Geometria dos sólidosGeometria dos sólidos
PRISMAS RETOSPRISMAS RETOS
• UmUm prisma prisma é um sólido geométrico limitado por é um sólido geométrico limitado por duas bases (polígonos iguais) situadas em duas bases (polígonos iguais) situadas em planos paralelos e várias faces laterais planos paralelos e várias faces laterais (retângulos).(retângulos).
• A designação do polígono da base vai dar o A designação do polígono da base vai dar o nome ao prisma nome ao prisma
Elementos de um prisma:Elementos de um prisma:
ÁREA LATERAL E TOTALÁREA LATERAL E TOTALPara determinar a área da superfície de um prisma reto, devemos planificá-lo.Para determinar a área da superfície de um prisma reto, devemos planificá-lo.
Exemplo: Prisma triangularExemplo: Prisma triangular
ASSIM EM UM PRISMA A ÁREA LATERAL (AL) SERÁ SEMPRE IGUAL A
ÁREA DO RETÂNGULO DA FACE MULTIPLICADA PELO NÚMERO DE ARESTAS DA BASE.
A ÁREA TOTAL (AT) SERÁ SEMPRE IGUAL A ÁREA LATERAL MAIS A
ÁREA DAS DUAS BASES, OU SEJA:
AT = AL + 2. AB
AL
AB
AB
VOLUMEVOLUME
EM UM PRISMA O VOLUME É DADO PELA EM UM PRISMA O VOLUME É DADO PELA FÓRMULA:FÓRMULA:
V = AB . h
Onde:
AB é a área do polígono que está na base do prisma.
h é a altura do prisma ou seja, a distância entre as bases
EXEMPLOSEXEMPLOS
SÓLIDOSÓLIDO Polígonos das faces do Polígonos das faces do sólidosólido
Áreas e VolumeÁreas e Volume
PrismaPrisma
triangulartriangular
3 retângulos e3 retângulos e
2 triângulos2 triângulos
ALATERAL = 3 . ARETÂNGULO
ATOTAL = AL + 2 . ATRIÂNGULO
V = A3 . h
Prisma Hexagonal
6 retângulos
2 hexágonos
ALATERAL = 6. ARETÂNGULO
ATOTAL = AL + 2 . AHEXÁGONO
V = A6 . h
SólidoSólido Polígonos das faces Polígonos das faces do sólido geométricodo sólido geométrico
Áreas e VolumeÁreas e Volume
PRISMAS ESPECIAISPRISMAS ESPECIAIS
CuboCubo
ParalelepípedoParalelepípedo
6 quadrados6 quadrados
6 retângulos: iguais 2 a 2
a
a a
a
AT = 6 . a2
V = a3
c
ba c c b
a
cb
V = abc
ALATERAL = 4 . AQUADRADO
ATOTAL = AL + 2 . AQUADRADO
AATOTAlTOTAl = 2ac + 2bc +2ab = 2ac + 2bc +2ab
CILINDROSCILINDROS
São sólidos limitados por dois círculos São sólidos limitados por dois círculos congruentes, situados em planos paralelos, e por uma congruentes, situados em planos paralelos, e por uma superfície curva que pode ser planificada.superfície curva que pode ser planificada.
ELEMENTOS DO CILINDROELEMENTOS DO CILINDRO
BASES
GERATRIZ
ALTURA
ÁREA LATERAL E ÁREA TOTALÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL
Para calcular as áreas de um cilindro devemos Para calcular as áreas de um cilindro devemos planificá-lo:planificá-lo:
AL
Assim teremos: AL = 2.π.r.h
AB = π. r2
Como: AT = AL + 2. AB
Temos que: AT = 2.π.r.h + 2. π. r2
AB
AB
VOLUMEVOLUME
Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura. área da base pela altura.
