Utilização do Cálculo Ingetral Para a Demostração de Áreas de Figuras Planas - OLHAR

CENTRO UNIVERSITRIO ADVENTISTA DE SO PAULO

CAMPUS SO PAULO

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMTICA

UTILIZAO DO CLCULO INTEGRAL PARA A

DEMONSTRAO DE REAS DE FIGURAS PLANAS

DIOGO MACHADO LOURENO

MARCOS DANIEL NOGUEIRA MAIA

SO PAULO

2009

DIOGO MACHADO LOURENO

MARCOS DANIEL NOGUEIRA MAIA

UTILIZAO DO CLCULO INTEGRAL PARA A

DEMONSTRAO DE REAS DE FIGURAS PLANAS

Trabalho de Concluso de Curso

apresentado para a obteno do ttulo

de licenciado em Matemtica pelo

Centro Universitrio Adventista So

Paulo campus SP.

Orientadora: Prof. Dr. Elba Bravo

So Paulo

2009

RESUMO

O estudo do clculo integral no Ensino Superior de larga importncia,

principalmente para os alunos do curso de Matemtica, seja de Licenciatura ou

Bacharelado. Essa importncia devida a valiosa gama de aplicaes desse

estudo. Uma dessas aplicaes refere-se prpria Matemtica, mais

especificamente Geometria. comum nos depararmos com situaes da vida

cotidiana em que necessitamos calcular a rea de alguma figura plana, como por

exemplo, um tringulo escaleno qualquer, ou a rea de um crculo ou de uma elipse,

e a resposta j est pronta. Basta fazer algumas medies e facilmente o resultado

desejado ser encontrado, pois, no caso do tringulo, basta multiplicar a base pela

altura relativa mesma e em seguida dividir por dois.

Existe no apenas uma, mas vrias demonstraes, fundamentadas

essencialmente com a Geometria Euclidiana, para a rea das figuras mencionadas

anteriormente. Porm, atravs de uma modelagem bem definida, baseando-se

principalmente na Geometria Analtica, em qualquer que seja o caso, com rotao

e/ou translao de eixos, basta utilizar um processo de integrao, que pode ser

simples ou dupla, definindo os limites, como pontos e retas, e elegantemente ns

conseguimos demonstrar a frmula que define a rea das principais figuras planas,

que neste caso so os tringulos, quadrados, retngulos, paralelogramos, losangos,

trapzios, crculo, elipse, incluindo tambm a relao da quadratura da parbola de

Arquimedes, com determinadas restries em relao modelagem matemtica.

Os resultados so como aqueles que queramos demonstrar, para a maioria

dos casos de interesse especfico, utilizando os processos de integrao.

Palavras-chave: Clculo Integral, reas de figuras planas, Rotao e Translao de

Eixos.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Tringulo escaleno caso 1 ....................................................................... 11



Figura 4 Tringulo issceles caso 1 ....................................................................... 17

Figura 5 Tringulo issceles caso 2 ....................................................................... 19

Figura 6 Tringulo eqiltero caso 1 ...................................................................... 21



Figura 9 Quadrado caso 1 ...................................................................................... 29

Figura 10 Quadrado caso 2 .................................................................................... 30

Figura 11 Retngulo caso 1 ................................................................................... 35

Figura 12 Retngulo caso 2 ................................................................................... 36

Figura 13 Paralelogramo ........................................................................................ 39

Figura 14 Losango ................................................................................................. 41

Figura 15 Losango detalhado ................................................................................. 42

Figura 16 Trapzio retngulo ................................................................................. 43

Figura 17 Trapzio retngulo detalhado ................................................................. 44

Figura 18 Trapzio issceles .................................................................................. 45

Figura 19 Trapzio issceles detalhado ................................................................. 46

Figura 20 Trapzio escaleno .................................................................................. 47

Figura 21 Trapzio escaleno detalhado ................................................................. 48

Figura 22 Trapzio retngulo rotacionado .............................................................. 49

Figura 23 Crculo .................................................................................................... 55

Figura 24 Elipse ..................................................................................................... 59

Figura 25 Parbola ................................................................................................. 62

Figura 26 A quadratura da parbola ....................................................................... 65

SUMRIO

1 INTRODUO ...................................................................................................... 6

2 OBJETIVOS .......................................................................................................... 8

2.1 OBJETIVO GERAL ......................................................................................... 8

2.2 OBJETIVOS ESPECFICOS .......................................................................... 8

3 JUSTIFICATIVA .................................................................................................... 9

4 METODOLOGIA ................................................................................................. 10

5 CLCULO DA REA DE TRINGULOS ............................................................ 11

5.1 TRINGULOS ESCALENOS ....................................................................... 11

5.1.1 Tringulo escaleno definido por uma reta e com um dos vrtices na

origem .................................................................................................... 11

5.1.2 Tringulo escaleno definido por uma reta e com vrtices fora da origem

do sistema. ............................................................................................. 12

5.1.3 Tringulo escaleno definido por duas retas e base sobre o eixo das

abscissas................................................................................................ 14

5.2 TRINGULOS ISSCELES ......................................................................... 16

5.2.1 Tringulo issceles definido por duas retas e base sobre o eixo das

abscissas................................................................................................ 16

5.2.2 Tringulo issceles definido por trs retas, tal que a reta suporte da base

paralela ao eixo das abscissas ............................................................ 18

5.3 TRINGULOS EQILTEROS .................................................................... 21

5.3.1 Tringulo eqiltero definido por uma reta passando pela origem do

sistema ................................................................................................... 21

5.3.2 Tringulo eqiltero definido por trs retas, de forma que a reta suporte

da base seja paralela ao eixo das abscissas ......................................... 23

5.3.3 Tringulo eqiltero com inclinao em relao ao eixo das abscissas .

............................................................................................................... 25

