J. SEBASTIÃO E SILVA

2. 0 volume

Curso Complementar do Ensino Secundário

Edicão G EP o

LI SBOA

CAPrTULO 11

INTRODUÇAO AO CALCULO INTEGRAL

1 . O problema da primitivaçio. Como é sabido, o conceito

matemático de 'derivada' traduz, em abstracto, o conceito trsico de

'velocidade'. Quando se ·conhece a equação do movimento de um

ponto,

S=f(t),

que dá o espaço, s, percorrido pelo móvel, em função do tempo t,

contado a partir do instante inicial, a velocidade é obtida como

derivada do espaço em ordem ao tempo:

ds V= -= f'(t)

dt

Por exemplo, se a equação dos espaços é

s = 5t- 4,9 t2

203

J . BEBABTIAO E S l l.iVA

(com sem metros e tem segundos), a equação das velocidades será:

v = 5- 9,8 t

Se a equação dos espaços é da forma

s =a cose t (movimento vibratório simples)

a equação das velocidades será:

v = - a c.u sen c.u t , etc.

Consideremos, agora, o problema inverso:

Dada a equação das velocidades, v = f(t) , achar a equação do

movimento, s = F(t) .

Em abstracto, o problema põe-se nestes termos:

Dada uma função f, determinar uma função F, cuja derivada seja f,

isto é, tal que

DF= f

Uma tal função F chama-se primitiva de f (atendendo a que

se chama a derivada de F).

Ora, o problema assim posto (chamado 'problema da primitivsção)

nem sempre é possfvel e, quando possrvel, é sempre indeterminado.

Por exemplo, se for f(x) = cos x, uma primitiva de f será a

funçAo F0 tal que F0 (x) = sen x. Mas há outras primitivas de f; por

204

OOMPSNDIO DE MATEMATIOA

exemplo F 3(x) = sen x + 3 e, de um modo geral, toda a função F

tal que

F(x) = sen x + C

em que C é uma constante arbitrária, visto que a derivada de uma

constante é sempre zero e, portanto:

Dx(sen x +C)= cosx

Existe, pois, uma infinidade de primitivas de cos x. Mas estarão

todas inclurdas ·na expressão sen x+ C? Vamos ver que sim.

Com efeito, já se viu intuitivamente o seguinte ( Comp§ndío ds

Algebra, Cap. VIl I, p. 242, 111):

TEOREMA. Se uma função tem derivada nula em todos os

pontos de um intervalo, a função é constante nesse intervalo.

Daqui resulta o seguinte

COROLÁRIO. Se duas funções F e G têm derivadas finitas

num dado intervalo, então F-G é constante nesse intervalo.

Com efeito, se F e G admitem derivadas finitas iguais num dado

intervalo, teremos nesse intervalo DF-DG=O e, portanto, D(F-G)=O,

donde se deduz, aplicando o teorema, que F-G é constante no

referido intervalo.

Daqui se conclui a seguinte regra ·fundamental:

Se uma função f tem uma primitiva F 0 num dado intervalo,

205

J. ·8EBA8TIAO E B'ILV A

então f tem ai uma infinidade de primitivas, que são todas dadas

pela fórmula,

F= F0 +C

em que C é uma constante arbitrária.

Com efeito, seja F 0 uma primitiva de f . Então, se C é uma

constante, tem-se:

D(F0 +C) = DF0 + DC = DF0 =f

Reciprocamente, se F é também uma primitiva de f, a diferença

F- F 0 é uma constante C, segundo o corolário anterior, e portanto

F= F0 +C.

Assim, por exemplo, as primitivas da função cos x são todas

as funções dadas pela expressão sen x +C, onde C é uma cons­

tante arbitrária.

Dum modo geral, se f tem primitiva, designaremos por Pf uma

primitiva de f escolhida arbitrariamente.

Ter-se-á, pois, por definição:

(1) DPf =f,

isto é:

A derivada de uma primitiva de f é f.

Mas podemos escrever apenas:

(2) PDf =f+ C,

206

OOMP!bNDIO DE MATEMATIOA

isto é:

Uma primitiva qualquer da derivada de f é igual a f mais uma constante (num intervalo em que f tenha derivada finita).

A fórmula ( 1 ) mostra que a operaç~o de primitivação (operação

plurfvoca) é inversa da operação de derivação à direita. Mas

não é inversa à esquerda, como indica a fórmula (2).

2. Primitivações imediatas. Para primitivar certas funções,

basta inverter algumas das regras de derivação que foram dadas

anteriormente. Por exemplo:

D sen x = cos x donde P cos x = sen x + C

D cos x = - sen x )) P sen x = - cos x + C

D x« + 1 = (ex:+ 1 ) xcx: xcx:+,

)) p xcx: = +C(«#= -1) «+1

1 1 O log x =- )) P - = log x + C (x > O)

X X

D ex= ex )) Pex=ex+C

ax D ax = ax log a )) Pax = +C

Ioga

1 1 O arcsen x =

Y1-x2 » p

Y1-x 2 =are sen x +C

1 1 O arctg x = )) p =are tg x +C

1 +x 2 1 +x 2

207

.: : .J:. · .8EBA:STIAO E 81LV'A -· .. ·

Note-se que o teorema das funções compostas permite reconhe­

cer que ( 1)

1 D log lxl =­

X

Portanto, uma .primitiva de 1/x será log lxl para x >O ou x <O.

Mais geralmente, se, em vez de x,· tivermos u = cp(x), sendo cp

uma função com derivada finita, podemos associar o teorema das

funções compostas às regras anteriores e organizar, assim, uma

lista de primitivas, chamadas primitivas imediatas:

( 1 ) Com efeito, se x > O tem-se I xl = x e recai -se na regra anterior. Se . . . 1 1 1

x <O tem-se lxl =- x e assim O log lxl =- • O x =-- • (-1) =-. ' X jxl X X X

208

OOMP11JND10 DE MATEMÁTICA

Em muitos casos, consegue-se dar à função f uma destas for­

mas, por transformação simples:

EXEMPLOS:

1 1 (fórmula 2) P sen 3x = - P (3 sen 3x) = - - cos 3x + C

3 3

sen x (cos x)' (fórmula 4) P tg x = P = - P = - log lcos xl +C

COS X COS X

1 1 (fórmula 5) Pe 2x- 1 =- P(2e 2x- 1 ) =-e2x- 1 +C

2 2

1 (fórmula 3) P x2V1-x3=P (x 2 (1-x3)1 12)=-- P[ -3x2(1-x3)112)=

3

=-1

3

(1-x3) 3/2

3/2 =-

2 V (1-x 3 ) 3

9

1 4x 1 (3+2x 2)' (fórmula 4) P = - P = - P

X

3 + 2x 2 4 3 + 2x 2 4 3 + 2x 2

1 = 4 log (3+2x2) + C

OBSERVAÇ0ES:

I. Nestes exemplos aplicámos a fórmula

P(kf) = k(Pf) + C,

209 C M· 14 ·

J. 8EBASTIAO E SILVA

sendo k uma constante e f uma função que admite primitiva. Para

ver que a fórmula é verdadeira, basta derivar o 2. o membro.

11. Na primitivação imediata de radicais é sempre conveniente

escrever estes sob a forma de potência de expoente fraccionário,

como se fez no 3.0 exemplo anterior. Vejamos outro exemplo:

X 1 p = p [x{1- 3x2)-112) =- _ p [-6x(1- 3x2)-112)

Y1-3x 2 6

1 =-

(1-3x2)1'2 1 ----=- Y1-3x2 +C

6 1/2 3

Mas, repare-se que

1 1 1 v3 p = p = - p -----:;=:::::::::;::~===:.::

Y1-3x2 V1-(v3 • x) 2 V3 v1- (v'3 • x) 2

1 - V

3 are sen V3x + C

1 1 1 -P = P = ---=-- are tg V-ª- x +C

2 + 3x 2 [1 + (Y f x) 2] Y6 2

x2 x3 x3 Por sua vez, as funções V , etc.

1-x 2 ' V 2 + 3x 2 ' 2 + 3x 2

não têm primitiva imediata.

210

OOMPBNDI:O DE MATEMATJOA

EXERCfCIOS- I. Primitivar:

sen x X

V 4 - X 4 , V 1 + 3eX , 1 + 2 .COS X , 2 + 3X 4

(Comece por perguntar a si mesmo em cada caso: 'Será uma

potência? Será um arco-seno? Será um logaritmo? Será um arco­

-tangente?')

11. Primitivar em ordem a x:

1 1 k (a i= 0), (a :#= 0), (k :#= O, ab >O)

a+ bx 2

X X kx (a '# 0), v=a 2===x2:;:- (a '# 0), (k '# O, ab #: O)

a+ bx 2

3. Regras elementares de primitivação. Das regras de

derivação da soma, do produto e da função composta, deduzem-se

regras correspondentes de primitivação:

a) Método de decomposição. Sejam f 1

, f 2, ••• , f0 , funções que

admitem primitiva num dado intervalo. Então a soma das funções

também admite primitiva no mesmo intervalo e tem-se:

Para o reconhecer, basta derivar o 2. o membro, aplicando a

211

J.- 8EBAB'PIAO 1i1 SILVA

regra de derivação de uma soma. Por outro lado, tem-se, como já

foi indicado atrás:

(2) P(kf) = k( Pf) + C

sendo k uma constante e f uma função com primitiva.

As fórmulas (1) e (2) habilitam, desde já, a primitivar qual­

quer função inteira:

x2 xn P ( a0 + a 1 x + ... + a

0x0 ) = C + a0 x + a 1 - + .. . + a0 --2 n

Assim:

P (3- 2x) = C + 3x- x2

3 1 P {1 + 3x- x 4 ) =C+ x + - x 2 - - x 5 , etc.

2 5

Suponhamos, por exemplo, que se trata do seguinte pro­

blema:

Determinar a equação do movimento rectillneo de um ponto, sabendo que a aceleração ·é constante ( 1 ).

( 1) ~ este o caso de um ponto material que cai verticalmente no vazio

de altura nlo muito grande.

112

OOMPSNDIO DB MATIDMATIOA

Como é sabido, a aceleração, que se representa por j, é a deri­

vada da velocidade, v, em relação ao tempo, t; isto é:

dv -=J dt

· Daqui se deduz, portanto, primitivando em ordem 8 t e· lem­

brando que j é constante( 1 ):

v= jt +c

A constante arbitrária C é, evidentemente, a velocidade no

instante t =O (velocidade inicial); representando-a por v0 , vem:

v= v0 + jt (equação das velocidades)

Como v= ds/dt, daqui se deduz novamente, primitivando em

ordem 8 t:

t2 s=vt+j-+C

o 2

A constante arbitrária C é, agora, o espaço no instante t = O

(espaço inicial) . Representando este por s0

, vem finalmente a conhe­

cida equação geral do movimento uniformemente variado:

1 s = s +v t + -jt 2

o o 2

(1

) A variável independente agora é t em vez de x; por isso, dizemos

'prlmltlvar em ordem a t'. . . . .

213

· .T. BEBAB'I'IAO 1iJ 81LVA

As.sim, em conclusão:

O movimento de um ponto material sobre uma recta é unifor­

memente variado, se e só se a a'ce/eração é constante (ou, o que

é equivalente: sse a força que solicita o ponto material é constante).

Acontece, por vezes, que conseguimos primitivar uma função,

decompondo-a numa soma de funções que já sabemos primitivar

(daf o nome 'método de decomposição'). Por exemplo, tem-se:

Portanto:

1 - cos 2x 1 1 sen 2x = = - - - cos 2x

2 2 2

1 1 P sen 2 x = P - -- P cos 2x

2 2 .

X 1 X 1 = - - - P(2 cos 2x) = - - - sen 2x

2 4 2 4

EXERCICIO. Primitivar as funções de x:

cos2x , (1 - Yx) s

b) Método de primitivação por partes( 1 ). Consideremos duas

funções u = rp(x), v = ~(x), que admitem derivada finita num dado

( 1 ) Convir6 tratar deste método e do seguinte só depois do n.o 12 (aplica-se

porlm no exercfclo I, 14, desse mlmero).

214

COMPSNDIO DE MATEMATICA

interii(!Jo. Então já sabemos que se tem, nesse intervalo, .derivando em ordem a x:

(uv)' = uv' + u'v,

donde:

uv' = (uv)' - u'v

DaQui se deduz, por primitivação em ordem a x, notando que uma primitiva de (uv)' é uv:

P(uv') = uv- P(u'v)

Para aplicar este método à primitivação do produto de duas

funções, designa-se por u uma das funções (em geral a que mais se

simplifica por derivação) e por v' a outra função (em geral, a que

mais facilmente se sabe primitiva r) .

EXEMPLO. Primitivar a função

x sen x

Pondo

{

U =X

v'= sen x vem

{

u' = 1

v = - cos x ( p. ex.)

Portanto:

P (x sen x) = uv - P(u'v) = - x cos x - P ( - cos x)

== - x cos x + sen x = sen x - x cos x

215

J. SEBABTIAO E SILVA

EXERC[CIOS. Primitivar as funções:

x ex I x log lxl I log lxl , tg x

c) Método de substituição. Por vezes, consegue-se primitiva r

uma função f(x), substituindo x por uma nova função cp(t) com deri­

vada finita, isto é, pondo

X = cp(t) 1

e atendendo à regra de derivação das funções compostas. Com

efeito, se for F uma primitiva da função dada, f, tem-se, pela dita

regra:

DtF(x) = F'(x) • Dtx = f(x)cp'(t)

ou seja:

Primitivando ambos os membros em ordem a t, vem:

(3) F(cp(t)) = Pt[f(cp(t))cp'(t)] + C

Portanto, uma vez que se saiba efectuar a primitivação imediata no

segundo membro, poderemos achar uma primitiva F ·de f, substituindo

em F((cp(t)) a variável t pela sua expressão em função de x. Mas

isto só é posslvel se cp for uma aplicação biunlvoca sobre o domlnio

de f. Nesta hipótese, sendo 6 a inversa de cp, tem-se:

x = cp(t) <=> t = 6(x)

216

OOMPBNDIO DE MATEMA'l'IOA

ou seja:

cp(6(x)) = x

donde:

F(cp(6(x))] = F(x) = Pxf(x)

A fórmula (3) pode pois escrever-se, neste caso:

{4)

EXEMPLO: Primitivar V1-x2.

Vamos experimentar a substituição x = sen t . O domfnio da

função V1-x2 é o intervalo [-1,1]. A função x=sent, restringida

ao intervalo [- TC/2, 1t/2], é uma aplicação biunrvoca deste intervalo

sobre [- 1,1 ], e tem por inversa a função t = are sen x. Então,

aplicando a fórmula (4), vem:

(5)

Px Y1-x2 = Pt [V1-sen 2t.cost] +C= Ptcos2t +C

1 1 = p t (- + - cos 2t) + c

2 2

t 1 =-+-sen2t+C

2 4

Resta, agora, desfazer a ·mudança de variável, isto é, subs­

tituir t por are sen x. Para isso, notemos que

sen 2t = 2 sen t cos t = 2 sen t V 1 - sen 2t 7t 7t

(--~ t~ -) 2 2

= 2xY1-x2

217

J . 8EBA8TIAO E 8</LVA

Então de (5) vem finalmente :

1 1 Px Y1- x2 = - are sen x + - x V1- x2 + C

2 2

4. Alguns exemplos de apUcação 6s ciências da natureza.

Para se ter uma ideia da importância e do interesse do problema da

primitivação, vamos estudar alguns exemplos concretos que conduzem

a esse tipo de problema.

EXEMPLO I (Transformação de energia eléctrica em calor).

A quantidade de calor, q, produzida por uma corrente eléctrica num

fio condutor é função do tempo. Seja

q = f(t)

Segundo a LEI DE JOULE, a quantidade de calor, dq, produzida

durante um intervalo de tempo infinitésimo [t,t + dt] é proporcional

à resistência R do condutor, ao quadrado da intensidade I da

corrente no instante t e ao tempo dt; isto é, tem-se( 1):

dq = k R 12 dt

( 1) ~ claro que estamos a empregar, por comodidade, a linguagem abreviada

dos infinitiJsimos (cf. Cap. I, n.o 43). Nesta linguagem pouco rigorosa, d~ carácter

intuitivo, a palavra 'infinitésimo' deve ser interpretada no sentido de 'muito

pequeno·. Note-se que estamos a considerar a intensidade I constsnte no inter­

valo (t,t + dt), o que, em geral, só é aproximadamente verdadeiro, quando dt é

muito pequeno. Mas as fórmulas a que chegamos deste modo têm significado

rigoroso.

218

ou seja:

OOMPtbNDIO DE MATEMATICA

dq - =kRI 2 , dt

onde k é uma constante de proporcionalidade cujo valor se conhece,

no sistema usual de unidades.

Suponhamos, agora, que a intensidade I é dada em função do

tempo. Seja, por exemplo:

I = 10 sen w t (corrente sinusoidal),

em que 10 é a intensidade positiva máxima e w a frequêncía angular

( w = 21t/T, sendo T o período da corrente) . Então

(1) dq

- = k R I 2 sen 2 w t dt o

Esta fórmula dá-nos, como se vê, a derivada de q em ordem a t.

