3. Distribuições de probabilidade
2013
2
Definição. Variável aleatória.Seja o espaço amostral associado a um experimento aleatório. Uma variável aleatória, X, é uma função que tem domínio em e contradomínio um subconjunto dos números reais.
Exemplo. Retira-se, ao acaso, um item produzido de um lote de 6 unidades. Variáveis:
X: Número de defeitos no item selecionado.
Y: Tempo de vida do item (em h).
3
O espaço amostral associado a este experimento aleatório é
621 ,,, aaa
Os possíveis valores da variável X são 0,1,2,..., e os possíveis valores da variável Y são os números reais não negativos. Ou seja, os contradomínios das variáveis X e Y são
0 ;
,3 ,2 ,1 ,0
ttR
R
Y
X
Classificação:• Variáveis aleatórias discretas. Contradomínio é um conjunto finito ou
infinito enumerável.
• Variáveis aleatórias contínuas. Contradomínio é um conjunto infinito não enumerável.
4
Variáveis aleatórias discretas (VAD)
Exemplo. Um lote de um certo produto é formado por 35 itens, sendo 21 itens do tipo H e 14 do tipo M. Uma amostra de 3 itens será formada sorteando-se, ao acaso, três itens do lote. Qual a probabilidade de encontrarmos na amostra pelo menos dois itens do tipo M?
X é uma VAD com contradomínio RX. Uma função f(x) é uma função de probabilidade se
Xi Rxi
iii
i
xf
xxfxXPxf
.1)( (iii)
e R ),()( (ii),1)(0 (i)
X
Definimos X: número de itens do tipo M na amostra.
5
E s p a ç o a m o s t r a l P r o b a b i l i d a d e X H H H 203,0
3319
3420
3521
0
H H M 150,03314
3420
3521
1
H M H 150,03320
3414
3521
1
M H H 150,03320
3421
3514
1
H M M 097,03313
3414
3521
2
M H M 097,03320
3421
3514
2
M M H 097,03321
3413
3514
2
M M M 056,03312
3413
3514
3
x 0 1 2 3 P ( X = x ) 0 , 2 0 3 0 , 4 5 0 0 , 2 9 1 0 , 0 5 6
0,347.0,0560,291322)(X Assim, )P(X)P(XP
6
Exemplo. A demanda diária de um item é uma variável aleatória discreta com a função de probabilidade
.4 ,3 ,2 ,1;!
2)( ddCdDP
d
(a) Determinar a constante C.
(b) P(D 2).
Solução. (a) Já que P(D = d) é uma função de probabilidade, temos: (i) C>0 e (ii) P(D=1) + P(D=2) + P(D=3) + P(D=4)=1. Ou seja,
611
!42
!32
!22
121)(
432
CCdDPDRd
32
64
621)1(1)2(1)2()(
4,3,2,1;!6
2)(
DPDPDPb
dd
dDPd
7
Função de distribuição acumulada de uma VAD
D e f i n i ç ã o . F u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o a c u m u l a d a ( F D A ) . X é u m a V A D c o m c o n t r a d o m í n i o R X = { x 1 , x 2 , . . . } e f u n ç ã o d e p r o b a b i l i d a d e f ( x ) = P ( X = x ) . P a r a q u a l q u e r x , a F D A d e X , d e n o t a d a p o r F ( x ) , é d e f i n i d a c o m o
Xixx
ixx
i RxxXPxfxXPxFii
que em,)()()()(
Exemplo. Uma variável aleatória X tem função de probabilidade
ccxsexse
xXPxf.,0
3,2,15/71,15/1
)()(
Determinar F(x).
8
xxi
xi
xxi
xi
xxi
xi
i
i
i
i
i
i
XPXPXPxXPxXPFxSe
XPXPXPxXPXPFxSe
XPXPxXPxXPxFxSe
XPXPxXPXPFxSe
XPxXPxXPxFxSe
fXPxXPXPFxSe
xXPxFxSe
1)3()2()1()()()3(3
1157
157
151
)3()2()1()()3()3(3
158)2()1()()()(32
158
157
151)2()1()()2()2(2
151)1()()()(21
151)1()1()()1()1(1
0)()(1
3
2
1
9
.R de elementos são eque sendo)()(então ),[ se geral, Em).2()(então),3,2[se
);1()(então),2,1[ Se
x1
1
ll
lll
xxxFxFxxxFxFx
FxFx
Observação.
Logo, a função de distribuição acumulada é dada por
3,132,15/821,15/1
1,0
)(
xsexsexsexse
xF
10
X é u m a V A D 1 . P a r a t o d o x , 0 F ( x ) 1 . 2 . F ( x ) é u m a f u n ç ã o m o n ó t o n a n ã o d e c r e s c e n t e .