6 CLCULO DA REA DE QUADRADOS ............................................................ 29

6.1 QUADRADO DEFINIDO POR UMA RETA PARALELA AO EIXO DAS

ABSCISSAS ................................................................................................. 29

6.2 QUADRADO COM UM DOS VRTICES NA ORIGEM E INCLINAO EM

RELAO AOS EIXOS COORDENADOS ................................................... 29

7 CLCULO DA REA DE RETNGULOS ........................................................... 35

7.1 RETNGULO DEFINIDO POR UMA RETA PARALELA AO EIXO DAS

ABSCISSAS ................................................................................................. 35

7.2 RETNGULO COM UM DOS VRTICES NA ORIGEM DO SISTEMA E

INCLINAO EM RELAO AOS EIXOS COORDENADOS .................. 36

8 CLCULO DA REA DO PARALELOGRAMO .................................................. 39

8.1 PARALELOGRAMO DEFINIDO POR TRS RETAS E COM UM DOS

VRTICES NA ORIGEM DO SISTEMA ....................................................... 39

9 CLCULO DA REA DO LOSANGO ................................................................. 41

9.1 LOSANGO COM INTERSEO DAS DIAGONAIS NA ORIGEM DO

SISTEMA ...................................................................................................... 41

10 CLCULO DE REAS DE TRAPZIOS ......................................................... 43

10.1 TRAPZIO RETNGULO ............................................................................ 43

10.2 TRAPZIOS ISSCELES ............................................................................ 45

10.3 TRAPZIO ESCALENO ............................................................................... 47

10.4 TRAPZIO RETNGULO COM UM DOS VRTICES NA ORIGEM DO

SISTEMA E INCLINAO EM RELAO AOS EIXOS COORDENADOS

...................................................................................................................... 49

11 CLCULO DA REA DO CRCULO ............................................................... 55

12 CLCULO DA REA DA ELIPSE ................................................................... 59

12.1 ELIPSE COM EIXOS MAIOR E MENOR SOBRE AS RETAS = 0 e = 0 ...

..........................................................................................................................

...................................................................................................................... 59

13 A QUADRATURA DA PARBOLA .................................................................. 62

14 CONSIDERAES FINAIS............................................................................. 67

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .......................................................................... 68

1 INTRODUO

O seguinte projeto de pesquisa tem como delimitao o campo de

conhecimento das reas de matemtica, assim descritas: Geometria e Clculo

Integral.

A partir do estudo do clculo integral, despertou-se em ns a curiosidade de

entender de forma no usual as demonstraes de reas de figuras planas

regulares.

Nossa linha de pesquisa visa utilizar o clculo integral como ferramenta de

explanao para os elementos de geometria plana, no que se refere s reas de

suas figuras e suas dimenses.

Esse projeto de pesquisa no est preocupado com a aplicao dos

resultados, nem tampouco como uma alternativa para ser apresentada para alunos

do Ensino Fundamental ou Ensino Mdio, pois para a abordagem do tema se faz

necessrio utilizar conhecimentos um pouco mais avanados. Como esses

resultados j so conhecidos, nos preocupamos em apresentar de uma forma mais

elegante e com uma modelagem bem elaborada, um caminho diferente, um pouco

mais complexo que conduz a mesma concluso.

Ao introduzir os algoritmos para se calcular as reas de figuras planas no

ensino mdio ou at mesmo no ensino fundamental, tais como as reas de

retngulos, quadrados, tringulos, o professor maneja ferramentas supostamente j

conhecidas pelos alunos, fazendo assim, aqueles que o fazem, apenas

demonstraes geomtricas, mostrando um pouco do conhecimento matemtico

que pode ser utilizado ou no para situaes prticas da vida cotidiana. Porm, ser

que, para a demonstrao de algoritmos em funo do clculo de reas, a

delimitao est apenas nos conceitos de geometria plana, ou seria possvel mostrar

os mesmos resultados com outros campos de conhecimento da Matemtica?

Numa demonstrao geomtrica simples, possvel se deslumbrar com a

matemtica, a lgica e a linha de pensamento de quem a fez. Porm, no universo

matemtico, principalmente a geometria, seja ela plana, espacial ou analtica,

comum que os matemticos se deparem com vrios caminhos, tanto na modelagem

quanto na resoluo de situaes-problemas. Quando falamos de caminhos,

automaticamente possvel perceber que nos referimos s linhas de pensamentos

diferentes, ou ainda a utilizao de ferramentas distintas, tais ferramentas so

descritas como as grandes ou subseqentes reas da matemtica. Em especial, na

matemtica, vrios caminhos sempre levam aos mesmos objetivos e resultados, ou

seja, as diferenas esto em nveis de complexidade.

O desenvolvimento do trabalho est organizado em nove captulos, iniciando

com o clculo da rea de tringulos, no captulo cinco, seguindo com o clculo da

rea de quadrados (captulo 6), retngulos (captulo 7), paralelogramos (captulo 8),

losangos (captulo 9), trapzios (captulo 10), crculo (captulo 11), elipse (captulo

12) e por ltimo, temos uma relao de Arquimedes, referente quadratura da

parbola (captulo 13).

2 OBJETIVOS

Mostrar uma das aplicaes do Clculo Integral referente s

demonstraes de geometria plana em relao ao clculo de reas.

2.1 OBJETIVO GERAL

Descrever um caminho alternativo e de forma elegante para a

demonstrao das frmulas de reas de geometria plana, como por exemplo,

a rea de um tringulo qualquer, de um trapzio, de uma elipse e outros.

2.2 OBJETIVOS ESPECFICOS

Modelar matematicamente figuras geomtricas regulares, atravs da

geometria analtica e da trigonometria.

Entender as frmulas de rea usadas na geometria plana apresentados

numa forma mais elaborada.

Apresentar de forma significativa, como matemtico, a utilizao do

clculo integral na demonstrao do clculo de reas em geometria plana.

3 JUSTIFICATIVA

Atravs desse trabalho, podemos apresentar de uma forma diferenciada, a

demonstrao das equaes que definem as reas das principais figuras planas,

como por exemplo, as reas de tringulos, quadrados, trapzios, elipses e outros.

Assim, aprofundando os conhecimentos nas reas de Geometria e Clculo Integral,

mostrando os nveis de complexidade de um assunto relativamente simples.

A relevncia social direciona-se principalmente comunidade matemtica,

pois se trata de uma aplicao dentro da prpria Matemtica. A relevncia est na

busca de entender e aplicar os conhecimentos adquiridos durante o curso de

graduao, inter-relacionando geometria euclidiana com clculo integral. Para isso

tivemos a necessidade de elaborar um projeto de interesse pessoal.

4 METODOLOGIA

Esse trabalho tem como referencial terico os conceitos e elementos de

matemtica apresentados por Swokowski (1983), Larson (1998), Guidorizzi (2000).

Utilizando-se da modelagem matemtica, mais precisamente uma modelagem

da geometria analtica para a obteno de equaes de retas e curvas, como

ferramenta essencial para compreender o comportamento de figuras planas em

diferentes casos, ser possvel, a partir da figura modelada, analisar em quais

pontos do plano possvel integrar tais funes, obtendo-se o objetivo esperado, ou

seja, a demonstrao das reas das figuras abordadas.