Portanto, para obter q como função de t, o que temos a fa1er é primitivar a função de t definida por esta fórmula. Ora

1 1 P sen 2 w t = P(- - - cos 2 w t)

2 2

t 1 = - - - - sen 2 w t + C

2 4w

Virá portanto de (1 ), atendendo a que k R I~ é constante:

t 1 q = k R I~(- - - sen 2 w t) + q0

2 4w

219

J. SEBA·BTIAO 1D Bl'LVA

em que q0 é o valor de q para t = O. Em particular, · para

t = 21t/w = T (perrodo), vem q = ~ k R I~ T + q0 , donde:

1 2 q - q0 = - k R I 0 T

2

Esta fórmula dá-nos, pois, a quantidade de calor produzida

durante um período (metade da que seria produzida por uma corrente

constante de intensidade 10 ) .

EXEMPLO 11 (Desintegração radioactiva). A massa m de um

elemento radioactivo é função do tempo. Seja:

(2) m = f(t)

Mostra a experiência que, em cada intervalo de tempo infir:-titésimo

[t,t + dt], a substância sofre uma perda de massa, que é proporcio~al

à massa m no instante t e ao tempo dt. Quer dizer: se representarmos

por dm a variação da massa naquele intervalo, tem-se:

(3} dm =- k m dt,

em que k é uma constante positiva (chamada 'constante de desin­

tegração'), cujo valor depende da substância radioactiva em questão.

A lei flsica (3) pode também traduzir-se por

220

dm --=-km

dt

OOMPSNDIO DE MATEMATIOA

Esta fórmula, como se vê, dá a derivada de m em ordem a t como

função de m. Mas dela se deduz

dt 1 1 1 - - = - - =- - · -dm km k m

o que nos dá a derivada de t em ordem a m como função de m. Para obter tem função de m, teremos pois de primitivar o 2.0 membro

em ordem a m. Virá então, lembrando que 1 /k é constante:

1 t =- - log m +c

k

Daqui se deduz:

(c, constante arbitrária)

log m = - k (t- c) = kc- kt

donde:

m = ekc e·kt

ou ainda, pondo C = ekc:

(4) m = Ce·kt

Será pois, esta, a expressão analltica da função (2). Note-se que,

fazendo t =O em (4), vem m = C. Portanto, C é a massa inicial,

que podemos designar por m0 .

Como se vê, a função do 2.0 membro de (4) tende rapidamente

para zero quando t ~ + oo . Deste modo, chegará um instante em

que m é praticamente igual a zero; mas esse instante não pode ser

definido exactamente. Chama-se vida média do elemento radioactivo

221

J . . 8EBA8TIAO ~ BiJl.IVA

o tempo T necessário para a sua massa m se reduzir a metade da

massa inicial, m0 = C. Será pois, por definição, aplicando {4):

1

2 m - m e·kT o - o f

donde -log 2 =- kT e, portanto:

log 2 T =-­

k

Esta fórmula, como se vê, relaciona a vida média T do elemento radio­

activo, com a sua constante de desintegração, k.

Como exercício, pode resolve·r-se o seguinte problema { 1 ) :

Sabendo que a vida média do rádio é aproximadamente 1600 anos, determine a percentagem de uma dada quantidade de rádio que se desintegra em 100 anos {utilize a régua de cálculo) .

EXEMPLO 111. (Crescimento populacional). Seja x o número

de indivíduos de uma dada população (seres humanos, animais ou

bactérias) num instante t. ~ claro que x é função de t; seja

x = ~(t). Por outro lado, os valores de x são números naturais: trata-se

pois de uma variável discreta { 2 ) . Mas, como esses números são

geralmente muito grandes, torna-se cómodo, para certos fins, con­

siderar x como variável continua. ~ o que faremos neste caso.

( 1 ) Este e outros problemas a seguir foram extrafdos da obra de T. M .. APOS­

TOL, Cs/culus I (Biaisdell, New York).

( 2 ) Aliás, muitas das variáveis que consideramos continuas sAo na realidade

discretas, como por exemplo a mssss, a quantidsde de electricidsde, etc. (porquê?).

222

OOMPRNDIO DE MATEMATIOA

Quando as condições do meio se· mantêm normais, praticamente

inalteradas, é natural admitir que o acréscimo dx da população num

intervalo de tempo infinitésimo [t,t + dt] é proporcional à população x

no instante t e ao tempo dt. Obtemos, assim, a lei de crescimento:

(5) dx = k x dt ou seja dx - = kx, dt

em que dx/dt é a taxa de crescimento (aumento populacional por

unidade de tempo no instante t) e k uma constante positiva que

depende da espécie de população considerada.

Note-se que a fórmula (5) difere formalmente da fórmula (3)

anterior apenas por ter coeficiente positivo k em vez do coeficiente

negativo - k. Isso, desde já, mostra que deve ser

onde x0 é a população existente no instante O. A população cresce pois

exponencialmente (ou, como também se diz, em progressão geomé­trica). E assim acontece, efectivamente, em certas condições. Mas

se, por alguma razão, a população não pode exceder um certo

máximo M (p. exemplo, porque os recursos alimentares se podem

esgotar), é mais razoável admitir que a taxa de crescimento é pro­

porcional a x e a M-x. Assim, obtemos uma segunda lei de cres­

cimento:

Neste caso, vem:

dt 1

dx k

dx - = kx (M-x) dt

1 1 1 1 --= - (-+ ) . x(M-x) M k x M-x

223

·J. BEB.ABTIAO E BILVA

donde, primitivando em ordem a x:

1 X t = - - log +c . (c, constante arbitrária)

· Mk M- x

Daqui, por sua vez, deduz-se:

X -- =C eMkt , com C= e-~kc, M-x

donde:

MCeMkt MC (6) x= - ----

1 + c eMkt c + e- Mkt

Em particular, tem-se, para t = 0:

MC Xo=--

1+C donde C =

A fórmula (6) mostra que x ~ M quando t ~ + oo.

Esta lei aproxima-se mais da realidade em certos casos~ No

entanto, para obter melhor aproximação, torna-se necessário consi­

derar k como determinada função do tempo, o que, evidentemente,

torna o problema bastante mais complicado.

EXEMPLO IV (Descida em pára-quedas). Já sabemos ·qú'e,

quando um corpo cai no vazio, de altura não muito grande, o seu

movimento é uniformemente acelerado, com aceleração g (aceleração

da gravidade).

224

COMP'SNDIO DE MATEMATIOA

Consideremos, agora, o caso de um corpo que cai verticalmente

na atmosfera de grande altura, mas não tão grande que se torne

sensrvel a variação de g (caso de um corpo deixado cair de um

avião). Neste caso, à força da gravidade que faz cair o corpo, opõe-se

uma outra força, devida à resistência do ar. A primeira é o peso mg

(sendo m a massa do corpo). A segunda é aproximadamente pro­

porcional à velocidade v, portanto igual a -kv, em que k é a constante

de proporcionalidade (positiva) ( 1 ), considerando como positivo o

sentido de cima para baixo. Portanto, a força que solicita o corpo

em cada instante t é:

mg- kv,

sendo v a velocidade do corpo nesse instante. O que se procura

precisamente é determinar v como função de t. Ora a segunda

lei de Newton diz-nos que a força mg- kv deve ser igual, em cada

instante, ao produto de m pela aceleração do movimento, que é,

por definição, a derivada de v em ordem a t. Ter-se-á, pois:

dv m- =mg-kv

dt

Daqui se deduz a derivada da função inversa:

dt m - ----dv mg- kv

( 1) Estamos a seguir aqui a referida obra de APOSTO L.

225

J. 8EBA8TIAO E SILVA

donde, atendendo a que m, g, k são constantes:

m m -k t=P --- =- - P

v mg- kv k v mg- kv

ou seja:

m t =- - log (m - kv) +c , (c, constante arbitrária)

k

Daqui podemos, finalmente, tirar v como função de t:

mg v = -- + C e-kt/m , com C = - ekc/m

k

Para t = O, obtém-se:

mg V0 = -- + C donde

k

mg C = v - ­

o k

e, portanto:

(1) mg

v = __ (1 _ 8 -kt/m) + v0

e·kt/m k

Esta, que é a fórmula procurada, dá uma boa aproximação da

realidade no caso concreto considerado. Note-se que, quando

t ~ -r oo , v ~ mg/k. Assim, a velocidade tende a tornar-se constante,

em virtude da resistência do ar.

216

OOMP1hNDIO DE MATEMATIOA

Pode ainda deduzir-se de (1) o seguinte:

Quando k ~ O, então v ~ v0 + gt.

Quer dizer: quando a resist§ncia do ar é desprezável, o corpo segue

aproximadamente a lei do movimento uniformemente acelerado, de

acordo com a experiência.

Como exercfcio, pode resolver-se o seguinte problema:

Um homem munido de pára-quedas salta de grande altura. O peso total do homem e do pára-quedas é de 92 kg. A velocidade

v durante a queda (em metros por segundo) é uma função de

tempo contado em segundos após o salto. Seja v= <p(t). Durante os

primeiros 1 O segundos, antes de se abrir o pára-quedas, a resistência

do ar é de 0,75 v (quilogramas-força). Depois, com o pára-quedas

aberto, a resistência é de 12 v (quilogramas-força). Obter uma expres­

são analítica para <p(t), tomando g = 9,8 m/s 2 e supondo nula a

velocidade inicial. (Usar a régua de cálculo.)

NOTA. No caso anterior, considerou-se a resistência do ar pro­

porcional à velocidade. Para velocidades maiores (por exemplo em

questões de baHstica), é necessário adaptar expressões mais compli­

cadas para a resistência do ar em função da velocidade. E, quando

se trata de projécteis que se afastam muito da terra, seguindo

trajectórias não rectilfneas, ,á não é licito considerar constante a

aceleração da gravidade, o que vem complicar ainda mais o pro­

blema. Trata-se então de resolver equações diferenciais (ver-se-á

mais tarde o que isso é), que exigem o emprego de técnicas de

cálculo numérico bastante complexas, cuja execução se tornou pos­sfvel e relativamente fácil com o aparecimento dos computadores

electrónicos. Na verdade, estes foram inventados no fim da 2.• Guerra

221

J. ·BEBABTIAO E 81L V A

Mundial com a finalidade precisa de efectuar rapidamente cál­

culos balísticos complicados, como os que se põem na artilharia

antiaérea.

Aliás, a necessidade de cálculo numérico automático põe-se

já np problema da primitivação de funções em geral, como vamos

v~r ~111 segt.~ida ao introduzir o conceito de integral.

5. Noção intuitiva de integral. As regras de primitivação

anteriormente indicadas aplicam-se apenas a uma classe muito parti­

cular de funções. Na verdade, a maior parte das funções que se

apresentam na prática têm primitivas que não se podem obter pelas

regras anteriores. E a razão é a seguinte: as primitivas, nesses casos,

são novas funções, isto é, funções distintas de todas as que já conhe­

cemos (funções algébricas ~acionais ou irracionais, funções expo­

nenciais, funções logarítmicas, funções circulares directas ou inver­

sas) e de todas as que se possam obter por composição destas em

número finito.

Chamam-se funções elementares essas funções já conhecidas

e todas as que se obtêm por composição delas em número finito.

Por exemplo, as funções definidas pelas expressões

sen x 1

X logx I esenvx

I I etc. X

são funções elementares. Mas prova-se que têm por primitivas

funções não elementares. Portanto, as regras anteriores não permitem

obter as. primitivas destas funções.

Como determinar então as primitivas de tais funções l

228

OOMPSNDIO DE MATEMA.TIOA

Consideremos, novamente, o exemplo concreto de · um movi•

menta. Suponhamos que é conhecida a velocidade como função do

tempo, v= f{t), e que se procura o espaço como função do

tempo, s = F(t).

Para tornar as nossas considerações mais intuitivas, suponhamos

que se trata do movimento de um automóvel, do qual se conhece em

cada instante a velocidade, indicada pelo veloclmetro. Como deduzir

dai a equação do movimento, s = F(t}, isto é, o espaço percorrido

pelo móvel, como função do tempo 7

No caso do automóvel, o problema é resolvido automaticamente

pelo conta-quilómetros. Mas suponhamos que não se dispõe de

tal recurso.

Quando a velocidade é constante, a resposta é simples: o espaço é igual ao produto da velocidade pelo tempo gasto em percorrer esse espaço. Ter-se-á, então:

s = vt

Mas, em geral, a velocidade varia de instante para instante. Note-se, porém, o seguinte:

Num intervalo de tempo bastante pequeno a velocidade é

aproximadamente· constante (por exemplo, no intervaio de um

segundo, a agulha do veloclmetro de um automóvel não se desloctJ

sensivelmente).

Portanto, o que haverá a fazer? (Pense, antes de ver a resposta que vem a seguir.)

Suponhamos que se pretende calcular o espaço percorrido num

certo intervalo de tempo [ a,b]. O que nos ocorre fazer, na prática,

229

J. ·BEBABTIAO 1iJ 8/LVA.

é começar por dividir esse interval,o em intervalos bastante pequenos,

considerando sucessivos instantes muito próximos:

t0 =a , t, , t2 I ... , tn-1 , t = b n ,

-I I i I ,--t0 =a t, t2 t3 tn _, b= tn

Então, a velocidade em cada um desses intervalos parciais será

aproximadamente constante. Como a velocidade em cada instante t

é dada pela fórmula v= f(t), as velocidades nos sucessivo.s inter­

valos parciais serão aproximadamente iguais a:

Designemos, respectivamente, por âs0 , âs 1, •• . , âsn _1 os espa­

ços percorridos pelo móvel nesses intervalos, e por ât0 , Ãt 1, ... , ~tn _ 1

os tempos gastos em percorrê-los. Será, pois:

(porquê})

Designemos, agora, por S o espaço percorrido no intervalo de

tempo [ a,b ]. Tem-se, manifestamente:

S = âs0 + .âs 1

+ .. . + .âs0 _ 1

e, portanto:

230

n-1 (2) S ~ v0 ât0 + v

1dt 1 ... + v0 _ 1 dt0 _ 1 = l: vk ~tk

k=O

OOMPBNDIO DE MATEMATIOA

ou seja, visto que vk = f(tk), segundo ( 1 ) :

(3) n-1

s ~ :E f(tk) ~ tk k=O

Esta soma fornece, pois, um valor aproximado do espaço S pro­

curado. E diz-nos a intuição que o erro desse valor aproximado

será tanto menor quanto menores forem os intrevalos considerados.

Por outros termos, o que a intuição nos diz é o seguinte:

A soma indicada em (2) [ou (3)] tende para S quando o número

dos inte1valos parciais tende para infinito e as medidas dos inter­

valos tendem conjuntamente para zero.

Exprime-se este facto, dizendo: ·o espaço S percorrido no

intervalo [ a,b] é o integral da velocidade v nesse intervalo'; e escrevendo:

(4) s = s: v dt

ou

(5) s = s: f(t)dt,

o que se lê: 'integral de f entre a e b'.

Como se justifica esta notação?

O sinal f de integral é, como se vê, um S alongado, inicial

de 'soma'. Quando se adoptava o método dos infinitésimos, ainda

hoje usado em ffsica como método abreviado (cf. Cap. I, n.0 43),

231

.J. BEBABTIAO E SILVA

admitia-se que o intervalo [ a,b] era a soma de uma infinidade de

intervalos infinitésimos, e que, em cada intervalo infinitésimo [ t,t + dt ],

a velocidade v= f(t) era constante. Deste modo, o espaço percorrido

nesse intervalo seria:

v dt = f{t)dt

e, portanto, o espaço total (ou integral) percorrido no inter­

valo [ a,b] seria a soma de todos esses intervalos infinitésimos,

ou seja:

s: v dt = s: f(t)dt

Portanto o sinal J, em substituição do sinal ~ (S grego), pre­

tendia indicar a soma de um número infinito de parcelas infinita­

mente pequenas.

EXEMPL0( 1 ). Suponhamos que a equação das velocidades é:

(6) v= jt , com j constante (aceleração),

e procuremos o espaço s percorrido no intervalo de tempo [O,t].

Portanto, neste caso, temos a = O, b = t. Podemos dividir o intervalo

[O,t] em n intervalos iguais. Será, pois, agora:

( 1) Para leitura em casa, a fim de esclarecer o conceito de integral.

