CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO

GUARULHOS - SP

SUMÁRIO

1 retomando o conceito de função .............................................................................. 4

1.1 Ideia intuitiva de função ................................................................................. 4

2 Funções 5

2.1 A noção de função através de conjuntos .......................................................... 5

2.2 Definição ........................................................................................................... 5

2.3 Domínio, Imagem e Contra-domínio de uma Função ....................................... 6

2.3.1 Estudo do domínio de uma função ................................................... 7

2.3.2 Função sobrejetora, função injetora, função bijetora ........................ 7

3 Função crescente e decrescente ............................................................................. 9

3.1 Funções crescentes .......................................................................................... 9

3.2 Função decrescente ........................................................................................ 11

4 Método para obter extremos de função em um intervalo ....................................... 14

5 Função Linear ........................................................................................................ 16

6 Função quadrática ou função do 2º grau ................................................................ 19

6.1 Definição ......................................................................................................... 19

6.2 Gráfico ............................................................................................................ 19

7 Função Polinomial .................................................................................................. 21

7.1 Valor Numérico de um Polinômio .................................................................... 21

7.2 Grau dos Polinômios ....................................................................................... 21

7.3 Gráficos da Função Polinomial ....................................................................... 22

7.4 Igualdade de Polinômios ................................................................................. 23

7.5 Operações com Polinômios ............................................................................ 24

8 Função Logaritma .................................................................................................. 25

8.1 Gráfico de uma função logarítmica ................................................................ 26

8.2 Características do gráfico da função logarítmica y = logax .............................. 26

9 Funções Exponenciais .......................................................................................... 27

9.1 Propriedades da função exponencial .............................................................. 30

10 LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ...................... 32

10.2 Limite: definição formal ................................................................................. 33

10.3 Propriedades dos limites ............................................................................... 35

10.4 Exemplos iniciais: exercícios resolvidos de Limites ...................................... 39

11 Cálculo Diferencial e Integral ................................................................................ 40

4.1 Cálculo 1: estuda limites, derivadas e integrais .............................................. 40

12 Sistemas lineares ................................................................................................. 41

12.1 Resolução de sistemas lineares.................................................................... 44

12.2 Método da substituição ................................................................................. 48

13 Limites 50

13.1 Noção intuitiva de limites .............................................................................. 50

13.2 Definição de limite ......................................................................................... 54

13.3 Propriedades dos limites ............................................................................... 54

14 Derivada ............................................................................................................... 57

14.1 A Derivada de uma Função .......................................................................... 57

14.2 Regras de Derivação .................................................................................... 58

14.3 Derivada de uma Constante ......................................................................... 58

14.4 Derivada do produto de uma constante por uma função .............................. 58

14.5 Derivada de uma soma ................................................................................. 59

14.6 Derivada de um produto ............................................................................... 59

14.7 Derivada de um quociente ............................................................................ 59

14.8 Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia) ...................................... 61

15 BIBLIOGRAFIA BÁSICA .......................................................................... 62

4

1 RETOMANDO O CONCEITO DE FUNÇÃO

O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O

conceito básico é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de

associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto

um único elemento do segundo, ocorre uma função.

Fonte: brasilescola.uol.com.br

O uso de funções pode ser encontrado em diversos assuntos. Por exemplo,

na tabela de preços de uma loja, a cada produto corresponde um determinado preço.

Outro exemplo seria o preço a ser pago numa conta de luz, que depende da

quantidade de energia consumida.

1.1 Ideia intuitiva de função

O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Ele está

sempre presente na relação entre duas grandezas variáveis. Assim são exemplos de

funções:

• O valor a ser pago numa corrida de táxi é função do espaço percorrido;

• A área de um quadrado é função da medida do seu lado;

• O consumo de combustível de um automóvel é função, entre outros fatores,

da velocidade.

Observe que as relações que vimos a seguir têm duas características em

5

comum:

• A todos os valores da variável independente estão associados valores da

variável dependente;

• Para um dado valor da variável independente está associado um único

valor da variável dependente. As relações que têm essas características são

chamadas de funções.

2 FUNÇÕES

2.1 A noção de função através de conjuntos

Vamos agora, estudar função, usando a teoria dos conjuntos, pois as colunas

vistas na tabela do item anterior representam conjuntos numéricos.

Veja o exemplo:

Dados os conjuntos A =0,5,10 e B =0,5,10,15,20,25, seja a relação de A

em B expressa pela fórmula f(x)= y+5 , com x A, y B,

Definição

Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B, essa relação

f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado

um e somente um elemento y de B.

Pode-se escrever:

f: A → B (lê-se: f é uma função de A em B).

Observação: Podemos usar a seguinte notação para a lei de associação que

define uma função:

6

y=x+5 ou f(x)= x+5

A lei da função pode ser indicada de uma forma ou de outra, pois y e f (x)

significam o mesmo na linguagem matemática.

Exemplo:

Observe os diagramas abaixo, que representam relações de A em R, assinale

com F aquelas que são funções e com R as que não são funções:

2.2 Domínio, Imagem e Contra-Domínio de uma Função

Sejam os conjuntos A =0,1,2 e B =0,1,2,3,4,5 ; vamos considerar a função

f: A → B: definida por y = x +1 ou f(x)=x+1.

Observando o diagrama da função, vamos definir:

7

O conjunto A é denominado domínio da função, que indicamos por D. No

exemplo acima D =0,1,2. O domínio da função também é chamado campo de

definição ou campo de existência da função.

O conjunto 1,2,3, que é um subconjunto de B, é denominado o conjunto

imagem da função e indicamos por Im = 1,2,3 .

O conjunto B, tal que Im B, é denominado contradomínio da função.

No exemplo acima: 1 é a imagem de 0 pela função; f(0)=1

2 é a imagem de 1 pela função; f(1) =2

3 é a imagem de 2 pela função; f(2)=3.

