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Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada PAPMEM - Julho 2012 Volumes Professor Eduardo Wagner Exercícios 1) Um tablete de doce de leite medindo 12cm por 9cm por 6cm está inteiramente coberto com papel laminado. Este tablete é dividido em cubos de 1cm de aresta. a) Quantos desses cubos não possuem nenhuma face coberta com papel laminado? b) Quantos desses cubos possuem apenas uma face coberta com papel? c) Quantos desses cubos possuem exatamente duas faces cobertas com papel? d) Quantos desses cubos possuem três faces cobertas com papel? 2) O volume de um cone é, como na pirâmide, a terça parte do produto da área da base pela altura. Considere um cone e faça uma seção paralela à base. Retirando o cone menor, o que resta é um sólido chamado tronco de cone. a) Um tronco de cone tem bases de raios r e R e os planos destas bases estão a uma distância h. Calcule o volume do tronco de cone em função destes elementos. Sugestão: use semelhança de triângulos. b) Pegue na cantina um copo de plástico. Com uma régua, meça os diâmetros das bases e a altura do copo. Calcule o volume do copo. 3) Seja ABCD um retângulo onde AB = a e BC = b . Trace perpendicularmente ao plano do retângulo os segmentos AE e CF, ambos com comprimento c. Trace os segmentos EF, EB, ED, FB e FD. Calcule o volume do poliedro que ficou formado.
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1) Um tablete de doce de leite medindo 12cm por 9cm por 6cm est inteiramente coberto com papel laminado. Este tablete dividido em cubos de 1cm de aresta. a) Quantos desses cubos no possuem nenhuma face coberta com papel laminado? b) Quantos desses cubos possuem apenas uma face coberta com papel? c) Quantos desses cubos possuem exatamente duas faces cobertas com papel? d) Quantos desses cubos possuem trs faces cobertas com papel?
2) O volume de um cone , como na pirmide, a tera parte do produto da rea da base pela altura. Considere um cone e faa uma seo paralela base. Retirando o cone menor, o que resta um slido chamado tronco de cone.
a) Um tronco de cone tem bases de raios r e R e os planos destas bases esto a uma distncia h. Calcule o volume do tronco de cone em funo destes elementos. Sugesto: use semelhana de tringulos.
b) Pegue na cantina um copo de plstico. Com uma rgua, mea os dimetros das bases e a altura do copo. Calcule o volume do copo.
3) Seja ABCD um retngulo onde AB = a e BC = b. Trace perpendicularmente ao plano do retngulo os segmentos AE e CF, ambos com comprimento c. Trace os segmentos EF, EB, ED, FB e FD. Calcule o volume do poliedro que ficou formado.
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1) Tablete a) Cubos interiores: 10 7 4 = 280. b) Cubos no interior das faces: 2(10 7 +10 4 + 7 4) = 276. c) Cubos no interior das arestas: 4(10 + 7 + 4) = 84 . d) Cubos nos vrtices: 8 Total: 280 + 276 + 84 + 8 = 648 =12 9 6 .
2) Seja x a altura do cone inteiro e y a altura do cone que ser retirado. Uma semelhana clara de tringulos d:
hrR
yr
x
R == , ou seja,
rRrhy
= .
O volume do tronco de cone V = piR2x
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pir2y3
. Acompanhe os clculos abaixo.
[ ][ ] [ ]yrRhRyryRhR
yryhRyrxRV
)(33
))(3
)(3
222222
2222
+=+=
=+==
pipi
pipi
Substituindo o valor de y encontrado antes,
+=rR
rhrRhRV )(3
222pi
e, simplificando, ficamos com;
( )RrrRhV ++= 223
pi.
3)
A B
C D
E F
a
a
b
b
c
c
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O poliedro definido no enunciado parte de um paraleleppedo retngulo onde dois tetraedros (trirretngulos) foram retirados. Cada tetraedro trirretngulo tem volume
6231 abc
cab
v == .
O volume do poliedro :
32
62 abcabcabcV == .