232

OOMPSNDIO DE MA.TEMATI OA

e, como a soma destes acréscimos deve ser igual a t, o valor · de

cada um deles será t/n. Designaremos esse valor por h, isto é:

t (7) ti= h= - , para i= O, 1, .. . , n- 1

n

Portanto:

t0 = O , t 1

= h, t 2 = 2h , ... , tn _ 1 = ( n - 1 ) h , tn = n h = t

--1--- 1---1- - - 1--------1 1--0 h 2h 3h (n-1)h nh=t

Atendendo a (6), virá agora:

v0 = O , v 1

= jh , v 2 = 2jh , ... , Vn _ 1 = (n - 1 )jh

Multiplicando cada uma destas velocidades pelo tempo h, virá:

s0 = 0, s1

=jh 2 , s2 =2jh 2 , ... , sn_ 1 =(n-1)jh2

Portanto, a soma destes espaços dá-nos um valor aproximado

do espaço s procurado. Representando essa soma por Sn, vem:

(8) sn = jh 2 + 2jh 2 + ... + (n-1)jh2

= jh2 [1 + 2 + ... + (n-2) + (n-1)]

Designando a soma entre parêntesis por crn, temos:

an= 1 + 2 + .. . +(n-2) + (n-1)

<rn=(n-1)+(n-2)+ ... + 2 + 1

2crn = n + n + ... + n + n = n(n -1·)

233

donde:

J. BEBABTIAO E BILVA

(1 -n-n(n-1)

2

Entrando em (8) com este resultado e com o valor de h dado

por (7), vem:

t 2 n(n-1) Sn =j -

n2 2

1 n 2 -n = - jt2 - - -

2 n 2

Passando ao limite quando n ~ oo, obtém~se o espaços pedido:

1 s = f~ v dt = - jt 2 ,

2

o que condiz com as equações dos espaços já conhecidas

jt

Na figura junta, indica-se o gráfico das velocidades e uma decom­

posição do intervalo [O,t] em 1 O partes iguais. Como se vê, os

234

OOMP:8ND10 DE MATEMATIOA

produtos das velocidades pelos tempos h são representados geometri

camente pelas áreas dos rectângulos a tracejado. Então Sn é a soma

dessas áreas, e vê-se intuitivamente que sn tende para a área de

um triângulo, cuja base mede t e cuja altura mede jt. Ora essa área

é, exactamente:

1 1 - t. jt = jt 2

2 2

6. Definição de integral. Passemos, agora, do concreto para

o abstracto, da intuição para a lógica. Seja f uma função real

definida num intervalo [a,b) e consideremos uma sequência de n + 1

pontos xk tais que:

X0 = a < X 1 < X 2 < ... < Xn _ 1 < Xn = b

- - - - - ----- - --------- ---1--x, Xn _ 1 b = Xn

Ponhamos

e designemos por X a sequência de intervalos [x0 ,x1

] , [x 1,x2

] , .. . ,

[ Xn _ 1 ,xn] assim determinados.

235

J .. BEBABTIAO E 8ILVA· . .

· Chamaremos soma da função f relativa à sequência X de

intervalos o número Sx obtido do seguinte modo:

n-1 :I: f( xk} ~xk { 1 )

k=O

Posto isto, chamemos módulos da sequência X, e representemos

por lXI, o maior dos acréscimos ~x0, ~x 1

, ... , Llxn _1 (comprimentos

dos intervalos) ( 2 ) . É claro que, quando [XI ~O, o número n de

acréscimos considerados tende para infinito e cada um deles tende

para zero. Pois bem:

Diz-se que Sx converge para um número S quando IX f~ O,

sse, para todo o número 8 > O, existe um número e> O, tal que

lXI < e ~ ISx- Sl<ô

Diz-se que a função f é integrável no intervalo [a,b ], sse existe

um número S nestas condições. Então esse limite S (que é único),

(1) Em vez do valor f(xk) da função f no extremo inferior de cada intervalo

(xk, xk+1 ), poderiam os mais geralmente tomar o valor f(uk) de f num ponto

qualquer uk E (xk, xk+ 1 ). Mas, desse modo, chegarfamos a uma definição

equiválente à que vamos dar.

(2) Em fisica é habitual chamar 'intervalos', tanto aos conjuntos (xk, xk+1)

como aos niJmeros Llxk = xk+1 - xk (que são, em rigor, os comprimentos daque­

les intervalos). Trata-se manifestamente de um abuso cômodo de linguagem, que

pode, no entanto, admitir-se, desde que não haja perigo de confusão.

236

OOMPSNDIO DE MATEMATIOA

chama-se integral da função f no intervalo [ a,b] (ou integral de .f

entre a e b) e escreve-se:

S =f: f(x)dx

Tern-se pois, por definição:

s: f(x)dx = lim Sx IXI-+0

Integrar a função f entre a e b é achar o integral de f entre a

e b (se a função é integrável neste intervalo). Na expressão J!f(x)dx,

a função f chama-se função integranda, a variável x chama-se

variável de integração e os nómeros a,b, extremos do integral;· por

sua vez, o intervalo [a,b ], chama-se intervalo de integração.

É craro que_ o integral depende da função integranda f e dos

extremos a,b de integração, mas. não da variável x de integração;

esta é, pois, uma variável aparente, comparável aos rndices mudos

dos somatórios. Pode, pois, ser substiturda por qualquer outra letra

ou srmbolo diferente dos qu~ designam a· função e os extremos de

integração:

Jbf(x)dx = J f(u)du = Jbf(6)d6 = ·· · a b a .

O integral de f entre a e b pode também ser designad9 si(Ylples­

mente pela notação:

Convém, desde já, notar que há funções que não são integráveis

237

J . •BEBABTIAO E 81-LVA

em dados intervalos. Demonstra-se, em matemática superior, o

seguinte teorema:

To da a função continua num intervalo fechado é integrável nesse

intervalo.

Mas importa, desde já, notar que há funções descontrnuas que

também são integráveis.

7. O integral como limite de uma sucesslo ( 1 ). Quando

uma função f é integrável num intervalo [ a,b ], podemos calcular o

integral de f em [ a,b], dividindo o intervalo em n intervalos iguais,

·calculando a soma de f relativa a essa sequência de intervalos e

fazendo tender n para infinito (foi assim que procedemos no

exemplo do n.0 4). L: claro que, neste caso, o comprimento dos

intervalos parciais será igual ao comprimento de [ a,b] dividido por n:

b-a ôx0 = ôx

1 = ... = ÔXn _ 1 = -­

n

Se representarmos este valor por h, temos então x0 = a,

x, = a+h, x 2 = a+2h, ... , xn = a+nh = b.

Ponhamos, para simplificar:

y0 = f(x0 ), y 1 = f(x 1), ... , Yn- 1 = f(x0 _ 1 )

( 1) Sobre este assunto é muito importante ler o Guis.

238

COMPSNDIO DE MATEMATIOA

Então a soma correspondente será:

n -1 n-1 b-a Sn = :E f(xk) ~xk = :E Yk --

k= O k=O n

ou seja:

b-a s = -­n n (Yo+Y 1 + .. · + Yn- , ) ( 1 )

e tem-se:

lim sn = r: f(x)dx

Em geral, não é posslvel calcular este limite exactamente, como

aconteceu no exemplo do n.o 4. Na prática, a sucessão Sn fornece

valores aproximados de integral, com o grau de aproximaçlo que

se queira. Quando a função f admite derivada e se conhece um

majorante M dos valores de f' (x) no intervalo [a,b ], tem-se a

seguinte FÓRMULA DE MAJORAÇÃO DO ERRO, que damos a

titulo de curiosidade:

(b-a) 2 M IS-Snl ~ --- -

n

Como o 2.0 membro tende para ze~o quando n ~ oo , podemos

fazer o cálculo do integral com erro inferior a qualquer número posi­

tivo dado.

Porém, na prática, prescinde-se muitas vezes da majoração do

erro, aplicando a seguinte

REGRA EMPIRICA DE ESTABILIDADE. Suponhamos que se

calculam os sucessivos valores aproximados com um determinado

( 1) Nlo esquecer que cada um dos valores y 2, y 3

, ... , y n depende de n. S I ti . t I ta .. __ (n) (n) (n) ar em en o ma11 exac &8, por exemp o, a8 no ÇUGG Y 2 , Y 3 , •• • , Yn •

239

J . SEBASTIÃO E SILVA

número de algarismos exactos. Se, em dois ou três valores conse­

cutivos se observa estabilidade, isto é, constância dos algarismos,

há grande probabilidade de que esses valores aproximados dêem o

valor do limite, com o mesmo número de algarismos exactos. Os programas para computadores el·ectrónicos incluem normal­

mente uma ordem para terminarem os cálculos quando se verifica a

referida estabilidade.

Mas note-se bem: não há então a certeza absoluta de que

todos os algarismos sejam exactos; há apenas uma grande probabi­

lidade de que o sejam ( 1).

Há ainda outros métodos para o cálculo numérico de integrais, mas, dum modo geral, são todos muito laboriosos, exigindo o

emprego de um bom computador. O primeíro computador electrónico

utilizado chamava-se ENIAC («Eiectronic Numerical lntegrator and

Catculator>>).

EXEMPLO. Calcular, se possível, com 5 algarismos exactos:

Este cálculo foi efectuado, segundo o referido processo, por

meio do computador digital do L.N.E.C. O programa ordenava que

se dividisse o primeiro intervalo em 40 par~ 3~8280264 0 + 1 O

tes iguais e se fosse duplicando sucessiva­

mente esse número, até se obter a estabili­

dade nos 5 algarismos iniciais. Em cada

aproximação, o cálculo dos valores da fun­

ção ex /x nos extremos dos intervalos parciais

3.8287682 0 + 1 o 3;8289550 0 + 1 o 3.8290012 0 + 1 o 3.829007 4 0 + 1 o 3.8290115 0 + 10

( 1) Se os algarismos são todos 9 a partir de certa casa decimal, substi­

tuem-se por O e aumenta-se uma unidade ao primeiro q.ue não é 9 (ou ao

algarismo inicial se todos forem 9).

240

OOMPSNDIO DE MATEMATIOA

foi efectuado por desenvolvimentos em série, segundo uma sub-rotina

inclufda no programa. Os valores que se indicam (tais como foram

escritos pela tele impressora) são os das somas 5 0 , para n = 40,

80, 160, ... , 1280.

Observa-se estabilidade dos 5 primeiros algarismos a partir do

4. 0 valor aproximado. Mas é preciso não esquecer que, no cálculo

das somas 50 , se cometem erros de arredondamento, cada vez maio­

res, de acordo com a teoria exposta no caprtulo I, § 1. Todavia,

atendendo a essa teoria e ao número de parcelas, é de admitir que

se perdem por esse motivo, quando muito, três algarismos exactos.

Podemos, pois, aceitar como válido o seguinte resultado, com 5 algarismos exsctos:

ex f~ - dx = 38,290

X

Aliás, este resultado será conferido mais adiante por outra via.

O tempo total de cálculo na máquina foi de cerca de 1/4 de

hora, o que não admira: basta lembrar que se teve de calcular, por meio de séries, o valor de eXjx com 8 algarismos, em 2520 ponto·s

diferentes/

Neste cálculo a máquina deu o máximo que podia. Este simples

exemplo faz sentir, desde já, a necessidade de métodos de integração numérica mais expeditos - processos que, pelo menos, requeiram

menor número de intervalos parciais. De tais métodos faremos breve

referência mais adiante.

Mas também se pode, desde já, prever o aparecimento de pro­

blemas que, mesmo com os melhores métodos conhecidos, exijam

computadores cada vez mais potentes. O certo é que se começa já

a desenhar entre nós a necessidade de um GRANDE CENTRO

NACIONAL DE CÁLCULO, munido de um computador de alta potên­

cia. Este não eliminaria a necessidade de computadores de pequena ou

241

c M·IO

J . 8EBABTIAO E 81LVA

média potência, que poderiam ficar ligados telefonicamente ao

primeiro, a fim de transferirem para este a resolução de problemas que

não tivessem capacidade para resolver.

8. Interpretação geométrica do conceito de integral.

Seja f uma função contrnua num intervalo [ a,b]. Já sabemos que,

neste caso, f é integrável em [ a,b]. Suponhamos que se tem

f{x) ~ O , Vx E [ a,b]

Como vimos, o integral de f em [a,b] pode ser dado como

limite da sucessão

em que

b-a

n-1 Sn = ~ f{Xp)h

P= O

h= -- , Xp =a + ph , com p = O, 1, ... , n-1 n

t claro que f(xp)h dá a área de um rectângulo de base h e

altura f{xp}.

242

COMP8NDIO DE MATEMATIOA

Na figura considerou-se n = 8 e indicam-se a tracejado os

rectângulos cujas áreas são dadas pelos produtos f(xp)h. Torna-se

então intuitivo que, quando n ~ oo , Sn tende para a área da figura

limitada pelo gráfico da função, pelo eixo dos x e pelas rectas x = a

e x = b. Essa figura é chamada o trapezóide definido pela função f

no intervalo [ a,b]. Assim, chegamos intuitivamente à seguinte conclusão:

Quando f é uma função continua não negativa no intervalo

[ a,b ], o integral de f entre a e b dá a área do trapezóide definido

por f em [a,b].

9. Valor médio duma funçio; teorema da média ( 1).

Consideremos n números reais

Seja fi o maior e o À o menor deles. Então:

À~ a 1 ~ fi , À ~ a 2 ~ fi , . . . , À ~ an ~ ~

donde, somando ordenadamente:

n À ~ a 1 +a 2 + ··· + an ~ n fi

a1 + a2 + ... + an À ~ - --- ----- ~ ~

n

( 1) Este assunto pode ser dispensado numa primeira leitura.

243

J. BEBA·STIAO E SILVA

Em conclusão:

A média aritmética de vários números é sempre inferior ou

igual ao maior desses números e superior ou igual ao menor deles.

Vamos ver que esta propriedade se estende aos integrais.

Seja f uma função continua em [ a,b ] . Designemos por M o

valor máximo de f e por L o valor mlnimo de f, no intervalo

[ a,b]- valores esses que existem, segundo o TEOREMA DE WEI­

ERSTRASS (p. 176). O integral de f em [ a,b] é o limite da sucessão

(1) b-a

Sn = - - ( Yo + Y 1 + .. · + Y n. 1)' n

em que Yp é o valor de função f no ponto xP = a+ ph, sendo

b-a h = , p = O, 1, . .. , n - 1

n

Tem-se portanto, qualquer que seja n:

donde:

(2)

L ~ Yp ~ M , para p = O, 1 , .. . , n

Yo + Y 1 + ... + Y n- 1

n

Ora, de (1) vem:

(3)

244

Sn

b-a

Yo + Y 1 + ... + Yn- 1

n

OOM:PSNDIO DE MATiiJMATIOA

Como Sn ~ J: f(x)dx, conclui-se de (3), passando ao limite

e pondo y em vez de f(x), para simplificar:

(4) J: Y dx r • Yo + Y 1 + · · · + Yn- 1 ---= ihm b- a n~oo n

donde, atendendo a (2) :

(5) s:vdx

L ~ ~ M b-a

O número

(6) __ f! ydx y= I

b-a

que se obtém dividindo o integral por b-a, é chamado valor médio

da função y = f(x) em [ a,b].

A fórmula (6) diz-nos, precisamente, o seguinte:

TEOREMA DA MÉDIA. O valor médio de uma função continua

num intervalo é inferior ou igual ao máximo da função, e superior

ou igual ao mlnimo da função no dito intervalo.

Segundo o TEOREMA DE CAUCHY (p. 177) existe pelo menos

um ponto de [ a,b] em que a função f toma o valor médio y, o que

aliás é intuitivo (,).

( 1 ) As considerações que vão seguir-se tornam dispensável a leitura do

n.0 48 do Cap. I.

245

J . SEBASTIÃO E SILVA .

M

y ~------~~~~~~------~~--

L ---

a c

Na figura junta considera-se o gráfico de uma função f no intervalo

( a,b ]. Estão indicados o máximo M, o mfnimo L e o valor médio y. Como o gráfico da função é uma linha contrnua, a recta y = y há-de encontrar essa linha, pelo menos, num ponto c (no caso da

figura encontra em ,três pontos).

Ora, de (6) vem:

s: y dx = (b- a)y

Então, do teorema da média deduz-se:

COROLÁRIO. Se f é contínua em [ a,b ], existe pelo menos um

ponto c de [ a,b] tal que

s: f(x)dx = (b- a)f(c)

No caso em que f é não negativa, isto traduz-se geometrica:­

mente do seguinte modo:

Existe um ponto c de [ a,b] tal que a área do trapezóide definido

por f em [a,b] á igual à área do rectângulo de base b-a e altura f( c).

246

OOMP:BNDIO DE MATEMATIO.A

A noção de valor médio duma função tem muita importância,

não só em cálculo das probabilidades e em estat(stica, como ainda

em f(sica e outras ciências experimentais.

Por exemplo, conhecida a velocidade de um móvel em função

do tempo, v = cp(t}, o valor médio da velocidade num intervalo

[ a,b] será ( 1 } :

J!vdt v= - - -

b-a

Analogamente, dada a intensidade de uma corrente em função

do tempo, I = ~(t}, o valor médio da intensidade (ou intensidade

média} num intervalo [ a,b] será:

J: I dt I = , etc.

b-a

1 O. Teorema da decomposic;iio do intervalo. Sejam a,b,c

três números reais tais que

(1} a < b < c

e seja f uma função contínua em [ a,c ]. Consideremos, agora, uma

sequência de números reais x 1, x 2, . .. , Xm tais que

X0 = a < X 1 < · .. < Xn = b < Xn + 1 < · · · < Xm- 1 < Xm = C

( 1 ) Prova-se, depois, que o vslor médio da velocidade em (a,b) coincide

com a vs/ocldede mldis em (a,b), tal como esta é habitualmente definida.

247

J . •BEBAB'I'IAO E 8/LV A

e ponhamos:

~xp = Xp + 1 - Xp , para p = O, 1, ... , m

Então virá, pela propriedade associativa da adição:

m - 1 n-1 m-1

~ f(xp) ~P = ~ f(xp) ~xP + ~ f(xp) ~xP P= O p - 0 p - n

Ora, quando m tende para infinito, de modo que o maior dos

acréscimos ~xp tenda para zero, o primeiro dos somatórios tende

para fa f, o segundo para J!f e o terceiro para f~ f. Ter-se-á, portanto,

em notação abreviada:

É este o teorema da decomposição do intervalo, que se traduz

geometricamente nos seguintes termos, quando a função integranda

não é negativa: A área do trapezóide definido por f em [ a,c] é igual

à soma das áreas dos trapezóides definidos por f em [ a,b] e [b,c].

