7/28/2019 CAP.3-FUNÇÕES AFIM
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Antônio arlosegou m áxipara r à casa esuanamorãdâue ca a 15kmdedistância.0aorcobradonglobapreço
aparcelaÌxa bandeiradâ)de R$4,00maisR$ 1,60porquilômetroodado.0uânto Ìe agou o âxÌsta?
Ele ãgou 5.R$ ,60 R$24,00 eta isrânciapercorridamaisR$4,00pela andeirãda;useja,pâgou $24,00 R$4,00= R$28,00.
Seâ case anamoradaicêsse 25 km dedis-tãncia, !alseria preço acorridâ?
Temos:5 R$1,60 R$4,00= R$44,00.Podemosotar ue, arâ adâ istânciâÌercur
ridapelo áxi,há cerro reço (x) pâraa cornda.0 valor (x)é uma ur'ìçãoe .
É ácilencontraraórmula ue xpressa(x) mfunção ex:
c(x)=t '56"*O'OO
que umexemploe unção oinoÌnialdo9grauufunção fim.
Í ! f lÊtÌ1Ef.5n
Chama-ser-tniìàcolinr)rÌìl ,) 1!gr;rLt,u r,r,çãoâfirn, qualquer!nção/ deR em R dada orumâ eidâ orma(x)= ax+ b,emque e b sãonú,meroseais ados â + 0.
Nâ unção(x)= ax+ b,o número é chamadocoeficienteexeo númeroé chamâdoefmo ons-tan(e.
Vejamosguns xemplose unçÒesolinomtarsdo 19grau:
.f(x)
=5x-3,emquea=5eb=3. f(x)= 2,,-7,"rOr. a=-2eb= ?
21). rrx)=ã+;,emqueâ=ã eb=i
. f(x) 11x,emuea= 1 b=0
brat te0 gráfico euma unção olinomjâlo 19 rau,
: - ar' b,coÍ a - 0,é uma età bl,qJêosetxos0xe09.
I=3x-1o gráficoda Íunção
Como prãfco urne eÌa. asÌabter otsdeseus orÌtos ligá-losomo auxílioeuma
requa:
3rì
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or,ro on,o" la. oì.' \ l /
. Para= 0, emos= 3 0 1=-1;portanto,umponto(0, 1).
. Para=0,temos0=3x-iportanto,x=+e3
/i \
N4èrcamoss pontos0. 1) e { -. 0) ^o'J /
plânoanesiênoLÌgâmossdois om rmaetâ
' , i r0t
+o
vam0sconslru o
!= 2x+3
. Pârâx=0,temosg=-2umponto (0,3).
gÍáf icoda íunção
'0+3=3;portênto,
. Para = 0, temos0 = -2x + 3; portanto,1 /r \
x=; e ouÌro onÌo(:, 0J.
03
+o
Alêi = 2x+3étambémhemâda
Vejamosomo bter equâçãoa eÌã uepassa elos onlos (-1,3)e 0(1,1.).
A etaPQtem quâçãog=êx+b.reciserÌìosdeterminaÍe b.Como 1,3) peÍtenceretâ:
3=a( 1)+b,ouseja,-a+ =3
Como1,1)pertencereta,emos:
1=a 1+b,ousela,a+b=1'
Assìm,d b satìsfazemsistemâ
[Jma ontadoraeveículoslânejaumen-tar.uã prod. àoãc e-ce^tando,Í cèdames.r veícu sa mais ue quântidaderoduzidaomêsanterior ográÍico seguir, possívelsa-beronúmero eveículosabricadoso59e 209mês contedospartir a mplantaçãooplan0
deexpansão).oual o valor en?Qualoiâ quantidadee
veÍculosendidoso129mês?
f
I â+b=3[â+b=1
cujasoluçãoéa=eb=2-Ponanto,âequaçãoprocuradaég=-x+2.
8000
5 000
No eríodode5meses59 o209mês) ãoproduzidos000 - 5 000= 3 000 veículos.como aLtmentoensalconstânte,oncluímos
q-e,oorne..saoÍabcèdo5': ."" 200vet.15
culosn= 200).
Do59ao 129mês(7 meses) ão abricados200 7 = 1400veículos mais. ssim, o 129rnês, prod!çãoerá e1400+ 5 000= 6400
vecul0s.
' i '
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ffi Ëlxtrí'f,íciçlsl. Faça gráficodasseguintesunções e R emR:
b) y= 2Ì+4
lï . Todas s unçOeseguintes ãodo legnu€possuem ermo independente ulo. Sãochamadasíirncõcs ineâr.rs. açao gráÊcode cada urna,destacandouma propriedade comum.
a) Y=2x
b) v= : '
3. I- .adacaso,.presente,o mesmo istemacartesiano,sgráficos as unçÕesíe destâ
candoascoordenadaso pontode nterseçãodesses ráficos:
r / Ii í \ ì - 2i 3 l : , I i ,xr - 2x
lgíx ' - r h lg lv ì- r r t
ty {f(x)=*+ t
lg(x)=x+3
4. A um mêscìeuma competição,m atletade75kg é submetidoa umtreinameÌ1tospecíâcoparaaumento e massanuscuìar,m quese
anuncìam aÍìos de 180gramas or dia.Su-ponìa que ssorealÌnente corm.â) Determine "peso" o adeta pós mase
mana leúeÌnamento.b) EìÌcontre lei queçlacionao "peso"do
atleta p) em unçâo o númerodediasdetreinamento r). Esboce gráÊcodessafiinção.
c) Seú possiveÌqueo atletâ atinja ao menos80kg em um mêsde reinamento?
