CAPÍTULO 18CAPÍTULO 18

Parte 1bMÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADEMÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE

Solução do Sistema de

Equações do Tipo MIMO

Problema de autovalores – MODELO REALProblema de autovalores – MODELO REALAo utilizar algum dos métodos apresentados até aqui para descrever o comportamento dinâmico de um sistema de múltiplos graus de liberdade (método energético ou

Newtoniano), chaga-se a um sistema de equações do tipo.

tftqKtqCtqM

Considerando, por enquanto, f(t) =0 para obter a solução homogênea. Isto é;

0M q t C q t K q t

Supondo que esta solução é dada por; tietq

(01)

(02)

(03)

1º - considere-se que C=0 em primeira instância sem perda de generalidade

a equação (2) junto com a solução proposta na Eq. (3) darão

ou

02 KM

Definindo =2, chega-se ao seguinte problema de autovalores

(a) MK

2 0i tM K e (04)

(05)

(06)

resolvendo este problema de autovalores obtém-se:

n,iii 1come

sendo: n = graus de liberdade do sistema

M = matriz simétrica e positivo definido

K = matriz simétrica e positivo definido

i = i-ésima autovalor do sistema

i = i-ésima autovalor do sistema associado a i

conhecido i => freqüência natural do sistema não amortecido

i => modo de vibrar associado à freqüência natural i

ii

(b) Por outro lado, partindo da equação (5) 02 KM

para encontrar uma solução não trivial, 0 2det 0M K

o que forma um polinômio de 2n ou n com n raízes reais e diferentes.

(07)

Uma vez achado i, substituindo em (5), é possível achar, a menos de

uma constante, os autovetores do problema (modos de vibrar) i.

Isto porque a Eq. (5) possui infinitas soluções.

As freqüências naturais determinam, para o sistema não amortecido, as

freqüências para as quais o sistema possui uma impedância muito baixa

ou nula. Ao ser excitado nessa freqüência, o sistema responderá com

grande amplitude de vibração.

Os modos de vibrar representam a forma de vibrar do sistema para

cada freqüência natural.

NO CASO DA VIGA:NO CASO DA VIGA:

autovalores i freqüência natural não amortecida

autovetores associados a cada freqüência

A forma de vibrar da 1ra freqüência natural

OBS: Solução “pobre” para determinar a segunda e terceira freqüência natural assim

como o seus modos de vibrar da viga.

Exemplo: FAZER COMO TAREFA PARA CASA

Considerar uma viga simplesmente apoiada, como a do laboratório de pesquisa e desenvolvimento. Encontrar as matrizes de massa e rigidez e calcular as freqüências naturais e os modos de vibrar associado. Usar o método dos coeficientes de influencia. Calcular com precisão as primeiras 5 freqüências naturais.

MATLAB problemas de autovalores K = M

[FI, lam] = eig [K,M]; K = M[FI, lam] = eig (M-1K) (M-1K) =

Lam = é a matriz diagonal de autovalores (denominada matriz espectral nxn)

FI = é a matriz de autovetores (denominada matriz modal nxn)

ORTOGONALIDADE DOS MODOS ORTOGONALIDADE DOS MODOS

iiiii KM 22

jjjjj KM 22

Pré-multiplicando (8) e (9) por , respectivamente Ti

Tj e

(08)

(09)

Escolha um autovalor i e um autovalor j ambos distintos tal que

iTji

Tji KM 2

jTij

Tij KM 2

Substituindo a equação (11) com (10) e considerando a simetria de M e K, isto é

(11)

(10)

iTjj

Ti MM

iTjj

Ti KK

tem-se 022 i

Tjji M (12)

0 iTj M

0 iTj K

Assim, de (12), resulta que se i j i j

isto significa que os vetores i e j ortogonais em relação a M e K.