248

OOMP~NDIO DE MATEMATIOA

Note-se que o integral J: f foi definido, na hipótese em que

a < b. O teorema anterior sugere uma generalização do conceito de

integral. Põe-se, por definição,

(2) , se a > b

, se a= b

quaisquer que sejam os números reais a, b .

Depois disto, o teorema da decomposição do intervalo passa

a ser válido, quaisquer que sejam as relações de grandeza entre

a, b, c. Por exemplo, tem-se ainda:

(3) f~ f = s: f + f~ f , quando a < b < c,

visto que então, segundo o resultado anterior:

ou seja, atendendo a (2):

s: f = s: f, - f~ f , donde (3)

(Esclareça com uma figura).

11. Teorema fundamental do cálculo integral. Recorde­

mos que o conceito de integra1 nos apareceu intuitivamente no

n.o 5, quando procurávamos um método geral para determinar

249

J. ·'BEBAST I AO E 81LV A

primitivas de funções dadas e, concretamente, no seguinte pro­

blema:

Dada a equação das velocidades, v== f(t), pede-se a equação

dos espaços; isto é, procura-se uma função s == F(t), tal que

ds - = f(t) dt

Fomos, então, levados a substituir os diferenciais ds e dt pelos

acréscimos ~s e ~t (também chamados diferenças finitas), atendendo

a que:

~s ~ f(t) ~t , se ~t é bastante pequeno( 1).

Assim, o espaço percorrido desde um instante inicial t0 até um

instante t qualquer deverá ser aproximadamente igual a

n-1 f(t0 ) ~t0 + f(t 1 ) ~t 1 + · .. + f(tn- 1) Lltn-, == ~ f(xp) ô.xp

P=O

onde t0 < t 1 < t 2 < .. . < tn- 1 < tn == t e ~t0 = t 1 - t0 , ~t 1 = t 2 - t 1, .• •

~tn _ 1 = tn - tn _1 . Isto levou-nos a admitir que o espaço percorrido

seria exactamente igual ao limite para que tendesse a referida soma

quando o número n dos acréscimos considerados tende para infinito

e o valor máximo dos acréscimos tende para zero. Esse limite (se existe)

chama-se integral de f entre t0

e t e representa-se por f~0 f(u)du

( 1} Estamos a seguir o mfltodo de discrstizsção do problsms a que já atrás

se aludiu.

250

COMPSNDIO DE MATEMATICA

(a variável de integração tem de ser, agora, diferente dos srmbolos

t0 e t). Assim, a função s = F(t) pedida deve ser dada pela fórmula

(1) s = s0 + f~0 f(u)dt

onde s0 é o valor de s para t = t0 (espaço inicial) .

Ora, já sabemos que este integral existe, se a função f é con­

tínua. Resta-nos saber se, nesse caso, o referido integral define efecti­

vamente uma primitiva de t, como nos diz a intuição. ~ o que vamos

fazer em abstracto, isto é, independentemente do significado con­

creto das funções.

Seja J um intervalo qualquer de I R (fechado ou não, limitado

ou não; em particular, pode ser IR). Consideremos uma função f

contínua em J e seja a um ponto qualquer de J. Então, para cada

número real x e J , existe um e um só número real y tal que

y = J: f (porquê 7). Logo, a correspondência

é uma aplicação de J em IR, ou seja uma função real definida em J .

Designemos essa função por $, isto é, ponhamos:

(2) <l>(x) = s: f , Vx E J

Queremos provar que <I> é uma primitiva de f em J, isto é,

queremos provar que ( 1 )

<!»' (x) = f(x) , 'Vx E J

( 1 ) A demonstração é dispensável numa primeira fase. O que mais importa,

primeiro, é conhecer bem o enunciado do teorema, que vem a seguir, e saber

aplicá-lo.

251

J . BEBABTIAO E SILVA

Equivale isto a provar o seguinte:

. ct>(x +h) - <f)(x) hm · - f(x) , Vx E J h~ h

Ora, segundo (2), tem-se:

Vx, x +h E J

a X t X+ h

Por outro lado, em virtude do teorema da decomposição do

intervalo, tem-se:

~+h f = fx f + s x+h f ·a a a

donde:

fx+h f _ Jx f = Jx+h f a a x '

ou seja, atendendo a (2) :

<f)(x + h) - <l»(x) = J:+h f

252

OOMPSNDIO DE MATEMATIOA

Portanto:

(3) <b(x +h) - ~(x) J~+h f

= h h

Suponhamos h > O. Então h é o comprimento do intervalo

[ x,x+h] e a fórmula (3) diz-nos que a razão incrementai considerada

é igual ao valor médio de f nesse intervalo. Portanto, segundo o

estabelecido no número anterior, existe pelo menos um ponto t

em [x,x+h] tal que ( 1 )

4>(x + h) - ~(x) -~---- = f(t)

h

O que acontece no 2. o membro quando h -+ O? Recorde que

x ~ t ~ x + h e que f é contínua por hipóteses.

Então t ~O e f(t) -+ f(x) , quando h ~O, e portanto:

«<>(x +h) - «<>(h) lim ------- = f(x) h~o+ h

Analogamente se p.rova que a razão incrementai tende para

f(x) quando h ~O- ( 2 ) . Logo

(J)' (x) =f(x) , 'Vx EJ , q . e. d .

( 1 ) Precisamos de escolher um e um s6 mJmero nestas condições, o que nos

obriga a aplicar o axioma de Zermelo. Este no entanto pode ser evitado, mas

nlo interessa aqui indicar como.

(2) Se x 6 um dos extremos do intervalo J (caso este pertença a J), só

h é a considerar limite lateral e portanto derivada lateral (à direita ou à esquerda,

conforme o limite for inferior ou superior).

253

J. 8EBA8TI'AO li} 81~VA

Assim, ficou demonstrado o seguinte teorema que, pela sua

importância, é chamado o 'TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁL­

CULO INTEGRAL':

TEOREMA. Se f é· uma função continua num intervalo J de IR

e a um ponto de J, a função <I> definida por

<l>(x) = f: f(u)du , 'Vx E J

é uma primitiva de f em J, isto é, tem-se:

<I>' (x) = f(x) ,· 'Vx E J

A tese deste teorema pode exprimir-se directamente pela

fórmula:

Dxf: f(u)du = f(x) 'Vx EJ

Assim, em particular, ficamos -a saber o se.guinte: Toda a função

contínua num intervalo admite primitiva nesse intervalo.

EXEMPLOS:

I. Como se disse no n.0 4, a função ex/x não pode ser primiti­

vada elementarmente. Mas, segundo o que acabamos de expor,

essa função admite primitiva em todo o seu domínio de existência

(o conjunto dos pontos x =F O) por ser aí contínua. Por exemplo,

uma sua primitiva no intervalo J = ] O,+ oo [ é a função ~ definida

pela fórmula:

eu <l>(x) = f~ - du

u

254

OOMP~ND10 DE MATEMATIOA

Utilizando um bom computador, não seria difícil tabelar esta

função. Assim como se calculou o seu valor para x = 5 (n.0 6),

assim também seria possível construir uma tabela dos valores desta

função para sucessivos valores de x bastante próximos, tal como

nas tábuas de logaritmos. Mas veremos adiante que existe uma

primitiva de ex/ x, chamada 'exponencial integral', que já está

tabelada.

11. A função f assim definida:

I sen x para x =ft O f(x) =

1 x '

, para x = O

é contínua em IR (porquê?) , mas não tem primitiva elementar (cf.

n.o 5) . Uma sua primitiva é a função transcendente chamada seno

integral (em abreviatura, Si), assim definida em IR:

sen t Si(>;e) = f~ -­

t dt ( 1)

Esta função encontra-se já tabelada, p. ex. nas «Tables numéri­

ques universelles», de MARCEL BOLL (Dunod, Paris).

111. A função f assim definida:

, para 0 < x < 1

, para x =O

( 1 ) Supõe-se que a função integrada toma o valor 1 para x = O, de acordo

com a definição anterior.

255

J . ·BEBABTIAO E SILVA

é contínua no intervalo J = [0, 1 [, mas também não pode ser primi­

tivada elementarmente. Uma sua primitiva é a função transcendente

chamada logaritmo integral (em abreviatura Li), definida em J pela

fórmula:

1 Li(x) = f ' du

0 log u

Note-se que, a partir desta, é possível primitivar a função ex /x, no intervalo ]- oo, 0[. Com efeito tem-se, utilizando a mudança de

variável x = log t para t E [0, 1 [:

ex t Px - = Pt(--

x log t

1 1 - )= pt t log t

= Li(t) +c

donde, visto que x = log t<:> t = ex:

ex p X - = Li (eX) + C

X

Portanto, Li(ex) é uma primitiva de ex/x no intervalo ]- oo, 0[. Esta nova função transcendente é chamada ·exponencial integral' e

designada pelo sfmbolo Ei, isto é:

Ei(x) = Li (ex) f \fx E ]- oo f O[

A função Ei(x) é prolongada, como primitiva de ex/x, ao inter­

valo ]0, + oo [, por um processo que indicaremos mais adiante.

Há tabelas que dão directamente os valores da exponencial inte­

gral (p. ex., as de Mareei Boll já citadas) e outras que dão os

valores do logaritmo integral.

256

OOMP:aNDIO DE MATEMA'I'IOA

12. Fórmula de Barrow. Seja ·ainda J um intervalo qual­

quer de I R, f uma função continua em J e a um ponto arbitrário

de J. Então, como vimos, a função

«<>(x) = J: f( u)du

é uma primitiva de f em J . Portanto, se F é outra primitiva de f em J ,

tem-se:

F(x) = ~(x) + C (com C constante)

ou seja:

F(x) =C+ f: f(u)du (Vx EJ)

Or~, para x =a, o integral do 2.0 membro é igual a O. Logo,

substituindo x por a em ambos os membros, vem:

F(a) =C

e, portanto:

F(x) = F(a) + J: f(u)du , Vx E J

Sendo b um dado ponto de J , virá, em particular:

F(b) = F(a) + s: f(u)du,

donde:

f: f(x)dx = F(b) - F(a)

2$7 .,

J . •BEB.ABTIA·O E 8ILV.A

Esta importante fórmula, chamada 'FORMULA DE BARROW'

(do nome do célebre professor de NEWTON), permite, como se vê,

achar o integral de f entre a e b, quando se conhece uma primitiva qualquer F de f nesse inteNalo; isto é:

O integral de f entre a e b é igual ao valor da primitiva em b

menos o valor da primitiva em a.

Esta diferença também se costuma designar pela notação

[F(x) J~- a , ou simplesmente por F(x) I: e, ·assim, a fórmula de

Barrow toma o aspecto:

f~ f(x)dx = F(x) I: EXEMPLOS:

I. Calcular o integral de sen x entre O e 1t. Como uma das pri­

mitivas de sen x é -cos x, virá:

s: sen x dx = - cos x I : = - cos 1t - ( - cos O)

=-1-(-1) = 2

Note-se que, por ser sen x ~ O em [0, 1t ] , este integral dá-nos

a área do trapezóide definido pela função seno neste intervalo.

o 1t

258

OOMP:RNDIO DE MATEMATIOA

11. Calcular o integral de sen x/x entre 0,5 e 3. Como vimos

no número anterior, uma primitiva desta função é Si(x). Logo

3 sen x f05 dx = Si(3)- Si(0,5)

' X

As referidas tábuas de Marcell Boll dão:

Si(0,5) = 0,4931 , Si(3) = 1,8487

Daqui o valor aproximado do integral, a menos de 0,0002:

1 ,8487 - 0,4931 = 1 ,3556

111. Calcular o integral de ex /x entre 1 e 5.

Como vimos no número anterior, uma primitiva desta função é Ei(x) (exponencial integral de x). Tem-se, pois:

ex J5

- dx = Ei(6) - Ei(1) 1 X

Ora, as referidas tábuas dão, até às décimas milésimas:

Ei (5) = 40,1863 I Ei(1) = 1,8961'

donde, o valor aproximado:

40,1853 - 1 ,8951 = 38,2902

para o referido integral. Este valor tem, pelo menos, 5 algarismos

exactos, que coincidem com os determinados no n.0 7, por cálculo

numérico directo. O algarismo exacto das décimas milésimas será

259

. J. 8EBA:B'l'IAO 8 SILVA

O ou 1 ou 2 ou 3; o integral está, pois, calculado a menos de 2 déci­

mas milésimas.

EXERCICIOS- I. Calcular:

1) f!1t (x + sen x) dx 7) 2 f: ( t 2 + 1 ) 2dt

2) f~1t sen 2x dx 8) 2 f: (t 2 + sen 3t)dt

3) 3 {x + 1) dx 9) f~ sen2t dt f 2 Yx2 + 2x+3

4) f~ (1 + t + t 2)dt 10) f~ sen 3 t dt

5) f~~ (1 + t + t2)dt OBS.: Usar as fórmulas de

6) n-x (1-2t + 3t 2)dt Euler neste último exerclcío.

11. Calcular com auxílio de tábuas ou da régua de cálculo:

1 dx 12) f

0 1 + 4x2

111 . · Na decomposição da sacarose em dextrose e levulose, a

quantidade dx de açúcar convertido num intervalo de tempo

[ t,t + dt] é proporcional à quantidade de açúcar não convertido e

a dt. Será pois dx = k(a-x)dt, em que a é a quantidade inicial de

açúcar, x a quantidade de açúcar já convertido no instante t e k

o coeficiente de proporcionalidade. Calcular o tempo necessário

para converter uma quantidade de açúcar m < a.

260

OOMPBNDIO DE MATEMATIOA

IV. Numa reacção bimolecular, em que são postos em presença

dois compostos para formar dois novos compostos, a fórmula de

transformação é:

dx = k(a-x) (b-x) dt,

em que a e b são as quantidades iniciais das moléculas de cada

um dos compostos, x a quantidade de uma das substâncias trans­

formada até ao instante t, e k uma constante dependente da concen­

tração. Calcular o tempo necessário para transformar uma quanti­

dade m de uma das substâncias. Para a primitivação, note que

1 1 1 1 ---- = - ( - --) (a-x) (b-x) b-a a-x b-x

Respostas: I. 1) 27t 2 2) 7t 3) v1a- viT;

4) x + ~ + x 3

; 5) .ª- x 3 + 2x 2 + 2x + -ª. 6) - 2x + 2x 2 - x 3 ; 2 3 3 6

1 2 1 2 . 7) - x,o+ - xs __ xs __ x3+x2-x 5 3 5 3 ,

8) ~ (x 6 -x3 + cos 3x- cos 3x2); 9) ~ - se~ 2x;

10) ; - ~ (2 + sen2x)cos x.

1 111. t = - log --·;

k

a 1 a(b-m) IV. t = - - - log ---

k(b-a) b(a-m) a-m

NOTAÇÃO DE LEIBNIZ PARA AS PRIMITIVAS. Como vimos, se f

é uma função continua num intervalo J e a um ponto qualquer de

J, a expressão J: f(t)dt representa uma primitiva de f. Daqui a ideia

de representar pela notação

Jf(x)dx

261

J . ·BEBABTIAO 1iJ 81liVA

uma primitiva qualquer de f e de lhe chamar integral indefinido

de f (por não estarem definidos os extremos de integração). Por

exemplo, tem-se:

f exdx =ex+ C

f cos x dx = sen x + C , etc.

Esta notação para as primitivas é devida a Leibniz e é usada

correntemente. Convém, por isso, que o aluno se habitue também

a usá-la. Também se diz muitas vezes 'integrar' no sentido de 'primitivar'.

13. C61culo de 6reas. Uma das aplicações da teoria exposta

encontra-se no cálculo de áreas de figuras planas. Vamos ver dois

exemplos:

I. Calcular a área da figura limitada pela parábola y 2 = 2px e

pela recta x = a, sendo a e p números positivos dados (em refe­

rencial ortonormal).

o

Como neste caso o eixo dos x é eixo de simetria da parábola,

bastará calcular a área da metade superior e multiplicar o resultado

262

COMPENDIO DE MATEMA.TIOA

por 2. Mas a metade superior é o trapezóide definido pela funçAo

v'2ilx. no intervalo [O,a]. Logo a sua área é o integral dessa função

entre O e a. Ora

x3f2 2 - -Px V2px = V2p Px v'x = V2p Px x1/2 = v'2p = - v'2px3

3/2 3

Logo

,,- 2 v'- 2 v'-sa v2px dx = - 2px3 la= - 2pa 3 o 3 o 3

e a área pedida será:

4 v'­A::;; - 2pa 3 3

No~e~se que a área do rectângulo [ ABCD] é:

a.2 v'2pa = 2 V2pa 3

Logo, a área segmento da parábola é igual a 2/3 da área

deste rectângulo.

