ALGORITMO GENÉTICO MULTI- OBJETIVO PARA O...

ALGORITMO GENÉTICO MULTI-

OBJETIVO PARA O SEQUENCIAMENTO

INTEGRADO DE ATIVIDADES DE

PRODUÇÃO E MANUTENÇÃO

Rodrigo Jose Pires Ferreira (UFPE )

[email protected]

Joao Marconi Soares de Souza Lima Filho (UFPE )

[email protected]

Eduarda Asfora Frej (UFPE )

[email protected]

Modelos de planejamento da produção (ou production scheduling)

podem auxiliar na tomada de decisão sobre a sequência de atividades

a ser realizada em um sistema de produção, otimizando determinados

objetivos. Entretanto, apesar de haver umaa relação interdependente

entre este processo e o planejamento de manutenção preventiva, estes

são frequentemente tratados de modo conflitante. O presente artigo

propõe um modelo multi-objetivo para o problema integrado de

planejamento de produção e manutenção preventiva para sistemas de

uma única máquina (single machine), considerando duas funções

objetivo: minimizar o atraso esperado ponderado e o custo de

manutenção. Como o espaço de soluções deste problema é elevado, um

algoritmo genético multi-objetivo é proposto para encontrar soluções

da fronteira de Pareto. Um conjunto de simulações para 7 atividades é

ilustrada e demonstra que o algoritmo foi capaz de encontrar soluções

com uma distância média inferior a 1% das soluções ótimas obtidas

por meio de um método exaustivo.

Palavras-chaves: Programação da produção; planejamento da

manutenção, algoritmo genético, multicritério

XXXIII ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO A Gestão dos Processos de Produção e as Parcerias Globais para o Desenvolvimento Sustentável dos Sistemas Produtivos

Salvador, BA, Brasil, 08 a 11 de outubro de 2013.



2

1. Introdução

Segundo Pinedo (2012), problemas de scheduling se relacionam com a alocação de recursos

limitados, ao longo do tempo, para realizar tarefas, de modo que satisfaça objetivos

estabelecidos. Vale ressaltar o amplo significado de recursos, que podem ser ferramentas,

materiais, máquinas, energia, e outros. Além disso, há vários objetivos, como minimizar o

tempo de conclusão da última atividade, ou o atraso ou o número de atividades atrasadas.

Entretanto, as máquinas estão sujeitas a falhas, o que pode afetar o sistema de produção

consideravelmente. Segundo Aghezzaf e Najid (2008), estas falhas resultam em altos custos e

comprometem a qualidade dos produtos. Portanto, percebe-se a importância do planejamento

da manutenção para obtenção de menor custo e maior qualidade.

Geralmente, a programação da produção e o planejamento de manutenção são tratados

separadamente, o que não traz resultados satisfatórios na prática. Uma hipótese muito comum

utilizada nesse contexto considera que as máquinas estão sempre disponíveis, ou seja, não

estão sujeitas a falhas (ALLAOUI et al. 2008). Porém, uma programação da produção

adequada que está minimamente sujeito a replanejamentos e interrupções devido a falhas, é

capaz de atingir seus objetivos estratégicos. Portanto, percebe-se que a integração entre a

produção e a manutenção se faz necessária (ÁNGEL-BELLO et al. 2011).

Encontra-se na literatura estudos que propõem a integração do problema integrado. Graves e

Lee (1999) apresentaram um problema integrado para um sistema single machine com a

possibilidade de uma única atividade de manutenção e objetivo de minimizar o tempo total

ponderado de conclusão das atividades. Lee e Chen (2000) estenderam esta pesquisa para

máquinas paralelas. Qi et al. (1999) apresentaram o problema em um sistema single machine,

considerando a possibilidade de múltiplas intervenções de manutenção preventiva, mas sem

incluir explicitamente o risco de não realizá-las.

Cassady e Kutanoglu (2003) apresentaram um problema em um sistema single machine,

considerando possíveis múltiplas intervenções de manutenção preventiva e o risco de não

realizá-las. Eles apresentaram um modelo capaz de obter uma redução de 30% no atraso total



3

ponderado quando comparado com modelos de cada função objetivo isoladamente. Yulan et

al. (2008) utilizou um algoritmo genético para solucionar um problema integrado em um

ambiente single machine com cinco funções objetivo. Moradi (2011) estendeu os

conhecimentos de problema integrado, analisando em um sistema jobshop flexível. Wang e

Liu (2013) desenvolveram um algoritmo branch-and-bound para um problema single

machine de minimização do tempo total ponderado de conclusão das atividades, e obteve

resultados satisfatórios para cenários com até 18 atividades.