2.2.1 Estudo do domínio de uma função

Quando definimos uma função, o domínio D, que o conjunto de todos os valores

possíveis da variável x, pode ser dado explícita ou implicitamente. Assim:

• Se é dado apenas , sem explicitar o domínio D, está implícito que

x pode ser qualquer número real, ou seja D = R.

• Se dado , com , está implícito que o domínio da

função dada é

• Se é dado apenas sem explicitar o domínio, está implícito que x

pode ser qualquer número real diferente de 2, com isso,

• Se é dado apenas , sem explicitar o domínio D, está implícito

Assim

2.2.2 Função sobrejetora, função injetora, função bijetora

Vamos considerar os seguintes exemplos:

1) definida por y = x2

8

Função Sobrejetora: Dizemos que uma função é sobrejetora se, e somente se, a

imagem for igual ao contradomínio. Em outras palavras, não pode sobrar elementos

de B..

f é sobrejetora ↔️ Im(f) = CD (f)

Você observa que não há elemento de B que não seja imagem de um elemento

de A, isto é, chegam flechas em todos os elementos de B. O conjunto imagem é igual

ao contradomínio da função. Neste caso dizemos que a função f é sobrejetora.

2) definida por y = x + 1

Função injetora: A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem

imagens distintas, ou seja, dois elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto,

não pode ter nenhum elemento do conjunto B que receba duas flechas.

Você observa que não existe elemento de B que seja imagem de mais de um

elemento de A, isto é, em cada elemento de B que é imagem de um elemento de A

chega apenas uma flecha. Neste caso dizemos que a função é injetora.

3) definida por

9

Função Bijetora: Você observa que não existe um elemento de B que não seja

imagem de um elemento de A (é sobrejetora); cada elemento de B é imagem de um

único elemento de A (f é injetora). Neste caso, quando a função f, é ao mesmo tempo,

sobrejetora e injetora, dizemos que f é uma função bijetora.

Você observa que não existe um elemento de B que não seja imagem de um

elemento de A (f é sobrejetora); cada elemento de B é imagem de um único elemento

de A (f é injetora). Neste caso, quando a função f, é ao mesmo tempo, sobrejetora e

injetora, dizemos que f é uma função bijetora.

3 FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE

A função crescente é aquela em que y aumenta toda vez que x é aumentado.

A função decrescente é aquela em que y diminui toda vez que x é aumentado.

Funções são regras que ligam cada elemento de um conjunto a um único

elemento de outro conjunto. Quando se trata de conjuntos numéricos, essas funções

assemelham-se a equações que relacionam os elementos de um conjunto a outro por

meio de suas variáveis. Uma função é crescente quando, aumentando-se os valores

atribuídos ao domínio, os valores do contradomínio ficam cada vez maiores; caso

contrário, a função é decrescente.

Para melhor compreender essas definições, veja alguns exemplos. Observe:

3.1 Funções crescentes

Um exemplo de função crescente é a função y = 4x + 5. Para perceber isso,

observe a tabela a seguir:

10

Observe que o valor de x, a cada linha, é aumentado em uma unidade.

Consequentemente, realizando-se os cálculos de y a partir da função dada,

percebemos que, a cada linha, o valor dessa variável aumenta em quatro unidades.

Assim, quando o valor de x aumenta, o valor de y também aumenta. Por essa

razão, a função é crescente. Além disso, apenas observando o gráfico dessa função,

é possível perceber que ela é crescente, pois, quanto mais à direita, mais alta a reta

fica.

Também é possível dizer que uma função é crescente quando, diminuindo-

se os valores de x, os valores de y diminuem também.

Exemplo:

Mostre que a função y = 7x + 1 é crescente.

11

Se x = 0

y = 7x + 1 = 7·0 + 1 = 1

Se x = 1

y = 7x + 1 = 7·1 + 1 = 8

Como o valor de y aumenta quando aumentamos o valor de x, a função é

crescente.

Observe que essa é uma função do primeiro grau, portanto, o seu gráfico é

uma reta. Em uma mesma reta, é impossível haver intervalos crescentes e

decrescentes. Se em um intervalo a reta for crescente, então, ela será em toda a sua

extensão.

Dessa maneira, basta observar em dois valores de x que y aumenta para garantir que

toda a reta seja crescente.

3.2 Função decrescente

Uma função decrescente é aquela em que o valor da variável y diminui

sempre que a variável x aumenta. Um exemplo de função decrescente é a seguinte:

y = – 3x + 3. Para perceber isso, observe a tabela a seguir:

Observe que, cada vez que o valor de x aumenta uma unidade, o valor de y

diminui três unidades. Dessa maneira, essa função é decrescente.

12

Além de observar os valores na tabela, também é possível definir se uma

função do primeiro grau é crescente ou decrescente a partir da análise do seu

gráfico. Observe o gráfico decrescente da função acima:

Exemplo:

Mostre que a função y = – x é decrescente.

Para tanto, basta mostrar que, aumentando-se o valor de x, o valor de y

diminui. Escolheremos, para isso, os valores x = 0 e x = 1. Observe:

Se x = 0,

y = – x = – 0 = 0

Se x = 1,

y = – x = – 1

Observe que, aumentando-se uma unidade no valor de x, o valor de y cai uma

unidade; logo, a função é decrescente.

Como identificar funções crescentes e decrescentes sem cálculos

Existe uma maneira de dizer se uma função do primeiro grau é crescente ou

decrescente sem fazer qualquer cálculo. Para isso, basta observar o valor do

coeficiente “a” da função. Esse coeficiente é proveniente da forma geral da função do

primeiro grau:

y = ax + b

13

“a” é o número que multiplica a variável, e b é uma constante. A regra para

identificar se funções do primeiro grau são crescentes ou não é a seguinte:

Se a > 0, a função é crescente;

Se a < 0, a função é decrescente.

