CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
GUARULHOS - SP
SUMÁRIO
1 retomando o conceito de função .............................................................................. 4
1.1 Ideia intuitiva de função ................................................................................. 4
2 Funções 5
2.1 A noção de função através de conjuntos .......................................................... 5
2.2 Definição ........................................................................................................... 5
2.3 Domínio, Imagem e Contra-domínio de uma Função ....................................... 6
2.3.1 Estudo do domínio de uma função ................................................... 7
2.3.2 Função sobrejetora, função injetora, função bijetora ........................ 7
3 Função crescente e decrescente ............................................................................. 9
3.1 Funções crescentes .......................................................................................... 9
3.2 Função decrescente ........................................................................................ 11
4 Método para obter extremos de função em um intervalo ....................................... 14
5 Função Linear ........................................................................................................ 16
6 Função quadrática ou função do 2º grau ................................................................ 19
6.1 Definição ......................................................................................................... 19
6.2 Gráfico ............................................................................................................ 19
7 Função Polinomial .................................................................................................. 21
7.1 Valor Numérico de um Polinômio .................................................................... 21
7.2 Grau dos Polinômios ....................................................................................... 21
7.3 Gráficos da Função Polinomial ....................................................................... 22
7.4 Igualdade de Polinômios ................................................................................. 23
7.5 Operações com Polinômios ............................................................................ 24
8 Função Logaritma .................................................................................................. 25
8.1 Gráfico de uma função logarítmica ................................................................ 26
8.2 Características do gráfico da função logarítmica y = logax .............................. 26
9 Funções Exponenciais .......................................................................................... 27
9.1 Propriedades da função exponencial .............................................................. 30
10 LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ...................... 32
10.2 Limite: definição formal ................................................................................. 33
10.3 Propriedades dos limites ............................................................................... 35
10.4 Exemplos iniciais: exercícios resolvidos de Limites ...................................... 39
11 Cálculo Diferencial e Integral ................................................................................ 40
4.1 Cálculo 1: estuda limites, derivadas e integrais .............................................. 40
12 Sistemas lineares ................................................................................................. 41
12.1 Resolução de sistemas lineares.................................................................... 44
12.2 Método da substituição ................................................................................. 48
13 Limites 50
13.1 Noção intuitiva de limites .............................................................................. 50
13.2 Definição de limite ......................................................................................... 54
13.3 Propriedades dos limites ............................................................................... 54
14 Derivada ............................................................................................................... 57
14.1 A Derivada de uma Função .......................................................................... 57
14.2 Regras de Derivação .................................................................................... 58
14.3 Derivada de uma Constante ......................................................................... 58
14.4 Derivada do produto de uma constante por uma função .............................. 58
14.5 Derivada de uma soma ................................................................................. 59
14.6 Derivada de um produto ............................................................................... 59
14.7 Derivada de um quociente ............................................................................ 59
14.8 Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia) ...................................... 61
15 BIBLIOGRAFIA BÁSICA .......................................................................... 62
4
1 RETOMANDO O CONCEITO DE FUNÇÃO
O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O
conceito básico é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de
associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto
um único elemento do segundo, ocorre uma função.
Fonte: brasilescola.uol.com.br
O uso de funções pode ser encontrado em diversos assuntos. Por exemplo,
na tabela de preços de uma loja, a cada produto corresponde um determinado preço.
Outro exemplo seria o preço a ser pago numa conta de luz, que depende da
quantidade de energia consumida.
1.1 Ideia intuitiva de função
O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Ele está
sempre presente na relação entre duas grandezas variáveis. Assim são exemplos de
funções:
• O valor a ser pago numa corrida de táxi é função do espaço percorrido;
• A área de um quadrado é função da medida do seu lado;
• O consumo de combustível de um automóvel é função, entre outros fatores,
da velocidade.
Observe que as relações que vimos a seguir têm duas características em
5
comum:
• A todos os valores da variável independente estão associados valores da
variável dependente;
• Para um dado valor da variável independente está associado um único
valor da variável dependente. As relações que têm essas características são
chamadas de funções.
2 FUNÇÕES
2.1 A noção de função através de conjuntos
Vamos agora, estudar função, usando a teoria dos conjuntos, pois as colunas
vistas na tabela do item anterior representam conjuntos numéricos.
Veja o exemplo:
Dados os conjuntos A =0,5,10 e B =0,5,10,15,20,25, seja a relação de A
em B expressa pela fórmula f(x)= y+5 , com x A, y B,
Definição
Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B, essa relação
f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado
um e somente um elemento y de B.
Pode-se escrever:
f: A → B (lê-se: f é uma função de A em B).
Observação: Podemos usar a seguinte notação para a lei de associação que
define uma função:
6
y=x+5 ou f(x)= x+5
A lei da função pode ser indicada de uma forma ou de outra, pois y e f (x)
significam o mesmo na linguagem matemática.
Exemplo:
Observe os diagramas abaixo, que representam relações de A em R, assinale
com F aquelas que são funções e com R as que não são funções:
2.2 Domínio, Imagem e Contra-Domínio de uma Função
Sejam os conjuntos A =0,1,2 e B =0,1,2,3,4,5 ; vamos considerar a função
f: A → B: definida por y = x +1 ou f(x)=x+1.
Observando o diagrama da função, vamos definir:
7
O conjunto A é denominado domínio da função, que indicamos por D. No
exemplo acima D =0,1,2. O domínio da função também é chamado campo de
definição ou campo de existência da função.
O conjunto 1,2,3, que é um subconjunto de B, é denominado o conjunto
imagem da função e indicamos por Im = 1,2,3 .
O conjunto B, tal que Im B, é denominado contradomínio da função.