Este artigo propõe um modelo matemático que trata o conflito das funções manutenção e

produção levando em consideração dois objetivos a serem otimizados simultaneamente,

minimizar o custo da manutenção e o atraso esperado ponderado. É proposto também um

algoritmo genético multi-objetivo para auxiliar o processo de busca de soluções da fronteira

de pareto.

2. Modelagem matemática

Supõe-se que existe um certo número de atividades a serem programadas em uma única

máquina em um sistema de produção. Cada atividade tem um tempo de processamento, prazo,

e uma importancia relativa que é medida por um peso. Além da programação de produção,

supõe-se que este equipamento pode não estar disponível devido a manutenção preventiva ou

reparos devido a falhas. Estas características implicam conflito entre os objetivos de produção

e manutenção. Considerando que o objetivo da função produção pode estar relacionado a

minimizar o atraso das atividades concluidas, o objetivo da função manutenção pode estar

relacionado a minimizar as perdas de tempo por ações de manutenção desnecessárias

caracterizadas principalmente pelo custo esperado de manutenção.

Para estimar o custo esperado de manutenção, presume-se que o tempo até a falha desta

máquina é governada por uma distribuição de probabilidade Weibull como sugerido por

Sortrakul & Cassady (2007). As substituições devem ser recomendadas quando o custo

esperado de substituição é inferior à espera de outra oportunidade para evitar o risco de

possíveis falhas futuras, com base na probabilidade estimada de falha durante as atividades.

Conforme definido por Sortrakul & Cassady (2007) atividades não podem ser interrompidas

por atividades de manutenção preventiva.



4

As variáveis de decisão básicas a serem otimizadas são: a seqüência das atividades a serem

realizadas, e os momentos de ações de manutenção preventiva com o objetivo de minimizar o

atraso esperado ponderado total e custo de manutenção prevista.

As hipoteses assumidas pelo modelo são que apenas uma falha pode ocorrer durante o

processamento de uma atividade. A probabilidade de mais do que uma falha ocorrer durante

uma atividade é assumida como sendo igual a zero. Se ocorrer uma falha, em seguida, a

reparação é feita imediatamente. A reparação mínima é feita para restaurar a máquina de volta

à sua condição operacional sem alterar sua idade efetiva e existe um tempo fixo para reparar

quando ocorre uma falha.

Assume-se também que a taxa de falha da máquina aumenta ao longo do tempo, o que

justifica a manutenção preventiva. As atividades podem ser interrompidas por falhas e podem

ser retomadas após a reparação, sem qualquer penalização adicional no seu tempo de

processamento. A manutenção preventiva restaura a máquina para um estado "tão bom quanto

novo". Existe um tempo fixo para realizar a manutenção preventiva. E recursos, tais como a

equipe de reparos e peças sobressalentes, estão prontamente disponíveis.

Quanto à estrutura de custos, existe um custo de manutenção preventiva quando a máquina for

reparada preventivamente e existe um custo de reparos após falhas quando um item é

reparado corretivamente. Este custo inclui conseqüências devido a falhas. Assume-se que o

custo da manutenção corretiva é maior do que o custo de manutenção preventiva.

A notação utilizada neste artigo é apresentada na Tabela 1.

Tabela 1 - Notação das variáveis do modelo

n Quantidade de atividades a serem programadas

pj Tempo de processamento da atividade j (j = 1, …, n).

dj Prazo da atividade j (j = 1, …, n).

wj Importância relativa (peso) da atividade j (j = 1, …, n).

xij Variável de decisão binária quando a i-ésima atividade processada é a atividade j (i = 1, 2, ...,

n; j = 1, 2, . . . n).

p[i] Tempo de processamento da i-ésima atividade processada (i = 1, …, n).

d[i] Prazo da i-ésima atividade processada (i = 1 , …, n).

w[i] Peso da i-ésima atividade processada (i = 1 , …, n).

c[i] Tempo de conclusão da iésima atividade processada (i = 1 , …, n).

C[i] Variável aleatória tempo de conclusão da i-ésima atividade realizada (i = 1 , …, n).

[i] Atraso da i-ésima atividade realizada (i = 1 , …, n).

[i] Variável aleatória de atraso da i-ésima atividade realizada (i = 1 , …, n).

Parâmetro de forma da distribuição de Weibull.

Parâmetro de escala da distribuição de Weibull.



5

a[i] Idade da máquina imediatamente após concluir a i-ésima atividade.

]1[ ia Idade da máquina imediatamente antes de processar a i-ésima atividade.

y[i] Variável binária de decisão quando a manutenção preventive é realizada antes da i-ésima

atividade (i = 1 , …, n).

[i] Probabilidade de falha da máquina durante o processamento da i-ésima atividade (i = 1 , …,

n).

tp Duração da ação da manutenção preventiva.

tr Duração do reparo das máquinas após falha.

Cm[i] Variável aleatória do custo total de manutenção da i-ésima atividade processada (i = 1 , …, n).

cb Custo da ação da manutenção preventiva.

ca Custo do reparo (em caso de falha) de máquinas.

Fonte: Os autores

Como definido por Cassady e Kutanoglu (2003), a idade da máquina imediatamente após

processar a i-ésima atividade, a[i], e imediatamente antes do processamento da i-ésima

atividade, ]1[ ia , podem ser calculadas pelas equações (1) e (2):

niyaa iii ,...,2,1)1( ][]1[]1[ (1)

nipaa iii ,...,2,1][]1[][ (2)

A probabilidade de falha na máquina durante a i-ésima atividade, ][i , é determinada, usando

a distribuição de probabilidade de Weibull, pelas equações (3) e (4). A probabilidade

complementar de ][i é ][i , definida pela equação (5):

}|][Pr{)|][( ]1[]1[]1[]1[][ iiiii aTaipTaaipF (3)

]1[]1[

][

][exp1

ii

i

aaip (4)

niii ,...,2,11 ][][ (5)

Seja C[i] a variável aleatória do tempo de conclusão da i-ésima atividade processada, então:

niMpytCi

l

i

l

illpi ,...,2,11 1

][][][][

(6)

Em que M[i] é uma variável aleatória discreta que pode assumir i+1 valores múltiplos de tr, a

partir do produto de k e tr (k=0, 1, ..., i). Seja Ni = {1, 2, ..., i} e Ni,k um subconjunto de Ni

contendo k elementos. Obtém-se a função densidade de probabilidade por:

ikktMki kikiN Nl

l

Nl

lriki ,...,1,0}Pr{, ,,

][][][],[

(7)



6

Seja c[i,k] o tempo de conclusão e [i,k] o atraso da i-ésima atividade processada com k falhas

até a conclusão da i-ésima atividade, temos:

niikktpytci

l

i

l

rllpki ,...,1;,...,1,01 1

][][],[

(8)

niikdc ikiki ,...,1;,...,1,0),0max( ][],[],[ (9)

O modelo matemático foi desenvolvido a fim de minimizar duas funções objetivo. Seja F1 o

atraso esperado ponderado, e F2 o custo total esperado de manutenção, temos:

njniyx

njx

nix

asubjeito

CmEyxFMinimizar

EwyxFMinimizar

iij

n

i

ij

n

j

ij

n

i

iiij

n

i

iiiij

,...,2,1,,...,2,1}1,0{,

,...,2,11

,...,2,11

)(),(

)(),(

1

1

1

][2

1

][][1

(10)

O valor da primeira função objetivo para uma dada solução pode ser calculada utilizando a

equação (11), tal como sugerido por Cassady & Kutanoglu (2003):

niikEi

k

kikii ,...,1;,...,1,0)(0

],[],[][

(11)

O valor da segunda função objetivo pode ser calculada usando as equações (12) e (13):

niikkcyccmi

l

albki ,...,1;,...,1,01

][],[

(12)

niikcmCmEi

k

kikii ,...,1;,...,1,0)(0

],[],[][

(13)

3. Algoritmo genético multi-objetivo



7

De acordo com a Deb (2001), a aplicação de otimização evolucionária multi-objetivo em

problemas de scheduling multi-objetivo tem recebido muito menos atenção em comparação

com algoritmos evolucionários para os problemas de scheduling com um único objetivo.

