Como Polígonos são figuras planas compostos por lados que são sempre segmentos de reta, o perímetro dessas figuras é representado apenas pela soma desses lados!Veja alguns exemplos:I) Quadrilátero:
3,1 m
2,6 m 2,6
m
2,3 m
P = 3,1 + 2,6 + 2,6 + 2,3P = 10,6 m
II) Hexágono Regular: L =
5 m
P = 6 x 5 P = 30 m
Há mais de 2000 anos o ser humano descobriu uma relação entre a medida do comprimento de uma circunferência (C) e a mediada de seu diâmetro (d), veja como: Cd =3,14C
dEsse valor foi mais tarde chamado de π (pi), dando assim origem a uma fórmula para medir o comprimento de qualquer circunferência:
C = 2.π.R
Quando tiramos uma fatia de pizza, estamos tomando uma figura chamada de setor circular, observe como representar seu perímetro, no exemplo abaixo:
R = 4 m
120º
I) Perceba que duas partes já são os raios de circunferência:R
RII) Perceba também que o restante do contorno do setor (x) é uma parte da circunferência, logo:
x
120°360° 2. .R
x
120° =360° 2 3,14 4
x x = 8,73 m
P = x + 2.RP = 16,73 m
Como já vimos, a área de uma região quadrado ou retangular é calculada pelo produto entre o comprimento(base) e a largura(altura)! Veja alguns exemplos:I) Quadrado:
3 cm
3 cmA =
3 . 3A = 9 cm2
II) Retângulo:
Obs: Como o comprimento e a largura em um quadrado sempre têm o mesmo valor (L), podemos representar a área por meio da fórmula A = L2:
3 cm
5 cmA =
5 . 3A = 15 cm2
a
Semelhante ao retângulos, o cálculo da área de um paralelogramo também é o produto entre sua base(b) e sua altura(a), atentando para observação de quem é a altura, veja abaixo:
bA = b.a
Obs: Perceba que a altura é a distância entre as duas bases e não simplesmente o outro segmento!Obs: Perceba também que ao retirar a altura de dentro da figura encontramos um triângulo retângulo, muito útil em algumas questões!
ab
Nesse momento perceberemos que não existe apenas uma forma de calcular a área de um triângulo, dependendo dos dados que cada situação podemos empregar diferentes fórmulas para esse cálculo, vejamos: I) Conhecendo-se a base e a altura, temos:
A= 2ba
Obs: Perceba que o triângulo sempre será a metade de um paralelogramo, logo:
II) Conhecendo-se os três lados, temos:
abc
Primeiramente calculamos o semi-perímetro p(metade do perímetro): + += 2a b cp
Para determinar,então, a área da região triangular utilizamos a fórmula de Heron, que consiste em: =A pp- a p- b p- c
III) Conhecendo-se dois lados e o ângulo formado por eles, temos:a
b
Obs: Atente que é necessário que o ângulo utilizado seja o formado pelos lados que serão utilizados: = 2A absen
Essa fórmula é chamada de fórmula trigonométrica da área!
Vejamos alguns exemplos:I) Usando Heron:
II) Usando fórmula trigonométrica:6 m
7 m
5 m
6+7+5= 2p =9mp
= 9 9- 6 9- 7 9- 5A = 9 3 2 4A =6 6mA
9 m
12 m
50°
12 9 50°= 2A sen
12 9 0,76= 2A 41mA
Veja como podemos demonstrar a área de um trapézio: Traçando uma das diagonais podemos dividir o trapézio em dois triângulos, ambos de altura a:
ab
B
a
BA= +2 2a ba B +A= 2
a ba
B +A= 2
ba
Veja como podemos demonstrar a área de um losango: Traçando as duas diagonais do losango podemos dividi-lo em quatro triângulos retângulos:D
d
2D
d
Calculando a área do retângulo obtido demos:
A=2 dD A= 2dD
Todo polígono regular pode ser dividido em triângulos congruentes, assim podemos determinar a área de um desses triângulos para servir como base para a área do polígono como um todo, veja alguns exemplos: Perceba que a altura do triângulo é exatamente o apótema do polígonio inicial:
hexágono triânguloA =6 A
Veja como podemos demonstrar a área de um circulo: R
Perceba que a altura do triângulo formado é exatamente o raio(R) da circunferência:
2.∏.R
Calculando a área do triângulo, temos:2. .R.RA= 2 2A= .R
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