No exemplo acima: 1 é a imagem de 0 pela função; f(0)=1
2 é a imagem de 1 pela função; f(1) =2
3 é a imagem de 2 pela função; f(2)=3.
2.2.1 Estudo do domínio de uma função
Quando definimos uma função, o domínio D, que o conjunto de todos os valores
possíveis da variável x, pode ser dado explícita ou implicitamente. Assim:
• Se é dado apenas , sem explicitar o domínio D, está implícito que
x pode ser qualquer número real, ou seja D = R.
• Se dado , com , está implícito que o domínio da
função dada é
• Se é dado apenas sem explicitar o domínio, está implícito que x
pode ser qualquer número real diferente de 2, com isso,
• Se é dado apenas , sem explicitar o domínio D, está implícito
Assim
2.2.2 Função sobrejetora, função injetora, função bijetora
Vamos considerar os seguintes exemplos:
1) definida por y = x2
8
Função Sobrejetora: Dizemos que uma função é sobrejetora se, e somente se, a
imagem for igual ao contradomínio. Em outras palavras, não pode sobrar elementos
de B..
f é sobrejetora ↔️ Im(f) = CD (f)
Você observa que não há elemento de B que não seja imagem de um elemento
de A, isto é, chegam flechas em todos os elementos de B. O conjunto imagem é igual
ao contradomínio da função. Neste caso dizemos que a função f é sobrejetora.
2) definida por y = x + 1
Função injetora: A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem
imagens distintas, ou seja, dois elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto,
não pode ter nenhum elemento do conjunto B que receba duas flechas.
Você observa que não existe elemento de B que seja imagem de mais de um
elemento de A, isto é, em cada elemento de B que é imagem de um elemento de A
chega apenas uma flecha. Neste caso dizemos que a função é injetora.
3) definida por
9
Função Bijetora: Você observa que não existe um elemento de B que não seja
imagem de um elemento de A (é sobrejetora); cada elemento de B é imagem de um
único elemento de A (f é injetora). Neste caso, quando a função f, é ao mesmo tempo,
sobrejetora e injetora, dizemos que f é uma função bijetora.
Você observa que não existe um elemento de B que não seja imagem de um
elemento de A (f é sobrejetora); cada elemento de B é imagem de um único elemento
de A (f é injetora). Neste caso, quando a função f, é ao mesmo tempo, sobrejetora e
injetora, dizemos que f é uma função bijetora.
3 FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE
A função crescente é aquela em que y aumenta toda vez que x é aumentado.
A função decrescente é aquela em que y diminui toda vez que x é aumentado.
Funções são regras que ligam cada elemento de um conjunto a um único
elemento de outro conjunto. Quando se trata de conjuntos numéricos, essas funções
assemelham-se a equações que relacionam os elementos de um conjunto a outro por
meio de suas variáveis. Uma função é crescente quando, aumentando-se os valores
atribuídos ao domínio, os valores do contradomínio ficam cada vez maiores; caso
contrário, a função é decrescente.
Para melhor compreender essas definições, veja alguns exemplos. Observe:
3.1 Funções crescentes
Um exemplo de função crescente é a função y = 4x + 5. Para perceber isso,
observe a tabela a seguir:
10
Observe que o valor de x, a cada linha, é aumentado em uma unidade.
Consequentemente, realizando-se os cálculos de y a partir da função dada,
percebemos que, a cada linha, o valor dessa variável aumenta em quatro unidades.
Assim, quando o valor de x aumenta, o valor de y também aumenta. Por essa
razão, a função é crescente. Além disso, apenas observando o gráfico dessa função,
é possível perceber que ela é crescente, pois, quanto mais à direita, mais alta a reta
fica.
Também é possível dizer que uma função é crescente quando, diminuindo-
se os valores de x, os valores de y diminuem também.
Exemplo:
Mostre que a função y = 7x + 1 é crescente.
11
Se x = 0
y = 7x + 1 = 7·0 + 1 = 1
Se x = 1
y = 7x + 1 = 7·1 + 1 = 8
Como o valor de y aumenta quando aumentamos o valor de x, a função é
crescente.
Observe que essa é uma função do primeiro grau, portanto, o seu gráfico é
uma reta. Em uma mesma reta, é impossível haver intervalos crescentes e
decrescentes. Se em um intervalo a reta for crescente, então, ela será em toda a sua
extensão.
Dessa maneira, basta observar em dois valores de x que y aumenta para garantir que
toda a reta seja crescente.
3.2 Função decrescente
Uma função decrescente é aquela em que o valor da variável y diminui
sempre que a variável x aumenta. Um exemplo de função decrescente é a seguinte:
y = – 3x + 3. Para perceber isso, observe a tabela a seguir:
Observe que, cada vez que o valor de x aumenta uma unidade, o valor de y
diminui três unidades. Dessa maneira, essa função é decrescente.
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Além de observar os valores na tabela, também é possível definir se uma
função do primeiro grau é crescente ou decrescente a partir da análise do seu
gráfico. Observe o gráfico decrescente da função acima:
Exemplo:
Mostre que a função y = – x é decrescente.
Para tanto, basta mostrar que, aumentando-se o valor de x, o valor de y
diminui. Escolheremos, para isso, os valores x = 0 e x = 1. Observe:
Se x = 0,
y = – x = – 0 = 0
Se x = 1,
y = – x = – 1
Observe que, aumentando-se uma unidade no valor de x, o valor de y cai uma
unidade; logo, a função é decrescente.
Como identificar funções crescentes e decrescentes sem cálculos
Existe uma maneira de dizer se uma função do primeiro grau é crescente ou
decrescente sem fazer qualquer cálculo. Para isso, basta observar o valor do
coeficiente “a” da função. Esse coeficiente é proveniente da forma geral da função do
primeiro grau:
y = ax + b
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“a” é o número que multiplica a variável, e b é uma constante. A regra para
identificar se funções do primeiro grau são crescentes ou não é a seguinte:
Se a > 0, a função é crescente;
Se a < 0, a função é decrescente.