V = AV = ABB × h × h
Se a base é um círculo de raio r, então:
V = π.r2. h
CILINDRO EQUILÁTEROCILINDRO EQUILÁTERO
Um cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é Um cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Neste caso, para igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Neste caso, para calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos usar as fórmulas, dadas por: usar as fórmulas, dadas por:
AL = 4. π. r²
AB = π.r²
AT = AL + 2 AB = 6. π.r²
Volume = AB.h = π.r².2r = 2. π.r³
Secção meridiana do cilindroSecção meridiana do cilindro
Chamamos secção meridiana de um cilindro, a interseção Chamamos secção meridiana de um cilindro, a interseção do cilindro com um plano que contém seu eixo.do cilindro com um plano que contém seu eixo.
No cilindro equilátero a secção meridiana é um quadrado
PIRÂMIDEPIRÂMIDE
É um poliedro em que uma das É um poliedro em que uma das faces é um polígono qualquer, a que se faces é um polígono qualquer, a que se chama chama basebase; as outras faces são triângulos ; as outras faces são triângulos que têm um vértice comum, chamado que têm um vértice comum, chamado vértice vértice da pirâmideda pirâmide. .
VÉRTICE
BASE
ELEMENTOS DE UMA PIRÂMIDEELEMENTOS DE UMA PIRÂMIDE
BASE
VÉRTICE
altura
Arestas as pirâmide
Faces triangulares
APÓTEMASAPÓTEMAS
app
apb
app
app é o apótema da pirâmide e também a
altura do triângulo da face.
apb é o apótema da base da pirâmide
ÁREA LATERAL E ÁREA TOTALÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL
Planificando a pirâmide encontraremos triângulos, portanto para o cálculo da área lateral, basta encontrar a área de um destes e multiplicar pelo número de arestas da base.
A área da base será determinada pela área do polígono que está na base.
A área total da pirâmide será dada então por:
AT = AL + AB
VOLUMEVOLUME
Para encontrarmos o volume de uma pirâmide basta fazer um terço da área da base vezes a altura.
EXEMPLOSEXEMPLOS
SÓLIDOSÓLIDO Polígonos das faces do Polígonos das faces do sólidosólido
Áreas e VolumeÁreas e Volume
PirâmidePirâmide
triangulartriangular
3 triângulos iguais3 triângulos iguais
1 triângulo diferente (base)1 triângulo diferente (base)
4 triângulos
1 quadrado
AALL = 3 . A = 3 . A33
AABB = A = A33
Pirâmide Pirâmide QuadrangularQuadrangular
AALL = 4 . A = 4 . A33
AABB = A = A44
3
h.AV 3
3
h.AV 4
TETRAEDROTETRAEDRO
É uma pirâmide formada por quatro regiões triangulares congruentes e eqüiláteras. Nele, qualquer uma das faces pode ser considerada base. O tetraedro é um caso particular de pirâmide regular.
Planificação:
CONE CONE
Um cone é um sólido geométrico formado por todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto V (vértice) em comum e a outra extremidade em um ponto qualquer de uma mesma região plana R (delimitada por uma curva suave, a base).
ELEMENTOS DE UM CONEELEMENTOS DE UM CONE
BASE
VÉRTICE
GERATRIZ
ALTURA
ÁREA LATERAL E ÁREA TOTALÁREA LATERAL E ÁREA TOTALPara calcular as áreas de um cone devemos Para calcular as áreas de um cone devemos planificá-lo:planificá-lo:
área lateral (AL): área do setor circular
área da base (AB):área do circulo do raio R
área total (AT):soma da área lateral com a área da
base
VOLUMEVOLUME
Para encontrarmos o volume de um cone basta fazer um terço da área da base vezes a altura.
Secção meridiana do coneSecção meridiana do cone
É a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura abaixo, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.
Pelo teorema de Pitágoras, temos que:
g2 = r2 + h2
CONE EQUILÁTEROCONE EQUILÁTERO
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
ESFERASESFERAS
Esfera é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual ou menor que o raio R.
Área da superfície esférica e volume Área da superfície esférica e volume
da esferada esfera A área da superfície esférica de raio R é dada por:
O volume da esfera de raio R é dado por:
Secção de uma esferaSecção de uma esfera
OO’ é a distância do plano α ao centro da esfera. Qualquer plano α que seciona uma esfera de raio R determina como seção plana um círculo de raio R’.