VETORES NO ESPAÇOAula 3

Prof. Dani Prestini

VETORES NO ESPAÇO – R3

No espaço, podemos considerar a Base Canônica { i , j , k }

como aquela que irá determinar o Sistema Cartesiano

Ortogonal Oxyz.

Cada dupla de eixos, determina um plano coordenado:

xOy

xOz

yOz

O eixo X (Abcissa) é representado pelo vetor i ;

O eixo Y (Ordenada) é representado pelo vetor j ;

O eixo Z (Cota) é representado pelo vetor k.

Cada ponto no espaço P(x, y, z) irá corresponder o

vetor OP = xi + y j + zk, isto é, as próprias coordenadas

x, y e z do ponto P são as componentes do vetor OP na

base canônica.

LOCALIZANDO UM PONTO NO R3

v OP

v ( x,y ,z )

3Para localizarmos um ponto P, ou vetor v no , iremos

seguir os seguintes passos:

a) Vetor OP = 2i + 3 j + 4k

OP = v = , ,2 3 4

b) Vetor OR = 3i - 2 j + 4k

OR = u = , ,3 2 4

É muito importante termos compreensão de algunscasos especiais de pontos pertencentes aos eixos e aos planos coordenados:

Observando a figura abaixo, podemos fazer algumasconsiderações importantes referente as coordenadas dos

vértices do paralelepípedo, ou seus correspondentes vetores:

Quais são as

coordenadas dos

vértices do

paralelepípedo?

A (2, 0 ,0)

B (2, 4, 0)

C (0, 4, 0)

D (0, 4, 3)

E (2, 4, 3)

F (2, 0, 3)

G (0, 0, 3)

H (0, 0, 0)

Os três planos coordenados (oxy, oxz e oyz) se interceptamsegundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiõesdenominadas OCTANTES.

OCTANTES DO R3

1º Octante: , ,

2º Octante: , ,

3º Octante: , ,

4º Octante: , ,

5º Octante: , ,

6º Octante: , ,

7º Octante: , ,

8º Octante: , ,

3

2

As definições e conclusões no espaço ( ), relativas aos

títulos acima, são análogas às do plano ( ).

• IGUALDADE E OPERAÇÕES DE VETORES

• VETORES DEFINIDOS POR DOIS PONTOS

• PONTO MÉDIO

• PARALELISMO

• MÓDULO DE UM VETOR

Assim temos:

Dois vetores e são iguais se,

e somente se ,

u ( x ,y ,z ) v ( x ,y

x x ,

,z )

y y , z z .

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

Dados os vetores e e α

d

α

efinim

α α

os

α

:

u

u v ( x x , y y , z z )

u ( x , y ,

( x , y , z ) v ( x , y , z )

z )

,

1 2 1 2 1

1 1 1 2 2

2

1 1 1

2

Se dois pontos quaisquer

no espaço, podemos determinar o vetor posição AB como:

AB

A

B A ( x x , y y , z z )

( x ,y ,z ) e B ( x ,y ,z )1 1 1

2 1 2 1 1

2 2

2

2

1 1 1 2 2 2 Se A(x ,y ,z ) e B(x ,y ,z ) são pontos extremos de

um segmento, o ponto médio de AB é encontrado por:

x x y y z zM , , .1 2 1 2 1 2

2 2 2

O módulo do vetor é dados por:u ( x,y ,

y

z

.

)

v x z2 2 2

Se dois vetores e são

parelelos então, u ou= αv , x y z

.x y

u ( x ,y ,z ) v ( x ,y ,z )

z

1 1 1 2

1 1 1

2

2 2

2 2

1 2 3 1 2 3

1) Dado os pontos A(0,1,-1) e B(1,2,-1) e os vetores

u = (-2,-1,1), v = (3,0,-1) e w = (-2,2,2), verificar se existem

os números a , a e a tais que w = a AB + a u + a v.

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

Inicialmente iremos substituir as coordenadas e

reescrever AB = B - A:

1 2 3

1 2 3

w = a AB + a u + a v

(-2,2,2) = a (1,1,0) + a (-2,-1,1) + a (3,0,-1)

1 1 2 2 2 3 3(-2,2,2) = (a ,a ,0) + (-2a ,-a ,a ) + (3a ,0,-a ).

ou seja,

Agora,

1 2 3 1 2 2 3(-2,2,2) = (a - 2a + 3a , a - a , a - a )

1 2 3

1 2

2 3

Onde podemos escrever o seguinte sistema linear:

a - 2a + 3a = -2

a - a = 2

a - a = 2 1 2 3a = 3, a

Que

=

tem a solução

1 e a = -1.

Logo, w = 3AB + u - v.

No espaço, todo conjunto de três vetores não-coplanaresconstitui uma de suas bases, isto é, todo vetor do espaçopode ser escrito de modo único como combinaçãolinear dos vetores desta base.

1 2 3

Nesse exemplo, o sistema possui única solução(a = 3, a = 1, a = -1), e assim podemos deduzir que

o conjunto é uma base deste espaço e, portanto,

esses vetores são não-coplanares.

AB, u, v

2) Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD,

sendo A(3, -2, 4), B(5, 1, -3) e C(0, 1, 2).

Observando a figura aolado, podemos perceber

que:

AD = BC

D - A = C - B

ou seja,

isolando o ponto D, temos que:

D = C - B + Asubstituindo as coordenadas e efetuando os cálculos:

D = (0, 1, 2) - (5, 1, -3) + (3, -2, 4)

D = (0 - 5 + 3, 1 - 1 - 2, 2 +

D = (-2,

3 +

-2 )

4)

, 9

3) Sabendo que o ponto P(-3, m, n) pertence à retaque passa pelos pontos A(1, -2, 4) e B(-1, -3, 1),determine as constantes "m" e "n".

Podemos perceber que os vetores AB e BP são paralelos.

Agora fica fácil escrevermos, utilizando a condição de

paralelismo que,

Como AB = (-2, -1, -3) e BP = (-2, m + 3, n - 1) temos:

m n

2 1 3

2 3 1

e m n

2 1 2 3

2 3 2 1

ou seja,

finalmente:

e m n 4 2

4) Seja o triângulo de coordenadas A(4, -1, -2), B = (2, 5, -6)

e C = (1, -1, -2). Calcular o comprimento da mediana relativa

ao lado AB.

A mediana do triângulo ABC é o segmento de extremidades

em C e M - o ponto médio do lado AB.

Inicialmente iremos determinar as

coordenadas do ponto médio M:

M M, , , ,

4 2 1 5 2 63 2 4

2 2 2

O comprimento da mediana CM é o seu módulo:

CM = M - C = (3 - 1, 2 + 1, -4 + 2) = (2, 3, -2). Finalmente:

M = CMC ( ) 2 2 22 172 3

Exercícios pag. 42 até 45 24, 29, 34, 35, 37, 40, 43 até 56