Vamos determinar se as funções a seguir são crescentes ou decrescentes.
a) y = 2x
Crescente, pois a = 2 > 0.
b) y = – x
Decrescente, pois a = – 1 < 0.
c) y = – 4x + 7
Decrescente, pois a = – 4 < 0.
d) y = 4x – 7
Crescente, pois a = 4 > 0.
Quando uma função não é crescente nem decrescente, ou seja, quando a =
0, ela é uma função constante. Sempre que aumentamos ou diminuímos o valor de
x, y permanece constante. O gráfico de um exemplo de função constante é o seguinte:
y = 2
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4 MÉTODO PARA OBTER EXTREMOS DE FUNÇÃO EM UM INTERVALO
1. Calculamos a derivada de 𝑓, e resolvemos a equação 𝑓′(𝑥) = 0 para obter
a lista dos pontos críticos de 𝑓 .
2. Excluímos todos os pontos críticos que estão fora do intervalo [a,b].
3. Anexamos à lista as extremidades a e b do intervalo, e os pontos onde a
função não é contínua ou não tem derivada.
4. Aplicamos a função f em cada ponto da lista, sendo que o maior valor é o
valor máximo de 𝑓 , e o menor valor é o valor mínimo de 𝑓 .
Exemplo:
Para obter os mínimos e máximos da função 𝑓 (𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥2 + 5 sobre o
intervalo [−1, 3], primeiro, derivamos a função e fazemos a derivada igual a zero para
obter os pontos críticos, isto é:
4x3 −16x = 0
Dividimos a equação por 4 para obter x3 −4x = 0, fatorando a mesma como:
x(x −2)(x +2) = 0
Os pontos críticos são -2, 0 e 2. Como o intervalo não inclui -2, nós retiramos
este ponto da lista.
Acrescentamos as extremidades do intervalo: -1 e 3 à lista. Desse modo, a
lista de números que podem ser mínimos ou máximos, é formada por:
{−1, 0, 2, 3}
Aplicando a função a estes valores, obtemos (nesta ordem) 𝑓 (−1) =
−2, 𝑓 (0) = 5, 𝑓 (2) = −11, 𝑓 (3) = 14. 𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑓 (3) = 14 é o máximo e 𝑓 (2) =
−11 é o mínimo.
Neste exemplo, o máximo não ocorre em um ponto crítico, mas em uma
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extremidade do intervalo [a,b].
Exemplo:
Temos 200 metros de arame para cercar um jardim retangular com a maior
área possível. Qual devem ser as dimensões do jardim?
Solução:
Seja x a medida da largura e y a medida do comprimento do jardim.
A área retangular é dada por 𝐴 = 𝑥 𝑦.
Como o perímetro é 200 metros, sabemos que 2𝑥 + 2𝑦 = 200, e extraindo
o valor de y nesta relação obtemos 𝑦 = 100 − 𝑥. Agora, podemos reescrever a
função que fornece a área usando apenas a variável x, na forma:
𝐴(𝑥) = 𝑥 𝑦 = 𝑥(100 − 𝑥) = 100𝑥 – 𝑥².
A derivada desta função com respeito à variável 𝑥 é 𝐴′ (𝑥) = 100 − 2𝑥.
Tomando a expressão da derivada igual a zero, obtemos:
100 − 2𝑥 = 0
Figura: Parábola associada ao problema do jardim
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Resolvendo esta equação, obtemos apenas um ponto crítico 𝑥 = 50.
Qual é o intervalo que representa o domínio desta função?
Quais são as extremidades deste intervalo?
Aqui, vamos considerar x ≥ 0 e y ≥ 0 para podermos calcular a área.
Como 𝑦 = 100 − 𝑥, devemos ter que x ≤ 100.
Assim, o intervalo é [0, 100].
Calculando a função 𝐴(𝑥) = 𝑥(100 − 𝑥) nos pontos 0, 50 e 100, obtemos A(0)
= 0, A(50) = 2500, A(50) = 0.
Assim, temos 𝑦 = 100 − 50 = 50, e a área máxima é A(50) = 50(50) = 2500
5 FUNÇÃO LINEAR
A função linear é um caso particular de função afim que apresenta a lei de
formação do tipo f(x) = ax, em que a é real e diferente de zero.
Confira o que é uma função linear e como é o seu gráfico!
Uma função afim ou função do 1° grau é caracterizada por apresentar uma lei
de formação do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎 · 𝑥 + 𝑏, na qual os coeficientes a e b são números
reais, além de, necessariamente, a ser diferente de zero (a ≠ 0). O gráfico de uma
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função afim é uma reta que pode tocar o eixo x do plano cartesiano em um único
ponto, que é chamado de zero da função.
Agora que relembramos a função do 1° grau, vamos falar sobre um tipo muito
especial, a função linear. Essa função apresenta uma lei de formação em que b = 0,
restando apenas a relação 𝑓(𝑥) = 𝑎 · 𝑥, com a e a ≠ 0.
Como é uma função do 1° grau, o gráfico da função linear é também uma reta.
A diferença é que essa reta sempre intercepta a origem do sistema de coordenadas,
isto é, o ponto (0, 0).
Vejamos algumas funções lineares acompanhadas de seus gráficos:
Exemplo 1: 𝑓(𝑥) = 𝑥
Essa é uma função linear porque seus coeficientes são: a = 1 e b = 0. A função
𝑓(𝑥) = 𝑥 é ainda chamada de função identidade, um caso particular da função
linear. Podemos ainda dizer que essa função é crescente, pois o coeficiente a é
positivo.