(14)

(13)

Tj j jM m

Tj j jK k

Se i=j (13) e (14) são diferentes de zero

(16)

(15)

MATRICIALMENTE

M

\

m

\T

i

K

\

k

\

Ti

Ortogonalizando os autovetores i por ; ou seja im

;m

;...;m

;m n

n

2

2

1

1

(18)(17)

O produto dado em (17) e (18) ficam:

1 oToo

To MIM

\

\

K ioTo

sendo:

I = matriz de identidade

o = matriz ortonormalizada de através da matriz de massa

mi = massa modal

ki = rigidez modal

(20)

(19)

Inversa da matriz de autovetores

ambos modelos matemáticos representam o sistema

e

tftqKtqM

PROBLEMA AUTO-AJUNTO:

são reais se M e K são positivos e positivos semi definido

i

i

obs: i é real ou zero

Ambos autovetores (direita e esquerda) são iguais ou D=DT

TEOREMA DA EXPANSÃOTEOREMA DA EXPANSÃO TEOREMA DA EXPANSÃOTEOREMA DA EXPANSÃO Devido às propriedades dos autovetores (condição de ortogonalidade) e que as

mesmas ao espaço vetorial n – dimensional, podem ser utilizadas com uma base para

encontrar a resposta do sistema (qualquer vetor deste espaço).

Assim, a solução do sistema pode ser expressada por:

1

n

i ii

q t c

para achar os ci, e assim a resposta do sistema como uma combinação linear do sistema,

multiplica-se (21) por . Assim;T Mi

T Ti i

i Ti i i

M q t M q tc

M m

(22)

(21)

Se os autovetores são ortogonalizados através da matriz de massa:

Ti ic M q t

o que mostra que é possível encontrar os diferentes ci e escrever a solução do sistema

q(t) no espaço n-dimensional como uma combinação dos autovetores do sistema.

“teorema da expansão”

(23)

A partir do teorema da expansão, encontra-se a solução do problema de vibração da seguinte forma

A equação (24) representa uma transformação de coordenadas do espaço de

configuração {q(t)} para o espaço modal {p(t)} através da matriz

{q(t)} coordenadas generalizadas no espaço de configuração

{p(t)} coordenadas generalizadas principais no espaço modal do

sistema

substituindo {q(t)}, equação (24) em (1) e pré multiplicando por T

tptq (24)

0 tpKtpMTT

02

tp

\

\

tpI i

devido à ortogonalidade da matriz (ortonormalizada pela matriz massa) em relação a M e K.

• A ith equação (sistema desacoplado) será;

com i = 1, n 2 0i i ip t p t

Achando a solução da homogênea em pi(t) a resposta no espaço de configurações pode ser encontrada qi(t) (i=1, n) através da equação (24)

(27)

(26)

(25)

Considerando amortecimento viscoso proporcional (proporcional em relação à matriz

de massa e rigidez) da forma:

a equação (25) torna-se

2

\

0

\

Tip t K M p t p t

onde

2

\

\

T T T

i

K M K M

I

C K M (28)

(29)

e a i-ésima linha do sistema de equações desacoplado

022 tptptp iiii

sendo mi=1 para ortogonalizando através de M.

Definindo

2222i

iiiici

c

m

c

c

c

com i = 1, n

• cuja solução será, para i =0 !!! cosi i i ip t C t

i= 1, n sendo Ci e i constantes de integração que dependem das condições iniciais.

(30)

(31)

Uma vez achado pi(t) para i=1,n a solução do sistema (solução homogênea no espaço

de configuração) será

1 1

cosn n

i i i i i ii i

q t p t

p t C t

dado os seguintes condições iniciais 0e0 qq

1

1

0 cos

0 sin

n

i i ii

n

i i i ii

q C

q C

(32)

(33)

considerando a ortogonalidade dos autovetores e pré-multiplicando por {j}T M

cos 0

1sin 0

T

i i i

T

i i ii

C M q

C M q

A solução do sistema de MGL, não amortecido, solução da homogênea com

condições iniciais 0e0 qq

1

10 cos 0 sin

nT T

i i i i ii i

q t M q t M q t

(34)

(35)

equação característica

Resposta Para Condições Iniciais

(CASO AMORTECIDO)(CASO AMORTECIDO)