5 CLCULO DA REA DE TRINGULOS

5.1 TRINGULOS ESCALENOS

5.1.1 Tringulo escaleno definido por uma reta e com um dos vrtices na

origem

Seja uma reta que representa uma funo afim de coeficiente angular

positivo tal como mostra o grfico a seguir:

Figura 1 Tringulo escaleno caso 1

Da reta possvel destacar o ponto de coordenadas (, ) onde

representa a base do tringulo (neste caso trata-se de um tringulo retngulo) em

destaque e a altura do mesmo. E ainda, possvel destacar a inclinao tal que

o valor numrico de () representa o coeficiente angular da reta .

Com esses dados, possvel escrever analiticamente de forma genrica a

equao da reta .

Ento,

=

Em particular, quando = 2 + , , indicamos que a reta pode ser

escrita da forma = 0.

Representando a reta por uma funo em podemos escrever

=

Em seguida, para determinar a rea do tringulo em destaque, ou a rea da

regio hachurada, basta determinar os limites de integrao e integrar na funo

assim definida:

=

0

=

0

= 2

2+

0

= 2

2

Mas, como o tringulo em destaque no grfico trata-se de um tringulo

retngulo, temos que

=

Substituindo na ltima igualdade, ficamos com

= 2

2=

2

2=

2

Dessa forma possvel mostrar que, independente de e , a rea de um

tringulo qualquer, de acordo com a modelagem acima, ser

=

2

5.1.2 Tringulo escaleno definido por uma reta e com vrtices fora da origem

do sistema.

Seja uma reta com coeficiente angular positivo e ainda com a condio de

que no passa pelo ponto (0,0). De modo genrico possvel desenhar da forma

como mostra o grfico a seguir.


Da reta possvel destacar o ponto de coordenadas + , onde

representa a base do tringulo (neste caso tringulo retngulo) em destaque,

uma medida genrica do ponto de interseo da reta com o eixo das abscissas e

a altura do tringulo.

A partir dos dados indicados acima, pode-se deduzir uma equao genrica

da reta , como segue.

Tomando um ponto genrico (, ) da reta , temos:

= ( )

Observao: quando = 2 + , , indicamos que a reta pode ser


Representando a reta, analiticamente descrita acima, por uma funo em ,

podemos escrever

= ( )

Assim, para encontrar a rea da figura hachurada, ou a rea do tringulo

retngulo em destaque, basta estabelecer os limites de integrao, neste caso os

limites so de at + , e ento integrar a funo para os respectivos limites.

Assim,

= +

= ( )+

= 2

2 +

+

= ( + )2

2 +

2

Desenvolvendo os termos

=

2+ +

2 +

2

Eliminando alguns termos

=

2

Como o tringulo em destaque trata-se de um tringulo retngulo, possvel

fazer

=

Dessa forma temos que

=

2 =

2=

2

Logo a rea de qualquer tringulo de base e altura dada por

=

2

5.1.3 Tringulo escaleno definido por duas retas e base sobre o eixo das

abscissas.


Supondo uma reta com coeficiente angular igual a (). E ainda uma reta

com coeficiente angular igual a (), disposta de tal forma que seja o ngulo

formado pelas retas e no ponto de concorrncia (, ).

O tringulo escaleno generalizado pela figura acima, formado pelos pontos

de interseco das retas e com o eixo das abscissas, determinados por (, 0) e

por ( + , 0) respectivamente, e pelo ponto . Assim a base do tringulo mostrado

na figura tem comprimento igual a e altura .

A equao da reta facilmente determinada, e indicada por:

=

Para a reta temos a seguinte equao:

+ =

Lembrando que, pelo teorema do ngulo externo, temos que = + , ento

o ngulo agudo de intercesso da reta com o eixo das abscissas indicado por

= 180 = 180 ( + ).

Utilizando a frmula da tangente da diferena para o ngulo , ficamos com,

180 + = 180 +

1 180 +

() = +

Ento,

= ()

Em relao rea do tringulo, que aqui indicaremos por , podemos

express-la por

=

+ + +

desenvolvendo a integral,

=

2 + 1

+

2 + + 2

+

=

2

2+ +

( + )

2 +

2+ ( + )

simplificando os termos semelhantes,

=

2 2 +

2 + + 2 ( + )

assim,

=

2

2 +

Pelo tringulo do grfico, sabemos que

=

e ainda que,

=

+

Como = () temos que

=

+

Substituindo as duas ltimas igualdades em

=

2( ) 2 +

2( + ) ( + )

simplificando,

=

2 +

2 ( + )

Fazendo 2 como termo evidente,

=

2 ( + + )

Logo, a rea do tringulo escaleno, como representado no grfico ser dado

por

=

2

ou ainda,

=

2

5.2 TRINGULOS ISSCELES

5.2.1 Tringulo issceles definido por duas retas e base sobre o eixo das

abscissas.

Sejam e duas retas no plano que concorrem num ponto . As retas e

esto dispostas de tal forma que o valor de () representa o coeficiente angular

da reta , e que o valor de (180 ) indique o coeficiente angular da reta .

Neste caso, evidente que estamos impondo que = .

Uma generalizao grfica pode ser representada da forma como se segue.

Figura 4 Tringulo issceles caso 1

A figura acima representa um tringulo issceles genrico , onde aqui

indicamos que o segmento representa a base do mesmo, de valor igual a .

Para calcular a rea do tringulo descrito acima, basta multiplicar por 2 (dois)

o valor analtico da integral da reta em funo de , nos limites desde a origem at

o ponto de valor de abscissa 2 .

Para tanto, necessrio determinar a equao da reta . Que de forma

simples representada por

=

2+ ,

Em particular, quando = 2 + , , indicamos que a reta pode ser


Ento , que aqui denominamos rea do tringulo issceles , pode ser

expressa por

= 2

2

0

Integrando em

= 2 2

2+

0

2

Desenvolvendo,

= 2 2

8=

2

4

Como, pelo grfico,

=

2

=2

Ento,

=2

4=

2

=

2

5.2.2 Tringulo issceles definido por trs retas, tal que a reta suporte da

base paralela ao eixo das abscissas

Seja um tringulo issceles qualquer de base e altura .

Sejam e duas retas do plano, dispostas de tal forma que seja o ngulo

de inclinao formado pela reta com o eixo das abscissas, e ainda que 180

seja o ngulo de inclinao formado pela reta com o eixo das abscissas. Assim

como representa o grfico a seguir.

Figura 5 Tringulo issceles caso 2

Ainda, possvel notar que, nas condies acima abordadas temos que =

.

Do grfico, pode-se destacar alguns elementos importantes. O ponto est

definido como (, ); o ponto est definido como + , ; Logo a distncia

entre os pontos e , aqui, indicada por .

Como estamos tratando de um tringulo issceles o ponto est definido

como sendo 2 + , + . Dessa forma, a medida da altura indicada no tringulo

ser dada por .

Ainda do grfico, indicaremos para a reta uma funo genrica como sendo

= .

A fim de determinar algebricamente a rea do tringulo , faz-se

necessrio determinar a equao da reta . Atribuindo, para a reta uma funo do

tipo = ().

A reta pode ser facilmente determinada, como segue.

A partir do ngulo , temos

=

ento

=

+ =

Portanto,

= +

Neste caso, em especial, quando = 2 + , , indicamos que a reta

pode ser escrita da forma = 0.

Ento que aqui indicamos como sendo a rea do tringulo issceles ,

pode ser definida como

= 2 () + 2

Que pode ser traduzida como

= 2 + + 2

Integrando em

= 2

2 +

2

Substituindo os limites de integrao

= 2 + 2

2 +

2

2+


= 2

+ + 4

2

2+

2

= 2

2+

2+

8

2

2

Eliminando algumas parcelas, ficamos com

=

4

Da figura temos que

= +

2 +

=

2

=2

Substituindo o valor da tangente em

=2

4

Logo, a rea do tringulo ser dada por:

=

2

5.3 TRINGULOS EQILTEROS

5.3.1 Tringulo eqiltero definido por uma reta passando pela origem do

sistema

Seja uma reta no plano. Supondo que a reta tenha coeficiente angular

igual 3. Dessa forma, a reta forma com o eixo das abscissas um ngulo de 60.

Assim, fcil construir um tringulo eqiltero de forma que a reta seja a

reta suporte de um dos lados desse tringulo, e ainda outro lado tendo a reta

suporte como sendo = 0, ou seja, o eixo das abscissas, como mostra a figura a

seguir.

Figura 6 Tringulo eqiltero caso 1

Sendo o tringulo eqiltero em questo, possvel a partir do grfico

destacar alguns pontos. Como estamos tratando de um tringulo eqiltero, a

medida de sua base ser chamada de . A medida da altura do mesmo, em funo

de , ser 3 2 , que facilmente demonstrada, como segue:

60 =

3

2=

= 3

2

Para a determinao da rea do tringulo eqiltero , basta em primeira

mo, achar a equao da reta . Que de forma simples pode ser traduzida como:

60 =

Como

60 = 3

Ento

= 3

Atribuindo a esta ltima igualdade uma funo do tipo () possvel

reescrever a equao da forma:

= 3

Neste caso, a rea do tringulo eqiltero, que aqui denominaremos por

ser dada em funo do dobro da integral, cujo os limites de integrao esto

definidos entre 0 e 2 , da funo (). Assim,

= 2 3

2

0

= 2 3

2

0

Integrando em

= 2 3

2+

0

2

Em seguida, substituindo os limites de integrao, temos

= 2 3

4

2

= 3

4

5.3.2 Tringulo eqiltero definido por trs retas, de forma que a reta suporte

da base seja paralela ao eixo das abscissas

Sejam e retas do plano que concorrem num ponto . Supondo que a reta

esteja disposta de tal maneira que forma um ngulo de 60 com o eixo das

abscissas. E ainda que a reta esteja disposta no plano de modo que a interseco

da mesma com o eixo das abscissas forme um ngulo de 120.

Dessa forma, as retas e , juntamente com uma reta auxiliar = , formam

um tringulo eqiltero qualquer de vrtices , e .

Assim, uma representao genrica de tal fato pode ser mostrada como na

figura que se segue.


A partir do grfico possvel destacar alguns elementos necessrios para a

demonstrao da rea do tringulo eqiltero , que aqui chamaremos por .

O vrtice est definido com sendo (, ). O ponto de interseo das retas

e est definido como sendo o ponto + 2 , + 3

2 . Dessa forma, a medida

da base do tringulo em destaque ser indicada por e a medida da sua altura ser

indicada por 3 2 . A demonstrao para essa altura similar quela feita no item

5.3.1..

Em seguida, para determinar a rea do tringulo eqiltero , em primeiro

lugar devemos determinar as equaes das retas e , como se segue de forma

simples.

Equao da reta :

60 =

60 + =

60 = 3

3 + =

Atribuindo reta uma funo do tipo (), temos

= 3 +

E ainda a equao da reta :

=

Fazendo = ()

=

Logo, a rea pode ser escrita em funo do dobro de da integral, cujos

limites esto definidos entre e + 2 , desde a funo at a funo .

Ento,

= 2 () + 2

= 2 3 + ) + 2

= 2 3 + 2

Integrando a funo em , ficamos com

= 2 3

2 +

+ 2


= 2 3 + 2

2

2 + 2

2+


= 2 3

2+

2+

8

2+

2

Anulando algumas parcelas, temos

= 2 3

8

= 3

4

5.3.3 Tringulo eqiltero com inclinao em relao ao eixo das abscissas

Tomemos um tringulo eqiltero qualquer, com um dos seus vrtices na

origem do sistema. Tomando como base o tringulo do caso 5.3.1, e em seguida

utilizamos as frmulas de rotao de eixos, como descritas por Swokowski (1994, p.

151).

Fixando o ponto sendo vrtice do tringulo e origem do sistema de eixos

coordenados, e rotacionando os pontos e , ficamos com um tringulo eqiltero

formado pelos vrtices .

Para poder calcular sua rea atravs de processos de integrao, vamos

definir que para facilitar a modelagem iremos dobrar a rea do tringulo,

transformando-o em um paralelogramo e assim calcular a metade da rea dessa

figura. Um esquema simplificado mostrado na figura a seguir.


Faremos a modelagem determinando inicialmente as retas suportes dos lados

e , para tanto precisamos encontrar as coordenadas dos pontos e , para

isso utilizamos as frmulas de rotao de eixos.

= +

= +

(0,0)

(, 0) ( , )

2, 3

2

2+

3

2,

2+

3

2

A reta suporte do lado pode ser facilmente encontrada atravs do

determinante seguindo a condio de alinhamento entre trs pontos.

0 0 1

1 1

0 0

= 0

+ = 0

=

Como a reta paralela a reta ento seus coeficientes angulares so

iguais. Portanto, para encontrar a equao da reta basta utilizarmos a definio

do coeficiente angular ficando com

2

3

2 = +

2

3

2

+

2+

3

2= +

2

3

2

=

+

3

2

Neste ponto, basta aplicarmos a integral definida para concluir a

demonstrao. Estabelecemos que os limites vo de ponto a ponto em e de reta a

reta em . imediato que estamos abordando apenas uma das formas de definir a

integral. Ento assim escrevemos matematicamente a rea do tringulo :

=1

2


=1

2

+

32

0

Integrando em

=1

2

+

3

2 +

0

Integrando em , e substituindo os limites

=1

2

3

2

Eliminando alguns termos, chegamos funo da rea como queramos

demonstrar.