Gráfico da função linear e função identidade
Exemplo 2: 𝑓(𝑥) = – 2𝑥
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Essa também é uma função linear, pois seus coeficientes são a = – 2 e b = 0.
Podemos ainda dizer que essa função é decrescente, uma vez que a < 0.
Gráfico da função linear f(x) = – 2x
Exemplo 3: 𝑓(𝑥) =3𝑥
2
Temos aqui uma função linear com coeficientes a = 3/2 e b = 0. Essa é uma
função crescente, pois a > 0.
Gráfico da função linear f(x) = 3/2 x
Exemplo 4: 𝑓(𝑥) = −𝑥
3
19
A função f(x) é linear, pois seus coeficientes são a = – 1/3 e b = 0, e
decrescente, já que a < 0.
Gráfico da função linear f(x) = 3/2
6 FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO DO 2º GRAU
6.1 Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer
função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são
números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas:
f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
6.2 Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é
uma curva chamada parábola.
Por exemplo, vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
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Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor
correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
x y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos
sempre que:
• se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
21
7 FUNÇÃO POLINOMIAL
As funções polinomiais são definidas por expressões polinomiais. Elas são
representadas pela expressão:
f(x) – an . Xn = an-1 . xn-1 + ... + a2 . x2 + a1 . x + a0
onde:
n: número inteiro positivo ou nulo
x: variável
a0, a1, ....an – 1, an: coeficientes
an . xn, an – 1 . xn – 1, ... a1 . x , a0: termos
Cada função polinomial associa-se a um único polinômio, sendo assim chamamos as
funções polinomiais também de polinômios.
7.1 Valor Numérico de um Polinômio
Para encontrar o valor numérico de um polinômio, substituímos um valor numérico na
variável x.
Exemplo:
Qual o valor numérico de p(x) = 2x3 + x2 - 5x - 4 para x = 3?
Substituindo o valor na variável x temos:
2 . 33 + 32 - 5 . 3 - 4 = 54 + 9 - 15 - 4 = 44
7.2 Grau dos Polinômios
Dependendo do expoente mais elevado que apresentam em relação à
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variável, os polinômios são classificados em:
• Função polinomial de grau 1: f(x) = x + 6
• Função polinomial de grau 2: g(x) = 2x2 + x - 2
• Função polinomial de grau 3: h(x) = 5x3 + 10x2 - 6x + 15
• Função polinomial de grau 4: p(x) = 20x4 - 15x3+ 5x2 + x - 10
• Função polinomial de grau 5: q(x) = 25x5 + 12x4 - 9x3 + 5x2 + x - 1
Obs: o polinômio nulo é aquele que possui todos os coeficientes iguais a zero.
Quando isso ocorre, o grau do polinômio não é definido.
7.3 Gráficos da Função Polinomial
Podemos associar um gráfico a uma função polinomial, atribuindo valores a x
na expressão p(x).
Desta forma, encontraremos os pares ordenados (x,y), que serão pontos
pertencentes ao gráfico.
Ligando esses pontos teremos o esboço do gráfico da função polinomial.
Veja alguns exemplos de gráficos:
Função polinomial de grau 1
23
Função polinomial de grau 2
Função polinomial de grau 3
7.4 Igualdade de Polinômios
Dois polinômios são iguais se os coeficientes dos termos de mesmo grau são
todos iguais.
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Exemplo:
Determine o valor de a, b, c e d para que os polinômios p(x) = ax4 + 7x3 + (b
+ 10)x2 - c e h(x) = (d + 4)x3 + 3bx2 + 8.
Para os polinômios serem iguais é necessário que os coeficientes
correspondentes sejam iguais.
Então,
a = 0 (o polinômio h(x) não tem o termo x4, sendo assim seu valor é igual a
zero)
b + 10 = 3b → 2b = 10 → b = 5
- c = 8 → c = - 8
d + 4 = 7 → d = 7 - 4 → d = 3
7.5 Operações com Polinômios
Confira abaixo exemplos das operações entre polinômios:
Adição
(- 7x3 + 5x2 - x + 4) + (- 2x2 + 8x -7)
- 7x3 + 5x2 - 2x2 - x + 8x + 4 – 7
- 7x3 + 3x2 + 7x -3
Subtração
(4x2 - 5x + 6) - (3x - 8)
4x2 - 5x + 6 - 3x + 8
4x2 - 8x + 14
Multiplicação
(3x2 - 5x + 8) . (- 2x + 1)
- 6x3 + 3x2 + 10x2 - 5x - 16x + 8
25
- 6x3 + 13x2 - 21x + 8
Divisão
Obs: Na divisão de polinômios utilizamos o método chave. Primeiramente
realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e depois a divisão de potências
de mesma base. Para isso, conserva-se a base e subtraia os expoentes.
A divisão é formada por: dividendo, divisor, quociente e resto.
divisor . quociente + resto = dividendo
Teorema do Resto
O Teorema do Resto representa o resto na divisão dos polinômios e possui o
seguinte enunciado:
O resto da divisão de um polinômio f(x) por x - a é igual a f(a).
8 FUNÇÃO LOGARITMA
Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 é
denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é
representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o
conjunto dos reais.
Exemplos de funções logarítmicas:
• f(x) = log2x
• f(x) = log3x
26
• f(x) = log1/2x
• f(x) = log2(x – 1)
8.1 Gráfico de uma função logarítmica
Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a
duas situações:
a > 1
Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma:
0 < a < 1
Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma:
8.2 Características do gráfico da função logarítmica y = logax
27
O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0.
Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1.
Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a
Im(imagem) = R.
Através dos estudos das funções logarítmicas, chegamos à conclusão de que
ela é uma função inversa da exponencial. Observe o gráfico comparativo a seguir:
Podemos notar que (x,y) está no gráfico da função logarítmica se o seu
inverso (y,x) está na função exponencial de mesma base.