L5. Qual é a Ìei da funçãocujo gráficoé uma retaquepassaelos ontos:
.a) ( -1,s)e(2,4)? c) (0,0)e( t ,a)?b) (3,2) e (2, X d) (3,2)e(5,2)?
Ê, t m renrledore. be msalarioi \oemais mapdrle rrià\el, onerpondente(omi,. . ìoobre o totalvendido m um mês.O gráfico e-guinte nforma algumas ossibilidadese salários em funçãodasvendas.
700
550
c) Y=3x+2d) y= .-z
5000 8 000
7"
(vendâs ênsaisem cais)
a) Encontre a Ìei da função representadapor
b) QuaÌ é a parte 6na do saláÌio?c) AÌguém da loja âfirmou ao vendedor que,
seele conseguisseobrar asvendas, eusa-ltuio têmbém dobmÌia. Tal êfinnação é 1er
dadeira?Explique.Durante uma década, erificou-se ue úm colegio;pre.enrou rndecre,cimo;neJrno ndnero de matrículas, omo mosirao gráficose-guinte:
a) Quantos Ìunos escoÌaossuíam2001?b) Quantos Ìunosa escola erdeude 1995
a 2005?c) Suponhâue, partirde2005, ajaum au-
mentode 30 mâtículas por ano.QuantosaÌunoseráo colégio m2010?
5 .- - - , __ -. I | rv \Pr u vdtor lualde un)amaquìnjR$ 10000,00.stima eque,após10 anosdeuso,seuvalorcairáparaR$ 1 000,00. screvauma unção ineârque epresentevalorVdessamáquiÌìa m unFo do tempo , medidoemanos.
Y, A !dlordçao nual opre5oemreci .7deumrpeçade ârte é constante. eupreçoatualéR$4 500,00. uatroanosatrás, peça ustavaR$3 300,00. ualserá preçodessa eça a
qÌri a cinco anos?
{
.1c) y=Tx
4ü
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10. (UF-sC, adâptado) Dois líqüidos diferentes
encontram se em recipientes dêÌlticose têú
t L{asde evaporaçãoconstantes.o liqúdo I en
cont.a-senicialmente m um nívelde 100mm
e evdpora ecomplelrmenle o quadragé\ìmo
dia. O Ìíquido II, iniciaÌmente com nível de
80 mm, evapor4-secompÌetamenteno quadra-gésimooitavo dja.
a) Encontre, aracada íquido,a ei dâ unção
que representao nível (/), em mm, atingi
do no recipiente pelo liquido no dia r.
b) Deiermine,antescÌaevâporação ompleia
de ambos,ao finaÌ de qual dia os Ìíquidos
terãoo mesmonível (em mm) lessesmes-
mos reclplentes,
11. Na Ìeiy = a + 2,5x,em çlue r é uma constante)
e.ra ela.on.rdo ralor1el.rì; , ì ern e.r i ' . . rgopof um usúário que acessoua internet por
,r horas,em um cibercafé.SabeniÌoqueuma pes
soaqueusoua redepor 2 horaspagouR$ 8,00:
a) determine o valor de d;b) enconüeo valorpagopor um usuárioqüe
acessou redepor 5 horasj
cr ã\d o graf iLo euem un.;odeÁ /\ io l-ermitidos fracionâmentos e hora).
12, (ur nl) u-;a.oclúbe propõe seuslientestrês opçõesde Pagamento:
' opção I: R$ 40,00 de taxa de adesãoanual,
maisR$ 1,20por DVD alugadoj. opção lI: R$ 20,00 de ta-rade adesãoanuaÌ'
maisR$ 2,00por DVD aÌugadoi. opçaol l : R$100porD\ D alugrdo.'em àxa
de adesão.
Um clienteescolheua opção I egastou R$ 56,00
no ano. nssecÌieüteescolheu melbor opção
de pagamentopara o seucaso?ustrfiquesuarespostâ.
13. Considere ma tunçãot cujo domínio é [0,6]e seugráfrcoé representâdo seguir.
Í.4. o uoÌo. d. .,ma máquina agrícola,adquiridaporUS$ 5000,00, oíre,nosprimeitusânos, e
preciaçãodesvalorizâção)ineardeUS$240,00por ano. ale Jlìn8ir 28oo o v;ìor de rqui-
sição,estabilizando-se m toÌno desse aÌoÌ
a) Qual é o tempo íanscoÍrido atéa estaÌrili
zâção de seuvaÌor?
b) Qual é o valor mínimo da máquina'7
c) Façaum gráficoque represente situação
descritano problema.
ãf rnJávirnos ue gráficoa unção fim = ax+ b
éuma eta.
0 coeÍicienteex, o,é chamedooeíìcienten_
gLrlaf a etae se refere nclinaçãoa etaem ela
çãoaoeixo0x,conforme prenderernoso capÍtulo
deGêometrianalít icâ.
0 termo onsranÌe,, é chamàdo: ' ' . t I
neaf â eta. ãra= 0,temos=a' 0 + b= b.Assim,
o coeficienteineaÍ a ordenadâoponto mque
retacortâo eixo09.
ffiil *HercieimçX5, ldcntif iquecoelìcientengular a c o 'oefi '
ciente inear (r) de cada unçãosegulnte:a) y= 2x+5b) y=3x Ic) Y=qxd) v=x+:
b) (3) , t(+)
iloefíciegrts*n unçã*
CaÌcule:
' '(+)
t
4t
eJv
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lr.ii.No gráíìco eguinte srá epresenrrdovoÌu-n1ede petróleo xistentem um reservatórlode26m3 niciaÌmenreazio.