Vamos determinar se as funções a seguir são crescentes ou decrescentes.

a) y = 2x

Crescente, pois a = 2 > 0.

b) y = – x

Decrescente, pois a = – 1 < 0.

c) y = – 4x + 7

Decrescente, pois a = – 4 < 0.

d) y = 4x – 7

Crescente, pois a = 4 > 0.

Quando uma função não é crescente nem decrescente, ou seja, quando a =

0, ela é uma função constante. Sempre que aumentamos ou diminuímos o valor de

x, y permanece constante. O gráfico de um exemplo de função constante é o seguinte:

y = 2

14

4 MÉTODO PARA OBTER EXTREMOS DE FUNÇÃO EM UM INTERVALO

1. Calculamos a derivada de 𝑓, e resolvemos a equação 𝑓′(𝑥) = 0 para obter

a lista dos pontos críticos de 𝑓 .

2. Excluímos todos os pontos críticos que estão fora do intervalo [a,b].

3. Anexamos à lista as extremidades a e b do intervalo, e os pontos onde a

função não é contínua ou não tem derivada.

4. Aplicamos a função f em cada ponto da lista, sendo que o maior valor é o

valor máximo de 𝑓 , e o menor valor é o valor mínimo de 𝑓 .

Exemplo:

Para obter os mínimos e máximos da função 𝑓 (𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥2 + 5 sobre o

intervalo [−1, 3], primeiro, derivamos a função e fazemos a derivada igual a zero para

obter os pontos críticos, isto é:

4x3 −16x = 0

Dividimos a equação por 4 para obter x3 −4x = 0, fatorando a mesma como:

x(x −2)(x +2) = 0

Os pontos críticos são -2, 0 e 2. Como o intervalo não inclui -2, nós retiramos

este ponto da lista.

Acrescentamos as extremidades do intervalo: -1 e 3 à lista. Desse modo, a

lista de números que podem ser mínimos ou máximos, é formada por:

{−1, 0, 2, 3}

Aplicando a função a estes valores, obtemos (nesta ordem) 𝑓 (−1) =

−2, 𝑓 (0) = 5, 𝑓 (2) = −11, 𝑓 (3) = 14. 𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑓 (3) = 14 é o máximo e 𝑓 (2) =

−11 é o mínimo.

Neste exemplo, o máximo não ocorre em um ponto crítico, mas em uma

15

extremidade do intervalo [a,b].

Exemplo:

Temos 200 metros de arame para cercar um jardim retangular com a maior

área possível. Qual devem ser as dimensões do jardim?

Solução:

Seja x a medida da largura e y a medida do comprimento do jardim.

A área retangular é dada por 𝐴 = 𝑥 𝑦.

Como o perímetro é 200 metros, sabemos que 2𝑥 + 2𝑦 = 200, e extraindo

o valor de y nesta relação obtemos 𝑦 = 100 − 𝑥. Agora, podemos reescrever a

função que fornece a área usando apenas a variável x, na forma:

𝐴(𝑥) = 𝑥 𝑦 = 𝑥(100 − 𝑥) = 100𝑥 – 𝑥².

A derivada desta função com respeito à variável 𝑥 é 𝐴′ (𝑥) = 100 − 2𝑥.

Tomando a expressão da derivada igual a zero, obtemos:

100 − 2𝑥 = 0

Figura: Parábola associada ao problema do jardim

16

Resolvendo esta equação, obtemos apenas um ponto crítico 𝑥 = 50.

Qual é o intervalo que representa o domínio desta função?

Quais são as extremidades deste intervalo?

Aqui, vamos considerar x ≥ 0 e y ≥ 0 para podermos calcular a área.

Como 𝑦 = 100 − 𝑥, devemos ter que x ≤ 100.

Assim, o intervalo é [0, 100].

Calculando a função 𝐴(𝑥) = 𝑥(100 − 𝑥) nos pontos 0, 50 e 100, obtemos A(0)

= 0, A(50) = 2500, A(50) = 0.

Assim, temos 𝑦 = 100 − 50 = 50, e a área máxima é A(50) = 50(50) = 2500

5 FUNÇÃO LINEAR

A função linear é um caso particular de função afim que apresenta a lei de

formação do tipo f(x) = ax, em que a é real e diferente de zero.

Confira o que é uma função linear e como é o seu gráfico!

Uma função afim ou função do 1° grau é caracterizada por apresentar uma lei

de formação do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎 · 𝑥 + 𝑏, na qual os coeficientes a e b são números

reais, além de, necessariamente, a ser diferente de zero (a ≠ 0). O gráfico de uma

17

função afim é uma reta que pode tocar o eixo x do plano cartesiano em um único

ponto, que é chamado de zero da função.

Agora que relembramos a função do 1° grau, vamos falar sobre um tipo muito

especial, a função linear. Essa função apresenta uma lei de formação em que b = 0,

restando apenas a relação 𝑓(𝑥) = 𝑎 · 𝑥, com a e a ≠ 0.

Como é uma função do 1° grau, o gráfico da função linear é também uma reta.

A diferença é que essa reta sempre intercepta a origem do sistema de coordenadas,

isto é, o ponto (0, 0).

Vejamos algumas funções lineares acompanhadas de seus gráficos:

Exemplo 1: 𝑓(𝑥) = 𝑥

Essa é uma função linear porque seus coeficientes são: a = 1 e b = 0. A função

𝑓(𝑥) = 𝑥 é ainda chamada de função identidade, um caso particular da função

linear. Podemos ainda dizer que essa função é crescente, pois o coeficiente a é

positivo.

Gráfico da função linear e função identidade

Exemplo 2: 𝑓(𝑥) = – 2𝑥

18

Essa também é uma função linear, pois seus coeficientes são a = – 2 e b = 0.