9 FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Função exponencial ocorre quando temos uma variável no expoente e o
número é determinado como base.
28
Fonte: mundoeducacao.bol.uol.com.br
Veja dois exemplos de gráficos de funções exponenciais:
Gráfico de função exponencial (Foto: Colégio Qi)
Temos os gráficos de f(x) = 2x (azul) e g(x) = 2-x (vermelho). Observando esses
dois gráficos poderemos entabular algumas propriedades gerais importantes,
Vejamos: Os gráficos estão passando pelo ponto (0,1);
Para quaisquer valores de x os valores de f(x) serão positivos. Denomina-se
o eixo dos x como “assíntotas horizontais”; Obs.: Reta assíntota (ou assintótica) é uma
reta tal que a distância de um ponto de uma curva a essa reta tende para zero quando
o ponto se afasta ao infinito sobre a curva. A reta assintótica e a curva ficam
arbitrariamente próximas conforme se afastam da origem do sistema de coordenadas.
O gráfico de f(x) = 2x é nitidamente crescente, isso vai ocorrer toda e qualquer
vez que a > 1, já o gráfico de g(x) = 2-x tem o aspecto de uma função decrescente e
29
isso vai ocorrer toda e qualquer vez em que 0 < a < 1;
O domínio das duas funções é o conjunto dos números reais, porém a imagem
será determinada por ]0,+∞[
Observe agora o gráfico ao lado e note as funções f(x) = 2
Função exponencial (Foto: Colégio Qi)
Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a
taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros
capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas,
desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre
outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se
necessário, as regras envolvendo potenciação.
Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções
exponenciais.
Exemplo 1
Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor,
t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante
real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor
que ela foi comprada. Temos que v(10) = 12 000, então:
v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
30
12 000 = v0 * 1/4
2 000 / (1/ 4) = v0
v0 = 12 000 * 4
v0 = 48 000
A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48000,00.
Exemplo 2
Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500
bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB
do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.
Temos a seguinte função exponencial:
P(x) = P0 * (1 + i)t
P(x) = 500 * (1 + 0,03)20
P(x) = 500 * 1,0320
P(x) = 500 * 1,80
P(x) = 900
O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões.
9.1 Propriedades da função exponencial
As propriedades da função exponencial resultam das potências e podem
facilitar os cálculos com esse tipo de função que possui uma variável no expoente.
1ª Propriedade: Se x = 0, então f(x) = 1
Isso acontece por causa das propriedades de potências. Observe o que
ocorre à função f(x) = 2x quando x = 0:
f(x) = 2x
f(0) = 20
f(0) = 1
No entanto, esse resultado vale para todo a pertencente aos números reais,
pois qualquer número elevado a zero será igual a um.
31
2ª Propriedade: Se a > 1, então, a função exponencial será crescente
Uma função é considerada crescente quando dados os dois valores distintos
do domínio x1 e x2, com x1 < x2: f(x1) < f(x2).
Assim, na função exponencial, podemos observar os expoentes x1 e x2. Toda
vez que x1 < x2, e que a > 1, teremos como consequência ax1 < ax2.
Por exemplo: f(x) = 2x. Observe que a = 2, que é maior que 1. Assim, essa
função é crescente. Por isso, tomando x1 = 1 e x2 = 2, teremos:
ax1 < ax2
21 < 22
2 < 4
3ª Propriedade: Se “a” for menor que 1 e maior que zero, então, a função
exponencial será decrescente.
Uma função é considerada decrescente quando dados os dois valores
distintos do domínio x1 e x2, com x1 < x2: f(x1) > f(x2).
Assim, na função exponencial, podemos observar os expoentes x1 e x2.
Toda vez que x1 < x2, e que 0 < a < 1, teremos como consequência ax1 > ax2.
Por exemplo: f(x) = 0,5x. Nesse exemplo, a = 0,5 e está no intervalo referente
a essa propriedade. Como essa função é decrescente, se x1 = 1 e x2 = 2, teremos:
x1 < x2
ax1 > ax2
0,51 > 0,52
0,5 > 0,25
Observe que “a” é obrigatoriamente diferente de 1 por definição da função e,
se for igual a zero, a função será contemplada pela primeira propriedade. Por isso, o
intervalo aberto 0 < a < 1.
4ª Propriedade: Sempre que ax1 = ax2, teremos x1 = x2.
Isso acontece para todo valor de x, desde que a ≠ 1 e a > 0.
32
Por exemplo: na função f(x) = 7x. Se f(x1) = 49 e f(x2) = 49, teremos:
f(x1) = f(x2)
ax1 = ax2
7x1 = 7x2
Como o resultado das duas potências, no exemplo, é igual a 49, então, x1 e
x2 só podem ser iguais a 2
x1 = x2 = 2
5ª Propriedade: O gráfico da função exponencial sempre estará localizado acima
do eixo x.
Isso acontece porque, por definição, “a” sempre será maior que zero em toda
função exponencial. Como “a” é base de uma potência, o resultado dessa potência
sempre será maior que zero. Isso significa que, no plano cartesiano, os valores de f(x)
correspondentes a y nunca serão negativos, ou seja, nunca ficarão abaixo do eixo x.
Quando a função é decrescente, os valores de y no plano cartesiano
aproximam-se de zero sempre que o valor de x aumenta. Caso contrário, a função
afastar-se-ia de zero com o aumento de x.
10 LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
10.1 Limites e Continuidade: definição, propriedades e exemplos
O limite de uma função descreve o valor em que uma função assume em um
determinado ponto quando aproxima-se cada vez mais deste ponto.
Por exemplo, queremos saber o limite de no ponto x = 2.