11. Calcular a área limitada por uma elipse de semi~eixos a e b

(em referencial ortonormal).

y

b

o X

263

J. •BEBAB'l'IAO li} 81-L V A

Já sabemos que a equação da elipse reduzida aos eixos é:

(2) x2 y2

- + - = 1 a2 b2

e, visto que, neste caso, os eixos coordenados são eixos de simetria

da figura, basta calcular a área da parte situada no 1. o quadrante

e multiplicar o resultado por 4. Ora, resolvendo (2) em ordem a y,

para y > O, obtém-se:

e a parte da figura situada no 1.0 quadrante é o trapezóide definido

por esta função em [O,a ] . Temos, pois, de procurar uma primitiva

desta função. Para isso, usaremos a substituição:

264

x = a sen t , com t e [ - 7t/2, 7t/2]

dx Como - = a cost, vem:

dt

P x V a 2 - x 2 = Pt (V a 2-a 2 sem 2t • a cos t)

= P t (V 1 - sen 2t • a 2 cos t) = a 2 P t cos 2t

cos 2t

2

a2 ) = - (t+

2

sen 2t

2 )

x x. I x 2

Mas t = are sen - , sen 2t = 2 sen t cos t = 2 - V 1 - -a a a2

OOMPSNDIO DliJ MATEMATIOA

Logo

a 2

( ><- x . I x2

) PxYa2-x2= - arcsen - + -· V1- -2 a a a2

Portanto, vem:

- --4

visto que

7t - se x=a X

are sen- = a

·2 x . I x2

, - V 1 - - = O para x = a , x = O . a a 2

O se x =O

Logo, a área pedida é:

A=1tab

Em particular, se a-: b {círculo), tem-se A= 1t a 2 .

14. C61culo de volumes. A teoria do integral aplica-se

também ao cálculo de volumes. Começaremos pelo caso de sólidos

de revolução.

265

J . BEBABTIAO E BILVA

y

a b

X

Consideremos o trapezóide definido por uma função contfnua f

num intervalo [ a,b ], supondo f não negativa nesse intervalo. Quando

roda em torno do eixo dos x, este trapezóide gera um sólido de revolução. Para ver como se pode calcular o volume deste, vamos

seguir o método heurlstico dos infinitésimos. Consideremos um

ponto x qualquer de [ a,b ]. Sendo dx um acrêscimo infinitésimo (, ),

f(x) pode considerar-se constante no intervalo [x,x + dx]. Deste modo,

a porção do trapezóide compreendida entre as rectas verticais de

abcissas x e x + dx pode considerar-se um rectângulo. Por sua vez,

este gera por rotação em torno do eixo dos x um cilindro de revo­lução, cujo raio da base é y = f(x) e cuja altura é dx. O volume

deste cilindro infinitésimo será, portanto:

1t y 2 dx = 1t [f(x)] 2 dx

Ora, o volume do sólido de revolução, de que estamos a tratar,

deve ser a soma de todos estes infinitésimos desde x = a · até x = b;

isto é, o volume procurado será:

( 1 ) Por 'infinitésimo·, deve entender-se aqui 'bastante pequeno'.

266

OOMPSNDIO DE MATEMATIOA

NOTA. É claro que estivemos a usar deliberadamente a linguagem

abreviada dos infinitésimos, para habituar o aluno a este método

heurístico, correntemente usado em ciências da natureza. Mas não

é difrcil imaginar um método mais rigoroso que consiste no seguinte:

considerar o sólido decomposto em fatias por planos perpendiculares

ao eixo em número finito; substituir depois essas fatias por cilindros

que delas se aproximam, somar os volumes dos cilindros e passar

ao limite, quando o número dos cilindros tende para infinito, de modo

que as alturas tendam conjuntamente para zero.

EXEMPLOS:

I. Consideremos o trapezóide definido pela função V2Px no

intervalo [O,a]. Este trapezóide gera, por rotação em torno do

eixo dos x, um segmento de parabolóide de revolução.

y

o X

O volume deste sólido será:

11. Achar o volume do elipsóide de revolução cuja superffcie

é gerada pela rotação da elipse em torno do eixo dos x de

equação:

267

J. 8EBABTIAO If} BILV A

v

X

(É, agora, indiferente que se tenha a ~ b ou a ~ b; se a > b o

elipsóide é alongado; se a < b, é achatado; se a = b reduz·se a uma

esfera.)

Basta achar o volume gerado pelo trapezóide que a função

b y = - V a 2 - x 2 def ine no intervalo [O,a]

a

e multiplicar o resultado por 2. O volume pedido será, pois:

ou seja:

4 V = - 1t ab 2

3

4 Se a = b (esfera de raio a), tem·se V= - TC a 3.

3

268

OOMPSNDIO DE MATEMATIOA

NOTA. Quando o sólido não é de revolução, o volume pode

achar-se de modo inteiramente análogo pela fórmula

V = f~ A(x)dx I

em que A(x) designa a área da secção feita pelo plano de abcissa x, perpendicular ao eixo dos x. Por exemplo, no caso do elipsóide,

x2 y 2 z2 ·- + - +-=1 a2 b2 c2

a secção feita pelo plano de abcissa x é limitada pela elipse

y2 z2 x2 - +-=1--b2 c2 a2

cujos semi-eixos são:

b . - Va 2 -x 2 e a

c - Va 2 -x 2

a

A área da secção será portanto (cf. n.o 12, exemplo 11) :

donde:

bc A(x) =7t - (a 2 -x 2 ) I

a2

2 1t bc 1

2 1t bc x 3 V= J (a2-x2)dx=--(a2x--) 18

a2 o a2 3 o

269

ou seja:

J. ,SEBABTIAO E 81LVA

4 V= - 1tabc

3

1 5. C61culo do comprimento de curvas. Consideremos

uma linha plana C definida por um sistema de equações paramé­tricas:

(1) X = cp(t) , y = ~(t),

em que cp e ~ são funções contrnuas num intervalo [<X,~]. Nos casos concretos, o parâmetro t é a variável tempo; neste caso, as equa­

ções (1) definem o movimento de um ponto no plano, durante o

intervalo de tempo [ oc,~ ], e a linha C é a trajectória do movimento, cuja

equação cartesiana pode ser obtida eliminando t entre as duas

equações ( 1 ) .

Para ver como pode ser calculado o comprimento de C, vamos supor que as funções cp, ~ admitem a derivada continua no intervalo [<X, ~].

B

y

Q X x+dx

270

OOMPPJNDIO DE MATEMATIOA

Seja então t um número qualquer do intervalo [ r.t., ~] e seja P

o ponto de coordenadas x = cp(t), y = ~(t} . Adaptemos, agora, o

método heurlstico dos infinitésimos. A um acréscimo infinitésimo dt

de t correspondem acréscimos infinitésimos de x e de y, equiva­

lentes aos diferenciais:

(2) dx = cp' (t)dt , dy = ~· (t)dt

Seja Q o ponto de coordenadas x + dx, y + dy. Então Q é infi--nitamente próximo de P; deste modo, o arco PQ da linha C con-

funde-se com a respectiva corda PQ e, portanto, o seu compri­

mento equivale ao infinitésimo ds, dado pela hipotenusa de um

triângulo rectângulo, cujos catetos são ldxl e ldyl. Assim:

ds2 = dx2 + dy2

ou seja, para dt > O( 1):

ds = Y dx2 + dy2

donde, atendendo a (2):

ds = Ycp'(t) 2 + 4'(t} 2 dt

ou, mais simplesmente, pondo x = cp' (t} , y = 4' (t) ( 2):

( 1 ) Convenciona-se que o comprimento s cresce com o parA metro t.

( 2) As notações tais como x, y, devidas a Newton, são ainda hoje muito

uaadas para designar derivadas, e convém que o aluno também se habitue a

tele notaç6ee.

271

J. 8EBA8TIAO E SILVA

Este infinitésimo ds é chamado elemento de comprimento da linha. O comprimento integral, s, da linha será, pois, a soma de todos estes elementos desde t = ~ até t = ~. ou seja:

Tratando-se de uma linha C do espaço definida por um sistema

de três equações paramétricas:

(2) X = cp(t) ' y = ~(t) I z = X (t) I

sendo cp, \jJ, X definidas num intervalo [ ~. ~ ], as considerações são

perfeitamente análogas. Supondo que <p, ~. X admitem derivada con­

tinua em [ ~. ~], o elemento de comprimento ds, em referencial

ortonormal, é dado pela fórmula:

ds2 = dx 2 + dy2 + dz 2

e o comprimento total será:

NOTA: -I. A demonstração rigorosa dos resultados assim obti­

dos heuristicamente é mais ditrcil que no caso das áreas e dos volu­

mes. Por isso, nos abstemos de a esboçar aqui.

11. No caso em que as equações (1) definem um movimento,

272

OOMP1!1NDIO DE MATEMA.TIOA

sendo t a variável tempo e ex = O, o espaço s percorrido desde o instante ex até ao instante t será:

(3) s= J~ds= foYcp'(u)2+~'(u)2du(1),

o que nos dá o espaço s, como função de tempo, t:

s = f(t) ( 2)

Neste caso, a velocidade v em cada instante t será:

ds v = - = v~· (t) 2 + ~· (t) 2

dt

Analogamente para movimentos no espaço.

111. Em alguns casos de linhas no plano, o parâmetro t pode

ser uma das coordenadas, por exemplo x. Então, as equações

paramétricas são da forma x = t, y = f(t) = f(x), as derivadas em

ordem a t são .X = 1, y = f' (x) e o comprimento total será, pois:

S = f~ V 1 + f' (x) 2 dx

EXEMPLOS:

I. Calcular o comprimento da linha de equações paramétricas x = r cos t, y = r sen t (sendo r uma constante positiva), num inter· valo [O, 6].

( 1 ) A variável de integração, u, tem de ser diferente do fndice superior t.

(2) Se o espaço Inicial s0, é diferente de zero, convém pOr s-s0 em

vez de a no 1.0 membro de (3)

273 C M-18 .

J. 8EBAB'l'I~O E 81-LV A

y

A

Eliminando t entre as duas equações, obtém-se:

A linha será, pois, uma circunferência, se 6 = 2Tt. No caso geral, -será um arco de circulo AB, cuja medida em radianos é 6. Deri-

vando x e y em ordem a t, vem:

x = - r sen t , y = r sen t

donde:

e, portanto:

s = rt ~~ = r 6

isto é: o comprimento do arco é igual ao produto do raio pela

medida do arco em radianos, o que está de acordo com o que já era

conhecido.

214

OOMPBNDIO DE MATEMA'l'IOA

lt. Calcular o comprimento da linha de equações paramétricas x =a sen t, y = b cos t (sendo a e b constantes positivas), num intervalo [0, 6].

Eliminando t entre as equações, obtém-se:

x2 y2 - + - = 1 a2 b2

A linha será uma elipse, se 6 = 27t, e reduz-se a uma circunferência,

se além disso a = b (caso anterior). No caso gerar, a linha é um arco

de elipse. Temos, agora:

x = a cos t , y = - b sen t

donde:

Ora, se pusermos:

- = = k (excentricidade da elipse) a a

tem-se: o ~ k < 1 ,

e, portanto:

ds2 = [a2 cos2t + a2 (1- k2) sen2t] dt2

= a 2 (1 - k 2 sen 2 t) dt 2

Logo, o comprimento pedido será dado pelo integral:

275

J. BEBABTIAO E BILV.A

Mas, prova-se que a função integranda não pode ser primitivada

elementarmente, sendo necessário, portanto, recorrer a métodos

numéricos de aproximação para o cálculo do integral (neste caso

pode aplicar-se o método de integração por séries, a que faremos

referência mais adiante).

O integral considerado define uma função de duas variáveis,

6 e k:

E ( 6,k) = ~ v' 1 - k 2 sen 2 t dt

chamada integral el/ptico de 2. a espécie. Para dar uma ideia da sua

importância, bastará lembrar que intervém no cálcu~o de percursos

em trajectórias elípticas, de que são bem conhecidos exemplos con­

cretos, relativos a planetas e satélites artificiais.

Dada a frequência e variedade das suas aplicações, esta função

encontra-se extensamente tabelada. Habitualmente põe-se k sob a

forma k = sen <p (tem-se O< k < 1 ) . Das «Tabelas Numéricas» de

A. César de Freitas (I. A. C.), extrafmos a seguir uma pequena

parte da tabela desta função, para dar uma ideia de como está

organizada:

32

33

6=0

0,54105

0,55851

0,57596

0,54086

55830

57573

e= 10°

0,54030

55768

57506

Nesta tabela os valores da função são dados a menos de 1 O- 5 ,

para valores de cp de grau em grau, desde 1 até 90°, e valores de

6 de 5 em 5 graus, desde O até 90°.

276

OOMPSNDIO DE MATEMA'riOA

NOTAS ---1. Interpretando t como a variável tempo, as equações

x = a sen t, y = cos t definem separadamente, movimentos vibrató­

rios simples, de amplitudes a,b e pulsação 1, segundo o eixo dos x

e o eixo dos y, respectivamente. O sistema das duas equações define

o movimento resultante dos dois primeiros. A trajectória, como se

viu, é elfptica, e a equação dos espaços é:

s = a E(t,k) , supondo s0 = O.

11. Chama-se integral e/lptico de 1.8 espécie a função F de duas

variáveis definida pela fórmula:

1 F ( 6, k) = fo V dt (O ~ k < 1 )

1 - k2 sen 2 t

Tal como o integral elfptico de 2.8 espécie, esta função tem

numerosas aplicações e encontra-se extensamente tabelada, com

k na forma sen q>. Estas duas funções estão relacionadas com uma

classe muito importante de funções transcendentes, de variável

complexa, duplamente periódicas, chamadas funções el/pticas.

16. Novos exemplos da flsica*. O conceito de integral

intervém a cada passo em questões concretas de ffsica, qufmica,

biometria, econometria, etc. Vamos estudar mais dois exemplos da

ffsica.

EXEMPLO I (Trabalho produzido pela expansão de um gás:

por exemplo, num motor de explosão). Calculemos o trabalho pro­

duzido pelas forças de expansão de um gás, cujo volume aumenta

de v 1 para v 2, supondo que se mantém constante a sua temperatura.

277

J. '8EBASTIAO E Efl LV A

Já sabemos que, em primeira aproximação, se pode adaptar a

EQUAÇÃO DOS GASES PERFEITOS:

(1) pv = KT,

sendo p a pressão, v o volume, T a temperatura absoluta e K uma

constante dependente do gás.

Seja M um ponto genérico da superficie que, num dado ins­

tante t, limita o gás; e seja p a pressão em M, dO" um elemento de área em torno de M (área de uma superfície infinitésima a que per­

tença M) e ds o deslocamento elementar de M, quando o gás passa

do volume v ao volume infinitamente próximo v + dv.

Então a força exercida pelo gás em dO" será pda (produto da

pressão pela área) e o trabalho efectuado pela referida força será o

produto desta pelo deslocamento, ou seja:

p d a ds = p d (t)

em que dc.> é o volume do cilindro de base da e altura ds.

218

OOMPSNDIO Dl!l MATEMÁTICA

Admitindo, agora, que a pressão p é a mesma em todos os pontos

da superfrcie em cada instante t, o trabalho efectuado quando o gás passa do volume v ao volume v + dv, será:

(2) dW=pdv

vis· o que dv é a soma de todos os volumes elementares d w. Por

conseguinte, o trabalho efectuado na passagem de v a v + dv será,

atendendo a (2) e a (1):

isto é :

v v KT IV W = f 2 p dv = f 2 - dv = K T In v 2

Vt Vt V V1

v2 W= KTln ­

v,

Vemos, aqui, mais um exemplo típico de aplicação daquilo a

que chamámos métodos abreviados de cálculo e racioclnio.

Numa segunda aproximação, pode usar-se, em vez da equação

dos gases perfeitos, a EQUAÇÃO DE VAN DER WAALS:

a (p +-)(v- b) = RT

v2

Deixa-se ao cuidado do leitor a resolução do problema com esta

fórmula, começando por exprimir p como função de v (com a,

b, R e T constantes).

279

J'. BEBABTIAO E SILVA

EXEMPLO 11 (Dedução da fórmula do pêndulo simples). Como

é sabido, uma das ideias centrais que têm norteado, com êxito,

todo o desenvolvimento da física, é o PRINCfPIO DA CONSERVAÇÃO

DA ENERGIA ( 1).

Por exemplo, quando se deixa cair uma pedra de massa m do

alto de uma torre de altura h, a energia potencial da pedra em

relação ao nlvel do solo é, por definição, igual ao trabalho necessário

para elevar a pedra desde o solo até ao cimo da terra, ou seja o

produto do peso, p, da pedra por h. Como p = mg (em que g é

a aceleração da gravidade), a energia potencial da pedra ao ser

largada será:

U0 = p h= mg h

Num instante t em que a pedra se encontre à distância x do solo,

a energia potencial será U = mg x. A energia potencial perdida,

( 1) Alargado com o PRINCIPIO DE EQUIVAli:NCIA ENTRE A MASSA

E A ENERGIA. de Einstein.

280

OOMP:SNDIO DE MATEMATIOA.

U- U0 , foi então transformada em energia cinética, T = ~ mv2,

admitindo que a resistência do ar é desprezável. Tem-se, pois,

U0 - U = T, ou seja:

1 mg(h-x)=-mv2

2

Quando a pedra chega ao solo, toda a sua energia cinética

acaba por ser transformada em calor ( 1). Porém, no caso ideal de

um choque elástico (caso que se verifica parcialmente quando, por

exemplo, uma bola de bilhar cai sobre um chão de mármore), o

corpo salta até ao nrvel inicial, para tornar a cair, e assim sucessiva­

mente, conservando-se constante a energia mecânica total, E= U + T.