Podemos ainda dizer que essa função é decrescente, uma vez que a < 0.

Gráfico da função linear f(x) = – 2x

Exemplo 3: 𝑓(𝑥) =3𝑥

2

Temos aqui uma função linear com coeficientes a = 3/2 e b = 0. Essa é uma

função crescente, pois a > 0.

Gráfico da função linear f(x) = 3/2 x

Exemplo 4: 𝑓(𝑥) = −𝑥

3

19

A função f(x) é linear, pois seus coeficientes são a = – 1/3 e b = 0, e

decrescente, já que a < 0.

Gráfico da função linear f(x) = 3/2

6 FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO DO 2º GRAU

6.1 Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer

função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são

números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas:

f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

6.2 Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é

uma curva chamada parábola.

Por exemplo, vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:

20

Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor

correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos

sempre que:

• se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;

• se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

21

7 FUNÇÃO POLINOMIAL

As funções polinomiais são definidas por expressões polinomiais. Elas são

representadas pela expressão:

f(x) – an . Xn = an-1 . xn-1 + ... + a2 . x2 + a1 . x + a0

onde:

n: número inteiro positivo ou nulo

x: variável

a0, a1, ....an – 1, an: coeficientes

an . xn, an – 1 . xn – 1, ... a1 . x , a0: termos

Cada função polinomial associa-se a um único polinômio, sendo assim chamamos as

funções polinomiais também de polinômios.

7.1 Valor Numérico de um Polinômio

Para encontrar o valor numérico de um polinômio, substituímos um valor numérico na

variável x.

Exemplo:

Qual o valor numérico de p(x) = 2x3 + x2 - 5x - 4 para x = 3?

Substituindo o valor na variável x temos:

2 . 33 + 32 - 5 . 3 - 4 = 54 + 9 - 15 - 4 = 44

7.2 Grau dos Polinômios

Dependendo do expoente mais elevado que apresentam em relação à

22

variável, os polinômios são classificados em:

• Função polinomial de grau 1: f(x) = x + 6

• Função polinomial de grau 2: g(x) = 2x2 + x - 2

• Função polinomial de grau 3: h(x) = 5x3 + 10x2 - 6x + 15

• Função polinomial de grau 4: p(x) = 20x4 - 15x3+ 5x2 + x - 10

• Função polinomial de grau 5: q(x) = 25x5 + 12x4 - 9x3 + 5x2 + x - 1

Obs: o polinômio nulo é aquele que possui todos os coeficientes iguais a zero.

Quando isso ocorre, o grau do polinômio não é definido.

7.3 Gráficos da Função Polinomial

Podemos associar um gráfico a uma função polinomial, atribuindo valores a x

na expressão p(x).

Desta forma, encontraremos os pares ordenados (x,y), que serão pontos

pertencentes ao gráfico.

Ligando esses pontos teremos o esboço do gráfico da função polinomial.

Veja alguns exemplos de gráficos:

Função polinomial de grau 1

23

Função polinomial de grau 2

Função polinomial de grau 3

7.4 Igualdade de Polinômios

Dois polinômios são iguais se os coeficientes dos termos de mesmo grau são

todos iguais.

24

Exemplo:

Determine o valor de a, b, c e d para que os polinômios p(x) = ax4 + 7x3 + (b

+ 10)x2 - c e h(x) = (d + 4)x3 + 3bx2 + 8.

Para os polinômios serem iguais é necessário que os coeficientes

correspondentes sejam iguais.

Então,

a = 0 (o polinômio h(x) não tem o termo x4, sendo assim seu valor é igual a

zero)

b + 10 = 3b → 2b = 10 → b = 5

- c = 8 → c = - 8

d + 4 = 7 → d = 7 - 4 → d = 3

7.5 Operações com Polinômios

Confira abaixo exemplos das operações entre polinômios:

Adição

(- 7x3 + 5x2 - x + 4) + (- 2x2 + 8x -7)

- 7x3 + 5x2 - 2x2 - x + 8x + 4 – 7

- 7x3 + 3x2 + 7x -3

Subtração

(4x2 - 5x + 6) - (3x - 8)

4x2 - 5x + 6 - 3x + 8

4x2 - 8x + 14

Multiplicação

(3x2 - 5x + 8) . (- 2x + 1)

- 6x3 + 3x2 + 10x2 - 5x - 16x + 8

25

- 6x3 + 13x2 - 21x + 8

Divisão

Obs: Na divisão de polinômios utilizamos o método chave. Primeiramente

realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e depois a divisão de potências

de mesma base. Para isso, conserva-se a base e subtraia os expoentes.

A divisão é formada por: dividendo, divisor, quociente e resto.

divisor . quociente + resto = dividendo

Teorema do Resto

O Teorema do Resto representa o resto na divisão dos polinômios e possui o

seguinte enunciado:

O resto da divisão de um polinômio f(x) por x - a é igual a f(a).

8 FUNÇÃO LOGARITMA

Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 é

denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é

representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o

conjunto dos reais.

Exemplos de funções logarítmicas:

• f(x) = log2x

• f(x) = log3x

26

• f(x) = log1/2x

• f(x) = log2(x – 1)

8.1 Gráfico de uma função logarítmica

Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a

duas situações:

a > 1

Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma:

0 < a < 1

Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma:

8.2 Características do gráfico da função logarítmica y = logax

27

O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0.

Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1.

Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a

Im(imagem) = R.

Através dos estudos das funções logarítmicas, chegamos à conclusão de que

ela é uma função inversa da exponencial. Observe o gráfico comparativo a seguir:

Podemos notar que (x,y) está no gráfico da função logarítmica se o seu

inverso (y,x) está na função exponencial de mesma base.