= 3

4

6 CLCULO DA REA DE QUADRADOS

6.1 QUADRADO DEFINIDO POR UMA RETA PARALELA AO EIXO DAS

ABSCISSAS

Seja uma reta do plano tal que seja paralela ao eixo das abscissas.

Uma forma genrica de representar graficamente essa equao esquematizada na

figura a seguir.

Figura 9 Quadrado caso 1

Ento podemos expressar a equao da reta como sendo = .

Tomando um ponto pertencente ao eixo das abscissas, tal que esse ponto

seja (, 0), e ainda um ponto qualquer de coordenadas (, ), podemos obter um

quadrado de lado e vrtices .

Sua rea pode ser expressa pela integral abaixo.

=

0

Assim, resultando em

=

6.2 QUADRADO COM UM DOS VRTICES NA ORIGEM E INCLINAO EM

RELAO AOS EIXOS COORDENADOS

Tomando como base a figura 9 do captulo anterior (captulo 6.1), inclinamos

o quadrado com uma rotao em relao aos eixos coordenados. A rotao

acontece no sentido horrio.

Com exceo do ponto , que a origem do sistema, os outros pontos sofrem

a rotao de acordo com a inclinao do ngulo e o tamanho do lado. Portanto,

precisamos utilizar as frmulas de rotao de eixos para determinar as novas

coordenadas dos pontos , e .

Em relao aos vrtices anteriores, vamos indicar o quadrado rotacionado

pelos vrtices . Uma representao esquemtica do descrito pode ser

visualizada na figura a seguir.

Figura 10 Quadrado caso 2

Usando as frmulas de rotao de eixos, podemos calcular as coordenadas

dos pontos, como segue.

Frmulas de rotao de eixos:

= +

= +

Portanto,

(0, ) ( , )

(, ) ( + , + cos )

(, 0) ( , 0)

0,0 = (0,0)

Para podermos calcular a rea do quadrado descrito, precisamos inicialmente

determinar quais sero os limites de integrao. Faremos ento de duas formas, ou

seja, fazendo os limites em variar do ponto at o ponto e da reta at a

reta . Para os limites em , faremos a variao respectivamente, em

concordncia para , da reta at a reta e do ponto at o ponto .

Para tanto, precisamos encontrar as equaes das retas necessrias para os

limites de integrao.

Utilizando a condio de alinhamento entre trs pontos para determinar as

equaes das retas, fazemos:

Reta :

10 0 1

1

0 0

= 0

Calculando o determinante ficamos com

= 0

Isolando a varivel :

=

Reta :

+

+

= 0

Fazendo o clculo do determinante temos

+ + +

+ = 0

2 2 + 2 + = 0

Colocando a reta na forma reduzida:

=

Reta :

+

+

= 0

Fazendo o determinante, resulta em

+ +

+ + = 0

Depois de eliminar alguns termos

2 2 + 2 = 0

Isolando :

=

+

Reta :

10 0 1

1

0 0

= 0

= 0

Na equao reduzida:

=

Finalmente, a rea do quadrado pode ser calculada atravs da integral que

assim definida:

=

Substituindo os limites de integrao, temos

=

0

Integrando em

=

+

0

Depois de eliminar as variveis e integrar em

=

Resultando em

=

Ou ainda, a integral pode ser calculada com os limites de integrao do

segundo caso, que assim definimos:

=

Ou

=

+

0

=

+

0

=

Depois de integrar e cancelar os termos semelhantes, o resultado fica como

queramos demonstrar:

=

7 CLCULO DA REA DE RETNGULOS

7.1 RETNGULO DEFINIDO POR UMA RETA PARALELA AO EIXO DAS

ABSCISSAS

Seja uma reta do plano de forma que seja paralela ao eixo das

abscissas. Ento, uma equao genrica dessa reta pode ser escrita como

=

A partir da origem do sistema, possvel construir um retngulo com base de

medida igual a e altura , sendo ento limitado pela reta . Assim formamos um

quadriltero de vrtices . Uma representao grfica desse retngulo

mostrada na figura a seguir.

Figura 11 Retngulo caso 1

A determinao de rea do retngulo pode ser feita a partir de uma

integral dupla, cujos limites esto definidos no prprio esquema geomtrico da figura

acima.

=

0

0

Integrando,

=

0

=

Ou ainda,

=

7.2 RETNGULO COM UM DOS VRTICES NA ORIGEM DO SISTEMA E

INCLINAO EM RELAO AOS EIXOS COORDENADOS

Tomando como base o retngulo descrito no item 7.1, e rotacionando o

mesmo no sentido horrio a um ngulo , chegamos figura representada abaixo.

Figura 12 Retngulo caso 2

Para facilitar a modelagem utilizaremos as frmulas de rotao de eixos para

os pontos , e .

Portanto, a rotao feita da seguinte forma:

(0, ) ( , )

(, ) ( + , + cos )

(, 0) ( , )

0,0 = (0,0)

Com o objetivo de calcular a rea do retngulo , teremos que definir

os limites de integrao, os quais iro de ponto a ponto em e de reta a reta em ,

para tanto devemos encontrar as equaes das retas e .

Reta :

+

+

= 0

Calculando o determinante, temos

+ + + +

[ + + + + ] = 0

Desenvolvendo as multiplicaes, ficamos com

+ + 2 + 2

2 2 + = 0

Depois de eliminar e simplificar alguns termos e ainda isolando a equao em

, ento

= +

Reta :

10 0 1

1

0 0

= 0

[ ] = 0

+ = 0

Isolando o e fazendo os clculos necessrios, temos

=

Aps encontrar as equaes das respectivas retas, podemos escrever a rea

do retngulo atravs da integral definida abaixo

=

=

+

0

Depois de substituir os limites de integrao e calcular a integral em relao

, ento

= +

+

0

=

0

=

Fazendo os clculos indispensveis, e eliminando os termos simtricos,

encontramos o que queramos demonstrar.

=

8 CLCULO DA REA DO PARALELOGRAMO

8.1 PARALELOGRAMO DEFINIDO POR TRS RETAS E COM UM DOS

VRTICES NA ORIGEM DO SISTEMA

Sejam e retas paralelas pertencentes ao plano de coordenadas

cartesianas . Fazendo com que a reta passe pela origem do sistema, podemos

escrever a equao da reta da seguinte forma:

= ()

Em relao a reta , podemos escrev-la da forma:

= ( )

Assim, objetivamos formar, a partir da interseo das retas descritas acima

juntamente com uma reta paralela ao eixo das abscissas escrita na forma genrica

= , que indicando como sendo a reta , um paralelogramo qualquer com base de

medida igual a , e altura igual a . Esse paralelogramo, de vrtices que aqui

indicamos por , pode ser desenhado graficamente como mostra a figura

seguinte.

