676 p0

3bε′3ρ4 + 28160µ′2p0

3ρ5ε′ +

+ 21564 ρ2ε′4b2p0

4 − 252 ρ3ε′4p0

2b+ 13632 b2p06ε′

2µ′ ρ3 + 4611072µ′3p0

7ρ2ε′ b2 −− 107520µ′3p0

5ρ3ε′ b+ 47104µ′3p03ρ4ε′ + 256 p0

4ρ6µ′2 + 13160448 b4p012µ′4

]sin 3w∗

1 +

+1

61440ρ6p02(ε′2 + 8 ε′ µ′ p0 + 16µ′2p0

2)[−563200 p0

8ρ3b2µ′3 + 609280µ′3p06ρ4b+

+ 11375 ρ4ε′4+ 3 ε′

2ρ6p0

2 + 6000 b4p08ε′

4 − 194560µ′3p04ρ5 −

− 2558400 ρ3ε′2µ′2p0

4b+ 3705600 ρ2ε′2b2p0

6µ′2 + 739200 ρ2ε′3b2p0

5µ′ − 537600 ρ3ε′3µ′ p0

3b−− 910 ρ5ε′

3p0 − 2304000 p0

8b3ε′2ρ µ′2 − 432000 p0

7b3ε′3ρ µ′ − 5376000µ′3ρ p0

9b3ε′ +

+ 62880 p04bε′

2ρ4µ′ + 139200 ρ4ε′

3µ′ p0 − 316800 b2p0

7ε′ µ′2ρ3 + 360000µ′2ρ4p05bε′ −

− 4300800µ′4p06ρ3b− 20400 ρ5ε′

2µ′ p0

2 + 633600µ′2p02ρ4ε′

2 − 2200 ε′3ρ3p0

5b2 +

+ 144 ε′ ρ6p03µ′ − 4608000µ′4ρ p0

10b3 + 6835200µ′4ρ2p08b2 + 96000 b4p0

9ε′3µ′ +

+ 576000 b4p010ε′

2µ′2 + 1536000 b4p0

11ε′ µ′3 − 30000 p06b3ε′

4ρ+

94

+ 2740 p03bε′

3ρ4 − 115200µ′2p0

3ρ5ε′ + 54900 ρ2ε′4b2p0

4 − 42100 ρ3ε′4p0

2b−− 52800 b2p0

6ε′2µ′ ρ3 + 8217600µ′3p0

7ρ2ε′ b2 − 5401600µ′3p05ρ3ε′ b+ 1280000µ′3p0

3ρ4ε′ +

+ 983040 p04µ′4ρ4 + 768 p0

4ρ6µ′2 + 1536000 b4p012µ′4

]sin 5w∗

1

p5 = − 1

3072 p0 (ε′ + 4µ′ p0)√−p0 ρ ε′ − 4 p0

2ρ µ′ρ6

[552960 p0

8ρ3b2µ′3−

− 289792µ′3p06ρ4b− 63 ρ4ε′

4+ 3 ε′

2ρ6p0

2 + 199440 b4p08ε′

4 −− 13312µ′3p0

4ρ5 + 102912 ρ3ε′2µ′2p0

4b+ 1278336 ρ2ε′2b2p0

6µ′2 + 217920 ρ2ε′3b2p0

5µ′ +

+ 3072 ρ3ε′3µ′ p0

3b− 12 ρ5ε′3p0 − 12052224 p0

8b3ε′2ρ µ′2 − 1901760 p0

7b3ε′3ρ µ′ −

− 33850368µ′3ρ p09b3ε′ − 22480 p0

4bε′2ρ4µ′ − 568 ρ4ε′

3µ′ p0 + 311040 b2p0

7ε′ µ′2ρ3 −− 149696µ′2ρ4p0

5bε′ + 1148928µ′4p06ρ3b− 184 ρ5ε′

2µ′ p0

2 − 704µ′2p02ρ4ε′

2+

+ 2160 ε′3ρ3p0

5b2 + 384 ε′ ρ6p03µ′ − 35561472µ′4ρ p0

10b3 + 2006016µ′4ρ2p08b2 +

+ 3191040 b4p09ε′

3µ′ + 19146240 b4p0

10ε′2µ′2 + 51056640 b4p0

11ε′ µ′3 − 112176 p06b3ε′

4ρ−

− 792 p03bε′

3ρ4 − 5312µ′2p0

3ρ5ε′ + 12300 ρ2ε′4b2p0

4 − 60 ρ3ε′4p0

2b+

+ 51840 b2p06ε′

2µ′ ρ3 + 2915328µ′3p0

7ρ2ε′ b2 + 645888µ′3p05ρ3ε′ b+ 17408µ′3p0

3ρ4ε′ +

+ 49152 p04µ′4ρ4 + 768 p0

4ρ6µ′2 + 51056640 b4p012µ′4

]cosw∗

1 −

− 1

4096 p0 (ε′ + 4µ′ p0)√−p0 ρ ε′ − 4 p0

2ρ µ′ρ6

[67584 p0

8ρ3b2µ′3−

− 41984µ′3p06ρ4b+ 43 ρ4ε′

4 − ε′2ρ6p0

2 + 20016 b4p08ε′

4+

+ 18432µ′3p04ρ5 − 17600 ρ3ε′

2µ′2p0

4b+ 363264 ρ2ε′2b2p0

6µ′2 + 108672 ρ2ε′3b2p0

5µ′ −− 5248 ρ3ε′

3µ′ p0

3b+ 202 ρ5ε′3p0 − 1529856 p0

8b3ε′2ρ µ′2 − 347520 p0

7b3ε′3ρ µ′ −

− 2598912µ′3ρ p09b3ε′ − 8672 p0

4bε′2ρ4µ′ + 1024 ρ4ε′

3µ′ p0 + 38016 b2p0

7ε′ µ′2ρ3 −− 36544µ′2ρ4p0

5bε′ − 24576µ′4p06ρ3b+ 3152 ρ5ε′

2µ′ p0

2 + 4352µ′2p02ρ4ε′

2+

+ 264 ε′3ρ3p0

5b2 − 176 ε′ ρ6p03µ′ − 1118208µ′4ρ p0

10b3 − 328704µ′4ρ2p08b2 +

+ 320256 b4p09ε′

3µ′ + 1921536 b4p0

10ε′2µ′2 + 5124096 b4p0

11ε′ µ′3 − 27504 p06b3ε′

4ρ−

− 540 p03bε′

3ρ4 + 14848µ′2p0

3ρ5ε′ + 10116 ρ2ε′4b2p0

4 − 516 ρ3ε′4p0

2b+

+ 6336 b2p06ε′

2µ′ ρ3 + 279552µ′3p0

7ρ2ε′ b2 − 25600µ′3p05ρ3ε′ b+ 2048µ′3p0

3ρ4ε′ −− 256 p0

4ρ6µ′2 + 5124096 b4p012µ′4

]cos 3w∗

1 −

− 1

12288 p0 (ε′ + 4µ′ p0)√−p0 ρ ε′ − 4 p0

2ρ µ′ρ6

[−145408 p0

8ρ3b2µ′3+

+ 84992µ′3p06ρ4b+ 455 ρ4ε′

4+ 3 ε′

2ρ6p0

2 + 240 b4p08ε′

4 −− 18432µ′3p0

4ρ5 − 35520 ρ3ε′2µ′2p0

4b+ 57600 ρ2ε′2b2p0

6µ′2 + 20352 ρ2ε′3b2p0

5µ′ −

95

− 13824 ρ3ε′3µ′ p0

3b− 214 ρ5ε′3p0 − 46080 p0

8b3ε′2ρ µ′2 − 13440 p0

7b3ε′3ρ µ′ −

− 30720µ′3ρ p09b3ε′ + 12640 p0

4bε′2ρ4µ′ + 3424 ρ4ε′

3µ′ p0 − 81792 b2p0

7ε′ µ′2ρ3 +

+ 60992µ′2ρ4p05bε′ − 3344 ρ5ε′

2µ′ p0

2 + 8192µ′2p02ρ4ε′

2 − 568 ε′3ρ3p0

5b2 +

+ 144 ε′ ρ6p03µ′ + 61440µ′4ρ p0

10b3 + 3072µ′4ρ2p08b2 + 3840 b4p0

9ε′3µ′ +

+ 23040 b4p010ε′

2µ′2 + 61440 b4p0

11ε′ µ′3 − 1200 p06b3ε′

4ρ+ 676 p0

3bε′3ρ4 −

− 14080µ′2p03ρ5ε′ + 2196 ρ2ε′

4b2p0

4 − 1684 ρ3ε′4p0

2b− 13632 b2p06ε′

2µ′ ρ3 +

+ 46080µ′3p07ρ2ε′ b2 − 28672µ′3p0

5ρ3ε′ b+ 6144µ′3p03ρ4ε′ + 768 p0

4ρ6µ′2 +

+ 61440 b4p012µ′4

]cos 5w∗

1 (182)

e

o4 =1

1024 p02√−p0 ρ ε′ − 4 p0

2ρ µ′ρ5 (ε′ + 4µ′ p0)

[137216 p0

8ρ3b2µ′3+

+ 1024µ′3p06ρ4b− 25 ρ4ε′

4 − ε′2ρ6p0

2 + 52080 b4p08ε′

4 −− 4096µ′3p0

4ρ5 + 7488 ρ3ε′2µ′2p0

4b+ 138240 ρ2ε′2b2p0

6µ′2 + 38208 ρ2ε′3b2p0

5µ′ −− 384 ρ3ε′

3µ′ p0

3b− 26 ρ5ε′3p0 − 2515968 p0

8b3ε′2ρ µ′2 − 439680 p0

7b3ε′3ρ µ′ −

− 6383616µ′3ρ p09b3ε′ − 1728 p0

4bε′2ρ4µ′ − 480 ρ4ε′

3µ′ p0 + 77184 b2p0

7ε′ µ′2ρ3 −− 4800µ′2ρ4p0

5bε′ + 49152µ′4p06ρ3b− 608 ρ5ε′

2µ′ p0

2 − 2304µ′2p02ρ4ε′

2+

+ 536 ε′3ρ3p0

5b2 − 128 ε′ ρ6p03µ′ − 6057984µ′4ρ p0

10b3 − 156672µ′4ρ2p08b2 +

+ 833280 b4p09ε′

3µ′ + 4999680 b4p0

10ε′2µ′2 + 13332480 b4p0

11ε′ µ′3 − 28752 p06b3ε′

4ρ−

− 116 p03bε′

3ρ4 − 2560µ′2p0

3ρ5ε′ + 3284 ρ2ε′4b2p0

4 − 164 ρ3ε′4p0

2b+

+ 12864 b2p06ε′

2µ′ ρ3 + 112640µ′3p0

7ρ2ε′ b2 + 37888µ′3p05ρ3ε′ b− 4096µ′3p0

3ρ4ε′ −− 256 p0

4ρ6µ′2 + 13332480 b4p012µ′4

](183)