----------} c( cos ~ - cos ex)

v

( 1 ) Recordemos que, nas centrais hidroeléctricas, a energia cinética da

égua é, em grande parte, convertida em energia e/éctrica. Por sua vez, nas

centrais nucleares, em que se dá a cisão do nllcleo do urânio, uma parte da

masss deste é convertida, segundo a fórmula E "" me 2 de Einstein, numa quanti­

dade proporcionalmente enorme de energia calorifica, que vai aquecer a água

do reactor e é depois transformada em energia eléctrica.

281

J. BEBABTIAO E SI'L V A

Ora, é esse também o caso ideal de um pêndulo simples, em

que se despreza o atrito. Suponham.os que um pêndulo OP é desviado

para a posição OA, em que faz o ângulo ~ com a vertical, e largado

depois (sem impulso). Seja cp o ângulo de OP com a vertical num

dado instante t. Então, na passagem de A para P, a diminuição

de altura (em relação ao solo, por exemplo), será c ( cos cp - cos ~>,

designando por c o comprimento do pêndulo. Portanto, a diminuição

de energia potencial do pêndulo será:

{ 1) m g c (c os cp - c os ~) ,

sendo m a massa do ponto material P. Por outro lado, designando -por s o comprimento do arco VP, tem-se s = c cp. Portanto, no

instante t, a velocidade de P será ~~ = c ~i e a sua energia cinética :

1 1 dcp mv2 == - mc 2 ( - ) 2

2 2 dt

Como esta deve ser igual a (1 ), segundo o PRINC(PIO DA

CONSERVAÇÃO DA ENERGIA, virá:

1 dcp - c 2 (- ) 2 = g c(cos cp - cos ~) , 2 dt

donde se deduz a derivada detem ordem a cp:

dt . /-c-- =V -dcp 2g

1

y' cos cp - cos (X

282

OOMPSNDIO DE MA'l'EJJIATIOA

Daqui podemos ago1ra deduzir, por integração, o tempo de uma

oscilação simples, isto é, o tempo T necessário para o pêndulo ir

da posição OA até à posição simétrica, OA'. Tem-se, com efeito:

{2) _ . I c cx dcp

T-V f - -2g ·ex V cos cp - COS (X

visto que, nesta passagem, t varia de -a a a (tomando para positivo

o sentido indicado na figura).

Vamos, agora, ver como a fórmula (2) se pode reduzir a um

integral el/ptico de 1.a espécie (cf. n.o 14, exemplo 11). Come­

cemos por notar que

(3) q> rJ.

cos cp - c os oc = ( 1 - 2 sen 2 - ) - ( 1 - 2 sen 2 - ) 2 2

<X cp == 2 (sen 2 - - sen2 -)

2 2

<X Ponhamos agora sen - == k e façamos a mudança de variável :

2

(4) cp

sen - = k sen e 2

Daqui, diferenciando, vem:

(5) 1 cp 2 k cos 6

cos - dcp = k cos 6 d 6 :. dcp = <p d 6 2 2 c~T

283

J. BEBABTIA'O E SILVA

e, atendendo a (3):

(6) V cos <p - cos ~ = V2(k 2 - k 2 sen 2 6) = k V 2 cos 6

Entrando com (5) e (6} em (2) e notando que, em virtude de (4), 6 varia de -rt/2 a rt/2 quando <p varia de -ex a ex, vem:

- /c /2 d 6 . rc rr/2 d 6 T =V g F.rr/2 cos---; =V g f-rr/2 V1-k 2 sen 2 6

Finalmente, decompondo o intervalo de integração em [- 7t/2,0] e

[0, 7t/2], e notando que os integrais nestes intervalos são iguais

(mudando e em -0), vem, finalmente:

(7)

ou seja:

T=2V c F(~, k) g 2

Em particular, se ~ for suficientemente pequeno, pode des­

prezar-se k, e de (7) resulta a conhecida FÓRMULA DE

GALILEU:

(8}

284

OOMP'JhNDIO DE MAT.EMATIOA

17. Propriedades em que se baseia o cálculo num6rico

de integrais*. Agora que já se tem, com os exemplos anteriores,

uma ideia da extraordinária importância do cálculo integral, inte­

ressa ver em que consistem, nas suas linhas gerais, as técnicas de

cálculo numérico de integrais.

Sendo os integrais limites de somas, várias propriedades da adição

se transmitem aos integrais, por passagem ao limite. Por exemplo,

vimos que, se f é uma função integrável num intervalo [a,b], o

integral de f neste intervalo pode ser obtido como limite das somas

n-1 Sn = ~ f(xp) h,

p aO

onde h= (b - a)/n e Xp = a+ph , para p=O , 1 , ... , n-1 .

Ora

n-1 JSn! ~ }; Jf(xp) I h (propriedade do módulo da soma)

p ... Q

donde, passando ao limite, quando n ---* oo :

I s: f(x)dx I~ s: I f(x) I dx ..

ou ainda, em notação abreviada:

(1)

Por palavras: O módulo do integral de uma função é inferior

ou igual so integral do módulo da função.

28$

J. 8l!JBABTIAO l!l SILVA

De modo análogo se reconhece o seguinte:

Se f e g são integr!Jveis em [ a,b] e se f~ g neste intervalo, entlo

(2)

Em particular, se lf(x) I~ M em [ a,b ], sendo M uma constante

finita, deduz-se de (1) e (2) a seguinte FORMULA DE MAJORA­

ÇÃO DO INTEGRAL:

(3) I J: f I ~ M (b- a),

visto que o integral da constante M em [ a,b] é M (b- a).

Por outro lado, da definição de integral deduz-se facilmente a

seguinte propriedade:

Se f e g são funções integráveis em [ a,b ], e se k é uma cons­tante, também f + g e kf são integráveis em [ a,b] e tem-se:

Daqui resulta, em particular:

(4)

Seja agora e: um majorante de lf- gl em [a,b], isto é:

lf(x) - g(x) I~ e: , Vx E [ a,b]

286

OOMP1JJNDIO DE MATiiJM.ATIOA

Então, de (3) e da fórmula de majoração (3) deduz-se:

(5)

A ideia fundamental do cálculo numérico de integrais consiste

em substituir a função integranda f por uma função g mais fácil de

integrar e bastante próxima de f . Então (6) é uma FORMULA DE

MAJORAÇÃO DO ERRO DO INTEGRAL, desde que se adapte a

seguinte

DEFINIÇÃO 1. Sendo e um número positivo, diz-se que a fun­

ção g é aproximada de f a menos de e em [ a,b ], sse

I f(x) - g(x) I < e , \fx E [ a,b]

Na mesma hipótese, chama-se vizinhança (e) de f em [ a,b] ao

conjunto de todas as funções cp aproximadas de f a menos de e

nesse intervalo.

------ _.,..,1 e-----r- ,,,''''~,,,, --~,,/·-·.-:', ,~ -----r~· '·., .· ,. ·,,

,' ,,.,. " e L.-: __ - _ _ _ - • -----~-- ____ _. I

f(a)

I I I I I I I I I I

a b

117

J. 8EBABTIAO E SILVA

Designaremos por V e (f) este conjunto (ler: 'vizinhança (e) de f').

Geometricamente, V e (f) é constituída por todas as funções cujos

gráficos estão compreendidos entre os gráficos de f(x) + e e de

f(x) - e ( 1 ). Posto isto, é fácil resolver o seguinte

PROBLEMA: Dado um número 8 > O, determinar um número

e > O, tal que, se a função g é aproximada de f a menos de e,

então s: g é aproximado de s: f a menos de 8 (supondo que f

e g são integráveis em [ a,b ]).

Aplicando a fórmula (5) e pondo e (b-a) ~ 8, vê-se que

basta tomar

8

b-a I

para que o problema esteja resolvido.

Assim, em conclusão, fica provado o seguinte TEOREMA:

DEFINIÇÃO 2. Diz-se que uma sucessão q>0 de funções con­

verge uniformemente para f em [ a,b ] , sse, para todo o ~ > O,

existe um p tal que todas as funções cp 0 para n > p são aproxi­

madas de f a menos de e em [ a,b].

( 1) Simbolicamente, v, (f) - {cp: jf(x) - <p(x) j < c , vx E [a,b]}

288

OOMP:tbNDIO DE MATEMATIOA

Do teorema (6) resulta imediatamente o seguinte

COROLÁRIO. Se uma sucessão cp0

de funções converge uni­

formemente para f em [ a,b ], então

(supondo as funções f e cp0 integráveis em [a,b ]).

18. Métodos de integraçã1o numérica*. Passemos, agora,

em revista alguns métodos directos de integração num~rica:

1) Método dos rectângulos. O caso mais simples das fun­

ções integráveis é o das funções constantes. Se cp(x) = k em [ a,b ],

tem-se, evidentemente, J: cp = k(b- a).

a b

Seguidamente, aparecem-nos as funções em escada. Diz-se

que cp é uma fu.nção em esc{Jda em [~,b ), quando este intervalo se

decompõe ·num.· n.úmero finito ~e intervalos disjuntos, e~ que cp é

constante. Neste caso cp é integrável em [ a,b ). Se forem (x0,x 1 [,

C M-19 .

J. 8EBABTIAO E1 8l'L VA

[x 1,x2

[, ... , [xn-1' xn], com x0 =a e xn =b, os intervalos em

que <p é constante, tem-se:

n-1 f! <p = L Yp(Xp+ 1-xp) , onde Yp = <p(Xp)

P=O

Ora, segundo a própria defini~ção de integral, torna-se evidente

que o integral de uma função f em [ a,b] pode ser sempre calculado

como limite de integrais de funções em escada, <p, tendo-se neste caso Yp = <p(Xp) = f(xp), para p =O, 1, ... , n-1 (1).

No caso em que f(x) > O em [ a,b ], cada termo Yp ÂXp que

intervém no integral da função em escada dá a área do rectângulo

de base Ãxp e altura Yp· Daí a designação 'Mt:TODO DOS

RECTANGULOS' atribuida a este método.

Quando a função f é monótona no intervalo [ a,b ], torna-se

aconselhável uma ligeira modificação, que aumenta consideravelmente

a convergência do processo: em vez de tomar os valores de f nos

extremos inferiores dos intervalos parciais, devem-se tomar os

valores de f nos pontos médios desses intervalos (nos casos usuais

[ a,b] decompõe-se num número finito de intervalos em que f é

monótona) .

Mesmo assim, o método dos rectângulos é demasiado moroso,

como se viu no n.o 7. Interessa, pois, substitui-lo por métodos mais

expeditos.

Uma primeira ideia que surge agora, naturalmente, é a de recorrer

aos métodos de interpolação por diferenças finitas, considerando o

intervalo [a,b] dividido em intervalos de comprimento Âxp todos iguais.

( 1 ) Se a função f á contfnua em [a,b], prova-se que, para todo o e> O,

existe uma função em escada <p tal que <p E V e; (f), isto é, tal que lcp(x)- f{x) 1 < 8~ vx e [a,b). Aliás, no fundo, é a partir deste facto que se demonstra que toda a função continua em [a, b] é integrável neste intervalo.

290

OOMPSNDIO DE MA.'l'EMATIOA

2) Método dos trapézios. Este método corresponde a fazer

interpolações por primeiras diferenças em ·cada um dos intervalos

parciais. Então f é substitufda nesses intervalos por funções lineares,

cujos gráficos são as cordas correspondentes do gráfico de f.

v,

x, -X 3

Em particular, se f(x) ~ O em [ a,b], isto corresponde a substituir os

rectângulos do método anterior por trapézios (donde o nome

'Mi:TODO DOS TRAPI:ZIOS' dado a este processo). Então, pondo

Yp = f(xp), o integral de f em [ a,b] é dado como limite da seguinte

sucessão de somas:

S = b-a (Yo+Y, + Y1 +Y 2 + ... + Yn-~+Yn) n n 2 2

= b-a ( Yo+Yn ) + Y1+y2 + ... +Yn-1 n 2

A majoração do erro pode ser feita por meio da fórmula

291

J. BEBABTIAQ E BILV A

onde M é um majorante finito de lf"l em (a,b ], supondo que f"

existe e é limitada neste intervalo ( 1 ).

3) Método de Simpson. Neste método, o intervalo [a,b] é

dividido num número par, 2n, de intervalos iguais e a função f é

substitufda, em cada intervalo [xp,Xp+ 2 ], com p = O, 2, 4, ... , ... , 2n-2,

pela função polinomial de grau n ~ 2:

onde h = b2na , fJ.yP = Yp+ 1 -Yp , â 2yp = Yp+ 2 -2yP+ 1 +Yp· Um

cálculo simples mostra que o integral desta função em [xP,xP+ 2 ] é:

Então um valor aproximado de f: f será Sn = A1 +A 3 + ... +A 2n- 2

ou seja:

Esta é a FORMULA DE SIMPSON. Prova-se que a majoração do

erro, neste caso, pode ser feita por meio da fórmula

(b-a) 5

I Sn - J: f I ~ M, 4151 n 4

( 1 ) Nos intervalos em que f" tem sinal constante, pode fazer-se outro tipo

de majoraçio, recorrendo às tsngentes nos pontos de abcissas x 0, x 1, •• • , Xn·

292

OOMPSNDIO DE MATEM.ATIOA

onde M é um majorante de 11<4> I em [ a,b ], supondo que f admite

4.• derivada, limitada em [a,b ] . Comparando-a com a anterior, para o método dos trapézios, vê-se que este método converge muito mais rapidamente, visto que no denomina dor figura n 4 em vez de n 2.

19. Fórmula de Taylor*. Entre os métodos de integração

numérica mais usados figuram os métodos de integração por séries.

Para dar exemplos destes convém previamente deduzir a chamada

'fórmula de Taylor'.

Seja J um intervalo qualquer da recta e a um ponto arbitrário

de J. Sendo cp uma função contrnua em J, convencionemos escrever:

d. cp (x) = J: cp (u)du , \fx E J

Assim, segundo o TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

INTEGRAL, d. é o operador que transforma cp na primitiva de cp

que é nula em a (visto que o integral se anula para x =a). Em

particular, se cp se reduz a uma constante k em J, tem-se:

(x-a) 2 d. k = k(x-a) , ~2k = k ---

2

Dum modo geral:

(1) (x-a)"

~"k=k---nl

(x-a) 3

, ;;].3k-- -2 x 3

, \fn E IN

, .. '

193

J. ·BEBAB'l'IAO E BILVA

Seja, agora, f uma função que admite derivada de ordem n

continua em J. Esta pode representar-se por f(n) ou por D"f.

Como f(n) = ot<n- 1) , f(n- 1) é uma primitiva de f(n) e, portanto:

~ f{n) (x) = f(n- 1) (x) - f(n- 1) (a)

Por sua vez, e atendendo a (1 ), resulta daqui:

;} 2f(n) (x) = f(n- 2 ) (x)- f(n- 2 ) (a) - f(n- 1 ) (a) (x-a)

;}3f(n) (x) = f(n- 3) (x) -f( A- 3) (a) - f(n- 2) (a) (x-a) -

(x-a) 2 -t<n-1) (a) - - -

21

e assim sucessivamente. Conclui-se por este processo que:

(x-a) 2 (x-a) 3

~"f(n) (x) = f(x)-f(a)-f'(a) (x-a)-f"(a) - f'"(a) - ... 2' 3!

Daqui, se pusermos

virá:

(x-a)n-1 ---- f(n-1) (a)

(n-1)1

;] "f(n) (x) = Rn(X),

(x-a) 2 (x-a)n-1 f(x) = f(a) +(x-a) f'(a) + f"(a)+ .. ·+ f(n- 1 ) (a)

2! (n-1)1

+ Rn(X)

294

J. BBBA-B'I'IAO E 81LV A

Esta é a importante FóRMULA DE TAYLOR, que se pode

escrever abreviadamente:

n -1 (x-a)P (2) f(x) = I: --- f{P) (a) + Rn(x) , Vx E J

P=O pl

considerando f {o) = D0f = f.

O termo Rn(x) é chamado o resto da fórmula de Taylor para f

no ponto a. São conhecidas várias expressões para este termo,

como por exemplo a seguinte:

(x-t)" - 1

Rn{X) = f: f{n) (t) dt , Vx E J (n-1) I

Esta expressão, que indicamos a tftulo de curiosidade, pode ser

deduzida por meio de sucessivas primitivações por partes, a partir de f(n)_

O que nos interessa agora, propriamente, é uma fórmula de

majoração para Rn(x):

Seja Mn um majorante de lf{n) (x) I em J , isto é:

lf(n) (~)I ~ Mn , Vx E J .

Então virá, supondo x > a [ cf. n.0 17, (1) e (3) ):

I d. f(n) (x) I = I J: f(n) (u) du I~ (x-a) Mn

(x-a) 2

1 d- 2 f{n) (x) I ~ J: (u-a) Mndu = Mn 2

(u-a) 2 {x- a) 3

I ;}.3 f .<x) (x) I~ f: 2

Mndu = Mn 2 x 3

29.5

,J. BEBABTIJIO E SILVA

e assim sucessivamente até d.":

lx-ai" I d." f(n) (x) I ~ Mn

nl

Pusemos agora x-a entre sinais de módulo, porque, como é

fácil ver, a fórmula também é válida assim para x ~ a. · Será, pois,

esta uma FÓRMULA DE MAJORAÇÃO DO RESTO.