CdlculoaêbscissêoponÌo rrque grál icodeh x)= -2x + 10cortao êixodasabscissâs.0 ponto r que g.áÍ icoortâ eixo os eaquelemque ír) 0,enrào:
h(x)= 0 +-2x+ 10= 0:+ x= s5 200
2600. - ' l
f
ì) Im quanto empo o reservâtório staráúeio?
b)Qual
é a ei quee.pressa volume r:),emütros. cperroleoü,renleìo c\er\ . rtorio
em rÌnção o tempo r),emhoras?
ãwnnChemâ-se!-Dou Jt ; da unção olÌnomialo
19 rau(x)= ax+ b,a + 0,o númeroealx alque
f(x)= 0.Ìemos:
' f (x)=0=ax+U=0=x=-!a
Então, raizda unção(x)= ax + b é a sotução
daequâçãoo19 rau x+ b= 0,ouseja, =-! a
Vejamoslguns xemplos:
. obtençãoozero.dalnção (x)= 2x 5:
Í (x)=0+zx-5=0+x=!2
CálcLrloa âizdã unção (x)= 31a 6,
g(x)=0=3x+6=0=,x=-2
lfÌk#ffi;ií"ii"ilt,f ;,ii$ ffii :'', Resolva,mR,as eguintesquaçõese egrau:
a) Ì2x+5=2x+8b) 5(3-x)+2(x+1)=-x+scl 5x+20(t -x)=5
d) -x + 4(2 x) = -2x (10+ 3x)15x4
' ' 3 - 2=
2 * J
rì óx x+3" i 2 =a- '
ìÌrri, (UF-PE)Pedro em 6boÌasdemetatdeucslropesop. Pâm calcuÌar , Pedrocolocou5 boÌasem um dos pmtosde uma balança a qLLeestou, untâmenteconÌ unì cubo pesando100g,no outro pÌato, e observou que os pratosdabalançaficaram equilibrados (veja figura abair.o).Indiquep, nedido em granìas.
i.,ii. Um pai quer distribuiÌ Rg 120,00enÍe seustrês fìÌhos, aqri detominados Á, B e C, demodo queB receba dobro de C e Á recebadobro de B somadoao que cabea C. euantoreceberá âdâum?
i i l , Cartos + anosmaisvelhoqueseu Ìmão André.Há 5 anos,â somade suas dades râ 34 ânos.
a) QuaÌé a dadearuaÌde cadaum?b) Dâqui â quantosanosa soma de suâs da
desserá guala um século?
ìv
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?i., (ur rt) MaÌia faz hoje 44 anos e tem cladoum duro danadopara sustentarsuas rês fi-
thas:Marina, de 10 ínos; ÌvÍarisâ,de 8 anos;
e Màrd.dc' dno..MJr iadccid iu 1u. rra uma\ iJgem o NoÍde"lc dra i . i .ar 'eLt 'pai" no
dia do seu aniversário, uando sua dade
for iguaÌ à soma das dades de suas rês fi-lhas. Com que idade Mâria pretende âzer a
víagem?
li Ê. oetet-i". a raiz de cada una das seguintestunçoes:
a) Y=3x 1b) Y=-2x+1
-ì , , , 31 5") | -
Notemosue, uandoumenternosvâlordex,oscorrespondentesaloÍesegtambémumentam.Dizemos,então,queefunção!=3x-écre!:cenle.0bserve ovamenteeugráfico.
ConsÌderemosunção = 2x+3.
Vamos tr ibuir alores ada ez naioresx eobservar queocorre om9:
ffiïsiffiü1ffi&ãil, ' _3 ir r ,g 11
-27
:+:: 5: :rl
: r :r i , : :
?L
3 r: , j ' l
Notemosue, uendoumentâmosvalordex,os orrespondentesvaloreseg dimìnuem.izemos,então, ue função =-2x+ 3 é d€'l]r.scí r.0b-
serve ovâmenteeugréfico.
Regra eral:
r,.Afunção o19grau(x)=ax+b é crescentequandocoeíiciêntedêxéosit ivoâ> 0).
' A unçào o 19 rau (x) ax r b é decres-centequando coêficientêe xé negetivo
L
: r ,11, r ; :2r ' :1
25: i3, 'r , ; ts:r , ,
{
d) v=+*.2xl
â3. seja uma fìnçaof(x) = ar 3. Se 2 évaÌorde (3)?
reaÌ def inida pela leiraiz da tunção,qual é o
â4, seja r a reta representàtivado gráfico da funçãoy = 2x- 2 eA eB ospontosem que intercepta
o\ cì\o. e . re\p<Lr:ramenlc.e
O e a or genìdo sistena cêrtesiano, uaÌ é a áÌeâ do trjân-guÌo OAB?
ilnms*irnmnt*de*rrysçirn*ntr:
Considefemosaunção o19grau= 3x 1.
Vamos tr ibuir elores ada ezmaioTesx e
observârque corre om :
i
l
4i
(a< o).
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Vêmos iscutir,m unçèo opârâmetro,a vãriaçãodecrescente,onstente,rescente)dâ Lrnção= (m- 2)x+ 3.
Se a eide maunção parecefutra ârá-ve a ém dãsd!âsqueeslão e relâcionando(xe g),essa ariévelchâmada . Nâexpressãom 2)x+ 3 avariávelrìncipâlé,em é umparâmetro.
0 coeficienteex nessa quação rn 2.assm, em0s:
 1. êoé dêr e5ce.te em - 2 0. o. )e ju.sem<2-Afunçãoéonstanteem 2:0, ouseja,e
m:2.AÍ|]nçãocrescerìteem 2>0,oLtsejâ,sem>2.
Vamosstudarsinal a unção = 2x 1Essaunção olinomlao 19graLtpresenta
a-2 'Oe ët /^- I A uncooc.escenìea
I '
reta ortè eixo xnooonroI
zL ' Ì ,Yto
,rlrlirl:1.iiiiiq>o =
">4
Vâmosstudarsinal e unção =-2x + 5Essaunção o199Ëu presenta= 2 { 0
e râiz =:. A unçãodecrescenteâ eta ortâ
^5ex0 ux no p0nÌ0ã.
I
='.+s1ÏÌÉÏï$i,j,: i i i, .' itïfÉílã#.ffitr
I r . r . . r Iq.e\.r .r . rLÌ,rL ld. l t r . . , i . . .9 | r l . , . tn
crescenrcou oecresceÌìÌ!è:
i ì ) , Í=3x-2
bl ,v= Ì+. i
-r . . - 5 2r
e) v=(r+3)r (x+ ì)r
l ' . r . que " lnr ' . r . r i . l , , , , r r j ì . , r^ ct 'nid'
a) l ( \ l = l ÌL 2 é crcsceüte?
b) g(x) = (m + 3)x + I édecresceDre?cl h(x)=( m L 2)x é crescente?
ì :
; .1!dâro sinãl euma unção ualquer= f(x)é.Jeterminarosvaloresdexpârasquais éposit i -
! ,0. Lrg zero, ug é negativo.
!,
2
-.+",+
.i.:
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1:: i ,1,: l- l : :(1.,=#Àmffi:".'ii'l' ," ":i"tl:, fiffi*Em cadacaso, studeo sinâ1 a função cpre-
scntadì o gráfico:
de cada utra dâs lìnções se-
Vamosesolver nequâção:
4(x+1) 5< 2(x+3)
Essa LImênequaçãoo 19 Éuquepode.er re.olvidaen o e<udodecina dè u çàoafim. ejarnos:
19) esenvolvemosspârênteses:
4x+4 5<2x+6
f
: : i EÍ tdc o sìnaÌ
guintes:
5
,.::l liâca o estudodo sinal c1aunção represertadano gráÍìcoseguinte:
Passamosodos s ermos ue ontêm n-cógnltâpara 19membro:
4x 1 2x<6
Passamosodosos ermos onstantesarao 29membro:
4x 2x<6+1-2x<7
DividÌmossdoismembroselo oeficientede :
Vâmoseso eranequação< 2x+3 < x+ 5.De ato, ãoduasnequaçõesÌmultâneas:
2")
4ï
"=+s={-em "<}}
'2 1<2x+3 @ e 2x+3<x+5 @ràcalnosG_).1= zx+ I
1<2x+3=-2x<3-1= 2x<2+x> 1
0bservemosue, odividir mbos smembÍos or mnúmero egativo,evemosnverter
o sentidoadesiguâldade.vamosesorverz_l x+.J< x+ 5
2x+3<x+5=2x-x< 5-39x<2
AgoÍa nterseçãoasduas olLrções:
s2
Resposta:-1<x<2
)=tx c u{ -1=x1.1
4r
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x+74
s) (x-3F (1 x)r
rr 3ï l : : ' -=
ParaesolveÍ nequação-produto(a-3x) . (2x 7)>0,devemosâplicaroêstudodosinaldaunção fim.
FaçamoSt = 4 3xe estudemossinâl e. 4- -9Ì . ernosA=J<-UeTaZX=
3,Lnleo:
o!.
Vamos eterminarsinal e92= 2x 7 Íe,
mosa=
2 > 0 e raizx=á. Então:
z .-.
.: i :. , ,e.dif..."ça entre o dobro de um númeÌo e âsua nìeiadeé menor que 6. Quaisos inteirospositì1'os ue sãosoÌuçõcs esse robÌema?
.i,:i, Como p.esented. aniversário,Mauríqo recebeu RS 190,00de sua âvó. A partir do mêsseguinte,ele passoLL Ìetira! mensaÌmente,R( .28.00. Ine,adatLe ecehe iscu, p. . . rfim de fornur um pé de-meia.
a) Conroseexpressa valor (r) queMauricroteráguardadopassados |ìesesdê datx descuani1.€rsário?
b) Quâléo tempomtuimo necessárioara qucovaloracumuÌado or elcsupereR$500,00?
;.ì.lr Em uma cidade,h:t duasempresas e taxr:a cB.A empresa cobraR$j4,00pelabandejradaeutt adicionalde 65 centar-osor km rodado;aempÌesaB coìrra R$ 3,20 a bandei radae umâdicionaÌde 70 centavos or kÌr rodado.
.) Qual ó â opçãomaiseconômìca araquemfizerunta viagemd€ 6 km?E 30 km?
bìq
p. t. deqr. 'r ' ro.<Ir i lonrrtrord.iagcrna cmprcsaB cleixa e se1 naisecorórnica?
";i'ì Duas an oascs,Ac B,localizadas mummesno bâirro. dor,,rr rr n., d ' fc cnrc,dc prc-
ços,eÌì funcàodo teÌnpode acesso,como'ìostÌa o gráfìcoseguinte:
t
!z32
EstudemosgoÍa sinal oproduto 1U2.
tt tz l
A nequaçãoergunta:Paraue eloresextemos 1 92> 0?".
ResDosË:<x<4' l l
*ïqffi ilj{:r1lfl,.':I: ïi,rt];b{ffi"::l11nesoÌva,m R, asseguintesnequações:
â) x-3< x+5b) 3. (x 1)+4x<-10c) 2(x- l) - 5( l -x) > 0
d)
e)
i - *+*<x
x Ì x-2,^3 2 ='
b)
Qual deÌascobra entrada?Qual é o valor
A partir de quantos minutos de acessomêiseconômìco scoÌhet lan house ?
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3 5. 1uf-n1 U-u op"tadorade celuÌaroferece loispÌanosno sistema ós pago.No pÌanoA,paga-se uma assinatura e R$ 50,00e cadaminutoem ÌigaçõesocaiscustaR$ 0,25.No pÌano B,paga-seum valor fixo de R$ 40,00 para até 50minutos em igaçõesocaise,a partir de 50 mi-
nutos, o custo de cadâ minuto em ligações o-caisé de R$ 1,50.
a) CaìcuÌeo valor da conta em cadaplano paÌaum consumomensaÌde 30 minutos em li-gaçõesocaN,
b) Determineapartìr dequantosminÌrtos,emììgaçòe,ocai. . planoB deixrd< <r mai.vantaioso do que o plano Á.
JE. íU.ËViçosdM6ì Um, omercidnree.ejr om-
prâr um entre dois canos usados,O catro ÁcustaR$ 5 000,00e 1ãz8,4quiÌômetrospor Ìi-
. tro de gasoÌina, nquantoo B custaR$ 7 000,00e faz 12quiÌômetrcspor Ìitro. À gasoÌìna ustacerca de R$ 2,00 o litro. Ambos os carros estãoen boas condições, ortanto espera-se úe ocustode consertos eja esprezíveÌmédiopla-zo. Considerando esses ados, aça o que sepede:
a) CaìcuÌe o valor, em rcais, gasto com com
bustível dos carros Á e B, após rodarem2 520km.
b) Aralise o gráfico abaixo, que representaquiÌômetros rodadospor gâstos comcombustíleìe custo do carro) e determÌnequantos quiÌômetros o comeÌciantedeverodarantesqueo calro B se ome â meÌhoÌ
3,J. n"otva
asseguintesnequaçõesimultâneas,serlclo .l = K:
a) -1 <2x<4b) 3<x- l<5c) 4>-x> 1d) 3<x+1< x+6
e) 2x< x+9<5x+21',ÌtÌ. ResoÌ,la,m R, os seguìntesisremai e ne-quaçoes:
^\ l -3x< 1 2x" Ì+ : (z-*)>x, , Íx+1<5xol
is '<-*+2
Í*sz- '"ì -'
1x+l> 2x 4
ls-2(x3)< sx+Ì5
;3Ë.grnu1n.o6or" ""utomóveis
ferecerês.pla-nosaseus lientes:. planoA: diáriaa R$80,00 omquilometra-
gem ivre;. planoB:diáriaâ R$30,00 maisR$0,60 or
quilòmetro rodado;r planoC diária R$40,00 maisR$0,50 or
quiÌômetroodado.a) Qualé a opçãomú econômicaaraalguém
quedesejacdar 60 km por dia?E B0kmpor dia?
b) A partir de quantos uilômetrcsnteirosrodadosmum diaoplanoÁ é mais conômicoqueosoutrosdois?
rl i,, nesolva, m R, as nequâções roaluto:a) (x 1) (x-2) > 0b) ( 2x+1).(3x-6)>óc) (sx+2).( l-x)<0d) (3 2x) (4{+1) (sx+3) >0e) -x.(2x 1) (x 3) > 0
' i I . Ouunr"t ume'o,,nteirosrt ta-/em nequi-ção 3x 5) . ( 2x + 7) > 0?
lj. ,Estabet.a o domínioda funçãodefinida or(?x 1).( 4x+ 8).
{13,ResoÌvasseguintesnequaçõesm R:a) (2-x).(x 2) >0b) (x-3) i (2x 6)> oc) (2x- l) (1 2x)> 0
47
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10x 15- '^
"EstudoosÌnaÌ egL=
à=I0>0eraizx=+I
32
Vamos esolver inequâçàouocente
negativo,ependendoovalor ex), nãosâbe-remoseosinaldaesigualdadeeveráerman-!roo L nverr:do.oísso. Ì i l i7ã'eÍ so segute procedimento:
t l<a-t l a<n-2-A ? x
= (x+3) 4(2 x) <o= 5, 5 <u2x
.1?L;.6
b) <0(2+ x) . (-rx- l)
10x 15
*
e . '
. Estudoosinal eVz 5 4x
a= 4{0eraìzx=!4
Eagorâ plicarnosmesmaécnÌcaÌsta oexemp 12.
0utrâ plicaçãoo estudo osinal eriâobtençãoodomínioeuma unçã0.
Vejânos omoobter domrnroa uncdot---=
clefinrdaor 1x.1 / ÌÌ1.\ 1+.x
Devemosmpor ue radicândoeja ão e-gâtivo,stoé:
x+3 >n
1+2xEãgora plicamo. me-ma ec^cdv \la
exemplo 2.
a) -Il!= 0b)++<ouer.rrì ì r. u !onJr ìrú uru\du a\ rr, Ì0JçocçquocieÌÌie eguintes, endoU = R:
(x+ 1) (x-2)
q2
It#,ffi.#:r,.,.,rr,' :,''i ì,. Íii*qffi' K.çOr\J ( r t{ n\ IneqJn.^e\ qr urr r ìL\ :
' . . e
Estudoosinâl oquociente!92
-Y1
A -equeçaoe'guntà:Para ,e v"lo e. de"
Re"oosÌà:' 'ou,( . -- lNoÌemosoue4 Z \
J--Q9çq1'pp6r6q - 0pLl -0. |-sonos
9zobnqa rnclurrpenasraiz eq,.l-- l
v! tVamoseso erà nequaçáo
-
< 4.
Se, implesmente,uhiplicarmosmbos s
membros or2 x (quepode eÍ posit lvo Lr
4!1
oq3j4=
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' ' " j " Kesolv.r .nì L{ j Jr LLì(quaçoes:
: l " - >- l2x 1
, 4r+ l - ^)-<
- l
c)
-<Ì! l ld) :+:>
;ì rì, A paÍú do giáfìco seguinteresoÌva as ine-quaçoes.
a) f(x) g(x)> 0 ul -!9f <oglxl
,. ,: EstabeÌeçadomíniode cada unção eguinte:f
_ r-:-=b) y=Jx+ /+ \ x-r
. /4x-3
(uEc'c,o(J
t!c)
íu(J'{=
'.(oE0)gíu
Funçõescusto,receitae lucroUmêpequena oçâria,nstalada m umagaÌeria omercial, roduze comerciaÌizâhoco-
Ìates.Para abricá os,háum custoÊxomensaÌ e R$ 360,00, epresentâdoor CF,qu€ ncluialugueÌ,onta e uz, mpostos,tc.Alémdesse,á um custo ariávelCv),quedependeaquantidadeechocolatesrepâradosr). lstima sequeo custodeprodÌrção eum choco-ÌatesejâR$ 0,30.
e!
E
Assim,o custo otal rÌeÍsÀI, C (C = CF+ Cv), é dadopor:
C(x) = 369 * q' t ì(
o preço de venda unitário do úocoÌête é R$ 1,20.ÀcìÌniúemos, neste momento, que o
preçodevenda ndepende e outros àtores.
A ïeccitâ faturamentobmto) dessa oçariaé definidapor:
R(x)= 1'2 x
ou sejd,é dadapeÌo produto entre o pleço unitríio de venda e o número de unidadesprodu_
zidase vendidas x).
Por fìm, o lucro mensal,l (faturamentoíqÌrido),desse stabelecimentouma funÉo de
'ç grdudaddpor:
L(x):R(x)-C(x)
L(x) = 1,2x (360+ 0,3x)= 0,9x- 360
"ì r
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Vamosobservar, seguiÌ,os gtáÊcos asÂrnções ustoe receita.
600
480
424390360
240
500 x (!ndades rocruzidas
y= 0,3x 360
!
100 200
Verificâmosueas etas e nteÌceptamm P(400,480).O pontoP é chamado orto d€ nivel n€rìio(oupontocriricÒ), oisen]p â receitá
sufrcieÌÌte ara guaìaro custo otal, azendocornqueâ oja deix€de ter prcjuízo.Obseweambém o giáíico:
. região: C(x)> R(x)(x < a00)- L(x) < 0 * prejulzo;
. regiãoI: C(x)< R(x)(x > 400) * L(x)> 0 * lucro.
Imaginerm mêsemquesejarn rotìuzidosvendidos00brigadeiros:
. o custo otaÌmensaÌ m eais C = 360+ 0,3 600= 540;
. a receita ensal btidaem reais R = 1,2 600= 720;
. o luqo mensal orrespondentem reais 720 540= 180(ou = 0,9.600-360 540 360= 180).
Por outro lado,se em um determiÌ1ado êsa doçarìaopeÍaÌ com um prejuízodeR$ 90,00, odemos eiermiÌÌar quantidade e brigade;rosomerciâÌizadosa seguinte
ComoL(x)= 0,9x 360, âzemos:
-90 = 0,9x- 360+ 0,9x= 270+ x = 300
Foram omerciaÌizados00brigadeiros.
1.
â) Ì0,15 c) 30,27bl 20,12 d) 3i ,40
#ilffiR*ffi*{iffie vestibulares fim(U|-ES)O bancoMlÌtreta& CambaÌacho obrâumatarìfaparâmdlutençãode conta TMC)da seguinteformê: uÌìa tâxa de R$ 10,00mensaise maìs umataxadeR$ 0, s por cliequeemitido.O bancoDakahTorÌ Mâlah .obÌâ .le TMC uDra axa d€ R$ 20,00
mer'J. . e n. i . r ' ìJ J\dde Rr 0. l2poÍ rh.q " . r i
tido. O sÌ. Zé Doularé correnÌÌstrdosdois bancosemite,mensâlmente,0 chequcs e cadabanco.A somadasTMCS,eÌn reais, igasmcnstìlncntepoÌ
i:,;.1
e) s0,27
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í , í t nrcdp-Pl ì q tunçJodef inidano conjunlo do\reai\. epresentâdaelografco na igurd abdixo.e:
b) Y=t '+x+ Ic) y=3xd) Y=x+ ze) v =2x+2
3 . (puc ttlc) pu.u " to'nar rentável, magrarja deveenüarparâo âbâte . frangospor dia, demodoqüesejâsãtisfeita desiguaÌdade,5x + 80< 2,5x 20.Nessâsondiçoes,ode-se firmaÌqueo menor alor
7. (UE PA) Nas eirasde artesanato e BelémdoPará,e.omum.nopenodo araLro.renú dearvo-e.de nataÌ feìtâscom raiz de pâtchouÌi.Um artesãoparaenç e,ol\eu ncremoLar'uap"oduçaorres-tindo R$300,00naconprã de matériâ-prìmaparaconÍeccionáas aopreçode custodeR$ 10,00 uni-dade.Com a ntençãode cnder cadaârore aopre-
ço de R$ 25,00,quantasdeverá endeÌ paÌa obteÌ
â) Mais de 8 e menosde 12 uvores.b) Mais de 12e menosde 15 áÌvores.c) Mais de ls e menosd€ 18 árvores.d) Mais de 18e rnenosde 20 árvoÍes.e) Mâìsde 20 áÌlores.
V. ' vune.p-SPr arlo'úabalha omodnr iortev DI
' e cobraüma taxa ixa de R$ 100,00, ais R$20,00por hora,paraanimar uma festa.Daniel,namesmâ
tunção,cobrâumâ taxa ixa de R$ 55,00,maisR$35,00 orhora.O tempomáximo eduraçiodeuma festa,paÌa quea contÌatação e Daniel não iquemaiscaraquea de CarÌos,é:
b) s horas
9. (udfoÌ-CE)A soma
t
c) 300d) 400
4. { ààp-SP m Iqcq.umdndu.srÌüab'cou4 000 nj-
dades e um determinado Ìoduto.A cadaano,po-Iém, â€res€entauzentas cinqüentaunidad€s suapÌodução.Seesseitmo de Gescimentoor manhdo,aprod çao a ndút rìanum ano qudlquereri:
d) 4 000 2sote) 4000t+ 250
5 .{ruc-nD} a"o- "ii-*. *'""a* " } eq',r"
$a"r*
-*-.",r-er".
r"ailre a opçãoueapre-
senta sse úmero.
I l -- ^ -xue.r r i5fãzem'enlenlr
"u '- ) t ,r-r
é:
a) 100b) 200
a) 2s0tb) 4 000tc) 4000+ 250t
d) 3 horas
de todos os números rteiros
a). 0
b)r
'33
o'+
" )+â) 13b) 12c) rr
â) R$ 120,00b) R$ 107,00c) R$98,00
12anos
l7 anos20anos
d) 10e.) e
d) 25 aìos
e) 30 aìos
b.(UF-AM)Atunçào/.def iniddporfíxr '-J., , , .está €presentadabaüo:
LU. íUnirio-Rl)o. comercidnte'o Grupo Coposucocompramcadaganaíade 600 ml de sucopÌoÍto aopreçode R$ 1,20e revendem eu íquido usaìdoco-posde 290mL cobrandoR$ 1100 ada opodesuco.Sabendo ue,em um certo dia, elesvendeiâm 100gaÌrafas e sücoprontoequesomenteoramvendì-doscopos ompletamenteheios, aÌcuÌe ÌucÌo dos
comeÌciantesesse ia.d) R$9o,ooe) R$86,00
I I . í lbme.RJ) duio o;o. lo nÌro{:o rnplo r dâdede oaoé gualaoquíntuploda dadedePauÌo. abeseque,há 10 anos,a somada idadede oão com odobrodâdePauÌoera grìala 14anos.Daquìâ s :úos,o maisvelho dos dois rmãos erá:
Éí)ì I {/-r ìEntão,elor de+é:(ul
a) - l c)I
b)0
JI
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r112. ,UF AN4' O dom,n d" tun.,o \ , / j Ì eov7 \
Í5, (ucls-N,ís)o gráficosesuirpÌesentapÌodu-ção de cmjsetas de umâ mi.roempÍesa, em milhâ-Ìesde unidades, e 1992até2003.
2003
Portanto,podemos firmarqueaproduçãode 1997íoi de:
al 60000b) 45000c) 30000
d) rs0ooe) 10000
I í . 'U. F. Londr i -d PRI t m cdmponê'ddcu,-e-mmoinho aopÌeço deR$ 860,00.Com opâssardo tm
po, ocorre umâ depreciatroLinearno preçodesseequipamento. onsideÌeqüe, m 6 anos,opreçodomoinho seÌáde R$ 500,00.Com basenessasnfor-mações,é coÌreto afirmar:
a) Em três mos, o moiúo vaÌerá sOo/o o preço de
bl Em noveanos, preçodo noinho será m múltipÌo de nove.
.ì t ne.F\ .âr io uÍn In\e\r ine tn mdior queR$ 450,00 aÌacompÌar esse quipamento pós
d) SeÌão ecessários0 anosparaqueo valor desse
equipamento sejâ núerior a R$ 200,00.e) o Ìnoinho terá valoÌ de venda ainda que renìa
decorrido13 ânos.
Iõ. /Ut- - \4Cì m e. ÌJdJLepiJreiou alerumdvidgemde férias e reservou uma certa quantia em dinìeiropara o pasamerÌtode dìárias.Ele tem duas opçõesdehospedagern:PousâdâÁ, om di,íriade R$ 25,00,a Pousada , com diáÌìa de R$ 30,00.SeescolherPousâda]1m vezda PousadaB, lepoderá icar rêsdiasâ maisde ériâs.Nessecaso,é coÌÌeto alìrmar que, para o pâgamenio
de diárias, sse studanteeservoü:a) R$100,00b) R$600,00
c) R$350,00d) R$450,00
19, (ur er) o"u"to-""saÌ
totâ1d€abricaçãoeumcertopÌoduto é iguâÌ à somade um valor fixo deR$ 700,00omo cüsto eprodução eR$0,60 orunidade abÌìcadano mês.Cadaunidadeé vendìdaporR$ 1,00.Ded ordo,oÌ J. inrormrçde' ddÀr, oatirc (àfi-matìvasabaixo.a) O custodeproduÉode so unidad€s R$90,00.
b) EIn ]m mêseÌnque oÌamfabÌicadas 00unida-des,o custo otal mensaloi de R$ 820,00.
a) l-Ì, 7l c) t Ì,7lb) t-Ì, 7l d) ls,+-t
e) l-1, -t
13. (Enen1-MEC)eiaeste Ìassificado:
t
Na seleçâoarâasvâgas esse núncio,eitapoÌteÌeíon€ ü corÌeioeletrónico, ropunha-se oscândidatosma questão seÌ esoÌvìda a hora.D*eriam caÌcuÌaÌ eusaÌário o primeiromés, €vendessem00m de ecido om argura e Ì,40m,e no segundomés,sevendessem dobÌo. ormb€n{ucedidosos ovensqueresponderdn, espec
a) R$300,00 RSs00,00.b) R$550,00 R$8s0,00.c) R$6s0,00 R$ 000,00.d) R$ós0,00 R$ 1 300,00.e) R$9s0,00 R$ Ì 900,00.
I+. U. . Ì ondrird-PRì gerenreeumddgéncidcturismo promovepasseiose bote pala desceÌcachoeiras.Ele percebeu ue quandoo preçopedidoparaesseasseioÌâR$2s,00, númeromédìo epâsageirosor senana rades00.Quando pÌeçoeÌâ eduzido araR$20,00, núneromédio e reguesesorsemanaofria m acÌéscimoe 100 as-saseúos. onsìdeÌando ueessa enandaseja inear,seo preço or reduzido araR$ 18,00, númeÌomédio epassaseirossperadoor semâÌa erá:a) 360 d) 700b) s40 e) 1360
c) 64015. pt c-rp \ 8 ho"i,ae erro id. m rì que. Jja
capacidâdede 2000 itros,estava heiode água;entÌetâDto, m turo oa basedesseanque ez conquea águapoÌ eÌeescoasseuma mzaoconstante.Seàs14horasdessemesmodia o tanqueestâvâ omJpero( 760 lro ' .enldo gur en sr in e-ior ereduziuànetadeàr:â) 21horas o mesmo ia.b) 23horas o mesmo ia.c) 4 horasdo diâ sesuinte.
d) 8 horâsdo dia seguint€.e) t horas o diaseguìnte.
5Ê
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cl O gráficoda tunçãoreais,em funçãodo
custo mensaÌ total, emnúÌnero r de unidades
d) Ëmuì1nlês n qüe oraÌnabdcadar000unidade's,Ìucro oi deR$ I s0'00.
e) EmruÌÌ mét paÌa nào ha\€rPÌeiuízo, e'em ser
veDdidas,o mínimo, 7s0unidades
20. (lvhckenzleP)Nâ igüa, emos sesboçosos râficosdãs unçÕese g.
21. (ESPM-SP)Do entÌode umacidadeatéoaeropor
to são40 kÌn poÌ uma grandeâve]1 a. Ostaüs qlÌe
saemdo aeropoúocobramR$ 3,60peÌabandeindae R$ 0,80 por quilômeiro rodado os que saen do
cenúo cobram lì$ 2,00pelabandeirâdae RS 0,60poÌ qüiÌômetro odado.Dois amigos eencontÌârtÌmÌ1um restâurante ue ficâ nessa venida, endoque
umtomou o táÌi que saido aeroportoe o outro to-
mou o quc partedo centroe,pafasuryresx osdois'
os scusgastosoraÌnexatanent€ guais. \ distàÌÌcirdo rcÍâurnÌ1teao aeroPorto de:
al Ì0Ì (m c) Ì4Ìon e) r8Èm
b) 12km d) Ì6kfl
2 2 . (U.r. \kosâ-Mc) sejâ,ÌÁ c 3 ospontos e úeÌ-
seçâo osgrálìcosas unçõesG) =a
Í + 2 e
g(x) =;x+
2 como eixodos4Ìespecti',menie.
Sâbendo-seque é o ponto de nterseçãoessesú-
Êcos, áreâdo triânguloABC é iguaÌa:
se (x)= {,ovalor aea e:
")++u)+
)+b)2
t
a) Ì4b) 12
c) 10d) 16
e) r8
1. Duranteas érias,uma ocadorade automóveisaDçop seguìnte rohoçãopata a diáÌia do aiugueÌ e un
caÌÌo:"Paradistâncias e atér20 km é cobÌadauma aÌa fixae Ìnaisp Ìeâìspor quilômetro odado'QuaÌqueÌquiÌômetroercedenteeÌì descoúode 20% sobrePisabe"àoquedoiscl;entes odâramem um dia, resPectivamente'0 km e r80 km equeo primeiro pcgou
R$57,20 menos ueo segundo,elermine:a) oraÌordep; b) o vâÌoÌda nxa i{a.
2. (UF-ES, daptado)A tabeÌaabal{oapresenta poPuÌ.ção'Ììundial
e o consumomundiâÌ de ásua,em mr,
porhabitanie,osanos e1940 1990:
1990 5,3x loe 800mr
Àdmita queo consumo mundial de água em m3) tennâcrescido inearmentenesses inqüentaanos Quèntos
metros cúbicos de áeua oram coÌÌsumidos no mundo' em 1950?
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