96

C Coeficientes de Fourier da Funcao perturbadora

(∆1R)00 = c10;1p03 + g5Λ2 −

1

2g5β1

2e(p)J

2 −

+ e(p)J

2β12 − c11;1p0

2e(p)J β1 − c01;1p0e

(p)J β1 + 2 c10;1e

(p)J

2β12p0 −

+ 2 c01;2p0e(p)J

3β1

3 − 2 e(p)J β1p0

3c01;2 +(−6 c01;2p0

2e(p)J β1p20+

+17

32c11;1p0

2e(p)J β1 − 2 c11;1p0e

(p)J β1p20 −

1

32c11;1p11

2e(p)J β1 −

3

16c01;2p0e

(p)J β1p11

2 +

+1

4c01;1p0e

(p)J β1 +

1

2c01;2p0e

(p)J

3β13 +

23

16e(p)J β1p0

3c01;2 −1

2c10;1e

(p)J

2β1

2p0 −

+ c01;1e(p)J β1p20 −

23

32c10;1p0

3 +3

32c10;1p11

2p0 + 3 c10;1p02p20 +

+ 2 c10;1e(p)J

2β12p20 − 2 c01;2e

(p)J

3β1

3p20

)Q2

(∆1R)10 =(−3

2e(p)J β1p11c01;2p0

2 − 1

2e(p)J

3β13p11c01;2 +

1

2c10;1e

(p)J

2β12p11−

+1

4e(p)J β1p11c01;1 +

3

4c10;1p0

2p11 −1

2c11;1p0p11e

(p)J β1

)Q+

+(

3

4c10;1p0

2p31 −1

2c11;1p0e

(p)J β1p31 −

1

2c11;1e

(p)J β1p11p20 +

5

16c11;1p0

2e(p)J β1s22−

+1

16c11;1e

(p)J β1p11p22 −

3

128c01;2e

(p)J β1p11

3 − 5

16c10;1p0

3s22 +7

32c11;1p0p11e

(p)J β1 +

+3

64e(p)J β1p11c01;1 +

3

32e(p)J

3β13p11c01;2 −

115

256c10;1p0

2p11 −3

32c10;1e

(p)J

2β12p11 +

+115

128e(p)J β1p11c01;2p0

2 +3

2c10;1p0p11p20 −

3

2c01;2p0

2e(p)J β1p31 +

1

2c10;1e

(p)J

2β12p31 −

− 3 c01;2p0e(p)J β1p11p20 −

3

8c01;2p0e

(p)J β1p11p22 −

1

2c01;2e

(p)J

3β13p31 −

1

4c01;1e

(p)J β1p31 −

− 1

4c10;1e

(p)J

2β12p0s22 +

1

8c01;1p0e

(p)J β1s22 +

1

4c01;2p0e

(p)J

3β13s22 +

3

16c10;1p11p22p0 +

+3

256c10;1p11

3 +5

8e(p)J β1p0

3c01;2s22

)Q3

(∆1R)11 =(

1

8p0

3c11;1 +1

8p0C11 −

1

4p0B2β1 +

1

4p0β1

2e(p)J

2c11;1−

97

+1

4β1

2e(p)J

2p02c01;2 +

1

4β1e

(p)J p0

2c10;1 −1

2m11p0

3c11;1 −5

2m11β1

2e(p)J

2p02c01;2 +

+3

2p0

2m11β1e(p)J c10;1 −

1

2m11p0C11 −

1

2e(p)J β1m11p0 −

1

8p0e

(p)J β1 −

− m11p0β12e

(p)J

2c11;1 +

+1

8C11p11 +

1

2c10;1e

(p)J

3β1

3m11 +1

2p0

3p11c01;2 −1

2m11c01;1p0

2 −

+1

2m11c01;1e

(p)J

2β1

2 +1

4c11;1e

(p)J

2β12p11 +

1

8e(p)J β1p11 −

1

2m11c01;0 +

+3

8c11;1p0

2p11 −3

4c10;1e

(p)J β1p11p0 −

1

2m11c01;2e

(p)J

4β14 +

5

4e(p)J

2β12p11c01;2p0 −

+1

2m11c01;2p0

4 +1

4p0p11c01;1 −

1

4β1B2p11 +m11p0B2β1

)Q+

+(−1

2c01;2e

(p)J

4β14m12 −

1

2c01;2p0

4m12 +m12p0B2β1 +1

2c10;1e

(p)J

3β13m12−

+ m12p0β12e

(p)J

2c11;1 −1

2m12p0C11 −

5

2m12β1

2e(p)J

2p02c01;2 +

3

2m12β1e

(p)J p0

2c10;1 −

+1

2c01;1e

(p)J

2β12m12 −

1

2c01;1p0

2m12 −1

2m12p0

3c11;1 −1

2c01;0m12 −

+1

2e(p)J β1p0m12

)Q2 +

(− 41

512p0

3c11;1 −1

64p0C11 +

1

32p0B2β1−

+1

32p0β1

2e(p)J

2c11;1 +13

128β1

2e(p)J

2p02c01;2 −

13

128β1e

(p)J p0

2c10;1 −3

64m11

2p03c11;1 −

+1

8e(p)J β1p20 +

5

512p0p11

2c11;1 −1

4p20B2β1 +

3

8p20p0

2c11;1 −

+1

128p11

2β12e

(p)J

2c01;2 +51

128m11p0

3c11;1 +171

128m11β1

2e(p)J

2p02c01;2 +

+3

32m11

2β12e

(p)J

2p02c01;2 +

3

32m11

2p0β12e

(p)J

2c11;1 +

+105

128p0

2m11β1e(p)J c10;1 +

1

2p20β1e

(p)J p0c10;1 −

1

2p20p0β1

2e(p)J

2c01;2 +

+9

64m11p0C11 −

3

32m11

2β1e(p)J p0

2c10;1 +9

64e

(p)J β1m11p0 −

3

64m11

2p0C11 +

+3

64p0e

(p)J β1m11

2 +1

128β1e

(p)J p11

2c10;1 +1

64p0e

(p)J β1 −

1

2c01;2p0

4m13 +

+1

32C11p11s22 −

1

128m11c01;1p11

2 +1

16c01;2p0

4m113 − 1

2C11p20m11 +

+1

8c11;1p0

3s31 −1

2C11p0m13 +

1

4c01;1p0p31 +

1

16C1,1p0m11

3 +9

32m11p0β1

2e(p)J

2c11;1 −

98

+3

16c01;2p0

4s22 +3

128c01;2p0p11

3 +1

32c01;1p11p22 −

1

4β1B2p31 −

+3

32c01;1p0

2s22 +1

8p20C11 +

1

16c11;1p0

3m113 +

1

8e(p)J β1p31 +

+1

2c01;2p0

3p31 +1

16C11m11p22 +

1

64C11m11p11 +

1

16c11;1p0

3m22 +

+1

16C11p0m22 −

5

32c11;1p0

3s22 −1

16C11p0s22 −

3

128C11p11 −

+51

128p0

3p11c01;2 +33

128m11c01;1p0

2 − 3

64c11;1e

(p)J

2β12p11 −

3

128e(p)J β1p11 −

+115

512c11;1p0

2p11 +19

64c10;1e

(p)J β1p11p0 −

31

64e(p)J

2β12p11c0,1,2p0 +

1

32e(p)J β1p22 +

+33

64m11c01;2p0

4 − 3

32p0p11c0,1,1 +

3

64β1B2p11 −

1

32e(p)J β1p11s22 −

+1

16e(p)J β1m11p0s22 −

1

4c01;2p0

3p11m22 −5

8c01;2e

(p)J

2β12p0p11m22 −

3

64m11c01;2p0

2p112 −

+1

8β1B2m11p22 −

1

2c01;2e

(p)J

4β14m13 +

1

16c01;0m11

3 +3

32c10;1e

(p)J β1p11s22p0 −

+ c11;1e(p)J

2β12p20m11 +

3

8c10;1e

(p)J β1p11m22p0 −

1

16c01;2p0

3p11m112 +

1

16c11;1p0

3m11s22 −

+1

8c01;1p0p11m22 +

1

2β1B2p0m11m22 −

3

128c11;1p11

2p0m11 +3

8c11;1p0

2p31 +

+1

8β1B2p11m22 −

1

16β1B2p11s22 −

1

8β1B2p0m11

3 − 1

4β1B2p0s31 +

+3

512c11;1p11

3 − 17

32c01;2p0

2e(p)J

2β12s22 − c11;1e

(p)J

2β12p0m13 −

1

16p0e

(p)J β1m22 −

+1

8c11;1e

(p)J

2β12p0s22 −

1

16e(p)J β1p0s22 −

1

8c01;2p0

2e(p)J

2β12m22 −

1

64e(p)J β1m11p11 −

+1

8c01;2p0

2e(p)J

2β12m11s22 −

3

32c01;2e

(p)J

2β1

2p0p11s22 +1

16c11;1p0

2p11s22 −1

4p0e

(p)J β1m11m22 −

+5

4c01;2p0

2e(p)J

2β12m11m22 +

5

8c01;2e

(p)J

2β12p0m11p22 −

1

8e(p)J β1p0s31 +

1

16p0e

(p)J β1m11

3 −

+1

2p0e

(p)J β1m13 −

1

2e(p)J β1m11p20 +

3

32c11;1p0p11p22 +

3

32c10;1p11e

(p)J β1m11

2p0 +

+5

32c01;2e

(p)J

2β12p11p22 +

1

8c11;1e

(p)J

2β1

2p0m113 − 1

2c11;1p0e

(p)J

2β12m11m22 −

1

4c11;1p0

3m11m22 +

+3

4c11;1p0p20p11 −

1

4c0,1,2e

(p)J

4β14m11m22 −

1

32c01;1p0p11m11

2 − 3

4c10;1e

(p)J β1p11p20 +

99

+1

16c01;1p0

2m113 − 5

128m11c01;2e

(p)J

2β12p11

2 +1

4c11;1e

(p)J

2β12p0s31 +

1

32β1B2p11m11

2 −

+ 2m11c01;2p03p20 −m11c01;1p0p20 −

3

8c10;1e

(p)J β1m11p22p0 −

1

4C11p0m11m22 −

+ 5 c01;2e(p)J

2β12p0m11p20 −

1

2c11;1p0

3m13 +1

8c11;1e

(p)J

2β12m11p0s22 +

+3

4c10;1p0

2e(p)J β1m11m22 −

3

64m11c01;2p0e

(p)J

2β12p11 −

1

64p11e

(p)J β1m11

2 +

+1

2c10;1e

(p)J

3β13m13 −

5

32c01;2p0e

(p)J

2β12p11m11

2 + −

− 1

16p11e

(p)J β1m22 +

1

16e(p)J β1m11p22 −

1

4c01;2p0

4m11m22 +1

8m11c01;1p0p22 −

− 1

64C11p11m11

2 − 1

2c01;1e

(p)J

2β12m13 −

1

2c01;1p0

2m13 + 3 c10;1e(p)J β1p0m11p20 +

+1

16c11;1e

(p)J

2β12p11s22 −

1

4c01;1e

(p)J

2β12m11m22 −

1