20. S6rie de Taylor•. Suponhamos que f admite derivadas

continuas de todas as ordens em J. A fórmula de Taylor pode então

escrever-se, para todo o n e IN:

(1) n (x-a)P

f(x) = ~ --- f(n) (a) + Rn+ 1 (x) , Vx e J p=O pl

Suponhamos, além disso, que o resto tende para zero em J

quando n -+ O, isto é, que

{2) lim n-+ oo

Rn(x) =O , Vx eJ

O mesmo acontece, é claro, com Rn+ 1 • Passemos, agora, ao

limite em {1) quando n -+ oo . ~orno x se m_antém fixo (isto é,

não depende de n), o primeiro membro de (1) é constante e,

portanto, virá:

f(x) = lim n-+oo

n (x-a)P ~ ---f(P)(a) , VxeJ

p=O pl

296

COMPSNDIO DIG MATEMATIOA

Esta fórmula escreve-se mais simplesmente como segue:

oo (x-a)P f(x) = I: --- f(P)(a) , 'Vx e J ,

p=O p!

ou ainda, desenvolvendo

(x-a) 2 (x-a)" (3) f(x) = f(a) + (x- a)f'(a) + f"(a)+·· ·+ f(n)(a)+ ···

21 nl

Como se vê, enquanto a fórmula de Taylor tem um número

finito de termos, esta tem um número infinito de termos: o 2.0 mem­

bro é uma série (cf. Cap. I, n.o 32), chamada precisamente a

série de Taylor de f relativa ao ponto a. Em conclusão:

TEOREMA 1. A função f é representllvel pela série de Taylor (3)

no intervalo J, sse a condição (2) se verifica.

Vamos, agora, ver o seguinte

TEOREMA 2. Uma condição suficiente para que se verifique

(2) é que todas as derivadas f(n) admitam um mesmo majorante

finito em J, isto é, que exista um. número M tal que:

lf(n) (x) I ~ M , 'Vx E J , n E IN

Com efeito, se esta condição se verifica, tem-se:

lx-ai" IRn(x) l ~ M , Vx E J , n E IN

nl

297

J. BEJBABTIAO E SILVA

Ora, quando n ~ oo, o primeiro factor do 2.0 membro tende

para zero (cf. Cap. I, n.0 31, exerdcio V) e, como M é constante,

vem lim Rn(x) =O , Vx E J . n~O

21. Desenvolvimentos em série de potências*. Quando

a = O, a fórmula de Taylor e a série de Taylor simplificam-se:

x2 xn-1 f(x) = f( O) + xf' (O) + f" (O) .. · +

2! f(n- 1 ) (0) + Rn(X)

(n-1)

f(x) = oo x" ~

n=O nl f(n)(O) = f(O) + xf'(O) + ... +

x" f(n) (O) + · ·· ,

nl

passando a chamar-se fórmula de Mac-Laurin e série de Mac-Laurin,

respectivamente. Vamos, agora, aplicar os resultados anteriores a

algumas funções usuais:

1) Seja f(x) = ex e J = [- fX, fX), sendo fX qualquer número

positivo. Então já sabemos que

f(n) (x) = ex , Vx E J , n E IN,

e, como ex é crescente em J, tem-se ex~ efX ou seja:

lf(n) (x) I~ efX , Vx E J , n E IN

Portanto, segundo os teoremas 1 e 2 do número anterior, esta

298

OOMPBNDIO DE MATEMATIOA

função é representável pela sua série de Mac-Laurin em J . Ora

f(n) (O) = e O = 1, Vn E IN. Portanto:

oo x" x 2 x3 x" ex= l: - =1+x + - +- + .. · + - + .. .

n=O nl 21 31 nl

para todo o x E [-IX, IX]. E, como IX é um número positivo qual­

quer, segue-se que esta fórmula é válida para todo o x E I R. Em

particular, obtém-se uma expressão para o número e:

00 1 1 1 1 1 e = ~ - =1 + - + - + - +· .. + - + ...

n=O nJ 1! 21 31 n!

2) Seja f{x) = cos x e J = [- IX ,IX ], com or. positivo qualquer.

Então:

7t f'{x) = - sen x = cos (x + - ) , f" {x) = - cos x = cos{x + rt},

2

3 f'" (x) = sen x = cos(x + -rt) , f 1v{x) = cos x = cos(x + 2rt)

2

Dum modo geral:

donde:

1t f(n) {x) = cos {x + n - ), Vx E J , n E IN,

2

lf(n) (x) I~ 1 , Vx E J , n E IN

A função cos x é, pois, representável pela sua série de Mac-

299

J .. BEBA.BTIAO E BILVA

-Laurin em [-cx,cx], Vcxe iR, e portanto em IR. Agora f(0)=1 ,

f" (O) = - 1, f" (O) = O, . . . Portanto:

x 2 x4 x6 x2n COSX=1- - + - - - + ···+(-1)" + : ..

2! 41 61 (2n)l

oo x2n - :E (-1)"--

n= O (2n) I I Vx e iR

3) De modo análogo se vê que:

x3 xs x7 x 2n+, senx=x- - + - - - + .. · +(- 1)" + ···

31 51 7 I ( 2n + 1 ) I

00 x2n+ 1

- :E (-1)"- - -n=O (2n+1)1

Vx E IR

EXEMPLO NUM!:RICO. Calcular sen 36° com 7 algarismos exactos. !: preciso primeiro passar de graus a radianos:

36° = rr:/ 5 rad ~ 0,62831853 rad

Calculando sucessivamente as somas

parciais 50

da série dos senos, para

x = 0,62831853 e n = 1, 2, ... , por meio

do computador do L. N. E. C., obtive-

0,62831853

0,58697683

0,58779288

0,58778521

ram-se os resultados indicados à margem. 0,58778525

Os algarismos estabilizaram-se até à 7. a ordem decimal a partir da

4.8 soma e podem considerar-se exactos, porquanto o termo seguinte

da série é bastante menor que 1 O- 7 e os erros de arredondamento

300

OOMPSNDIO DE MATEMATIOA

afectam só o último algarismo, visto o número de termos ser inferior

a 6. Tem-se, pois, com 7 algarismos exactos:

sen 36° = 0,5877852

Note-se que os valores são alternadamente superiores e infe­

riores ao limite, como era de esperar.

22. Integração de s6ries termo a termo•. Comecemos por

um exemplo simples. Sabemos que se tem ( 1 ):

(1) 1 r"

- - = 1 + r + · .. + r"- 1 + -- , 'r/r :F 1 , n e IN 1-r 1-r

Seja, agora, x um ponto qualquer de ]-1, 1 [. Integrando ambos

os membros de (1) em ordem a r, entre O ex, vem:

(2) 1 x2 x" r" r - -dr = X + - + .. · + - + t -- dr 0 1- r 2 n ° 1-r

Ora tem-se, por um lado:

(3) x dr f - = -log(1-x) 0 1-r

( 1 ) Basta multiplicar ambos os membros por 1 - x para reconhecer que a

fórmula 6 válida.

301

J. BErBASTIAO E BILVA

Por outro lado, . como

r" I x" I I - I ~ , para lrl < lxl, 1-r 1-r

vem (cf. n.o 16):

r" lxl" I f~ - dr I~ I f~ - dr I = I x I " l log(1-x) I

1-r 1-r

Isto mostra que o último termo de (2) tende para O quando

n -+ oo . Logo, atendendo a (3), virá de (2), por passagem ao

limite quando n -+ oo:

x2 x" oo x" (4) -log (1 - x) = x + - + .. . + - + .. . = ~ -

2 n n= 1 n

donde, mudando x em -x e multiplicando por - 1:

x2 x3 x" (5) log(1 +x)=x- - + - - .. ·+ (- 1)"- 1 - + ·· ·

2 3 n

Assim, como se vê, o desenvolvimento de log (1 +x) em série

de Ma c-Laurin pode obter-se, integrando termo a termo a série

correspondente de (1 +x)- 1.

Mas a convergência da série (5) é demasiado lenta·. Somando

(5) e (4) membro a membro, obtém-se o seguinte desenvorvimento,

que se aplica, na prática, ao cálculo numérico de logaritmos:

1 +x x3 x 5 x2n+ 1 (6) log - - = 2 (x+ - + - + ··· + + ···)

1-x 3 5 2n+1

302

OOMPRNDIO DE MATEMATIO'A

Vejamos um segundo exemplo. Substituindo r por -t2 em (1 ),

vem:

1 (-t2) 0 =1-t 2 +t4 - .. · +

1 + t 2 1 + t 2

Discorrendo como no caso anterior, vê-se que esta série pode

ser integrada termo a termo entre O e x, para todo o x E]- 1,1 [

e que, portanto:

x3 x 5 x 2n+ 1 (7) are tg x = x-- + - - ··· + (-1 )" + ···

3 5 2n+1

Em particular, para x = 1, deduz-se daqui:

(8) 7t 1 1 1

- =1- - +-+ ... +(-1) 0 + ··· 4 3 5 2n+1

Poderíamos tentar utilizar esta série para o cálculo numérico de n.

Mas a convergência é extremamente lenta: para obtermos 1t a menos

de 0,0001 , teríamos de somar mais de 1 000 termos da série I

No entanto, MACHIN notou que, se pusermos

1 ex = arctg -

5

1 (3 =are tg -- ,

239

se tem, como é fácil verificar, calculando a tangente dos dois mem­

bros (é um exercício simples):

7t - =4cx- (3 4

303

J. BEBAB'I'IAO E BILV A

Daqui e de (7) deduz-se:

1 1 1 1 1t=16(-- + +· .. )-

5 3x53 5 x 56 7x57

1 1 1 - 4 ( 239 - 3 X 239 3 + 5 X 239 S - •• • )

Esta fórmula já permite um cálculo rápido de n. Tem-se, por . .

exemplo:

1 1 1 1 16 (- - + ) - - = 3,1415 ...

5 3 X 53 5 X 5 5 239

Vejamos, agora, um terceiro exemplo. Do desenvolvimento de ex

em série de Mac-Laurin, deduz-se, para todo o x ~ 0:

ex 1 x x2 x"- 1

(7) - =-+1+-+-+···+ +··· X X 2 31 nl

Utilizando a majoração do termo do resto, pode ver-se, como

nos casos anteriores, que esta série, exclurdo o primeiro termo, é

integrável termo a termo em qualquer intervalo limitado. Daqui se

conclui que uma primitiva de ex/x será dada pela fórmula:

ex x 2 x" P - = C + log lxl + x + + .. · + + · ..

x 2 x2 nxnl

em que C é uma constante arbitrária. Em particular, quando o valor

de C é a chamada 'constante de Euler', esta primitiva (definida para

todo o x i: O) será precisamente a função Ei(x) (exponencial

integral de x).

COMPPJNDIO DE MATEMATICA

Dum modo geral:

DEFINIÇÃO. Diz~se que uma série de funções

00

Cf>o (x) + cp, (x) + ... + cpn (x) + ... = I; Cf>n (x) n=O

é uniformemente convergente num intervalo [ a,b ], sse a soma

Cflo (x) + cp 1 (x) + .. · + ~n (x) converge uniformemente para uma

função f(x) em [ a,b ].

Por outro lado, do corolário do teorema do n.0 17 deduz~se o

seguinte

00 TEOREMA. Se uma série ~, Cf>n{x) é uniformemente conver­

n=O gente num intervalo [a,b ], definindo ai uma função f(x), então a

série pode ser integrada termo a termo em [ a,b], isto é, tem-se:

00

Jb f = Jb rn + fb rn + . .. + Jb rn + .. . = ~ fb b rn a a TO 8 T 1 a Tn 0

8 Tn n=

Este teorema é de grande utilidade na prática e podia ter sido

utilizado para justificar as anteriores integrações termo a termo.

Um outro exemplo, entre inúmeros que podem ser citados, é-nos

fornecido pelos integrais elfpticos (cf. n.0 14). O cálculo numérico

destes é efectuado, habitualmente, desenvolvendo as funções

em séries binomiais de potências de sen 2 t e integrando depois

essas séries termo a termo entre O e e, para cada e e [ -rr:/2, rr:/2],

pois prova-se que tais séries são uniformemente convergentes

neste intervalo, se lkl < 1.

c M·IO ·

J . SEBASTIÃO E SILVA

EXEMPLO NUM~RICO. Calcular f~ ~x dx com 6 algarismos

exactos, a partir da série (7), atrás obtida para ex/x.

Prova-se que esta série é uniformemente convergente em qual­

quer intervalo limitado e fechado a que não pertença a origem.

Podemos, pois, integrá-la termo a termo no intervalo [1, . 5], o

que dá:

x 2 3 n 5 e 15 15 X 15 X 15 X 15 f - dx = Jog x + x + - + -- + · · · + - - + .. · 1 x 1 1 4 1 3.3 I 1 n.n I 1

Ora, tem-se:

15 ls x2 1s log x 1 = log 5 - log 1 = 1 ,6094379 , x 1 = 5 - 1 = 4 , 4 1 = 6, · · ·

Calculando e somando sucessivamente os dois primeiros termos,

os três primeiros, etc., o computador do L.N.E.C. forneceu os seguin­

tes valores aproximados de integral:

5,6094379; 11,609438;

30,204994; 33,821660; 38,114217; 38,225422;

38,287976; 38,289532; 38,290147; 38,290155.

18,498327;

36,036059; 38,267896;

38,289988;

24,998327; 37,247896;

38,282975; 38,290114;

Podem considerar-·se estabilizados os 6 primeiros algarismos.

Além disso, como o número de parcelas para obter o último

é 18, os erros de arredondamento produzem na soma um erro não

superior a 18 x 1 O - 6 < 0,00002. Tem-se, pois, até à ordem decimal

indicada:

ex f~ - dx = 38,2901

X

306

COMPSNDIO DE MATEM.ATIOA

NOTAS IMPORTANTES

I. O cálculo do exemplo anterior foi executado pela máquina

em breves segundos, e muito mais rápido teria sido, se o pro­

grama tivesse pedido apenas o último valor aproximado. Esta bre­

vidade contrasta singularmente com o quarto de hora despendido no

cálculo numérico directo, como se indicou no n.o 7, o que não

admira, visto que, nesse caso, foi necessário calcular, por meio da

série (7), o valor de ex /x em 2520 pontos.

11. O computador permite calcular facilmente o referido integral,

pelo método anterior, com a aproximação que se queira. Com efeito,

o resto da série, depois dos 19 primeiros termos é, como se viu, infe­

rior a 1 O- 4, o que permite fazer o seu cálculo, de modo análogo,

com cerca de 6 algarismos exactos, e assim sucessivamente.

111. Como se vê, o método de integração, por séries, pode ser

extremamente vantajoso na prática. Mas nem sempre á aplicável,

ou porque a função integranda não é desenvolvfvel em série de

funções simples, uniformemente convergente no intervalo consi­

derado, ou porque tal desenvolvimento existe, mas é complicado ou

converge muito lentamente. Nestes casos, é inevitável recorrer a

integrações numéricas por decomposição do intervalo, que podem

no entanto ser associadas, em certos casos, à utilização de alguns

termos iniciais de desenvolvimentos em série.

23. Exemplos de equações diferenciais*. Quase todos os

problemas de análise infinitesimal relativos às ciências da natureza

se traduzem sob a forma de equações diferenciais. Vejamos alguns

exemplos.

30'1

J. BEBABTIAO E SILVA

EXEMPLO I. Achar uma função que coincida com a sua deri­

vada. Considerando a função sob a forma y = f(x) , o problema tra­

duz-se pela equação diferencial:

(1) y' = y; mais explicitamente: f'(x) = f(x).

O leitor já conhece uma solução desta equação: a função y · = ex.

Mas há outras soluções: qualquer função da forma y = Cex é também

solução da equação (1 ), como se pode verificar. Pergunta-se, agora:

Estão aqui todas as soluções de (1) 7 Vamos ver que sim. Tem-se,

com efeito ( 1 ) :

f'(x) f' (x) = f(x) <> = 1 <> Dxlog lf(x} I = 1

f(x)

Ora, já sabemos (n.0 1) que todas as soluções desta última são

da forma

log I f(x) I = x + c (c, constante arbitrária),

o que equivale a escrever:

f(X) = CeX , pondo C = ± eC

Mais geralmente, se considera1rmos uma equação

y' = ky , sendo k uma constante =F O,

vê-se que a solução geral {também chamada integral geral) da equa­

ção é dada pela expressão

y = cekx (k, constante arbitrária)

( 1 ) Excluindo a solução nula.

308

COMP'SNDIO DE MATEMATIOA

O problema assim posto é, como se vê, indeterminado: tem

uma infinidade de soluções. Para obter um problema determinado

(isto é, com uma única solução), é preciso juntar-lhe uma outra

condição, que pode ser, por exemplo, o valor da função incógnita

para x = 0:

f(O) = Y0

(chamada 'condição inicial')

Neste caso, tem-se, como é fácil ver:

f(x) = y0

ekx

No n.0 4, estudámos dois exemplos concretos que conduzem

a equações diferenciais deste tipo: desintegração radioactiva e cres­

cimento populacional.

EXEMPLO 2. Achar uma função y = f(x) tal que

(2) y" =- y

Pensando um momento, o leitor encontra logo duas soluções

desta equação: as funções sen x e cos x. Depois, atendendo aos

teoremas sobre derivadas, verá que são soluções de (2) todas as

funções da forma:

(3) y = A sen x + B cos x,

onde A e B são constantes arbitrárias. Ora, demonstra-se que estão

aqui todas as soluções de (2), isto é: a fórmula (3) dá-nos a

solução geral (ou o integral geral) da equação diferencial (2).