Vamos atribuir valores para x de modo que se aproxime cada vez mais de x
= 2, tanto pela direita como pela esquerda.
33
Pela esquerda ( x < 2 ) Pela direita ( x > 2 )
X f(x) x f(x)
1 5 3 7
1,5 5,5 2,5 6,5
1,9 5,9 2,1 6,1
1,95 5,95 2,05 6,05
1,99 5,99 2,01 6,01
1,999 5,999 2,001 6,001
Ao analisar o limite desta função no ponto f(2) observa-se que o valor da
função aproxima-se cada vez mais de 6 por ambos os lados.
Assim, pode-se dizer que a função f(x) tende a 6 tanto pela direita como pela
esquerda, ou seja, o Limite desta função no ponto indicado é 6.
Matematicamente, o cálculo do limite é representado da seguinte forma:
,
onde diz-se: limite de f(x) quando x tende a “a”.
De modo geral, calcula-se o limite nos pontos na qual a função possui alguma
particularidade, como: assíntotas, degrau, ou também em e .
Caso os limites laterais no ponto a sejam diferentes, o limite neste ponto não
vai existir. Mas isso, veremos mais adiante nas propriedades do limite e no teorema
de existência.
10.2 Limite: definição formal
Cabe ressaltar que, em matemática, o conceito de limite é usado para
descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se
aproxima de um determinado valor. Assim como o comportamento de uma sequência
34
de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para
infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise
matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.
Em outras palavras, pode-se dizer que uma função possui limite em a se os
pontos em x presentes em um pequeno intervalo entorno de a produzem valores de f
(x) em um pequeno intervalo entorno de L.
Gráfico
A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O
conceito de limite pode ser aprendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.
Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que “tende” a
ser um determinado número. Ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número.
Entretanto, vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer
uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite
é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor
de x difere de x0 arbitrariamente muito pouco também.
35
Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para
resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor. Porque para
o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno
deste ponto. Por isso, quando falamos que um número “tende” a ser n, por exemplo,
o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito
anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função
que está ocorrendo apenas.
10.3 Propriedades dos limites
Apresentam-se as principais Propriedades dos Limites, entretanto sem fazer
sua demonstração. Além do mais, estas propriedades são muito úteis na resolução
de problemas envolvendo cálculo de limites.
1) Propriedade da unicidade do Limite
2) Propriedade do Limite de uma função constante
3) Propriedade de soma ou da subtração dos Limites
36
4) Propriedade da multiplicação por escalar do Limite
Obs.: O sinal, x simboliza simplesmente uma multiplicação entre dois termos e não o
operador rotacional.
5) Propriedade da multiplicação de Limites
6) Propriedade da divisão de Limites
7) Propriedade da potência de Limites
8) Propriedade do exponencial do Limite
37
9) Propriedade do logaritmo do Limite
10) Propriedade da raiz do Limite
11) Propriedade do confronto (sanduiche) dos Limites
38
12) Propriedade dos polinômios
13) Propriedade da divisão de polinômios
39
10.4 Exemplos iniciais: exercícios resolvidos de Limites
Exemplo 1
Obs: Toda vez que se calcula um limite deve-se iniciar aplicando o valor na qual
deseja-se saber o limite. Somente se der alguma indeterminação deve-se recorrer a
outros métodos e técnicas.
Ou seja, a ideia é literalmente substituir o valor para o qual x está tendendo dentro do
limite. Então, isso é possível porque temos um polinômio e um teorema que garante
que
onde p(x) é um polinômio de ordem n.
Embora não seja nosso intuito entrar nessa parte mais teórica que foge do
escopo, cabe ressaltar que podemos aplicar esse teorema para todas as funções que
forem analíticas, ou seja, que tenham uma expansão local em série de Taylor. Como
função seno, cosseno, Raiz de qualquer ordem, função exponencial, etc.
Em outras palavras, para praticamente todas as funções mais conhecidas
podemos usar esse teorema e simplesmente substituir o valor de x dentro do limite.
Assim, aplicando as propriedades 2, 3 e 4 tem-se:
Exemplo 2
40
Da mesma forma, como no exemplo anterior, deve-se abrir em vários limites
aplicando as propriedades 2, 3, 4 e 6. Assim, tem-se:
Exemplo 3
Resolve-se este exemplo da mesma forma que os anteriores, porém necessita-
se também da propriedade 10 da raiz.
11 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
O Cálculo Diferencial e Integral nada mais é que uma ferramenta de análise
de funções, que pode ser utilizado nas mais variadas formas para resolver problemas
simples e complexos.
Conceitos básicos de limites, derivadas e integrais
O Limite é uma forma de avaliar o comportamento de uma função na medida
que chegamos próximo a um valor. Por exemplo, sabemos que não podemos dividir
qualquer número por zero. Mas podemos avaliar como uma função (1/x) se comporta
na medida que x tende a zero, ou seja, que x seja muito próximo de zero. E isso é
muito útil para resolver uma série de problemas.
Partindo deste conceito estudamos as Derivadas, que nada mais são do que
41
uma aplicação específica de limites. O conceito de derivada estuda a variação das
funções, como uma dada função varia na medida que variamos o seu valor de x. Com
isso podemos saber se a função cresce e qual a taxa de crescimento dela. Um uso
muito comum serve para identificar pontos máximos e mínimos de uma função. Como
sabemos que nesse ponto a variação da função é igual a zero (devido a uma mudança
de sentido), podemos facilmente identificar em que ponto a função tem seu valor
máximo ou mínimo.
