Aula_25_revisao

Prof. Eduardo Bento Pereira Departamento de Engenharia elétrica 1/2011

Sistemas lineares

AULA 25: Sistemas lineares

OBJETIVO:

Revisão para avaliação 3

Sistemas lineares


Por que da transformada de Laplace?

“Ferramenta que nos permite representar uma entrada arbitrária x(t) em termos de componentes exponenciais”;

Transformação de equações íntegro-diferenciais em equações algébricas;

Análise de sistemas LCIT no domínio da frequência.

Sistemas lineares


Revisão: Transformada de Laplace

Para um sinal x(t), a transformada de Laplace X(s) é dada por:

O sinal x(t) é dito ser a transformada inversa de Laplace X(s). Sendo:

Par da transformada de Laplace bilateral.

Sistemas lineares



Região de convergência (região de existência) da Transformada de Laplace.

Exemplo.:

Para um sinal determine a transformada de Laplace e sua região de convergência.

Sistemas lineares




Exemplo:

Pela definição:

Sistemas lineares




Exemplo:

Sistemas lineares




Exemplo:

Então:

Sistemas lineares



Região de convergência para sinais de duração finita.

Para um sinal de duração finita absolutamente integrável, a região de convergência é todo o plano s.

Relembrando: um sinal de duração finita é um sinal que não é nulo somente para

0 tempo (t)

1

Exemplo:

Sistemas lineares



Papel da região de convergência.

Ela é necessária para determinação da transformada inversa de Laplace.

Sistemas lineares



Mesma transformada bilateral, porém, diferentes regiões de convergência.

Sistemas lineares


Exercício:

Sistemas lineares



Transformada unilateral (sinais causais)

Sistemas lineares


Revisão: Propriedades da Transformada de Laplace

Diferenciação no tempo:

Sistemas lineares


Revisão: Propriedades da Transformada de Laplace

Integração no tempo:

Sistemas lineares


Revisão: Obtenção da transformada inversa

Regra geral:

http://www.cpdee.ufmg.br/~earaujo/efp.pdfReferência

Sistemas lineares


Convolução

Considere a resposta ao impulso

A reposta para uma entrada x(t) pode ser obtida por meio da convolução com a resposta ao impulso.

{resposta de estado nulo}

{entrada}=

Uma definição alternativa para a função de transferência.

Sistemas lineares


Valores inicial e final

Teorema do valor inicial

O teorema do valor final se aplica somente se os pólos estiverem no SPE (sistema assintoticamente estável).

Teorema do valor final

Sistemas lineares


Exercício:

Sistemas lineares


Solução de equações diferenciais e integro-diferenciais

Exemplo.: 4.10 pág 335.

Modelo do sistema

Condições iniciais

Entrada

Sistemas lineares



Exemplo.: 4.10 pág 335.

Sistemas lineares



Componentes de entrada nula e de estado nulo

Sistemas lineares



Componentes de entrada nula e de estado nulo

-1

Sistemas lineares


Resposta de estado nulo – função de transferência

Considere o sistema:

Sistemas lineares



Considere o sistema:

Para condições iniciais nulas podemos escrever:

Sistemas lineares



Lembrando que: e

Temos:

Sistemas lineares


Exercício.:

Sistemas lineares


Algumas funções de transferências importantes:

Exemplo.:4.13 pág 343

Atrasador ideal Diferenciador ideal Integrador ideal

Sistemas lineares


Exercício:

Sistemas lineares


Estabilidade externa (BIBO)

Considere o sistema representado em

O denominador de é o polinômio característico deste sistema?

Que possui a seguinte função de transferência:

Sistemas lineares



Considere o sistema representado em

O denominador de é o polinômio característico deste sistema?

Que possui a seguinte função de transferência:

Nem sempre: fatores repetido no numerador e no denominador!

Sistemas lineares



é uma representação externa!

Podemos determinar então apenas a estabilidade externa (BIBO).

Se todos os pólos de H(s) estiverem no SPE, os termos em h(t) são exponencialmente decrescentes, consequentemente o sistema é BIBO estável. Caso contrário o sistema é BIBO instável.

