Sumário Arcos e Ângulos ....................................................................................................................................................... 1
RELEMBRANDO ....................................................................................................................................................... 1
O QUE É UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA? ......................................................................................................... 1
MEDIDA DE UM ARCO ......................................................................................................................................... 1
COMPRIMENTO DE UM ARCO ............................................................................................................................ 1
RADIANO ................................................................................................................................................................. 2
COMO CALCULAR O COMPRIMENTO DE UM ARCO ............................................................................................... 2
COM A MEDIDA DO ÂNGULO EM GRAUS ................................................................................................................. 2
COM A MEDIDA DO ÂNGULO EM RADIANOS ........................................................................................................... 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1
AULA 01
Arcos e Ângulos
RELEMBRANDO
O QUE É UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA? Considere uma circunferência e dois pontos, A e B,
sobre . Os pontos A e B dividem essa circunferência
em dois conjuntos denominados arcos, aos quais A e B
pertencem. Os pontos A e B são as extremidades desses
arcos, os quais são denotados por AB .
MEDIDA DE UM ARCO Na primeira série do ensino médio aprendemos que a
medida de um arco de circunferência é igual à medida
do ângulo central correspondente a esse arco.
med AÔB med APB med CQD
COMPRIMENTO DE UM ARCO
Obs.1: Em geral, utiliza-se a mesma unidade de medida
do raio da circunferência.
É possível notar que o comprimento de um arco não
depende apenas da medida do ângulo central, apesar
de ter uma relação direta com essa medida, mas
depende também do raio da circunferência.
Por exemplo, observe a figura a seguir.
Note que o comprimento do arco CQD é maior que o
comprimento do arco APB , pois mesmo que os dois
arcos tenham o mesmo ângulo central, AOB , esses
arcos estão contidos em circunferência de raios
distintos.
O tamanho da “bordinha de uma fatia de pizza”
O comprimento de um arco refere-se ao
“tamanho da linha” que descreve o arco. É como se
"esticássemos" o arco, transformando ele em um
segmento de reta e verificássemos seu comprimento.
Por esse motivo, a unidade de medida do
comprimento de um arco será uma das unidades de
comprimento que já utilizamos, como o metro ou o
centímetro.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2
RADIANO Iremos aprender agora uma nova maneira de medir um
ângulo e, por consequência, de medir um arco.
Observe, na figura a seguir, a circunferência , de raio
R, e o arco APB , de comprimento .
A medida do ângulo central AOB , medido em
radianos, é, por definição, dado por
R
Obs.3: Observe que, ao medir um ângulo no sistema
radianos, a medida do ângulo não tem unidade, ou
seja, é um número puro, pois as unidades de medida do
comprimento do arco e do raio são iguais. Assim,
radiano não é, uma unidade de medida de ângulo.
Mesmo assim, algumas vezes quando nos referimos a
um ângulo medido em radianos podemos colocar "rad"
após a medida para mostrar que é a medida de um
ângulo, ou arco, no sistema radianos.
Visto que o comprimento de uma circunferência de
raio 𝑅 é igual a 2𝜋𝑅, temos que a medida do arco de
uma volta, em radianos é dado por
22
R
R
Assim, 2𝜋 rad correspondem a 360° e, daí, concluímos
que
𝝅 radianos correspondem a 180°
COMO CALCULAR O COMPRIMENTO DE UM ARCO
O cálculo do comprimento, , de um arco dada a
medida do seu ângulo central correspondente (ou a
medida do arco) pode ser feito de duas maneiras,
dependendo de se a medida está em graus ou radianos.
COM A MEDIDA DO ÂNGULO EM GRAUS
O comprimento de um arco de medida , dada em
graus, pode ser calculado usando que o comprimento
de um arco de circunferência é diretamente
proporcional a medida do seu ângulo central
correspondente. Tendo assim
2360 180
R ou R
COM A MEDIDA DO ÂNGULO EM RADIANOS
O comprimento de um arco de medida , dada em
radianos, pode ser calculado a partir da definição de
radianos. Assim
R
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Exercícios RESOLVIDOS 1, 2, 4 e 6.
TAREFA 1 – Leituras indicadas na aula e FAZER os
PROPOSTOS 1, 2, 3, 5 e 7.
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