Mais geralmente, dada uma equação do tipo

(4) y" =- h2y (h, constante não nula),

309

J. 81JJBA8TIA.O E SILVA

prova-se que o seu integral geral é:

(5) y = A sen hx + B cos hx

Neste caso, para tornar o problema determinado, é necessário

dar, por exemplo, os valores da função incógnita e da sua derivada

no ponto 0:

f(O) = y0

, f'(O) = y'0 (condições iniciais)

e é fácil deduzir de {5) que y0 = 8 , y' 0 = hA, donde:

(6) y'o

Y = Yo cos hx + - sen hx h

Um problema concreto que se traduz por uma equação do tipo (4)

é o das vibrações simples.·

Determinar a equação do movimento de, um ponto material P,

que se desloca sem atrito sobre uma recta, atraldo para um ponto

fixo O dessa recta, por uma força proporcional à distância de P a O { 1 ) •

Suponhamos a recta orientada e seja s a abcissa de P em cada

ins,tante t, tomando O para origem. O que se pretende é determinar s

em função de t, isto é, achar a equação dos espaços, s = f(t). Designando por m a massa do ponto material e por k a constante de

proporcionalidade, o problema traduz-se pela equação diferencial:

ms" = - ks (supondo k > O)

{ 1 ) i: este, aproximadamente, o caso da ponta da lâmina, considerado no

Cap. I, n.0 37, ou o caso de um diapasão, ou ainda o de um péndulo simples,

quando o ângulo de afastamento é pequeno.

310

COMPSNDIO DE MATEMATIOA

Com efeito, s" [ou seja f" (t)] é a aceleração em cada instante t e

portanto ms" é a força que solicita P, força esta proporcional a lsl, mas de sinal contrário ao de s, por ser atractiva. ~ claro que

k , k 11 m S = - S<=> S = - - S, m

donde, por comparação com (3) e (6), pondo Yk/m = 6>:

V o s = s0 cos t + - sen 6> t

(J)

Esta é a equação do movimento vibratório simples, em que s0 é o

espaço inicial e v 0 a velocidade inicial.

Suponhamos agora que, à força atractiva, se opõe a resistência

do ar, sendo esta proporcional à velocidade s' e sendo k o coeficiente

de proporcionalidade. Neste caso, o problema é traduzido pela equação

diferencial

11 h I k ms = s - s (h > O, k > O)

Prova-se que a solução geral desta é :

s = e-Àt(A sen w t + B cos Cõ t),

em que À = h/m, w = Y k/m- À 2 , e A e B são constantes arbitrárias

que podem ser determinadas a partir de s0 e v0 •

Trata-se, agora, do movimento vibratório harmónico amortecido

(cf. Cap. I, n.o 37).

Consideremos finalmente o caso em que, à força elástica atrac ..

tiva, se adiciona uma força periódica f que excita a vibração. Seja

por exemplo f = q sen (&) 1 t, com q e (I) 1 constantes. Para maior

311

J. BEBABTIAO E SILVA

simplicidade vamos supor m = 1 e h = O (no caso geral as conclusões

são análogas). Então, a equação diferencial de movimento pode

escrever-se:

s" = - ks + q sen w 1 t

Se pusermos agora yk = w, é fácil verificar que uma solução par­

ticular da equação será:

s = p sen w 1 t,

em que

q (amplitude da vibração)

Como se vê, quando a pulsação w 1 se aproxima de (t), a ampli­

tude p tende para oo (fenómeno chamado 'ressonância').

A solução geral (ou integral geral) da equação é, neste caso:

s = p sen w 1 t + A sen w t + B cos w t,

sendo A e B constantes arbitrárias.

24. lntegrac;io numérica de equações diferenciais*. Como

vimos pelos exemplos anteriores, as soluções das equações diferen­

ciais são funções e não números. Por exemplo, na equação

f" (x) = - f(x), a variável numérica x é uma variável aparente, visto

que a igualdade deve ser verificada qualquer que seja x. Trata-se,

pois, de uma condição na variável f (variável funcional). Esta con­

dição pode escrever-se mais simplesmente f" = - f, ou ainda y" = - y,

312

COMPt!lNDlO DE MATEMATICA

com y = f(x); mas esta última forma da equação, embora usual e

cómoda, é na realidade um abuso de escrita, em que se confunde

função com variável dependente.

Dum modo geral, chamam-se equações funcionais as equações

(isto é, as igualdades condicionais), cujas soluções devem ser

funções. Por sua vez, chamam-se equações diferenciais as equações

funcionais, em que a função incógnita aparece relacionada com a sua

derivada ou com as suas derivadas, até certa ordem, por meio de

expressões analíticas que incidem sobre os valores dessas funções

e ainda, eventualmente, sobre os valores da variável independente.

A mais elevada ordem das derivadas que figuram na equação chama­

-se a ordem da equação diferencial. Por exemplo, a equação dife­

rencial y' + y = O é de 1. a ordem, enquanto a equação diferencial

y"- y' = (1 - x2)y é de 2.8 ordem.

Apresentam-se também, na prática, sistemas de equações dife­

renciais. São exemplos tipicos de tais sistemas os que descrevem o

movimento de um ponto no espaço; neste caso, as incógnitas são as

coordenadas x, y, z do ponto, num dado referencial, consideradas

como funções do tempo t.

Temos estado até aqui a subentender que as funções incógnitas

são funções reais de uma variável real. Mas podem ainda apresen­

tar-se equações diferenciais em que a incógnita é uma função de

duas ou mais variváveis reais e, como, neste caso, intervêm, na equa­

ção derivadas parciais (cf. n.o 42) a equação diferencial chama-se

equação em derivadas parciais, enquanto as primeiras se chamam

equações diferenciais ordinárias. São exemplos muito importantes

de equações em derivadas parciais: a equação das ondas (sonoras,

electromagnéticas, etc.), a equação da difusão (do calor, de substân­

cias dissolvidas, etc.), a equação de Laplace (relativa a potenciais

eléctricos, etc.) e muitas outras.

~ claro que o problema da primitivação corresponde já a resolver

uma equação diferencial do tipo y' = f(x), em que f é a função

313

J . BEBABTIAO BJ. SILVA

dada. t:, portanto, de esperar que, na resolução das equações dife­

renciais, surjam dificuldades semelhantes às que verificámos a pro­

pósito da primitivação: em geral não é possrvel resolver uma equação

diferencial por métodos elementares, que conduzam a expressões

anaUticas conhecidas; torna-se, então, necessário recorrer a métodos

de resolução (ou integração) numérica.

Para dar uma ideia destes métodos, limitar-nos-amos ao caso

simples de uma equação da forma:

(1) y' = f(x,y),

em que f(x,y) é uma função dada, de duas variáveis. O que se pre­

tende é achar uma função y = cp(x) que verifique (1 ), isto é, que

transforme (1) numa identidade:

cp'(x) = f(x, cp(x))

O problema, quando possfvel, é geralmente indeterminado. Mas,

na prática, junta-se normalmente a (1) uma condição inicial, isto é,

dá-se o valor da função incógnita num ponto x0 :

(2)

Ora, a equação (1) pode escrever-se sob a forma

dy - = f(x,y) dx

que nos conduz a considerar a igualdade aproximada

(3) ô.y ~ f(x,y) ô.x

em que os diferenciais foram substitu/dos pelas diferenças finitas.

314

OOMPBNDIO DE MATEMATICA

Consideremos, então, um intervalo [ x0 ,x ], com x variável, e uma

sequência de pontos

X0 < X 1 < X 2 < .. · < Xn = X,

tais que Llxp = xP+ 1 - Xp =h, para p =O, 1, ... , n-1. Supondo que

existe uma e uma só solução y = cp {x) de {1) que verifique {8) e

pondo Yp = cp {xp), para p = 1, 2, ... , n-1, virá então de (3) :

Por sua vez:

e assim sucessivamente, até Yn ~ y = cp(x) , supondo que os pontos

(Xp.Yp) pertencem todos a Dt, para p = 1, 2, .. . , n - 1.

A intuição diz-nos que se obtêm assim valores aproximados de

cp(x) com um grau de aproximação tanto maior quanto menor for h.

E esta intuição é confirmada pela lógica, quando a função f{x,y)

verifica certas condições que, normalmente, são satisfeitas na prática.

O método de integração numérica que acabamos de expor é

o mais elementar, entre os chamados 'métodos de integração passo a

passo'. Este, que corresponde ao método dos rectângulos no caso

da primitivação de funções (quando f(x,y) se reduz a uma função

só de x), é na prática demasiado moroso, devendo então ser substi­

tu(do por outros métodos de integração passo a passo mais expe­

ditos. Em certos casos, são aplicáveis métodos de integração por meio

de séries e, noutros ainda, métodos mistos, em que se faz uso ao mesmo

tempo de séries e de integrações passo a passo, aplicando fórmulas

de interpolação.

Seja como for, a integração numérica de equações diferenciais

é geralmente um problema que exige técnicas muito delicadas de

315

J. BEBABTIA.O E BILVA

cálculo numérico, que podem variar de caso para caso, conduzindo

com frequência a cálculos laboriosíssimos, que seriam impraticáveis

antes da era dos computadores electrónicos. Cálculos deste tipo

são, por exemplo, os que se referem a voas espaciais e a mfsseis

teleguiados.

Quando não se exige uma grande aproximação, são muito úteis

os computadores electrónicos analógicos, que resolvem rapida­

mente equações de tipos mais ou menos complicados, fornecendo

as soluções com aproximação que pode ir até 0,05 %, e ainda

gráficos das soluções. Pode resolver-se por este meio, por exemplo,

a importante equação de Van der Pol:

d 2x dx - - - Ã(1-x 2) - + x =O, dt 2 dt

para diferentes valores do parâmetro À, uma vez conhecidos os

valores de x e x' para t =O (condições iniciais). Tais computadores

são de grande utilidade, sobretudo em questões de engenharia.

Tornando aos métodos de integração numérica, importa notar

que, no que se refere a equações em derivadas parciais, se conhece

ainda muito pouco sobre critérios matemáticos relativos à convergência

dos processos e à validade dos resultados como soluções, o que

obriga, por vezes, à construção de modelos para verificação experi­

menta/dos resultados (cf. Cap.l, n.0 43, pp. 163-164).

Encontra-se pois, aqui, um imenso campo aberto aos jovens, que

estejam interessados em investigação matemática ligada ·a aplicações

concretas.

OBSERVAÇÃO FINAL. Este capituro, tal como o anterior, foi

muito mais longe do que se pode exigir, entre nós, num programa

liceal. O objectivo foi o de apresentar um panorama tanto quanto

316

OOMP:SNDIO DE MATEMATJ.OA

possível largo e actuarizado da análise infinitesimal, tendo em vista

fornecer ao leitor mais interessado ou mais necessitado (estão neste

caso os alunos que irão frequentar cadeiras de Matemáticas Gerais

e de Física em Escolas Superiores} uma preparação complementar,

que o ajude a vencer, pelos seus próprios meios, as dificuldades

que terá de enfrent~r.

317

, Indice

NOTA PR~VIA 7

ADVERT~NCIA 9

Capitulo I. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL

§ 1. Cllcu/o numiJrico aproximado

1. Considerações prévias intuitivas . • 11

2. Erro de um valor ap1oximado . . 14

3. Algarismos exactos dum valor aproximado. 20

4. Majoração do erro de uma soma . . . . 21

5. Cálculo aproximado de uma soma com erro inferior a um nllmero dado • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6. Erro do valor simétrico e erro do valor absoluto . 25

7. Majoração do erro de uma diferença. 27

8. Majoração do erro de um produto. . . 28

9. Cálculo aproximado de um produto com erro inferior a um número dado • . • . . . . . . . • . . • • 33

1 O. Majoração do erro de um quociente • 37

11. Cálculo aproximado de um quociente com erro inferior a um número dado. . • • . . . . . . • • . 40

425

J . BEBASTIAO E SILVA

12. Majoração do erro de uma potência . 44

13. Majoração do erro de uma raiz . . 46

14. Desvio relativo e erro relativo . 49

15. Erro relativo de um produto 50

16. Erro relativo do quociente . 51

17. Erros relativos da potência e da raiz . 52

§ 2. Teoria dos limites de sucessões

18. Métodos de aproximações sucessivas . 54

19. Convergência de uma sucessão . 61

20. Pormenores de terminologia. . . 68

21 . Primeiros teoremas sobre limites . . . 72

22. Álgebra dos limites . 75

23. Métodos de iteração 81

24. Critérios particulares de convergência . 84

25. Simbolos de impossibilidade e srmbolos de indeterminação 86

26. Limites inf initos. . 88

27. Operações com limites infinitos 90

28. Regras de cálculo com o símbolo oo 94

29. Novos símbolos de indeterminação. 96

30. Limite da exponencial . . . . . 99

31 . Soma de todos os termos duma progressão geométrica 102

32. Aproximações por meio de sér.ies. Série binomial 111

33. Um método geral de resolução de equações algébricas de qual-quer grau . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . 1 17

426

OOMPBNDIO DE MATEMATIOA

§ 3. Limites de funções de variável real

34. Conceitos e propriedades elementares 129

35. Definição de 'limite de uma função segundo Cauchy'. 132

36. Axioma de Zermelo . . • . 135

37. Exemplos de limites de funções circulares e das funções expo-nencial e logaritmica . . . . 140

38. Indeterminações . 146

39. Funções contínuas 147

§ 4. Derivadas

40. Conceitos fundamentais e regras de derivação . 149

41. Conceito de diferencial 153

42. Regras de diferenciação 158

43. O conceito de diferencial nas ciências da natureza . . 160

44. Derivação das funções exponencial e logarltmica . 164

45. Derivada da função logarítmica . 171

46. Derivadas das funções circulares. 173

47. Máximos e mini mos, concavidades e inflexões. 175

48. Teorema de Cauchy. . . . 177

49. Método da tangente (ou de Newton) . 183

50. Método da corda (ou regra da falsa posição) . 189

51. Interpolação por diferenças finitas 191

Capitulo 11. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO INTEGRAL

1. O problema da primitivação 203

2. PrlmitivaçOes imediatas. . . . 207

427

J. 8EBABTIA.O E 81LVA .

3. Regras elementares de primitivação . . . . 211

4. Alguns exemplos de aplicação às ciências da natureza 218

5. Noção intuitiva de integral • . . . . • 228

6. Definição de integral . . . 235

7. O integral como limite de uma sucessão . 238

8. Interpretação geométrica do conceito de integral . 242

9. Valor médio duma função; teorema da média . 243

1 O. Teorema da decomposição do intervalo. 247

11 . Teorema fundamental do cálculo integral 249

12. Fórmula de Barrow . 257

13. Cálculo de áreas • . 262

14. Cálculo de volumes • • 265

15. Cálculo do comprimento de curvas 270

16. Novos exemplos da física • . . . 277

17. Propriedades em que se baseia o cálculo numérico de integrais 286

18. Métodos de integração numérica 289

19. Fórmula de Taylor 293

20. Série de Taylor. . 296

21. Desenvolvimentos em série de potências . 298

22. Integração de séries termo a termo 301

23. Exemplos de equações diferenciais. . 307

24. Integração numérica de equações diferenciais . 312

Capitulo 111- TEORIA DEDUTIVA DOS NÚMEROS NATURAIS

1. Caracterização da estrutura do grupóide ( IN,+) . • . 319

428

OOMPJ~NDIO DE. 1MATEMA'tiOA

· 2. Prindpio de indução em IN. Sucessões; definições por recor·

rência. . . . . • . . . . . . . . . . . . . 325

3. O princrpio de indução matemática em termos de compreensão. Demonstrações por indução • • . • • . • • . . 333

, ·.-- 4. Nova forma do raciocínio de indução matemática 342

5. Regresso ao problema inicial: caracterização da estrutura de (IN,+) • • . . . • . . • • • . • . . . . .344

6. Axiomática da teoria dos números naturais. Primeiras definições e teoremas • • • • . . • • • . • • . . . . • • • • . 346

7. Caracterização da estrutura aditiva dos números naturais (con-clusão) . • 353

8. Axiomática de Peano •

9. Axiomáticas compatlveis •

1 O. Axiomáticas categóricas • .

11. Axiomáticas independentes • .

12. Existem afinal conjuntos infinitos? • • . . . '

13. O problema da não contradição da aritmética . .

Aditamento I. Câlcolo de valores aproximados .

Advertência prévia. . . • • • . . . . . . .

1. O sistema da vírgula flutuante no cálculo elementar, no cálculo

359

362

363

365

366

375

383

383

logarítmico e no cálculo electrónico . . . . . . 385

2. Algarismos significativos e algarismos exactos • . 390

3. Arredondamento de valores numéricos . . . . . 394

4. Erro relativo e m1mero de algarismos exactos. • 395

6. Avaliação do erro do resultado de mtaltiplicações e divisões sucessivas • • • • 401

6. Caso da potência • 407

429

J. SEBABTIAO E SiliV'A

7. Caso da raiz 408

8. Caso da adição e da subtracção 409

Aditamento 11. Nova orientação no estudo do cálculo de valores apro-ximados . 411

NOTA FINAL . .. . .. . ........ . 423

430

Composto e impr.esso na Tipografw Guerra- Vt8eu

e concluiu-se em Março de 1976

GABINETE DE ESTUDOS E PLANEAMENTO DO

MINISrtRIO DA EDUCAÇÃO E INVESTIGAÇÃO CIENTIFICA