Prof. Eduardo Bento Pereira Departamento de Engenharia elétrica 1/2011
Sistemas lineares
AULA 25: Sistemas lineares
OBJETIVO:
Revisão para avaliação 3
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Por que da transformada de Laplace?
“Ferramenta que nos permite representar uma entrada arbitrária x(t) em termos de componentes exponenciais”;
Transformação de equações íntegro-diferenciais em equações algébricas;
Análise de sistemas LCIT no domínio da frequência.
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Revisão: Transformada de Laplace
Para um sinal x(t), a transformada de Laplace X(s) é dada por:
O sinal x(t) é dito ser a transformada inversa de Laplace X(s). Sendo:
Par da transformada de Laplace bilateral.
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Revisão: Transformada de Laplace
Região de convergência (região de existência) da Transformada de Laplace.
Exemplo.:
Para um sinal determine a transformada de Laplace e sua região de convergência.
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Revisão: Transformada de Laplace
Região de convergência (região de existência) da Transformada de Laplace.
Exemplo:
Pela definição:
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Revisão: Transformada de Laplace
Região de convergência (região de existência) da Transformada de Laplace.
Exemplo:
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Revisão: Transformada de Laplace
Região de convergência (região de existência) da Transformada de Laplace.
Exemplo:
Então:
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Revisão: Transformada de Laplace
Região de convergência para sinais de duração finita.
Para um sinal de duração finita absolutamente integrável, a região de convergência é todo o plano s.
Relembrando: um sinal de duração finita é um sinal que não é nulo somente para
0 tempo (t)
1
Exemplo:
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Revisão: Transformada de Laplace
Papel da região de convergência.
Ela é necessária para determinação da transformada inversa de Laplace.
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Revisão: Transformada de Laplace
Mesma transformada bilateral, porém, diferentes regiões de convergência.
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Exercício:
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Revisão: Transformada de Laplace
Transformada unilateral (sinais causais)
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Revisão: Propriedades da Transformada de Laplace
Diferenciação no tempo:
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Revisão: Propriedades da Transformada de Laplace
Integração no tempo:
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Revisão: Obtenção da transformada inversa
Regra geral:
http://www.cpdee.ufmg.br/~earaujo/efp.pdfReferência
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Convolução
Considere a resposta ao impulso
A reposta para uma entrada x(t) pode ser obtida por meio da convolução com a resposta ao impulso.
{resposta de estado nulo}
{entrada}=
Uma definição alternativa para a função de transferência.
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Valores inicial e final
Teorema do valor inicial
O teorema do valor final se aplica somente se os pólos estiverem no SPE (sistema assintoticamente estável).
Teorema do valor final
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Exercício:
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Solução de equações diferenciais e integro-diferenciais
Exemplo.: 4.10 pág 335.
Modelo do sistema
Condições iniciais
Entrada
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Solução de equações diferenciais e integro-diferenciais
Exemplo.: 4.10 pág 335.
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Solução de equações diferenciais e integro-diferenciais
Exemplo.: 4.10 pág 335.
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Solução de equações diferenciais e integro-diferenciais
Exemplo.: 4.10 pág 335.
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Solução de equações diferenciais e integro-diferenciais
Componentes de entrada nula e de estado nulo
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Solução de equações diferenciais e integro-diferenciais
Componentes de entrada nula e de estado nulo
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Solução de equações diferenciais e integro-diferenciais
Componentes de entrada nula e de estado nulo
-1
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Resposta de estado nulo – função de transferência
Considere o sistema:
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Resposta de estado nulo – função de transferência
Considere o sistema:
Para condições iniciais nulas podemos escrever:
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Resposta de estado nulo – função de transferência
Lembrando que: e
Temos:
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Exercício.:
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Algumas funções de transferências importantes:
Exemplo.:4.13 pág 343
Atrasador ideal Diferenciador ideal Integrador ideal
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Exercício:
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Estabilidade externa (BIBO)
Considere o sistema representado em
O denominador de é o polinômio característico deste sistema?
Que possui a seguinte função de transferência:
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Estabilidade externa (BIBO)
Considere o sistema representado em
O denominador de é o polinômio característico deste sistema?