Figura 13 Paralelogramo

Objetivando determinar a rea de tal figura geomtrica, podemos atribuir uma

integral dupla com os limites definidos em , desde a reta at a reta . E os limites

em , desde a origem do sistema at a reta .

Como precisamos integrar em as retas e , precisamos isolar a varivel

em cada uma das retas. Assim, a partir da reta , temos

= ()

()=

,

Da reta ,

= ( )

+ =

,

Assim, separadas as variveis, podemos escrever a rea do paralelogramo

, como

=

0

+

()

Resolvendo a integral em ,

=

+

()

Resolvendo em ,

=

+

()+

Portanto,

=

9 CLCULO DA REA DO LOSANGO

9.1 LOSANGO COM INTERSEO DAS DIAGONAIS NA ORIGEM DO

SISTEMA

Sejam , , e , pontos pertencentes ao plano de eixos coordenados ,

definidos de tal forma que 2 , 0 ,

2 , 0 ,

2 , 0 e

2 , 0 .

Fixamos aqui, que .

O traado dos segmentos de reta pelos pontos acima definidos forma,

portando um losango, tal que representa a medida da diagonal maior e a medida

da diagonal menor.

A figura a seguir mostra genericamente o losango descrito.

Figura 14 Losango

Para o clculo da rea desse polgono podemos utilizar uma integral dupla de

acordo com os limites assim definidos:

=

2

2

2

2

Porm, acontece que, neste caso, no estaramos calculando a rea do

polgono definido pelos vrtices , , e , mas sim a rea do polgono definido

pelos vrtices , , e , como mostra a figura a seguir.

Figura 15 Losango detalhado

Ento, podemos fazer uma abordagem simples, e verificar que a rea do

tringulo de vrtices , metade da rea do retngulo de vrtices , j que o

segmento de reta diagonal do retngulo . A mesma anlise pode ser feita

para o restante da figura, posicionada nos quadrantes , e .

Logo, possvel afirmar que a rea do polgono (losango) pintado, pode ser

escrita como sendo metade da rea do retngulo . Em termos matemticos,

temos:

=1

2

2

2

2

2

Resolvendo a integral, ficamos com

=1

2

2

2

2

2

=1

2

2

2

=1

2

2

2

Logo,

=

2

10 CLCULO DE REAS DE TRAPZIOS

10.1 TRAPZIO RETNGULO

A partir do plano cartesiano, tomemos os pontos , de tal maneira que

forme um trapzio retngulo de base maior com tamanho igual a , base menor com

comprimento igual a e altura com medida .

A representao esquematizada mostrada na figura a seguir.

Figura 16 Trapzio retngulo

O trapzio composto por duas figuras geomtricas, a saber, o

quadrado e o tringulo retngulo . Portanto, a rea do trapzio analisado

pode ser escrita como sendo soma das reas do retngulo e do tringulo.

Podemos utilizar uma integral dupla para cada rea. No caso do tringulo

retngulo, perceptvel que o segmento de reta diagonal de um retngulo de

vrtices , como mostra a representao da figura seguinte. Ento, a rea do

tringulo em questo ser metade da rea do retngulo .

Figura 17 Trapzio retngulo detalhado

Representando matematicamente o descrito, podemos escrever

=

0

0

+1

2

0

Resolvendo as integrais e substituindo os limites de integrao, temos

= +

2

=2 + ( )

2

Depois de fazer o mmc e agrupar os termos semelhantes, o resultado fica

como queramos demonstrar

= ( + )

2

10.2 TRAPZIOS ISSCELES

Tomemos os pontos , de tal maneira que forme um trapzio issceles

com base maior de comprimento igual a , e base menor com comprimento igual a

e altura com medida .

Abaixo est a figura representada.

Figura 18 Trapzio issceles

O trapzio composto por trs figuras geomtricas, o tringulo

retngulo , o retngulo e outro tringulo retngulo . Portanto,

analisando esse trapzio, sua rea poder ser escrita como sendo a soma das reas

dos tringulos e do retngulo.

Com isso, utilizaremos uma integral dupla para cada rea. No caso do

tringulo retngulo , prolongando a reta suporte do segmento at o eixo da

ordenadas teremos um retngulo , onde a diagonal desse retngulo. Logo

a rea do tringulo ser a metade desse retngulo. Como se trata de um trapzio

issceles, os tringulos e so iguais, portanto a rea dos dois tringulos

ser o dobro da rea do tringulo .

As coordenadas dos pontos esto definidas como:

(, 0)

(, 0)

Figura 19 Trapzio issceles detalhado

Representando matematicamente a rea, temos

= 2 1

2

0

0

+

0

Calculando a integral e substituindo os limites de integrao, temos

= + ( )

A partir do grfico sabemos que

2 + =

=

2

e

=

Substituindo na equao, temos

= ( )

2+

Fazendo o mmc,

= + 2

2

Fazendo a distributiva e os clculos necessrios, vamos obter a rea que

queremos demonstrar

= ( + )

2

10.3 TRAPZIO ESCALENO

Sejam os pontos, de tal maneira que forme um trapzio issceles com

base maior de comprimento igual a , e base menor com comprimento igual a e

altura com medida .

Sendo as coordenadas dos pontos , , , e assim definidas:

(, 0)

(, 0)

, 0

,

(, )

Abaixo est a figura esquematizada.

Figura 20 Trapzio escaleno

Para calcular a rea do trapzio vamos separar em trs regies, para isso

devemos introduzir dois novos pontos na figura, tais que sejam (0, ) e (, ).

Assim temos trs retngulos assim representados na figura abaixo.

Figura 21 Trapzio escaleno detalhado

Utilizaremos uma integral dupla definida de ponto a ponto em e de ponto a

ponto em para calcular a rea do trapzio. A rea do retngulo dobro do

tringulo , assim como do retngulo o dobro do tringulo , portanto

multiplicamos por 1/2 as integrais que definem as reas dos retngulos e

e somamos com a integral que define o retngulo . Matematicamente

temos

=1

2

0

0

+

0

+1

2

0

Calculando as integrais, ficamos com

=

2+ +

( )

2

Analisando geometricamente a figura fcil perceber que

=

Substituindo a igualdade anterior na funo da rea temos

= +

2+

Sabendo que = , ento

+ =

= + 2

2

Aps a simplificao, obtemos o resultado que queramos demonstrar

= ( + )

2

10.4 TRAPZIO RETNGULO COM UM DOS VRTICES NA ORIGEM DO

SISTEMA E INCLINAO EM RELAO AOS EIXOS COORDENADOS

Tomando como base o trapzio do item 10.1, e rotacionando o mesmo

no sentido horrio a um ngulo , temos a figura esquematizada a seguir.