16C11p11m22 +

5

4c01;2p0e

(p)J

2β1

2p31 −

− 1

4c01;0m11m22 +

3

16c01;2p0

2p11p22 +1

8C11p0s31 +

3

2c01;2p0

2p11p20 +1

4c11;1e

(p)J

2β1

2p31 +

+1

16C11m11p0s22 + β1B2p0m13 +

1

4c10;1e

(p)J

3β13m11m22 +

1

8C11p31 −

− 1

8β1B2m11p0s22 +

1

8c11;1e

(p)J

2β12m11p22 +

1

4c01;1p11p20 −

3

64c11;1p0

2p11m112 +

+3

16c11;1p0

2m11p22 +1

4m11c01;2p0

3p22 −1

32C11p22 +

1

16c01;1e

(p)J

2β12m11

3 +

+ β1B2p20m11 −3

4c10;1e

(p)J β1p31p0 −

5

2c01;2p0

2e(p)J

2β12m13 −

1

32c11;1e

(p)J

2β1

2p11m112 −

− 3

16c10;1p0

2e(p)J β1m11

3 +3

128c10;1p11

2e(p)J β1m11 −

1

4c01;2p0

2e(p)J

2β12s31 +

5

4c01;2e

(p)J

2β1

2p11p20 +

+1

4c10;1p0

2e(p)J β1s31 −

1

16c10;1e

(p)J

3β13m11

3 − 3

2c11;1p0

2p20m11 −3

16c11;1p0

2p11m22 −

+1

4c01;1p0

2m11m22 +3

2c10;1p0

2e(p)J β1m13 +

1

8c10;1e

(p)J β1m11p0

2s22 +1

32c11;1p0

2m11p11 +

+3

32c01;2e

(p)J

2β12p0p22 +

1

8c10;1p0

2e(p)J β1m22 −

1

32β1B2m11p11 −

1

8β1B2p0m22 +

+1

8β1B2p0s22 −

1

16c11;1p0

2p22 +3

64c10;1e

(p)J β1m11p11p0 +

1

16β1B2p22 +

+11

32c10;1p0

2e(p)J β1s22 +

1

8c11;1e

(p)J

2β12p0m22 +

5

16c01;2p0

2e(p)J

2β12m11

3 − 1

8c11;1e

(p)J

2β1

2p11m22 +

100

+1

16c01;2e

(p)J

4β1

4m113 − 3

32c10;1e

(p)J β1p22p0 −

1

16c11;1e

(p)J

2β12p22 −

3

32c10;1p11p22e

(p)J β1 +

+1

32c11;1e

(p)J

2β12m11p11 −

1

2c01;0m13 −

9

32m11p0B2β1 +

1

4p20β1

2e(p)J

2c11;1 +

+3

32m11

2p0B2β1

)Q3

(∆1R)12 =1

256e(p)J

(256 c11;1e

(p)J

2β13m11 − 256 e

(p)J m11B2β1

2 − 32 c10;1e(p)J β1

2p0−

− 64 e(p)J

2β13p11c01;2 + 512 c11;1p0

2β1m11 + 256 p0β1m11c01;1 + 512 c01;2p03β1m11 +

+ 512 c01;2e(p)J

2β13p0m11 − 128 c11;1p0p11β1 + 32 c01;1p0β1 − 192 β1p11c01;2p0

2 −− 32 β1p11c01;1 + 64 β1p0

3c01;2 − 256 c10;1e(p)J β1

2p0m11 − 512 β12B2m11 +

+ 32 c10;1e(p)J β1

2p11 + 256C11β1m11 + 64 c01;2p0e(p)J

2β13 + 256 e

(p)J m11B2β2

2)Q+

+1

256e

(p)J

(512 c01;2e

(p)J

2β13p0m12 + 256 e

(p)J B2β2

2m12 + 512 c01;2p03β1m12+

+ 512 c11;1p02β1m12 + 256 c01;1β1p0m12 − 256 e

(p)J B2β1

2m12 − 256 c10;1e(p)J β1

2p0m12 −+ 512 β1

2B2m12 + 256C1,1β1m12 + 256 c11;1e(p)J

2β13m12

)Q2 +

+1

256e(p)J (256C11β1m13 − 8 c01;1β1p22 − 32 c01;1β1p31−

+ 128C11β1m113 + 256 β1

2B2m113 − 512 β1

2B2m13 − 3 c01;2β1p113 +

+ 32 c01;1β1p20 + 8 c01;1β1m11p11 − 512 β12B2m11m22 + 128 e

(p)J B2β1

2m113 −

+ 128 e(p)J B2β2

2m113 − 256 c01;2p0

3β1m113 + 256C11β1m11m22 + 32 c01;1β1p0s31 +

+ 8 c01;1β1p11s22 − 32 c01;1β1m11p22 + 512 c11;1p02β1m13 + 256 e

(p)J B2β2

2m13 +

+ 256 c01;1β1p0m13 − 16 c01;2e(p)J

2β13p22 + 32 c01;1β1p0m22 + 256 c11;1e

(p)J

2β13m13 +

+ 16 c01;1β1p11m112 + 64 c01;2p0

3β1s31 + 8 c10;1e(p)J β1

2p22 + 80 c01;2p03β1s22 +

+ 32 c01;1β1p11m22 − 192 c01;2p02β1p31 + 16 c01;1β1p0s22 − 128 c11;1e

(p)J

2β13m11

3 −+ 64 c01;2e

(p)J

2β13p31 + 48 c11;1p0

2β1s22 − 128 c11;1β1p11p20 − 16 c11;1β1p11p22 −− 128 c11;1p0β1p31 − 256 c11;1p0

2β1m113 − 32 c01;2p0

2β1p22 + 512 c01;2p03β1m13 +

+ 32 c10;1e(p)J β1

2p31 + 8 c11;1p112β1m11 + 64 c01;2p0

3β1m22 − 128 c01;1β1p0m113 −

− 264 c11;1p02β1m11 − 32 c10;1e

(p)J β1

2m11p0s22 + 512 c01;2p0e(p)J

2β13m11m22 +

+ 64 c01;2e(p)J

2β13m11p0s22 −

− 256 c10;1p0e(p)J β1

2m11m22 − 6 c10;1e(p)J β1

2p11 + 12 e(p)J

2β13p11c01;2 + 48 c11;1p0p11β1 +

101

+ 6 β1p11c01;1 + 115 β1p11c01;2p02 − 256 e

(p)J B2β1

2m11m22 −+ 8 c10;1e

(p)J β1

2m11p11 +

+ 32 c01;2e(p)J

2β13p11m11

2 + 16 c01;2e(p)J

2β13m11p11 + 256 c11;1e

(p)J

2β13m11m22 −

− 32 c10;1p0e(p)J β1

2m22 −− 16 c10;1p11e

(p)J β1

2m112 + 32 c10;1e

(p)J β1

2m11p22 − 256 e(p)J B2β1

2m13 + 16 e(p)J

2β13p11c01;2s22 −

− 256 c10;1p0e(p)J β1

2m13 + 64 c1,1,1p0β1p11m112 + 96 c01;2p0

2β1p11m112 + 32 c01;1β1m11p0s22 +

+ 512 c01;2p03β1m11m22 + 32 c01;2p0

2p11β1m11 + 32 c01;2p02p11β1s22 + 64 c01;2p0

3β1m11s22 +

+ 24 c01;2p0β1p112m11 + 1024 c11;1p0p20β1m11 + 512 c11;1p0

2β1m11m22 − 128 c11;1p0β1m11p22 +

+ 256 e(p)J B2β2

2m11m22 − 256 c01;2e(p)J

2β13p0m11

3 + 32 c01;2e(p)J

2β13p0s22 −

− 16 c10;1e(p)J β1

2p0s22 −− 8 c10;1e

(p)J β1

2p11s22 − 256 c10;1e(p)J β1

2m11p20 + 128 c11;1p0β1p11m22 +

+ 64 c01;2e(p)J

2β13p0s31 −

− 32 c10;1e(p)J β1

2p11m22 + 512 c01;2e(p)J

2β13p0m13 + 512 c01;2e

(p)J

2β13m11p20 −

− 64 c01;2e(p)J

2β13m11p22 +

+ 128 c10;1p0e(p)J β1

2m113 + 64 e

(p)J

2β1

3p11c01;2m22 − 32 c10;1p0e(p)J β1

2s31 − 48 c01;2p0β1p11p22 −− 384 c01;2p0β1p11p20 + 1536 c01;2p0

2β1m11p20 + 192 c01;2p02p11β1m22 − 192 c01;2p0

2β1m11p22 +

+ 256 c01;1p0β1m11m22 + 256 c01;1β1m11p20 + 64 c01;2e(p)J

2β13p0m22 − 8 c01;2p0e

(p)J

2β13 +

+ 4 c10;1e(p)J β1

2p0 − 41 β1p03c01;2 − 4 c01;1p0β1 − 32 c10;1e

(p)J β1

2p20 +

+ 64 c01;2e(p)J

2β13p20 − 72 p0β1m11c01;1 + 192 c01;2p0

2β1p20 + 5 c01;2p0β1p112 −

+ 96 c01;2p03β1m11

2 − 48 c01;1p0β1m112 − 408 c01;2p0

3β1m11 − 144 c01;2e(p)J

2β13p0m11 +

+ 48 c10;1p0e(p)J β1

2m112 − 96 c01;2p0e

(p)J

2β13m11

2 + 72 c10;1e(p)J β1

2p0m11

)Q3

(∆1R)13 = − 1

128e(p)J

2β12(192 c01;2p0

2m11 + 192 c11;1p0m11 + 32 c01;2p02+

+ 16 c11;1p0 − 16 c11;1p11 − 32 p11c01;2p0)Q−

+1

128e(p)J

2β12(192 c11;1p0m12 + 192 c01;2p0

2m12

)Q2 −

− 1

128e(p)J

2β12(−117 c01;2p0

2m11 − 108 c01;2p02m11

2 + 64 c01;2p0p20−− 54 c11;1p0m11

2 − 54 c11;1p0m11 − 16 c11;1p31 − 13 c01;2p02 −

102

− 2 c11;1p0 + 16 c11;1p20 + c01;2p112 + 32 c01;2p0

2s31 −− 32 c01;2p11p20 − 32 c01;2p0p31 + 18 c11;1p11m11

2 + 192 c11;1p20m11 +

+ 4 c11;1p11s22 + 24 c11;1p11m22 − 216 c01;2p02m11

3 + 20 c01;2p02s22 +

+ 192 c11;1p0m13 + 24 c11;1p0m22 + 192 c01;2p02m13 + 3m11c01;2p11

2 +

+ 16 c11;1p0s31 + 6 c11;1m11p11 − 216 c11;1p0m113 − 4 c01;2p11p22 −

− 24 c11;1m11p22 − 12 c01;2p0p22 + 8 c11;1p0s22 + 48 c01;2p02m22 −

− 48 c01;2p0m11p22 + 288 c01;2p02m11m22 + 12 c01;2p0p11s22 + 18 c01;2p0m11p11 +

+ 48 c01;2p02m11s22 + 48 c01;2p0p11m22 − 4 c11;1p22 + 36 c01;2p0p11m11

2 +

+ 24 c11;1m11p0s22 + 14 p11c01;2p0 + 384 c01;2p0m11p20 + 288 c11;1p0m11m22 + 3 c11;1p11)Q3