Que possui a seguinte função de transferência:
Nem sempre: fatores repetido no numerador e no denominador!
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Estabilidade externa (BIBO)
é uma representação externa!
Podemos determinar então apenas a estabilidade externa (BIBO).
Se todos os pólos de H(s) estiverem no SPE, os termos em h(t) são exponencialmente decrescentes, consequentemente o sistema é BIBO estável. Caso contrário o sistema é BIBO instável.
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Estabilidade interna [quando denominador de H(s)=Q(s)]
Um sistema LCIT é dito
Se e somente se
Assintoticamente estável
instável
Marginalmente estável
Ao menos um pólo estiver no SPD ou existirem pólos
repetidos no eixo imaginário
Existir algum pólo não repetido no eixo imaginário e não existir pólo no SPD
Todos os pólos da função de transferência estiverem no SPE. (Os pólos podem ser
simples ou repetidos)
Obs.: O valor das raízes características ou pólos independem do domínio em questão (tempo ou frequência).
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Diagrama de blocos
H1(s)
H2(s)
Σ
Conexão em paralelo
H(s)X(s) Y(s)
X(s) Y(s)
H1(s)+H2(s)X(s) Y(s)
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Diagrama de blocos
Conexão série (cascata)
H(s)X(s) Y(s)
X(s) Y(s)
H1(s)H2(s)X(s) Y(s)
H1(s) H2(s)W(s)
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Diagrama de blocos
Conexão série (cascata)
H(s)X(s) Y(s)
X(s) Y(s)
H1(s)H2(s)X(s) Y(s)
H1(s) H2(s)W(s)
Diferenciador!
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Diagrama de blocos
Conexão com realimentação
H(s)X(s) Y(s)
X(s) Y(s)
G(s) 1+G(s)H(s)
X(s) Y(s)
G(s)
H(s)
E(s)Σ
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Série de Fourier: representação de sinais periódicos
Motivação! considere o sinal abaixo:
0-π-2π-3π π 3π2π
1x(t)
t
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Série de Fourier: representação de sinais periódicos
Motivação! considere o sinal abaixo:
0-π-2π-3π π 3π2π
1x(t)
t
Como calcular a resposta de um sistema LCIT a este sinal de entrada?
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Série de Fourier: representação de sinais periódicos
Forma trigonométrica:
Coeficientes reais ou complexos!
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Série de Fourier: representação de sinais periódicos
Forma compacta:
Coeficientes reais!
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Espectro de Fourier(outra forma de representar um sinal)
Espectro de amplitude:
Espectro de fase:
n
n
-Π/2
0,5
frequência
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Exemplo 6.1 pág. 533
0-π-2π-3π π 3π2π
1x(t)e-t/2
t
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Exemplo 6.1 pág. 533
0-π-2π-3π π 3π2π
1x(t)e-t/2
t
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Efeito da simetria
T0
-T0/2 T
0/2
T0/2
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Efeito da simetriaFunção par
T0
-T0/2 T
0/2
T0/2-T
0/2
T0/2
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Efeito da simetriaFunção ímpar
T0
-T0/2 T
0/2
T0/2-T
0/2
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Determinando a frequência fundamental
As frequências são harmonicamente relacionadas?
Verificar a razão das frequências sucessivas!
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Determinando a frequência fundamental
As frequências são harmonicamente relacionadas?
Verificar a razão das frequências sucessivas!
Maior fator comum (MFC)
O maior número no qual todas as frequências são múltiplos inteiros é a frequência fundamental.
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Exercício E6.2
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Fim integral
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Série de Fourier: forma exponencial
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Série de Fourier: forma exponencial
Relação entre a forma exponencial e a forma trigonométrica:
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Série de Fourier: forma exponencial
Exemplo 6.5
0-π-2π-3π π 3π2π
1x(t)e-t/2
t
Determine a série exponencial de Fourier do sinal da Figura acima.
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Série de Fourier: forma exponencial
Espectro exponencial de Fourier
Traçamos os coeficientes Dn em função de n.
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n
Exemplo.: Espectro exponencial de Fourier
n
-Π/2
-2-3-4 -1 -2 321 4
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Resposta de sistemas LCIT a entradas periódicas
Lembrando que:
Então: