CAPÍTULO 18CAPÍTULO 18
Parte 1bMÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADEMÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE
Solução do Sistema de
Equações do Tipo MIMO
Problema de autovalores – MODELO REALProblema de autovalores – MODELO REALAo utilizar algum dos métodos apresentados até aqui para descrever o comportamento dinâmico de um sistema de múltiplos graus de liberdade (método energético ou
Newtoniano), chaga-se a um sistema de equações do tipo.
tftqKtqCtqM
Considerando, por enquanto, f(t) =0 para obter a solução homogênea. Isto é;
0M q t C q t K q t
Supondo que esta solução é dada por; tietq
(01)
(02)
(03)
1º - considere-se que C=0 em primeira instância sem perda de generalidade
a equação (2) junto com a solução proposta na Eq. (3) darão
ou
02 KM
Definindo =2, chega-se ao seguinte problema de autovalores
(a) MK
2 0i tM K e (04)
(05)
(06)
resolvendo este problema de autovalores obtém-se:
n,iii 1come
sendo: n = graus de liberdade do sistema
M = matriz simétrica e positivo definido
K = matriz simétrica e positivo definido
i = i-ésima autovalor do sistema
i = i-ésima autovalor do sistema associado a i
conhecido i => freqüência natural do sistema não amortecido
i => modo de vibrar associado à freqüência natural i
ii
(b) Por outro lado, partindo da equação (5) 02 KM
para encontrar uma solução não trivial, 0 2det 0M K
o que forma um polinômio de 2n ou n com n raízes reais e diferentes.
(07)
Uma vez achado i, substituindo em (5), é possível achar, a menos de
uma constante, os autovetores do problema (modos de vibrar) i.
Isto porque a Eq. (5) possui infinitas soluções.
As freqüências naturais determinam, para o sistema não amortecido, as
freqüências para as quais o sistema possui uma impedância muito baixa
ou nula. Ao ser excitado nessa freqüência, o sistema responderá com
grande amplitude de vibração.
Os modos de vibrar representam a forma de vibrar do sistema para
cada freqüência natural.
NO CASO DA VIGA:NO CASO DA VIGA:
autovalores i freqüência natural não amortecida
autovetores associados a cada freqüência
A forma de vibrar da 1ra freqüência natural
OBS: Solução “pobre” para determinar a segunda e terceira freqüência natural assim
como o seus modos de vibrar da viga.
Exemplo: FAZER COMO TAREFA PARA CASA
Considerar uma viga simplesmente apoiada, como a do laboratório de pesquisa e desenvolvimento. Encontrar as matrizes de massa e rigidez e calcular as freqüências naturais e os modos de vibrar associado. Usar o método dos coeficientes de influencia. Calcular com precisão as primeiras 5 freqüências naturais.
MATLAB problemas de autovalores K = M
[FI, lam] = eig [K,M]; K = M[FI, lam] = eig (M-1K) (M-1K) =
Lam = é a matriz diagonal de autovalores (denominada matriz espectral nxn)
FI = é a matriz de autovetores (denominada matriz modal nxn)
ORTOGONALIDADE DOS MODOS ORTOGONALIDADE DOS MODOS
iiiii KM 22
jjjjj KM 22
Pré-multiplicando (8) e (9) por , respectivamente Ti
Tj e
(08)
(09)
Escolha um autovalor i e um autovalor j ambos distintos tal que
iTji
Tji KM 2
jTij
Tij KM 2
Substituindo a equação (11) com (10) e considerando a simetria de M e K, isto é
(11)
(10)
iTjj
Ti MM
iTjj
Ti KK
tem-se 022 i
Tjji M (12)
0 iTj M
0 iTj K
Assim, de (12), resulta que se i j i j
isto significa que os vetores i e j ortogonais em relação a M e K.
(14)
(13)
Tj j jM m
Tj j jK k
Se i=j (13) e (14) são diferentes de zero
(16)
(15)
MATRICIALMENTE
M
\
m
\T
i
K
\
k
\
Ti
Ortogonalizando os autovetores i por ; ou seja im
;m
;...;m
;m n
n
2
2
1
1
(18)(17)
O produto dado em (17) e (18) ficam:
1 oToo
To MIM
\
\
K ioTo
sendo:
I = matriz de identidade
o = matriz ortonormalizada de através da matriz de massa
mi = massa modal
ki = rigidez modal
(20)
(19)
Inversa da matriz de autovetores
ambos modelos matemáticos representam o sistema
e
tftqKtqM
PROBLEMA AUTO-AJUNTO:
são reais se M e K são positivos e positivos semi definido
i
i
obs: i é real ou zero
Ambos autovetores (direita e esquerda) são iguais ou D=DT
TEOREMA DA EXPANSÃOTEOREMA DA EXPANSÃO TEOREMA DA EXPANSÃOTEOREMA DA EXPANSÃO Devido às propriedades dos autovetores (condição de ortogonalidade) e que as
mesmas ao espaço vetorial n – dimensional, podem ser utilizadas com uma base para
encontrar a resposta do sistema (qualquer vetor deste espaço).
Assim, a solução do sistema pode ser expressada por:
1
n
i ii
q t c
para achar os ci, e assim a resposta do sistema como uma combinação linear do sistema,
multiplica-se (21) por . Assim;T Mi
T Ti i
i Ti i i
M q t M q tc
M m
(22)
(21)
Se os autovetores são ortogonalizados através da matriz de massa:
Ti ic M q t
o que mostra que é possível encontrar os diferentes ci e escrever a solução do sistema
q(t) no espaço n-dimensional como uma combinação dos autovetores do sistema.
“teorema da expansão”
(23)
A partir do teorema da expansão, encontra-se a solução do problema de vibração da seguinte forma
A equação (24) representa uma transformação de coordenadas do espaço de
configuração {q(t)} para o espaço modal {p(t)} através da matriz
{q(t)} coordenadas generalizadas no espaço de configuração
{p(t)} coordenadas generalizadas principais no espaço modal do
sistema
substituindo {q(t)}, equação (24) em (1) e pré multiplicando por T
tptq (24)
0 tpKtpMTT
02
tp
\
\
tpI i
devido à ortogonalidade da matriz (ortonormalizada pela matriz massa) em relação a M e K.
• A ith equação (sistema desacoplado) será;
com i = 1, n 2 0i i ip t p t
Achando a solução da homogênea em pi(t) a resposta no espaço de configurações pode ser encontrada qi(t) (i=1, n) através da equação (24)
(27)
(26)
(25)
Considerando amortecimento viscoso proporcional (proporcional em relação à matriz
de massa e rigidez) da forma:
a equação (25) torna-se
2
\
0
\
Tip t K M p t p t
onde
2
\
\
T T T
i
K M K M
I
C K M (28)
(29)
e a i-ésima linha do sistema de equações desacoplado
022 tptptp iiii
sendo mi=1 para ortogonalizando através de M.
Definindo
2222i
iiiici
c
m
c
c
c
com i = 1, n
• cuja solução será, para i =0 !!! cosi i i ip t C t
i= 1, n sendo Ci e i constantes de integração que dependem das condições iniciais.
(30)
(31)
Uma vez achado pi(t) para i=1,n a solução do sistema (solução homogênea no espaço
de configuração) será
1 1
cosn n
i i i i i ii i
q t p t
p t C t
dado os seguintes condições iniciais 0e0 qq
1
1
0 cos
0 sin
n
i i ii
n
i i i ii
q C
q C
(32)
(33)
considerando a ortogonalidade dos autovetores e pré-multiplicando por {j}T M
cos 0
1sin 0
T
i i i
T
i i ii
C M q
C M q
A solução do sistema de MGL, não amortecido, solução da homogênea com
condições iniciais 0e0 qq
1
10 cos 0 sin
nT T
i i i i ii i
q t M q t M q t
(34)
(35)
equação característica
Resposta Para Condições Iniciais
(CASO AMORTECIDO)(CASO AMORTECIDO)
No espaço modal na i-ésima componente, tem-se
022 tptptp rrrrrr
A solução desta equação diferencial
2 22 0r r rs s
str ectp
(37)
cujas raízes são 21r r r r r rs i i
1 21 2
1 1 2 2
1 2 1 2
cos sin cos sin
cos sin
r
r
s t s tstr
tr r r r
tr r
p t C e C e C e
e C t i C t C t i C t
e C C t i C C t
C1 C2
Supondo
0
0
0
0
r r
r r
p p
p p
01 1
1 2 1 20 0
1 2
0
0 cos sin sin cosr r
r
t tr r r r r r r rt t
r r
p C e C
p e C t C t e C t C t
C C
r
rrrr
ppCepC
000 21
0 00 cos sinr r r rt
r r r rr
p pp t e p t t
e a resposta na configuração espacial, q(t)
n
rrrrr
tr tsintcosetq r
1
(39)
(38)
(40)
Vejamos quando vale r e r. Como {q(0)} pertence ao espaço n-dimensional, pode ser
escrito como uma combinação de base formada pelo autovetores {}
n
rrrq
1
0
0qmTrr
e como 1
0n
r r r rrr
q
(41)
onde 001
qqm rTr
rr
1
10 cos 0 0 sinr
nT Tt
r r rr r rr r
q t e m q t m q q t
caso a condição inicial fosse {q(0)} = {}r (deformação ou deslocamento em um dos
modos apenas) e a resposta livre será dada por: 00 q
tsintcosqe
tsinqtcosqetq
rr
rr
t
rr
rr
t
r
r
0
00
o que representa uma oscilação modal, isto é, oscilações acompanham a distribuição do r-ésimo modo, acompanhado de um decaimento nas amplitudes devido ao fator e-Srt
(44)
(43)
(42)
DINÂMICA de ESTRUTURASDINÂMICA de ESTRUTURAS
Problemas de Autovalores – Amortecimento Viscoso Geral
Dado o sistema dinâmico fqKqCqM
sendo M, C e K matrizes de massa, amortecimento e rigidez simétrica, respectivamente,
e C é a matriz de amortecimento não proporcional.
steqf e0
a equação (45) fica:
2 0s M sC K
0 com 1,2i
D j n (48)
(47)
(46)
(45)
det 0D s
2 2 11 2 1 2... 0n n
n ns p s p s p
e para se ter uma solução não trivial i{}0
Os coeficientes p1, p2,...p2n são reais já que M, C e K são matrizes reais.
(50)
(49)
Defini-se a variável de estado
Reescrevendo a equação (45) em função da variável de estado chegam-se aos seguintes
sistemas de equações:
sistema de n equações com 2n incógnitas.
1x2ntq
tqy
x2 2 x1 x2 x1x20n n n n n nn n
C M y K y f
(52)
(51)
Adicionando a seguinte identidade a (52) obtém-se um sistema de 2n equações com 2n
incógnitas. Assim,
2 x12 x10 0 0nn
M y M y
e (42) com (53) formam
2 x1 2 x1
2 x1 2 x2 2 x1
0
0 0 0n n
n n n n
C M K fy y
M M
ou em forma compacta ; com g = [f 0]T gByyA considerando f=0 e supondo que
stey
(55)
(54)
(53)
NOTA: os primeiros componentes de formam o vetor da expressão (48).
Na realidade esta supondo que:
st
st
esq
eq
Portanto
s
com a hipótese acima, a equação (55) fica; 0s A B
ou AB
sendo s(58) (57)
(56)
(59)
Se A e B são simétricos, é fácil mostrar como foi visto, que a seguinte relação de
ortogonalidade é satisfeita.
sendo jk o delta de Kronecker. Tj k j jkB b
Tj k j jkA a
Com ortonormalizada por A, chega-se aTj k jkA
aqui aj=1 e bj=j com j=1, 2n Tj k j jkB
(60)
(63)
(62)
(61)
Lembrar que j = [j sj] com j=1, 2n. Considerando j, k de 1 a 2n, mostrar-se que
nT
IA 2 BT
onde é conhecido como matriz modal n,..., 21
e ; j = 1, 2n matriz espectral idigo
(64) (65)
A inversa da matriz modal existe já que de (64) AT 1
A expressão (60), pode ser escrita de forma mais expandida
jknkk
k
nnnii
i
sM
MC
s
1x22x2
T
2x10
jkkkTjk
Tjjk
Tj sMMsC
desenvolvendo este produto jkkk
kTj
Tjj
Tj s
MMsC
(67)
(66)
De (61) pode-se obter analogamente
T Tj k j k j k j jk j jks s M K s
outra relação de ortogonalidade
(69)
jkkTjk
Tjkj CMss (68)
Resposta as Condições Iniciais, ou Estado Inicial:
VIBRAÇÃO LIVREVIBRAÇÃO LIVRE
py Como os j , j=1, 2n são ortogonais dois a dois, a matriz é não singular, podendo ser
utilizada como uma base para realizar o seguinte transformação de coordenadas
NOTA: como y é real e é complexa p é complexa. Substituindo (70) em (55),
para g=0, e pré-multiplicando por T, obtém-se
0p p
sendo a matriz espectral e diz (i)
(71)
(70)
A j-ésima fila do sistema 2n x 2n equações descopladas serão
; j= 1, 2n0j j ip p
cuja solução é dada por j jt s tj j jp C e C e
já que j = - Sj e Cj são constante arbitrárias (j = 1, 2n).
(73)
(72)
Assim, a solução no espaço do estado será (equação (70))tsn
jjj
jeCy
2
1
e como
j
jj s
etq
tqy
n
j
ts
jjj
eCtq2
1
n
j
ts
jjjj
esCtq2
1
a solução q(t) é obtida como uma combinação linear dos autovetores e dos
autofunções. tq
(77)(76)
(75)
As constantes c, são determinadas em função do estado inicial
oto yy
portanto para t=0
n
jjjo CCy
2
1
onde TnC,...,CC 1
oT
o yAyC 1
Considere-se o caso em que o autovalor i= - sj é um numero complexo sj é um
numero complexo
(79)
(78)(77)
Como o poligonal (50) é real (isto é, os coeficientes pi, são reais devido a que A e B são
reais), existirá uma raiz sj conjugada de sk, ou seja, sk = sj*
jjj is A este par, corresponderá na resposta y(t) duas parcelas,
ts
kk
ts
jjkj
eCeC
concluindo que fora a resposta ser real no tempo (81) toma a forma *kj
o que leva a que Cj = Ck* cada par de autovalores n complexos conjugados e as seus
respectivos autovetores que formam parte da resposta ou estado
* *j j j j j j js i t s i t s t i t i tj j k j j j k jC e C e e C e C e
(81)
(80)
* * * *cos sin cos sinj jt tj j j j j j j j j j j j j je C C t i C C t e C t D t
NOTA: Cj e Dj são reais
j, para o sistema ser estável, deve ser negativo;
j recebe o nome de freqüência natural amortecida do sistema
(82)
1
cos sinj
nt
j j j jj
y t e C t D t
já considere uma parte de 2n ao tomar os dois autovalores sj e sk = sj* e j e k = j*
Tomando a equação (68), com sj e sk = sj*, obtém-se *j
Tj
*j
Tj
jM
C
2
se a expressão (84) fica: * *T Tj j j j j jc C e m M
; j = 1 ,n 2 jj
j
c
m
(84)
(85)
(83)
; j = 1, n
NOTA: cj e mj são reais. Fazendo a mesma coisa com a equação (69)
i
ijj m
k 22
Da equação (85) e (86)
2
2 2 12
jj j
j j
c
m
onde, por definição
j
ji m
k2
(87)
(86)
definindo 2j
j
ic j j j
c
CC m e
C
21 jjj
22 j
j
cj j jj j
c j j
CC m
C m m
jij
(88)
(89)
j
jj
jjj
222
(90)