(∆1R)1−1 =(−1

8p0

3c11;1 −1

8p0C11 +

1

4p0B2β1 −

1

4p0β1

2e(p)J

2c11;1+

+1

4β1

2e(p)J

2p02c01;2 −

1

4β1e

(p)J p0

2c10;1 +1

2m11p0

3c11;1 +

+5

2m11β1

2e(p)J

2p02c01;2 −

3

2p0

2m11β1e(p)J c10;1 +

1

2m11p0C11 +

1

2e(p)J β1m11p0 +

+1

8p0e

(p)J β1 +m11p0β1

2e(p)J

2c11;1 +1

8C11p11 −

1

2c10;1e

(p)J

3β1

3m11 +

+1

2p0

3p11c01;2 +1

2m11c01;1p0

2 +1

2m11c01;1e

(p)J

2β1

2 +1

4c11;1e

(p)J

2β12p11 +

+1

8e(p)J β1p11 +

1

2m11c01;0 +

3

8c11;1p0

2p11 −3

4c10;1e

(p)J β1p11p0 +

+1

2m11c01;2e

(p)J

4β14 +

5

4e(p)J

2β12p11c01;2p0 +

1

2m11c01;2p0

4 +1

4p0p11c01;1 −

− 1

4β1B2p11 −m11p0B2β1

)Q+

+(−3

2m12β1e

(p)J p0

2c10;1 +1

2c01;0m12 +

1

2e(p)J β1p0m12 +

1

2c01;2e

(p)J

4β14m12−

− m12p0B2β1 +1

2c01;2p0

4m12 +1

2m12p0

3c11;1 −1

2c10;1e

(p)J

3β13m12 +

+ m12p0β12e

(p)J

2c11;1 +1

2c01;1p0

2m12 +1

2c01;1e

(p)J

2β1

2m12 +1

2m12p0C11 +

+5

2m12β1

2e(p)J

2p02c01;2

)Q2 +

+(

41

512p0

3c11;1 +1

64p0C11 −

1

32p0B2β1 +

1

32p0β1

2e(p)J

2c11;1−

103

− 13

128β1

2e(p)J

2p02c01;2 +

13

128β1e

(p)J p0

2c10;1 +3

64m11

2p03c11;1 +

1

8e(p)J β1p20 −

− 5

512p0p11

2c11;1 +1

4p20B2β1 −

3

8p20p0

2c11;1 +1

128p11

2β12e

(p)J

2c01;2 −

− 51

128m11p0

3c11;1 −171

128m11β1

2e(p)J

2p02c01;2 +

3

32m11

2p0β12e

(p)J

2c11;1 +

+105

128p0

2m11β1e(p)J c10;1 −

1

2p20β1e

(p)J p0c10;1 +

1

2p20p0β1

2e(p)J

2c01;2 −3

32m11

2β12e

(p)J

2p02c01;2 −

− 9

64m11p0C11 +

3

32m11

2β1e(p)J p0

2c10;1 −9

64e

(p)J β1m11p0 +

+3

64m11

2p0C11 −

− 3

64p0e

(p)J β1m11

2 − 1

128β1e

(p)J p11

2c10;1 −1

64p0e

(p)J β1 +

1

2c01;2p0

4m13 −

− 1

32C11p11s22 +

1

128m11c01;1p11

2 − 1

16c01;2p0

4m113 +

1

2C11p20m11 −

− 1

8c11;1p0

3s31 +1

2C11p0m13 +

1

4c01;1p0p31 −

1

16C1,1p0m11

3 −

− 9

32m11p0β1

2e(p)J

2c11;1 −3

16c01;2p0

4s22 +3

128c01;2p0p11

3 +1

32c01;1p11p22 −

− 1

4β1B2p31 −

3

32c01;1p0

2s22 −1

8p20C11 −

1

16c11;1p0

3m113 +

+1

8e(p)J β1p31 +

1

2c01;2p0

3p31 −1

16C11m11p22 +

1

64C11m11p11 +

+1

16c11;1p0

3m22 +1

16C11p0m22 −

5

32c11;1p0

3s22 −1

16C11p0s22 −

− 3

128C11p11 −

51

128p0

3p11c01;2 −33

128m11c01;1p0

2 − 3

64c11;1e

(p)J

2β12p11 −

− 3

128e(p)J β1p11 −

115

512c11;1p0

2p11 +19

64c10;1e

(p)J β1p11p0 −

31

64e(p)J

2β12p11c01;2p0 −

− 1

32e(p)J β1p22 −

33

64m11c01;2p0

4 − 3

32p0p11c01;1 +

3

64β1B2p11 +

+1

32e(p)J β1p11s22 −

1

16e(p)J β1m11p0s22 +

1

4c01;2p0

3p11m22 +5

8c01;2e

(p)J

2β12p0p11m22 +

+3

64m11c01;2p0

2p112 +

1

8β1B2m11p22 +

1

2c01;2e

(p)J

4β14m13 −

1

16c01;0m11

3 −

− 3

32c10;1e

(p)J β1p11s22p0 + c11;1e

(p)J

2β12p20m11 −

3

8c10;1e

(p)J β1p11m22p0 −

1

16c01;2p0

3p11m112 +

104

+1

16c11;1p0

3m11s22 +1

8c01;1p0p11m22 +

1

2β1B2p0m11m22 +

3

128c11;1p11

2p0m11 +

+3

8c11;1p0

2p31 −1

8β1B2p11m22 +

1

16β1B2p11s22 +

1

8β1B2p0m11

3 +

+1

4β1B2p0s31 +

3

512c11;1p11

3 − 17

32c01;2p0

2e(p)J

2β12s22 + c11;1e

(p)J

2β12p0m13 −

− 1

16p0e

(p)J β1m22 −

1

8c11;1e

(p)J

2β12p0s22 −

1

16e(p)J β1p0s22 −

1

8c01;2p0

2e(p)J

2β12m22 −

− 1

64e(p)J β1m11p11 −

1

8c01;2p0

2e(p)J

2β12m11s22 +

3

32c01;2e

(p)J

2β1

2p0p11s22 −

− 1

16c11;1p0

2p11s22 −1

4p0e

(p)J β1m11m22 −

5

4c01;2p0

2e(p)J

2β12m11m22 −

− 5

8c01;2e

(p)J

2β12p0m11p22 +

1

8e(p)J β1p0s31 −

1

16p0e

(p)J β1m11

3 +1

2p0e

(p)J β1m13 +

+1

2e(p)J β1m11p20 +

3

32c11;1p0p11p22 +

3

32c10;1p11e

(p)J β1m11

2p0 +

− 5

32c01;2e

(p)J

2β12p11p22 −

1

8c11;1e

(p)J

2β1

2p0m113 − 1

2c11;1p0e

(p)J

2β12m11m22 −

− 1

4c11;1p0

3m11m22 +3

4c11;1p0p20p11 −

1

4c01;2e

(p)J

4β14m11m22 −

1

32c01;1p0p11m11

2 − 3

4c10;1e

(p)J β1

− 1

16c01;1p0

2m113 +

5

128m11c01;2e

(p)J

2β12p11

2 − 1

4c11;1e

(p)J

2β12p0s31 +

+1

32β1B2p11m11

2 + 2m11c0,1,2p03p20 +m11c01;1p0p20 +

3

8c10;1e

(p)J β1m11p22p0 −

− 1

4C11p0m11m22 + 5 c01;2e

(p)J

2β12p0m11p20 +

1

2c11;1p0

3m13 +1

8c11;1e

(p)J

2β12m11p0s22 −

− 5

32c01;2p0e

(p)J

2β12p11m11

2 +3

4c10;1p0

2e(p)J β1m11m22 −

3

64m11c01;2p0e

(p)J

2β12p11 −

− 1

64p11e

(p)J β1m11

2 − 1

2c10;1e

(p)J

3β13m13 +

1

16p11e

(p)J β1m22 −

1

16e(p)J β1m11p22 −

− 1

4c01;2p0

4m11m22 −

− 1

8m11c01;1p0p22 −

1

64C11p11m11

2 +1

2c01;1e

(p)J

2β12m13 +

1

2c01;1p0

2m13 −

− 3 c10;1e(p)J β1p0m11p20 −

1

16c11;1e

(p)J

2β12p11s22 −

1

4c01;1e

(p)J

2β12m11m22 +

+1

16C11p11m22 +

105

− 5

4c01;2p0e

(p)J

2β1

2p31 −1

4c01;0m11m22 +

3

16c01;2p0

2p11p22 −1

8C11p0s31 +

+3

2c01;2p0

2p11p20 +

+1

4c11;1e

(p)J

2β1

2p31 +1

16C11m11p0s22 − β1B2p0m13 +

+1

4c10;1e

(p)J

3β13m11m22 +

1

8C11p31 −

1

8β1B2m11p0s22 −

1

8c11;1e

(p)J

2β12m11p22 +

+1

4c01;1p11p20 −

3

64c11;1p0

2p11m112 − 3

16c11;1p0

2m11p22 −1

4m11c01;2p0

3p22 +

+1

32C11p22 −

1

16c01;1e

(p)J

2β12m11

3 − β1B2p20m11 −

− 3

4c10;1e

(p)J β1p31p0 +

+5

2c01;2p0

2e(p)J

2β12m13 −

1

32c11;1e

(p)J

2β1

2p11m112 +

3

16c10;1p0

2e(p)J β1m11

3 −

− 3

128c10;1p11

2e(p)J β1m11 +

1

4c01;2p0

2e(p)J

2β12s31 +

5

4c01;2e

(p)J

2β1

2p11p20 −

− 1

4c10;1p0

2e(p)J β1s31 +

1

16c10;1e

(p)J

3β13m11

3 +3

2c11;1p0

2p20m11 +

+3

16c11;1p0

2p11m22 −1

4c01;1p0

2m11m22 −3

2c10;1p0

2e(p)J β1m13 +

+1

8c10;1e

(p)J β1m11p0

2s22 +1

32c11;1p0

2m11p11 −3

32c01;2e

(p)J

2β12p0p22 +

+1

8c10;1p0

2e(p)J β1m22 −

1

32β1B2m11p11 −

1

8β1B2p0m22 +

1

8β1B2p0s22 +

+1

16c11;1p0

2p22 +3

64c10;1e

(p)J β1m11p11p0 −

1

16β1B2p22 +

11

32c10;1p0

2e(p)J β1s22 +

+1

8c11;1e

(p)J

2β12p0m22 −

5

16c01;2p0

2e(p)J

2β12m11

3 +1

8c11;1e

(p)J

2β1

2p11m22 −

− 1

16c01;2e

(p)J

4β1

4m113 +

3

32c10;1e

(p)J β1p22p0 +

1

16c11;1e

(p)J

2β12p22 −

− 3

32c10;1p11p22e

(p)J β1 +

1

32c11;1e

(p)J

2β12m11p11 +

1

2c01;0m13 +

9

32m11p0B2β1 −

− 1

4p20β1

2e(p)J

2c11;1 −3

32m11

2p0B2β1

)Q3

(∆1R)1−2 = − 1

256e(p)J

(256 c11;1e

(p)J

2β13m11 − 256 e

(p)J m11B2β1

2 + 512 c11;1p02β1m11+

106

+ 256 e(p)J m11B2β2

2 + 256C11β1m11 − 512 β12B2m11 − 32 c10;1e

(p)J β1

2p11 +

+ 64 e(p)J

2β13p11c01;2 + 128 c11;1p0p11β1 + 32 β1p11c01;1 + 192 β1p11c01;2p0

2 +

+ 64 c01;2p0e(p)J

2β13 − 32 c10;1e

(p)J β1

2p0 + 64 β1p03c01;2 + 32 c01;1p0β1 +

+ 256 p0β1m11c01;1 + 512 c01;2p03β1m11 + 512 c01;2e

(p)J

2β1

3p0m11 −− 256 c10;1e

(p)J β1

2p0m11

)Q−

− 1

256e

(p)J

(512 c01;2e

(p)J

2β13p0m12 + 256 e

(p)J B2β2

2m12 + 512 c01;2p03β1m12+

+ 512 c11;1p02β1m12 + 256 c01;1β1p0m12 − 256 e

(p)J B2β1

2m12 − 256 c10;1e(p)J β1

2p0m12 −− 512 β1

2B2m12 + 256C11β1m12 + 256 c11;1e(p)J

2β13m12

)Q2 −

− 1

256e(p)J (256C11β1m13 − 8 c01;1β1p22 + 32 c01;1β1p31−

− 128C11β1m113 + 256 β1

2B2m113 − 512 β1

2B2m13 + 3 c01;2β1p113 +

+ 32 c01;1β1p20 − 8 c01;1β1m11p11 + 512 β12B2m11m22 + 128 e

(p)J B2β1

2m113 −

− 128 e(p)J B2β2

2m113 − 256 c01;2p0

3β1m113 − 256C11β1m11m22 + 32 c01;1β1p0s31 +

+ 8 c01;1β1p11s22 − 32 c01;1β1m11p22 + 512 c11;1p02β1m13 + 256 e

(p)J B2β2

2m13 +

+ 256 c01;1β1p0m13 − 16 c01;2e(p)J

2β13p22 − 32 c01;1β1p0m22 + 256 c11;1e

(p)J

2β13m13 −

− 16 c01;1β1p11m112 + 64 c01;2p0

3β1s31 + 8 c10;1e(p)J β1

2p22 − 80 c01;2p03β1s22 +

+ 32 c01;1β1p11m22 + 192 c01;2p02β1p31 − 16 c01;1β1p0s22 − 128 c11;1e

(p)J

2β13m11

3 +

+ 64 c01;2e(p)J

2β13p31 − 48 c11;1p0

2β1s22 + 128 c11;1β1p11p20 + 16 c11;1β1p11p22 +

+ 128 c11;1p0β1p31 − 256 c11;1p02β1m11

3 − 32 c01;2p02β1p22 + 512 c01;2p0

3β1m13 −− 32 c10;1e

(p)J β1

2p31 + 8 c11;1p112β1m11 − 64 c01;2p0

3β1m22 − 128 c01;1β1p0m113 −

− 264 c11;1p02β1m11 + 32 c10;1e

(p)J β1

2m11p0s22 − 512 c01;2p0e(p)J

2β13m11m22 −

− 64 c01;2e(p)J

2β13m11p0s22 + 256 c10;1p0e

(p)J β1

2m11m22 + 6 c10;1e(p)J β1

2p11 −− 12 e

(p)J

2β13p11c01;2 −

− 48 c11;1p0p11β1 − 6 β1p11c01;1 − 115 β1p11c01;2p02 + 256 e

(p)J B2β1

2m11m22 +

+ 8 c10;1e(p)J β1

2m11p11 − 32 c01;2e(p)J

2β13p11m11

2 − 16 c01;2e(p)J

2β13m11p11 −

− 256 c11;1e(p)J

2β13m11m22 + 32 c10;1p0e

(p)J β1

2m22 + 16 c10;1p11e(p)J β1

2m112 +

+ 32 c10;1e(p)J β1

2m11p22 −− 256 e

(p)J B2β1

2m13 + 16 e(p)J

2β13p11c01;2s22 − 256 c10;1p0e

(p)J β1

2m13 −

107

− 64 c11;1p0β1p11m112 −

− 96 c01;2p02β1p11m11

2 − 32 c01;1β1m11p0s22 − 512 c01;2p03β1m11m22 −

− 32 c01;2p02p11β1m11 +

+ 32 c01;2p02p11β1s22 − 64 c01;2p0

3β1m11s22 + 24 c01;2p0β1p112m11 +

+ 1024 c11;1p0p20β1m11 −− 512 c11;1p0

2β1m11m22 − 128 c11;1p0β1m11p22 − 256 e(p)J B2β2

2m11m22 −− 256 c01;2e

(p)J

2β13p0m11

3 −− 32 c01;2e

(p)J

2β13p0s22 + 16 c10;1e

(p)J β1

2p0s22 − 8 c10;1e(p)J β1

2p11s22 −+ 256 c10;1e

(p)J β1

2m11p20 + 128 c11;1p0β1p11m22 + 64 c01;2e(p)J

2β13p0s31 −

− 32 c10;1e(p)J β1

2p11m22 +

+ 512 c01;2e(p)J

2β13p0m13 + 512 c01;2e

(p)J

2β13m11p20 − 64 c01;2e

(p)J

2β13m11p22 +

+ 128 c10;1p0e(p)J β1

2m113 + 64 e

(p)J

2β1

3p11c01;2m22 − 32 c10;1p0e(p)J β1

2s31 +

+ 48 c01;2p0β1p11p22 +

+ 384 c01;2p0β1p11p20 + 1536 c01;2p02β1m11p20 + 192 c01;2p0

2p11β1m22 −− 192 c01;2p0

2β1m11p22 −− 256 c01;1p0β1m11m22 + 256 c01;1β1m11p20 − 64 c01;2e

(p)J

2β13p0m22 − 8 c01;2p0e

(p)J

2β13 +

+ 4 c10;1e(p)J β1

2p0 − 41 β1p03c01;2 − 4 c01;1p0β1 − 32 c10;1e

(p)J β1

2p20 +

+ 64 c01;2e(p)J

2β13p20 − 72 p0β1m11c01;1 + 192 c01;2p0

2β1p20 + 5 c01;2p0β1p112 −

− 96 c01;2p03β1m11

2 − 48 c01;1p0β1m112 − 408 c01;2p0

3β1m11 − 144 c01;2e(p)J

2β13p0m11 +

+ 48 c10;1p0e(p)J β1

2m112 − 96 c01;2p0e

(p)J

2β13m11

2 + 72 c10;1e(p)J β1

2p0m11

)Q3 (184)

(∆1R)1−3 =1

128e(p)J

2β12(32 c01;2p0

2 + 192 c11;1p0m11 + 192 c01;2p02m11+

+ 16 c11;1p11 + 16 c11;1p0 + 32 p11c01;2p0)Q+

+1

128e(p)J

2β12(192 c11;1p0m12 + 192 c01;2p0

2m12

)Q2 +

+1

128e(p)J

2β12(−117 c01;2p0

2m11 − 108 c01;2p02m11

2 + 64 c01;2p0p20−+ 54 c11;1p0m11

2 − 54 c11;1p0m11 + 16 c11;1p31 − 13 c01;2p02 −

+ 2 c11;1p0 + 16 c11;1p20 + c01;2p112 + 32 c01;2p0

2s31 + 32 c01;2p11p20 +

+ 32 c01;2p0p31 − 18 c11;1p11m112 + 192 c11;1p20m11 + 4 c11;1p11s22 +

108

+ 24 c11;1p11m22 − 216 c01;2p02m11

3 − 20 c01;2p02s22 + 192 c11;1p0m13 −

− 24 c11;1p0m22 + 192 c01;2p02m13 + 3m11c01;2p11

2 + 16 c11;1p0s31 −− 6 c11;1m11p11 − 216 c11;1p0m11

3 + 4 c01;2p11p22 − 24 c11;1m11p22 −− 12 c01;2p0p22 − 8 c11;1p0s22 − 48 c01;2p0

2m22 − 48 c01;2p0m11p22 −− 288 c01;2p0

2m11m22 + 12 c01;2p0p11s22 − 18 c01;2p0m11p11 − 48 c01;2p02m11s22 +

+ 48 c01;2p0p11m22 − 4 c11;1p22 − 36 c01;2p0p11m112 − 24 c11;1m11p0s22 −

+ 14 p11c01;2p0 + 384 c01;2p0m11p20 − 288 c11;1p0m11m22 − 3 c11;1p11)Q3

(∆1R)20 =(−1

4c01;1e

(p)J β1p22 +

1

2c10;1e

(p)J

2β12p22 −

1

2c01;2e

(p)J

3β13p22−

− 3

2c01;2p0

2e(p)J β1p22 −

1

2c11;1p0p22e

(p)J β1 +

3

4c10;1p0

2p22 −5

32c11;1p0

2e(p)J β1 −

− 1

32c11;1p11

2e(p)J β1 −

3

16c01;2p0e

(p)J β1p11

2 − 1

16c01;1p0e

(p)J β1 −

1

8c01;2p0e

(p)J

3β13 −

− 5

16e(p)J β1p0

3c01;2 +1

8c10;1e

(p)J

2β12p0 +

5

32c10;1p0

3 +3

32c10;1p11

2p0

)Q2

(∆1R)21 =(

3

32p0

4c01;2 +5

64p0

3c11;1 +1

32p0C11 −

1

16p0B2β1+

+3

64p0

2c01;1 +1

16p0β1

2e(p)J

2c11;1 +17

64β1

2e(p)J

2p02c01;2 −

− 11

64β1e

(p)J p0

2c10;1 +1

8m11

2p03c11;1 +

3

64p0p11

2c11;1 +1

8m11

2p04c01;2 +

+3

32p11

2p02c01;2 +

1

8m11

2c01;0 +5

64p11

2β12e

(p)J

2c01;2 −

− 1

16m11p0

3c11;1 +1

8m11β1

2e(p)J

2p02c01;2 +

1

4m11

2p0β12e

(p)J

2c11;1 −

− 1

8p0

2m11β1e(p)J c10;1 +

5

8m11

2β12e

(p)J

2p02c01;2 −

1

16m11p0C11 −

− 3

8m11

2β1e(p)J p0

2c10;1 −1

8m11

2β13e

(p)J

3c10;1 +1

8m11

2p02c01;1 +

+1

16e(p)J β1m11p0 +

1

64p11

2c01;1 +1

8m11

2p0C11 +1

8p0e

(p)J β1m11

2 +

+1

8m11

2β12e

(p)J

2c01;1 −3

64β1e

(p)J p11

2c10;1 −1

2c01;0m22 +

1

32p0e

(p)J β1 −

109

− 1

8m11p0β1

2e(p)J

2c11;1 −

1

16C11m11p11 −

1

2c11;1p0

3m22 −1

2C11p0m22 +

+1

8c11;1p0

3s22 +1

8C11p0s22 +

1

32C11p11 +

1

2c01;2p0

3p22 −

− 1

8p0m11p11c01;1 −

1

2c01;2e

(p)J

4β14m22 −

1

4m11c01;2p0

3p11 +

− 1

16c11;1e

(p)J

2β12p11 −

1

32e(p)J β1p11 −

1

2c01;2p0

4m22 −1

2c01;1p0

2m22 +

− 1

4c01;1p0p22 +

1

2c10;1e

(p)J

3β13m22 +

1

16c11;1p0

2p11 +3

32c10;1e

(p)J β1p11p0 −

− 1

2c01;1e

(p)J

2β12m22 −

3

32e

(p)J

2β1

2p11c01;2p0 +1

8e(p)J β1p22 −

1

16β1B2p11 −

− 1

4c01;2p0

2e(p)J

2β12s22 −

1

2p0e

(p)J β1m22 +

1

4c11;1e

(p)J

2β12p0s22 −

− 1

8e(p)J β1p0s22 −

5

2c01;2p0

2e(p)J

2β12m22 −

1

16e

(p)J β1m11p11 −

− 5

8m11c01;2p0e

(p)J

2β1

2p11 +1

8C11p22 −

3

16c11;1p0

2m11p11 +

− 5

4c01;2e

(p)J

2β12p0p22 +

3

2c10;1p0

2e(p)J β1m22 +

1

8β1B2m11p11 +

+ β1B2p0m22 −1

4β1B2p0s22 +

3

8c11;1p0

2p22 +3

8c10;1e

(p)J β1m11p11p0 −

1

4β1B2p22 +

+1

4c10;1p0

2e(p)J β1s22 − c11;1e

(p)J

2β12p0m22 −

3

4c10;1e

(p)J β1p22p0 +

+1

4c11;1e

(p)J

2β12p22 −

1

8c11;1e

(p)J

2β12m11p11 +

1

8m11p0B2β1 +

− 1

8m11

2β14e

(p)J

4c01;2 −1

4m11

2p0B2β1

)Q2 +

(1

16e(p)J β1p0m12+

+1

4m12m11β1

4e(p)J

4c01;2 +1

4p0e

(p)J β1m11m12 +

1

4m12m11β1

2e(p)J

2c01;1 +

+1

4m12m11c01;0 +

1

4m12m11p0

4c01;2 +1

4m12m11p0

3c11;1 −

− 1

8m12p0β1

2e(p)J

2c11;1 +

1

8m12β1

2e(p)J

2p02c01;2 −

1

2m12m11p0B2β1 +

+1

8m12p0B2β1 −

1

4m12m11β1

3e(p)J

3c10;1 +1

2m12m11p0β1

2e(p)J

2c11;1 +

+5

4m12β1

2e(p)J

2p0

2c01;2m11 −1

8m12β1e

(p)J p0

2c10;1 −1

16m12p0C11 −

110

− 1

16m12p0

3c11;1 −1

2c01;0m23 −

1

16C11p11m12 −

1

2c01;2p0

4m23 −

− 1

2c01;1p0

2m23 −1

2C11p0m23 −

1

2c11;1p0

3m23 +1

4m12m11p0C11 −

− 3

4m12m11β1e

(p)J p0

2c10;1 +3

8c10;1e

(p)J β1p11m12p0 + β1B2p0m23 +

+1

2c10;1e

(p)J

3β13m23 +

1

4m12m11p0

2c01;1 −1

2p0e

(p)J β1m23 −

1

16p11e

(p)J β1m12 −

− 1

8c01;1p0p11m12 −

1

2c01;2e

(p)J

4β14m23 −

1

2c01;1e

(p)J

2β12m23 −

− 3

16c11;1p0

2p11m12 −1

4c01;2p0

3p11m12 +3

2c10;1p0

2e(p)J β1m23 +

1

8β1B2p11m12 −

− 5

2c01;2p0

2e(p)J

2β12m23 − c11;1e

(p)J

2β12p0m23 −

+5

8c01;2e

(p)J

2β12p0p11m12 −

1

8c11;1e

(p)J

2β12p11m12

)Q3

(∆1R)22 = − 1

32e(p)J

(4 c01;1β1p22 + 16C11β1m11

2 − 32 β12B2m11

2+

+ c11;1p112β1 − 4 c01;1β1m11p11 + 8 c01;2e

(p)J

2β13p22 − 32 c01;1β1p0m22 −

− 4 c10;1e(p)J β1

2p22 − 8 c01;2p03β1s22 − 4 c01;1β1p0s22 +

+ 24 c01;2p02β1p22 − 64 c01;2p0

3β1m22 + c10;1e(p)J β1

2p11 −− 2 e

(p)J

2β13p11c01;2 − β1p11c01;1 − 4 β1p11c01;2p0

2 +

+ 4 c10;1e(p)J β1

2m11p11 − 8 c01;2e(p)J

2β13m11p11 + 32 c10;1p0e

(p)J β1

2m22 −− 24 c01;2p0

2p11β1m11 − 8 c01;2e(p)J

2β1

3p0s22 + 4 c10;1e(p)J β1

2p0s22 −− 64 c01;2e

(p)J

2β13p0m22 − 32 c11;1e

(p)J

2β13m22 + 64 β1

2B2m22 −− 32 e

(p)J B2β2

2m22 − 32C11β1m22 − 64 c11;1p02β1m22 +

+ 16 c11;1p0p22β1 − 16 c11;1p0β1m11p11 + 32 e(p)J B2β1

2m22 +

+ 3 c11;1p02β1 + 2 c01;2p0e

(p)J

2β13 − c1,0,1e

(p)J β1

2p0 + 5 β1p03c01;2 +

+ c01;1p0β1 − 16m112e

(p)J B2β1

2 + 16 c11;1e(p)J

2β13m11

2 + 4 p0β1m11c01;1 +

+ 3 c01;2p0β1p112 + 32 c01;2p0

3β1m112 + 16 c01;1p0β1m11

2 +

+ 32 c11;1p02β1m11

2 + 16 e(p)J B2β2

2m112 + 8 c01;2p0

3β1m11 + 8 c01;2e(p)J

2β13p0m11 −

− 16 c10;1p0e(p)J β1

2m112 + 32 c01;2p0e

(p)J

2β13m11

2 − 4 c10;1e(p)J β1

2p0m11

)Q2 −

111

− 1

32e(p)J

(64 β1

2B2m23 − 32C11β1m23 − 32 c11;1e(p)J

2β13m23−

− 64 c01;2p03β1m23 + 32 e

(p)J B2β1

2m23 − 32 c01;1β1p0m23 − 64 c11;1p02β1m23 −

− 4 c01;1β1p11m12 − 32 e(p)J B2β2

2m23 − 16 c11;1p0β1p11m12 −− 24 c01;2p0

2p11β1m12 + 32 c10;1p0e(p)J β1

2m23 − 8 e(p)J

2β13p11c01;2m12 +

+ 4 c10;1e(p)J β1

2p11m12 − 64 c01;2e(p)J

2β13p0m23 − 64 β1

2B2m11m12 +

+ 32 e(p)J B2β2

2m11m12 + 8 c01;2p03β1m12 + 32C11β1m11m12 +

+ 64 c01;2p0e(p)J

2β1

3m11m12 + 4 c01;1β1p0m12 + 32 c01;1p0β1m11m12 +

+ 64 c11;1p02β1m11m12 − 32m12m11e

(p)J B2β1

2 − 4 c10;1e(p)J β1

2p0m12 +

+ 8 c01;2e(p)J

2β13p0m12 + 32 c11;1e

(p)J

2β13m11m12 +

+ 64 c01;2p03β1m11m12 − 32 c10;1p0e

(p)J β1

2m11m12

)Q3

(∆1R)23 =1

64e(p)J

2β12(24 c01;2p0

2m11+

+ 72 c01;2p02m11

2 + 72 c11;1p0m112 + 12 c11;1p0m11 + 5 c01;2p0

2 +

+ 2 c11;1p0 + c01;2p112 − 96 c01;2p0

2m22 − 24 c01;2p0m11p11 + 8 c11;1p22 −+ 6 p11c01;2p0 − 2 c1,1,1p11 − 96 c11;1p0m22 − 12 c11;1m11p11 + 16 c01;2p0p22 −+ 16 c01;2p0