No espaço modal na i-ésima componente, tem-se

022 tptptp rrrrrr

A solução desta equação diferencial

2 22 0r r rs s

str ectp

(37)

cujas raízes são 21r r r r r rs i i

1 21 2

1 1 2 2

1 2 1 2

cos sin cos sin

cos sin

r

r

s t s tstr

tr r r r

tr r

p t C e C e C e

e C t i C t C t i C t

e C C t i C C t

C1 C2

Supondo

0

0

0

0

r r

r r

p p

p p

01 1

1 2 1 20 0

1 2

0

0 cos sin sin cosr r

r

t tr r r r r r r rt t

r r

p C e C

p e C t C t e C t C t

C C

r

rrrr

ppCepC

000 21

0 00 cos sinr r r rt

r r r rr

p pp t e p t t

e a resposta na configuração espacial, q(t)

n

rrrrr

tr tsintcosetq r

1

(39)

(38)

(40)

Vejamos quando vale r e r. Como {q(0)} pertence ao espaço n-dimensional, pode ser

escrito como uma combinação de base formada pelo autovetores {}

n

rrrq

1

0

0qmTrr

e como 1

0n

r r r rrr

q

(41)

onde 001

qqm rTr

rr

1

10 cos 0 0 sinr

nT Tt

r r rr r rr r

q t e m q t m q q t

caso a condição inicial fosse {q(0)} = {}r (deformação ou deslocamento em um dos

modos apenas) e a resposta livre será dada por: 00 q

tsintcosqe

tsinqtcosqetq

rr

rr

t

rr

rr

t

r

r

0

00

o que representa uma oscilação modal, isto é, oscilações acompanham a distribuição do r-ésimo modo, acompanhado de um decaimento nas amplitudes devido ao fator e-Srt

(44)

(43)

(42)

DINÂMICA de ESTRUTURASDINÂMICA de ESTRUTURAS

Problemas de Autovalores – Amortecimento Viscoso Geral

Dado o sistema dinâmico fqKqCqM

sendo M, C e K matrizes de massa, amortecimento e rigidez simétrica, respectivamente,

e C é a matriz de amortecimento não proporcional.

steqf e0

a equação (45) fica:

2 0s M sC K

0 com 1,2i

D j n (48)

(47)

(46)

(45)

det 0D s

2 2 11 2 1 2... 0n n

n ns p s p s p

e para se ter uma solução não trivial i{}0

Os coeficientes p1, p2,...p2n são reais já que M, C e K são matrizes reais.

(50)

(49)

Defini-se a variável de estado

Reescrevendo a equação (45) em função da variável de estado chegam-se aos seguintes

sistemas de equações:

sistema de n equações com 2n incógnitas.

1x2ntq

tqy

x2 2 x1 x2 x1x20n n n n n nn n

C M y K y f

(52)

(51)

Adicionando a seguinte identidade a (52) obtém-se um sistema de 2n equações com 2n

incógnitas. Assim,

2 x12 x10 0 0nn

M y M y

e (42) com (53) formam

2 x1 2 x1

2 x1 2 x2 2 x1

0

0 0 0n n

n n n n

C M K fy y

M M

ou em forma compacta ; com g = [f 0]T gByyA considerando f=0 e supondo que

stey

(55)

(54)

(53)

NOTA: os primeiros componentes de formam o vetor da expressão (48).

Na realidade esta supondo que:

st

st

esq

eq

Portanto

s

com a hipótese acima, a equação (55) fica; 0s A B

ou AB

sendo s(58) (57)

(56)

(59)

Se A e B são simétricos, é fácil mostrar como foi visto, que a seguinte relação de

ortogonalidade é satisfeita.

sendo jk o delta de Kronecker. Tj k j jkB b

Tj k j jkA a

Com ortonormalizada por A, chega-se aTj k jkA

aqui aj=1 e bj=j com j=1, 2n Tj k j jkB

(60)

(63)

(62)

(61)