9 FUNÇÕES EXPONENCIAIS

Função exponencial ocorre quando temos uma variável no expoente e o

número é determinado como base.

28

Fonte: mundoeducacao.bol.uol.com.br

Veja dois exemplos de gráficos de funções exponenciais:

Gráfico de função exponencial (Foto: Colégio Qi)

Temos os gráficos de f(x) = 2x (azul) e g(x) = 2-x (vermelho). Observando esses

dois gráficos poderemos entabular algumas propriedades gerais importantes,

Vejamos: Os gráficos estão passando pelo ponto (0,1);

Para quaisquer valores de x os valores de f(x) serão positivos. Denomina-se

o eixo dos x como “assíntotas horizontais”; Obs.: Reta assíntota (ou assintótica) é uma

reta tal que a distância de um ponto de uma curva a essa reta tende para zero quando

o ponto se afasta ao infinito sobre a curva. A reta assintótica e a curva ficam

arbitrariamente próximas conforme se afastam da origem do sistema de coordenadas.

O gráfico de f(x) = 2x é nitidamente crescente, isso vai ocorrer toda e qualquer

vez que a > 1, já o gráfico de g(x) = 2-x tem o aspecto de uma função decrescente e

29

isso vai ocorrer toda e qualquer vez em que 0 < a < 1;

O domínio das duas funções é o conjunto dos números reais, porém a imagem

será determinada por ]0,+∞[

Observe agora o gráfico ao lado e note as funções f(x) = 2

Função exponencial (Foto: Colégio Qi)

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a

taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros

capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas,

desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre

outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se

necessário, as regras envolvendo potenciação.

Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções

exponenciais.

Exemplo 1

Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor,

t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante

real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor

que ela foi comprada. Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v0 * 2 –0,2*10

12 000 = v0 * 2 –2

30

12 000 = v0 * 1/4

2 000 / (1/ 4) = v0

v0 = 12 000 * 4

v0 = 48 000

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48000,00.

Exemplo 2

Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500

bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB

do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.

Temos a seguinte função exponencial:

P(x) = P0 * (1 + i)t

P(x) = 500 * (1 + 0,03)20

P(x) = 500 * 1,0320

P(x) = 500 * 1,80

P(x) = 900

O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões.

9.1 Propriedades da função exponencial

As propriedades da função exponencial resultam das potências e podem

facilitar os cálculos com esse tipo de função que possui uma variável no expoente.

1ª Propriedade: Se x = 0, então f(x) = 1

Isso acontece por causa das propriedades de potências. Observe o que

ocorre à função f(x) = 2x quando x = 0:

f(x) = 2x

f(0) = 20

f(0) = 1

No entanto, esse resultado vale para todo a pertencente aos números reais,

pois qualquer número elevado a zero será igual a um.

31

2ª Propriedade: Se a > 1, então, a função exponencial será crescente

Uma função é considerada crescente quando dados os dois valores distintos

do domínio x1 e x2, com x1 < x2: f(x1) < f(x2).

Assim, na função exponencial, podemos observar os expoentes x1 e x2. Toda

vez que x1 < x2, e que a > 1, teremos como consequência ax1 < ax2.

Por exemplo: f(x) = 2x. Observe que a = 2, que é maior que 1. Assim, essa

função é crescente. Por isso, tomando x1 = 1 e x2 = 2, teremos:

ax1 < ax2

21 < 22

2 < 4

3ª Propriedade: Se “a” for menor que 1 e maior que zero, então, a função

exponencial será decrescente.

Uma função é considerada decrescente quando dados os dois valores

distintos do domínio x1 e x2, com x1 < x2: f(x1) > f(x2).

Assim, na função exponencial, podemos observar os expoentes x1 e x2.

Toda vez que x1 < x2, e que 0 < a < 1, teremos como consequência ax1 > ax2.

Por exemplo: f(x) = 0,5x. Nesse exemplo, a = 0,5 e está no intervalo referente

a essa propriedade. Como essa função é decrescente, se x1 = 1 e x2 = 2, teremos:

x1 < x2

ax1 > ax2

0,51 > 0,52

0,5 > 0,25

Observe que “a” é obrigatoriamente diferente de 1 por definição da função e,

se for igual a zero, a função será contemplada pela primeira propriedade. Por isso, o

intervalo aberto 0 < a < 1.

4ª Propriedade: Sempre que ax1 = ax2, teremos x1 = x2.

Isso acontece para todo valor de x, desde que a ≠ 1 e a > 0.

32

Por exemplo: na função f(x) = 7x. Se f(x1) = 49 e f(x2) = 49, teremos:

f(x1) = f(x2)

ax1 = ax2

7x1 = 7x2

Como o resultado das duas potências, no exemplo, é igual a 49, então, x1 e

x2 só podem ser iguais a 2

x1 = x2 = 2

5ª Propriedade: O gráfico da função exponencial sempre estará localizado acima

do eixo x.

Isso acontece porque, por definição, “a” sempre será maior que zero em toda

função exponencial. Como “a” é base de uma potência, o resultado dessa potência

sempre será maior que zero. Isso significa que, no plano cartesiano, os valores de f(x)

correspondentes a y nunca serão negativos, ou seja, nunca ficarão abaixo do eixo x.

Quando a função é decrescente, os valores de y no plano cartesiano

aproximam-se de zero sempre que o valor de x aumenta. Caso contrário, a função

afastar-se-ia de zero com o aumento de x.

10 LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL

10.1 Limites e Continuidade: definição, propriedades e exemplos

O limite de uma função descreve o valor em que uma função assume em um

determinado ponto quando aproxima-se cada vez mais deste ponto.

Por exemplo, queremos saber o limite de no ponto x = 2.

Vamos atribuir valores para x de modo que se aproxime cada vez mais de x

= 2, tanto pela direita como pela esquerda.