3 . 1)(lim0)(lim
xFexFxx
4 . S e R X = { x 1 , x 2 , . . . . . . } , e m q u e x 1 < x 2 < . . . , e n t ã o f ( x i ) = P ( X = x i ) = F ( x i ) - F ( x i - 1 ) . 5 . S e a e b s ã o t a i s q u e a < b , e n t ã o
)()()()()()()()()()(
)()()()()(1)()(
)()()(
bXPaFbFbXaPvaXPaFbFbXaPiv
aFbFbXaPiiiaXPaXPii
aFaXPi
Propriedades da função de distribuição acumulada
11
Exemplo. A variável aleatória X tem função de distribuição acumulada
332
18/5
212/1108/1
00
)(
xx
sese
xsexse
xse
xF
Calcular
ccxsexse
xXPxf
Rb
FFXP
xfcXPbXPa
X
.03,18/32,08/1
)()(
por dada é X de adeprobabilid de função a quemostrar se-pode FDA, da 4 epropriedad Pela}.3,2,1,0{ que se-FDA tem Da (c)
1/2.1/2-1F(1)-12)P(X-12)P(X :FDA da 5(i) epropriedad Da)(,2/12/11)1()3()31( (a)
que FDA temos da 5(iii) epropriedad Da).()()2()();31()(
12
Exemplos
3.0 3.5 4.0 4.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x)
3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x)
3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x)
3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x)
13
Variáveis aleatórias contínuas (VAC)
Função densidade de probabilidade.
Uma função f(x) é chamada função densidade de probabilidade de uma VAC X se
b
a
dxxfbXaAbxaxA
dxxf
xxf
.)()(P)(PEntão,}.;{ evento o Seja.3
.1)(.2
.para ,0)(.1
Exemplo. O tempo de produção de um artigo (em minutos) é uma variável aleatória X com função densidade
contrário.caso,0
,42se,4
5)( xxxf
Verificar se f(x) é uma função densidade de probabilidade e calcular a probabilidade que o tempo de produção de um artigo escolhido ao acaso seja menor do que 3 minutos.
14
Primeiro notamos que f(x) 0, para todo x. Falta verificar a condição (2), ou seja a área sob o gráfico de f(x) deve ser igual a 1.
.1)2
5(41
450
450)(
4
2
22 4
2 4
4
2
x
xxdxxdxdxxdxdxxf
A probabilidade de que o tempo de produção de um artigo escolhido ao acaso seja menor do que 3 minutos é a probabilidade do evento A = {x; x < 3}, ou seja,
85)
25(
41)5(
410)()3()(
3
2
23 2 3
2
xxdxxdxdxxfXPAP
15
Observação. Se X é uma variável aleatória contínua, então
. todopara),()( (iii), e todospara ),()()()( (ii)
,todopara,0)( (i)
aaXPaXPbabXaPbXaPbXaPbXaP
xxXP
Definição. Função de distribuição acumulada. X é uma variável aleatória contínua com função densidade f(x). A função de distribuição acumulada (FDA) de X é
. todopara ,)()()(
x
xdttfxXPxF
Exemplo. Uma variável aleatória X tem função densidade
contrário.caso,0
,42se,4
5)( xxxf
Determinar F(x).
16
1f(t)dt)()(f(t)dtF(x)
,4
.8
)5(98
54
50f(t)dtF(x)
se,- tem4,x2Se0.F(x)logo, ,0)( que se- tem,2 Se
0
x
4
1
4
2
0
2x
-
2
2
22
2
x
-
dttfdttf
setemxSe
xtdttdt
xfx
xx
4,1
428
)5(92,0
)(2
xse
xsexxse
xF
Logo, a FDA de X é
17
Observação.
A FDA de X permite o cálculo de probabilidades de eventos da forma
E = {x; a x b}, com a b. Isto é,
P(E) = F(b) - F(a).
Exemplo. Considere a FDA abaixo. Obtenha P(X 3) e P(3 X < 5).
,
.4se,1
42se,8
)5(9,2se,0
)(2
x
xxx
xF
.83
851)3()5()53(
e 85
8)35(9)3()3(
2
FFXP
FXP
Solução.
18
Propriedades
1. 0 F(x) 1, para todo x.
2. F(x) é uma função monótona não decrescente.
3. F(x) é uma função contínua para todo x.
x
xx
x
xxdttfxFdttfxF 1)(lim)(lime0)(lim)(lim .4
).(dxdf(x) xF
5. Do teorema fundamental do cálculo obtemos
Exemplo. Suponha que o tempo de vida de um processador é uma variável aleatória X com
,.0,0
0,1)(2
xxkexF
x
Determinar (a) o valor de k, (b) P(X 2) e P(2 X 4) e P(X -1) e (c) f(x).