Lembrar que j = [j sj] com j=1, 2n. Considerando j, k de 1 a 2n, mostrar-se que

nT

IA 2 BT

onde é conhecido como matriz modal n,..., 21

e ; j = 1, 2n matriz espectral idigo

(64) (65)

A inversa da matriz modal existe já que de (64) AT 1

A expressão (60), pode ser escrita de forma mais expandida

jknkk

k

nnnii

i

sM

MC

s

1x22x2

T

2x10

jkkkTjk

Tjjk

Tj sMMsC

desenvolvendo este produto jkkk

kTj

Tjj

Tj s

MMsC

(67)

(66)

De (61) pode-se obter analogamente

T Tj k j k j k j jk j jks s M K s

outra relação de ortogonalidade

(69)

jkkTjk

Tjkj CMss (68)

Resposta as Condições Iniciais, ou Estado Inicial:

VIBRAÇÃO LIVREVIBRAÇÃO LIVRE

py Como os j , j=1, 2n são ortogonais dois a dois, a matriz é não singular, podendo ser

utilizada como uma base para realizar o seguinte transformação de coordenadas

NOTA: como y é real e é complexa p é complexa. Substituindo (70) em (55),

para g=0, e pré-multiplicando por T, obtém-se

0p p

sendo a matriz espectral e diz (i)

(71)

(70)

A j-ésima fila do sistema 2n x 2n equações descopladas serão

; j= 1, 2n0j j ip p

cuja solução é dada por j jt s tj j jp C e C e

já que j = - Sj e Cj são constante arbitrárias (j = 1, 2n).

(73)

(72)

Assim, a solução no espaço do estado será (equação (70))tsn

jjj

jeCy

2

1

e como

j

jj s

etq

tqy

n

j

ts

jjj

eCtq2

1

n

j

ts

jjjj

esCtq2

1

a solução q(t) é obtida como uma combinação linear dos autovetores e dos

autofunções. tq

(77)(76)

(75)

As constantes c, são determinadas em função do estado inicial

oto yy

portanto para t=0

n

jjjo CCy

2

1

onde TnC,...,CC 1

oT

o yAyC 1

Considere-se o caso em que o autovalor i= - sj é um numero complexo sj é um

numero complexo

(79)

(78)(77)

Como o poligonal (50) é real (isto é, os coeficientes pi, são reais devido a que A e B são

reais), existirá uma raiz sj conjugada de sk, ou seja, sk = sj*

jjj is A este par, corresponderá na resposta y(t) duas parcelas,

ts

kk

ts

jjkj

eCeC

concluindo que fora a resposta ser real no tempo (81) toma a forma *kj

o que leva a que Cj = Ck* cada par de autovalores n complexos conjugados e as seus

respectivos autovetores que formam parte da resposta ou estado

* *j j j j j j js i t s i t s t i t i tj j k j j j k jC e C e e C e C e

(81)

(80)

* * * *cos sin cos sinj jt tj j j j j j j j j j j j j je C C t i C C t e C t D t

NOTA: Cj e Dj são reais

j, para o sistema ser estável, deve ser negativo;

j recebe o nome de freqüência natural amortecida do sistema

(82)

1

cos sinj

nt

j j j jj

y t e C t D t

já considere uma parte de 2n ao tomar os dois autovalores sj e sk = sj* e j e k = j*

Tomando a equação (68), com sj e sk = sj*, obtém-se *j

Tj

*j

Tj

jM

C

2

se a expressão (84) fica: * *T Tj j j j j jc C e m M

; j = 1 ,n 2 jj

j

c

m

(84)

(85)

(83)

; j = 1, n

NOTA: cj e mj são reais. Fazendo a mesma coisa com a equação (69)

i

ijj m

k 22

Da equação (85) e (86)

2

2 2 12

jj j

j j

c

m

onde, por definição

j

ji m

k2

(87)

(86)

definindo 2j

j

ic j j j

c

CC m e

C

21 jjj

22 j

j

cj j jj j

c j j

CC m

C m m

jij

(88)

(89)

j

jj

jjj

222

(90)