Algoritmos genéticos, quando aplicados a problemas de scheduling, as possíveis

programações da produção são vistas como indivíduos ou membros de uma população. Cada

indivíduo é caracterizado por seu fitness. O fitness de um indivíduo é medido pelo valor

associado da função objetivo. O algoritmo funciona de forma iterativa, e cada iteração é

referida como geração. A população de uma geração é composta por sobreviventes da geração

anterior, mais os novos individuos, ou seja, os descendentes (filhos) da geração anterior. O

tamanho da população geralmente permanece constante de uma geração para a seguinte. Os

filhos são gerados pela reprodução e mutação de indivíduos que faziam parte da geração

anterior (os pais). Os indivíduos são, por vezes, também conhecidos como cromossomos

(PINEDO, 2012).

As características do algoritmo genético multi-objetivo implementado são descritos em

seguida.

3.1. A representação dos cromossomos

Neste trabalho, um cromossomo é composto por dois sub-cromossomos. O primeiro contém

as informações sobre a seqüência de atividades em uma única máquina, e o segundo contém a

decisão de realizar a manutenção preventiva nesta máquina antes que a i-ésima atividade na

seqüência. Esta notação é também usada por Sortrakul & Cassady (2007).

Por exemplo, para o problema de três atividades, o cromossomo da sequência de atividades

poderia ser {3 1 2} e o cromossomo de manutenção preventiva {1 0 1}.

3.2. Estratégia de reprodução, crossover e mutação

Em um problema com dois objetivos, existem dois valores a serem otimizados

simultaneamente. Várias estratégias podem ser definidas, a fim de escolher os dois pais para

um processo de reprodução. Neste artigo, a definição de vários níveis de soluções não-

dominadas é apresentada. Com este cálculo, uma solução do conjunto de primeiro nível de

soluções não-dominadas é escolhida para combinar com outra solução selecionada



8

aleatoriamente a partir da população. Recomenda-se que os novos filhos devem substituir os

indivíduos a partir dos últimos níveis de soluções não-dominadas.

O crossover C1, como explicado em Reeves (1995) é implementado no cromossomo da

sequência de atividades e o crossover de um ponto é aplicado ao cromossomo binário que

codifica as decisões de manutenção preventiva. As operações de crossover são executadas em

ambos os cromossomos em cada geração.

Embora, uma mutação shift é proposta para mutar a sequência das soluções de programação

da produção, uma mutação de um ponto é proposta para soluções de manutenção preventiva.

Uma elevada probabilidade fixa de mutação é recomendada como sugerido por Reeves (1995)

e Sortrakul & Cassady (2007).

3.3. Tamanho da população, população inicial e critério de parada

Reeves (1993) relatarou que muitos autores sugerem que o tamanho da população tão pequena

como 30 membros é suficiente para produzir resultados satisfatórios. Portanto, uma população

de 30 cromossomos é usada neste artigo. Neste estudo, a população inicial é escolhida

aleatoriamente e as heurísticas terminam quando mil gerações são avaliadas.

4. Aplicação numérica

Um exemplo numérico foi desenvolvido a fim de avaliar a compatibilidade do modelo e a

eficiência do algoritmo genético multi-objetivo proposto. Foram desenvolvidos 10 cenários

com 7 atividades, que se diferenciam a partir dos valores do tempo de processamento, pj, o

prazo, dj, e a importância relativa, wj. Os valores dos dados de simulação e os parâmetros são

apresentados na Tabela 2 e Tabela 3.