19
Solução. (a) Pela propriedade 3 de F(x) temos F(0) = 0:
cckke
.,00xse,e-1F(x) Logo, .101 2
x-
0
0,0
0,21
)()(
temoscontínuaFDA uma de 5 epropriedad Da )(
.0)1()1(.)1()1()2()4()42(
.)1(1)2(1)2()(
2
2112
11
x
xexFdxdxf
c
FXPeeeeFFXP
eeXPXPb
x
20
Valor esperado e variância de uma variável aleatória
Definição. Valor esperado de uma variável aleatória. Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade ou função densidade de probabilidade, )(xf . O valor esperado (ou esperança matemática ou média da variável aleatória), denotado por
XXE )( é definido como
,)()(
contínua, aleatória variáveluma é X Se .2
,)()(
discreta, aleatória variáveluma é X Se 1.
dxxxfXE
xxfXEXRx
supondo que o somatório e a integral existem.
21
Valor esperado de uma função de variável aleatória
Seja Y = h(X), sendo h uma função real e contínua de X. O valor esperado de h(X) é dado por
.)()()(
contínua, aleatória variáveluma é X Se .2
,)()()(discreta, aleatória variáveluma é X Se 1.
dxxfxhYE
xfxhYEXRx
22
Definição. Variância de uma variável aleatória. X é uma variável aleatória com função de probabilidade ou função densidade de probabilidade, )(xf , com média
XXE )( . A variância de X, denotada por 2)(
XXVar é definida como o
valor esperado de 2)( XX .
.)()()(
contínua, aleatória variáveluma é X Se .2
,)()()(
discreta, aleatória variáveluma é X Se 1.
2
2
dxxfxXVar
xfxXVarXRx
Definição. Desvio padrão. É a raiz quadrada da variância:
)()( XVarXDP X
23
Solução. (a) Pela definição de valor esperado temos
.1,29
19!46
24!36
23!26
22621)()(
432
XRx
xxfXE
Exemplo. Suponha que a demando diária de uma peça é uma variável aleatória discreta com função de probabilidade
.c.c,0
,4 ,3 ,2 ,1,!6
2)( x
xxXPx
Determinar (a) a demanda esperada e (b) o desvio padrão da demanda.
24
.99,08180)(
,8180
!462)
9194(
!362)
9193(
!262)
9192(
62)
9191(
)()()(
42
32
222
2
X
Rx
XDP
xfxXVarX
25
Moda, mediana e média (VAC)
x
f(x)
Mod
a
Med
iana
Méd
ia
x
f(x)
Méd
iaM
edia
na
Mod
a
Assimetria à direita:
Moda < Mediana < Média
Assimetria à esquerda:
Moda > Mediana > Média
Simetria: Mediana = Média (se existir).
26
Variáveis aleatórias independentes
X e Y são duas variáveis aleatórias. Dizemos que X e Y são independentes se, e somente se,
. e todospara ),()())()(( yxyYPxXPyYxXP
Em particular, se X e Y são duas variáveis aleatórias discretas, X e Y são independentes se, e somente se,
, e todospara ),()())()())()((
yxyFxFyYPxXPyYxXP
YX
sendo que FX e FY são as FDA’s de X e Y.
27
)()()()Var(X
então ,tesindependen variáveis são ,,Se.9).()(Y)XVar(
então tes,independen aleatórias variáveissão e Se.8)()(.7
0)(.6
2121
1
22
2
nn
n
XVarXVarXVarXX
nXXYVarbXVaraba
YXXVaraaXVar
aVar
Propriedades do valor esperado e da variância
X e Y são duas variáveis aleatórias e a e b dois números reais.
22 )()(.5
)()(.4)()(.3
)()(.2.)(.1
XXEXVar
YbEXaEbYaXEbXaEbaXE
XaEaXEaaE
28
Exemplo. O total de vendas diárias de um empresa que comercializa equipamentos eletrônicos (em dezenas de milhares de R$) é uma variável aleatória com função densidade
..,0
64,6
6
42,3
2
)(
cc
xsex
xsex
xf X
(a) Para um certo dia, determine a probabilidade de que as vendas da empresa sejam maiores do que R$ 22.000, 00, mas não ultrapassem R$ 45.000.
(b) A média e o desvio padrão das vendas diárias.(c) Se o lucro diário é dado pela função Y = 0,2X - 0,5, calcule a média e
o desvio padrão do lucro diário.
29
Solução. Denotamos as vendas diárias (em dezenas de milhares de R$) por X.
(a) Definimos A = {2,2 < X 4,5} e calculamos
.806,02
6612
231
66
32)()5,42,2()(
5,4
4
24
2,2
2
5,4
2,2
5,4
4
4
2,2
xxxx
dxxdxxdxxfXPAP
30
.89,149
1346
63
2)()(
78,3934
66
32)()(
6
4
24
2
222
6
4
4
2
dxxxdxxxdxxfxXE
dxxxdxxxdxxxfXE
(b) Iniciamos calculando
Logo,
.786,081/50)(
81/50934
9134)()(
2222
XVar
XEXVar
X
XX
(c) Seja Y = 0,2X - 0,5. Das propriedades do valor esperado e da variância obtemos E(Y) = E(0,2X - 0,5) = 0,2 E(X) - 0,5 = 0,2 34/9 - 0,5 0,256.
.0247,0)81/50(2,0)(2,0)5,02,0()( 22 XVarXVarYVar
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