Figura 22 Trapzio retngulo rotacionado

Utilizando as frmulas de rotao de eixos nos pontos , , , e para

facilitar a modelagem.

Portanto, a rotao feita da seguinte forma

= +

= +

(0,0) (0,0)

(, 0) ( , )

(, ) ( + , + )

0, = ( , )

(, 0) ( , )

(, ) ( + , + )

Com o objetivo de calcular a rea do trapzio , teremos que definir os

limites de integrao, os quais iro de ponto a ponto em e de reta a reta em ,

para tanto devemos encontrar as equaes das retas , , e .

Reta :

10 0 1

1

0 0

= 0

Calculando o determinante ficamos com

+ = 0

Isolando a varivel :

=

Reta :

+ +

= 0

Fazendo o clculo do determinante temos

+ + + +

[ + + + + ] = 0

Fazendo as multiplicaes necessrias

+ + + 2 + 2

+ 2 2 = 0

+ 2 + 2 = 0

+ = 0

Eliminando e simplificando alguns termos e isolando a equao em , ficamos

com

= +

Reta :

1

1 1

= 0

Fazendo o determinante, resulta em

+ + +

= 0

+ + = 0

cos =

Fazendo os clculos indispensveis e isolando a equao em , resulta em

=

Reta :

+ +

+

+

= 0

Calculando o determinante

+ + + + +

+ [ + + +

+ + + ] = 0

Fazendo as multiplicaes

+ + 2 2 +

+ 2 2 = 0

+ + + 2 + 2

2 + 2 = 0

= +

( ) = +

Simplificando e eliminando os termos e isolando a equao em , resulta em

= +

Sabendo que a rea do retngulo o dobro da rea do tringulo

, com isso podemos encontrar a rea do trapzio multiplicando a rea do

retngulo por 1/2 e somamos com a rea do retngulo .

Finalmente, a rea do trapzio pode ser calculada atravs da integral que

assim definida:

= +1

2

Substituindo os limites de integrao, temos

=

+

0

+1

2

+

= +

+

0

+1

2

+

+ +

Calculando as integrais em relao e eliminando os termos necessrios,

temos

=

0

+1

2

+

Calculando as integrais em relao a ,

=

+

1

2

+

+

= +1

2

+

( )

= + +

2

= +

2

Fazendo as simplificaes e eliminando os termos necessrios encontramos

a rea que queramos demonstrar

= ( + )

2

11 CLCULO DA REA DO CRCULO

Seja a circunferncia que representa um crculo qualquer, de raio , do

plano de coordenadas cartesianas.

Supondo que uma reta que passa pelo centro da circunferncia , e ainda

que paralela ao eixo das abscissas.

Figura 23 Crculo

O ponto representa o centro da circunferncia. Os pontos , e esto

sobre a mesma reta.

As coordenadas dos pontos e esto assim definidos:

( + , )

( , )

A equao do crculo acima pode ser obtida atravs da expresso que se

segue.

2 +

2 =

Onde e so as coordenados do ponto .

Isolando o da ltima equao, podemos escrever duas funes que completam a

curva.

2 =

2

= 2 +

Assim, podemos considerar que

= 2 +

a funo que representa a semi-circunferncia acima da reta . E ainda que

= 2 +

representa a semi-circunferncia abaixo da reta .

Ento, para encontrar a rea do crculo em funo do raio, basta integrarmos

a funo

= 2 +

em , com os limites fixados desde at + , ou seja, desde at , e em

seguida duplicarmos o valor encontrado. Dessa forma, em smbolos, a rea do

crculo, que aqui indicamos por ser:

= 2 2 +

+

+

= 2 2

+

Utilizando uma substituio trigonomtrica para facilitarmos o processo de

integrao podemos fazer

=

Elevando-se ambos os membros ao quadrado, temos

=

E ainda, derivando equao = , ficamos com

=

= 2 2

+

= 2 (1 2)

+

1 2 =

= 2 )

+

Como

=

= 2

+

=

+

Sabendo que

= +

2+

= 2 +

2+

+

Revertendo o artifcio da substituio trigonomtrica

=

=

= 1

2

= ( )

=

Logo,

=

( )

+

+ 2

+

Substituindo os limites

= +

( + )

+

+

( )

Simplificando,

= 1 (1)

=

2

2

=

12 CLCULO DA REA DA ELIPSE

12.1 ELIPSE COM EIXOS MAIOR E MENOR SOBRE AS RETAS = e =

Definio: Em geometria, uma elipse a seco de um cone atravessado

obliquamente por um plano.

Figura 24 Elipse

Seja a elipse, com o seu centro no ponto . Onde os pontos 1 2 so os

seus respectivos focos.

As coordenadas dos pontos , , esto definidas como:

(, 0)

, 0

0,

0,

A equao genrica de uma elipse, com centro na origem do sistema e eixo

maior paralelo ao eixo das abscissas, pode ser escrita da seguinte forma:

+

= 1

Isolando o y da equao, podemos encontrar uma funo desta curva:

= 1

=

Com isso obtemos uma funo que representa a metade dessa elipse.

=

Ento, para encontrar a rea total da elipse, basta integrar a funo

=

em , com os limites fixados desde at , e logo em seguida duplicar o valor

encontrado. Dessa forma, a rea da elipse, que aqui indicamos por ser:

= 2

Usando uma substituio trigonomtrica simples podemos fazer

=

Isolando o na equao, temos

=

Derivando a equao, obtemos

=

=

= 2

= 2 (1 )

Sabendo que pela identidade trigonomtrica

2 + 2 = 1

Isolando o 2,

2 = 1 2

Com isso:

= 2

Calculando a integral,

= +

2+

Substituindo o resultado da integral na equao, temos

= 2 +

2+

= 1

=

1

+

+ 2

Substituindo os limites,

=

1

+

()

1

()

+

= 1 (1)

=

2+

2

=

13 A QUADRATURA DA PARBOLA

Os primeiros problemas que apareceram na histria, relacionados com as

integrais, so os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos

enfrentados pelos gregos foi o da medio de superfcies a fim de encontrar suas

reas. Quando os antigos gemetras comearam a estudar as reas de figuras

planas, eles as relacionavam com a rea do quadrado, por ser essa a figura plana

mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse rea igual da

figura em questo.