Sistemas lineares


Estabilidade interna [quando denominador de H(s)=Q(s)]

Um sistema LCIT é dito

Se e somente se

Assintoticamente estável

instável

Marginalmente estável

Ao menos um pólo estiver no SPD ou existirem pólos

repetidos no eixo imaginário

Existir algum pólo não repetido no eixo imaginário e não existir pólo no SPD

Todos os pólos da função de transferência estiverem no SPE. (Os pólos podem ser

simples ou repetidos)

Obs.: O valor das raízes características ou pólos independem do domínio em questão (tempo ou frequência).

Sistemas lineares


Diagrama de blocos

H1(s)

H2(s)

Σ

Conexão em paralelo

H(s)X(s) Y(s)

X(s) Y(s)

H1(s)+H2(s)X(s) Y(s)

Sistemas lineares


Diagrama de blocos

Conexão série (cascata)

H(s)X(s) Y(s)

X(s) Y(s)

H1(s)H2(s)X(s) Y(s)

H1(s) H2(s)W(s)

Sistemas lineares


Diagrama de blocos

Conexão série (cascata)

H(s)X(s) Y(s)

X(s) Y(s)

H1(s)H2(s)X(s) Y(s)

H1(s) H2(s)W(s)

Diferenciador!

Sistemas lineares


Diagrama de blocos

Conexão com realimentação

H(s)X(s) Y(s)

X(s) Y(s)

G(s) 1+G(s)H(s)

X(s) Y(s)

G(s)

H(s)

E(s)Σ


Sistemas lineares

Série de Fourier: representação de sinais periódicos

Motivação! considere o sinal abaixo:

0-π-2π-3π π 3π2π

1x(t)

t


Sistemas lineares


Motivação! considere o sinal abaixo:

0-π-2π-3π π 3π2π

1x(t)

t

Como calcular a resposta de um sistema LCIT a este sinal de entrada?


Sistemas lineares


Forma trigonométrica:

Coeficientes reais ou complexos!


Sistemas lineares


Forma compacta:

Coeficientes reais!


Sistemas lineares

Espectro de Fourier(outra forma de representar um sinal)

Espectro de amplitude:

Espectro de fase:

n

n

-Π/2

0,5

frequência


Sistemas lineares

Exemplo 6.1 pág. 533

0-π-2π-3π π 3π2π

1x(t)e-t/2

t


Sistemas lineares

Efeito da simetria

T0

-T0/2 T

0/2

T0/2


Sistemas lineares

Efeito da simetriaFunção par

T0

-T0/2 T

0/2

T0/2-T

0/2

T0/2


Sistemas lineares

Efeito da simetriaFunção ímpar

T0

-T0/2 T

0/2

T0/2-T

0/2


Sistemas lineares

Determinando a frequência fundamental

As frequências são harmonicamente relacionadas?

Verificar a razão das frequências sucessivas!


Sistemas lineares

Determinando a frequência fundamental

As frequências são harmonicamente relacionadas?

Verificar a razão das frequências sucessivas!

Maior fator comum (MFC)

O maior número no qual todas as frequências são múltiplos inteiros é a frequência fundamental.


Sistemas lineares

Exercício E6.2


Sistemas lineares

Fim integral


Sistemas lineares

Série de Fourier: forma exponencial


Sistemas lineares


Relação entre a forma exponencial e a forma trigonométrica:


Sistemas lineares


Exemplo 6.5

0-π-2π-3π π 3π2π

1x(t)e-t/2

t

Determine a série exponencial de Fourier do sinal da Figura acima.


Sistemas lineares


Espectro exponencial de Fourier

Traçamos os coeficientes Dn em função de n.


Sistemas lineares

n

Exemplo.: Espectro exponencial de Fourier

n

-Π/2

-2-3-4 -1 -2 321 4


Sistemas lineares

Resposta de sistemas LCIT a entradas periódicas

Lembrando que:

Então:

Aula_25_revisao

Documents

Transcript of Aula_25_revisao