33

Pela esquerda ( x < 2 ) Pela direita ( x > 2 )

X f(x) x f(x)

1 5 3 7

1,5 5,5 2,5 6,5

1,9 5,9 2,1 6,1

1,95 5,95 2,05 6,05

1,99 5,99 2,01 6,01

1,999 5,999 2,001 6,001

Ao analisar o limite desta função no ponto f(2) observa-se que o valor da

função aproxima-se cada vez mais de 6 por ambos os lados.

Assim, pode-se dizer que a função f(x) tende a 6 tanto pela direita como pela

esquerda, ou seja, o Limite desta função no ponto indicado é 6.

Matematicamente, o cálculo do limite é representado da seguinte forma:

,

onde diz-se: limite de f(x) quando x tende a “a”.

De modo geral, calcula-se o limite nos pontos na qual a função possui alguma

particularidade, como: assíntotas, degrau, ou também em e .

Caso os limites laterais no ponto a sejam diferentes, o limite neste ponto não

vai existir. Mas isso, veremos mais adiante nas propriedades do limite e no teorema

de existência.

10.2 Limite: definição formal

Cabe ressaltar que, em matemática, o conceito de limite é usado para

descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se

aproxima de um determinado valor. Assim como o comportamento de uma sequência

34

de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para

infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise

matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

Em outras palavras, pode-se dizer que uma função possui limite em a se os

pontos em x presentes em um pequeno intervalo entorno de a produzem valores de f

(x) em um pequeno intervalo entorno de L.

Gráfico

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O

conceito de limite pode ser aprendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.

Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que “tende” a

ser um determinado número. Ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número.

Entretanto, vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer

uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite

é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor

de x difere de x0 arbitrariamente muito pouco também.

35

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para

resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor. Porque para

o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno

deste ponto. Por isso, quando falamos que um número “tende” a ser n, por exemplo,

o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito

anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função

que está ocorrendo apenas.

10.3 Propriedades dos limites

Apresentam-se as principais Propriedades dos Limites, entretanto sem fazer

sua demonstração. Além do mais, estas propriedades são muito úteis na resolução

de problemas envolvendo cálculo de limites.

1) Propriedade da unicidade do Limite

2) Propriedade do Limite de uma função constante

3) Propriedade de soma ou da subtração dos Limites

36

4) Propriedade da multiplicação por escalar do Limite

Obs.: O sinal, x simboliza simplesmente uma multiplicação entre dois termos e não o

operador rotacional.

5) Propriedade da multiplicação de Limites

6) Propriedade da divisão de Limites

7) Propriedade da potência de Limites

8) Propriedade do exponencial do Limite

37

9) Propriedade do logaritmo do Limite

10) Propriedade da raiz do Limite

11) Propriedade do confronto (sanduiche) dos Limites

38

12) Propriedade dos polinômios

13) Propriedade da divisão de polinômios

39

10.4 Exemplos iniciais: exercícios resolvidos de Limites

Exemplo 1

Obs: Toda vez que se calcula um limite deve-se iniciar aplicando o valor na qual

deseja-se saber o limite. Somente se der alguma indeterminação deve-se recorrer a

outros métodos e técnicas.

Ou seja, a ideia é literalmente substituir o valor para o qual x está tendendo dentro do

limite. Então, isso é possível porque temos um polinômio e um teorema que garante

que

onde p(x) é um polinômio de ordem n.

Embora não seja nosso intuito entrar nessa parte mais teórica que foge do

escopo, cabe ressaltar que podemos aplicar esse teorema para todas as funções que

forem analíticas, ou seja, que tenham uma expansão local em série de Taylor. Como

função seno, cosseno, Raiz de qualquer ordem, função exponencial, etc.

Em outras palavras, para praticamente todas as funções mais conhecidas

podemos usar esse teorema e simplesmente substituir o valor de x dentro do limite.

Assim, aplicando as propriedades 2, 3 e 4 tem-se:

Exemplo 2

40

Da mesma forma, como no exemplo anterior, deve-se abrir em vários limites

aplicando as propriedades 2, 3, 4 e 6. Assim, tem-se:

Exemplo 3

Resolve-se este exemplo da mesma forma que os anteriores, porém necessita-

se também da propriedade 10 da raiz.

11 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

O Cálculo Diferencial e Integral nada mais é que uma ferramenta de análise

de funções, que pode ser utilizado nas mais variadas formas para resolver problemas

simples e complexos.

Conceitos básicos de limites, derivadas e integrais

O Limite é uma forma de avaliar o comportamento de uma função na medida

que chegamos próximo a um valor. Por exemplo, sabemos que não podemos dividir

qualquer número por zero. Mas podemos avaliar como uma função (1/x) se comporta

na medida que x tende a zero, ou seja, que x seja muito próximo de zero. E isso é

muito útil para resolver uma série de problemas.

Partindo deste conceito estudamos as Derivadas, que nada mais são do que

41

uma aplicação específica de limites. O conceito de derivada estuda a variação das

funções, como uma dada função varia na medida que variamos o seu valor de x. Com

isso podemos saber se a função cresce e qual a taxa de crescimento dela. Um uso

muito comum serve para identificar pontos máximos e mínimos de uma função. Como

sabemos que nesse ponto a variação da função é igual a zero (devido a uma mudança

de sentido), podemos facilmente identificar em que ponto a função tem seu valor

máximo ou mínimo.

Por último chegamos no conceito de Integrais. Trata-se da operação inversa

àquelas realizadas pela derivação em busca de identificar a função de origem a partir

da sua derivada. O conceito da integral surgiu a partir da necessidade de se calcular

a área de uma região curva não simétrica. Por exemplo, a área sobre o gráfico da

função f(x) = x² é difícil de ser calculado, pois não existe uma ferramenta exata para

isso. Outro problema conhecido é o da distância. Sabemos calcular a distância

percorrida por um objeto quando sua velocidade é constante. Isso também pode ser

feito através do gráfico de velocidade em função do tempo, mas quando essa

velocidade não é constante não conseguimos calcular esta distância de uma maneira

tão simples.