Nesse contexto, uma das questes mais importantes, e que se constituiu

numa das maiores contribuies gregas para o Clculo, surgiu por volta do ano 225

a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parbola.

Arquimedes descobriu que a rea da regio limitada por uma parbola

cortada por uma corda qualquer, igual a 4 3 da rea do tringulo que tem a

mesma altura e que tem a corda como base. Tal teorema mostrado a seguir para o

caso em que a corda o eixo .

Seja () uma funo polinomial genrica do 2 grau. Ento podemos

denotar () como = 2 + + . Supondo inicialmente que < 0 e que

tambm exista um denotado por = 2 4 onde em (), > 0. Neste caso,

como > 0, ento para = 0 temos duas razes reais e distintas, tais que

denotaremos por 1 e 2. Dessa forma podemos ilustrar genericamente o grfico a

seguir a partir de .

Figura 25 Parbola

Do grfico acima, podemos destacar os pontos da parbola denotados por 1,

2 e . O ponto est defino como

2,

4 , o ponto 2 est definido como

2 +

2, 0 e o ponto 1 est definido como 1

2, 0 .

Em primeiro lugar, podemos destacar a rea sob a curva = 2 + +

em relao ao eixo- a partir do ponto 1 at o ponto 2.

Para determinar tal rea, basta calcular a integral da curva () definida do ponto 1

at o ponto 2 em relao ao eixo-. Neste caso, a abscissa do ponto 1 ser

chamada de 1 =

2, e a abscissa do ponto 2 ser chamada de 2 =

+

2.

Dessa forma, que aqui denotamos por rea sob a curva (), em

linguagem matemtica pode ser escrito como:

= 2

1

= (2 + + )2

1

e integrando a ltima igualdade, tem-se que

= 3

3+

2

2+ +

1

2

ento,

=2

3

3+

22

2+ 2 +

13

3+

12

2+ 1 +

agrupando os termos semelhantes,

=

3 2

3 13 +

2 2

2 12 + 2 1

Assim, resolvendo separadamente cada parte da equao, temos:

2 1 = +

2

2

Ento,

2 1 = + + +

2

2 1 =2

2=

Continuando,

22 1

2 = 2 + 1 2 1

Ento,

22 1

2 = +

2+

2

+

2

2

22 1

2 = 2

2

22 1

2 =

2

Em seguida temos:

23 1

3 = 2 1 22 + 21 + 1

2

23 1

3 =

+ 2

2 + 12

Resolvendo a parte 22 + 1

2, temos

22 + 1

2 = +

2

2

+

2

2

22 + 1

2 =2 2 +

42+

2 + 2 +

42

22 + 1

2 =22 + 2

42=

2 +

22=

22 4

22=

2 2

2

Finalmente,

23 1

3 =

+

2 2

2

23 1

3 =

+ 2 2

2 =

2

2

Como

=

3 2

3 13 +

2 2

212 + 2 1

Ento

=

3

2

2 +

2

2 +

=

32 2

2+

Fazendo como termo evidente e fazendo o mmc, ficamos com:

= 2 2 3 + 6

6

= + 4

6 =

6 =

6

portanto, como estamos calculando a rea de uma regio e > 0, ento

=

6 =

6. .

Em seguida, possvel destacar sob a curva () um tringulo formado pelos

pontos 1

2, 0 , 2

+

2, 0 e

2,

4 como mostra a figura a seguir.

Figura 26 A quadratura da parbola

Para determinar a rea do tringulo inscrito sob a curva () possvel

utilizar conceitos bsicos de geometria analtica no plano. Para se calcular a rea de

um tringulo qualquer basta fazer =1

2 , onde se refere ao mdulo do

determinantes dos pontos, neste caso 1, 2 e .

Para facilitar o clculo do determinante vamos indicar as coordenadas dos pontos:

abscissa de 1 por 1 =

2, abscissa de 2 por 2 =

+

2, abscissa de por

=

2 e ordenada de por =

4.

Calculando separadamente ,

=

1 0 1 1

2 0 1 =

1 0 1 1

2 0 1

1 0 2 0

= 1 2

=

2

4

+

2

4

Fazendo

4 como termo evidente,

=

4

2

+

2

=

4

2

2 =

42

Como =1

2 , logo

=1

2

42 =

82. .

Relacionando os dois destaques sob a curva (), ou seja, comparando e ,

temos:

=

62 e =

82

=

62

82

=8

6=

4

3

logo,

=4

3

Portanto podemos concluir atravs da demonstrao que o tringulo que est

inscrito sob a rea da curva = 2 + + com vrtices coincidindo com o

vrtice da curva e suas razes, est sempre na razo de 4

3 em relao rea da

prpria curva com > 0.

14 CONSIDERAES FINAIS

Na geometria euclidiana aprendemos a deduzir as frmulas das figuras

geomtricas conhecidas. Neste trabalho obtiveram-se essas mesmas frmulas

utilizando o clculo integral.

Como foi proposto inicialmente, buscamos uma forma elegante, do ponto de

vista matemtico, demonstrar as reas das figuras planas, atravs de uma

modelagem com geometria analtica, trigonometria e clculo integral. Esse objetivo

foi alcanado, de acordo com as projees e idias, pois como pensamos, a

princpio, iramos mostrar as frmulas das reas de todas as figuras planas mais

comuns, de forma a generalizar todos os casos, incluindo translao e rotao de

eixos. Sendo que para alguns casos notamos que seria redundncia mostrar as

equaes das reas do paralelogramo rotacionado, losango rotacionado, e os casos

dos trapzios rotacionados, excluindo o trapzio retngulo, que para este caso

aplicamos a rotao de eixos, pois notamos que os clculos, nesses casos

mencionados, so semelhantes aos clculos e as modelagens referentes s

demonstraes das reas dos quadrados e retngulos.

Uma grande contribuio acadmica que esse trabalho pode deixar, est no

fato de que tais demonstraes no so comumente encontradas nos livros do

Ensino Superior.

Uma boa sugesto para prosseguir os estudos dessa linha de pesquisa, seria

estender a utilizao do clculo integral para o caso de elipses com rotao de eixos

e para os casos da geometria espacial, ou seja, utilizar uma modelagem matemtica

de tal forma a demonstrar os volumes e as reas superficiais dos principais slidos,

como por exemplo, cilindros, cones, esferas e outros.

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

SWOKOWSKI, Earl W. Clculo com geometria analtica. 2. ed. So Paulo: LTC,

1995. 2v., il.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de clculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC,

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Utilização do Cálculo Ingetral Para a Demostração de Áreas de Figuras Planas - OLHAR

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