Por último chegamos no conceito de Integrais. Trata-se da operação inversa
àquelas realizadas pela derivação em busca de identificar a função de origem a partir
da sua derivada. O conceito da integral surgiu a partir da necessidade de se calcular
a área de uma região curva não simétrica. Por exemplo, a área sobre o gráfico da
função f(x) = x² é difícil de ser calculado, pois não existe uma ferramenta exata para
isso. Outro problema conhecido é o da distância. Sabemos calcular a distância
percorrida por um objeto quando sua velocidade é constante. Isso também pode ser
feito através do gráfico de velocidade em função do tempo, mas quando essa
velocidade não é constante não conseguimos calcular esta distância de uma maneira
tão simples.
Estas foram algumas das situações para o surgimento da integral, mas
lembrando que a integral possui várias aplicações além dessas, como o cálculo de
áreas, volumes e suas aplicações na física e na biologia.
12 SISTEMAS LINEARES
Equação Linear: É toda equação que possui variáveis e apresenta na seguinte
forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ..., são os coeficientes
reais e o termo independente e representado pelo número real b.
Exemplos:
x + y + z = 20
2x –3y + 5z = 6
4x + 5y – 10z = –3
x – 4y – z = 0
42
Sistema Linear
Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um
sistema linear com p equações e n incógnitas.
Exemplos:
Sistema linear com duas equações e duas variáveis:
x + y = 3
x – y = 1
Sistema linear com duas equações e três variáveis:
2x + 5y – 6z = 24
x – y + 10z = 30
Sistema linear com três equações e três variáveis:
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10
Sistema linear com três equações e quatro variáveis:
x – y – z + w = 10
2x + 3y + 5z – 2w = 21
4x – 2y – z + w = 16
Solução de um sistema linear
Dado o sistema:
x + y = 3
x – y = 1
43
Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as
duas equações do sistema linear. Observe:
x = 2 e y = 1
2 + 1 = 3 3 = 3
2 – 1 = 1 1 = 1
Dado o sistema:
2x + 2y + 2z = 20
2x – 2y + 2z = 8
2x – 2y – 2z = 0
Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz
as três equações do sistema linear. Veja:
2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20 10 + 6 + 4 = 20 20 = 20
2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8 10 – 6 + 4 = 8 8 = 8
2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0 10 – 6 – 4 = 0 0 = 0
Classificação de um sistema linear
Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas
por ele.
• Sistema Possível e Determinado (SPD): há apenas uma solução possível, o que
acontece quando o determinante é diferente de zero (D ≠ 0).
• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): as soluções possíveis são infinitas, o
que acontece quando o determinante é igual a zero (D = 0).
• Sistema Impossível (SI): não é possível apresentar qualquer tipo de solução, o
que acontece quando o determinante principal é igual a zero (D = 0) e um ou mais
determinantes secundários são diferentes de zero (D ≠ 0).
44
Associando um sistema linear a uma matriz.
Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão
as linhas e as colunas da matriz, respectivamente. Veja exemplo:
O sistema:
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10
pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta.
Matriz completa
1 10 -12 120
4 -2 -20 60
-1 1 5 10
Matriz incompleta
1 10 -12
4 -2 -20
-1 1 5
12.1 Resolução de sistemas lineares
Regra de Cramer
A Regra de Cramer é utilizada na resolução de sistemas SPD (sistemas possíveis e
determinados). Tem os seguintes passos:
45
Para calcular o determinante principal, formamos uma matriz com os coeficientes das
variáveis;
Para calcular os determinantes secundários, substituímos as colunas das variáveis
pela coluna do termo independente;
Obtemos as soluções para o sistema pela fórmula:
46
47
Método da adição
Exemplo:
O método da soma consiste em eliminar uma das incógnitas “x” ou “y” e desta
forma trabalhar com a solução primeiro de uma incógnita e depois da outra.
Para eliminarmos a incógnita “x”, por exemplo, devemos multiplicar os valores
da primeira equação por (-2) e depois somar o resultado com a segunda equação.
48
Método da substituição
Exemplo:
Resolver o sistema anterior pelo método da substituição:
O objetivo do método é o mesmo do método da adição, porém devemos isolar
uma das incógnitas da adição, porém devemos isolar uma das incógnitas da primeira
equação e substituí-la na segunda equação.
49
Vamos Praticar?
Atividades
1- João gosta muito de animais de estimação e de charadas. Certo dia um amigo
perguntou-lhe quantos cachorros e quantos gatos ele tinha. Prontamente João
respondeu com o seguinte enigma: “A soma do dobro do número de cachorros e do
triplo do número de gatos é igual a 17. E a diferença entre o número de cachorros e
de gatos é apenas 1”. Será que você consegue desvendar esse enigma e descobrir
quantos cachorros e quantos gatos João possui?
2- Em sua rua, André observou que havia 20 veículos estacionados, dentre motos e
carros. Ao abaixar-se, ele conseguiu visualizar 54 rodas. Qual é a quantidade de
motos e de carros estacionados na rua de André?
3- A soma das idades de Joaquim e Lúcio é 60 anos. Sabendo que a idade de Joaquim
é o triplo da idade de Lúcio, qual é a idade de cada um deles?
4- João cria 60 animais em sua fazenda. Alguns deles eram vacas, outros eram
galinhas. Sabendo que o total de patas registradas em uma inspeção foi de 220,
quantas vacas João cria?
5- Uma fábrica produz 240 peças de metal, algumas delas medindo 30 e outras
medindo 40 centímetros. Sabendo que o comprimento total das peças produzidas é
igual a 7600 centímetros, quantas peças de 30 centímetros foram produzidas?
6- Qual é o par ordenado que resolve o sistema a seguir?
50
Gabarito
1- 3 gatos e 4 cachorros
2- 13 motos e 7 carros
3- 15 e 45 anos
4- 50 vacas
5- 200 peças
6- (10,40)
13 LIMITES
O conceito de limite é fundamental no cálculo diferencial, um campo da
Matemática que teve início no século XVII e é bastante fértil em resultados e
aplicações em várias áreas do conhecimento, como a Física, a Engenharia, a
Economia, a Geologia, a Astronomia, a Biologia, entre outras.