Estas foram algumas das situações para o surgimento da integral, mas

lembrando que a integral possui várias aplicações além dessas, como o cálculo de

áreas, volumes e suas aplicações na física e na biologia.

12 SISTEMAS LINEARES

Equação Linear: É toda equação que possui variáveis e apresenta na seguinte

forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ..., são os coeficientes

reais e o termo independente e representado pelo número real b.

Exemplos:

x + y + z = 20

2x –3y + 5z = 6

4x + 5y – 10z = –3

x – 4y – z = 0

42

Sistema Linear

Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um

sistema linear com p equações e n incógnitas.

Exemplos:

Sistema linear com duas equações e duas variáveis:

x + y = 3

x – y = 1

Sistema linear com duas equações e três variáveis:

2x + 5y – 6z = 24

x – y + 10z = 30

Sistema linear com três equações e três variáveis:

x + 10y – 12z = 120

4x – 2y – 20z = 60

–x + y + 5z = 10

Sistema linear com três equações e quatro variáveis:

x – y – z + w = 10

2x + 3y + 5z – 2w = 21

4x – 2y – z + w = 16

Solução de um sistema linear

Dado o sistema:

x + y = 3

x – y = 1

43

Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as

duas equações do sistema linear. Observe:

x = 2 e y = 1

2 + 1 = 3 3 = 3

2 – 1 = 1 1 = 1

Dado o sistema:

2x + 2y + 2z = 20

2x – 2y + 2z = 8

2x – 2y – 2z = 0

Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz

as três equações do sistema linear. Veja:

2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20 10 + 6 + 4 = 20 20 = 20

2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8 10 – 6 + 4 = 8 8 = 8

2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0 10 – 6 – 4 = 0 0 = 0

Classificação de um sistema linear

Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas

por ele.

• Sistema Possível e Determinado (SPD): há apenas uma solução possível, o que

acontece quando o determinante é diferente de zero (D ≠ 0).

• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): as soluções possíveis são infinitas, o

que acontece quando o determinante é igual a zero (D = 0).

• Sistema Impossível (SI): não é possível apresentar qualquer tipo de solução, o

que acontece quando o determinante principal é igual a zero (D = 0) e um ou mais

determinantes secundários são diferentes de zero (D ≠ 0).

44

Associando um sistema linear a uma matriz.

Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão

as linhas e as colunas da matriz, respectivamente. Veja exemplo:

O sistema:

x + 10y – 12z = 120

4x – 2y – 20z = 60

–x + y + 5z = 10

pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta.

Matriz completa

1 10 -12 120

4 -2 -20 60

-1 1 5 10

Matriz incompleta

1 10 -12

4 -2 -20

-1 1 5

12.1 Resolução de sistemas lineares

Regra de Cramer

A Regra de Cramer é utilizada na resolução de sistemas SPD (sistemas possíveis e

determinados). Tem os seguintes passos:

45

Para calcular o determinante principal, formamos uma matriz com os coeficientes das

variáveis;

Para calcular os determinantes secundários, substituímos as colunas das variáveis

pela coluna do termo independente;

Obtemos as soluções para o sistema pela fórmula:

46

47

Método da adição

Exemplo:

O método da soma consiste em eliminar uma das incógnitas “x” ou “y” e desta

forma trabalhar com a solução primeiro de uma incógnita e depois da outra.

Para eliminarmos a incógnita “x”, por exemplo, devemos multiplicar os valores

da primeira equação por (-2) e depois somar o resultado com a segunda equação.

48

Método da substituição

Exemplo:

Resolver o sistema anterior pelo método da substituição:

O objetivo do método é o mesmo do método da adição, porém devemos isolar

uma das incógnitas da adição, porém devemos isolar uma das incógnitas da primeira

equação e substituí-la na segunda equação.

49

Vamos Praticar?

Atividades

1- João gosta muito de animais de estimação e de charadas. Certo dia um amigo

perguntou-lhe quantos cachorros e quantos gatos ele tinha. Prontamente João

respondeu com o seguinte enigma: “A soma do dobro do número de cachorros e do

triplo do número de gatos é igual a 17. E a diferença entre o número de cachorros e

de gatos é apenas 1”. Será que você consegue desvendar esse enigma e descobrir

quantos cachorros e quantos gatos João possui?

2- Em sua rua, André observou que havia 20 veículos estacionados, dentre motos e

carros. Ao abaixar-se, ele conseguiu visualizar 54 rodas. Qual é a quantidade de

motos e de carros estacionados na rua de André?

3- A soma das idades de Joaquim e Lúcio é 60 anos. Sabendo que a idade de Joaquim

é o triplo da idade de Lúcio, qual é a idade de cada um deles?

4- João cria 60 animais em sua fazenda. Alguns deles eram vacas, outros eram

galinhas. Sabendo que o total de patas registradas em uma inspeção foi de 220,

quantas vacas João cria?

5- Uma fábrica produz 240 peças de metal, algumas delas medindo 30 e outras

medindo 40 centímetros. Sabendo que o comprimento total das peças produzidas é

igual a 7600 centímetros, quantas peças de 30 centímetros foram produzidas?

6- Qual é o par ordenado que resolve o sistema a seguir?

50

Gabarito

1- 3 gatos e 4 cachorros

2- 13 motos e 7 carros

3- 15 e 45 anos

4- 50 vacas

5- 200 peças

6- (10,40)

13 LIMITES

O conceito de limite é fundamental no cálculo diferencial, um campo da

Matemática que teve início no século XVII e é bastante fértil em resultados e

aplicações em várias áreas do conhecimento, como a Física, a Engenharia, a

Economia, a Geologia, a Astronomia, a Biologia, entre outras.