2s22 − 8 c11;1p0s22

)Q2 +

+1

64e

(p)J

2β1

2(144 c11;1p0m11m12 + 144m11c01;2p0

2m12−− 24 c01;2p0p11m12 − 96 c11;1p0m23 − 12 c11;1p11m12 − 96 c01;2p0

2m23 +

+ 24 c01;2p02m12 + 12 c11;1p0m12

)Q3

(∆1R)2−1 =(

3

32p0

4c01;2 +5

64p0

3c11;1 +1

32p0C11 −

1

16p0B2β1 +

3

64p0

2c01;1+

+1

16p0β1

2e(p)J

2c11;1 +17

64β1

2e(p)J

2p02c01;2 −

+11

64β1e

(p)J p0

2c10;1 +1

8m11

2p03c11;1 +

3

64p0p11

2c11;1 +

+1

8m11

2p04c01;2 +

3

32p11

2p02c01;2 +

1

8m11

2c01;0 +

112

+5

64p11

2β12e

(p)J

2c01;2 −1

16m11p0

3c11;1 +1

8m11β1

2e(p)J

2p02c01;2 +

+1

4m11

2p0β12e

(p)J

2c11;1 −1

8p0

2m11β1e(p)J c10;1 +

+5

8m11

2β12e

(p)J

2p02c01;2 −

1

16m11p0C11 −

3

8m11

2β1e(p)J p0

2c10;1 −

− 1

8m11

2β13e

(p)J

3c10;1 +1

8m11

2p02c01;1 +

1

16e(p)J β1m11p0 +

+1

64p11

2c01;1 +1

8m11

2p0C11 +1

8p0e

(p)J β1m11

2 +1

8m11

2β12e

(p)J

2c01;1 −

− 3

64β1e

(p)J p11

2c10;1 +1

2c01;0m22 +

1

32p0e

(p)J β1 −

− 1

8m11p0β1

2e(p)J

2c11;1 +

1

16C11m11p11 +

1

2c11;1p0

3m22 +1

2C11p0m22 −

− 1

8c11;1p0

3s22 −1

8C11p0s22 −

1

32C11p11 +

1

2c01;2p0

3p22 +

+1

8p0m11p11c01;1 +

1

2c01;2e

(p)J

4β14m22 +

1

4m11c01;2p0

3p11 −

− 1

16c11;1e

(p)J

2β12p11 +

1

32e(p)J β1p11 +

1

2c01;2p0

4m22 +1

2c01;1p0

2m22 +

+1

4c01;1p0p22 −

1

2c10;1e

(p)J

3β13m22 −

1

16c11;1p0

2p11 −3

32c10;1e

(p)J β1p11p0 +

+1

2c01;1e

(p)J

2β12m22 +

3

32e

(p)J

2β1

2p11c01;2p0 +1

8e(p)J β1p22 +

+1

16β1B2p11 +

1

4c01;2p0

2e(p)J

2β12s22 +

1

2p0e

(p)J β1m22 −

− 1

4c11;1e

(p)J

2β12p0s22 +

1

8e(p)J β1p0s22 +

5

2c01;2p0

2e(p)J

2β12m22 +

+1

16e

(p)J β1m11p11 +

5

8m11c01;2p0e

(p)J

2β1

2p11 +

+1

8C11p22 +

3

16c11;1p0

2m11p11 +5

4c01;2e

(p)J

2β12p0p22 −

− 3

2c10;1p0

2e(p)J β1m22 −

1

8β1B2m11p11 − β1B2p0m22 +

1

4β1B2p0s22 +

+3

8c11;1p0

2p22 −3

8c10;1e

(p)J β1m11p11p0 −

1

4β1B2p22 −

+1

4c10;1p0

2e(p)J β1s22 + c11;1e

(p)J

2β12p0m22 −

3

4c10;1e

(p)J β1p22p0 +

113

+1

4c11;1e

(p)J

2β12p22 +

1

8c11;1e

(p)J

2β12m11p11 +

1

8m11p0B2β1 +

+1

8m11

2β14e

(p)J

4c01;2 −1

4m11

2p0B2β1

)Q2 +

+(

1

16e(p)J β1p0m12 +

1

4m12m11β1

4e(p)J

4c01;2 +1

4p0e

(p)J β1m11m12+

+1

4m12m11β1

2e(p)J

2c01;1 +1

4m12m11c0,1,0 +

1

4m12m11p0

4c01;2 +

+1

4m12m11p0

3c11;1 −1

8m12p0β1

2e(p)J

2c11;1 +

+1

8m12β1

2e(p)J

2p02c01;2 −

1

2m12m11p0B2β1 +

1

8m12p0B2β1 −

− 1

4m12m11β1

3e(p)J

3c10;1 +1

2m12m11p0β1

2e(p)J

2c11;1 +

+5

4m12β1

2e(p)J

2p0

2c01;2m11 −1

8m12β1e

(p)J p0

2c10;1 −

− 1

16m12p0C11 −

1

16m12p0

3c11;1 +1

2c01;0m23 +

1

16C11p11m12 +

1

2c01;2p0

4m23 +

+1

2c01;1p0

2m23 +1

2C11p0m23 +

1

2c11;1p0

3m23 +1

4m12m11p0C11 −

− 3

4m12m11β1e

(p)J p0

2c10;1 −3

8c10;1e

(p)J β1p11m12p0 −

+ β1B2p0m23 −1

2c10;1e

(p)J

3β13m23 +

1

4m12m11p0

2c01;1 +

+1

2p0e

(p)J β1m23 +

1

16p11e

(p)J β1m12 +

1

8c01;1p0p11m12 +

+1

2c01;2e

(p)J

4β14m23 +

1

2c01;1e

(p)J

2β12m23 +

3

16c11;1p0

2p11m12 +

+1

4c01;2p0

3p11m12 −3

2c10;1p0

2e(p)J β1m23 −

− 1

8β1B2p11m12 +

5

2c01;2p0

2e(p)J

2β12m23 + c11;1e

(p)J

2β12p0m23 +

+5

8c01;2e

(p)J

2β12p0p11m12 +

1

8c11;1e

(p)J

2β12p11m12

)Q3

(∆1R)2−2 = − 1

32e(p)J

(4 c01;1β1p22 + 16C11β1m11

2 − 32 β12B2m11

2 + c11;1p112β1+

+ 4 c01;1β1m11p11 + 8 c01;2e(p)J

2β13p22 + 32 c01;1β1p0m22 −

114

− 4 c10;1e(p)J β1

2p22 + 8 c01;2p03β1s22 + 4 c01;1β1p0s22 +

+ 24 c01;2p02β1p22 + 64 c01;2p0

3β1m22 − c10;1e(p)J β1

2p11 +

+ 2 e(p)J

2β13p11c01;2 + β1p11c01;1 + 4 β1p11c01;2p0

2 −− 4 c10;1e

(p)J β1

2m11p11 + 8 c01;2e(p)J

2β13m11p11 − 32 c10;1p0e

(p)J β1

2m22 +

+ 24 c01;2p02p11β1m11 + 8 c01;2e

(p)J

2β1

3p0s22 − 4 c10;1e(p)J β1

2p0s22 +

+ 64 c01;2e(p)J

2β13p0m22 + 32 c11;1e

(p)J

2β13m22 − 64 β1

2B2m22 +

+ 32 e(p)J B2β2

2m22 + 32C11β1m22 + 64 c11;1p02β1m22 +

+ 16 c11;1p0p22β1 + 16 c11;1p0β1m11p11 − 32 e(p)J B2β1

2m22 +

+ 3 c11;1p02β1 + 2 c01;2p0e

(p)J

2β13 − c10;1e

(p)J β1

2p0 +

+ 5 β1p03c01;2 + c01;1p0β1 − 16m11

2e(p)J B2β1

2 +

+ 16 c11;1e(p)J

2β13m11

2 + 4 p0β1m11c01;1 + 3 c01;2p0β1p112 +

+ 32 c01;2p03β1m11

2 + 16 c01;1p0β1m112 + 32 c11;1p0

2β1m112 +

+ 16 e(p)J B2β2

2m112 + 8 c01;2p0

3β1m11 + 8 c01;2e(p)J

2β13p0m11 −

− 16 c10;1p0e(p)J β1

2m112 + 32 c01;2p0e

(p)J

2β13m11

2 − 4 c10;1e(p)J β1

2p0m11

)Q2 −

− 1

32e(p)J

(−64 β1

2B2m23 + 32C11β1m23+

+ 32 c11;1e(p)J

2β13m23 + 64 c01;2p0

3β1m23 − 32 e(p)J B2β1

2m23 +

+ 32 c01;1β1p0m23 + 64 c11;1p02β1m23 + 4 c01;1β1p11m12 +

+ 32 e(p)J B2β2

2m23 + 16 c11;1p0β1p11m12 + 24 c01;2p02p11β1m12 −

− 32 c10;1p0e(p)J β1

2m23 + 8 e(p)J

2β13p11c01;2m12 −

− 4 c10;1e(p)J β1

2p11m12 + 64 c01;2e(p)J

2β13p0m23 − 64 β1

2B2m11m12 +

+ 32 e(p)J B2β2

2m11m12 + 8 c01;2p03β1m12 + 32C11β1m11m12 +

+ 64 c01;2p0e(p)J

2β1

3m11m12 + 4 c01;1β1p0m12 + 32 c01;1p0β1m11m12 +

+ 64 c11;1p02β1m11m12 − 32m12m11e

(p)J B2β1

2 − 4 c10;1e(p)J β1

2p0m12 +

+ 8 c01;2e(p)J

2β13p0m12 + 32 c11;1e

(p)J

2β13m11m12 + 64 c01;2p0

3β1m11m12 −− 32 c10;1p0e

(p)J β1

2m11m12

)Q3

(∆1R)2−3 =1

64e(p)J

2β12(24 c01;2p0

2m11 + 72 c01;2p02m11

2 + 72 c11;1p0m112+

115

+ 12 c11;1p0m11 + 5 c01;2p02 + 2 c11;1p0 + c01;2p11

2 + 96 c01;2p02m22 +

+ 24 c01;2p0m11p11 + 8 c11;1p22 + 6 p11c01;2p0 + 2 c11;1p11 + 96 c11;1p0m22 +

+ 12 c11;1m11p11 + 16 c01;2p0p22 + 16 c01;2p02s22 + 8 c11;1p0s22

)Q2 +

+1

64e

(p)J

2β1

2(144m11c01;2p0

2m12 + 24 c01;2p0p11m12+

+ 96 c11;1p0m23 + 12 c11;1p11m12 + 96 c01;2p02m23 + 24 c01;2p0

2m12 +

+ 12 c11;1p0m12 + 144 c11;1p0m11m12)Q3