Fonte: noticias.universia.pt
13.1 Noção intuitiva de limites
Vamos analisar alguns casos em que aparece a ideia informal e intuitiva de
limite.
Exemplos:
a) Vamos considerar una região quadrada de área igual a 1. Num primeiro
momento vamos colorir a metade do quadrado
51
Parte Colorida: ½ da figura.
No momento seguinte, colorimos metade da região e mais metade do que restou:
No próximo, colorimos o que havia sido colorido e mais metade do que restou:
E assim, sucessivamente e indefinidamente, a área da região colorida
resultante vai tendendo a 1. Dizemos, então, que o limite desse desenvolvimento,
quando o número de momentos tende ao infinito, é colorir a figura toda, ou seja, obter
uma área colorida igual a 1.
b) Seja a função f (x) = 2x +1. Vamos dar valores de x que se aproximem de
1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e
calcular o valor correspondente de y:
Notemos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja,
quando x tende a 1 (x→1), y tende para 3 (y→3), ou seja:
52
Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função
é 3.
Esse é o estudo do comportamento de f (x) quando x tende para 1 ( x →1 ).
Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f (x) tende para 3 ( f (x) → 3 ), dizemos que
o limite de f (x) quando x →1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x =1 o
valor de f (x) não seja 3.
De forma geral, escrevemos:
se, quando x se aproxima de a (x → a ), f (x) se aproxima de b ( f (x) → b )
c) Estudaremos agora o comportamento de uma função f nas proximidades
de um ponto. Seja:
Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais
simples:
Vamos analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x =
1, ponto este que não pertence ao domínio de f.
53
Portanto quando nos aproximemos de x = 1, pela esquerda e pela direita, o
valor desta função se aproxima de 2.
Neste caso dizemos que:
Vamos Praticar?
1) Considere a região do plano limitada pelo triângulo retângulo de base fixa e igual a
4cm. Faça a altura ir se aproximando de 3, mas sem nunca atingir 3, isto é, faça a
altura tender a 3. Complete a tabela dada e verifique para que valor está tendendo a
área dessa região.
2) O que ocorre, no limite, com a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo se
mantivermos a medida de um cateto constante e a do outro cateto for diminuindo,
54
tendendo a 0 (mas nunca 0)?
Gabarito
1) A área tende a 6 quando a altura tende a 3.
2) Se h tende a 0, então a tende a b.
13.2 Definição de limite
Dizemos que o limite da função f (x) quando x tende a “a” é igual ao número
real L se, e somente se, os números reais f (x) para os infinitos valores de x
permanecem próximos a L, sempre que x estiver muito próximo de “a”.
Indica-se:
13.3 Propriedades dos limites
1°) Limite de uma constante.
O limite de uma constante é a própria constante.
2°) Limite da soma e diferença
O limite da soma é soma dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.
3°) Limite do produto
55
O limite do produto é o produto dos limites
4°) Limite do quociente
O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não
seja zero.
5°) Limite de uma potência
O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima
do limite.
6°) Limite da raiz
O limite da raiz enésima de uma função é igual a raiz enésima do limite dessa
função.
56
Vamos Praticar?
1) Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedades dos limites que
foram usadas.
2) Calcule o limite, caso existir.
Gabarito
57
14 DERIVADA
Derivadas: por definição as derivadas representam a taxa de variação de uma
função...
Derivadas (individual, obtida empiricamente): como o próprio nome indica
"derivada" traduz de onde provêm uma função qualquer ou de onde ela deriva/ou, o
que lhe deu origem, etc.
Assim a adoção deste segundo conceito pode levar a escolha certa do cálculo
em causa, dependendo, da interpretação que lhe é atribuída.
Fonte: pythondiario.com
14.1 A Derivada de uma Função
Dizemos que uma função é derivável (ou diferençável) quando existe derivada
em todos os pontos de seu domínio.
58
14.2 Regras de Derivação
As regras de derivação permitem determinar as derivadas das funções sem o
uso da definição.
14.3 Derivada de uma Constante
Regra da Potência (expoente positivo)
Demonstração
14.4 Derivada do produto de uma constante por uma função
59
14.5 Derivada de uma soma
14.6 Derivada de um produto
14.7 Derivada de um quociente
60
Regra da Potência (expoente negativo)
61
14.8 Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia)
Vamos Praticar?
Calcule a derivada das funções abaixo:
Gabarito
a)
b) c)
62
15 BIBLIOGRAFIA BÁSICA
CONNALLY E.; HUGHES-HALLETT, D.; GLEASON, A. M. Funções para modelar
variações: uma preparação para o cálculo. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
MEDEIROS, V.; CALDEIRA, A.; SILVA, L.; MACHADO, M.; Pré-cálculo. São Paulo:
Pioneira Thomson Learning, 2006
THOMAS, G. B.; WEIR, M.D.; HASS, J. Cálculo 1: volume 1. 1. ed. São Paulo:
Addison Wesley, 2009.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar: volume 3. 8. ed. São Paulo:
Atual, 2004.
LIMA, E. L. Logaritmos. Rio de Janeiro: SBM, 1994. (Coleção do Professor de
Matemática).
LIMA, E.; CARVALHO, P.; WAGNER, E.; MORGADO, A. Matemática do ensino
médio: volume 1. Rio de Janeiro: SBM, 1992. (Coleção do Professor de
Matemática).
MEDEIROS, S. Cálculo básico para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2004.
TROTTA, F.; IMENES, L.; JAKUBOVIC, J. Matemática aplicada: volumes 1, 2 e 3.
São Paulo: Moderna, 1941.
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