Tabela 2 - Dados da simulação e os parâmetros do modelo

n tp tr cb ca

7 atividades 2 175 dias 82 dias 5 dias 15 dias US$ 10.00 US$ 100.00

Fonte: Os autores

Tabela 3 - Dados da simulação para 10 cenários

Cenário 1 Cenário 2 Cenário 3 Cenário 4 Cenário 5

j pj dj wj pj dj wj pj dj wj pj dj wj pj dj wj



9

1 2 86 5 20 147 8 10 96 8 24 138 7 47 69 8

2 37 81 3 30 110 3 22 6 7 8 41 6 11 100 3

3 26 58 10 13 52 6 6 11 10 18 115 5 36 116 7

4 25 19 7 15 88 1 30 49 6 31 29 7 13 53 6

5 45 25 6 31 17 5 24 80 4 10 44 7 7 100 6

6 31 89 5 14 136 4 35 99 2 37 15 7 31 63 9

7 31 4 2 41 132 2 35 62 6 13 87 7 23 126 3

Cenário 6 Cenário 7 Cenário 8 Cenário 9 Cenário 10

j pj dj wj pj dj wj pj dj wj pj dj wj pj dj wj

1 17 97 2 39 79 6 13 106 8 38 66 9 50 88 6

2 7 82 2 47 80 4 23 67 5 19 125 6 27 38 9

3 47 108 5 49 129 2 35 4 9 12 116 2 24 100 7

4 33 79 5 10 73 6 19 50 5 40 26 3 40 13 6

5 24 149 4 8 60 3 37 64 8 48 129 5 12 94 8

6 32 34 8 35 101 1 20 41 5 17 148 8 25 99 9

7 28 17 7 6 111 8 34 30 8 34 78 8 45 110 10

Fonte: Os autores

O espaço de soluções em um dos cenários possui 5040 (7!) soluções para a programação da

produção e 128 (27) possíveis decisões de manutenção preventiva. Logo, existem 645.120

possíveis soluções para o problema integrado com 7 atividades como ilustrado na Figura 1.

Figura 1 - Espaço objetivo de soluções para o cenário 10

Fonte: Os autores

A eficiência do algoritmo genético foi avaliada a partir da comparação entre os resultados

obtidos por este e as sequências que se encontram na fronteira de Pareto (soluções não



10

dominadas) obtidas por meio de forma extensiva, onde todas as possíveis soluções foram

avaliadas.

Embora o algoritmo genético tenha conseguido encontrar apenas 18 soluções de pareto das

271 do modelo exaustivo dos 10 cenários avaliados, a distância média dos pontos da fronteira

de pareto do algoritmo genético foi de apenas 0,97% em relação aos pontos da fronteira de

pareto do método exaustivo, o que demonstra um desempenho satisfatório. A distância entre

as soluções obtidas pelo algoritmo genético e as soluções não dominadas pode ser analisada

na Figura 2, na Figura 3 e na Figura 4.

O tempo computacional para 1000 iterações do algoritmo genético multi-objetivo durou em

média 50 segundos em comparação com 480 segundos (8 minutos), utilizando o método

exaustivo. Verificou-se que os indivíduos gerados aleatoriamente evoluíram para soluções

não-dominadas quase 10 vezes mais rápido do que pelo método exaustivo para um problema

com 7 atividades.

O computador utilizado para as simulações realizadas tinha um processador: Intel(R)

Core(TM) i3-2120 CPU, 3.30GHz, memória instalada (RAM): 4,00 GB, e sistema

operacional Windows 7 de 64 Bits.

Figura 2 - Gráfico das soluções obtidas pelo algoritmo genético e método exaustivo

Fonte: Os autores



11


Fonte: Os autores




12

Fonte: Os autores

5. Conclusões

O modelo integrado proposto neste artigo pode muito bem ser de interesse para a indústria, a

fim de tratar as necessidades de produção e manutenção que levam em conta dois objetivos

conflitantes relacionados a atraso de atividades e custo de manutenção da programação.

Um conjunto de dez simulações para 7 atividades demonstrou que o algoritmo foi capaz de

encontrar soluções com uma distância média inferior a 1% das soluções ótimas obtidas por

meio de um método exaustivo. Embora o algoritmo genético multi-objetivo precise ser

avaliado e testado com um maior número de simulações, os resultados indicam que o

algoritmo tem potencial para uso, conforme ilustrado na aplicação numérica.



13

A escolha de um método multi-objetivo apropriado, a fim de recomendar apenas uma das

soluções do conjunto de Pareto, é uma tarefa desafiadora para futuras pesquisas.

REFERÊNCIAS

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Production Systems. Information Sciences 178.17: 3382–3392 (2008).

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CASSADY, C R.;KUTANOGLU, E.. Minimizing Job Tardiness Using Integrated Preventive Maintenance

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