(∆1R)3 0 =(− 5

16c11;1p0

2e(p)J β1s22 −

1

16c11;1e

(p)J β1p11p22−

− 1

128c01;2e

(p)J β1p11

3 +5

16c10;1p0

3s22 −1

16c11;1p0p11e

(p)J β1 −

− 1

64e(p)J β1p11c01;1 −

1

32e(p)J

3β13p11c01;2 +

19

256c10;1p0

2p11 +

+1

32c10;1e

(p)J

2β12p11 −

19

128e

(p)J β1p11c01;2p0

2 −

− 3

8c01;2p0e

(p)J β1p11p22 +

1

4c10;1e

(p)J

2β12p0s22 −

− 1

8c01;1p0e

(p)J β1s22 −

1

4c01;2p0e

(p)J

3β13s22 +

3

16c10;1p11p22p0 +

+1

256c10;1p11

3 − 5

8e(p)J β1p0

3c01;2s22 + c01;2p03e

(p)J β1m11m22 −

− 1

4c01;1e

(p)J β1p33 +

3

4c10;1p0

2p33 −3

2c01;2p0

2e(p)J β1p33 −

− 1

2c11;1p0e

(p)J β1p33 + 3 c01;2p0e

(p)J

3β13m11m22 −

1

2c01;2e

(p)J

3β13p33 +

+1

2c11;1p0

2e(p)J β1m11m22 +

1

2c10;1e

(p)J

2β1

2p33 +

+1

2c01;1p0e

(p)J β1m11m22 −

3

2c10;1p0e

(p)J

2β12m11m22

)Q3

(∆1R)3 1 =(

17

1536p0

3c11;1 +1

192p0C11 −

1

96p0B2β1 +

1

96p0β1

2e(p)J

2c11;1−

− 7

384β1

2e(p)J

2p02c01;2 +

7

384β1e

(p)J p0

2c10;1 +

+1

64m11

2p03c11;1 +

5

512p0p11

2c11;1 −

116

− 1

128p11

2β12e

(p)J

2c01;2 −5

128m11p0

3c11;1 −

− 17

128m11β1

2e(p)J

2p02c01;2 +

1

32m11

2p0β12e

(p)J

2c11;1 +

+11

128p0

2m11β1e(p)J c10;1 −

1

32m11

2β12e

(p)J

2p0

2c01;2 −

− 1

64m11p0C11 +

1

32m11

2β1e(p)J p0

2c10;1 −1

64e(p)J β1m11p0 +

+1

64m11

2p0C11 −1

64p0e

(p)J β1m11

2 +1

128β1e

(p)J p11

2c10;1 −

− 1

2c01;0m33 +

1

8C11p33 −

1

192p0e

(p)J β1 +

1

32C11p11s22 −

1

128m11c01;1p11

2 −

+1

48 c01;2p0

4m113 − 1

48C11p0m11

3 − 1

32m11p0β1

2e(p)J

2c11;1 +

+3

16c01;2p0

4s22 +1

128c01;2p0p11

3 +1

32c01;1p11p22 +

3

32c01;1p0

2s22 −

− 1

48 c11;1p0

3m113 − 1

16C11m11p22 −

1

64C11m11p11 −

1

16c11;1p0

3m22 −

+1

16C11p0m22 +

5

32c11;1p0

3s22 +1

16C11p0s22 +

1

128C11p11 +

+7

128p0

3p11c01;2 −3

128m11c01;1p0

2 +1

64c11;1e

(p)J

2β12p11 +

+1

128e(p)J β1p11 +

19

512c11;1p0

2p11 −1

16c10;1e

(p)J β1p11p0 +

+3

32e(p)J

2β12p11c01;2p0 −

1

32e(p)J β1p22 −

3

64m11c01;2p0

4 +

+1

64p0p11c01;1 −

1

64β1B2p11 −

1

32e(p)J β1p11s22 +

1

16e(p)J β1m11p0s22 −

− 1

4c01;2p0

3p11m22 −5

8c01;2e

(p)J

2β12p0p11m22 −

3

64m11c01;2p0

2p112 +

+1

8β1B2m11p22 −

1

48 c01;0m11

3 +3

32c10;1e

(p)J β1p11s22p0 +

3

8c10;1e

(p)J β1p11m22p0 +

+1

16c01;2p0

3p11m112 − 1

16c11;1p0

3m11s22 −1

8c01;1p0p11m22 −

1

2β1B2p0m11m22 −

+3

128c11;1p11

2p0m11 +1

8β1B2p11m22 −

1

16β1B2p11s22 +

+1

24 β1B2p0m11

3 +1

512c11;1p11

3 +17

32c01;2p0

2e(p)J

2β12s22 +

117

+1

16p0e

(p)J β1m22 +

1

8c11;1e

(p)J

2β12p0s22 +

1

16e(p)J β1p0s22 +

+1

8c01;2p0

2e(p)J

2β12m22 +

1

64e(p)J β1m11p11 +

+1

8c01;2p0

2e(p)J

2β12m11s22 −

3

32c01;2e

(p)J

2β12p0p11s22 +

+1

16c11;1p0

2p11s22 +1

4p0e

(p)J β1m11m22 −

5

4c01;2p0

2e(p)J

2β12m11m22 −

− 5

8c01;2e

(p)J

2β12p0m11p22 −

1

48 p0e

(p)J β1m11

3 +

+3

32c11;1p0p11p22 −

3

32c10;1p11e

(p)J β1m11

2p0 +

+5

32c01;2e

(p)J

2β1

2p11p22 −1

16c11;1e

(p)J

2β12p0m11

3 −

− 1

4c11;1p0e

(p)J

2β1

2m11m22 +1

4c11;1p0

3m11m22 −

− 3

4c01;2e

(p)J

4β14m11m22 +

1

32c01;1p0p11m11

2 − 1

48 c01;1p0

2m113 −

− 5

128m11c01;2e

(p)J

2β1

2p112 − 1

32β1B2p11m11

2 +

+3

8c10;1e

(p)J β1m11p22p0 +

1

4C11p0m11m22 −

1

8c11;1e

(p)J

2β1

2m11p0s22 +

+5

32c01;2p0e

(p)J

2β12p11m11

2 − 1

4c10;1p0

2e(p)J β1m11m22 +

+3

64m11c01;2p0e

(p)J

2β12p11 +

1

64p11e

(p)J β1m11

2 − 1

16p11e

(p)J β1m22 −

− 1

16e(p)J β1m11p22 +

1

4c01;2p0

4m11m22 −1

8m11c01;1p0p22 +

+1

64C11p11m11

2 +1

16c11;1e

(p)J

2β12p11s22 −

1

4c01;1e

(p)J

2β12m11m22 −

− 1

16C11p11m22 +

1

4c01;0m11m22 +

3

16c01;2p0

2p11p22 −1

16C11m11p0s22 +

+1

4c10;1e

(p)J

3β13m11m22 +

1

8β1B2m11p0s22 −

1

8c11;1e

(p)J

2β12m11p22 +

+3

64c11;1p0

2p11m112 − 3

16c11;1p0

2m11p22 −

− 1

4m11c01;2p0

3p22 +1

32C11p22 −

1

48 c01;1e

(p)J

2β12m11

3 +

118

+1

32c11;1e

(p)J

2β12p11m11

2 +1

48 c10;1p0

2e(p)J β1m11

3 +

+3

128c10;1p11

2e(p)J β1m11 +

1

48 c10;1e

(p)J

3β13m11

3 − 3

16c11;1p0

2p11m22 +

+1

4c01;1p0

2m11m22 −1

8c10;1e

(p)J β1m11p0

2s22 −1

32c11;1p0

2m11p11 −

+3

32c01;2e

(p)J

2β12p0p22 −

1

8c10;1p0

2e(p)J β1m22 +

1

32β1B2m11p11 +

+1

8β1B2p0m22 −

1

8β1B2p0s22 +

1

16c11;1p0

2p22 −

− 3

64c10;1e

(p)J β1m11p11p0 −

1

16β1B2p22 −

11

32c10;1p0

2e(p)J β1s22 −

− 1

8c11;1e

(p)J

2β12p0m22 −

1

16c01;2p0

2e(p)J

2β12m11

3 −

− 1

8c11;1e

(p)J

2β12p11m22 −

1

48 c01;2e

(p)J

4β1

4m113 +

+3

32c10;1e

(p)J β1p22p0 +

1

16c11;1e

(p)J

2β12p22 −

− 3

32c10;1p11p22e

(p)J β1 −

1

32c11;1e

(p)J

2β12m11p11 +

1

32m11p0B2β1 −

− 1

8e(p)J β1p0s33 +

1

8e(p)J β1p33 +

5

4c01;2e

(p)J

2β12p0p33 −

− 3

2c11;1e

(p)J

2β12p0m33 −

3

2c01;2p0

2e(p)J

2β12m33 +

+1

4c11;1e

(p)J

2β1

2p0s33 −1

2C11p0m33 −

1

4β1B2p33 +

+1

4c01;1p0p33 −

3

4c10;1e

(p)J β1p33p0 −

1

2c01;2e

(p)J

4β1

4m33 −

− 1

4c01;2p0

2e(p)J

2β1

2s33 −1

2c11;1p0

3m33 + β1B2p0m33 −

− 1

4β1B2p0s33 +

1

4c10;1p0

2e(p)J β1s33 +

1

4c11;1e

(p)J

2β12p33 −

− 1

2c01;1p0

2m33 +1

8C11p0s33 +

1

8c11;1p0

3s33 −

− 1

2c01;1e

(p)J

2β12m33 −

1

2e(p)J β1p0m33 −

1

2c01;2p0

4m33 +

+3

8c11;1p0

2p33 +1

2c10;1p0

2e(p)J β1m33 +

1

2c10;1e

(p)J

3β13m33 +

119

+1

2c01;2p0

3p33 −1

32m11

2p0B2β1

)Q3 (185)

(∆1R)3 2 =1

16e(p)J

(−16 c11;1e

(p)J

2β13 − 32 c11;1p0

2β1 + 16 e(p)J B2β1

2 + 32 β12B2+

+ 16 c10;1e(p)J β1

2p0 − 16C11β1 − 16 e(p)J B2β2

2 −− 32 β1p0

3c01;2 − 16 c01;1p0β1 − 32 c01;2p0e(p)J

2β13)