Fonte: noticias.universia.pt

13.1 Noção intuitiva de limites

Vamos analisar alguns casos em que aparece a ideia informal e intuitiva de

limite.

Exemplos:

a) Vamos considerar una região quadrada de área igual a 1. Num primeiro

momento vamos colorir a metade do quadrado

51

Parte Colorida: ½ da figura.

No momento seguinte, colorimos metade da região e mais metade do que restou:

No próximo, colorimos o que havia sido colorido e mais metade do que restou:

E assim, sucessivamente e indefinidamente, a área da região colorida

resultante vai tendendo a 1. Dizemos, então, que o limite desse desenvolvimento,

quando o número de momentos tende ao infinito, é colorir a figura toda, ou seja, obter

uma área colorida igual a 1.

b) Seja a função f (x) = 2x +1. Vamos dar valores de x que se aproximem de

1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e

calcular o valor correspondente de y:

Notemos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja,

quando x tende a 1 (x→1), y tende para 3 (y→3), ou seja:

52

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função

é 3.

Esse é o estudo do comportamento de f (x) quando x tende para 1 ( x →1 ).

Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f (x) tende para 3 ( f (x) → 3 ), dizemos que

o limite de f (x) quando x →1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x =1 o

valor de f (x) não seja 3.

De forma geral, escrevemos:

se, quando x se aproxima de a (x → a ), f (x) se aproxima de b ( f (x) → b )

c) Estudaremos agora o comportamento de uma função f nas proximidades

de um ponto. Seja:

Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais

simples:

Vamos analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x =

1, ponto este que não pertence ao domínio de f.

53

Portanto quando nos aproximemos de x = 1, pela esquerda e pela direita, o

valor desta função se aproxima de 2.

Neste caso dizemos que:

Vamos Praticar?

1) Considere a região do plano limitada pelo triângulo retângulo de base fixa e igual a

4cm. Faça a altura ir se aproximando de 3, mas sem nunca atingir 3, isto é, faça a

altura tender a 3. Complete a tabela dada e verifique para que valor está tendendo a

área dessa região.

2) O que ocorre, no limite, com a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo se

mantivermos a medida de um cateto constante e a do outro cateto for diminuindo,

54

tendendo a 0 (mas nunca 0)?

Gabarito

1) A área tende a 6 quando a altura tende a 3.

2) Se h tende a 0, então a tende a b.

13.2 Definição de limite

Dizemos que o limite da função f (x) quando x tende a “a” é igual ao número

real L se, e somente se, os números reais f (x) para os infinitos valores de x

permanecem próximos a L, sempre que x estiver muito próximo de “a”.

Indica-se:

13.3 Propriedades dos limites

1°) Limite de uma constante.

O limite de uma constante é a própria constante.

2°) Limite da soma e diferença

O limite da soma é soma dos limites.

O limite da diferença é a diferença dos limites.

3°) Limite do produto

55

O limite do produto é o produto dos limites

4°) Limite do quociente

O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não

seja zero.

5°) Limite de uma potência

O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima

do limite.

6°) Limite da raiz

O limite da raiz enésima de uma função é igual a raiz enésima do limite dessa

função.

56

Vamos Praticar?

1) Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedades dos limites que

foram usadas.

2) Calcule o limite, caso existir.

Gabarito

57

14 DERIVADA

Derivadas: por definição as derivadas representam a taxa de variação de uma

função...

Derivadas (individual, obtida empiricamente): como o próprio nome indica

"derivada" traduz de onde provêm uma função qualquer ou de onde ela deriva/ou, o

que lhe deu origem, etc.

Assim a adoção deste segundo conceito pode levar a escolha certa do cálculo

em causa, dependendo, da interpretação que lhe é atribuída.

Fonte: pythondiario.com

14.1 A Derivada de uma Função

Dizemos que uma função é derivável (ou diferençável) quando existe derivada

em todos os pontos de seu domínio.

58

14.2 Regras de Derivação

As regras de derivação permitem determinar as derivadas das funções sem o

uso da definição.

14.3 Derivada de uma Constante

Regra da Potência (expoente positivo)

Demonstração

14.4 Derivada do produto de uma constante por uma função

59

14.5 Derivada de uma soma

14.6 Derivada de um produto

14.7 Derivada de um quociente

60

Regra da Potência (expoente negativo)

61

14.8 Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia)

Vamos Praticar?

Calcule a derivada das funções abaixo:

Gabarito

a)

b) c)

62

15 BIBLIOGRAFIA BÁSICA

CONNALLY E.; HUGHES-HALLETT, D.; GLEASON, A. M. Funções para modelar

variações: uma preparação para o cálculo. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

MEDEIROS, V.; CALDEIRA, A.; SILVA, L.; MACHADO, M.; Pré-cálculo. São Paulo:

Pioneira Thomson Learning, 2006

THOMAS, G. B.; WEIR, M.D.; HASS, J. Cálculo 1: volume 1. 1. ed. São Paulo:

Addison Wesley, 2009.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar: volume 3. 8. ed. São Paulo:

Atual, 2004.

LIMA, E. L. Logaritmos. Rio de Janeiro: SBM, 1994. (Coleção do Professor de

Matemática).

LIMA, E.; CARVALHO, P.; WAGNER, E.; MORGADO, A. Matemática do ensino

médio: volume 1. Rio de Janeiro: SBM, 1992. (Coleção do Professor de

Matemática).

MEDEIROS, S. Cálculo básico para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2004.

TROTTA, F.; IMENES, L.; JAKUBOVIC, J. Matemática aplicada: volumes 1, 2 e 3.

São Paulo: Moderna, 1941.