+

+1

16e(p)J

(16C11β1m11

2 − 16 c01;1β1p20 − 32 β12B2m11

2−

− c11;1p112β1 + 15 c11;1p0

2β1 + 8 c01;2p0e(p)J

2β13 − 4 c10;1e

(p)J β1

2p0 +

+ 23 β1p03c01;2 + 4 c01;1p0β1 − 16m11

2e(p)J B2β1

2 +

+ 16 c10;1e(p)J β1

2p20 − 32 c01;2e(p)J

2β13p20 +

+ 16 c11;1e(p)J

2β13m11

2 + 4 p0β1m11c01;1 − 96 c01;2p02β1p20 −

− 3 c01;2p0β1p112 − 64 c11;1p0β1p20 + 32 c01;2p0

3β1m112 +

+ 16 c01;1p0β1m112 + 32 c11;1p0

2β1m112 + 16 e

(p)J B2β2

2m112 +

+ 8 c01;2p03β1m11 + 8 c01;2e

(p)J

2β13p0m11 − 16 c10;1p0e

(p)J β1

2m112 +

+ 32 c01;2p0e(p)J

2β13m11

2 − 4 c10;1e(p)J β1

2p0m11

)Q2 +

+1

16e(p)J

(−32m12m11e

(p)J B2β1

2 + 64 c01;2p0e(p)J

2β13m11m12−

+ 4 c10;1e(p)J β1

2p0m12 + 32 c01;1p0β1m11m12 + 64 c11;1p02β1m11m12 +

+ 32C11β1m11m12 + 32 c11;1e(p)J

2β13m11m12 − 32 c10;1p0e

(p)J β1

2m11m12 +

+ 4 c01;1β1p0m12 + 8 c01;2e(p)J

2β13p0m12 + 64 c01;2p0

3β1m11m12 −− 64 β1

2B2m11m12 + 32 e(p)J B2β2

2m11m12 + 8 c01;2p03β1m12

)Q3

(∆1R)3 3 = − 1

384e(p)J

2β12 (−48 c11;1p33 − 96 c01;2p0p33 + 384 c11;1p0m33+

+ 192 c01;2p02m33 + 48 c11;1p0s33 + 96 c01;2p0

2s33 + 45 c01;2p02m11 +

+ 108 c01;2p02m11

2 + 54 c11;1p0m112 + 18 c11;1p0m11 + 7 c01;2p0

2 + 2 c11;1p0 +

+ 3 c01;2p112 − 54 c11;1p11m11

2 + 12 c11;1p11s22 + 72 c11;1p11m22 +

+ 200 c01;2p02m11

3 − 60 c01;2p02s22 − 72 c11;1p0m22 + 9m11c01;2p11

2 −− 18 c11;1m11p11 + 208 c11;1p0m11

3 − 12 c01;2p11p22 + 72 c11;1m11p22 +

120

+ 36 c01;2p0p22 − 24 c11;1p0s22 − 144 c01;2p02m22 + 144 c01;2p0m11p22 −

− 672 c01;2p02m11m22 + 36 c01;2p0p11s22 − 54 c01;2p0m11p11 −

− 144 c01;2p02m11s22 + 144 c01;2p0p11m22 + 12 c11;1p22 − 108 c01;2p0p11m11

2 −− 72 c11;1m11p0s22 − 12 p11c01;2p0 − 768 c11;1p0m11m22 − 3 c11;1p11)Q

3

(∆1R)3−1 =(− 17

1536p0

3c11;1 −1

192p0C11 +

1

96p0B2β1−

+1

96p0β1

2e(p)J

2c11;1 +7

384β1

2e(p)J

2p02c01;2 −

7

384β1e

(p)J p0

2c10;1 −

− 1

64m11

2p03c11;1 −

5

512p0p11

2c11;1 +1

128p11

2β12e

(p)J

2c01;2 +

+5

128m11p0

3c11;1 +17

128m11β1

2e(p)J

2p02c01;2 −

− 1

32m11

2p0β12e

(p)J

2c11;1 −11

128p0

2m11β1e(p)J c10;1 +

+1

32m11

2β12e

(p)J

2p02c01;2 +

1

64m11p0C11 −

− 1

32m11

2β1e(p)J p0

2c10;1 +1

64e(p)J β1m11p0 −

1

64m11

2p0C11 +

+1

64p0e

(p)J β1m11

2 − 1

128β1e

(p)J p11

2c10;1 +

+1

2c01;0m33 +

1

8C11p33 +

1

192p0e

(p)J β1 −

1

32C11p11s22 +

1

128m11c01;1p11

2 +

+1

48 c01;2p0

4m113 +

1

48C11p0m11

3 +1

32m11p0β1

2e(p)J

2c11;1 +

+3

16c01;2p0

4s22 +1

128c01;2p0p11

3 +1

32c01;1p11p22 +

3

32c01;1p0

2s22 +

+1

48 c11;1p0

3m113 +

1

16C11m11p22 −

1

64C11m11p11 −

1

16c11;1p0

3m22 −

− 1

16C11p0m22 +

5

32c11;1p0

3s22 +1

16C11p0s22 +

1

128C11p11 +

+7

128p0

3p11c01;2 +3

128m11c01;1p0

2 +1

64c11;1e

(p)J

2β12p11 +

+1

128e(p)J β1p11 +

19

512c11;1p0

2p11 −1

16c10;1e

(p)J β1p11p0 +

+3

32e(p)J

2β12p11c01;2p0 +

1

32e(p)J β1p22 +

3

64m11c01;2p0

4 +

121

+1

64p0p11c01;1 −

1

64β1B2p11 +

1

32e(p)J β1p11s22 +

+1

16e(p)J β1m11p0s22 +

1

4c01;2p0

3p11m22 +5

8c01;2e

(p)J

2β12p0p11m22 +

+3

64m11c01;2p0

2p112 − 1

8β1B2m11p22 +

1

48 c01;0m11

3 −

− 3

32c10;1e

(p)J β1p11s22p0 −

3

8c10;1e

(p)J β1p11m22p0 +

+1

16c01;2p0

3p11m112 − 1

16c11;1p0

3m11s22 +1

8c01;1p0p11m22 −

1

2β1B2p0m11m22 +

+3

128c11;1p11

2p0m11 −1

8β1B2p11m22 +

1

16β1B2p11s22 −

+1

24 β1B2p0m11

3 +1

512c11;1p11

3 +

+17

32c01;2p0

2e(p)J

2β12s22 +

1

16p0e

(p)J β1m22 +

1

8c11;1e

(p)J

2β12p0s22 +

+1

16e(p)J β1p0s22 +

1

8c01;2p0

2e(p)J

2β12m22 +

+1

64e(p)J β1m11p11 +

1

8c01;2p0

2e(p)J

2β12m11s22 +

+3

32c01;2e

(p)J

2β12p0p11s22 −

1

16c11;1p0

2p11s22 +1

4p0e

(p)J β1m11m22 −

− 5

4c01;2p0

2e(p)J

2β12m11m22 +

5

8c01;2e

(p)J

2β12p0m11p22 +

+1

48 p0e

(p)J β1m11

3 +3

32c11;1p0p11p22 −

− 3

32c10;1p11e

(p)J β1m11

2p0 +5

32c01;2e

(p)J

2β1

2p11p22 +

+1

16c11;1e

(p)J

2β12p0m11

3 − 1

4c11;1p0e

(p)J

2β1

2m11m22 +

+1

4c11;1p0

3m11m22 −3

4c01;2e

(p)J

4β14m11m22 +

1

32c01;1p0p11m11

2 +

+1

48 c01;1p0

2m113 +

5

128m11c01;2e

(p)J

2β1

2p112 −

− 1

32β1B2p11m11

2 − 3

8c10;1e

(p)J β1m11p22p0 +

1

4C11p0m11m22 −

− 1

8c11;1e

(p)J

2β1

2m11p0s22 +5

32c01;2p0e

(p)J

2β12p11m11

2 −

122

− 1

4c10;1p0

2e(p)J β1m11m22 +

3

64m11c01;2p0e

(p)J

2β12p11 +

+1

64p11e

(p)J β1m11

2 +1

16p11e

(p)J β1m22 +

1

16e(p)J β1m11p22 +

+1

4c01;2p0

4m11m22 +1

8m11c01;1p0p22 +

1

64C11p11m11

2 −

+1

16c11;1e

(p)J

2β12p11s22 −

1

4c01;1e

(p)J

2β12m11m22 +

1

16C11p11m22 +

+1

4c01;0m11m22 +

3

16c01;2p0

2p11p22 −1

16C11m11p0s22 +

+1

4c10;1e

(p)J

3β13m11m22 +

1

8β1B2m11p0s22 +

1

8c11;1e

(p)J

2β12m11p22 +

+3

64c11;1p0

2p11m112 +

3

16c11;1p0

2m11p22 +1

4m11c01;2p0

3p22 −

− 1

32C11p22 +

1

48 c01;1e

(p)J

2β12m11

3 +1

32c11;1e

(p)J

2β12p11m11

2 −

− 1

48 c10;1p0

2e(p)J β1m11

3 − 3

128c10;1p11

2e(p)J β1m11 −

− 1

48 c10;1e

(p)J

3β13m11

3 +3

16c11;1p0

2p11m22 +1

4c01;1p0

2m11m22 −

− 1

8c10;1e

(p)J β1m11p0

2s22 −1

32c11;1p0

2m11p11 +

+3

32c01;2e

(p)J

2β12p0p22 −

1

8c10;1p0

2e(p)J β1m22 +

1

32β1B2m11p11 +

+1

8β1B2p0m22 −

1

8β1B2p0s22 −

1

16c11;1p0

2p22 −

+3

64c10;1e

(p)J β1m11p11p0 +

1

16β1B2p22 −

11

32c10;1p0

2e(p)J β1s22 −

− 1

8c11;1e

(p)J

2β12p0m22 +

1

16c01;2p0

2e(p)J

2β12m11

3 +

+1

8c11;1e

(p)J

2β12p11m22 +

1

48 c01;2e

(p)J

4β1

4m113 −

− 3

32c10;1e

(p)J β1p22p0 −

1

16c11;1e

(p)J

2β12p22 −

− 3

32c10;1p11p22e

(p)J β1 −

1

32c11;1e

(p)J

2β12m11p11 −

1

32m11p0B2β1 +

+1

8e(p)J β1p0s33 +

1

8e(p)J β1p33 +

5

4c01;2e

(p)J

2β12p0p33 +

123

+3

2c11;1e

(p)J

2β12p0m33 +

3

2c01;2p0

2e(p)J

2β12m33 −

− 1

4c11;1e

(p)J

2β1

2p0s33 +1

2C11p0m33 −

1

4β1B2p33 +

+1

4c01;1p0p33 −

3

4c10;1e

(p)J β1p33p0 +

1

2c01;2e

(p)J

4β1

4m33 +

+1

4c01;2p0

2e(p)J

2β1

2s33 +1

2c11;1p0

3m33 − β1B2p0m33 +

+1

4β1B2p0s33 −

1

4c10;1p0

2e(p)J β1s33 +

1

4c11;1e

(p)J

2β12p33 +

+1

2c01;1p0

2m33 −1

8C11p0s33 −

1

8c11;1p0

3s33 +

+1

2c01;1e

(p)J

2β12m33 +

1

2e(p)J β1p0m33 +

1

2c01;2p0

4m33 +

+3

8c11;1p0

2p33 −1

2c10;1p0

2e(p)J β1m33 −

1

2c10;1e

(p)J

3β13m33 +

+1

2c01;2p0

3p33 +1

32m11

2p0B2β1

)Q3

(∆1R)3−2 = − 1

768e(p)J

(24 c01;1β1p22 + 128C11β1m11

3 − 256 β12B2m11

3+

+ 3 c01;2β1p113 + 24 c0,1,1β1m11p11 − 1536 β1

2B2m11m22 − 128 e(p)J B2β1

2m113 +

+ 128 e(p)J B2β2

2m113 + 224 c01;2p0

3β1m113 + 768C11β1m11m22 +

+ 24 c01;1β1p11s22 + 96 c01;1β1m11p22 + 48 c01;2e(p)J

2β13p22 + 96 c01;1β1p0m22 +

+ 48 c01;1β1p11m112 − 24 c10;1e

(p)J β1

2p22 + 240 c01;2p03β1s22 +

+ 96 c01;1β1p11m22 + 48 c01;1β1p0s22 + 128 c11;1e(p)J

2β13m11

3 +

+ 144 c11;1p02β1s22 + 48 c11;1β1p11p22 + 240 c11;1p0

2β1m113 +

+ 96 c01;2p02β1p22 + 24 c11;1p11

2β1m11 + 192 c01;2p03β1m22 + 112 c01;1β1p0m11

3 +

+ 72 c11;1p02β1m11 − 96 c10;1e

(p)J β1

2m11p0s22 +

+ 384 c01;2p0e(p)J

2β13m11m22 + 192 c01;2e

(p)J

2β13m11p0s22 −

− 576 c10;1p0e(p)J β1

2m11m22 − 6 c10;1e(p)J β1

2p11 + 12 e(p)J

2β13p11c01;2 +

+ 24 c11;1p0p11β1 + 6 β1p11c01;1 + 57 β1p11c01;2p02 − 768 e

(p)J B2β1

2m11m22 −− 24 c10;1e

(p)J β1

2m11p11 + 96 c01;2e(p)J

2β13p11m11

2 +

+ 48 c01;2e(p)J

2β13m11p11 + 384 c11;1e

(p)J

2β13m11m22 −

124

− 96 c10;1p0e(p)J β1

2m22 − 48 c10;1p11e(p)J β1

2m112 − 96 c10;1e

(p)J β1

2m11p22 +

+ 48 e(p)J

2β13p11c01;2s22 + 192 c11;1p0β1p11m11

2 +

+ 288 c01;2p02β1p11m11

2 + 96 c01;1β1m11p0s22 + 1152 c01;2p03β1m11m22 +

+ 96 c01;2p02p11β1m11 + 96 c01;2p0

2p11β1s22 + 192 c01;2p03β1m11s22 +

+ 72 c01;2p0β1p112m11 + 1344 c11;1p0

2β1m11m22 + 384 c11;1p0β1m11p22 +

+ 768 e(p)J B2β2

2m11m22 + 224 c01;2e(p)J

2β13p0m11

3 +

+ 96 c01;2e(p)J

2β13p0s22 − 48 c10;1e

(p)J β1

2p0s22 −+ 24 c10;1e

(p)J β1

2p11s22 + 384 c11;1p0β1p11m22 − 96 c10;1e(p)J β1

2p11m22 +

+ 192 c01;2e(p)J

2β1

3m11p22 − 112 c10;1p0e(p)J β1

2m113 +

+ 192 e(p)J

2β13p11c01;2m22 + 144 c01;2p0β1p11p22 + 576 c01;2p0

2p11β1m22 +

+ 576 c01;2p02β1m11p22 + 576 c01;1p0β1m11m22 + 192 c01;2e

(p)J

2β13p0m22 + 8 c01;2p0e

(p)J

2β13 −

+ 4 c10;1e(p)J β1

2p0 + 17 β1p03c01;2 + 4 c01;1p0β1 + 24 p0β1m11c01;1 +

+ 15 c01;2p0β1p112 + 96 c01;2p0

3β1m112 + 48 c01;1p0β1m11

2 +

+ 120 c01;2p03β1m11 + 48 c01;2e

(p)J

2β13p0m11 −

+ 48 c10;1p0e(p)J β1

2m112 + 96 c01;2p0e

(p)J

2β13m11

2 −+ 24 c10;1e

(p)J β1

2p0m11 − 384 c10;1p0e(p)J β1

2m33 + 192 c01;2e(p)J

2β13p33 +

+ 96 c01;1β1p33 + 384 c11;1p0β1p33 + 576 c01;2p02β1p33 +

+ 768 c01;2p03β1m33 − 96 c10;1p0e

(p)J β1

2s33 + 192 c01;2p03β1s33 +

+ 96 c01;1β1p0s33 + 192 c01;2e(p)J

2β13p0s33 + 768 c01;2e

(p)J

2β13p0m33 +

+ 1152 c11;1p02β1m33 − 1536 β1

2B2m33 + 384 c01;1β1p0m33 +

+ 768 c11;1e(p)J

2β13m33 − 96 c10;1e

(p)J β1

2p33 + 768C11β1m33 + 768 e(p)J B2β2

2m33 −− 768 e

(p)J B2β1

2m33

)Q3

(∆1R)3−3 =1

384e(p)J

2β12 (48 c11;1p33 + 96 c01;2p0p33+

+ 384 c11;1p0m33 + 192 c01;2p02m33 + 48 c11;1p0s33 + 96 c01;2p0

2s33 +

+ 45 c01;2p02m11 + 108 c01;2p0

2m112 + 54 c11;1p0m11

2 +

+ 18 c11;1p0m11 + 7 c01;2p02 + 2 c11;1p0 + 3 c01;2p11

2 + 54 c11;1p11m112 +

+ 12 c11;1p11s22 + 72 c11;1p11m22 + 200 c01;2p02m11

3 + 60 c01;2p02s22 +

+ 72 c11;1p0m22 + 9m11c01;2p112 + 18 c11;1m11p11 + 208 c11;1p0m11

3 +

125

+ 12 c01;2p11p22 + 72 c11;1m11p22 + 36 c01;2p0p22 + 24 c11;1p0s22 +

+ 144 c01;2p02m22 + 144 c01;2p0m11p22 + 672 c01;2p0

2m11m22 + 36 c01;2p0p11s22 +

+ 54 c01;2p0m11p11 + 144 c01;2p02m11s22 + 144 c01;2p0p11m22 +

+ 12 c11;1p22 + 108 c01;2p0p11m112 + 72 c11;1m11p0s22 + 12 p11c01;2p0 +

+ 768 c11;1p0m11m22 + 3 c11;1p11)Q3

126

USP · 2013-03-12 · Conteu´do 1 Agradecimentos 5 2 Introdução 9 3 Teoria de séries de Lie...

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